Física universitária — 2.º ano · Bachelor Year 2

19Interferência de duas ondas

Uma bolha de sabão é feita de um líquido incolor e, ainda assim, cintila em cores; uma película de óleo numa estrada molhada mostra as mesmas faixas de arco-íris; as asas de uma libélula brilham em verde e violeta. Nenhuma dessas cores vem de um pigmento: elas vêm de duas cópias da mesma onda luminosa, refletidas nas duas faces de uma película fina, que chegam com um atraso e ou se reforçam ou se cancelam — a interferência de duas ondas. Young fez dela a prova de que a luz é uma onda, em 1801, com duas fendas e uma vela; este capítulo expõe a fórmula, a geometria das franjas de Young, as duas condições — coerência temporal e coerência espacial — sob as quais as franjas sobrevivem, e as cores das películas finas.

Uma película de óleo numa estrada molhada: duas reflexões, uma em cada face, e uma espessura que varia de lugar para lugar — cada cor brilhante onde 2ne tem o valor certo. — Uma película de óleo numa estrada molhada: duas reflexões, uma em cada face, e uma espessura que varia de lugar para lugar — cada cor brilhante onde $2ne$ tem o valor certo.

19.1 A fórmula da interferência

Teorema 19.1 (Interferência de duas ondas)

Duas ondas monocromáticas coerentes de intensidades $I_1$ , $I_2$ e diferença de fase $\Delta\varphi$ num ponto $M$ dão ali a intensidade

I(M) = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1I_2}\,\cos\Delta\varphi(M) , \qquad \Delta\varphi = \frac{2\pi}{\lambda_0}\,\delta(M) ,

onde $\delta$ é a diferença de caminho óptica entre os dois percursos da fonte até $M$ . A intensidade é máxima ( $I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1I_2}$ ) onde $\delta = p\lambda_0$ , com $p$ inteiro — a ordem de interferência — e mínima ( $I_1 + I_2 - 2\sqrt{I_1I_2}$ ) onde $\delta = (p + \tfrac12)\lambda_0$ . O contraste (visibilidade) das franjas é

V = \frac{I_{\max} - I_{\min}}{I_{\max} + I_{\min}} = \frac{2\sqrt{I_1I_2}}{I_1 + I_2} ,

igual a $1$ para intensidades iguais, caso em que os mínimos são perfeitamente escuros: $I = 2I_0(1 + \cos\Delta\varphi) = 4I_0\cos^2(\Delta\varphi/2)$ .

Demonstração. $s = a_1\cos(\omega t - \varphi_1) + a_2\cos(\omega t - \varphi_2)$ ; $\langle s^2\rangle$ como no Capítulo 18, com $\Delta\varphi$ fixo durante a detecção; $I_i = \tfrac12Ka_i^2$ . A diferença de fase de duas ondas que partiram juntas da fonte e percorreram os caminhos ópticos $L_1$ , $L_2$ é $2\pi(L_2 - L_1)/\lambda_0$ (mais $\pi$ para cada reflexão que inverte o sinal, Capítulo 15). ∎

Observação 19.2 (As três condições)

Só há franjas se (1) as duas ondas vierem da mesma fonte (duas cópias de uma mesma vibração; caso contrário $\Delta\varphi$ é aleatória); (2) a diferença de caminho for menor que o comprimento de coerência, $|\delta| < \ell_c$ (coerência temporal: além dele as cópias pertencem a trens de onda diferentes); (3) a fonte for pequena o bastante para que seus pontos distintos não produzam sistemas de franjas deslocados que se apagam entre si (coerência espacial, adiante). E uma quarta, em geral satisfeita: as duas ondas não podem ter polarizações perpendiculares (elas se somariam em intensidade, como as lanternas).

19.2 As fendas de Young

Proposição 19.3 (Divisão da frente de onda: a experiência de Young)

Uma fonte pontual $S$ (ou uma fenda) ilumina duas fendas estreitas e paralelas $S_1$ , $S_2$ separadas por uma distância $a$ , equidistantes de $S$ ; um anteparo está à distância $D \gg a$ . No ponto do anteparo à altura $x$ (paralela a $a$ ) a diferença de caminho vale

\delta = S_2M - S_1M \approx \frac{ax}D ,

e o anteparo mostra franjas retilíneas e equidistantes, claras em $x_p = p\lambda D/a$ , com a interfranja

i = \frac{\lambda D}a .

As franjas existem em toda parte atrás das fendas (elas não são localizadas); com uma lente de distância focal $f$ depois das fendas, elas são vistas em seu plano focal com $i = \lambda f/a$ (franjas "no infinito"). A intensidade vale $4I_0\cos^2(\pi ax/\lambda D)$ .

