Física universitária — 2.º ano · Bachelor Year 2

9Eletrônica: realimentação, osciladores e aquisição de sinais

Aproxime demais um microfone do alto-falante que ele alimenta e a sala se enche de um uivo: o amplificador ouve a si mesmo, e um ruído minúsculo cresce até virar um grito numa altura bem definida. Domada, essa mesma malha é o coração de todo relógio, rádio e sintetizador — um oscilador que faz uma senoide a partir de nada além de ganho e um filtro. O volume do Ano 1 construiu amplificadores, filtros e comparadores com o amplificador operacional; este capítulo fecha a malha em torno deles, pergunta quando uma malha é estável e quando ela oscila, constrói dois osciladores — um senoidal e um quadrado — e passa então às duas operações pelas quais um sinal medido chega a um computador: a amostragem e a extração do ruído pela detecção síncrona.

Uma protoboard, um gerador de funções e um osciloscópio: a bancada em que uma malha de realimentação é fechada — e em que se descobre, quando o amplificador começa a cantar, que ele virou um oscilador.

9.1 Realimentação e estabilidade

Definição 9.1 (Malha fechada; ganho de malha)

Um amplificador de função de transferência $\underline A(\jmath\omega)$ recebe a entrada $\underline e$ mais uma fração $\underline\beta(\jmath\omega)\,\underline s$ de sua própria saída $\underline s$ (realimentação positiva; para realimentação negativa, troque o sinal de $\beta$ ). A função de transferência em malha fechada e o ganho de malha valem

\underline H = \frac{\underline s}{\underline e} = \frac{\underline A}{1 - \underline A\,\underline\beta} , \qquad \underline T = \underline A\,\underline\beta .

Teorema 9.2 (Estabilidade de uma malha linear; condição de oscilação)

Trocando $\jmath\omega$ pela variável complexa $p$ , a evolução livre da malha é governada pelas raízes de sua equação característica $1 - \underline A(p)\underline\beta(p) = 0$ (os polos de $\underline H$ ): cada raiz $p_i$ contribui com um modo $\eu^{p_it}$ . A malha é estável quando todas as raízes têm parte real negativa (todo modo se extingue); ela oscila, com amplitude crescente, quando uma raiz tem parte real positiva. A fronteira — um par de raízes puramente imaginárias $\pm\jmath \omega_0$ , ou seja, uma senoide sustentada — é atingida quando

\underline A(\jmath\omega_0)\,\underline\beta(\jmath\omega_0) = 1

(condição de Barkhausen: ganho de malha de módulo um e fase nula em $\omega_0$ ). Para um denominador de segunda ordem $ap^2 + bp + c$ a malha é estável se e só se $a$ , $b$ e $c$ têm o mesmo sinal.

Demonstração. A equação diferencial da malha obtém-se de $\underline s(1 - \underline A\underline\beta) = \underline A\underline e$ lendo cada potência de $\jmath\omega$ como uma derivada temporal; suas soluções homogêneas são as $\eu^{p_it}$ com $p_i$ as raízes do polinômio. O crescimento ou o decaimento segue o sinal de $\operatorname{Re}p_i$ ; para um polinômio de segunda ordem as raízes têm parte real negativa exatamente quando os coeficientes têm um mesmo sinal (a soma delas vale $-b/a$ e o produto $c/a$ ). A condição de Barkhausen é a existência de uma raiz em $p = \jmath\omega_0$ . ∎

Observação 9.3 (Como um oscilador parte e como ele para)

Um oscilador é projetado com ganho de malha ligeiramente maior que um em $\omega_0$ : o ruído presente na ligação contém essa frequência, que cresce exponencialmente enquanto todas as outras morrem. A teoria linear então prevê amplitude infinita; na realidade alguma não linearidade — a saturação do amplificador, ou um elemento deliberadamente não linear — baixa o ganho efetivo à medida que a amplitude cresce, até que o ganho de malha valha, em média, exatamente um: a amplitude se estabiliza. Todo oscilador real é assim uma malha linear para a frequência e uma malha não linear para a amplitude; quanto mais suave a limitação, mais pura a senoide.

9.2 O oscilador em ponte de Wien

Proposição 9.4 (Oscilador em ponte de Wien)

Um amp. op. na configuração não inversora de ganho $K = 1 + R_2/R_1$ devolve sua saída à entrada $+$ através da rede de Wien: $R$ e $C$ em série, depois $R$ e $C$ em paralelo para a terra. A função de transferência da rede vale

\underline\beta(\jmath\omega) = \frac1{3 + \jmath(RC\omega - 1/RC\omega)} ,

real e máxima ( $= 1/3$ ) em $\omega_0 = 1/RC$ . O ganho de malha $K\underline\beta$ vale um em $\omega_0$ quando $K = 3$ : o circuito sustenta então uma senoide em

f_0 = \frac1{2\pi RC} .

A tensão $v$ na entrada $+$ obedece a

\frac{\dd^2v}{\dd t^2} + \frac{3 - K}{RC}\,\frac{\dd v}{\dd t} + \frac{v}{R^2C^2} = 0 :

para $K < 3$ a oscilação morre, para $K > 3$ ela cresce (amortecimento negativo) com constante de tempo $2RC/(K - 3)$ , até que a saturação do amp. op. a limite.

Demonstração. Divisor de tensão: o ramo em série $Z_s = R + 1/\jmath C\omega$ , o ramo em paralelo $Z_p = R/(1 + \jmath RC\omega)$ ; $\underline\beta = Z_p/(Z_s + Z_p)$ , que se reduz à forma dada. Malha: $\underline v = \underline\beta K\underline v$ , ou seja, $[3 + \jmath(RC\omega - 1/RC\omega)]\underline v = K\underline v$ ; multiplique por $\jmath\omega RC$ e leia $\jmath\omega \to \dd/\dd t$ : $R^2C^2\ddot v + (3 - K)RC\dot v + v = 0$ . Seu coeficiente de amortecimento muda de sinal em $K = 3$ . ∎

À esquerda: uma malha de realimentação — a saída é reconduzida, através de , à entrada do amplificador. À direita: o oscilador em ponte de Wien — um amplificador não inversor de ganho 1 + R_2/R_1 cuja saída volta à sua entrada + pela rede RC série–paralelo; ele oscila em 1/2π RC quando o ganho chega a 3. — À esquerda: uma malha de realimentação — a saída é reconduzida, através de $\underline\beta$ , à entrada do amplificador. À direita: o oscilador em ponte de Wien — um amplificador não inversor de ganho $1 + R_2/R_1$ cuja saída volta à sua entrada $+$ pela rede $RC$ série–paralelo; ele oscila em $1/2\pi RC$ quando o ganho chega a 3.

