Física universitária — 2.º ano · Bachelor Year 2

31Poços de potencial, barreiras e efeito túnel

Uma bola numa tigela vai e vem com a energia que lhe deram; um elétron num átomo, um núcleon num núcleo, um elétron num cristal de tamanho nanométrico só podem ter certas energias, e a mais baixa delas não é zero. Uma bola não pode atravessar uma colina mais alta do que sua energia permite; uma partícula $\alpha$ deixa um núcleo através de uma muralha de Coulomb que jamais poderia escalar, a agulha de um microscópio de varredura por tunelamento puxa uma corrente através de um vão de vácuo, e o átomo de nitrogênio da amônia oscila através do plano de seus três hidrogênios vinte e quatro bilhões de vezes por segundo. Este capítulo resolve a equação de Schrödinger nos potenciais mais simples — poços de paredes infinitas e finitas, um degrau, uma barreira, um poço duplo — e neles encontra os dois grandes fatos quânticos que a mecânica clássica não consegue produzir: a quantização das energias ligadas e o tunelamento através de regiões classicamente proibidas, com sua sensibilidade exponencial à largura e à altura da barreira, razão pela qual ele pode servir de régua de picômetros e pela qual os tempos de vida radioativos cobrem trinta ordens de grandeza.

Um microscópio de varredura por tunelamento: uma ponta metálica mantida a alguns décimos de nanômetro acima de uma superfície; a corrente de tunelamento, que muda dez vezes por décimo de nanômetro, mapeia a superfície átomo por átomo.

31.1 O poço infinito

Proposição 31.1 (Poço quadrado infinito)

Uma partícula confinada a $0 < x < L$ por paredes impenetráveis ( $V = 0$ dentro, $V = \infty$ fora, de modo que $\varphi = 0$ nas paredes) tem os estados estacionários e as energias

\varphi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{L}}\sin\frac{n\pi x}{L}, \qquad E_n = \frac{n^2h^2}{8mL^2} = n^2E_1, \qquad n = 1, 2, 3, \dots

As energias são quantizadas, crescem como $n^2$ , e a mais baixa não é zero: a energia de confinamento $E_1 = h^2/8mL^2$ é o preço da localização ( $\Delta x \sim L$ impõe $\Delta p \sim h/2L$ ). As $\varphi_n$ são ortogonais, $\int\varphi_n\varphi_m\dd x = \delta_{nm}$ , e qualquer estado do poço é uma superposição delas.

Demonstração. Dentro, $\varphi'' = -k^2\varphi$ com $k^2 = 2mE/\hbar^2$ : $\varphi = A\sin kx + B\cos kx$ ; $\varphi(0) = 0$ elimina $B$ , e $\varphi(L) = 0$ exige $kL = n\pi$ — as ondas estacionárias de uma corda, com $E = \hbar^2k^2/2m$ . A normalização dá $A = \sqrt{2/L}$ ; a ortogonalidade é a dos senos. ∎

O poço infinito: os três primeiros níveis, E_n n2, com suas funções de onda (à esquerda) e densidades de probabilidade (à direita) — n - 1 nós, e um estado fundamental que se espalha pelo poço e tem energia não nula. — O poço infinito: os três primeiros níveis, $E_n \propto n^2$ , com suas funções de onda (à esquerda) e densidades de probabilidade (à direita) — $n - 1$ nós, e um estado fundamental que se espalha pelo poço e tem energia não nula.

Exemplo 31.2 (Ordens de grandeza, e cores)

$E_1 = h^2/8mL^2$ : um elétron em $1\,\mathrm{nm}$ , $0.38\,\mathrm{eV}$ ; em $0.1\,\mathrm{nm}$ (um átomo), $38\,\mathrm{eV}$ — a escala das energias atômicas; um núcleon em $5\,\mathrm{fm}$ , $8\,\mathrm{MeV}$ — a escala das energias nucleares; uma bola de gude numa caixa, $10^{-63}\,\mathrm{J}$ — ninguém vai notar. Um nanocristal semicondutor de alguns nanômetros (um ponto quântico) confina seus elétrons: a energia de confinamento se soma ao intervalo do cristal, de modo que quanto menor o ponto, mais azul a luz que ele emite — o mesmo material brilha em vermelho a $6\,\mathrm{nm}$ e em verde a $3\,\mathrm{nm}$ , sintonizado só pelo tamanho.

31.2 O poço finito

Proposição 31.3 (Poço quadrado finito)

Para $V = 0$ em $|x| < a$ e $V = V_0$ fora, um estado com $0 < E < V_0$ oscila dentro ( $k = \sqrt{2mE}/\hbar$ ) e decai fora ( $\kappa = \sqrt{2m(V_0 - E)}/\hbar$ ): $\varphi \propto \eu^{-\kappa|x|}$ além das paredes. Casar $\varphi$ e $\varphi'$ em $x = \pm a$ dá, para os estados pares e ímpares,

k\tan ka = \kappa \quad\text{(pares)}, \qquad -k\cot ka = \kappa \quad\text{(ímpares)}, \qquad\text{com}\quad (ka)^2 + (\kappa a)^2 = \frac{2mV_0a^2}{\hbar^2} \equiv R^2 .