Demonstração. $S_2M^2 - S_1M^2 = [(x + a/2)^2 - (x - a/2)^2] = 2ax$ e $S_2M + S_1M \approx 2D$ , logo $\delta \approx 2ax/2D$ . Duas ordens diferem de $\lambda$ , ou seja, de $\Delta x = \lambda D/a$ . Com uma lente, as duas ondas que deixam as fendas com o ângulo $\theta$ em relação ao eixo têm a diferença de caminho $a\sin\theta \approx a\theta$ e se encontram em $x = f\theta$ . ∎

À esquerda: as fendas de Young — duas cópias da onda da fonte se encontram no anteparo com a diferença de caminho ax/D; franjas claras a cada D/a. À direita: o perfil de intensidade, 4I_0 2(π x/i) para ondas iguais (linha cheia) e com contraste reduzido (tracejada). — À esquerda: as fendas de Young — duas cópias da onda da fonte se encontram no anteparo com a diferença de caminho $ax/D$ ; franjas claras a cada $\lambda D/a$ . À direita: o perfil de intensidade, $4I_0\cos^2(\pi x/i)$ para ondas iguais (linha cheia) e com contraste reduzido (tracejada).

Exemplo 19.4 (Números, e a luz branca)

$a = 0.5\,\mathrm{mm}$ , $D = 2\,\mathrm{m}$ , $\lambda = 600\,\mathrm{nm}$ : $i = 2.4\,\mathrm{mm}$ — grande o bastante para se ver, e é por isso que as fendas de Young devem estar próximas e o anteparo longe. Com luz branca cada cor faz suas próprias franjas, todas coincidindo no centro ( $\delta = 0$ ): uma franja central branca, depois franjas coloridas à medida que as ordens se separam (o $i$ do vermelho é $1.8$ vezes o do violeta) e, após algumas ordens, um campo esbranquiçado uniforme — o comprimento de coerência da luz branca é um micrômetro, dois ou três comprimentos de onda. Um espectrômetro apontado para esse campo "branco" ainda vê bandas escuras nos comprimentos de onda para os quais $\delta = (p + \tfrac12)\lambda$ : um espectro canelado.

Proposição 19.5 (Coerência espacial: a fonte deve ser pequena)

Cada ponto de uma fonte extensa produz seu próprio sistema de franjas; um ponto-fonte deslocado transversalmente de $b$ à distância $L$ antes das fendas desloca as franjas de $x = bD/L$ (a diferença de caminho ganha $ab/L$ ). Uma fonte de largura $b$ espalha as franjas por uma interfranja, e o contraste se anula, quando

\frac{ab}L \approx \lambda , \qquad\text{ou seja, quando as fendas veem a fonte sob um ângulo } \frac bL \gtrsim \frac\lambda a .

As duas fendas devem estar dentro da área de coerência da luz — a região sobre a qual a onda vinda da fonte tem uma fase bem definida, de largura $\lambda L/b$ . A luz do Sol ( $b/L = 0.5{}^{\circ} = 9\,\mathrm{mrad}$ ) dá uma largura de coerência de $\lambda/0.009 \approx 60\,\text{µ}\mathrm{m}$ : Young precisou de um furo de agulha para alargá-la.

Demonstração. Para um ponto-fonte à altura $b$ , o caminho extra $SS_2 - SS_1 \approx -ab/L$ se soma a $ax/D$ : o padrão se desloca de $x = bD/L$ . Integrar os padrões $\cos^2$ deslocados sobre uma fonte de largura $b$ dá um contraste $|\operatorname{sinc}(\pi ab/\lambda L)|$ , nulo em $ab/L = \lambda$ . ∎

Coerência espacial: o topo e a base de uma fonte extensa enviam sistemas de franjas deslocados um em relação ao outro; quando o deslocamento atinge uma interfranja o padrão se apaga.

19.3 Películas finas: divisão da amplitude

Proposição 19.6 (Interferência numa película fina)

Uma película de índice $n$ e espessura $e$ no ar, iluminada sob incidência $i$ (ângulo de refração $r$ ), devolve duas ondas refletidas em suas duas faces, com a diferença de caminho

\delta = 2ne\cos r \ (+\tfrac{\lambda_0}2) ,

a meia onda extra contando a inversão de sinal da reflexão no meio mais denso na primeira face e não na segunda (Capítulo 15). As franjas são claras para $2ne\cos r = (p + \tfrac12)\lambda_0$ e escuras para $2ne\cos r = p\lambda_0$ — uma película de espessura que tende a zero não reflete nada (o topo preto de uma película de sabão que escorre). Para uma película de espessura uniforme as franjas dependem só de $i$ e são vistas no infinito (anéis de igual inclinação); para uma cunha de espessura lentamente variável vista sob incidência quase normal elas seguem os contornos de $e$ constante e ficam localizadas sobre a película (franjas de igual espessura): uma cunha de ar de ângulo $\alpha$ mostra franjas retilíneas espaçadas de $\lambda_0/2\alpha$ ; uma lente de raio $R$ sobre uma placa plana dá os anéis de Newton, escuros em $r_p = \sqrt{p\lambda_0R}$ .

