Física universitária — 2.º ano · Bachelor Year 2

13Ondas eletromagnéticas planas e polarização

Incline a cabeça usando óculos de sol polarizados e o brilho na estrada molhada vai e vem; gire os óculos diante da tela de um celular e a tela fica preta. A luz que chega ao seu olho não é apenas uma onda com frequência e intensidade: ela tem uma direção de vibração, e todo polarizador, tela, lente de cinema 3D e conector de fibra óptica brinca com isso. Este capítulo resolve as equações de Maxwell no espaço vazio — a onda plana, com seus campos elétrico e magnético transversais travados em ângulo reto —, percorre o espectro que essas ondas cobrem e estuda a polarização: como descrevê-la, como selecioná-la com um polarizador (lei de Malus) e como transformá-la com uma lâmina birrefringente.

13.1 Ondas planas no vácuo

Teorema 13.1 (Equação de onda; ondas planas progressivas harmônicas)

No vácuo, sem cargas nem correntes, as equações de Maxwell dão

\Delta\vect E = \frac1{c^2}\frac{\partial^2\vect E}{\partial t^2} , \qquad \Delta\vect B = \frac1{c^2}\frac{\partial^2\vect B}{\partial t^2} , \qquad c = \frac1{\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}} = 2.998 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} .

A onda plana progressiva harmônica (onda OPPH) $\underline{\vect E} = \underline{\vect E}_0\,\eu^{\iu(\omega t - \vect k\cdot\vect r)}$ é solução desde que $\omega = ck$ (sem dispersão), e as equações de Maxwell exigem então

\vect k\cdot\vect E = 0 , \qquad \vect B = \frac{\vect k\wedge\vect E}\omega = \frac{\vect u\wedge\vect E}c ,

sendo $\vect u = \vect k/k$ a direção de propagação: a onda é transversal, $(\vect E, \vect B, \vect u)$ é um triedro ortogonal direto, $\vect E$ e $\vect B$ estão em fase e $B = E/c$ . Sua intensidade vale $I = \varepsilon_0cE_0^2/2$ e ela transporta o fluxo de quantidade de movimento $I/c$ (Capítulo 12).

Demonstração. A equação de onda foi deduzida no Exercício 11.11. Para $\eu^{\iu(\omega t - \vect k\cdot\vect r)}$ , $\partial_t \to \iu\omega$ e $\vect\nabla \to -\iu\vect k$ : $\Delta \to -k^2$ , logo $k^2 = \omega^2/c^2$ ; Maxwell–Gauss dá $-\iu \vect k\cdot\underline{\vect E} = 0$ , a lei do fluxo dá $\vect k\cdot\underline{\vect B} = 0$ , Maxwell–Faraday dá $-\iu\vect k\wedge\underline{\vect E} = -\iu\omega\underline{\vect B}$ , donde $\underline{\vect B} = \vect k\wedge\underline{\vect E}/\omega$ , de módulo $kE/\omega = E/c$ e perpendicular aos dois; Maxwell–Ampère fica então identicamente satisfeita. ∎

Uma onda plana progressiva harmônica num instante: E e B perpendiculares entre si e à direção de propagação, em fase, com B = E/c; todo o padrão desliza segundo u com celeridade c. — Uma onda plana progressiva harmônica num instante: $\vect E$ e $\vect B$ perpendiculares entre si e à direção de propagação, em fase, com $B = E/c$ ; todo o padrão desliza segundo $\vect u$ com celeridade $c$ .

Observação 13.2 (O espectro)

Uma equação, uma velocidade e vinte ordens de grandeza de frequência. Rádio: $30\,\mathrm{kHz}$ – $300\,\mathrm{MHz}$ ( $\lambda$ de $10\,\mathrm{km}$ a $1\,\mathrm{m}$ ), antenas e circuitos (Capítulo 17). Micro-ondas: $300\,\mathrm{MHz}$ – $300\,\mathrm{GHz}$ , radar, fornos, celulares, a radiação cósmica de fundo. Infravermelho: até $400\,\mathrm{THz}$ ( $750\,\mathrm{nm}$ ), a radiação térmica de tudo o que nos cerca (Capítulo 26). Visível: $400\,\mathrm{THz}$ – $750\,\mathrm{THz}$ , de $750\,\mathrm{nm}$ (vermelho) a $400\,\mathrm{nm}$ (violeta) — uma oitava, com fótons de $1.6$ a $3.1\,\mathrm{eV}$ . Ultravioleta até $10\,\mathrm{nm}$ ; raios X até $10\,\mathrm{pm}$ ( $100\,\mathrm{keV}$ ), vindos das camadas atômicas internas e de elétrons freados; raios gama além disso, vindos dos núcleos. Só as fontes e os detectores diferem: a onda é a mesma.

O espectro eletromagnético numa escala logarítmica de frequências; a faixa visível é uma fresta — uma oitava em vinte décadas.

