Física universitária — 2.º ano · Bachelor Year 2

20O interferômetro de Michelson

Em 1887 Michelson e Morley dividiram um feixe de luz em dois, enviaram as metades por braços perpendiculares, recombinaram-nas e vigiaram as franjas à espera do deslocamento que o movimento da Terra através do éter deveria produzir: nada se moveu, e a física mudou. Em 2015 o mesmo instrumento — dois braços, agora com quatro quilômetros e dobrados até mil — registrou uma onda gravitacional que mudou seus comprimentos de um milésimo do diâmetro de um próton. Entre essas duas datas o interferômetro de Michelson mediu o metro em comprimentos de onda, resolveu linhas espectrais e se tornou a ferramenta padrão da óptica de precisão. Este capítulo o descreve em suas duas configurações — a cunha de ar e a lâmina de faces paralelas — e mostra como suas franjas medem comprimentos, índices e espectros.

20.1 O instrumento

Definição 20.1 (O interferômetro de Michelson)

Um divisor de feixe $Sp$ — uma lâmina de vidro com uma face semirrefletora — a $45{}^{\circ}$ divide um feixe incidente em dois: um vai para o espelho $M_1$ , o outro para $M_2$ , ambos perpendiculares a seus feixes; após a reflexão cada um volta a $Sp$ , onde metade dele é enviada para o observador, onde as duas metades interferem. Uma lâmina compensadora $C$ , idêntica ao divisor e paralela a ele, é colocada no braço que de outro modo atravessaria o vidro do divisor uma só vez, de modo que os dois feixes atravessem a mesma espessura de vidro: a diferença de caminho é então uma pura diferença de percursos no ar, a mesma para todo comprimento de onda — o que as franjas em luz branca exigem. As distâncias dos espelhos a $Sp$ são $d_1$ e $d_2$ ; um dos espelhos é montado sobre um parafuso micrométrico e sobre parafusos de inclinação.

Proposição 20.2 (Montagem equivalente)

Visto do observador, o interferômetro é equivalente ao espelho $M_2$ e à imagem $M_1'$ de $M_1$ no divisor: uma fina camada de ar entre duas superfícies refletoras, de espessura $e = |d_1 - d_2|$ , cujas duas reflexões interferem (divisão da amplitude):

$M_1' \parallel M_2$ : uma lâmina de ar de espessura $e$ — anéis de igual inclinação, localizados no infinito, $\delta = 2e\cos i$ ;
$M_1'$ ligeiramente inclinado de $\alpha$ em relação a $M_2$ : uma cunha de ar — franjas retilíneas de igual espessura, localizadas sobre os espelhos (perto da cunha), $\delta = 2\alpha x$ sob incidência normal, espaçamento $\lambda/2\alpha$ .

No contato ( $e = 0$ , $\alpha = 0$ ) o campo é uniforme e, em luz branca, é o único lugar onde as cores concordam: a "franja branca".

Demonstração. Dobrar o braço de $M_1$ sobre o braço de $M_2$ por reflexão em $Sp$ leva os dois feixes sobre uma mesma reta com dois espelhos separados de $e$ ; as duas ondas que voltam são as refletidas pelas duas faces da camada de ar (sem $\lambda/2$ extra: ambas se refletem em metal, e o divisor as trata simetricamente, a menos de uma fase constante que desloca todo o padrão). Os resultados sobre películas finas do Capítulo 19 aplicam-se então com $n = 1$ . ∎

À esquerda: o interferômetro de Michelson — divisor, lâmina compensadora, dois espelhos, um feixe recombinado rumo ao observador. À direita: a camada de ar equivalente entre M_2 e a imagem M_1' de M_1, paralela (anéis) ou inclinada (franjas retilíneas). — À esquerda: o interferômetro de Michelson — divisor, lâmina compensadora, dois espelhos, um feixe recombinado rumo ao observador. À direita: a camada de ar equivalente entre $M_2$ e a imagem $M_1'$ de $M_1$ , paralela (anéis) ou inclinada (franjas retilíneas).

20.2 Os dois sistemas de franjas

Proposição 20.3 (Os anéis da lâmina de ar)

Com $M_1' \parallel M_2$ e uma fonte extensa, o observador (ou uma lente de distância focal $f$ e um anteparo em seu plano focal) vê anéis concêntricos; o anel sob o ângulo $i$ tem a ordem $p = 2e\cos i/\lambda$ ; anéis claros onde $p$ é inteiro. O centro tem a ordem mais alta, $p_0 = 2e/\lambda$ ; perto dele, $\cos i \approx 1 - i^2/2$ , de modo que o $k$ -ésimo anel claro a partir do centro (contado desde o primeiro, situado $\varepsilon = p_0 - \lfloor p_0\rfloor$ abaixo da ordem do centro) tem o raio

r_k = f\,i_k = f\sqrt{\frac{(k - 1 + \varepsilon)\lambda}e} :

anéis mais apertados quando $e$ é maior (mais anéis, mais finos), que se espalham quando $e \to 0$ até que, no contato, resta um campo uniforme. Deslocar um espelho de $\lambda/2$ muda $p_0$ de uma unidade: nasce um anel no centro (ou ele é engolido por ele) a cada meio comprimento de onda de deslocamento.

