Physics · Livro 4 · Bachelor Year 2

Física universitária — 2.º ano

Física universitária — 2.º ano · Bachelor Year 2

10Cargas, correntes e condução

Acione o interruptor e a lâmpada acende no ato; e no entanto os elétrons no fio de cobre derivam em direção a ela a uma fração de milímetro por segundo, e levariam horas para chegar. Um raio conduz trinta mil ampères por um canal da largura de um dedo; o nervo que move esse dedo conduz picoampères. O volume do Ano 1 tratou as correntes como números em fios, I=U/RI = U/R; este capítulo as descreve como um campo — uma densidade de corrente em cada ponto da matéria —, escreve a lei segundo a qual a carga nunca é criada nem destruída, e deduz a lei de Ohm do vaivém dos elétrons num metal: o quadro microscópico por trás do resistor, do fusível e do sensor Hall.

O cobre, o condutor do mundo elétrico: nos fios deste cabo cerca de 1029 elétrons por metro cúbico derivam a uma fração de milímetro por segundo.
O cobre, o condutor do mundo elétrico: nos fios deste cabo cerca de 102910^{29} elétrons por metro cúbico derivam a uma fração de milímetro por segundo.

10.1 Densidades de carga e de corrente

Definição 10.1 (Densidade de carga; densidade de corrente)

Na escala mesoscópica, a matéria carrega uma densidade volumétrica de carga ρ(M,t)\rho(M, t) (C/m3\mathrm{C}/\mathrm{m}^{3}): a carga ρ  ⁣dτ\rho\,\dd\tau em  ⁣dτ\dd\tau. Uma superfície pode carregar uma densidade superficial σ\sigma (C/m2\mathrm{C}/\mathrm{m}^{2}), e um fio uma densidade linear λ\lambda (C/m\mathrm{C}/\mathrm{m}). Se os portadores da espécie ii (carga qiq_i, densidade numérica nin_i) se movem com velocidade média v→i\vect v_i, a densidade de corrente vale

j→=∑iniqi v→i(A/m2),\vect j = \sum_in_iq_i\,\vect v_i \qquad (\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}) ,

e a intensidade através de uma superfície orientada SS é o fluxo I=∬Sj→⋅n→  ⁣dSI = \iint_S\vect j\cdot\vect n\,\dd S: a carga que atravessa SS por unidade de tempo. Para uma única espécie, j→=ρmv→\vect j = \rho_m\vect v com ρm=nq\rho_m = nq a densidade de carga móvel.

Demonstração. Em  ⁣dt\dd t os portadores da espécie ii que atravessam  ⁣dS\dd S são os que estão no cilindro oblíquo de base  ⁣dS\dd S e geratriz v→i ⁣dt\vect v_i\dd t: em número niv→i⋅n→  ⁣dS  ⁣dtn_i\vect v_i\cdot\vect n\,\dd S\,\dd t, com carga qiq_i vezes isso. ∎

Exemplo 10.2 (Como os elétrons derivam devagar)

O cobre tem um elétron de condução por átomo: n=ρCuNA/M=8900×6.02×1023/0.0635=8.5×1028 m−3n = \rho_{\text{Cu}}N_A/M = 8900 \times 6.02 \times 10^{23}/0.0635 = 8.5 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}. Uma corrente de 10 A10\,\mathrm{A} num fio de 1.5 mm21.5\,\mathrm{mm}^{2} dá j=6.7×106 A/m2j = 6.7 \times 10^{6}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}, e a velocidade de deriva vale v=j/ne=6.7×106/(8.5×1028×1.6×10−19)=0.5 mm/sv = j/ne = 6.7 \times 10^6/(8.5 \times 10^{28} \times 1.6 \times 10^{-19}) = 0.5\,\mathrm{mm}/\mathrm{s} — duas horas por metro. A lâmpada acende no ato porque o campo que empurra os elétrons se estabelece ao longo de todo o fio em nanossegundos (ele viaja quase à velocidade da luz, como mostrou o cabo do Capítulo 8): todos os elétrons partem juntos, como a água numa mangueira cheia.

À esquerda: um tubo de corrente — em regime estacionário a mesma intensidade atravessa toda seção. À direita: um elétron num metal ziguezagueia entre colisões a cerca de 106 m/s; o campo acrescenta uma lenta deriva, oposta a E, de uma fração de milímetro por segundo.
À esquerda: um tubo de corrente — em regime estacionário a mesma intensidade atravessa toda seção. À direita: um elétron num metal ziguezagueia entre colisões a cerca de 10610^6 m/s; o campo acrescenta uma lenta deriva, oposta a E→\vect E, de uma fração de milímetro por segundo.

Exemplo 10.3 (Ordens de grandeza)

Um raio, 30 kA30\,\mathrm{kA} num canal de 1 cm1\,\mathrm{cm} de raio: j≈1×108 A/m2j \approx 1 \times 10^{8}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}. Um fio doméstico: 10610^6–10710^7. Um feixe de elétrons num tubo de raios catódicos, 1 mA1\,\mathrm{mA} em 1 mm21\,\mathrm{mm}^{2}: 10310^3. Uma fibra nervosa, 1 nA1\,\mathrm{nA} em 10 µm210\,\text{µ}\mathrm{m}^{2}: 10210^2. O feixe de um acelerador de partículas, 1 A1\,\mathrm{A} numa mancha de 0.1 mm20.1\,\mathrm{mm}^{2}: 10710^7 — no vácuo, sem colisão alguma.

10.2 Conservação da carga

Teorema 10.4 (Conservação local da carga)

Em cada ponto,

∂ρ∂t+div⁡j→=0;\frac{\partial\rho}{\partial t} + \operatorname{div}\vect j = 0 ;

integrada num volume fixo VV limitado pela superfície fechada Σ\Sigma,  ⁣dQV/ ⁣dt=−Isai\dd Q_V/\dd t = -I_{\text{sai}}: a carga interna só varia pelo que atravessa a fronteira. Num regime estacionário (∂tρ=0\partial_t\rho = 0), div⁡j→=0\operatorname{div}\vect j = 0: o fluxo de j→\vect j se conserva ao longo de um tubo de corrente, a mesma intensidade atravessa toda seção de um fio e as correntes que entram num nó igualam as que saem (lei dos nós de Kirchhoff).

Demonstração. Palavra por palavra o balanço de massa de Teorema 2.8, com ρ\rho a densidade de carga e j→\vect j sua corrente: a saída líquida de carga pelas seis faces de uma caixa fixa, por unidade de volume, vale div⁡j→\operatorname{div}\vect j, e nenhuma carga é criada. A forma integral soma as caixas (as faces interiores se cancelam). Para um tubo entre duas seções S1S_1, S2S_2 sem fluxo lateral, I1=I2I_1 = I_2; um nó é um volume pequeno com vários fios: ∑Ient=∑Isai\sum I_{\text{ent}} = \sum I_{\text{sai}}. ∎

Observação 10.5 (Onde a corrente para: o capacitor)

Um fio que alimenta a placa de um capacitor é um tubo de corrente que termina: o fluxo de j→\vect j para dentro da placa vale I= ⁣dQ/ ⁣dtI = \dd Q/\dd t, e carga se acumula — div⁡j→≠0\operatorname{div}\vect j \ne 0 ali, e o regime não é estacionário. E, no entanto, a mesma corrente II circula no fio do outro lado: algo deve levar o balanço através do vão. O Capítulo 11 lhe dá nome — a corrente de deslocamento — e faz da conservação da carga a pedra angular das equações de Maxwell.