13.2 Polarização

Definição 13.3 (Estados de polarização)

Para uma onda OPPH segundo $z$ , o campo num plano $z =$ const. vale

\vect E = E_{0x}\cos(\omega t - kz)\,\vect e_x + E_{0y}\cos(\omega t - kz - \varphi)\,\vect e_y ,

e a ponta de $\vect E$ descreve, em geral, uma elipse: polarização elíptica. Dois casos particulares: $\varphi = 0$ ou $\pi$ , polarização retilínea segundo uma direção fixa que faz o ângulo $\arctan(\pm E_{0y}/E_{0x})$ com $x$ ; e $E_{0x} = E_{0y}$ com $\varphi = \pm\pi/2$ , polarização circular, com $\vect E$ de módulo constante girando a $\omega$ (à direita ou à esquerda conforme seu sentido de rotação, visto de frente para a onda que se aproxima). A luz natural (não polarizada), de uma lâmpada ou do Sol, é uma sucessão de trens de onda curtos com polarizações aleatórias e rapidamente variáveis: nenhuma direção é privilegiada em média. Toda polarização decompõe-se em duas componentes retilíneas (ou duas circulares).

Demonstração. Com $X = E_x/E_{0x}$ , $Y = E_y/E_{0y}$ : $X = \cos\theta$ , $Y = \cos(\theta - \varphi)$ , logo $X^2 + Y^2 - 2XY\cos\varphi = \sin^2\varphi$ , uma elipse, que degenera nas retas $Y = \pm X$ para $\varphi = 0, \pi$ e num círculo para $E_{0x} = E_{0y}$ , $\varphi = \pm\pi/2$ . ∎

Proposição 13.4 (Polarizadores e a lei de Malus)

Um polarizador transmite a componente de $\vect E$ segundo seu eixo de transmissão $\vect p$ e absorve a outra (uma folha de moléculas longas alinhadas, que conduzem ao longo de seu comprimento — a polarização transmitida é perpendicular às moléculas). Luz polarizada retilineamente de intensidade $I_0$ cuja direção faz o ângulo $\theta$ com $\vect p$ emerge polarizada retilineamente segundo $\vect p$ , com

I = I_0\cos^2\theta \qquad\text{(Malus)} ;

a luz natural emerge com $I_0/2$ , polarizada segundo $\vect p$ . Dois polarizadores cruzados nada transmitem; um terceiro inserido a $45{}^{\circ}$ entre eles transmite $I_0/8$ .

Demonstração. A amplitude transmitida vale $E_0\cos\theta$ e $I \propto E_0^2$ . Luz natural: média de $\cos^2\theta$ sobre todos os $\theta$ , $\tfrac12$ . Três polarizadores: $\tfrac12\cdot\cos^2 45^\circ\cdot\cos^2 45^\circ = \tfrac18$ — o polarizador do meio não apenas atenua, ele gira a polarização. ∎

À esquerda: luz natural através de três polarizadores a 0, 45 e 90 — o do meio deixa passar um oitavo por um par que, sozinho, bloquearia tudo. À direita: a lei de Malus. — À esquerda: luz natural através de três polarizadores a $0^\circ$ , $45^\circ$ e $90^\circ$ — o do meio deixa passar um oitavo por um par que, sozinho, bloquearia tudo. À direita: a lei de Malus.

Exemplo 13.5 (Óculos de sol, telas, fotografias)

A luz refletida em incidência rasante pela água ou pelo asfalto é em grande parte polarizada horizontalmente (ângulo de Brewster, Capítulo 15): óculos de sol com eixo de transmissão vertical cortam o brilho e deixam o resto. Uma tela de cristal líquido emite luz polarizada: através de um polarizador a $90{}^{\circ}$ ela fica preta. O filtro polarizador de um fotógrafo escurece o céu (a luz espalhada é parcialmente polarizada, Capítulo 17) e elimina reflexos no vidro.

13.3 Birrefringência e lâminas de onda

Proposição 13.6 (Lâminas de onda)

Num cristal birrefringente (calcita, quartzo, mica; e também uma folha de plástico esticada) uma onda que se propaga numa dada direção divide-se em duas polarizações retilíneas, segundo os eixos rápido e lento da lâmina, que viajam com índices diferentes $n_f < n_s$ (admitido — o cristal responde de modo diferente segundo seus eixos). Uma lâmina de espessura $e$ atrasa a componente lenta da fase

\delta = \frac{2\pi}\lambda(n_s - n_f)\,e .

Uma lâmina de meia onda ( $\delta = \pi$ ) transforma uma polarização retilínea a um ângulo $\alpha$ do eixo rápido numa polarização retilínea a $-\alpha$ : ela a gira de $2\alpha$ . Uma lâmina de quarto de onda ( $\delta = \pi/2$ ) transforma uma polarização retilínea a $45{}^{\circ}$ de seus eixos em luz circular, e luz circular de volta em retilínea; em outros ângulos, em luz elíptica com eixos segundo os da lâmina.