Exemplo 9.5 (Uma fonte de 1 kHz)

$R = 15.9\,\mathrm{k}\Omega$ , $C = 10\,\mathrm{nF}$ : $f_0 = 1.00\,\mathrm{kHz}$ . Com $R_1 = 10\,\mathrm{k}\Omega$ e $R_2 = 21\,\mathrm{k}\Omega$ , $K = 3.1$ : a amplitude cresce de $\eu$ a cada $2RC/0.1 = 3.2\,\mathrm{ms}$ a partir do ruído da ligação, chegando à saturação em algumas dezenas de milissegundos; a senoide ceifada fica então rica em harmônicos. Substituir $R_1$ por uma pequena lâmpada incandescente, cuja resistência sobe ao aquecer, puxa $K$ para exatamente $3$ numa amplitude moderada: uma senoide com menos de $0.1\%$ de distorção, o circuito dos primeiros geradores de sinais de laboratório.

9.3 Comparadores com histerese; o multivibrador astável

Proposição 9.6 (Comparador com histerese)

Um amp. op. com realimentação positiva — a saída levada à entrada $+$ por um divisor $R_1$ , $R_2$ (a entrada $+$ fica então em $\beta s$ com $\beta = R_1/(R_1 + R_2)$ quando o sinal $e$ é aplicado à entrada $-$ ) — não tem regime linear estável: sua saída fica em $+V_{\text{sat}}$ ou $-V_{\text{sat}}$ e comuta

\begin{align*} &\text{de } +V_{\text{sat}} \text{ a } -V_{\text{sat}} \text{ quando } e \text{ sobe acima de } +\beta V_{\text{sat}} ,\\ &\text{de } -V_{\text{sat}} \text{ a } +V_{\text{sat}} \text{ quando } e \text{ desce abaixo de } -\beta V_{\text{sat}} . \end{align*}

Os dois limiares diferem: a histerese $2\beta V_{\text{sat}}$ torna o comparador imune a ruídos menores que ela, e seu ciclo no plano $(e, s)$ é um retângulo percorrido no sentido horário.

Demonstração. Com $s = +V_{\text{sat}}$ a entrada $+$ fica em $+\beta V_{\text{sat}}$ ; a saída permanece positiva enquanto $e < \beta V_{\text{sat}}$ , e vira quando $e$ cruza esse valor — depois do que a entrada $+$ fica em $-\beta V_{\text{sat}}$ , de modo que $e$ deve cair abaixo disso para virar de volta. (No regime linear a realimentação positiva faria crescer qualquer desvio: ela é instável.) ∎

Proposição 9.7 (Multivibrador astável)

Leve a saída do comparador com histerese de volta à sua própria entrada $-$ por um circuito $RC$ ( $R$ de $s$ à entrada $-$ , e $C$ daí para a terra). O capacitor se carrega rumo a $\pm V_{\text{sat}}$ e faz o comparador virar cada vez que atinge um limiar: uma onda quadrada em $s$ , uma onda quase triangular em $C$ , com período

T = 2RC\,\ln\frac{1 + \beta}{1 - \beta} .

Para $\beta = 1/2$ , $T = 2RC\ln3 \approx 2.2RC$ . Tais osciladores de relaxação dão o relógio de microcontroladores, piscam indicadores e geram as ondas triangulares e quadradas dos geradores de funções.

Demonstração. Com $s = +V_{\text{sat}}$ , a tensão no capacitor $v_C$ vai de $-\beta V_{\text{sat}}$ rumo a $+V_{\text{sat}}$ como $v_C = V_{\text{sat}} - (1 + \beta) V_{\text{sat}}\eu^{-t/RC}$ , e alcança $+\beta V_{\text{sat}}$ após $RC\ln[(1 + \beta) /(1 - \beta)]$ ; o comparador vira e segue-se o meio ciclo simétrico. ∎

À esquerda: o ciclo de um comparador com histerese — dois limiares, um retângulo percorrido no sentido horário. À direita: o multivibrador astável — a tensão do capacitor vai e vem entre os limiares e a saída é uma onda quadrada.

9.4 Amostrar um sinal

Teorema 9.8 (Amostragem; o critério de Nyquist–Shannon)

Um sinal é amostrado quando só se guardam seus valores $s(nT_s)$ nos instantes $nT_s$ , sendo $f_s = 1/T_s$ a taxa de amostragem. O espectro do sinal amostrado é o espectro de $s$ repetido em torno de cada múltiplo de $f_s$ . Um sinal cujo espectro está confinado abaixo de $f_{\max}$ pode ser reconstruído exatamente a partir de suas amostras se e somente se

f_s > 2f_{\max} ;

caso contrário as cópias se superpõem e uma componente em $f > f_s/2$ reaparece na frequência imagem $|f - nf_s|$ (para o inteiro $n$ que a traz abaixo de $f_s/2$ ), indistinguível de uma verdadeira componente de baixa frequência. Daí o filtro anti-aliasing colocado antes de todo amostrador: um passa-baixa que elimina tudo acima de $f_s/2$ .