10.3 O modelo de Drude e a lei de Ohm

Proposição 10.6 (Modelo de Drude; lei de Ohm local)

Modele os elétrons de condução de um metal como partículas livres (massa mm, carga −e-e, densidade nn) que sentem o campo E→\vect E e, em média, perdem sua quantidade de movimento de deriva por colisões com a rede a cada τ\tau segundos — uma força de atrito −mv→/τ-m\vect v/\tau sobre a velocidade média:

m ⁣dv→ ⁣dt=−eE→−mτv→.m\frac{\dd\vect v}{\dd t} = -e\vect E - \frac m\tau\vect v .

Num campo constante a deriva se estabelece, em alguns τ\tau, em v→=−eτE→/m\vect v = -e\tau \vect E/m, e a densidade de corrente vale

j→=γ E→,γ=ne2τm:\vect j = \gamma\,\vect E , \qquad \gamma = \frac{ne^2\tau}{m} :

a lei de Ohm local, com γ\gamma a condutividade (S/m\mathrm{S}/\mathrm{m}; seu inverso ρe=1/γ\rho_e = 1/\gamma é a resistividade, Ω m\Omega\,\mathrm{m}). A razão μ=eτ/m\mu = e\tau/m entre a celeridade de deriva e o campo é a mobilidade (m2/(V s)\mathrm{m}^{2}/(\mathrm{V}\,\mathrm{s})). Para um condutor de comprimento LL e seção uniforme SS percorrido por um j→\vect j uniforme, integrar E=j/γE = j/\gamma ao longo do comprimento dá U=EL=(L/γS)IU = EL = (L/\gamma S)I: a resistência R=L/γS=ρeL/SR = L/\gamma S = \rho_eL/S do volume do Ano 1.

Demonstração. Com v→=−eτE→/m\vect v = -e\tau\vect E/m, j→=−nev→=(ne2τ/m)E→\vect j = -ne\vect v = (ne^2\tau/m)\vect E. O transitório v→(t)=v→∞(1−e−t/τ)\vect v(t) = \vect v_\infty(1 - \eu^{-t/\tau}) dura τ∼1×10−14 s\tau \sim 1 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}, instantâneo em qualquer escala de tempo de circuito. A resistência segue de ∫E→⋅ ⁣dl→\int\vect E\cdot\dd\vect l entre as extremidades. ∎

Exemplo 10.7 (O cobre, a partir da condutividade medida)

Cobre: γ=6.0×107 S/m\gamma = 6.0 \times 10^{7}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}, n=8.5×1028 m−3n = 8.5 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}: τ=mγ/ne2=9.1×10−31×6×107/(8.5×1028×2.56×10−38)=2.5×10−14 s\tau = m\gamma/ne^2 = 9.1 \times 10^{-31} \times 6 \times 10^7/(8.5 \times 10^{28} \times 2.56 \times 10^{-38}) = 2.5 \times 10^{-14}\,\mathrm{s} — vinte e cinco femtossegundos entre colisões. A celeridade aleatória dos elétrons num metal é de cerca de 1.6×106 m/s1.6 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} (um efeito quântico, e não a térmica 3kBT/m≈1×105 m/s\sqrt{3k_BT/m} \approx 1 \times 10^{5}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}), de modo que o livre caminho médio vale ℓ=vτ≈40 nm\ell = v\tau \approx 40\,\mathrm{nm}, cem espaçamentos atômicos: os elétrons não colidem com os próprios átomos (um cristal perfeito é transparente para eles), mas com seus defeitos e com as vibrações térmicas — e é por isso que γ\gamma cai quando um metal é aquecido ou ligado. Mobilidade eτ/m=4.4×10−3 m2/(V s)e\tau/m = 4.4 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{2}/(\mathrm{V}\,\mathrm{s}): 4 mm/s4\,\mathrm{mm}/\mathrm{s} por volt por metro.

Proposição 10.8 (A lei de Ohm em alta frequência)

Para um campo senoidal E→‾ eiωt\underline{\vect E}\,\eu^{\iu\omega t} a equação de Drude dá j→‾=γ‾(ω)E→‾\underline{\vect j} = \underline\gamma(\omega)\underline{\vect E} com

γ‾(ω)=γ01+iωτ,γ0=ne2τm:\underline\gamma(\omega) = \frac{\gamma_0}{1 + \iu\omega\tau} , \qquad \gamma_0 = \frac{ne^2\tau}{m} :

a condutividade é real e igual a seu valor em contínua enquanto ωτ≪1\omega\tau \ll 1, ou seja, até cerca de 1×1013 Hz1 \times 10^{13}\,\mathrm{Hz} no cobre — por toda a faixa de rádio e de micro-ondas; no infravermelho e no visível (ωτ≫1\omega\tau \gg 1) ela se torna imaginária, γ‾≈ne2/imω\underline\gamma \approx ne^2/\iu m\omega: os elétrons oscilam livremente, fora de fase com o campo, e o metal se comporta como o plasma do Capítulo 14.

Demonstração. iωmv→‾=−eE→‾−mv→‾/τ\iu\omega m\underline{\vect v} = -e\underline{\vect E} - m\underline{\vect v}/\tau, donde v→‾=−eτE→‾/m(1+iωτ)\underline{\vect v} = -e\tau\underline{\vect E}/m(1 + \iu\omega\tau) e j→‾=−nev→‾\underline{\vect j} = -ne\underline{\vect v}. ∎

À esquerda: a condutividade de Drude em função de — real e constante em baixa frequência, imaginária além de 1/. À direita: o efeito Hall numa fita condutora — os portadores são empurrados de lado pelo campo, carregam as bordas, e o campo Hall transversal equilibra a força magnética. À esquerda: a condutividade de Drude em função de — real e constante em baixa frequência, imaginária além de 1/. À direita: o efeito Hall numa fita condutora — os portadores são empurrados de lado pelo campo, carregam as bordas, e o campo Hall transversal equilibra a força magnética.
À esquerda: a condutividade de Drude em função de ωτ\omega\tau — real e constante em baixa frequência, imaginária além de 1/τ1/\tau. À direita: o efeito Hall numa fita condutora — os portadores são empurrados de lado pelo campo, carregam as bordas, e o campo Hall transversal equilibra a força magnética.