Demonstração. O campo incidente é $E_0(\cos\alpha\,\vect e_f + \sin\alpha\,\vect e_s)\cos\omega t$ ; depois da lâmina, ele vale $E_0[\cos\alpha\cos\omega t\,\vect e_f + \sin\alpha\cos(\omega t - \delta) \vect e_s]$ . Para $\delta = \pi$ a componente segundo $\vect e_s$ muda de sinal: direção $(\cos\alpha, -\sin\alpha)$ . Para $\delta = \pi/2$ e $\alpha = 45^\circ$ : $(E_0/\sqrt2)(\cos \omega t, \sin\omega t)$ , um círculo. ∎

Os estados de polarização de uma onda plana, vistos de frente para a luz que se aproxima, e uma lâmina birrefringente com seus eixos rápido e lento.

Exemplo 13.7 (Onde se usam as lâminas)

Uma lâmina de quarto de onda entre um polarizador e um espelho faz um isolador óptico: a luz sai circular, volta circular de helicidade oposta, é transformada pela lâmina em luz retilínea a $90{}^{\circ}$ do polarizador e é absorvida — nenhuma reflexão volta ao laser. As imagens dos dois olhos de um filme 3D são projetadas em polarizações circulares opostas e separadas pelos sanduíches de lâmina de quarto de onda e polarizador dos óculos, que continuam a funcionar quando se inclina a cabeça (polarizadores retilíneos não continuariam). Uma régua transparente entre polarizadores cruzados mostra franjas coloridas: a tensão torna o plástico birrefringente, e os engenheiros leem as tensões de um modelo pelo padrão.

Método 13.8 (Acompanhar uma polarização por um sistema óptico)

(1) Escolha os eixos; escreva o campo incidente como duas componentes com sua diferença de fase. (2) Um polarizador: guarde a projeção sobre seu eixo (amplitude $\times\cos$ , intensidade $\times\cos^2$ ; luz natural $\times\tfrac12$ ). (3) Uma lâmina: projete sobre seus eixos rápido e lento, atrase o lento de $\delta$ e recombine. (4) Leia o resultado: fase $0$ ou $\pi$ significa retilínea, e $\pm\pi/2$ com amplitudes iguais significa circular. (5) Para testar um feixe desconhecido: gire um polarizador (a intensidade varia: há parte retilínea ou elíptica) e depois acrescente uma lâmina de quarto de onda (a circular vira retilínea e pode ser extinta).

13.4 Exercícios

Exercício 13.1 ★

Uma emissora de FM a $100\,\mathrm{MHz}$ produz, num receptor, uma intensidade de $1.0\,\text{µ}\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ . Comprimento de onda, número de onda, período; amplitudes $E_0$ e $B_0$ ; densidade de energia; fem induzida numa antena de $1\,\mathrm{m}$ alinhada com $\vect E$ ; fluxo de fótons (por metro quadrado e por segundo).

Solução

Solução de Exercício 13.1.

$\lambda = 3.0\,\mathrm{m}$ , $k = 2.1\,\mathrm{rad}/\mathrm{m}$ , $T = 10\,\mathrm{ns}$ ; $E_0 = \sqrt{2I/\varepsilon_0c} = 27\,\mathrm{mV}/\mathrm{m}$ , $B_0 = 9 \times 10^{-11}\,\mathrm{T}$ ; $u = I/c = 3.3 \times 10^{-15}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ ; fem $E_0 \times 1\,\mathrm{m} = 27\,\mathrm{mV}$ ; $I/hf = 10^{-6}/6.6 \times 10^{-26} = 1.5 \times 10^{19}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ .

Exercício 13.2 ★

Frequência e energia do fóton (em eV) para $\lambda = 1\,\mathrm{km}$ , $10\,\mathrm{cm}$ , $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ , $550\,\mathrm{nm}$ , $10\,\mathrm{nm}$ , $0.1\,\mathrm{nm}$ , $1\,\mathrm{pm}$ ; nomeie a faixa de cada um; o comprimento de onda de um raio gama de $1\,\mathrm{MeV}$ e o da radiação cósmica de fundo a $2.7\,\mathrm{K}$ (pico perto de $160\,\mathrm{GHz}$ ).

Solução

Solução de Exercício 13.2.

$300\,\mathrm{kHz}$ ( $1.2 \times 10^{-9}\,\mathrm{eV}$ , rádio); $3\,\mathrm{GHz}$ ( $1.2 \times 10^{-5}\,\mathrm{eV}$ , micro-ondas); $30\,\mathrm{THz}$ ( $0.12\,\mathrm{eV}$ , infravermelho); $545\,\mathrm{THz}$ ( $2.25\,\mathrm{eV}$ , visível); $3 \times 10^{16}\,\mathrm{Hz}$ ( $124\,\mathrm{eV}$ , ultravioleta extremo); $3 \times 10^{18}\,\mathrm{Hz}$ ( $12\,\mathrm{keV}$ , X); $3 \times 10^{20}\,\mathrm{Hz}$ ( $1.2\,\mathrm{MeV}$ , gama). $1\,\mathrm{MeV}$ : $1.2\,\mathrm{pm}$ ; $160\,\mathrm{GHz}$ : $1.9\,\mathrm{mm}$ .