Demonstração. Amostrar é multiplicar $s(t)$ por um trem periódico de pulsos estreitos de período $T_s$ , cuja série de Fourier contém todos os harmônicos $nf_s$ (volume de matemática deste ano); multiplicar $s$ por $\cos(2\pi nf_st)$ desloca seu espectro de $\pm nf_s$ — donde as cópias. Elas não se superpõem se e só se $f_{\max} < f_s - f_{\max}$ ; um passa-baixa de corte $f_s/2$ então recupera exatamente o espectro original (admitido). Aliasing: as amostras de $\cos(2\pi ft)$ e de $\cos(2\pi(f - nf_s)t)$ em $t = mT_s$ coincidem, pois $2\pi nf_smT_s = 2\pi nm$ . ∎

Exemplo 9.9 (Rodas de carroça, CDs e osciloscópios)

Um filme a $24$ imagens por segundo amostra o mundo a $24\,\mathrm{Hz}$ : uma roda com $12$ raios que gira a $2.1$ voltas por segundo apresenta um raio $25.2$ vezes por segundo, $1.2$ além de $f_s$ — ela parece girar devagar para a frente, e para trás a $1.9$ voltas por segundo. Um disco compacto amostra a $44.1\,\mathrm{kHz}$ para reproduzir som até $20\,\mathrm{kHz}$ , com um filtro anti-aliasing abrupto entre $20$ e $22\,\mathrm{kHz}$ . Um osciloscópio digital ajustado em $1\,\mathrm{MS}/\mathrm{s}$ mostra uma senoide de $999\,\mathrm{kHz}$ como uma de $1\,\mathrm{kHz}$ — a primeira armadilha da medição digital.

Aliasing: uma senoide em 0.9f_s e outra em 0.1f_s passam pelas mesmas amostras; uma vez amostradas, não podem ser distinguidas — daí o critério f_s > 2f_. — Aliasing: uma senoide em $0.9f_s$ e outra em $0.1f_s$ passam pelas mesmas amostras; uma vez amostradas, não podem ser distinguidas — daí o critério $f_s > 2f_{\max}$ .

Observação 9.10 (Quantização)

O conversor analógico-digital também arredonda cada amostra para um de $2^N$ níveis ( $N$ bits): o erro de arredondamento, no máximo meio degrau, age como um ruído de valor eficaz $\Delta/\sqrt{12}$ para um degrau $\Delta$ , e a faixa dinâmica (maior senoide sobre esse ruído) vale cerca de $6N + 2$ dB — $98\,\mathrm{dB}$ para os $16$ bits de um CD, $74\,\mathrm{dB}$ para um osciloscópio de $12$ bits. Taxa de amostragem e resolução são os dois números na etiqueta de todo digitalizador.

9.5 Detecção síncrona

Proposição 9.11 (Detecção síncrona (lock-in))

Um sinal de frequência conhecida, $s(t) = A\cos(\omega_0t + \varphi)$ , enterrado num ruído $n(t)$ de amplitude muito maior espalhado por uma banda larga, é multiplicado por uma referência $r(t) = \cos\omega_0t$ de mesma frequência e passado por um filtro passa-baixa de corte $f_c \ll f_0$ :

s(t)r(t) = \tfrac12A\cos\varphi + \tfrac12A\cos(2\omega_0t + \varphi) \ \xrightarrow{\ \text{passa-baixa}\ }\ \tfrac12A\cos\varphi .

A saída é uma tensão contínua proporcional à amplitude do sinal (e ao cosseno de sua fase em relação à referência), enquanto o ruído fica reduzido à parte de seu espectro situada a $\pm f_c$ de $f_0$ — uma largura de banda $2f_c$ que pode ser feita arbitrariamente estreita (uma fração de hertz para uma constante de tempo de filtro de alguns segundos). As componentes em outras frequências $f$ são deslocadas para $f \pm f_0$ e rejeitadas pelo filtro.

Demonstração. $\cos a\cos b = \tfrac12[\cos(a - b) + \cos(a + b)]$ ; o filtro guarda o termo de diferença para o sinal, e o termo em $2\omega_0$ e toda componente de ruído em $f$ são deslocados para $|f - f_0|$ e $f + f_0$ — só o ruído originalmente a menos de $f_c$ de $f_0$ cai abaixo de $f_c$ . ∎

Detecção síncrona: a saída do sensor, sinal mais ruído largo, é multiplicada por uma referência na própria frequência do sinal e filtrada em passa-baixa; só o ruído dentro de uma banda estreita em torno de f_0 (sombreada) sobrevive, e o sinal sai como um nível contínuo. — Detecção síncrona: a saída do sensor, sinal mais ruído largo, é multiplicada por uma referência na própria frequência do sinal e filtrada em passa-baixa; só o ruído dentro de uma banda estreita em torno de $f_0$ (sombreada) sobrevive, e o sinal sai como um nível contínuo.

Exemplo 9.12 (Achar um microvolt)

Um fotodiodo entrega $10\,\text{µ}\mathrm{V}$ de sinal quando sua luz é interrompida a $1\,\mathrm{kHz}$ , sobre $50\,\mathrm{nV}/\sqrt{\mathrm{Hz}}$ de ruído branco em $100\,\mathrm{kHz}$ ( $16\,\text{µ}\mathrm{V}$ eficazes: mais que o sinal). Depois da detecção síncrona com um filtro de constante de tempo $\tau = 1\,\mathrm{s}$ (largura de banda de ruído $1/4\tau = 0.25\,\mathrm{Hz}$ ) o ruído vale $50\,\text{nV} \times \sqrt{0.25} = 25\,\mathrm{nV}$ : uma relação sinal-ruído de $400$ — ao preço de esperar alguns segundos por ponto. O mesmo truque, sob o nome de demodulação, recupera a música de uma portadora de rádio AM e os dados de um modem.

Método 9.13 (Projetar uma cadeia de medida)

(1) Module a grandeza a medir numa frequência $f_0$ longe do ruído (interruptor óptico, ponte em alternada). (2) Amplifique com uma banda que cubra $f_0$ . (3) Detecte de modo síncrono com um filtro cuja constante de tempo seja a maior que a medida puder pagar: o ruído cai como $1/\sqrt\tau$ . (4) Amostre a saída lenta a uma taxa acima do dobro de sua banda, depois de um filtro anti-aliasing, com bits suficientes para a resolução exigida. (5) Verifique a cadeia com um sinal conhecido, e que nada nela oscile: todo amplificador com realimentação é um potencial oscilador.