Demonstração. $\delta = 2e\cos i$ para a lâmina de faces paralelas (Capítulo 19, $n = 1$ , sem $\lambda/2$ extra para duas reflexões metálicas); $2e(1 - i^2/2) = (p_0 - k + 1 - \varepsilon)\lambda$ com $2e = p_0\lambda$ dá $ei^2 = (k - 1 + \varepsilon)\lambda$ . ∎

Proposição 20.4 (As franjas da cunha de ar)

Com $M_1'$ inclinado de um pequeno ângulo $\alpha$ e sob incidência quase normal, a diferença de caminho no ponto dos espelhos à distância $x$ da linha de contato vale $\delta = 2\alpha x$ : franjas retilíneas paralelas a essa linha, espaçadas de $\lambda/2\alpha$ , localizadas sobre os espelhos (elas são vistas focalizando $M_2$ , ou projetadas num anteparo com uma lente que conjuga $M_2$ e o anteparo). A franja de ordem zero fica sobre a linha de contato, a mesma para todo comprimento de onda: em luz branca ela é branca (ou preta, conforme as fases do divisor), ladeada por algumas franjas coloridas — a assinatura pela qual se encontra o contato.

Demonstração. Franjas de igual espessura de uma cunha de ar, $e(x) = \alpha x$ . Localização: para uma fonte extensa os raios que passam por um dado ponto da cunha se recombinam ali, com o mesmo $\delta$ sob incidência quase normal. ∎

Os dois sistemas de franjas do Michelson e o contraste das franjas do dubleto do sódio em função da espessura da lâmina: ele se anula a cada 0.29\, mm (a primeira vez em 0.145\, mm), quando as franjas das duas linhas estão em oposição. — Os dois sistemas de franjas do Michelson e o contraste das franjas do dubleto do sódio em função da espessura da lâmina: ele se anula a cada $0.29\,\mathrm{mm}$ (a primeira vez em $0.145\,\mathrm{mm}$ ), quando as franjas das duas linhas estão em oposição.

20.3 Medir com o Michelson

Proposição 20.5 (Comprimentos, índices, espectros)

Contar $N$ franjas que passam pelo centro enquanto um espelho se desloca de $\Delta e$ dá $\Delta e = N\lambda/2$ : comprimentos em comprimentos de onda (um parafuso micrométrico calibrado a $0.1\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; o próprio metro foi assim medido). Uma lâmina transparente de espessura $\ell$ e índice $n$ inserida num dos braços acrescenta $2(n - 1)\ell$ a $\delta$ e desloca o padrão de $2(n - 1)\ell/\lambda$ franjas: índices (e suas variações com a pressão ou a temperatura, numa cuba de gás). Com um dubleto de comprimentos de onda $\lambda$ e $\lambda + \Delta\lambda$ , os dois sistemas de franjas saem de passo e voltam a ele à medida que $e$ cresce, o contraste se anulando a cada

\Delta e = \frac{\lambda^2}{2\Delta\lambda} :

a separação de linhas próximas. Mais geralmente, o contraste em função de $e$ desenha o espectro da fonte (o contraste decai ao longo de $e \sim \ell_c/2$ ): registrar a intensidade no centro enquanto $e$ varre é a espectroscopia por transformada de Fourier, o método dos espectrômetros de infravermelho.

Demonstração. A ordem no centro é $2e/\lambda$ ; cada linha tem a sua. Os dois sistemas voltam a coincidir quando $2e/\lambda - 2e/(\lambda + \Delta\lambda) = 1$ , ou seja, $2e\Delta\lambda /\lambda^2 = 1$ ; eles estão em oposição no meio do caminho. O enunciado geral é a fórmula do contraste do Exercício 18.10. ∎

Exemplo 20.6 (O sódio, e o metro)

O dubleto do sódio ( $\Delta\lambda = 0.6\,\mathrm{nm}$ em $589\,\mathrm{nm}$ ): os anéis se embaçam e voltam a ficar nítidos a cada $\Delta e = 589^2/(2 \times 0.6)$ nm $= 0.29\,\mathrm{mm}$ — uma medida clássica de $\Delta\lambda$ com alguns por cento de precisão, feita com um parafuso. Michelson (1892) contou as franjas da linha vermelha do cádmio ao longo do metro padrão: $1\,553\,163.5$ comprimentos de onda, o primeiro laço entre o metro e um átomo; hoje o metro é definido por $c$ e pelo segundo, e interferômetros verificam blocos-padrão na produção com precisão de nanômetros.