Exercício 13.3 ★

Luz polarizada retilineamente de intensidade $I_0$ incide num polarizador a $30{}^{\circ}$ , depois num segundo a $60{}^{\circ}$ do primeiro e depois num terceiro a $90{}^{\circ}$ do primeiro: intensidade após cada um. O mesmo com luz natural. Retire o do meio: o que muda?

Solução

Solução de Exercício 13.3.

$0.75I_0$ , $0.56I_0$ , $0.42I_0$ ; com luz natural: $0.375$ , $0.28$ , $0.21$ . Sem o do meio: $0.75 \times \cos^260^\circ = 0.19I_0$ (natural, $0.125I_0$ ): o polarizador intermediário deixa passar mais luz por girar a polarização.

Exercício 13.4 ★

Verifique que $\vect E = E_0\cos(\omega t - kz)\,\vect e_x$ , $\vect B = (E_0/c)\cos(\omega t - kz)\,\vect e_y$ satisfaz as quatro equações de Maxwell no vácuo quando $\omega = kc$ . Que equação fixa a direção de $\vect B$ , e qual fixa sua intensidade? O que acontece se tentarmos $\vect E$ segundo $\vect e_z$ ?

Solução

Solução de Exercício 13.4.

$\operatorname{div}\vect E = \partial_xE_x = 0$ , $\operatorname{div}\vect B = 0$ ; $\operatorname{\vect{curl}}\vect E = E_0k\sin(\omega t - kz)\,\vect e_y = -\partial_t\vect B$ se e só se $\omega = kc$ — Faraday fixa tanto a direção ( $\vect e_y$ ) quanto a intensidade ( $E_0/c$ ) de $\vect B$ ; $\operatorname{\vect{curl}}\vect B = -(E_0k/c)\sin(\omega t - kz)\,\vect e_x = \mu_0\varepsilon_0\partial_t\vect E$ . Um $\vect E$ segundo $\vect e_z$ teria $\operatorname{div} \vect E \ne 0$ sem carga alguma: impossível — a onda é transversal.

Exercício 13.5 ★★

Luz circular. (a) Escreva o campo de uma onda polarizada circularmente segundo $z$ e mostre que $|\vect E|$ é constante enquanto sua direção gira a $\omega$ . (b) Mostre que a soma de uma onda circular à direita e outra à esquerda de amplitudes iguais é polarizada retilineamente, segundo uma direção fixada por sua fase relativa. (c) Através de um polarizador, o que dá a luz circular, e a intensidade depende do ângulo do polarizador? (d) Como, então, distinguir luz circular de luz natural?

Solução

Solução de Exercício 13.5.

(a) $\vect E = E_0(\cos(\omega t - kz), \pm\sin(\omega t - kz), 0)$ : módulo $E_0$ , ângulo $\pm(\omega t - kz)$ . (b) $(\cos, \sin) + (\cos, -\sin) = (2\cos, 0)$ : retilínea segundo $x$ ; uma fase relativa $\varphi$ gira a direção de $\varphi/2$ . (c) $I_0/2$ em todo ângulo. (d) Uma lâmina de quarto de onda transforma luz circular em luz retilínea, que um polarizador então extingue; a luz natural continua não polarizada.

Exercício 13.6 ★★

O quartzo tem $n_s - n_f = 0.0091$ a $589\,\mathrm{nm}$ . (a) Espessura de uma lâmina de quarto de onda de ordem mínima; e de uma lâmina de meia onda. (b) Uma lâmina de quarto de onda para $589\,\mathrm{nm}$ usada a $450\,\mathrm{nm}$ : atraso de fase (despreze a variação dos índices); o que sai para luz retilínea a $45{}^{\circ}$ ? (c) Por que as lâminas "de ordem múltipla" (espessura $e + m\lambda/(n_s - n_f)$ ) são mais sensíveis ao comprimento de onda e à temperatura? (d) Por que a espessura de uma lâmina deve ser controlada melhor que um micrômetro?

Solução

Solução de Exercício 13.6.

(a) $e = \lambda/4(n_s - n_f) = 16\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; meia onda, $32\,\text{µ}\mathrm{m}$ . (b) $\delta = (\pi/2)(589/450) = 2.1\,\mathrm{rad}$ : luz elíptica. (c) $\delta \propto e/\lambda$ : uma lâmina de $m + \tfrac14$ ondas tem $\dd\delta/\dd\lambda$ e $\dd\delta/\dd T$ maiores por $4m + 1$ . (d) $\delta \propto e$ : um micrômetro em $16\,\text{µ}\mathrm{m}$ são $6\%$ de $\pi/2$ .

Exercício 13.7 ★★

Lâmina de meia onda. (a) Mostre que luz retilínea a um ângulo $\alpha$ do eixo rápido sai retilínea a $-\alpha$ . (b) Logo, uma lâmina girada de $\beta$ gira a polarização de $2\beta$ : que rotação da lâmina torna uma polarização vertical em horizontal? (c) O que uma lâmina de meia onda faz com a luz circular? (d) Entre polarizadores cruzados, uma lâmina de meia onda é girada lentamente: esboce a intensidade transmitida em função de seu ângulo.