Observação 10.9 (Condutores, semicondutores, eletrólitos)

A mesma lei j→=∑niqiμiE→\vect j = \sum n_iq_i\mu_i\vect E vale para todo condutor; o que muda são nn e μ\mu. Metais: n∼1029n \sim 10^{29}, γ∼107\gamma \sim 10^7 S/m. Semicondutores: n∼1016n \sim 10^{16}–102310^{23}, fixado pela dopagem e crescendo acentuadamente com a temperatura, com dois tipos de portadores (elétrons e lacunas) — donde os termistores e os diodos. Eletrólitos: íons de ambos os sinais, μ∼10−8\mu \sim 10^{-8}–10−710^{-7} m2^2/(V s); água do mar γ≈5 S/m\gamma \approx 5\,\mathrm{S}/\mathrm{m}, água de torneira 10−210^{-2}, água pura 10−510^{-5}. Isolantes (vidro, polímeros): γ≲10−12\gamma \lesssim 10^{-12} S/m. O efeito Hall do volume do Ano 1, na forma local E→H=−j→∧B→/nq\vect E_H = -\vect j\wedge\vect B/nq, mede nn e o sinal de qq: no alumínio ou no zinco os portadores acabam sendo positivos — lacunas — e nenhum modelo clássico explica isso.

10.4 Energia: a lei de Joule local

Proposição 10.10 (Lei de Joule local)

O campo elétrico entrega aos portadores, por unidade de volume e de tempo, a potência j→⋅E→\vect j\cdot\vect E; num condutor ôhmico ela vale

p=j→⋅E→=γE2=j2γ  (W/m3),p = \vect j\cdot\vect E = \gamma E^2 = \frac{j^2}\gamma \ \ (\mathrm{W}/\mathrm{m}^{3}) ,

tudo isso convertido em calor pelas colisões (a energia cinética de deriva é desprezível e constante). Integrada num fio, ∫j2/γ  ⁣dτ=(L/γS)I2=RI2\int j^2/\gamma\,\dd\tau = (L/\gamma S)I^2 = RI^2.

Demonstração. A força qE→q\vect E sobre cada portador trabalha à taxa qE→⋅v→q\vect E\cdot\vect v; somada sobre os n  ⁣dτn\,\dd\tau portadores: nqv→⋅E→  ⁣dτ=j→⋅E→  ⁣dτnq\vect v\cdot\vect E\,\dd\tau = \vect j\cdot \vect E\,\dd\tau (a força magnética não realiza trabalho). No regime permanente de Drude essa potência é igual à dissipada pelo termo de atrito, ou seja, transferida à rede. ∎

Exemplo 10.11 (Um fio que aquece)

O fio de 1.5 mm21.5\,\mathrm{mm}^{2} a 10 A10\,\mathrm{A}: p=j2/γ=(6.7×106)2/6×107=7.4×105 W/m3p = j^2/\gamma = (6.7 \times 10^6)^2/6 \times 10^7 = 7.4 \times 10^{5}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{3}, ou seja, 1.1 W1.1\,\mathrm{W} por metro — facilmente evacuados pelo ar em volta. Deixado por conta própria (sem resfriamento), o cobre (c=385 J/(kg K)c = 385\,\mathrm{J}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K}), ρ=8900 kg/m3\rho = 8900\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}) aqueceria a p/ρc=0.2 K/sp/\rho c = 0.2\,\mathrm{K}/\mathrm{s}. A 100 A100\,\mathrm{A} no mesmo fio a taxa é cem vezes maior, 20 K/s20\,\mathrm{K}/\mathrm{s}: ele funde em um minuto — o princípio do fusível, cujo fio fino é feito para fundir primeiro.

Proposição 10.12 (Relaxação da carga num condutor)

Num condutor ôhmico uma densidade volumétrica de carga decai como ρ(t)=ρ0e−t/τr\rho(t) = \rho_0\eu^{-t/\tau_r} com

τr=ε0γ:\tau_r = \frac{\varepsilon_0}{\gamma} :

1.5×10−19 s1.5 \times 10^{-19}\,\mathrm{s} para o cobre, 2×10−12 s2 \times 10^{-12}\,\mathrm{s} para a água do mar, 10 s10\,\mathrm{s} para o vidro. Até frequências da ordem de 1/τr1/\tau_r um condutor não carrega nenhuma carga em volume: todo excesso de carga corre para a superfície. A palavra "condutor" depende, portanto, da escala de tempo: a água do mar é condutora para ondas de rádio e isolante para a luz visível.

Demonstração. Conservação da carga com j→=γE→\vect j = \gamma\vect E e a lei de Gauss na forma local, div⁡E→=ρ/ε0\operatorname{div}\vect E = \rho/\varepsilon_0 (Capítulo 11): ∂tρ=−γdiv⁡E→=−(γ/ε0)ρ\partial_t\rho = -\gamma\operatorname{div}\vect E = -(\gamma/\varepsilon_0)\rho. ∎

Método 10.13 (Da lei local à lei integral)

Para achar a resistência de um condutor de forma qualquer: (1) use a simetria para escrever j→\vect j (em regime estacionário seu fluxo se conserva, de modo que num tubo j×j \times seção =I= I); (2) E→=j→/γ\vect E = \vect j/\gamma; (3) integre E→\vect E ao longo de uma linha de um eletrodo ao outro: U=∫E→⋅ ⁣dl→U = \int\vect E\cdot \dd\vect l, e R=U/IR = U/I; (4) confira com a potência Joule ∫j2/γ  ⁣dτ=RI2\int j^2/\gamma\, \dd\tau = RI^2. Os mesmos passos dão a fuga de um cabo, a resistência do solo em torno de um para-raios ou a de um contato cônico.

10.5 Exercícios

Exercício 10.1 ★

Um fio de cobre de 2.5 mm22.5\,\mathrm{mm}^{2} conduz 16 A16\,\mathrm{A}. Densidade de corrente, celeridade de deriva (n=8.5×1028 m−3n = 8.5 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}), tempo que um elétron leva para percorrer os 20 m20\,\mathrm{m} até uma tomada; campo elétrico no fio (γ=6.0×107 S/m\gamma = 6.0 \times 10^{7}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}), queda de tensão em 20 m20\,\mathrm{m} e potência perdida.

Solução

Solução de Exercício 10.1.

j=16/2.5×10−6=6.4×106 A/m2j = 16/2.5 \times 10^{-6} = 6.4 \times 10^{6}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}; v=j/ne=0.47 mm/sv = j/ne = 0.47\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}; 20 m20\,\mathrm{m} em 4.3×1044.3 \times 10^4 s, doze horas. E=j/γ=0.11 V/mE = j/\gamma = 0.11\,\mathrm{V}/\mathrm{m}; U=2.1 VU = 2.1\,\mathrm{V}; P=UI=34 WP = UI = 34\,\mathrm{W}.

Exercício 10.2 ★

Densidades de corrente: uma descarga de raio (30 kA30\,\mathrm{kA}, raio 1 cm1\,\mathrm{cm}); um feixe de elétrons (2 mA2\,\mathrm{mA}, 0.5 mm20.5\,\mathrm{mm}^{2}); um axônio nervoso (1 nA1\,\mathrm{nA}, raio 2 µm2\,\text{µ}\mathrm{m}); a corrente em anel da magnetosfera terrestre (1 MA1\,\mathrm{MA} por cerca de 1×1014 m21 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{2}). Quais superam o fio do exercício anterior?