Demonstração. Geometria: a onda refratada na primeira face atravessa a película duas vezes ( $2e/\cos r$ no vidro, caminho óptico $2ne/\cos r$ ) enquanto a onda refletida na primeira face avança $2e\tan r\sin i$ no ar; a diferença é $2ne/\cos r - 2e\tan r\sin i = 2ne\cos r$ com $\sin i = n\sin r$ . Para a cunha, $e = \alpha x$ e franjas escuras sucessivas em $2\alpha x = p\lambda$ ; para a lente, $e \approx r^2/2R$ . ∎

À esquerda: as duas reflexões numa película fina — uma em cada face, a segunda atrasada pela dupla travessia. À direita: uma cunha de ar entre duas placas mostra franjas de igual espessura retilíneas, uma por meio comprimento de onda de folga a mais.

Exemplo 19.7 (Sabão, óleo, libélulas)

Uma película de sabão ( $n = 1.33$ ) de $300\,\mathrm{nm}$ de espessura vista sob incidência normal: clara para $2ne = (p + \tfrac12)\lambda$ , ou seja, $\lambda = 798/(p + \tfrac12)$ nm: $532\,\mathrm{nm}$ (verde, $p = 1$ ) dentro do visível, e uma banda escura em $400\,\mathrm{nm}$ ; a película parece verde. À medida que escorre e afina, a cor percorre a sequência e termina em preto. Uma película de óleo ( $400\,\mathrm{nm}$ , $n = 1.45$ ) sobre água ( $1.33$ ): a segunda reflexão, em direção a um índice menor, não inverte o sinal, de modo que de novo $\delta = 2ne + \lambda/2$ e a película é clara em $2ne = (p + \tfrac12)\lambda$ : $464\,\mathrm{nm}$ ( $p = 2$ ), azul. A iridescência da asa de uma borboleta, da carapaça de um besouro ou de um disco compacto são interferências do mesmo tipo (a do disco, de muitas ondas: Capítulo 21), e é por isso que elas mudam com o ângulo — $\delta$ depende de $\cos r$ — enquanto a cor de um pigmento não muda.

Método 19.8 (Resolver um problema de interferência)

(1) Identifique os dois percursos da fonte até $M$ e calcule a diferença de caminho óptica $\delta(M)$ , somando $\lambda/2$ para cada reflexão com inversão de sinal. (2) $I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1I_2}\cos(2\pi\delta/\lambda)$ ; claro em $\delta = p\lambda$ . (3) O espaçamento das franjas a partir de $\delta(M + \Delta M) - \delta(M) = \lambda$ . (4) Verifique a coerência temporal ( $\delta_{\max} < \ell_c$ , número de franjas visíveis $\sim\lambda/\Delta\lambda$ ) e a coerência espacial (ângulo da fonte $< \lambda/a$ ). (5) Diga onde as franjas estão localizadas (em toda parte para duas fontes pontuais; sobre a película para as franjas de igual espessura; no infinito para as de igual inclinação).

19.4 Exercícios

Exercício 19.1 ★

Fendas de Young separadas por $a = 0.40\,\mathrm{mm}$ , anteparo em $D = 1.5\,\mathrm{m}$ , $\lambda = 633\,\mathrm{nm}$ : interfranja; ordem da franja em $x = 1.0\,\mathrm{cm}$ ; posição da décima franja escura; interfranja com as fendas a $2\,\mathrm{mm}$ uma da outra, e na água ( $n = 1.33$ ).

Solução

Solução de Exercício 19.1.

$i = \lambda D/a = 2.4\,\mathrm{mm}$ ; $x/i = 4.2$ ; décima franja escura em $9.5i = 22.5\,\mathrm{mm}$ ; $a = 2\,\mathrm{mm}$ : $0.47\,\mathrm{mm}$ ; na água $\lambda/n$ : $1.8\,\mathrm{mm}$ .

Exercício 19.2 ★

Duas ondas de intensidades $I_0$ e $I_0/4$ interferem: $I_{\max}$ , $I_{\min}$ , contraste. O mesmo para $I_0$ e $I_0/100$ : por que ainda se veem franjas com feixes tão desiguais? Uma das fendas do par de Young é coberta por um filtro cinza que transmite $50\%$ : novo contraste.

Solução

Solução de Exercício 19.2.

$1.25I_0 \pm I_0$ : $V = 0.8$ . $1.01I_0 \pm 0.2I_0$ : $V = 0.2$ — o termo de interferência vai com a razão das amplitudes, $1/10$ , e não com a das intensidades. Filtro: $V = 2\sqrt{0.5}/1.5 = 0.94$ .