9.6 Exercícios

Exercício 9.1 ★

Um oscilador em ponte de Wien com $R = 10\,\mathrm{k}\Omega$ , $C = 10\,\mathrm{nF}$ : frequência; ganho necessário; valores de $R_1$ , $R_2$ para $K = 3.05$ com $R_1 = 10\,\mathrm{k}\Omega$ ; constante de tempo do crescimento da amplitude. Que componentes fixam a frequência e quais fixam a partida?

Solução

Solução de Exercício 9.1.

$f_0 = 1/2\pi RC = 1.59\,\mathrm{kHz}$ ; $K = 3$ ; $R_2 = 2.05R_1 = 20.5\,\mathrm{k}\Omega$ ; $\tau = 2RC/(K - 3) = 4\,\mathrm{ms}$ . $R$ e $C$ fixam a frequência; $R_1$ e $R_2$ , a partida (e a limitação da amplitude).

Exercício 9.2 ★

Comparador com histerese com $V_{\text{sat}} = \pm 13\,\mathrm{V}$ , $R_1 = 1.0\,\mathrm{k}\Omega$ , $R_2 = 4.0\,\mathrm{k}\Omega$ : limiares, largura da histerese. Um sinal ruidoso que cruza o zero com $2\,\mathrm{V}$ de ruído: quantas vezes a saída comuta por cruzamento, com e sem histerese?

Solução

Solução de Exercício 9.2.

$\beta = 0.2$ : limiares $\pm2.6\,\mathrm{V}$ , histerese $5.2\,\mathrm{V}$ . Um ruído de $2\,\mathrm{V}$ não consegue recruzar um limiar a $5.2\,\mathrm{V}$ de distância: uma comutação por cruzamento; sem histerese a saída tremula muitas vezes.

Exercício 9.3 ★

Multivibrador astável com $R = 10\,\mathrm{k}\Omega$ , $C = 100\,\mathrm{nF}$ , $\beta = 0.5$ : período e frequência; $R$ para $1.0\,\mathrm{kHz}$ ; amplitude da onda triangular no capacitor; o que acontece com $T$ se $\beta$ for elevado a $0.9$ ?

Solução

Solução de Exercício 9.3.

$T = 2RC\ln3 = 2.2\,\mathrm{ms}$ , $455\,\mathrm{Hz}$ ; $R = 4.55\,\mathrm{k}\Omega$ para $1\,\mathrm{kHz}$ ; triangular entre $\pm\beta V_{\text{sat}}$ ; com $\beta = 0.9$ : $T = 2RC\ln19 = 5.9\,\mathrm{ms}$ , $2.7$ vezes mais longo.

Exercício 9.4 ★

(a) Um CD amostra a $44.1\,\mathrm{kHz}$ : frequência máxima reproduzida. (b) Um ultrassom de $30\,\mathrm{kHz}$ vaza para a gravação: em que frequência ele aparece? (c) Uma roda de $8$ raios filmada a $25\,\mathrm{imagens}/\mathrm{s}$ gira a $3.2$ voltas/s: movimento aparente. (d) Um osciloscópio a $10\,\mathrm{MS}/\mathrm{s}$ mostra uma senoide limpa de $100\,\mathrm{kHz}$ ; que outras frequências o sinal verdadeiro poderia ter?

Solução

Solução de Exercício 9.4.

(a) $22.05\,\mathrm{kHz}$ . (b) $|30 - 44.1| = 14.1\,\mathrm{kHz}$ . (c) Raios a $8 \times 3.2 = 25.6\,\mathrm{Hz}$ , imagem em $0.6\,\mathrm{Hz}$ : a roda parece arrastar-se para a frente a $0.075$ volta/s. (d) $100\,\mathrm{kHz} + n \times 10\,\mathrm{MHz}$ , ou $n \times 10\,\mathrm{MHz} - 100\,\mathrm{kHz}$ : $9.9$ , $10.1$ , $19.9$ , $20.1\,\mathrm{MHz}$ , …

Exercício 9.5 ★★

Malhas de polinômios característicos (a) $p^2 + 3p + 2$ , (b) $p^2 - p + 4$ , (c) $p^2 + 4$ , (d) $p^3 + 2p^2 + 2p + 1$ , (e) $p^3 + p + 1$ : ache ou discuta as raízes; que malhas são estáveis, quais oscilam, quais crescem? (Para as cúbicas, raciocine sobre o sinal das partes reais: por exemplo, mostre que (e) tem uma raiz real negativa e duas raízes complexas com parte real positiva, usando o produto e a soma das raízes.)

Solução

Solução de Exercício 9.5.

(a) $-1$ , $-2$ : estável. (b) $(1 \pm \iu\sqrt{15})/2$ : oscilação crescente. (c) $\pm2\iu$ : oscilação sustentada. (d) $(p + 1)(p^2 + p + 1)$ : $-1$ e $(-1 \pm \iu\sqrt3)/2$ : estável. (e) Uma raiz real perto de $-0.68$ (o polinômio é monótono); a soma das três raízes vale $0$ , de modo que o par complexo tem parte real $+0.34$ : instável.

Exercício 9.6 ★★

Rede de Wien. (a) Deduza $\underline\beta(\jmath\omega)$ a partir do divisor. (b) Esboce seu módulo e sua fase; mostre que a fase só é nula em $\omega_0$ e que o módulo vale então $1/3$ . (c) Escreva a equação diferencial da malha para um ganho $K$ e discuta $K < 3$ , $K = 3$ , $K > 3$ . (d) Com $K = 3.2$ , partindo de um ruído de $1\,\mathrm{mV}$ , quanto tempo até a amplitude chegar a $10\,\mathrm{V}$ ? Por que a amplitude final não depende do ruído inicial?

Solução

Solução de Exercício 9.6.