Graficamente, as soluções são as interseções das curvas $\eta = \xi\tan\xi$ , $\eta = -\xi\cot\xi$ com o círculo $\xi^2 + \eta^2 = R^2$ ( $\xi = ka$ , $\eta = \kappa a$ ): há sempre ao menos um estado ligado (o estado fundamental par), e $1 + \lfloor 2R/\pi\rfloor$ ao todo. A partícula penetra na região proibida ao longo da profundidade $1/\kappa$ , e os níveis ficam abaixo dos do poço infinito de mesma largura.

Demonstração. A solução par é $A\cos kx$ dentro e $B\eu^{-\kappa|x|}$ fora; a continuidade de $\varphi'/\varphi$ em $x = a$ dá $-k\tan ka = -\kappa$ . O mesmo para a ímpar com $\sin$ . O círculo é a definição de $k$ e $\kappa$ . Cada ramo de $\xi\tan\xi$ que começa em $\xi = n\pi$ e de $-\xi\cot\xi$ que começa em $(n + \tfrac12)\pi$ encontra o círculo uma vez se começar dentro dele: daí a contagem. ∎

Solução gráfica do poço finito: os estados ligados são as interseções do círculo de raio R = a√2mV_0/ com os ramos (estados pares) e - (ímpares). Aqui R = 4: três estados ligados; o pequeno círculo tracejado (R = 1.2) ainda corta o primeiro ramo — um poço sempre liga ao menos um estado. — Solução gráfica do poço finito: os estados ligados são as interseções do círculo de raio $R = a\sqrt{2mV_0}/\hbar$ com os ramos $\xi\tan\xi$ (estados pares) e $-\xi\cot\xi$ (ímpares). Aqui $R = 4$ : três estados ligados; o pequeno círculo tracejado ( $R = 1.2$ ) ainda corta o primeiro ramo — um poço sempre liga ao menos um estado.

Exemplo 31.4 (Um elétron num poço de um nanômetro)

$V_0 = 1\,\mathrm{eV}$ , largura $2a = 1\,\mathrm{nm}$ : $R = a\sqrt{2mV_0}/\hbar = 0.5 \times 10^{-9} \times 5.1 \times 10^9 = 2.6$ , logo $1 + \lfloor 2R/\pi\rfloor = 2$ estados ligados; o estado fundamental fica perto de $0.26\,\mathrm{eV}$ em vez dos $0.38\,\mathrm{eV}$ do poço infinito, e vaza $0.2\,\mathrm{nm}$ para dentro das paredes ( $1/\kappa = \hbar/\sqrt{2m(V_0 - E)}$ ). Poços desses, crescidos como camadas de semicondutores de alguns nanômetros de espessura, são o coração dos diodos laser do Capítulo 23.

31.3 Degrau e barreira: o efeito túnel

Proposição 31.5 (Degrau de potencial)

Uma partícula de energia $E$ que vem de $x < 0$ sobre o degrau $V = V_0$ para $x > 0$ :

$E > V_0$ : $\varphi = \eu^{\iu k_1x} + r\eu^{-\iu k_1x}$ à esquerda, $t\eu^{\iu k_2x}$ à direita, com $k_{1,2} = \sqrt{2m(E - V_{0,\text{esq/dir}})}/ \hbar$ ; a continuidade de $\varphi$ e $\varphi'$ dá $r = (k_1 - k_2)/(k_1 + k_2)$ e a probabilidade de reflexão (razão de correntes) $R = r^2$ , $T = 1 - R = 4k_1k_2/(k_1 + k_2)^2$ — uma partícula pode ser refletida por um degrau que teria energia para subir, exatamente como uma onda numa corda por uma mudança de impedância (Capítulo 15);
$E < V_0$ : à direita $\varphi = t\eu^{-\kappa x}$ , $\kappa = \sqrt{2m(V_0 - E)}/\hbar$ — uma onda evanescente; $|r| = 1$ (reflexão total, com um desvio de fase), nenhuma corrente entra no degrau, mas a partícula é encontrada ali com uma probabilidade que decai ao longo de $1/\kappa$ .

Demonstração. Escreva as equações de continuidade em $x = 0$ e resolva; para as correntes use $j = (|A|^2 - |B|^2)\hbar k/m$ (Capítulo 30). Para $E < V_0$ , $r = (k - \iu\kappa)/(k + \iu\kappa)$ , de módulo um. ∎

Teorema 31.6 (Tunelamento através de uma barreira)

Uma partícula de energia $E < V_0$ que encontra uma barreira retangular de altura $V_0$ e largura $a$ é transmitida com a probabilidade

T = \Big[1 + \frac{V_0^2\sinh^2(\kappa a)}{4E(V_0 - E)}\Big]^{-1} \ \approx\ 16\,\frac{E}{V_0}\Big(1 - \frac{E}{V_0}\Big)\eu^{-2\kappa a} \quad (\kappa a \gg 1), \qquad \kappa = \frac{\sqrt{2m(V_0 - E)}}{\hbar} .

Este é o efeito túnel: classicamente impossível, quanticamente exponencialmente pequeno — e exponencialmente sensível à largura $a$ , à altura $V_0 - E$ e à massa $m$ . Para um elétron $1\,\mathrm{eV}$ abaixo do topo, $\kappa = 5.1\,\mathrm{nm}^{-1}$ : $T \sim 10^{-2}$ para $a = 0.5\,\mathrm{nm}$ , $10^{-4}$ para $1\,\mathrm{nm}$ , $10^{-9}$ para $2\,\mathrm{nm}$ ; para um próton, $\kappa$ é $43$ vezes maior e nada passa com essas larguras.