A intensidade no centro dos anéis à medida que a espessura da lâmina cresce, para uma fonte de comprimento de coerência finito: as franjas se apagam ao longo de e _c/2; a envoltória é a transformada de Fourier do espectro. — A intensidade no centro dos anéis à medida que a espessura da lâmina cresce, para uma fonte de comprimento de coerência finito: as franjas se apagam ao longo de $e \sim \ell_c/2$ ; a envoltória é a transformada de Fourier do espectro.

Observação 20.7 (Os braços que não mediram nada, e os que mediram uma onda)

Michelson e Morley esperavam que a velocidade $v$ da Terra através do éter mudasse o tempo de ida e volta ao longo do braço paralelo a ela de $(L/c)(v/c)^2$ em relação ao braço perpendicular, um deslocamento de franjas de $2L(v/c)^2/\lambda \approx 0.4$ franja para $L = 11\,\mathrm{m}$ e $v = 30\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ; girar o aparelho deveria ter feito o padrão oscilar de outro tanto. Eles conseguiam ver $0.01$ franja; não viram nada. Os detectores de ondas gravitacionais de hoje são Michelsons com braços de $4\,\mathrm{km}$ , com a luz ricocheteando umas trezentas vezes em cada um, e um laser estável o bastante para ler uma variação de comprimento de braço $\Delta L/L \sim 10^{-21}$ — $10^{-18}$ m, um milésimo de um próton — contra o ruído dos movimentos sísmicos e dos próprios fótons.

Método 20.8 (Usar um Michelson)

(1) Identifique a configuração: lâmina de faces paralelas (anéis no infinito; observe com uma lente ou com o olho no infinito) ou cunha (franjas sobre os espelhos; focalize $M_2$ ). (2) Escreva $\delta = 2e\cos i$ ou $2\alpha x$ e a ordem. (3) Traduza cada medida em franjas: $\Delta e = N\lambda/2$ , $2(n - 1)\ell$ para uma lâmina, $\lambda^2/2\Delta\lambda$ para um dubleto. (4) Use a posição de contato ( $e = 0$ , franja branca) como referência absoluta; note que os raios dos anéis diminuem quando $e$ cresce. (5) Limites de coerência: os anéis são visíveis enquanto $2e < \ell_c$ ; a cunha exige incidência quase normal.

20.4 Exercícios

Exercício 20.1 ★

Um Michelson em luz de sódio ( $\lambda = 589\,\mathrm{nm}$ ): o espelho é deslocado de $0.10\,\mathrm{mm}$ : número de anéis que passam pelo centro; deslocamento correspondente a $250$ franjas; precisão sobre $e$ se se pode ler um décimo de franja.

Solução

Solução de Exercício 20.1.

$N = 2\Delta e/\lambda = 340$ ; $250$ franjas: $\Delta e = 125\lambda = 74\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; um décimo de franja vale $\lambda/20 = 30\,\mathrm{nm}$ .

Exercício 20.2 ★

Lâmina de faces paralelas de espessura $e = 0.50\,\mathrm{mm}$ , lente $f = 1.0\,\mathrm{m}$ , $\lambda = 589\,\mathrm{nm}$ : ordem no centro; o centro é claro? Raios dos três primeiros anéis claros; o que acontece com os anéis quando $e$ é reduzido a $0.05\,\mathrm{mm}$ ?

Solução

Solução de Exercício 20.2.

$p_0 = 2e/\lambda = 1697.8$ : não é inteiro, o centro não é claro ( $\varepsilon = 0.8$ ). $r_k = f\sqrt{(k - 1 + \varepsilon)\lambda/e}$ : $3.1$ , $4.6$ , $5.7\,\mathrm{cm}$ . Em $0.05\,\mathrm{mm}$ os raios crescem de $\sqrt{10}$ : poucos anéis, e largos.

Exercício 20.3 ★

Cunha de ar com $\alpha = 1.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad}$ , $\lambda = 633\,\mathrm{nm}$ : espaçamento das franjas; número de franjas ao longo de $2\,\mathrm{cm}$ de espelho; o ângulo da cunha é dobrado: o que acontece? Como se encontra o contato com luz branca?

Solução

Solução de Exercício 20.3.