(a) $\underline\beta = Z_p/(Z_s + Z_p)$ com $Z_s = R + 1/\jmath C\omega$ , $Z_p = R/(1 + \jmath RC\omega)$ : $\underline\beta = 1/[3 + \jmath(RC\omega - 1/RC\omega)]$ . (b) Módulo $1/\sqrt{9 + (RC\omega - 1/RC\omega)^2}$ , máximo $1/3$ em $\omega_0$ ; fase $-\arctan [(RC\omega - 1/RC\omega)/3]$ , nula só em $\omega_0$ . (c) $R^2C^2\ddot v + (3 - K)RC \dot v + v = 0$ : amortecida, sustentada, crescente. (d) Constante de tempo de crescimento $2RC/0.2 = 10RC = 1.6\,\mathrm{ms}$ ; $\ln10^4 = 9.2$ constantes: $15\,\mathrm{ms}$ . A amplitude final é fixada pela não linearidade (saturação), e não pela semente, que só determina o atraso.

Exercício 9.7 ★★

Gerador de triangular. Um integrador (amp. op., $R$ , $C$ ) é alimentado pela saída quadrada $\pm V_{\text{sat}}$ de um comparador com histerese cuja entrada é a saída do integrador; os limiares do comparador valem $\pm V_{\text{sat}}R_1/R_2$ . (a) Mostre que a saída do integrador é uma triangular; sua inclinação. (b) Período $T = 4RCR_1/R_2$ . (c) Números: $R = 10\,\mathrm{k}\Omega$ , $C = 10\,\mathrm{nF}$ , $R_1/R_2 = 0.5$ . (d) Vantagem sobre o astável simples num gerador de funções.

Solução

Solução de Exercício 9.7.

(a) A saída do integrador tem inclinação $\mp V_{\text{sat}}/RC$ : uma triangular. (b) Cada rampa percorre $2V_{\text{sat}}R_1/R_2$ com inclinação $V_{\text{sat}}/RC$ : $T = 4RCR_1/R_2$ . (c) $4 \times 10^{-4} \times 0.5 = 0.2\,\mathrm{ms}$ , $5\,\mathrm{kHz}$ . (d) Uma triangular exatamente linear, frequência proporcional a $1/R$ (fácil de varrer), e saídas quadrada e triangular de um só circuito.

Exercício 9.8 ★★

Quantização. (a) Um conversor de $16$ bits em $\pm1\,\mathrm{V}$ : degrau, ruído de quantização eficaz, faixa dinâmica em dB. (b) $12$ bits a $1\,\mathrm{MS}/\mathrm{s}$ : taxa de bits; o mesmo para $8$ bits a $1\,\mathrm{GS}/\mathrm{s}$ (um osciloscópio rápido). (c) Um sinal de $1\,\mathrm{mV}$ no conversor de $16$ bits: quantos degraus? O que fazer antes do conversor? (d) Por que um bom sistema de áudio faz dither (acrescenta um pouco de ruído) antes de quantizar?

Solução

Solução de Exercício 9.8.

(a) $\Delta = 2/65536 = 30.5\,\text{µ}\mathrm{V}$ , ruído $\Delta/\sqrt{12} = 8.8\,\text{µ}\mathrm{V}$ , $98\,\mathrm{dB}$ . (b) $12\,\mathrm{Mbit}/\mathrm{s}$ ; $8\,\mathrm{Gbit}/\mathrm{s}$ . (c) $33$ degraus: amplifique por $100$ ou mais antes. (d) O dither transforma o erro de arredondamento, correlacionado com o sinal (distorção), num ruído descorrelacionado e inofensivo.

Exercício 9.9 ★★

Um sinal contém componentes de $1.0\,\mathrm{kHz}$ e $9.0\,\mathrm{kHz}$ e é amostrado a $10\,\mathrm{kS}/\mathrm{s}$ . (a) Onde aparece cada uma? (b) Acrescenta-se um filtro anti-aliasing $RC$ de primeira ordem com $f_c = 2\,\mathrm{kHz}$ : atenuação a $9\,\mathrm{kHz}$ em dB; basta, se se quer $40\,\mathrm{dB}$ ? (c) Ordem do filtro necessária (atenuação $\approx 20n$ dB por década); ou, alternativamente, taxa de amostragem necessária com o filtro de primeira ordem. (d) Por que os conversores modernos superamostram e filtram digitalmente?

Solução

Solução de Exercício 9.9.

(a) Ambas em $1\,\mathrm{kHz}$ . (b) $|H| = 1/\sqrt{1 + 4.5^2} = 0.22$ , $-13\,\mathrm{dB}$ : não. (c) $13\,\mathrm{dB} \times n \ge 40$ : terceira ou quarta ordem; ou uma taxa de amostragem tal que o filtro de primeira ordem dê $40\,\mathrm{dB}$ em $f_s - 1\,\mathrm{kHz}$ , ou seja, em $100f_c = 200\,\mathrm{kHz}$ : $f_s \approx 400\,\mathrm{kS}/\mathrm{s}$ . (d) A superamostragem empurra a banda das imagens bem para cima, onde um filtro analógico suave basta; a filtragem abrupta é então feita digitalmente antes da decimação.

Exercício 9.10 ★★★

Lock-in. Entrada $A\cos(\omega_0t + \varphi) + n(t)$ multiplicada por $\cos\omega_0t$ e filtrada por um passa-baixa de primeira ordem de constante de tempo $\tau$ . (a) Saída contínua. (b) Mostre que uma componente de ruído em $f = f_0 + \delta f$ dá, depois do filtro, uma amplitude reduzida por $1/\sqrt{1 + (2\pi\delta f\tau)^2}$ ; deduza a largura de banda equivalente de ruído $B = 1/4\tau$ (admita $\int_0^\infty \dd x/(1 + x^2) = \pi/2$ ). (c) Um sinal de $1\,\text{µ}\mathrm{V}$ em $1\,\mathrm{mV}$ eficazes de ruído branco em $10\,\mathrm{kHz}$ : densidade de ruído; $\tau$ para uma relação sinal-ruído de $10$ ; tempo de medida. (d) Uma captação de rede de $50\,\mathrm{Hz}$ e $1\,\mathrm{mV}$ polui a entrada, com $f_0 = 1\,\mathrm{kHz}$ : para onde ela vai, e de quanto é atenuada para $\tau = 1\,\mathrm{s}$ ?