Demonstração. $\varphi = \eu^{\iu kx} + r\eu^{-\iu kx}$ para $x < 0$ , $A\eu^{\kappa x} + B\eu^{-\kappa x}$ dentro, $t\eu^{\iu kx}$ para $x > a$ ; quatro condições de continuidade (de $\varphi$ e $\varphi'$ em $0$ e em $a$ ) para quatro incógnitas; eliminando $A$ , $B$ , $r$ obtém-se $1/|t|^2 = 1 + (k^2 + \kappa^2)^2\sinh^2(\kappa a)/4k^2\kappa^2$ , que é a fórmula com $k^2 = 2mE/\hbar^2$ , $\kappa^2 = 2m(V_0 - E)/\hbar^2$ . Para $\kappa a \gg 1$ , $\sinh\kappa a \approx \eu^{\kappa a}/2$ . Para uma barreira de forma arbitrária o expoente se torna $2\int\kappa(x)\dd x$ ao longo da região proibida (o fator de Gamow, admitido). ∎

O tunelamento através de uma barreira: a onda oscila à esquerda, decai exponencialmente dentro da região classicamente proibida e emerge à direita com amplitude reduzida — o mesmo comprimento de onda, uma probabilidade pequena.

Exemplo 31.7 (O microscópio de varredura por tunelamento)

Uma ponta metálica afiada é aproximada até $d \approx 0.5\,\mathrm{nm}$ de uma superfície condutora e aplica-se uma pequena tensão: os elétrons tunelam através do vão de vácuo, cuja altura de barreira é a função trabalho $\Phi \approx 4.5\,\mathrm{eV}$ , de modo que $\kappa = \sqrt{2m\Phi}/\hbar = 1.1 \times 10^{10}\,\mathrm{m}^{-1}$ e a corrente $I \propto \eu^{-2\kappa d}$ muda por um fator $\eu^{2.2} \approx 10$ a cada $0.1\,\mathrm{nm}$ . Uma malha de realimentação move a ponta para manter $I$ constante, e a altura da ponta, registrada durante a varredura, desenha a superfície com uma resolução vertical de um picômetro — e lateralmente átomo a átomo, porque o último átomo da ponta, sendo o mais próximo, carrega a maior parte da corrente (Binnig e Rohrer, 1981).

Exemplo 31.8 (Decaimento alfa)

Uma partícula $\alpha$ de $5\,\mathrm{MeV}$ dentro de um núcleo pesado enfrenta a barreira de Coulomb da carga restante $Ze$ , de dezenas de MeV de altura na superfície nuclear e que se estende até o raio $b = 2Ze^2/4\pi\varepsilon_0E \approx 50\,\mathrm{fm}$ , onde $V = E$ . O fator de Gamow $2\int\kappa\,\dd r$ é da ordem de $80$ : $T \sim \eu^{-80} \sim 10^{-35}$ . A partícula bate na parede umas $10^{21}$ vezes por segundo, de modo que escapa a uma taxa $\sim 10^{-14} \,\mathrm{s}^{-1}$ : um tempo de vida de um milhão de anos. Como o expoente varia como $Z/\sqrt E$ , uma variação de $2\,\mathrm{MeV}$ em $E$ desloca o tempo de vida de vinte ordens de grandeza — a lei de Geiger–Nuttall, de microssegundos à idade do universo (Gamow, 1928: a primeira aplicação do tunelamento).

Resolução atômica numa superfície de ouro, obtida com um microscópio de varredura por tunelamento: as fileiras de átomos da face (100) reconstruída, separadas por alguns décimos de nanômetro.

31.4 O poço duplo

Proposição 31.9 (Desdobramento por tunelamento)

Dois poços idênticos separados por uma barreira: se a barreira fosse impenetrável cada poço teria o mesmo nível fundamental $E_0$ , duas vezes. O tunelamento os acopla, e os dois estados mais baixos do poço duplo são as combinações simétrica e antissimétrica, $\varphi_\pm \approx (\varphi_{\text{L}} \pm \varphi_{\text{R}})/\sqrt2$ , com energias $E_0 \mp \Delta/2$ : o nível é desdobrado de uma quantidade $\Delta \propto \eu^{-\kappa a}$ (a amplitude de tunelamento, não seu quadrado). Uma partícula colocada no poço esquerdo, $\psi = (\varphi_+ + \varphi_-)/\sqrt2$ , não é estacionária: ela oscila entre os poços na frequência $\nu = \Delta/h$ — as oscilações de tunelamento, os batimentos de dois níveis do Capítulo 30.

Demonstração. A combinação simétrica não tem nó sob a barreira e tem uma curvatura menor, e portanto uma energia menor; a antissimétrica tem um nó e fica mais alta; o desdobramento é proporcional à superposição das funções localizadas sob a barreira, $\eu^{-\kappa a}$ . O batimento é a superposição de dois níveis já calculada. ∎

O poço duplo: o nível degenerado dos dois poços isolados se desdobra num estado simétrico (mais baixo) e num antissimétrico (mais alto) de - a; uma partícula posta de um lado tunela para lá e para cá na frequência /h. — O poço duplo: o nível degenerado dos dois poços isolados se desdobra num estado simétrico (mais baixo) e num antissimétrico (mais alto) de $\Delta \propto \eu^{-\kappa a}$ ; uma partícula posta de um lado tunela para lá e para cá na frequência $\Delta/h$ .