Exercício 19.3 ★

Uma película de sabão de $250\,\mathrm{nm}$ de espessura ( $n = 1.33$ ) vista sob incidência normal: comprimentos de onda visíveis mais e menos refletidos; sua cor. Uma película de $1.0\,\text{µ}\mathrm{m}$ : quantos comprimentos de onda claros no visível, e o que o olho vê?

Solução

Solução de Exercício 19.3.

$2ne = 665\,\mathrm{nm}$ : claro em $665/(p + \tfrac12)$ : $443\,\mathrm{nm}$ (azul-violeta); escuro em $665/p$ : $665\,\mathrm{nm}$ (vermelho): uma película azul. $e = 1\,\text{µ}\mathrm{m}$ : $2ne = 2660\,\mathrm{nm}$ , claro em $760$ , $591$ , $484$ , $409\,\mathrm{nm}$ — quatro cores ao mesmo tempo, um branco rosado e lavado.

Exercício 19.4 ★

Anéis de Newton entre uma lente de raio $R = 2.0\,\mathrm{m}$ e uma placa plana, em luz de sódio: raios dos três primeiros anéis escuros; número de anéis dentro de um raio de $1\,\mathrm{cm}$ ; o centro é claro ou escuro, e por quê? O que muda se a folga for preenchida com água?

Solução

Solução de Exercício 19.4.

$r_p = \sqrt{p\lambda R}$ : $1.09$ , $1.53$ , $1.88\,\mathrm{mm}$ ; $p = r^2/\lambda R = 85$ anéis dentro de $1\,\mathrm{cm}$ ; o centro é escuro: espessura nula e uma inversão de sinal. Água: raios divididos por $\sqrt n$ , $98$ anéis.

Exercício 19.5 ★★

Luz branca. Fendas de Young com luz branca ( $400$ – $700\,\mathrm{nm}$ ), $a = 0.5\,\mathrm{mm}$ , $D = 1\,\mathrm{m}$ . (a) Interfranja para o violeta e para o vermelho; posição da segunda franja clara vermelha e da terceira violeta. (b) A partir de que ordem as franjas vermelhas e violetas de ordens sucessivas se superpõem? (c) Em $x = 5\,\mathrm{mm}$ , quais comprimentos de onda faltam (espectro canelado)? (d) Explique a sequência de cores vista do centro para fora.

Solução

Solução de Exercício 19.5.

(a) $i = 0.8$ e $1.4\,\mathrm{mm}$ ; segunda vermelha $2.8\,\mathrm{mm}$ , terceira violeta $2.4\,\mathrm{mm}$ . (b) A ordem $p$ do vermelho em $1.4p$ mm encontra a ordem $p + 1$ do violeta em $0.8(p + 1)$ : a partir de $p = 2$ as ordens se superpõem. (c) $\delta = ax/D = 2.5\,\text{µ}\mathrm{m}$ : faltam $\lambda = \delta/(p + \tfrac12)$ : $714$ , $556$ , $455\,\mathrm{nm}$ . (d) Centro branco; depois franjas com a borda interna azul e a externa vermelha; na terceira ordem as cores se misturam em branco.

Exercício 19.6 ★★

Tamanho da fonte. Uma lâmpada de sódio ilumina fendas de Young ( $a = 1.0\,\mathrm{mm}$ ) através de uma fenda-fonte a $L = 40\,\mathrm{cm}$ . (a) Largura máxima da fenda-fonte para um bom contraste (tome $ab/L < \lambda/4$ ). (b) A fenda-fonte é alargada para $0.5\,\mathrm{mm}$ : contraste (use $|\operatorname{sinc}(\pi ab/\lambda L)|$ ). (c) Por que não se pode simplesmente usar a lâmpada nua (largura $1\,\mathrm{cm}$ )? (d) O Sol como fonte, $9\,\mathrm{mrad}$ de diâmetro aparente: separação máxima das fendas que ainda dá franjas.

Solução

Solução de Exercício 19.6.

(a) $b < \lambda L/4a = 59\,\text{µ}\mathrm{m}$ . (b) $\pi ab/\lambda L = 6.7$ : contraste $|\sin6.7|/6.7 = 0.06$ . (c) Uma fonte de um centímetro de largura cobre centenas de interfranjas de deslocamento: nenhuma franja. (d) $a < \lambda/\theta = 61\,\text{µ}\mathrm{m}$ .

Exercício 19.7 ★★

Espelho de Lloyd. Uma fonte pontual à altura $h = 0.2\,\mathrm{mm}$ acima de um espelho plano, anteparo em $D = 1.0\,\mathrm{m}$ , $\lambda = 500\,\mathrm{nm}$ : a onda direta interfere com a que é refletida pelo espelho (uma fonte virtual em $-h$ ). (a) Interfranja. (b) A franja na borda do espelho ( $x = 0$ ) é escura: o que isso diz sobre a reflexão? (c) Número de franjas visíveis se o comprimento de coerência da fonte for $50\,\text{µ}\mathrm{m}$ . (d) Por que esse arranjo é o "interferômetro marinho" do radioastrônomo para uma estrela que nasce?