Solução

Solução de Exercício 13.7.

(a) A componente lenta muda de sinal: $(\cos\alpha, \sin\alpha) \to (\cos\alpha, -\sin\alpha)$ . (b) Uma polarização a um ângulo $\alpha$ de uma lâmina posta a $\beta$ sai a $2\beta - \alpha$ : rotação de $2\beta$ ; $45{}^{\circ}$ . (c) Inverte a helicidade. (d) $I = I_0\sin^22\beta$ : quatro máximos e quatro extinções por volta.

Exercício 13.8 ★★

$N$ polarizadores são colocados um após o outro, cada um girado de $\pi/2N$ em relação ao anterior, ficando o último a $90{}^{\circ}$ do primeiro. Transmissão de luz polarizada retilineamente alinhada com o primeiro, para $N = 1, 2, 5, 10, 100$ ; limite $N \to \infty$ (use $\cos^{2N}(\pi/2N) \approx 1 - \pi^2/4N$ ). Comente: uma polarização pode ser girada de $90{}^{\circ}$ sem perda — por quê?

Solução

Solução de Exercício 13.8.

$\cos^{2N}(\pi/2N)$ : $0$ , $0.25$ , $0.61$ , $0.78$ , $0.976$ , $\to 1$ . Um meio que se torce continuamente (atividade óptica, uma célula de cristal líquido) gira a polarização sem perdas.

Exercício 13.9 ★★

Polarização parcial. Um polarizador girante diante de um feixe dá uma intensidade máxima $I_{\max}$ e uma mínima $I_{\min}$ . (a) Modele o feixe como luz natural $I_n$ mais luz polarizada retilineamente $I_p$ : exprima $I_{\max}$ e $I_{\min}$ ; o grau de polarização $p = I_p/(I_n + I_p) = (I_{\max} - I_{\min})/(I_{\max} + I_{\min})$ . (b) Céu azul a $90{}^{\circ}$ do Sol: $I_{\max}/I_{\min} = 5$ : quanto vale $p$ ? (c) Luz refletida por um lago perto do ângulo de Brewster, $p = 0.9$ : quanto óculos de sol polarizados podem remover? (d) Um polarizador sozinho consegue distinguir luz parcialmente polarizada retilineamente de luz parcialmente circular? O que é preciso?

Solução

Solução de Exercício 13.9.

(a) $I_{\max} = I_n/2 + I_p$ , $I_{\min} = I_n/2$ ; $p = I_p/(I_n + I_p) = (I_{\max} - I_{\min})/(I_{\max} + I_{\min})$ . (b) $p = 4/6 = 0.67$ . (c) O polarizador cruzado deixa passar $I_n/2 = 0.05I$ : $95\%$ removidos. (d) Não — as duas dão intensidade constante; é preciso uma lâmina de quarto de onda.

Exercício 13.10 ★★★

Dois feixes cruzados. Duas ondas OPPH de mesma amplitude e frequência, ambas polarizadas segundo $\vect e_y$ , propagam-se no plano $xz$ a ângulos $\pm\theta$ de $z$ . (a) Escreva o campo total e mostre que ele é uma onda que viaja segundo $z$ cuja amplitude é modulada segundo $x$ como $\cos(kx\sin\theta)$ . (b) Espaçamento dos planos escuros (franjas de interferência); números para $\lambda = 633\,\mathrm{nm}$ , $\theta = 5{}^{\circ}$ , e para $\theta = 90{}^{\circ}$ (contrapropagantes). (c) Velocidade de fase do padrão segundo $z$ ; compare com $c$ ; há algo viajando mais rápido que a luz? (d) Calcule o vetor de Poynting médio no tempo e mostre que sua componente segundo $x$ se anula: a energia flui segundo $z$ nos planos claros.

Solução

Solução de Exercício 13.10.

(a) Fases $\omega t - k(z\cos\theta \pm x\sin\theta)$ : soma $2E_0\cos(kx\sin\theta)\cos(\omega t - kz\cos\theta)\,\vect e_y$ . (b) $\Delta x = \lambda/2\sin\theta$ : $3.6\,\text{µ}\mathrm{m}$ a $5{}^{\circ}$ , $\lambda/2 = 316\,\mathrm{nm}$ a $90{}^{\circ}$ . (c) $v_\varphi = c/\cos\theta > c$ : é a fase de um padrão; a energia vai segundo $z$ a $c\cos\theta$ (e cada onda a $c$ ). (d) $B_z = (\sin\theta/c)(E_1 - E_2)$ , $E_y = E_1 + E_2$ : $\langle\Pi_x\rangle \propto \langle E_1^2 - E_2^2\rangle = 0$ ; $\Pi_z \propto \cos\theta(E_1 + E_2)^2$ , máximo nos planos claros.