Exemplo 31.10 (A amônia)

Na NH $_3$ o átomo de nitrogênio fica de um lado do plano dos três hidrogênios ou do outro — um poço duplo com uma barreira de cerca de $0.25\,\mathrm{eV}$ . O desdobramento por tunelamento do nível fundamental vale $\Delta = 1 \times 10^{-4}\,\mathrm{eV}$ : $\nu = \Delta/h = 24\,\mathrm{GHz}$ , a frequência de inversão, a transição do primeiro maser e do primeiro relógio atômico (1949). Troque o hidrogênio por deutério e a molécula, mais pesada, tunela menos: $1.6\,\mathrm{GHz}$ . Em pirâmides mais pesadas (PH $_3$ , AsH $_3$ ) o desdobramento desaba para quilohertz e menos: a molécula fica de seu lado por anos — razão pela qual moléculas canhotas e destras existem afinal, e pela qual o açúcar não racemiza na prateleira.

Charles Townes com o primeiro maser (1954): um feixe de moléculas de amônia, separadas por um campo elétrico segundo o estado de inversão superior, amplificou a transição de 24\, GHz numa cavidade — o primeiro dispositivo de emissão estimulada, seis anos antes do laser. — Charles Townes com o primeiro maser (1954): um feixe de moléculas de amônia, separadas por um campo elétrico segundo o estado de inversão superior, amplificou a transição de $24\,\mathrm{GHz}$ numa cavidade — o primeiro dispositivo de emissão estimulada, seis anos antes do laser.

Método 31.11 (Poços e barreiras)

(1) Escreva $\varphi$ região por região: $\eu^{\pm\iu kx}$ onde $E > V$ , $\eu^{\pm\kappa x}$ onde $E < V$ , com $k, \kappa = \sqrt{2m|E - V|}/\hbar$ . (2) Case $\varphi$ e $\varphi'$ em cada fronteira (numa parede infinita, $\varphi = 0$ ). (3) Estados ligados: o casamento só tem soluções para $E$ discretos — conte-os graficamente. (4) Espalhamento: as correntes $(|A|^2 - |B|^2)\hbar k/m$ dão $R$ e $T$ . (5) Tunelamento: $T \sim \eu^{-2\kappa a}$ ; primeiro a ordem de grandeza, depois o prefator. (6) Poço duplo: desdobramento $\propto\eu^{-\kappa a}$ , batimentos em $\Delta/h$ .

31.5 Exercícios

Exercício 31.1 ★

Poço infinito: elétron em $1\,\mathrm{nm}$ ( $E_1$ , $E_2$ , $E_3$ , comprimento de onda do fóton $2 \to 1$ ); elétron em $0.1\,\mathrm{nm}$ ; núcleon em $5\,\mathrm{fm}$ ; uma bola de gude de $1\,\mathrm{g}$ em $10\,\mathrm{cm}$ ( $E_1$ , e o número quântico para uma velocidade de $1\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$ ).

Solução

Solução de Exercício 31.1.

$1\,\mathrm{nm}$ : $0.38\,$ , $1.50\,$ , $3.38\,\mathrm{eV}$ ; $2 \to 1$ : $1.13\,\mathrm{eV}$ , $1.1\,\text{µ}\mathrm{m}$ . $0.1\,\mathrm{nm}$ : $38\,\mathrm{eV}$ . Núcleon: $8\,\mathrm{MeV}$ . Bola de gude: $E_1 = 5.5 \times 10^{-63}\,\mathrm{J}$ ; $n = 2mvL/h = 3 \times 10^{27}$ .

Exercício 31.2 ★

Pontos quânticos: um nanocristal de intervalo $1.74\,\mathrm{eV}$ confina um par elétron–buraco cuja energia de confinamento vale $h^2/8m^*L^2$ com $m^* = 0.1\,m_{\text{e}}$ . Comprimento de onda de emissão para $L = 6$ , $4$ , $3$ , $2.5\,\mathrm{nm}$ ; que cores?

Solução

Solução de Exercício 31.2.

Confinamento $3.76\,\mathrm{eV}\,\mathrm{nm}^{2}/L^2$ : $0.10$ , $0.24$ , $0.42$ , $0.60\,\mathrm{eV}$ ; total $1.84$ , $1.98$ , $2.16$ , $2.34\,\mathrm{eV}$ : $673\,$ , $628\,$ , $574\,$ , $530\,\mathrm{nm}$ — vermelho, laranja, amarelo-esverdeado, verde.

Exercício 31.3 ★

Tunelamento: elétron com $V_0 - E = 4.5\,\mathrm{eV}$ : $\kappa$ ; $\eu^{-2\kappa a}$ para $a = 0.3$ , $0.5$ , $1$ , $2\,\mathrm{nm}$ ; fator por $0.1\,\mathrm{nm}$ ; o mesmo para um próton com $a = 0.3\,\mathrm{nm}$ .

Solução

Solução de Exercício 31.3.