Solução

Solução de Exercício 9.10.

(a) $\tfrac12A\cos\varphi$ . (b) A componente em $f_0 + \delta f$ cai em $\delta f$ e passa pelo filtro com $|H| = 1/\sqrt{1 + (2\pi\delta f\tau)^2}$ ; a transmissão em potência integra-se em $\int_0^\infty\dd f/(1 + (2\pi f\tau)^2) = 1/4\tau$ . (c) $e_n = 1\,\text{mV}/\sqrt{10^4} = 10\,\text{µ}\mathrm{V}/\sqrt{\mathrm{Hz}}$ ; $e_n\sqrt B = 0.1\,\text{µ}\mathrm{V}$ exige $B = 1 \times 10^{-4}\,\mathrm{Hz}$ , $\tau = 2500\,\mathrm{s}$ : uma hora por ponto. (d) Para $950$ e $1050\,\mathrm{Hz}$ , atenuada por $1/2\pi \times 950 \approx 1.7 \times 10^{-4}$ ( $-75\,\mathrm{dB}$ ).

Exercício 9.11 ★★★

Quartzo. Um cristal de quartzo comporta-se, perto de sua ressonância, como um ramo série $L$ , $C$ , $r$ ( $L = 8000\,\mathrm{H}$ , $C = 3.0\,\mathrm{fF}$ , $r = 30\,\mathrm{k}\Omega$ ) em paralelo com $C_0 = 1.5\,\mathrm{pF}$ . (a) Frequência de ressonância série e fator de qualidade $Q = L\omega_0/r$ . (b) Por que um oscilador construído em torno dele mantém sua frequência com uma parte em $10^6$ , enquanto a ponte de Wien deriva por cento (pense na inclinação de fase $\dd\varphi/\dd\omega$ da rede de realimentação perto da ressonância, $\sim 2Q/\omega_0$ )? (c) Um cristal de relógio a $32\,768\,\mathrm{Hz}$ é dividido por $2^{15}$ : resultado; sua frequência varia como $-0.04\,\text{ppm}\,(T - 25{}^{\circ}\mathrm{C})^2$ : erro por mês a $5{}^{\circ}\mathrm{C}$ . (d) Por que se escolhe $32\,768\,\mathrm{Hz}$ e não $1\,\mathrm{MHz}$ ?

Solução

Solução de Exercício 9.11.

(a) $f_0 = 1/2\pi\sqrt{LC} = 32.5\,\mathrm{kHz}$ ; $Q = L\omega_0/r = 5.4 \times 10^{4}\,$ . (b) Perto da ressonância a fase da realimentação gira de $2Q/\omega_0$ por unidade de $\omega$ : um desvio de fase parasita $\delta\varphi$ desloca a frequência de $\delta\omega/\omega_0 = \delta\varphi/2Q$ — $10^{-6}$ para $Q = 10^5$ , por cento para $Q = 1/3$ . (c) $1\,\mathrm{Hz}$ ; $-0.04 \times 400 = -16\,\mathrm{ppm}$ : $16 \times 10^{-6} \times 2.6 \times 10^6 = 41\,\mathrm{s}$ de atraso por mês. (d) Frequência baixa significa pouca potência na lógica de divisão, $2^{15}$ divide exatamente até $1\,\mathrm{Hz}$ , e o minúsculo cristal em diapasão cabe num relógio.

Exercício 9.12 ★★★

Resistência negativa. Um amp. op. tem $R_2$ da saída à entrada $-$ , $R_1$ da entrada $-$ à terra e $R$ da saída à entrada $+$ ; estuda-se o dipolo visto entre a entrada $+$ e a terra (regime linear). (a) Mostre que ele se comporta como uma resistência $-RR_1/R_2$ . (b) Esse dipolo é ligado a um circuito $LC$ paralelo de resistência de perdas $R_p$ (em paralelo): escreva a equação da tensão e ache a condição de oscilação sustentada e a frequência. (c) Números: $L = 10\,\mathrm{mH}$ , $C = 100\,\mathrm{nF}$ , $R_p = 50\,\mathrm{k}\Omega$ ; escolha $R$ , com $R_1 = R_2$ . (d) O que limita a amplitude, e como esse oscilador se compara com a ponte de Wien?

Solução

Solução de Exercício 9.12.

(a) $v_- = v_+ = v$ , $v_{\text{out}} = v(1 + R_2/R_1)$ ; a corrente que entra no dipolo, $i = (v - v_{\text{out}})/R = -vR_2/RR_1$ : $v/i = -RR_1/R_2$ . (b) $C\dot v + v(1/R_p - R_2/RR_1) + \frac1L\int v\,\dd t = 0$ : sustentada quando $R = R_pR_2/R_1$ , em $\omega = 1/\sqrt{LC}$ (crescente para $R$ menor). (c) $f = 5.0\,\mathrm{kHz}$ , $R \lesssim 50\,\mathrm{k}\Omega$ (digamos $48\,\mathrm{k}\Omega$ ). (d) A saturação; o $Q = R_p \sqrt{C/L} = 160$ do tanque dá uma frequência bem mais estável que a rede de Wien.

9.7 Problema: Uma cadeia de medida com lock-in

Problema 9.1

Problema de fim de semana — do oscilador de referência ao resultado digitalizado: medir dez microvolts de sinal luminoso sob um milivolt de ruído

Uma luz fraca deve ser medida com um fotodiodo. A luz é interrompida por uma roda giratória a $f_0 = 1.00\,\mathrm{kHz}$ , de modo que a saída do fotodiodo é uma senoide de amplitude $A = 10\,\text{µ}\mathrm{V}$ em $f_0$ (depois de um primeiro amplificador), sobre a qual cavalga um ruído branco de densidade espectral $e_n = 50\,\mathrm{nV}/\sqrt{\mathrm{Hz}}$ numa banda de $100\,\mathrm{kHz}$ , mais uma captação de rede de $50\,\mathrm{Hz}$ e $1.0\,\mathrm{mV}$ . A frequência do interruptor óptico é fixada por um oscilador em ponte de Wien.