Solução

Solução de Exercício 10.2.

Raio, 3×104/π10−4=1×108 A/m23 \times 10^4/\pi10^{-4} = 1 \times 10^{8}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}; feixe, 4×103 A/m24 \times 10^{3}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}; axônio, 10−9/1.3×10−11=80 A/m210^{-9}/1.3 \times 10^{-11} = 80\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}; corrente em anel, 1×10−8 A/m21 \times 10^{-8}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}. Só o raio supera os 6×1066 \times 10^6 do fio.

Exercício 10.3 ★

Resistividades a 20∘C20{}^{\circ}\mathrm{C}: cobre 1.7×10−8 Ω m1.7 \times 10^{-8}\,\Omega\,\mathrm{m}, alumínio 2.8×10−8 Ω m2.8 \times 10^{-8}\,\Omega\,\mathrm{m}, ferro 1.0×10−7 Ω m1.0 \times 10^{-7}\,\Omega\,\mathrm{m}, níquel-cromo 1.1×10−6 Ω m1.1 \times 10^{-6}\,\Omega\,\mathrm{m}. Resistência de 100 m100\,\mathrm{m} de 2.5 mm22.5\,\mathrm{mm}^{2} em cada um; seção de alumínio equivalente a 2.5 mm22.5\,\mathrm{mm}^{2} de cobre, e a razão de massas (massas específicas 89008900 e 2700 kg/m32700\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}); comprimento de fio de níquel-cromo de 0.5 mm0.5\,\mathrm{mm} para um aquecedor de 1 kW1\,\mathrm{kW} e 230 V230\,\mathrm{V}.

Solução

Solução de Exercício 10.3.

R=ρeL/SR = \rho_eL/S: 0.680.68, 1.11.1, 4.04.0 e 44 Ω44\,\Omega. Alumínio: 2.5×2.8/1.7=4.1 mm22.5 \times 2.8/1.7 = 4.1\,\mathrm{mm}^{2}, razão de massas (4.1×2700)/(2.5×8900)=0.50(4.1 \times 2700)/(2.5 \times 8900) = 0.50 — metade da massa. Aquecedor: R=2302/1000=53 ΩR = 230^2/1000 = 53\,\Omega, S=0.196 mm2S = 0.196\,\mathrm{mm}^{2}, L=RS/ρe=9.4 mL = RS/\rho_e = 9.4\,\mathrm{m}.

Exercício 10.4 ★

Drude: τ\tau, mobilidade e livre caminho médio (celeridade aleatória 1.6×106 m/s1.6 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}) para o cobre (γ=6.0×107 S/m\gamma = 6.0 \times 10^{7}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}, n=8.5×1028 m−3n = 8.5 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}) e para a prata (γ=6.3×107 S/m\gamma = 6.3 \times 10^{7}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}, n=5.9×1028 m−3n = 5.9 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}); condutividade de uma amostra de silício com n=1×1022 m−3n = 1 \times 10^{22}\,\mathrm{m}^{-3} e μ=0.14 m2/(V s)\mu = 0.14\,\mathrm{m}^{2}/(\mathrm{V}\,\mathrm{s}); celeridade de deriva nessa amostra a 1 kV/m1\,\mathrm{kV}/\mathrm{m}.

Solução

Solução de Exercício 10.4.

τ=mγ/ne2\tau = m\gamma/ne^2: cobre 2.5×10−14 s2.5 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}, μ=eτ/m=4.4×10−3 m2/(V s)\mu = e\tau/m = 4.4 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{2}/(\mathrm{V}\,\mathrm{s}), ℓ=40 nm\ell = 40\,\mathrm{nm}; prata 3.8×10−14 s3.8 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}, 6.7×10−3 m2/(V s)6.7 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{2}/(\mathrm{V}\,\mathrm{s}), 61 nm61\,\mathrm{nm}. Silício: γ=neμ=1022×1.6×10−19×0.14=220 S/m\gamma = ne\mu = 10^{22} \times 1.6 \times 10^{-19} \times 0.14 = 220\,\mathrm{S}/\mathrm{m}; v=μE=140 m/sv = \mu E = 140\,\mathrm{m}/\mathrm{s}.

Exercício 10.5 ★★

Um capacitor de placas SS é carregado por um fio com I(t)I(t). (a) Aplique a lei integral de conservação a uma superfície fechada que envolve uma placa: relacione II e a carga QQ da placa. (b) Por que div⁡j→≠0\operatorname{div}\vect j \ne 0 na placa? (c) Um eletrodo esférico de raio aa num meio condutor emite uma corrente radial II: j→(r)\vect j(r); verifique div⁡j→=0\operatorname{div} \vect j = 0 para r>ar > a (use div⁡j→=1r2∂r(r2jr)\operatorname{div}\vect j = \frac1{r^2}\partial_r(r^2j_r) para um campo radial). (d) Onde, então, a conservação da carga "quebra"?

Solução

Solução de Exercício 10.5.

(a) Corrente que entra, nenhuma que sai:  ⁣dQ/ ⁣dt=I\dd Q/\dd t = I. (b) A carga se acumula: ∂tρ≠0\partial_t \rho \ne 0. (c) j→=(I/4πr2)e→r\vect j = (I/4\pi r^2)\vect e_r: div⁡j→=1r2∂r(I/4π)=0\operatorname{div}\vect j = \frac1{r^2} \partial_r(I/4\pi) = 0. (d) Somente no eletrodo, onde a corrente é injetada pelo fio — uma fonte do fluxo.

Exercício 10.6 ★★

Fuga de um cabo coaxial. O isolante entre os condutores (raios a=1 mma = 1\,\mathrm{mm}, b=3.5 mmb = 3.5\,\mathrm{mm}) tem γ=1×10−13 S/m\gamma = 1 \times 10^{-13}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}; aplica-se uma tensão UU entre eles, e uma corrente radial de fuga II circula por comprimento LL. (a) j→(r)\vect j(r) e E→(r)\vect E(r). (b) Mostre que a resistência de um comprimento LL vale R=ln⁡(b/a)/2πγLR = \ln(b/a)/2\pi\gamma L; valor por quilômetro. (c) Corrente de fuga e potência por quilômetro a 1 kV1\,\mathrm{kV}. (d) Compare com a capacitância por comprimento 2πε0εr/ln⁡(b/a)2\pi\varepsilon_0\varepsilon_r/\ln(b/a): mostre que RC=ε0εr/γRC = \varepsilon_0\varepsilon_r/\gamma e interprete com o tempo de relaxação.

Solução

Solução de Exercício 10.6.