$\kappa = 1.09 \times 10^{10}\,\mathrm{m}^{-1}$ ; $\eu^{-2\kappa a}$ : $1.5 \times 10^{-3}$ , $1.8 \times 10^{-5}$ , $3 \times 10^{-10}$ , $10^{-19}$ ; $\times 8.8$ por $0.1\,\mathrm{nm}$ ; próton: $\kappa$ é $43$ vezes maior, $\eu^{-280}$ a $0.3\,\mathrm{nm}$ .

Exercício 31.4 ★

Degrau: elétron de $2\,\mathrm{eV}$ sobre um degrau de $1\,\mathrm{eV}$ : $k_1$ , $k_2$ , $R$ , $T$ . O mesmo para um degrau para baixo de $1\,\mathrm{eV}$ . Por que isso é impossível classicamente, e qual é o análogo para a luz?

Solução

Solução de Exercício 31.4.

$k_1 = 7.3 \times 10^{9}\,\mathrm{m}^{-1}$ , $k_2 = 5.1 \times 10^{9}\,\mathrm{m}^{-1}$ ; $R = 0.03$ , $T = 0.97$ . Degrau para baixo: $k_2 = 8.9 \times 10^{9}\,\mathrm{m}^{-1}$ , $R = 0.01$ . Uma partícula clássica nunca volta atrás quando tem energia para passar; uma onda de luz é parcialmente refletida em qualquer mudança de índice.

Exercício 31.5 ★★

O poço infinito em detalhe. (a) Deduza os níveis e normalize. (b) Mostre a ortogonalidade. (c) Para $n = 1$ : $\langle x\rangle$ , $\Delta x = L\sqrt{1/12 - 1/2\pi^2}$ , $\langle p\rangle = 0$ , $\Delta p = \pi\hbar/L$ ; verifique Heisenberg. (d) Esboce $|\varphi_n|^2$ para $n$ grande e compare com a probabilidade clássica de encontrar uma partícula que ricocheteia.

Solução

Solução de Exercício 31.5.

(a), (b) Proposição 31.1. (c) $L/2$ ; $0.18L$ ; $0$ ; $\pi\hbar/L$ ; produto $0.57\hbar > \hbar/2$ . (d) Oscilações rápidas em torno da média $1/L$ — a densidade uniforme clássica.

Exercício 31.6 ★★

Poço finito. (a) Deduza $k\tan ka = \kappa$ para os estados pares. (b) Mostre graficamente que há sempre um estado ligado e conte-os para $R = 1$ , $4$ , $10$ . (c) Elétron, $V_0 = 1\,\mathrm{eV}$ , $2a = 1\,\mathrm{nm}$ : $R$ , número de estados, profundidade de penetração do estado fundamental (tome $E \approx 0.26\,\mathrm{eV}$ ). (d) O que acontece com o número de estados ligados quando $V_0 \to \infty$ , e com suas energias?

Solução

Solução de Exercício 31.6.

(a) Proposição 31.3. (b) $1$ , $3$ , $7$ . (c) $R = 2.6$ , dois estados; $\kappa = 4.4 \times 10^{9}\,\mathrm{m}^{-1}$ , profundidade $0.23\,\mathrm{nm}$ . (d) Uma infinidade deles, tendendo por baixo aos do poço infinito.

Exercício 31.7 ★★

Degrau, $E < V_0$ . (a) Escreva $\varphi$ dos dois lados e encontre $r = (k - \iu\kappa)/(k + \iu\kappa)$ . (b) Mostre que $|r| = 1$ e calcule a fase de $r$ . (c) Mostre que a corrente se anula para $x > 0$ embora $|\varphi|^2 \ne 0$ ali. (d) Elétron $1\,\mathrm{eV}$ abaixo do topo: profundidade de penetração; compare com a onda evanescente da reflexão total interna.

Solução

Solução de Exercício 31.7.

(a) $1 + r = t$ , $\iu k(1 - r) = -\kappa t$ . (b) O numerador e o denominador são conjugados; fase $-2\arctan(\kappa/k)$ . (c) $\psi^*\psi'$ é real para uma exponencial real. (d) $0.2\,\mathrm{nm}$ ; como a onda evanescente da reflexão total: presente, sem transportar fluxo, e capaz de alimentar um segundo meio — e isso é o tunelamento.

Exercício 31.8 ★★

A barreira. (a) Escreva as quatro condições de continuidade e deduza $T$ . (b) Avalie exatamente e com a aproximação para $E = V_0/2$ , $\kappa a = 3$ ; e para $\kappa a = 1$ . (c) Para $E > V_0$ mostre que $T = [1 + V_0^2\sin^2(k_2a)/4E(E - V_0)]^{-1}$ e encontre as energias de transmissão perfeita. (d) Interprete-as (pense na camada antirreflexo do Capítulo 15).

Solução

Solução de Exercício 31.8.

(a) Teorema 31.6. (b) $\kappa a = 3$ : exato $1/(1 + \sinh^23) = 9.9 \times 10^{-3}$ , aproximação $4\eu^{-6} = 9.9 \times 10^{-3}$ ; $\kappa a = 1$ : $0.42$ contra $0.54$ . (c) $\kappa \to \iu k_2$ ; $T = 1$ para $k_2a = n\pi$ . (d) As reflexões nas duas faces se cancelam quando a barreira vale um número inteiro de meios comprimentos de onda — transmissão ressonante.