Parte I — O oscilador de referência. Ponte de Wien com $C = 10\,\mathrm{nF}$ , amp. op. saturando em $\pm12\,\mathrm{V}$ .

$R$ para $f_0 = 1.00\,\mathrm{kHz}$ .
Deduza a função de transferência da rede de Wien e verifique que sua fase se anula em $f_0$ com módulo $1/3$ .
Escreva a equação diferencial da malha para um ganho $K$ ; para $K = 3.15$ , tempo para a amplitude crescer por um fator $1000$ .
A amplitude acaba limitada pela saturação: descreva a forma de onda e por que seus harmônicos importam numa referência.
Um termistor no lugar de $R_1$ (resistência que cai quando ele aquece) ou uma lâmpada (que sobe): qual deles estabiliza o ganho em 3, e como?
Os capacitores derivam $+1\%$ com a temperatura: nova frequência. Por que o interruptor óptico ainda funciona para a medida (o que a referência precisa fazer)?
A rede de Wien tem fator de qualidade da ordem de $1/3$ : o que isso implica para a pureza da frequência, em comparação com um quartzo ( $Q \sim 10^5$ )?

Parte II — O sinal e o ruído.

Valor eficaz do ruído branco em toda a banda de $100\,\mathrm{kHz}$ ; relação sinal-ruído na saída do amplificador.
Insere-se um filtro passa-faixa de fator de qualidade $Q = 10$ centrado em $f_0$ (banda de ruído $\approx f_0/Q$ ): valor eficaz do ruído e relação sinal-ruído. Por que isso não basta para uma medida precisa (pense nas derivas e nos $50\,\mathrm{Hz}$ )?
Por que interromper a luz a $1\,\mathrm{kHz}$ em vez de medir a fotocorrente contínua diretamente? (Os amplificadores têm ruído " $1/f$ " que cresce abaixo de algumas centenas de hertz.)
Amplitude do sinal se a roda produzir uma modulação quadrada em vez de senoidal: que harmônico o lock-in guarda, e com que amplitude (coeficiente de Fourier $4/\pi$ para o fundamental de uma onda quadrada de amplitude unitária)?
O fotodiodo também recebe a luz da sala a $100\,\mathrm{Hz}$ (lâmpadas fluorescentes): o que a cadeia faz com ela?

Parte III — Detecção síncrona. O sinal amplificado é multiplicado pela referência $\cos(2\pi f_0t)$ e filtrado por um passa-baixa de primeira ordem de constante de tempo $\tau$ .

Saída do multiplicador para o sinal sozinho (fase $\varphi$ entre sinal e referência); o termo contínuo.
Atenuação do termo em $2f_0$ pelo filtro para $\tau = 1\,\mathrm{s}$ (em dB).
Largura de banda equivalente de ruído $1/4\tau$ ; ruído eficaz na saída para $\tau = 1\,\mathrm{s}$ e a relação sinal-ruído; o mesmo para $\tau = 10\,\mathrm{s}$ .
Onde vai parar a captação de $50\,\mathrm{Hz}$ , e com que atenuação para $\tau = 1\,\mathrm{s}$ ?
A fase $\varphi$ é desconhecida: o que se perde se $\varphi = 60{}^{\circ}$ ? Descreva o lock-in de dois canais (em fase e em quadratura) e como ele recupera $A$ seja qual for $\varphi$ .
Tempo de resposta da medida (tempo para chegar a $99\%$ do valor final) para $\tau = 1\,\mathrm{s}$ ; o compromisso que ele exprime.
A referência deriva para $1001\,\mathrm{Hz}$ enquanto o interruptor fica em $1000\,\mathrm{Hz}$ : saída do lock-in; por que a referência deve ser tirada do próprio interruptor.

Parte IV — Digitalizar.

A saída do lock-in é amostrada por um computador: taxa mínima para $\tau = 1\,\mathrm{s}$ (tome a banda de saída como $1/2\pi\tau$ ); uma escolha confortável.
Como alternativa, digitaliza-se o sinal bruto de $1\,\mathrm{kHz}$ e faz-se a detecção por software: taxa mínima de amostragem; o ruído vai até $100\,\mathrm{kHz}$ — o que se deve fazer antes de amostrar, e que atenuação a $100\,\mathrm{kHz}$ dá uma amostragem a $20\,\mathrm{kS}/\mathrm{s}$ com um filtro de quarta ordem cortado em $5\,\mathrm{kHz}$ ( $80\,\mathrm{dB}$ por década)?
Um conversor de $16$ bits em $\pm1\,\mathrm{V}$ : degrau; o sinal de $10\,\text{µ}\mathrm{V}$ amplificado por $1000$ : quantos degraus, e o ruído ajuda ou atrapalha?
Lock-in digital: o computador multiplica cada amostra por $\cos(2\pi f_0nT_s)$ e faz a média de $N$ amostras. A $20\,\mathrm{kS}/\mathrm{s}$ , $N$ para uma média de $1\,\mathrm{s}$ ; por que fator o ruído branco é reduzido, e é o mesmo do filtro analógico?
Um sinal de $1\,\mathrm{kHz}$ amostrado a $999\,\mathrm{S}/\mathrm{s}$ : o que o computador vê? Como isso se relaciona com o próprio princípio do lock-in?
Resuma a cadeia numa tabela: cada estágio, o que ele faz com o sinal e o que ele faz com o ruído.

Solução

Solução de Problema 9.1.

1. $R = 1/2\pi f_0C = 15.9\,\mathrm{k}\Omega$ .

2. $\underline\beta = 1/[3 + \jmath(RC\omega - 1/RC\omega)]$ : real, $= 1/3$ , em $\omega_0 = 1/RC$ .

3. $R^2C^2\ddot v + (3 - K)RC\dot v + v = 0$ ; constante de tempo $2RC/0.15 = 2.1\,\mathrm{ms}$ ; $\ln1000 = 6.9$ : $15\,\mathrm{ms}$ .