(a) j=I/2πrLj = I/2\pi rL, E=j/γE = j/\gamma, radiais. (b) U=∫abE  ⁣dr=Iln⁡(b/a)/2πγLU = \int_a^bE\,\dd r = I\ln(b/a)/ 2\pi\gamma L: R=ln⁡3.5/(2π×10−13×103)=2×109 ΩR = \ln3.5/(2\pi \times 10^{-13} \times 10^3) = 2 \times 10^{9}\,\Omega por quilômetro. (c) 0.5 µA0.5\,\text{µ}\mathrm{A}, 0.5 mW0.5\,\mathrm{mW}. (d) RC=ε0εr/γ=200 sRC = \varepsilon_0\varepsilon_r/\gamma = 200\,\mathrm{s} para εr=2.3\varepsilon_r = 2.3: o cabo, carregado e isolado, descarrega-se pelo próprio isolante com o tempo de relaxação desse isolante.

Exercício 10.7 ★★

Condutividade complexa do cobre (τ=2.5×10−14 s\tau = 2.5 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}). (a) ωτ\omega\tau a 50 Hz50\,\mathrm{Hz}, 10 GHz10\,\mathrm{GHz} (micro-ondas), 30 THz30\,\mathrm{THz} (infravermelho), 5×1014 Hz5 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz} (luz verde). (b) Módulo e fase de γ‾/γ0\underline\gamma/\gamma_0 em cada caso. (c) Até que frequência a lei de Ohm vale com 1%1\% de precisão? (d) No visível, escreva γ‾\underline\gamma e mostre que j→‾\underline{\vect j} está em quadratura com E→‾\underline{\vect E}: potência Joule média?

Solução

Solução de Exercício 10.7.

(a) ωτ\omega\tau: 8×10−128 \times 10^{-12}, 1.6×10−31.6 \times 10^{-3}, 4.74.7, 7979. (b) ∣γ‾∣/γ0=1/1+ω2τ2|\underline\gamma|/\gamma_0 = 1/\sqrt{1 + \omega^2\tau^2}: 11, 11, 0.210.21, 0.0130.013; fase −arctan⁡ωτ-\arctan\omega\tau: 00, −0.09∘-0.09{}^{\circ}, −78∘-78{}^{\circ}, −89∘-89{}^{\circ}. (c) ωτ≤0.14\omega\tau \le 0.14: f≤0.9 THzf \le 0.9\,\mathrm{THz}. (d) γ‾≈ne2/imω\underline\gamma \approx ne^2/\iu m\omega: j→‾\underline{\vect j} atrasa-se em relação a E→‾\underline{\vect E} de 90∘90{}^{\circ}, ⟨j→⋅E→⟩=0\langle\vect j\cdot\vect E\rangle = 0: nenhum aquecimento Joule — os elétrons oscilam livremente, como num plasma.

Exercício 10.8 ★★

Um fio-fusível de cobre de 0.20 mm0.20\,\mathrm{mm} (cobre: γ=6.0×107 S/m\gamma = 6.0 \times 10^{7}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}, ρ=8900 kg/m3\rho = 8900\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}, c=385 J/(kg K)c = 385\,\mathrm{J}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K}), funde a 1085∘C1085{}^{\circ}\mathrm{C}, calor latente 205 kJ/kg205\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}). (a) Densidade de corrente e potência Joule por unidade de volume a 10 A10\,\mathrm{A}. (b) Tempo para fundir a partir de 20∘C20{}^{\circ}\mathrm{C} se nenhum calor escapar (ignore o aumento da resistividade com a temperatura). (c) O mesmo a 30 A30\,\mathrm{A}. (d) Na realidade o fio perde calor para o ar: como isso fixa a corrente nominal de um fusível, e por que os fusíveis são selados num cartucho cheio de areia?

Solução

Solução de Exercício 10.8.

(a) S=3.1×10−8 m2S = 3.1 \times 10^{-8}\,\mathrm{m}^{2}, j=3.2×108 A/m2j = 3.2 \times 10^{8}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}, p=j2/γ=1.7×109 W/m3p = j^2/\gamma = 1.7 \times 10^{9}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{3}. (b) Energia para fundir por unidade de volume ρ(cΔT+Lf)=8900(4.1×105+2.05×105)=5.5×109 J/m3\rho(c\Delta T + L_f) = 8900(4.1 \times 10^5 + 2.05 \times 10^5) = 5.5 \times 10^{9}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}: 3.2 s3.2\,\mathrm{s}. (c) Nove vezes mais rápido: 0.36 s0.36\,\mathrm{s}. (d) A corrente nominal é aquela cujo aquecimento Joule o ar consegue evacuar mantendo o fio abaixo da fusão; a areia apaga o arco que, de outro modo, continuaria a conduzir através do vão depois de o fio fundir.

Exercício 10.9 ★★

Relaxação. (a) Deduza ∂tρ=−(γ/ε0)ρ\partial_t\rho = -(\gamma/\varepsilon_0)\rho da conservação da carga, da lei de Ohm e de div⁡E→=ρ/ε0\operatorname{div}\vect E = \rho/\varepsilon_0. (b) τr\tau_r para o cobre, a água do mar (γ=5 S/m\gamma = 5\,\mathrm{S}/\mathrm{m}), a água de torneira (5×10−2 S/m5 \times 10^{-2}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}), o vidro (1×10−12 S/m1 \times 10^{-12}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}) e o PTFE (1×10−16 S/m1 \times 10^{-16}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}). (c) Até que frequência cada um é um "bom condutor" (com a carga relaxando dentro de um período)? (d) Um bastão de vidro eletrizado guarda sua carga por minutos: isso é coerente?

Solução

Solução de Exercício 10.9.

(a) ∂tρ=−div⁡j→=−γdiv⁡E→=−γρ/ε0\partial_t\rho = -\operatorname{div}\vect j = -\gamma\operatorname{div}\vect E = -\gamma\rho/ \varepsilon_0. (b) ε0/γ\varepsilon_0/\gamma: 1.5×10−19 s1.5 \times 10^{-19}\,\mathrm{s}, 1.8×10−12 s1.8 \times 10^{-12}\,\mathrm{s}, 1.8×10−10 s1.8 \times 10^{-10}\,\mathrm{s}, 9 s9\,\mathrm{s}, 9×1049 \times 10^4 s. (c) f≲1/2πτrf \lesssim 1/2\pi\tau_r: 101810^{18} Hz (o modelo de Drude falha muito antes), 90 GHz90\,\mathrm{GHz}, 0.9 GHz0.9\,\mathrm{GHz}, 0.02 Hz0.02\,\mathrm{Hz}, 2×10−6 Hz2 \times 10^{-6}\,\mathrm{Hz}. (d) Um bastão de vidro perderia sua carga em um minuto pelo volume; o vidro seco real está mais perto de 10−1410^{-14} S/m (horas), e é a umidade da superfície que costuma descarregá-lo — coerente em ordem de grandeza.