Exercício 13.11 ★★★

O pixel de cristal líquido. Uma célula nemática torcida entre polarizadores cruzados gira a polarização da luz de $90{}^{\circ}$ quando não há tensão aplicada (o alinhamento das moléculas se torce ao longo da célula e a polarização o acompanha — admitido), e não a gira quando alguns volts as destorcem. (a) Transmissão nos dois estados: qual deles é o claro? (b) Células reais giram de $90^\circ \pm 5^\circ$ no comprimento de onda de projeto: razão de contraste $I_{\text{claro}}/I_{\text{escuro}}$ se o estado escuro vaza por um erro residual de $5{}^{\circ}$ . (c) Por que uma célula projetada para $550\,\mathrm{nm}$ vaza um pouco de azul e de vermelho no estado escuro (pense na rotação como uma pilha de muitos retardadores finos, cada um quase de meia onda)? (d) Um pixel colorido usa três células dessas com filtros; por que a tela fica preta através de um polarizador em certo ângulo, e o que esse ângulo informa?

Solução

Solução de Exercício 13.11.

(a) Sem tensão: girada de $90{}^{\circ}$ , passa pelo polarizador cruzado: estado claro; com tensão: escuro. (b) Vazamento $\sin^25^\circ = 7.6 \times 10^{-3}$ : contraste $130$ . (c) A torção funciona como uma pilha de retardadores cujo $\delta \propto 1/\lambda$ : exata a $550\,\mathrm{nm}$ , a rotação erra nas pontas do espectro, que vazam — o estado escuro parece arroxeado. (d) Quando o polarizador externo fica cruzado com o polarizador de saída da tela; o ângulo é o eixo de polarização da tela.

Exercício 13.12 ★★★

Atividade óptica. Numa solução de açúcar as duas polarizações circulares viajam com índices ligeiramente diferentes $n_L$ e $n_R$ . (a) Decomponha uma polarização retilínea em componentes circulares e mostre que, após um comprimento $\ell$ , a polarização continua retilínea, mas girada de $\theta = \pi(n_L - n_R)\ell/\lambda$ . (b) Um tubo de $1\,\mathrm{dm}$ com uma solução de sacarose a $0.10\,\mathrm{g}/\mathrm{mL}$ gira a luz de sódio de $6.65{}^{\circ}$ : quanto vale $n_L - n_R$ ? (c) Um sacarímetro mede $\theta$ com $0.01{}^{\circ}$ : precisão sobre a concentração. (d) O mesmo efeito é produzido no vidro por um campo magnético ao longo do feixe (efeito Faraday, $\theta = VB\ell$ com $V \approx 4\,\mathrm{rad}\,\mathrm{T}^{-1}\,\mathrm{m}^{-1}$ ): por que um rotador de Faraday, ao contrário de um tubo de açúcar, não cancela sua rotação quando a luz é enviada de volta, e como isso faz um isolador?

Solução

Solução de Exercício 13.12.

(a) $\vect e_x = \tfrac12[(\vect e_x + \iu\vect e_y) + (\vect e_x - \iu\vect e_y)]$ ; depois de $\ell$ as duas componentes têm fases $k_L\ell$ e $k_R\ell$ , e recombinam-se em luz retilínea ao ângulo $(k_L - k_R)\ell/2 = \pi(n_L - n_R)\ell/\lambda$ . (b) $n_L - n_R = \theta\lambda/\pi\ell = 0.116 \times 589 \times 10^{-9}/0.314 = 2.2 \times 10^{-7}\,$ . (c) $0.01/6.65 \times 0.1 = 1.5 \times 10^{-4}\,\mathrm{g}/\mathrm{mL}$ . (d) A rotação de Faraday é fixada por $\vect B$ , e não pelo sentido de propagação: na viagem de volta ela se soma ( $45{}^{\circ}$ $+$ $45{}^{\circ}$ $=$ $90{}^{\circ}$ ), e o polarizador de entrada bloqueia a luz que retorna — um isolador.

Óculos de sol polarizados diante de um lago: o brilho, refletido perto do ângulo de Brewster e polarizado horizontalmente, é cortado pelo eixo de transmissão vertical das lentes, e o fundo do lago aparece.

13.5 Problema: A onda, a tela e a vela

Problema 13.1

Problema de fim de semana — um feixe de laser desmontado em seus campos, uma tela que pinta com polarização e uma sonda que navega à luz

Parte I — O feixe. Um laser de hélio–neônio emite $10\,\mathrm{mW}$ a $632.8\,\mathrm{nm}$ num feixe de $1.0\,\mathrm{mm}$ de diâmetro, polarizado retilineamente segundo $x$ , viajando segundo $z$ .