$\lambda/2\alpha = 3.2\,\mathrm{mm}$ ; seis franjas ao longo de $2\,\mathrm{cm}$ ; dobrar $\alpha$ divide o espaçamento por dois. Contato: transladar o espelho até que apareçam as franjas em luz branca (uma branca ladeada por coloridas) — elas só existem a menos de um micrômetro de $\delta = 0$ .

Exercício 20.4 ★

Uma lâmina de vidro de $0.10\,\mathrm{mm}$ de espessura é inserida num dos braços: deslocamento das franjas para $n = 1.52$ em $589\,\mathrm{nm}$ ; o deslocamento é medido com $0.2$ franja de precisão: precisão sobre $n$ . Por que a mesma medida não poderia ser feita com luz branca se a lâmina tivesse $1\,\mathrm{cm}$ de espessura?

Solução

Solução de Exercício 20.4.

$2(n - 1)e/\lambda = 177$ franjas; $0.2$ franja dá $\Delta n = 0.2\lambda/2e = 6 \times 10^{-4}\,$ . Um centímetro de vidro acrescenta milímetros de caminho dispersivo: as cores já não concordam em lugar nenhum, e não há franja branca.

Exercício 20.5 ★★

Dubleto do sódio. (a) Espessura $e$ entre dois desaparecimentos sucessivos dos anéis, para $\Delta\lambda = 0.597\,\mathrm{nm}$ . (b) Um estudante mede $17$ desaparecimentos ao longo de $5.00\,\mathrm{mm}$ : $\Delta\lambda$ e sua precisão. (c) Ordens das duas linhas em $e = 0.29\,\mathrm{mm}$ : verifique que diferem de $\tfrac12$ . (d) Por que o contraste nunca é exatamente nulo (as duas linhas têm intensidades na razão $2 : 1$ ): contraste mínimo.

Solução

Solução de Exercício 20.5.

(a) $\lambda^2/2\Delta\lambda = 0.291\,\mathrm{mm}$ . (b) $5.00/17 = 0.294\,\mathrm{mm}$ : $\Delta\lambda = \lambda^2/2\Delta e = 0.590\,\mathrm{nm}$ ; $0.1\%$ : $\pm0.0006\,\mathrm{nm}$ . (c) Em $e = 0.145\,\mathrm{mm}$ (o primeiro desaparecimento): $p_1 = 492.4$ , $p_2 = 491.9$ — meia ordem de diferença; em $0.29\,\mathrm{mm}$ diferem de uma unidade. (d) As franjas mais fracas sobrevivem: $V_{\min} = (I_1 - I_2)/(I_1 + I_2) = 1/3$ .

Exercício 20.6 ★★

Índice do ar. Uma cuba de $10.0\,\mathrm{cm}$ num dos braços é evacuada e depois lentamente preenchida com ar a $1\,\mathrm{bar}$ ; passam $94$ franjas ( $\lambda = 589\,\mathrm{nm}$ ). (a) $n - 1$ para o ar. (b) Franjas que passam para uma variação de $1\,\%$ da pressão; coeficiente de temperatura se $n - 1 \propto \rho$ . (c) Por que isso importa para a estabilidade de qualquer interferômetro no ar? (d) Precisão sobre $n - 1$ a partir de um décimo de franja.

Solução

Solução de Exercício 20.6.

(a) $2(n - 1)\ell = 94\lambda$ : $n - 1 = 2.77 \times 10^{-4}\,$ . (b) $0.94$ franja por ponto percentual; $\dd(n - 1)/\dd T = -(n - 1)/T = -9.5 \times 10^{-7}\,\mathrm{K}^{-1}$ . (c) Alguns milibares ou um grau num dos braços movem as franjas: daí o vácuo ou os braços iguais. (d) $0.1/94$ : $\pm3 \times 10^{-7}\,$ .

Exercício 20.7 ★★

Comprimento de coerência. Com uma lâmpada de mercúrio de baixa pressão (linha verde, $546\,\mathrm{nm}$ , largura $0.01\,\mathrm{nm}$ ) os anéis se apagam à medida que $e$ cresce. (a) Comprimento de coerência; espessura $e$ na qual o contraste se torna desprezível. (b) O mesmo com uma lâmpada de alta pressão ( $\Delta\lambda = 1\,\mathrm{nm}$ ). (c) Com um laser He–Ne ( $\Delta\nu = 1\,\mathrm{MHz}$ ): ainda se veem anéis com $e = 10\,\mathrm{m}$ ? (d) O que limita as franjas em luz branca a $\pm2$ ordens em torno do contato?

Solução

Solução de Exercício 20.7.