Exercício 10.10 ★★★

Aterramento. Um eletrodo hemisférico de raio a=0.50 ma = 0.50\,\mathrm{m} é enterrado rente à superfície de um solo de condutividade γ=0.010 S/m\gamma = 0.010\,\mathrm{S}/\mathrm{m}; uma corrente II entra nele e se espalha radialmente pelo semiespaço. (a) j→(r)\vect j(r), E→(r)\vect E(r) e o potencial V(r)V(r) com V(∞)=0V(\infty) = 0. (b) Resistência do aterramento, R=1/2πγaR = 1/2\pi\gamma a; valor. (c) Uma descarga de 20 kA20\,\mathrm{kA} atinge a haste: potencial da haste; potencial em r=10 mr = 10\,\mathrm{m} e 10.7 m10.7\,\mathrm{m}; a "tensão de passo" entre os pés de uma pessoa ali parada (pés a 0.7 m0.7\,\mathrm{m} um do outro, radialmente). (d) Por que o gado, com as quatro patas bem afastadas, morre com descargas próximas mais frequentemente que as pessoas?

Solução

Solução de Exercício 10.10.

(a) j→=(I/2πr2)e→r\vect j = (I/2\pi r^2)\vect e_r, E=I/2πγr2E = I/2\pi\gamma r^2, V=I/2πγrV = I/2\pi\gamma r. (b) R=V(a)/I=1/2πγa=32 ΩR = V(a) /I = 1/2\pi\gamma a = 32\,\Omega. (c) Vhaste=640 kVV_{\text{haste}} = 640\,\mathrm{kV}; V(10)=32 kVV(10) = 32\,\mathrm{kV}, V(10.7)=30 kVV(10.7) = 30\,\mathrm{kV}: 2.1 kV2.1\,\mathrm{kV} entre os pés. (d) As patas dianteiras e traseiras ficam a 1.5 m1.5\,\mathrm{m} uma da outra ao longo do raio: 44–5 kV5\,\mathrm{kV}, e o caminho da corrente atravessa o coração.

Exercício 10.11 ★★★

Sensor Hall. Uma fita de espessura tt e largura ww conduz II ao longo de xx num campo BB segundo zz. (a) A partir de E→H=−j→∧B→/nq\vect E_H = -\vect j\wedge\vect B /nq, mostre que a tensão Hall na largura vale VH=IB/nqtV_H = IB/nqt. (b) Fita de cobre, t=0.10 mmt = 0.10\,\mathrm{mm}, 1 A1\,\mathrm{A}, 1 T1\,\mathrm{T}: VHV_H. (c) Um semicondutor dopado com n=1×1022 m−3n = 1 \times 10^{22}\,\mathrm{m}^{-3}, mesma geometria: VHV_H; por que os sensores usam semicondutores. (d) Um sensor com n=1×1022 m−3n = 1 \times 10^{22}\,\mathrm{m}^{-3}, t=20 µmt = 20\,\text{µ}\mathrm{m}, alimentado com 1 mA1\,\mathrm{mA}, lê 10 µV10\,\text{µ}\mathrm{V}: campo medido. O que o sinal de VHV_H informa?

Solução

Solução de Exercício 10.11.

(a) EH=jB/nqE_H = jB/nq com j=I/wtj = I/wt: VH=EHw=IB/nqtV_H = E_Hw = IB/nqt. (b) 1/(8.5×1028×1.6×10−19×10−4)=0.7 µV1/(8.5 \times 10^{28} \times 1.6 \times 10^{-19} \times 10^{-4}) = 0.7\,\text{µ}\mathrm{V}. (c) 6.3 mV6.3\,\mathrm{mV}: VH∝1/nV_H \propto 1/n, e os semicondutores têm 10610^6 vezes menos portadores. (d) B=VHnqt/I=10−5×1022×1.6×10−19×2×10−5/10−3=0.32 TB = V_Hnqt/I = 10^{-5} \times 10^{22} \times 1.6 \times 10^{-19} \times 2 \times 10^{-5}/10^{-3} = 0.32\,\mathrm{T}; o sinal de VHV_H dá o sinal dos portadores (para um B→\vect B conhecido), ou o sentido de B→\vect B (para um sensor conhecido).

Exercício 10.12 ★★★

Eletrólito. Na água, os íons Na+^+ e Cl−^- têm mobilidades μ+=5.2×10−8 m2/(V s)\mu_+ = 5.2 \times 10^{-8}\,\mathrm{m}^{2}/(\mathrm{V}\,\mathrm{s}) e μ−=7.9×10−8 m2/(V s)\mu_- = 7.9 \times 10^{-8}\,\mathrm{m}^{2}/(\mathrm{V}\,\mathrm{s}). (a) Mostre que γ=ne(μ++μ−)\gamma = ne(\mu_+ + \mu_-) para nn pares de íons por unidade de volume. (b) Água do mar, 0.5 mol/L0.5\,\mathrm{mol}/\mathrm{L} de NaCl: γ\gamma; compare com os 5 S/m5\,\mathrm{S}/\mathrm{m} medidos. (c) Celeridades de deriva a 10 V/m10\,\mathrm{V}/\mathrm{m}; que íon carrega mais corrente? (d) Uma coluna de água do mar de 1 cm21\,\mathrm{cm}^{2} por 10 cm10\,\mathrm{cm} conduz 1 A1\,\mathrm{A}: tensão, potência e tempo para aquecê-la em 10 K10\,\mathrm{K} (c=4.0 kJ/(kg K)c = 4.0\,\mathrm{kJ}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})); por que os géis de eletroforese são resfriados.

Solução

Solução de Exercício 10.12.

(a) j→=neμ+E→+(−ne)(−μ−E→)\vect j = ne\mu_+\vect E + (-ne)(-\mu_-\vect E): as duas espécies derivam em sentidos opostos e transportam corrente no mesmo sentido. (b) n=0.5×103×6.02×1023=3×1026 m−3n = 0.5 \times 10^3 \times 6.02 \times 10^{23} = 3 \times 10^{26}\,\mathrm{m}^{-3}: γ=3×1026×1.6×10−19×1.31×10−7=6.3 S/m\gamma = 3 \times 10^{26} \times 1.6 \times 10^{-19} \times 1.31 \times 10^{-7} = 6.3\,\mathrm{S}/\mathrm{m} (os íons se atrapalham mutuamente nessa concentração: 5 S/m5\,\mathrm{S}/\mathrm{m} medidos). (c) 0.52 µm/s0.52\,\text{µ}\mathrm{m}/\mathrm{s} e 0.79 µm/s0.79\,\text{µ}\mathrm{m}/\mathrm{s}: o Cl−^- transporta 60%60\%. (d) R=L/γS=200 ΩR = L/\gamma S = 200\,\Omega, U=200 VU = 200\,\mathrm{V}, P=200 WP = 200\,\mathrm{W} em 10 g10\,\mathrm{g} de água: 10 K10\,\mathrm{K} em 2 s2\,\mathrm{s} — daí as placas de resfriamento das cubas de eletroforese.