Exercício 31.9 ★★

Gamow. Para a barreira de Coulomb, do raio nuclear $R_{\text{n}}$ até $b = 2Ze^2/4\pi\varepsilon_0E$ , o expoente vale $G = 2\int\kappa\,\dd r = (2\sqrt{2mE}/\hbar)\,b\,[\arccos\sqrt{R_{\text{n}}/b} - \sqrt{(R_{\text{n}}/b)(1 - R_{\text{n}}/b)}]$ . (a) $Z = 90$ , $E = 5\,\mathrm{MeV}$ , $R_{\text{n}} = 8\,\mathrm{fm}$ : $b$ , $G$ , $T$ . (b) Frequência de choques $v/2R_{\text{n}}$ e o tempo de vida. (c) Repita para $E = 4$ e $6\,\mathrm{MeV}$ : razão dos tempos de vida. (d) Por que os núcleos emitem partículas $\alpha$ em vez de prótons ou de $^{12}$ C?

Solução

Solução de Exercício 31.9.

(a) $b = 52\,\mathrm{fm}$ ; $G = 82$ ; $T = \eu^{-82} \approx 2 \times 10^{-36}$ . (b) $v = 1.55 \times 10^{7}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $10^{21}$ choques por segundo: taxa $2 \times 10^{-15}\,\mathrm{s}^{-1}$ , tempo de vida $\sim 10^7$ anos. (c) $G = 100$ e $69$ : $\eu^{18} \approx 10^8$ mais longo, $\eu^{-13} \approx 10^{-6}$ mais curto. (d) A $\alpha$ é fortemente ligada e sai com energia positiva; um próton não sairia; um $^{12}$ C tem três vezes a carga e um expoente bem maior (o decaimento por aglomerado existe, a $10^{-10}$ ).

Exercício 31.10 ★★★

Amônia. Desdobramento $\Delta = 1 \times 10^{-4}\,\mathrm{eV}$ . (a) Frequência de inversão e período da oscilação de tunelamento. (b) O átomo de N é preparado de um lado: escreva $\psi(t)$ e a probabilidade de encontrá-lo do outro lado. (c) A ND $_3$ tunela a $1.6\,\mathrm{GHz}$ : deduza $\kappa a$ da razão dos desdobramentos se $\Delta \propto \eu^{-\kappa a}$ e $\kappa \propto\sqrt m$ ( $m_{\text{D}} = 2m_{\text{H}}$ , barreira inalterada). (d) Por que uma molécula quiral pode ficar canhota por anos?

Solução

Solução de Exercício 31.10.

(a) $24\,\mathrm{GHz}$ ; $41\,\mathrm{ps}$ . (b) $\psi = (\varphi_+\eu^{-\iu E_+t/\hbar} + \varphi_-\eu^{-\iu E_-t/\hbar})/\sqrt2$ ; $P = \sin^2(\pi\nu t)$ . (c) $\eu^{(\sqrt2 - 1) \kappa a} = 15$ : $\kappa a = 6.5$ . (d) Grupos mais pesados e barreiras mais altas tornam o período de tunelamento maior que anos.

Exercício 31.11 ★★★

O STM. $\Phi = 4.5\,\mathrm{eV}$ , $d = 0.5\,\mathrm{nm}$ , tensão $0.1\,\mathrm{V}$ , $I = 1\,\mathrm{nA}$ . (a) $\kappa$ , o fator de $I$ por $0.1\,\mathrm{nm}$ e a resolução em altura se $I$ é medida com $1\%$ de precisão. (b) Elétrons por segundo na corrente. (c) O átomo do ápice da ponta está $0.25\,\mathrm{nm}$ mais perto que seus vizinhos (afastados lateralmente de $0.25\,\mathrm{nm}$ , de modo que $d' = \sqrt{d^2 + 0.25^2}$ ): fração da corrente que ele carrega. (d) Uma armação de aço de $1\,\mathrm{cm}$ se dilata de $\alpha L\Delta T$ com $\alpha = 1 \times 10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}$ : que estabilidade de temperatura um picômetro exige, e como os projetos contornam isso?

Solução

Solução de Exercício 31.11.

(a) $1.09 \times 10^{10}\,\mathrm{m}^{-1}$ ; $\times 8.8$ ; $1\%$ de $I$ vale $0.5\,\mathrm{pm}$ . (b) $6 \times 10^9$ . (c) Cada vizinho, a $d' = 0.56\,\mathrm{nm}$ , carrega $\eu^{-2\kappa \times 0.06\,\text{nm}} = 0.28$ da corrente do ápice; o ápice leva cerca de metade. (d) $10^{-5}\,\mathrm{K}$ — impossível; projetos simétricos em que a ponta e a amostra se dilatam juntas, varreduras rápidas, materiais de baixa dilatação e a realimentação.

Exercício 31.12 ★★★

Um laser de poço quântico. Uma camada de $10\,\mathrm{nm}$ de GaAs (intervalo $1.42\,\mathrm{eV}$ , $m_{\text{e}}^* = 0.067\,m_{\text{e}}$ , $m_{\text{h}}^* = 0.45\,m_{\text{e}}$ ) entre barreiras $0.3\,\mathrm{eV}$ mais altas. (a) Energias de confinamento fundamentais do elétron e do buraco (poço infinito). (b) Energia e comprimento de onda do fóton do laser. (c) Largura para $780\,\mathrm{nm}$ . (d) Com a barreira finita, quantos estados eletrônicos ligados o poço de $10\,\mathrm{nm}$ comporta?