Solução

Solução de Exercício 19.7.

(a) $a = 2h = 0.4\,\mathrm{mm}$ : $i = \lambda D/a = 1.25\,\mathrm{mm}$ . (b) Em $x = 0$ os caminhos são iguais e ainda assim a franja é escura: a reflexão acrescenta $\pi$ (inversão de sinal na incidência rasante sobre o meio mais denso). (c) $\delta = ax/D < 50\,\text{µ}\mathrm{m}$ : $100$ franjas. (d) O mar é o espelho e a antena no alto do penhasco é o anteparo: quando a fonte se eleva, as franjas desfilam e dão sua altura angular.

Exercício 19.8 ★★

Cunha de ar. Duas placas de vidro de $10\,\mathrm{cm}$ de comprimento se tocam numa ponta e estão separadas na outra por um fio de cabelo de diâmetro $d$ ; em luz de sódio contam-se $42$ franjas escuras. (a) $d$ . (b) Espaçamento das franjas. (c) A folga é preenchida com água: número de franjas. (d) As placas são pressionadas levemente na ponta afastada: o que fazem as franjas, e que precisão sobre $d$ dá a contagem de um quarto de franja?

Solução

Solução de Exercício 19.8.

(a) $2d = 42\lambda$ : $d = 12.4\,\text{µ}\mathrm{m}$ . (b) $100/42 = 2.4\,\mathrm{mm}$ . (c) $2nd = p\lambda$ : $56$ franjas. (d) As franjas caminham para a ponta afastada e se espaçam à medida que $d$ diminui; um quarto de franja vale $\lambda/8 = 74\,\mathrm{nm}$ sobre $d$ .

Exercício 19.9 ★★

Óleo sobre água. Uma película de óleo ( $n = 1.45$ ) de espessura $e$ flutua sobre água ( $n = 1.33$ ). (a) Qual das duas reflexões inverte o sinal? Diferença de caminho. (b) Para $e = 400\,\mathrm{nm}$ sob incidência normal: comprimentos de onda refletidos reforçados e cancelados; cor. (c) Película mais fina que parece violeta ( $420\,\mathrm{nm}$ ). (d) Por que as cores se deslocam para o azul quando a película é vista obliquamente? (e) O que muda para uma película cujo índice está entre os dos dois meios (um revestimento sobre vidro)?

Solução

Solução de Exercício 19.9.

(a) Só a primeira (ar $\to$ óleo, mais denso); óleo $\to$ água vai para um índice menor: $\delta = 2ne + \lambda/2$ , claro em $2ne = (p + \tfrac12)\lambda$ . (b) $2ne = 1160\,\mathrm{nm}$ : reforçados $773$ (borda do visível), $464\,\mathrm{nm}$ (azul); cancelados $1160/p$ : $580\,\mathrm{nm}$ (amarelo): azul. (c) $2ne = \lambda/2$ : $e = 72\,\mathrm{nm}$ . (d) $\delta = 2ne\cos r$ diminui com o ângulo: os comprimentos de onda reforçados se deslocam para o azul. (e) As duas reflexões passam então a inverter o sinal, sem $\lambda/2$ extra: claro em $2ne = p\lambda$ , escuro em $(p + \tfrac12)\lambda$ — a camada antirreflexo de um quarto de onda.

Exercício 19.10 ★★★

Uma lâmina sobre uma fenda. Uma placa de vidro de espessura $e = 20\,\text{µ}\mathrm{m}$ e índice $1.5$ cobre a fenda $S_1$ de um par de Young ( $a = 1\,\mathrm{mm}$ , $D = 2\,\mathrm{m}$ , $\lambda = 500\,\mathrm{nm}$ ). (a) Caminho óptico extra; de quantas franjas e em que sentido o padrão se desloca? (b) Com luz branca, para onde vai a (agora deslocada) franja central branca — ela ainda é visível? Comprimento de coerência $1.5\,\text{µ}\mathrm{m}$ . (c) Use o padrão em luz branca para medir $e$ : como? (d) A placa é inclinada: o deslocamento cresce — mostre que, em primeira ordem, ele cresce como $e(n - 1)\theta^2/2 \times (1 + 1/n)$ e estime-o para $5{}^{\circ}$ .

Solução

Solução de Exercício 19.10.