10.6 Problema: O fio de cobre, do átomo à rede elétrica

Problema 10.1

Problema de fim de semana — um metro de fio doméstico examinado em quatro escalas: o elétron, as leis locais, o circuito e a linha de transmissão

Cobre: massa molar 63.5 g/mol63.5\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}, massa específica 8900 kg/m38900\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}, um elétron de condução por átomo, condutividade γ=6.0×107 S/m\gamma = 6.0 \times 10^{7}\,\mathrm{S}/\mathrm{m} a 20∘C20{}^{\circ}\mathrm{C}, resistividade crescente ρe(T)=ρe(20)[1+α(T−20)]\rho_e(T) = \rho_e(20)[1 + \alpha(T - 20)] com α=4.0×10−3 K−1\alpha = 4.0 \times 10^{-3}\,\mathrm{K}^{-1}; c=385 J/(kg K)c = 385\,\mathrm{J}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K}). Fio: seção S=2.5 mm2S = 2.5\,\mathrm{mm}^{2}, comprimento 1 m1\,\mathrm{m}, corrente 16 A16\,\mathrm{A}.

Parte I — Os elétrons.

  1. Densidade numérica nn dos elétrons de condução.
  2. Densidade de corrente e velocidade de deriva; quanto tempo um elétron leva para atravessar o metro.
  3. O τ\tau de Drude e a mobilidade; livre caminho médio com uma celeridade aleatória de 1.6×106 m/s1.6 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}; a quantos espaçamentos atômicos (0.26 nm0.26\,\mathrm{nm}) isso corresponde, e o que isso diz sobre aquilo com que os elétrons colidem?
  4. As vibrações térmicas crescem com TT, de modo que τ∝1/T\tau \propto 1/T grosseiramente: confira contra α\alpha perto da temperatura ambiente ( ⁣dρe/ρe= ⁣dT/T\dd\rho_e/\rho_e = \dd T/T daria α=1/293\alpha = 1/293).
  5. Campo elétrico no fio; tensão total ao longo do metro; a energia cinética de deriva por elétron comparada com kBTk_BT — o gás de elétrons é perturbado pela corrente?
  6. Número de elétrons que atravessam uma seção do fio por segundo.
  7. Carga dos elétrons de condução no metro de fio; a força que o campo exerce sobre todos eles juntos; compare com o peso do fio. Onde vai parar essa força (pense nas colisões)?

Parte II — As leis locais.

  1. Potência Joule por unidade de volume e por metro.
  2. O fio, no ar, perde calor à taxa h(T−Ta)h(T - T_a) por unidade de superfície com h=10 W/(m2 K)h = 10\,\mathrm{W}/(\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{K}) (convecção): elevação de temperatura de equilíbrio; verifique se a correção de resistividade importa.
  3. O mesmo fio embutido num isolamento que só deixa passar h=2 W/(m2 K)h = 2\,\mathrm{W}/(\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{K}): nova elevação de temperatura, com a correção de resistividade incluída (resolva o balanço).
  4. Deixado sem resfriamento algum, taxa de elevação de temperatura a 16 A16\,\mathrm{A} e a 160 A160\,\mathrm{A} (um curto-circuito); tempo para chegar ao ponto de fusão (1085∘C1085{}^{\circ}\mathrm{C}) no segundo caso; o que protege a instalação?
  5. A 50 Hz50\,\mathrm{Hz}, ωτ=?\omega\tau = ? A lei de Ohm é afetada? (O efeito pelicular do Capítulo 14 é outra questão.)
  6. Escreva o tempo de relaxação ε0/γ\varepsilon_0/\gamma do cobre; o que ele implica para a densidade de carga dentro do fio, e onde fica a carga que produz o campo EE dentro do fio?

Parte III — Conservação da carga no circuito. O fio alimenta um capacitor C=100 µFC = 100\,\text{µ}\mathrm{F} através de um interruptor; a corrente vale I(t)=I0e−t/τcI(t) = I_0\eu^{-t/\tau_c} com I0=16 AI_0 = 16\,\mathrm{A}, τc=1 ms\tau_c = 1\,\mathrm{ms}.

  1. Carga que chega à placa; tensão final.
  2. Aplique  ⁣dQ/ ⁣dt=−Isai\dd Q/\dd t = -I_{\text{sai}} a uma superfície fechada em torno da placa: que lado carrega uma corrente de condução e que lado não? Que grandeza deve, portanto, variar no vão?
  3. Em t=0.5 mst = 0.5\,\mathrm{ms}, taxa de variação da carga da placa; se as placas têm 1 cm21\,\mathrm{cm}^{2} e estão separadas por 0.1 mm0.1\,\mathrm{mm} de ar, taxa de variação do campo entre elas.
  4. Mostre que ε0  ⁣dE/ ⁣dt×\varepsilon_0\,\dd E/\dd t \times área da placa é igual à corrente no fio — a grandeza que o Capítulo 11 acrescenta à lei de Ampère.
  5. O fio é cortado e as duas pontas ficam a 1 mm1\,\mathrm{mm} uma da outra no ar: que corrente circula (ar com γ≈1×10−14 S/m\gamma \approx 1 \times 10^{-14}\,\mathrm{S}/\mathrm{m})? Com que campo o ar rompe (3 MV/m3\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}): que tensão no vão produz uma faísca?

Parte IV — A linha. Uma linha de 230 V230\,\mathrm{V} em cobre de 10 mm210\,\mathrm{mm}^{2}, com 500 m500\,\mathrm{m} de extensão (ida e volta: 1 km1\,\mathrm{km} de fio), alimenta uma fazenda que consome 40 A40\,\mathrm{A}.

  1. Resistência, queda de tensão e potência perdida na linha; fração da potência entregue.
  2. A mesma potência a 20 kV20\,\mathrm{kV} com um transformador em cada ponta: corrente, queda e perda; conclua por que a transmissão é feita em alta tensão.
  3. O alumínio (γ=3.6×107 S/m\gamma = 3.6 \times 10^{7}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}, 2700 kg/m32700\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}) é usado nas torres: seção para a mesma resistência de 10 mm210\,\mathrm{mm}^{2} de cobre; massa por quilômetro para os dois; por que o alumínio ganha lá em cima e o cobre dentro da parede.
  4. Um sensor Hall preso em torno da linha lê seu campo: para um alicate amperímetro com n=1×1022 m−3n = 1 \times 10^{22}\,\mathrm{m}^{-3}, t=0.1 mmt = 0.1\,\mathrm{mm}, alimentado com 5 mA5\,\mathrm{mA} num campo de 0.1 T0.1\,\mathrm{T} concentrado por um núcleo de ferro, a tensão Hall.
  5. Depois da carga de um dia quente o fio fica a 80∘C80{}^{\circ}\mathrm{C}: sua resistência então, e a perda adicional.
  6. Um raio atinge a linha: 20 kA20\,\mathrm{kA} durante 100 µs100\,\text{µ}\mathrm{s}. Energia dissipada no 1 km1\,\mathrm{km} de fio; elevação de temperatura se nada escapar; densidade de corrente — compare com a Parte I.
  7. Faça o balanço: as cinco grandezas (nn, τ\tau, γ\gamma, jj, EE) que descrevem o fio em cada escala, e a lei que liga cada par.
Solução

Solução de Problema 10.1.

1. n=ρNA/M=8.4×1028 m−3n = \rho N_A/M = 8.4 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}.