Solução

Solução de Exercício 31.12.

(a) $0.056\,$ e $0.008\,\mathrm{eV}$ . (b) $1.48\,\mathrm{eV}$ , $835\,\mathrm{nm}$ . (c) Confinamento $0.17\,\mathrm{eV}$ : $L = 6.1\,\mathrm{nm}$ . (d) $R = 3.6$ : três.

31.6 Problema: o STM, a partícula alfa e o maser de amônia

Problema 31.1

Problema de fim de semana — três túneis

Dados: $\hbar = 1.05 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$ , $h = 6.63 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$ , $m_{\text{e}} = 9.11 \times 10^{-31}\,\mathrm{kg}$ , $m_\alpha = 6.64 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}$ , $e^2/4\pi\varepsilon_0 = 1.44\,\mathrm{MeV}\,\mathrm{fm}$ , $1\,\mathrm{eV}$ $= 1.60 \times 10^{-19}\,\mathrm{J}$ .

Parte I — O microscópio de varredura por tunelamento. A ponta e a amostra são de tungstênio ( $\Phi = 4.5\,\mathrm{eV}$ ); vão $d$ ; tensão $50\,\mathrm{mV}$ ; a corrente vale $I = I_0\eu^{-2\kappa d}$ .

$\kappa$ para elétrons no nível de Fermi diante da barreira de vácuo $\Phi$ .
Fator de variação de $I$ para $\Delta d = 0.1\,\mathrm{nm}$ ; para $1\,\mathrm{pm}$ .
A realimentação mantém $I$ constante a $1\%$ : ruído em altura.
$I = 1\,\mathrm{nA}$ : elétrons por segundo; tempo médio entre dois elétrons, comparado com o “tempo” de tunelamento $\sim\hbar/\Phi$ .
O átomo do ápice e seus vizinhos a $0.25\,\mathrm{nm}$ lateralmente, com $d = 0.5\,\mathrm{nm}$ : parcela do átomo do ápice; por que um único átomo basta para imagear átomos.
Um átomo adsorvido de $0.1\,\mathrm{nm}$ de altura: variação de $I$ no modo de altura constante; por que se prefere o modo de corrente constante.
Uma armação metálica de $2\,\mathrm{cm}$ , $\alpha = 1 \times 10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}$ : variação de temperatura que desloca a ponta de $1\,\mathrm{pm}$ ; como os instrumentos lidam com isso (simetria, rapidez, materiais de baixa dilatação)?
Com uma tensão de $1\,\mathrm{V}$ a barreira deixa de ser retangular: esboce-a e diga se $I$ cresce mais depressa ou mais devagar que linearmente com $V$ .
Num trecho oxidado a função trabalho vale $3\,\mathrm{eV}$ em vez de $4.5\,\mathrm{eV}$ : de quanto a ponta recua no modo de corrente constante sobre uma superfície perfeitamente plana? O que o STM imageia, então?

Parte II — Decaimento alfa de um núcleo $Z = 92$ , $A = 238$ . A partícula $\alpha$ ( $E = 4.2\,\mathrm{MeV}$ ) se move num núcleo de raio $R_{\text{n}} = 8\,\mathrm{fm}$ ; fora, a energia de Coulomb vale $V(r) = 2(Z - 2)e^2/4\pi\varepsilon_0r$ .

Altura da barreira em $R_{\text{n}}$ ; ponto de retorno clássico $b$ .
Velocidade da $\alpha$ no interior e sua frequência de choques na parede.
Expoente de Gamow $G = (2\sqrt{2mE}/\hbar)\,b\,[\arccos\sqrt{R_{\text{n}}/b} - \sqrt{(R_{\text{n}}/b)(1 - R_{\text{n}}/b)}]$ e $T = \eu^{-G}$ .
Taxa de decaimento e meia-vida; compare com os $4.5 \times 10^9$ anos medidos.
O mesmo com $E = 5.2\,\mathrm{MeV}$ (outro isótopo): meia-vida; a sensibilidade de Geiger–Nuttall.
Tomando $R_{\text{n}} = 9\,\mathrm{fm}$ em vez de $8\,\mathrm{fm}$ : efeito sobre a meia-vida; comente a precisão dessas estimativas.
Por que o tunelamento de um próton (carga $1$ , massa $1/4$ ) não é observado a partir do mesmo núcleo, nem o de um $^{12}$ C (carga $6$ )?
A $\alpha$ emerge com os $4.2\,\mathrm{MeV}$ inteiros, embora tenha “passado por baixo” de uma muralha de $30\,\mathrm{MeV}$ : a energia se conserva?

Parte III — O maser de amônia. O átomo de N tunela através do plano dos H $_3$ ; o nível fundamental é desdobrado de $\Delta = 9.8 \times 10^{-5}\,\mathrm{eV}$ .