4. Uma senoide de topos achatados: harmônicos ímpares. Uma referência rica em harmônicos detecta também os harmônicos do sinal (e o ruído ali): o resultado deixa de medir apenas o fundamental.

5. A lâmpada: quando a amplitude sobe ela aquece, $R_1$ sobe e $K = 1 + R_2/R_1$ cai para $3$ . Um termistor no lugar de $R_1$ faria o contrário (ele cabe no lugar de $R_2$ ).

6. $f \propto 1/C$ : $990\,\mathrm{Hz}$ . A referência do lock-in é tirada do próprio interruptor óptico (um detector na roda), de modo que ela acompanha.

7. $Q \sim 1/3$ : um pequeno desvio de fase em qualquer ponto da malha desloca a frequência por cento; o $10^5$ de um quartzo a mantém em $10^{-6}$ .

8. $50\,\text{nV} \times \sqrt{10^5} = 16\,\text{µ}\mathrm{V}$ eficazes: relação sinal-ruído $0.6$ .

9. $B = 100\,\mathrm{Hz}$ : $0.5\,\text{µ}\mathrm{V}$ , relação $20$ — mas o centro do filtro deriva com seus componentes, e a captação de $50\,\mathrm{Hz}$ só é atenuada por $\sim 1/[Q(f_0/f - f/f_0)] = 0.005$ : $5\,\text{µ}\mathrm{V}$ , metade do sinal.

10. Abaixo de algumas centenas de hertz o ruído $1/f$ e as derivas do amplificador dominam; a $1\,\mathrm{kHz}$ o piso de ruído é branco e baixo, e os desvios de zero não contam.

11. Uma modulação quadrada entre $0$ e $A_0$ vale $A_0/2 + (2A_0/\pi) \cos\omega_0t + \dots$ : o lock-in guarda o fundamental, $0.64A_0$ .

12. Os $100\,\mathrm{Hz}$ são misturados para $900$ e $1100\,\mathrm{Hz}$ e eliminados pelo passa-baixa.

13. $\tfrac12A\cos\varphi + \tfrac12A\cos(2\omega_0t + \varphi)$ ; termo contínuo $\tfrac12A\cos\varphi$ .

14. $1/2\pi f\tau = 1/2\pi \times 2000 = 8 \times 10^{-5}$ : $-82\,\mathrm{dB}$ .

15. $B = 1/4\tau = 0.25\,\mathrm{Hz}$ : $e_n\sqrt B = 25\,\mathrm{nV}$ contra $A = 10\,\text{µ}\mathrm{V}$ : relação $400$ ; com $\tau = 10\,\mathrm{s}$ : $7.9\,\mathrm{nV}$ , relação $1300$ .

16. Para $950$ e $1050\,\mathrm{Hz}$ : atenuada por $1/2\pi \times 950 = 1.7 \times 10^{-4}$ ( $-75\,\mathrm{dB}$ ): $0.17\,\text{µ}\mathrm{V}$ de ondulação, um décimo do sinal — ainda vale um filtro rejeita-faixa a montante.

17. $\cos60^\circ = 0.5$ : metade do sinal. Um segundo multiplicador com a referência defasada de $90{}^{\circ}$ dá $Y = \tfrac12A\sin\varphi$ ; com $X = \tfrac12A\cos\varphi$ , $A = 2\sqrt{X^2 + Y^2}$ e $\varphi = \arctan(Y/X)$ , seja qual for $\varphi$ .

18. $\tau\ln100 = 4.6\,\mathrm{s}$ ; o ruído cai como $1/\sqrt\tau$ , e o tempo de medida cresce como $\tau$ .

19. O termo de diferença vale $\tfrac12A\cos(2\pi \times 1\,\text{Hz}\,t + \varphi)$ , passado pelo filtro com $1/\sqrt{1 + (2\pi)^2} = 0.16$ : uma oscilação lenta em vez de um nível. A referência deve ser coerente com o sinal: tire-a do interruptor.

20. Banda $1/2\pi\tau = 0.16\,\mathrm{Hz}$ : acima de $0.32\,\mathrm{S}/\mathrm{s}$ ; $10\,\mathrm{S}/\mathrm{s}$ é confortável.

21. Pelo menos $2\,\mathrm{kS}/\mathrm{s}$ ; filtro anti-aliasing obrigatório; quarta ordem a $5\,\mathrm{kHz}$ : $80\log_{10}(100/5) = 104\,\mathrm{dB}$ a $100\,\mathrm{kHz}$ (e $46\,\mathrm{dB}$ a $19\,\mathrm{kHz}$ , o ruído que cairia sobre $1\,\mathrm{kHz}$ ).

22. Degrau de $30.5\,\text{µ}\mathrm{V}$ ; $10\,\mathrm{mV}$ são $330$ degraus; o ruído amplificado ( $16\,\mathrm{mV}$ eficazes) cobre muitos degraus e, na média, permite resolver o valor médio bem abaixo de um degrau: ele ajuda.

23. $N = 20000$ ; o ruído branco cai por $\sqrt N = 140$ ; uma média retangular de $1\,\mathrm{s}$ tem banda de ruído $1/2T = 0.5\,\mathrm{Hz}$ — o dobro da do $RC$ analógico, comparável.

24. As amostras caminham lentamente pela senoide: uma imagem em $1\,\mathrm{Hz}$ . O lock-in faz o mesmo de propósito: amostrar na fase da referência é multiplicar pela referência.

25. Interruptor óptico: sinal levado a $1\,\mathrm{kHz}$ , ruído inalterado (mas a parte em $1/f$ evitada). Amplificador: ambos $\times$ ganho. Multiplicador: sinal para contínua, ruído espalhado. Passa-baixa: sinal guardado, ruído cortado a $1/4\tau$ . Amostrador/ADC: sinal digitalizado, com imagens e quantização controladas pelo filtro e pelo número de bits.

Termos definidos neste capítulo

Malha fechada; ganho de malha

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