2. j=6.4×106 A/m2j = 6.4 \times 10^{6}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}, v=j/ne=0.47 mm/sv = j/ne = 0.47\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}; 35 min35\,\mathrm{min} por metro.

3. τ=mγ/ne2=2.5×10−14 s\tau = m\gamma/ne^2 = 2.5 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}, μ=4.4×10−3 m2/(V s)\mu = 4.4 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{2}/(\mathrm{V}\,\mathrm{s}), ℓ=40 nm\ell = 40\,\mathrm{nm}, 150150 espaçamentos: os elétrons colidem com defeitos e vibrações térmicas, não com os átomos.

4. ρe∝T\rho_e \propto T dá α=1/293=3.4×10−3 K−1\alpha = 1/293 = 3.4 \times 10^{-3}\,\mathrm{K}^{-1}, próximo do valor medido 4×10−34 \times 10^{-3}.

5. E=0.11 V/mE = 0.11\,\mathrm{V}/\mathrm{m}, U=0.11 VU = 0.11\,\mathrm{V}; 12mv2=1×10−37 J\tfrac12mv^2 = 1 \times 10^{-37}\,\mathrm{J} contra kBT=4×10−21 Jk_BT = 4 \times 10^{-21}\,\mathrm{J}: o gás de elétrons não percebe a corrente.

6. I/e=1×1020 I/e = 1 \times 10^{20}\, elétrons por segundo.

7. Q=neSL=3.4×104 CQ = neSL = 3.4 \times 10^{4}\,\mathrm{C}; QE=3.6 kNQE = 3.6\,\mathrm{kN}, contra um peso de 0.2 N0.2\,\mathrm{N}. O campo puxa a rede positiva com a força oposta; os elétrons entregam sua quantidade de movimento à rede por colisões: o fio como um todo não sente nada.

8. p=j2/γ=6.8×105 W/m3p = j^2/\gamma = 6.8 \times 10^{5}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{3}, 1.7 W/m1.7\,\mathrm{W}/\mathrm{m}.

9. Superfície πd=5.6×10−3 m2\pi d = 5.6 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{2} por metro: ΔT=1.7/(10×5.6×10−3)=30 K\Delta T = 1.7/(10 \times 5.6 \times 10^{-3}) = 30\,\mathrm{K}; a resistividade sobe 12%12\%, e a potência vai a 1.9 W1.9\,\mathrm{W}: ΔT≈35 K\Delta T \approx 35\,\mathrm{K}.

10. ΔT=1.7(1+0.004ΔT)/(2×5.6×10−3)\Delta T = 1.7(1 + 0.004\Delta T)/(2 \times 5.6 \times 10^{-3}): ΔT(1−0.6)=150\Delta T(1 - 0.6) = 150, ΔT≈400 K\Delta T \approx 400\,\mathrm{K} — perto da disparada térmica: os cabos enterrados devem ser desclassificados em corrente.

11. p/ρc=0.2 K/sp/\rho c = 0.2\,\mathrm{K}/\mathrm{s}; a 160 A160\,\mathrm{A}, 20 K/s20\,\mathrm{K}/\mathrm{s}: fusão em cerca de um minuto (menos, à medida que ρe\rho_e sobe); o disjuntor abre em milissegundos.

12. ωτ=8×10−12\omega\tau = 8 \times 10^{-12}: a lei de Ohm fica intacta.

13. ε0/γ=1.5×10−19 s\varepsilon_0/\gamma = 1.5 \times 10^{-19}\,\mathrm{s}: nenhuma carga no interior; o campo no fio é feito por cargas em sua superfície, cuja densidade varia ao longo do fio.

14. Q=I0τc=16 mCQ = I_0\tau_c = 16\,\mathrm{mC}, V=Q/C=160 VV = Q/C = 160\,\mathrm{V}.

15. O lado do fio conduz II, e o lado do vão não conduz corrente de condução: a carga cresce, e com ela o campo elétrico no vão.

16. I=16e−0.5=9.7 AI = 16\eu^{-0.5} = 9.7\,\mathrm{A}; E=Q/ε0AE = Q/\varepsilon_0A,  ⁣dE/ ⁣dt=I/ε0A=9.7/(8.85×10−12×10−4)=1.1×1016 V m−1 s−1\dd E/\dd t = I/\varepsilon_0A = 9.7/(8.85 \times 10^{-12} \times 10^{-4}) = 1.1 \times 10^{16}\,\mathrm{V}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}.

17. ε0A  ⁣dE/ ⁣dt=I\varepsilon_0A\,\dd E/\dd t = I: a corrente de deslocamento.

18. j=γE=10−14×2.3×105=2×10−9 A/m2j = \gamma E = 10^{-14} \times 2.3 \times 10^5 = 2 \times 10^{-9}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}, 10−1410^{-14} A pela seção: nada; ruptura a 3 kV3\,\mathrm{kV} no milímetro.

19. R=1000/(6×107×10−5)=1.7 ΩR = 1000/(6 \times 10^7 \times 10^{-5}) = 1.7\,\Omega; ΔU=67 V\Delta U = 67\,\mathrm{V}; P=2.7 kWP = 2.7\,\mathrm{kW}, 29%29\% dos 9.2 kW9.2\,\mathrm{kW} entregues.

20. I=0.46 AI = 0.46\,\mathrm{A}, ΔU=0.8 V\Delta U = 0.8\,\mathrm{V}, 0.35 W0.35\,\mathrm{W}: a transmissão em alta tensão divide a perda por (U2/U1)2(U_2/U_1)^2.

21. 10×6/3.6=17 mm210 \times 6/3.6 = 17\,\mathrm{mm}^{2}; 89 kg/km89\,\mathrm{kg}/\mathrm{km} de cobre contra 45 kg/km45\,\mathrm{kg}/\mathrm{km} de alumínio: mais leve e mais barato nas torres; na parede, a seção menor do cobre cabe nos eletrodutos e nos terminais.

22. VH=IB/nqt=5×10−3×0.1/(1022×1.6×10−19×10−4)=3.1 mVV_H = IB/nqt = 5 \times 10^{-3} \times 0.1/(10^{22} \times 1.6 \times 10^{-19} \times 10^{-4}) = 3.1\,\mathrm{mV}.

23. +24%+24\%: 2.1 Ω2.1\,\Omega, 3.3 kW3.3\,\mathrm{kW} perdidos.

24. RI2t=1.7×4×108×10−4=67 kJRI^2t = 1.7 \times 4 \times 10^8 \times 10^{-4} = 67\,\mathrm{kJ} em 89 kg89\,\mathrm{kg}: 2 K2\,\mathrm{K}. j=2×109 A/m2j = 2 \times 10^{9}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}, trezentas vezes o valor doméstico.

25. nn (a matéria) e τ\tau (as colisões) dão γ=ne2τ/m\gamma = ne^2\tau/m; γ\gamma liga jj e EE (Ohm); jj integra-se em II, e EE em UU (o circuito); j2/γj^2/\gamma é o calor.

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