Frequência, número de onda, energia do fóton; fótons emitidos por segundo.
Intensidade; amplitudes $E_0$ e $B_0$ ; escreva $\vect E(z, t)$ e $\vect B(z, t)$ .
Densidade de energia (média) e energia contida em $1\,\mathrm{m}$ de feixe; que comprimento tem o feixe emitido em $1\,\mathrm{ns}$ , e quantos comprimentos de onda ele contém?
Vetor de Poynting: valor médio e sua oscilação; quantidade de movimento transportada por segundo; força sobre um alvo preto e sobre um espelho.
Compare $E_0$ com o campo que liga o elétron num átomo de hidrogênio ( $5 \times 10^{11}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ ) e $B_0$ com o campo da Terra ( $50\,\text{µ}\mathrm{T}$ ).
Pressão de radiação sobre um anteparo preto, em pascals.
Um elétron livre colocado no feixe: amplitude de sua oscilação de velocidade no campo elétrico (despreze primeiro a força magnética); razão entre a força magnética e a elétrica sobre ele — por que a força magnética é desprezível para a matéria na luz comum?
Escreva os campos do mesmo feixe se ele fosse polarizado circularmente; o que muda na intensidade, no vetor de Poynting e em sua dependência com o tempo?
O feixe atravessa um polarizador cujo eixo faz $30{}^{\circ}$ com $x$ : potência transmitida; depois um segundo cruzado com o primeiro: potência; insira entre eles um terceiro a $45{}^{\circ}$ do primeiro: potência.

Parte II — A tela. Uma tela de cristal líquido: retroiluminação (luz natural), um polarizador, a célula e um polarizador cruzado. Sem tensão a célula gira a polarização de $90{}^{\circ}$ ; com tensão ela não faz nada.

Fração da intensidade da retroiluminação transmitida no estado claro (polarizadores perfeitos); e no estado escuro.
Uma tensão intermediária faz a célula se comportar como um retardador de fase $\delta$ entre seus eixos, que estão a $45{}^{\circ}$ dos polarizadores (sem rotação): mostre que a transmissão vale $\sin^2(\delta/2)$ — a escala de cinzas.
Vista através de um polarizador girado a $90{}^{\circ}$ do polarizador de saída da tela, o que se vê? E a $45{}^{\circ}$ ?
Uma lâmina de quarto de onda colada na tela a $45{}^{\circ}$ de seu polarizador torna a saída circular: qual a vantagem para quem usa óculos de sol polarizados?
Polarizadores perfeitos deixariam passar metade da retroiluminação no estado claro; folhas reais transmitem $85\%$ do ideal cada uma, e os filtros coloridos de um pixel deixam passar um terço da luz: fração da potência da retroiluminação que chega a quem olha, no branco; nomeie os dois lugares onde a maior parte da luz se perde.
Folhas cruzadas reais vazam $0.1\%$ da luz: razão de contraste da tela (claro sobre escuro) numa sala escura.
Os "polarizadores circulares" dos fotógrafos são um polarizador retilíneo seguido de uma lâmina de quarto de onda a $45{}^{\circ}$ : o que a câmera recebe, e por que isso é melhor para o divisor de feixe sensível à polarização do seu autofoco do que luz retilínea?
Por que os óculos de cinema 3D usam polarização circular em vez de retilínea? O que acontece com a diafonia entre os olhos se quem assiste inclina a cabeça de $20{}^{\circ}$ com óculos retilíneos (intensidade que vaza para o olho errado)?

Parte III — A vela. Uma vela solar de área $S = 1000\,\mathrm{m}^{2}$ e massa total $m = 50\,\mathrm{kg}$ , perfeitamente refletora, a $D = 1.0\,\mathrm{au} = 1.5 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$ do Sol ( $I = 1.36\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$ ; gravidade do Sol ali $5.9 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ).

Força de radiação quando a vela está de frente para o Sol; aceleração; razão em relação à gravidade solar.
A vela é inclinada de $\theta$ em relação à posição de frente para o Sol: mostre que a força é normal à vela e proporcional a $\cos^2\theta$ (potência interceptada $\times\cos\theta$ , variação da quantidade de movimento segundo a normal $\times\cos\theta$ ).
Para espiralar para fora, a vela mantém uma componente de força ao longo de sua velocidade orbital: para $\theta = 35{}^{\circ}$ , aceleração tangencial; celeridade ganha por ano; compare com a celeridade orbital da Terra ( $30\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ).
Por que a mesma vela, perto de Mercúrio ( $D = 0.39\,\mathrm{au}$ ), recebe $6.6$ vezes a força, e por que a razão em relação à gravidade não muda?
O filme da vela tem $2\,\text{µ}\mathrm{m}$ de plástico aluminizado: sua temperatura ao sol se ela absorve $10\%$ e irradia pelas duas faces como um corpo negro ( $\sigma = 5.67 \times 10^{-8}\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{K}^{-4}$ ).
Tempo necessário para ganhar $1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ de frente para o Sol; o que uma vela absorvedora (preta) do mesmo tamanho conseguiria?
Confira a quantidade de movimento da luz com fótons: número de fótons que atingem a vela por segundo ( $2\,\mathrm{eV}$ em média) e a quantidade de movimento $hf/c$ de cada um; recupere a força.
Faça o balanço: as três grandezas transportadas pela onda (energia, quantidade de movimento, polarização) e o dispositivo deste problema que explora cada uma.

Solução

Solução de Problema 13.1.