(a) $\ell_c = \lambda^2/\Delta\lambda = 3\,\mathrm{cm}$ : os anéis se apagam além de $e \approx 1.5\,\mathrm{cm}$ . (b) $0.3\,\mathrm{mm}$ , $e \approx 0.15\,\mathrm{mm}$ . (c) $\ell_c = 300\,\mathrm{m}$ : sim. (d) $\ell_c \approx 1\,\text{µ}\mathrm{m}$ : $2e < 1\,\text{µ}\mathrm{m}$ , umas duas ordens.

Exercício 20.8 ★★

Lâmina compensadora. Sem $C$ , um dos feixes atravessa o vidro do divisor ( $e_g = 5\,\mathrm{mm}$ , $n = 1.52$ ) três vezes e o outro uma só. (a) Caminho óptico extra; ele pode ser compensado deslocando um espelho, em luz monocromática? (b) Por que não em luz branca (dispersão: $n$ varia de $0.01$ no visível)? (c) Que tolerância sobre o paralelismo de $C$ e $Sp$ preserva a franja branca (tome uma diferença residual de espessura $< 0.3\,\text{µ}\mathrm{m}$ )? (d) Os divisores modernos são películas finas ou cubos: por que $C$ é então desnecessária?

Solução

Solução de Exercício 20.8.

(a) $2(n - 1)e_g = 5.2\,\mathrm{mm}$ ; sim, com $2.6\,\mathrm{mm}$ de curso do espelho. (b) O caminho no vidro varia com $\lambda$ de $2e_g\Delta n = 100\,\text{µ}\mathrm{m} \gg \ell_c$ : não há zero independente do comprimento de onda. (c) $2(n - 1)\Delta e_g < 0.3\,\text{µ}\mathrm{m}$ : $\Delta e_g < 0.3\,\text{µ}\mathrm{m}$ — uma inclinação relativa abaixo de $1.5 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}$ em $2\,\mathrm{cm}$ . (d) Uma película tem alguns micrômetros de espessura; um cubo é simétrico: os dois feixes veem o mesmo vidro.

Exercício 20.9 ★★

Michelson–Morley. Braços de $L = 11\,\mathrm{m}$ (dobrados), $\lambda = 550\,\mathrm{nm}$ , velocidade orbital da Terra $v = 30\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ . (a) Na teoria do éter a ida e volta ao longo do braço paralelo a $\vect v$ leva $2L/c(1 - v^2/c^2)$ e a do braço perpendicular $2L/c\sqrt{1 - v^2/c^2}$ : diferença, na ordem mais baixa. (b) Deslocamento de franjas esperado ao girar o aparelho de $90{}^{\circ}$ (os papéis dos braços se trocam). (c) Eles podiam detectar $0.01$ franja: limite superior sobre $v$ . (d) O que diz um resultado nulo, e o que Einstein concluiu?

Solução

Solução de Exercício 20.9.

(a) $\Delta t \approx Lv^2/c^3 = 4.1 \times 10^{-15}\,\mathrm{s}$ , um caminho de $1.2\,\text{µ}\mathrm{m}$ . (b) Trocar os braços dobra isso: $2Lv^2/c^2\lambda = 0.4$ franja. (c) $v < 30\sqrt{0.01/0.4} = 4.7\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ . (d) Não se vê nenhum movimento através de um éter; a velocidade da luz é a mesma ao longo dos dois braços — o postulado da relatividade.

Exercício 20.10 ★★★

Espectroscopia de Fourier. A intensidade no centro dos anéis vale $I(e) = \int S(\nu)[1 + \cos(4\pi\nu e/c)]\dd\nu$ para uma fonte de espectro $S(\nu)$ . (a) Para uma única linha: $I(e)$ ; período em $e$ . (b) Para uma linha gaussiana de largura $\Delta\nu$ : mostre que as franjas têm uma envoltória gaussiana de largura $\sim c/2\Delta\nu$ em $e$ (admita que a transformada de Fourier de uma gaussiana é uma gaussiana). (c) Resolução: duas linhas separadas de $\Delta\nu$ ficam separadas se a varredura alcança $e_{\max} \approx c/2\Delta\nu$ ; para $e_{\max} = 10\,\mathrm{cm}$ , o poder de resolução $\lambda/\Delta\lambda$ em $1\,\text{µ}\mathrm{m}$ . (d) Por que esse método é preferido no infravermelho (sinal, vantagem "multiplex")?

Solução

Solução de Exercício 20.10.

(a) $I = S_0[1 + \cos(4\pi\nu_0e/c)]$ , de período $\lambda/2$ em $e$ . (b) Cada frequência dá uma franja de período ligeiramente diferente; uma banda gaussiana de largura $\Delta\nu$ se soma em franjas com uma envoltória gaussiana de largura $\sim c/2\Delta\nu$ . (c) $R = \nu/\Delta\nu = 2e_{\max}/\lambda = 2 \times 10^5$ . (d) Todos os comprimentos de onda caem sobre um único detector ao mesmo tempo (Fellgett), através de uma abertura larga (Jacquinot): muito mais sinal que um espectrômetro de fenda no infravermelho, pobre em fótons.