(a) $(n - 1)e = 10\,\text{µ}\mathrm{m}$ , $20$ franjas, na direção da fenda coberta (onde o caminho geométrico deve encurtar $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ para restaurar $\delta = 0$ ): $x = (n - 1)eD/a = 2\,\mathrm{cm}$ . (b) A franja branca fica ali; a dispersão do vidro ( $\Delta n \approx 0.01$ no visível, ou seja, $0.2\,\text{µ}\mathrm{m}$ de caminho) está abaixo de $\ell_c$ : ainda visível, ligeiramente colorida. (c) Meça o deslocamento da franja branca: $e = (\text{deslocamento})\,a/(n - 1)D$ . (d) $e(n - 1)\theta^2 (1 + 1/n)/2 = 63\,\mathrm{nm}$ a $5{}^{\circ}$ : um oitavo de franja.

Exercício 19.11 ★★★

O interferômetro estelar. Dois espelhos separados por uma distância $a$ recolhem a luz de uma estrela e a fazem interferir. A estrela é um disco uniforme de diâmetro angular $\theta$ ; cada ponto dele desloca as franjas, e o contraste se anula para $a = 1.22\lambda/\theta$ (admitido, a versão para o disco de $ab/L = \lambda$ ). (a) Betelgeuse, $\theta = 0.047''$ (segundos de arco), $\lambda = 570\,\mathrm{nm}$ : base a partir da qual as franjas desaparecem (Michelson, 1920, Monte Wilson). (b) Por que um único telescópio de $2.5\,\mathrm{m}$ não resolve o disco (seu limite é $1.22\lambda/d$ )? (c) Os interferômetros modernos ligam telescópios a $100\,\mathrm{m}$ de distância: menor diâmetro mensurável. (d) Por que os dois caminhos devem ser iguais dentro do comprimento de coerência, e quanto vale ele para um filtro de $10\,\mathrm{nm}$ ?

Solução

Solução de Exercício 19.11.

(a) $\theta = 2.3 \times 10^{-7}\,\mathrm{rad}$ : $a = 1.22\lambda/\theta = 3.1\,\mathrm{m}$ . (b) Seu limite $1.22\lambda/d = 0.057''$ está acima do diâmetro da estrela, e a atmosfera borra até $1''$ . (c) $1.22\lambda/100 = 7 \times 10^{-9}\,\mathrm{rad} = 1.4\,\mathrm{mas}$ . (d) As franjas exigem $\delta < \ell_c = \lambda^2/\Delta\lambda = 32\,\text{µ}\mathrm{m}$ .

Exercício 19.12 ★★★

Anéis de igual inclinação. Uma lâmina de faces paralelas de espessura $e = 2.0\,\mathrm{mm}$ e índice $1.5$ é iluminada por uma fonte de sódio extensa; a luz refletida é focalizada por uma lente de $f = 50\,\mathrm{cm}$ . (a) Mostre que os anéis estão nos ângulos $i_p$ com $2ne\cos r_p = (p + \tfrac12)\lambda$ (claros) e que, perto do centro, $\cos r \approx 1 - i^2/2n^2$ . (b) Ordem no centro; o centro é claro? (c) Raios dos três primeiros anéis claros no plano focal. (d) Por que esses anéis são vistos com uma fonte extensa enquanto as franjas de Young precisam de uma fonte estreita? (Localização no infinito.)

Solução

Solução de Exercício 19.12.

(a) $\delta = 2ne\cos r + \lambda/2$ ; $\cos r = \sqrt{1 - \sin^2i/n^2} \approx 1 - i^2/2n^2$ . (b) $2ne/\lambda = 10186.8$ : o centro, com $p + \tfrac12$ entre $10186.5$ e $10187.5$ , não é nem claro nem escuro. (c) $i_p^2 = 2n^2[1 - (p + \tfrac12)\lambda/ 2ne]$ para $p = 10186$ , $10185$ , $10184$ : $i = 0.011$ , $0.024$ , $0.032\,\mathrm{rad}$ , $r = fi = 5.4$ , $11.8$ , $15.8\,\mathrm{mm}$ . (d) Só o ângulo $i$ fixa a ordem: cada ponto da fonte alimenta o mesmo anel sob o mesmo ângulo, de modo que os anéis, vistos no infinito, sobrevivem a uma fonte larga.

Franjas de igual espessura entre um plano óptico e uma superfície de aço sob ensaio, numa fotografia de oficina de cerca de 1915: franjas retilíneas sobre uma superfície plana, curvas onde ela está desgastada — cada franja um degrau de meio comprimento de onda.

19.5 Problema: os espelhos de Fresnel e uma película de óleo

Problema 19.1

Problema de fim de semana — um interferômetro de 1816 e um arco-íris numa poça: duas maneiras de dividir uma mesma onda e as duas coerências que limitam ambas

Parte I — Os espelhos de Fresnel. Dois espelhos planos que se tocam ao longo de uma linha formam um ângulo muito pequeno $\alpha = 5.0 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad}$ ; uma fonte em fenda $S$ , paralela a essa linha, está a $d = 20\,\mathrm{cm}$ dela, e o anteparo a $D = 1.5\,\mathrm{m}$ além. $\lambda = 589\,\mathrm{nm}$ (sódio).