1. $f = 4.74 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ , $k = 9.9 \times 10^{6}\,\mathrm{rad}/\mathrm{m}$ , $hf = 3.1 \times 10^{-19}\,\mathrm{J} = 1.96\,\mathrm{eV}$ ; $3.2 \times 10^{16}$ fótons por segundo.

2. $I = 0.01/\pi(0.5 \times 10^{-3})^2 = 1.3 \times 10^{4}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ; $E_0 = 3.1\,\mathrm{kV}/\mathrm{m}$ , $B_0 = 10\,\text{µ}\mathrm{T}$ ; $\vect E = E_0\cos(\omega t - kz)\vect e_x$ , $\vect B = (E_0/c)\cos(\omega t - kz)\vect e_y$ .

3. $u = I/c = 4.2 \times 10^{-5}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ ; $P/c = 3.3 \times 10^{-11}\,\mathrm{J}$ por metro de feixe; $30\,\mathrm{cm}$ , $4.7 \times 10^5$ comprimentos de onda.

4. $\langle\Pi\rangle = I$ segundo $z$ , oscilando como $\cos^2$ a $2f$ ; $P/c = 3.3 \times 10^{-11}\,\mathrm{N}$ no preto, $6.7 \times 10^{-11}\,\mathrm{N}$ num espelho.

5. $E_0/5 \times 10^{11} = 6 \times 10^{-9}$ ; $B_0$ é um quinto do campo da Terra.

6. $I/c = 4.2 \times 10^{-5}\,\mathrm{Pa}$ .

7. $v_0 = eE_0/m\omega = 0.18\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $F_m/F_e = v_0B_0/E_0 = v_0/c = 6 \times 10^{-10}$ : a força magnética sobre cargas lentas é desprezível.

8. $\vect E = E_0[\cos(\omega t - kz)\vect e_x \pm \sin(\omega t - kz)\vect e_y]$ com $E_0 = 2.2\,\mathrm{kV}/\mathrm{m}$ (mesma potência), $\vect B = \vect e_z\wedge\vect E/c$ : a intensidade não muda, mas $\Pi = \varepsilon_0cE_0^2$ passa a ser constante no tempo — o fluxo de energia deixa de pulsar.

9. $10\cos^230^\circ = 7.5\,\mathrm{mW}$ ; $0$ ; $7.5 \times \cos^445^\circ = 1.9\,\mathrm{mW}$ .

10. Claro: $\tfrac12$ ; escuro: $0$ .

11. Depois do primeiro polarizador, componentes iguais nos eixos; depois do retardador, fase $\delta$ entre elas; a projeção na direção cruzada vale $\propto(1 - \eu^{\iu\delta})/2$ : $I \propto \sin^2(\delta/2)$ .

12. Preto; metade da intensidade.

13. A saída circular parece igualmente clara através de óculos de sol polarizados em qualquer inclinação da cabeça.

14. $\tfrac12 \times 0.85 \times 0.85 \times \tfrac13 = 12\%$ ; o primeiro polarizador (metade absorvida) e os filtros coloridos (dois terços).

15. Claro $0.36$ , escuro $\tfrac12 \times 10^{-3}$ : contraste $\approx 700$ .

16. Luz circular, seja qual for a rotação do filtro: o divisor sensível à polarização recebe a mesma potência qualquer que seja a posição do filtro.

17. A polarização circular guarda sua helicidade quando a cabeça se inclina; óculos retilíneos inclinados de $20{}^{\circ}$ deixam vazar $\sin^220^\circ = 12\%$ para o olho errado.

18. $F = 2IS/c = 9.1\,\mathrm{mN}$ ; $a = 1.8 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; $3\%$ da gravidade solar.

19. Potência interceptada $\propto\cos\theta$ , variação de quantidade de movimento refletida segundo a normal $2p\cos\theta$ : $F = (2IS/c)\cos^2\theta$ segundo a normal.

20. $F = 9.1 \times \cos^235^\circ = 6.1\,\mathrm{mN}$ , parte tangencial $F\sin35^\circ = 3.5\,\mathrm{mN}$ : $a_t = 7 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , $2.2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ por ano — $7\%$ da celeridade orbital.

21. $(1/0.39)^2 = 6.6$ ; a gravidade escala do mesmo modo.

22. $0.1 \times 1360 = 2\sigma T^4$ : $T = 190\,\mathrm{K}$ — o espelho fica frio.

23. $1000/1.8 \times 10^{-4} = 5.6 \times 10^{6}\,\mathrm{s}$ , dois meses; uma vela preta recebe metade da força.

24. $1.36 \times 10^6/3.2 \times 10^{-19} = 4.3 \times 10^{21}\,$ fótons por segundo, cada um com $hf/c = 1.1 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; refletidos: $2Np = 9.1\,\mathrm{mN}$ .

25. Energia ( $u$ , $I$ ): o anteparo e o fotodiodo. Quantidade de movimento ( $I/c$ ): a vela. Polarização (Malus, as lâminas): a tela e seus polarizadores.

Termos definidos neste capítulo

Estados de polarização

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