Exercício 20.11 ★★★

Detector de ondas gravitacionais. Braços $L = 4\,\mathrm{km}$ , luz reciclada em $N = 300$ idas e voltas, $\lambda = 1064\,\mathrm{nm}$ , a onda muda os braços de $\Delta L/L = 10^{-21}$ em sentidos opostos. (a) Variação da diferença de caminho; desvio de fase. (b) O instrumento é mantido numa franja escura e mede a pequena intensidade $I = I_0\sin^2(\Delta\varphi/2)$ : variação de intensidade para o sinal. (c) Com $100\,\mathrm{W}$ de luz circulante em $1064\,\mathrm{nm}$ , fótons por segundo; o ruído de fótons em $1\,\mathrm{ms}$ ( $\sqrt N$ ) contra o sinal: ele é detectável? O que se ganha com mais potência? (d) Por que os braços têm quilômetros de comprimento, e por que os espelhos são suspensos?

Solução

Solução de Exercício 20.11.

(a) O caminho de cada braço muda de $2N\Delta L$ , em sentidos opostos: $\Delta\delta = 4N\Delta L = 4.8 \times 10^{-15}\,\mathrm{m}$ , $\Delta\varphi = 2\pi\Delta\delta/\lambda = 2.8 \times 10^{-8}\,\mathrm{rad}$ . (b) Perto de uma franja escura o detector vê uma intensidade proporcional a $\Delta\varphi^2$ — ou, com um pequeno desvio, a $\Delta\varphi$ : uma variação relativa da ordem de $10^{-8}$ . (c) $5 \times 10^{20}$ fótons por segundo, $5 \times 10^{17}$ por milissegundo, ruído relativo $1.4 \times 10^{-9}$ : o sinal vale vinte vezes o ruído; mais potência baixa o ruído como $1/\sqrt P$ . (d) $\Delta L \propto L$ ; as suspensões pendulares filtram o movimento do solo acima de sua ressonância.

Exercício 20.12 ★★★

Localização. (a) Mostre que, para a cunha, os dois raios que saem de um ponto $P$ de $M_2$ rumo a um observador no infinito (incidência $i$ ) têm a diferença de caminho $2e(P)\cos i$ mais um termo $\propto\alpha i$ que se anula para $i = 0$ : as franjas ficam sobre os espelhos apenas sob incidência normal. (b) Uma fonte extensa ilumina a cunha com incidências até $i_{\max}$ : o que $i_{\max}$ deve satisfazer para que as franjas permaneçam nítidas ( $2e\,i_{\max}^2/2 < \lambda/4$ na borda do campo, $e = 20\,\text{µ}\mathrm{m}$ )? (c) Para a lâmina de faces paralelas os anéis não se movem quando o olho se move: por quê? (d) Uma estudante vê franjas que derivam quando ela move a cabeça: em que configuração ela está, e o que deve ajustar?

Solução

Solução de Exercício 20.12.

(a) Para um ponto $P$ à profundidade $e(P)$ e sob incidência $i$ , $\delta = 2e(P)\cos i$ mais um termo $\propto\alpha i$ vindo da segunda reflexão inclinada, que se anula sob incidência normal: só aí os dois raios vindos de $P$ chegam ao olho — localização sobre os espelhos. (b) $ei^2 < \lambda/4$ : $i_{\max} < \sqrt{\lambda/4e} = 0.09\,\mathrm{rad}$ . (c) Os anéis dependem só de $i$ : qualquer posição do olho vê o mesmo padrão angular. (d) A cunha vista fora dos espelhos; focalize $M_2$ ou reduza a inclinação.

Um interferômetro de Michelson numa bancada de ensino: laser, cubo divisor, dois espelhos e, no anteparo, os anéis de igual inclinação da lâmina de ar.

O interferômetro LIGO em Hanford: um interferômetro de Michelson com braços de quatro quilômetros de comprimento que, em 2015, registrou uma variação de comprimento de braço de um milésimo do diâmetro de um próton — a passagem de uma onda gravitacional (LIGO Laboratory).

20.5 Problema: o dubleto do sódio e o índice do ar

Problema 20.1

Problema de fim de semana — uma sessão completa de medidas num interferômetro de Michelson: achar o contato, ler comprimentos, separar a linha amarela, pesar o ar

O interferômetro tem um parafuso micrométrico que lê $1\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; a lâmpada de sódio dá $\lambda_1 = 589.0\,\mathrm{nm}$ e $\lambda_2 = 589.6\,\mathrm{nm}$ com intensidades $2 : 1$ ; uma lâmpada branca e um laser He–Ne ( $632.8\,\mathrm{nm}$ ) também estão disponíveis.