Mostre que os dois espelhos dão duas imagens virtuais $S_1$ , $S_2$ de $S$ sobre um círculo de raio $d$ centrado na linha de contato, separadas por $a = 2\alpha d$ ; valor.
Por que as ondas vindas de $S_1$ e $S_2$ interferem, ao passo que as de duas lâmpadas separadas não interfeririam?
Interfranja no anteparo (distância das fontes ao anteparo $\approx d + D$ ); número de franjas na região de $5\,\mathrm{mm}$ de largura onde os dois feixes refletidos se superpõem.
Ordem de interferência na borda dessa região; ela está abaixo do limite fixado pelo comprimento de coerência da lâmpada ( $2\,\mathrm{cm}$ )?
A fenda-fonte tem $20\,\text{µ}\mathrm{m}$ de largura: deslocamento das franjas produzidas por suas duas bordas (cada ponto-fonte é imageado em dois pontos virtuais; o sistema de franjas se desloca de $bD'/d$ com $D' = d + D$ ); o contraste é preservado (compare com $i$ )?
A fenda é alargada para $0.1\,\mathrm{mm}$ : contraste, usando $|\operatorname{sinc}(\pi ab/\lambda d)|$ .
Os dois espelhos refletem $90\%$ e $80\%$ da luz: contraste das franjas.
Uma placa de vidro de $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ de espessura ( $n = 1.5$ ) é colocada diante de um dos espelhos: deslocamento do padrão, em franjas; ele pode ser acompanhado com luz de sódio? E com luz branca?
Substitua a lâmpada de sódio por luz branca: descreva o anteparo; quantas franjas coloridas de cada lado do centro?

Parte II — A película de óleo. Uma película de óleo ( $n = 1.45$ ) se espalha sobre uma estrada molhada ( $n_{\text{água}} = 1.33$ ), iluminada pelo céu encoberto e vista sob incidência quase normal.

Reflexões nas duas faces: quais invertem o sinal? Diferença de caminho; condição para uma cor brilhante.
Espessura da região mais fina que parece vermelha ( $\lambda = 650\,\mathrm{nm}$ ); verde ( $550\,\mathrm{nm}$ ); violeta ( $420\,\mathrm{nm}$ ).
Uma região de $600\,\mathrm{nm}$ de espessura: quais comprimentos de onda visíveis são reforçados, quais cancelados; sua cor.
Por que a película mostra faixas de cor (o que varia ao longo da estrada), e por que as faixas seguem os contornos de espessura?
A película afina por evaporação: descreva a mudança da sequência de cores num dado ponto; o que se vê quando $e \to 0$ aqui — claro ou escuro? Compare com uma película de sabão no ar.
O topo de uma película de sabão que escorre fica preto pouco antes de ela estourar: espessura ali (alguns nanômetros) e por que preto.
Vista sob incidência de $60{}^{\circ}$ : ângulo de refração no óleo, e o deslocamento dos comprimentos de onda claros da questão 11.
A partir de que espessura as cores se apagam num cinza uniforme, para a luz do dia, de comprimento de coerência cerca de $1\,\text{µ}\mathrm{m}$ ?
A luz do céu não é polarizada e chega de muitas direções: por que o padrão não se apaga como uma fonte extensa apaga as franjas de Young? (Localização sobre a película.)

Parte III — As duas coerências.

Coerência temporal: para os espelhos de Fresnel com luz de sódio, a ordem máxima visível; com um laser ( $\ell_c = 10\,\mathrm{m}$ ).
Coerência espacial: a largura máxima da fonte para os espelhos (a partir de $ab/d < \lambda/4$ ) e para as fendas de Young com $a = 1\,\mathrm{mm}$ a $L = 40\,\mathrm{cm}$ .
Explique por que a película fina tolera uma fonte extensa enquanto as fendas de Young não a toleram: esboce os dois raios da película para dois pontos-fonte diferentes e mostre que eles ainda se encontram sobre a película.
A própria linha do sódio tem $0.02\,\mathrm{nm}$ de largura: quantas franjas os espelhos podem mostrar no máximo (use $N \approx \lambda/\Delta\lambda$ )?
Um estudante substitui a lâmpada de sódio por um LED verde ( $\Delta\lambda = 30\,\mathrm{nm}$ ): número de franjas visíveis com os espelhos.
Com um laser as franjas se estendem por toda a região de superposição com contraste pleno, mas o anteparo fica "granulado": por quê?
Numa única tabela, para os espelhos e para a película: como a onda é dividida, onde as franjas ficam localizadas, o que limita seu número, e o que faz uma fonte mais larga.

Solução

Solução de Problema 19.1.

1. Cada espelho forma de $S$ , por simetria, uma imagem à distância $d$ da linha de contato; as duas imagens ficam sobre o círculo de raio $d$ , separadas pelo ângulo $2\alpha$ : $a = 2\alpha d = 2\,\mathrm{mm}$ .