Frequência e comprimento de onda da transição de inversão.
Escreva os estados simétrico e antissimétrico em termos de “N em cima” e “N embaixo”; qual é o mais baixo, e por quê?
Uma molécula preparada com “N em cima”: $\psi(t)$ , a probabilidade de “embaixo” no instante $t$ , o período.
Razão de Boltzmann entre os dois níveis a $300\,\mathrm{K}$ : a população térmica pode dar um maser? Como se obtém a inversão (um campo elétrico seletor de estados)?
Energia do fóton em joules; número de moléculas que devem emitir por segundo para uma saída de $1 \times 10^{-10}\,\mathrm{W}$ .
A ND $_3$ tunela a $1.6\,\mathrm{GHz}$ : deduza $\kappa a$ para a NH $_3$ supondo $\Delta \propto \eu^{-\kappa a}$ com $\kappa \propto \sqrt{m}$ .
O maser foi o primeiro relógio atômico: por que uma frequência de tunelamento é um bom relógio e que efeitos a deslocam?
Resuma: a quantização vinda do confinamento, o tunelamento vindo da evanescência, e o que fixa os expoentes.

Solução

Solução de Problema 31.1.

1. $\kappa = \sqrt{2m\Phi}/\hbar = 1.09 \times 10^{10}\,\mathrm{m}^{-1}$ .

2. $\eu^{2.2} = 8.8$ ; $\eu^{0.022}$ : $2.2\%$ por picômetro.

3. $0.5\,\mathrm{pm}$ .

4. $6 \times 10^9$ por segundo; separados de $0.16\,\mathrm{ns}$ , contra $\hbar/\Phi \sim 10^{-16}\,\mathrm{s}$ : um de cada vez.

5. Cerca de metade; o resto decai tão depressa com a distância que a imagem é a de um único átomo.

6. $\times 8.8$ ; a corrente constante mantém a ponta segura e transforma a exponencial numa altura linear.

7. $\Delta T = 10^{-12}/(10^{-5} \times 0.02) = 5 \times 10^{-6}\,\mathrm{K}$ ; montagens simétricas, rapidez, materiais de baixa dilatação e uma realimentação que acompanha a deriva.

8. Um trapézio, rebaixado do lado coletor: a barreira efetiva afina e $I$ cresce mais depressa que linearmente.

9. $\kappa' = 0.89 \times 10^{10}\,\mathrm{m}^{-1}$ ; a $0.5\,\mathrm{nm}$ o expoente cai de $10.9$ para $8.9$ , e $I \times 7$ : a ponta recua de $\ln 7/2\kappa' \approx 0.1\,\mathrm{nm}$ — uma saliência que é eletrônica, não geométrica.

10. $V(R_{\text{n}}) = 2 \times 90 \times 1.44/8 = 32\,\mathrm{MeV}$ ; $b = 62\,\mathrm{fm}$ .

11. $v = 1.4 \times 10^{7}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $9 \times 10^{20}$ choques por segundo.

12. $G = 96$ ; $T = \eu^{-96} \approx 10^{-42}$ .

13. Taxa $\sim 10^{-21}\,\mathrm{s}^{-1}$ , meia-vida $\sim 10^{13}$ anos — mil vezes o valor medido: para um expoente de cem, um modelo grosseiro já vai bem ao acertar dentro de algumas ordens de grandeza.

14. $G = 79$ : $\eu^{17} \approx 10^7$ vezes mais curta, cerca de $10^6$ anos — um MeV a mais, sete ordens de grandeza.

15. $G = 92$ : $\eu^{4.5} \approx 90$ vezes mais curta — um fermi de raio vale duas ordens de grandeza.

16. Um próton não está pré-formado com energia positiva (ele está ligado por uns $7\,\mathrm{MeV}$ ); um $^{12}$ C tem três vezes a carga e um expoente três vezes maior.

17. Sim: a $\alpha$ tem sempre $4.2\,\mathrm{MeV}$ ; sua função de onda apenas tem uma parte evanescente sob a barreira, onde nenhuma medida a encontra com energia cinética negativa.

18. $23.7\,\mathrm{GHz}$ ; $1.27\,\mathrm{cm}$ .

19. $(|{\uparrow}\rangle \pm |{\downarrow}\rangle)/\sqrt2$ ; o simétrico é o mais baixo — sem nó, menos curvatura.

20. $\psi = (\varphi_+\eu^{-\iu E_+t/\hbar} + \varphi_-\eu^{-\iu E_-t/\hbar})/\sqrt2$ ; $P_{\downarrow} = \sin^2(\pi\nu t)$ ; período $42\,\mathrm{ps}$ .

21. $\eu^{-\Delta/k_BT} = 0.996$ : quase iguais, sem inversão; um campo elétrico não homogêneo separa o feixe e manda para a cavidade as moléculas do estado superior.

22. $1.6 \times 10^{-23}\,\mathrm{J}$ ; $6 \times 10^{12}$ moléculas por segundo.

23. $\kappa a = 6.5$ .

24. Ela é fixada só pela molécula, idêntica para toda molécula e insensível ao exterior; os desvios vêm do efeito Doppler no feixe, de campos elétricos parasitas, de colisões e do arrasto da cavidade.

25. O confinamento quantiza ( $E_n \propto n^2/L^2$ ); a evanescência deixa a onda passar ( $T \sim \eu^{-2\kappa a}$ ); os expoentes são fixados por $\sqrt{2m(V_0 - E)}/\hbar$ e pela largura — massa, altura, distância.