Parte I — A regulagem.

Com o laser, a estudante vê sobre um cartão dois pontos luminosos vindos dos dois braços; ela os superpõe com os parafusos de inclinação e vê então franjas retilíneas: que configuração é esta, e o que seu espaçamento diz sobre a inclinação residual (espaçamento $2\,\mathrm{mm}$ )?
Girando os parafusos de inclinação, as franjas se encurvam e depois se tornam anéis: por que aparecem anéis, e onde está $M_1'$ agora?
Ela translada o espelho e conta $158$ anéis engolidos pelo centro: deslocamento; em que sentido $e$ está variando?
À medida que ela prossegue, os anéis se espalham e a mancha central cresce até preencher o campo: o que ela alcançou? A lâmpada de sódio substitui o laser e ela não vê nada de especial: por que não, e por que a luz branca mostra nesse ponto uma franja central clara ladeada por franjas coloridas?
Ela inclina $M_1$ muito ligeiramente no contato e vê, em luz branca, franjas retilíneas coloridas: explique, e diga quantas ela pode esperar de cada lado da branca.
Os pontos do laser têm $10\,\mathrm{mm}$ de diâmetro e ela quer dez anéis no campo de uma lente de $f = 20\,\mathrm{cm}$ ( $\lambda = 632.8\,\mathrm{nm}$ ): espessura $e$ necessária (use o raio do $k$ -ésimo anel).
Por que a lâmina compensadora deve ser paralela ao divisor, e o que ela veria em luz branca se a compensadora fosse retirada?

Parte II — O dubleto.

Partindo do contato com a lâmpada de sódio, ela aumenta $e$ : o contraste dos anéis cai, se anula, volta. Espessura do primeiro desaparecimento; do $n$ -ésimo.
Ela registra $12$ desaparecimentos entre $e = 0.15\,\mathrm{mm}$ e $e = 3.35\,\mathrm{mm}$ (o primeiro e o último lidos no parafuso): $\Delta\lambda$ ; precisão se cada leitura é boa até $5\,\text{µ}\mathrm{m}$ .
Ordens $p_1$ e $p_2$ das duas linhas no primeiro desaparecimento; no primeiro retorno do contraste pleno.
Contraste mínimo num desaparecimento, dada a razão de intensidades $2 : 1$ (as franjas da linha mais fraca permanecem).
Quantos desaparecimentos ela pode contar antes que a largura natural das linhas ( $0.02\,\mathrm{nm}$ cada) apague tudo?
O que mostraria uma lâmpada com três linhas igualmente espaçadas?

Parte III — O ar. Uma cuba de comprimento $\ell = 5.00\,\mathrm{cm}$ com janelas de vidro é colocada num dos braços e evacuada; o ar é admitido lentamente enquanto se contam as franjas do laser.

Diferença de caminho óptico criada ao preencher a cuba até $1\,\mathrm{atm}$ se $n - 1 = 2.9 \times 10^{-4}\,$ ; número de franjas.
Ela conta $46$ franjas: seu valor de $n - 1$ .
Ela admite apenas $0.20\,\mathrm{bar}$ : franjas esperadas ( $n - 1 \propto$ pressão).
A sala esquenta $3\,\mathrm{K}$ durante a medida, e os $40\,\mathrm{cm}$ de percurso ao ar livre em cada braço mudam de índice de $-1 \times 10^{-6}\,$ por kelvin: deriva das franjas; isso é um problema para a Parte II, para a Parte III?
Por que as janelas da cuba não deslocam a medida (elas estão lá durante toda a contagem)?
A experiência é repetida com CO $_2$ ( $n - 1 = 4.5 \times 10^{-4}\,$ ): franjas para uma cuba cheia; como se poderia identificar o gás só pela contagem?

Parte IV — Os limites.

O parafuso é lido a $1\,\text{µ}\mathrm{m}$ : precisão de um comprimento medido por contagem de franjas ao longo de $1\,\mathrm{cm}$ , comparada à do parafuso sozinho.
Uma vibração de $50\,\mathrm{nm}$ de amplitude a $100\,\mathrm{Hz}$ sacode um dos espelhos: movimento das franjas; o que vê o olho, o que vê uma câmera a $25$ quadros por segundo?
A frequência do laser deriva de $1 \times 10^{-8}\,$ em valor relativo durante uma contagem sobre $e = 1\,\mathrm{cm}$ : erro em franjas.
Um bloco-padrão de $10\,\mathrm{mm}$ é certificado a $\lambda/20$ por interferometria: precisão absoluta e relativa.
Por que o Michelson é o instrumento de eleição para comprimentos, e a rede (próximo capítulo) para espectros?
Resuma as quatro grandezas medidas (um comprimento, a separação de um dubleto, um índice, um comprimento de coerência) e a observação de franjas que deu cada uma.