2. $S_1$ e $S_2$ são duas imagens da mesma vibração: seus saltos de fase são os mesmos.

3. $i = \lambda(d + D)/a = 589 \times 10^{-9} \times 1.7/2 \times 10^{-3} = 0.50\,\mathrm{mm}$ : dez franjas ao longo de $5\,\mathrm{mm}$ .

4. $\delta = ax/(d + D) = 2.9\,\text{µ}\mathrm{m}$ na borda, $p = 5$ : muito abaixo de $\ell_c/\lambda = 34\,000$ .

5. Deslocamento das franjas $bD'/d = 20 \times 10^{-6} \times 1.7/0.2 = 0.17\,\mathrm{mm}$ , um terço de $i$ : contraste $|\operatorname{sinc}(\pi ab/\lambda d)| = \operatorname{sinc}(1.07) = 0.82$ .

6. $\pi ab/\lambda d = 5.3$ : $|\sin5.3|/5.3 = 0.16$ .

7. Amplitudes $\sqrt{0.9}$ , $\sqrt{0.8}$ : $V = 2\sqrt{0.72}/1.7 = 0.998$ .

8. $(n - 1)e = 5\,\text{µ}\mathrm{m}$ : $8.5$ franjas; acompanhadas sem dificuldade com luz de sódio; em luz branca a franja branca se desloca de $8.5i = 4.2\,\mathrm{mm}$ e continua ali (a dispersão do vidro custa uma fração de micrômetro).

9. Uma franja central branca, duas ou três franjas coloridas de cada lado, depois um branco uniforme.

10. Ar $\to$ óleo inverte, óleo $\to$ água (índice menor) não: $\delta = 2ne + \lambda/2$ ; claro para $2ne = (p + \tfrac12)\lambda$ .

11. $e = \lambda/4n$ : vermelho $112\,\mathrm{nm}$ , verde $95\,\mathrm{nm}$ , violeta $72\,\mathrm{nm}$ .

12. $2ne = 1740\,\mathrm{nm}$ : reforçados $1740/(p + \tfrac12)$ : $696$ (vermelho), $497$ (azul-esverdeado), $387\,\mathrm{nm}$ ; cancelados $1740/p$ : $580$ (amarelo), $435\,\mathrm{nm}$ : uma mistura arroxeada de vermelho e azul-esverdeado.

13. A espessura varia ao longo da estrada; cada cor é clara onde $2ne$ tem o valor certo, de modo que as faixas são contornos de igual espessura.

14. As ordens diminuem: as cores percorrem a sequência rumo à extremidade fina; em $e \to 0$ a única inversão de sinal deixa $\delta = \lambda/2$ para todas as cores: escuro — como numa película de sabão no ar.

15. Alguns nanômetros: $2ne \ll \lambda$ para todas as cores, as duas reflexões estão em oposição de fase e se cancelam: preto.

16. $\sin r = \sin60^\circ/1.45$ , $r = 37{}^{\circ}$ , $\cos r = 0.80$ : $2ne\cos r = 1390\,\mathrm{nm}$ , claro em $928$ , $557$ , $398\,\mathrm{nm}$ : o vermelho da questão 12 virou verde-amarelado — rumo ao azul.

17. Quando $2ne$ ultrapassa $\ell_c \approx 1\,\text{µ}\mathrm{m}$ , ou seja, além de uns $0.4\,\text{µ}\mathrm{m}$ de óleo, as ordens se superpõem e as cores se apagam num cinza.

18. Os dois raios refletidos pela película, para qualquer direção da fonte, se reencontram sobre a película: as franjas ficam localizadas ali, e uma fonte larga e multidirecional apenas soma padrões idênticos.

19. $\ell_c/\lambda$ : $34\,000$ com o sódio, $1.7 \times 10^7$ com o laser.

20. $b < \lambda d/4a$ : $15\,\text{µ}\mathrm{m}$ para os espelhos, $59\,\text{µ}\mathrm{m}$ para as fendas.

21. Desenhe dois pontos-fonte: para cada um, os dois raios refletidos se recombinam no mesmo ponto da película, com o mesmo $\delta = 2ne\cos r$ sob incidência quase normal; o padrão da película não se move, o de Young se move.

22. $\lambda/\Delta\lambda = 589/0.02 \approx 30\,000$ .

23. $550/30 \approx 18$ franjas.

24. A luz coerente espalhada pelos grãos do anteparo interfere com fases aleatórias no olho: o speckle.

25. Espelhos: divisão da frente de onda, franjas em toda parte (não localizadas), número limitado por $\ell_c/\lambda$ , uma fonte larga as apaga. Película: divisão da amplitude, franjas sobre a película, cores limitadas por $\ell_c \sim 1\,\text{µ}\mathrm{m}$ , uma fonte larga é inofensiva.