Solução

Solução de Problema 20.1.

1. Franjas de cunha; $\lambda/2\alpha = 2\,\mathrm{mm}$ : $\alpha = 1.6 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad}$ .

2. $M_1'$ ficou paralelo a $M_2$ : a lâmina de ar, cujas franjas de igual inclinação são anéis.

3. $158\lambda/2 = 50\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; anéis engolidos no centro: $e$ diminuindo.

4. O contato, $e = 0$ . A luz de sódio nada mostra de particular ali (um único comprimento de onda, campo uniforme de todo jeito); a luz branca mostra a única posição em que todas as cores têm $\delta = 0$ , ladeada por cores à medida que as ordens se separam.

5. $\delta = 2\alpha x$ : uma franja branca sobre a linha de contato e uma ou duas coloridas de cada lado ( $2\alpha x < \ell_c \approx 1\,\text{µ}\mathrm{m}$ ).

6. $r_{10} = f\sqrt{10\lambda/e} = 5\,\mathrm{mm}$ : $e = 10\lambda f^2/r^2 = 1.0\,\mathrm{cm}$ .

7. Paralela, ela faz os dois feixes atravessarem espessuras iguais de vidro em todo comprimento de onda; sem $C$ , a dispersão de $5\,\mathrm{mm}$ de vidro não deixa nenhum zero comum: nenhuma franja branca.

8. $\lambda^2/4\Delta\lambda = 0.145\,\mathrm{mm}$ ; depois a cada $\lambda^2/2\Delta\lambda = 0.291\,\mathrm{mm}$ .

9. $11$ intervalos ao longo de $3.20\,\mathrm{mm}$ : $0.291\,\mathrm{mm}$ , $\Delta\lambda = 0.597\,\mathrm{nm}$ ; $\pm10\,\text{µ}\mathrm{m}$ sobre $3.2\,\mathrm{mm}$ : $\pm0.002\,\mathrm{nm}$ .

10. $492.4$ e $491.9$ (meia ordem de diferença); no retorno, $984.7$ e $983.7$ .

11. $1/3$ .

12. $\ell_c = \lambda^2/\Delta\lambda = 1.7\,\mathrm{cm}$ : $2e < 1.7\,\mathrm{cm}$ , cerca de $29$ .

13. Três sistemas de franjas: contraste pleno a cada $\lambda^2/2\Delta\lambda$ , com duas quedas parciais entre eles — o padrão de três fendas.

14. $2(n - 1)\ell = 29\,\text{µ}\mathrm{m}$ : $46$ franjas.

15. $n - 1 = 46\lambda/2\ell = 2.91 \times 10^{-4}\,$ .

16. $9.2$ franjas.

17. Braços iguais: a deriva é comum aos dois e se cancela; uma desigualdade de $1\,\mathrm{cm}$ dá $2 \times 0.01 \times 3 \times 10^{-6} = 0.1\,\mathrm{franja}$ — inofensivo para as duas partes.

18. Elas estão presentes, inalteradas, durante toda a contagem: um deslocamento constante.

19. $71$ franjas; a contagem dá $n - 1$ , uma assinatura do gás.

20. $31\,600$ franjas ao longo de um centímetro, lidas com um décimo de precisão: $30\,\mathrm{nm}$ , $3 \times 10^{-6}$ ; o parafuso dá um micrômetro.

21. $\delta$ oscila de $\pm100\,\mathrm{nm}$ , $\pm0.16$ franja a $100\,\mathrm{Hz}$ : o olho vê um contraste reduzido; a $25$ quadros por segundo a câmera amostra quatro períodos por quadro e vê um padrão congelado ou que bate lentamente.

22. $10^{-8} \times 31\,600 = 3 \times 10^{-4}$ franja: nada.

23. $\lambda/20 = 32\,\mathrm{nm}$ sobre $10\,\mathrm{mm}$ : $3 \times 10^{-6}$ .

24. Ele compara diretamente um comprimento com um comprimento de onda, franja a franja; a rede espalha todos os comprimentos de onda de uma vez sobre uma faixa larga.

25. Comprimento: anéis contados no centro. Dubleto: a perda periódica de contraste. Índice: franjas que passam enquanto a cuba se enche. Comprimento de coerência: a espessura na qual os anéis se apagam.

Termos definidos neste capítulo

O interferômetro de Michelson

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