Física universitária — 2.º ano · Bachelor Year 2

17Radiação de dipolo e espalhamento

Por que o céu é azul, e por que ele é mais azul a ângulo reto do Sol — e ali polarizado, como abelhas e fotógrafos sabem? Por que uma torre de rádio precisa ter dezenas de metros de altura, e por que ela nada irradia para cima? As duas perguntas têm a mesma resposta: uma carga elétrica oscilante irradia ondas eletromagnéticas, com uma potência que cresce com a quarta potência da frequência e um diagrama que se anula ao longo do eixo de oscilação. Este capítulo enuncia o campo do dipolo oscilante, o mais simples dos sistemas radiantes, dele extrai a antena e a radiação de uma carga acelerada, e o aplica às moléculas do ar, cada uma uma antena minúscula que reemite a luz do Sol: o espalhamento Rayleigh.

Uma torre de transmissão sob um céu azul: um dipolo vertical de dezenas de metros irradiando rumo ao horizonte e, acima dele, o céu iluminado por bilhões de dipolos moleculares que reirradiam o Sol.

17.1 O campo de um dipolo oscilante

Teorema 17.1 (Campo de radiação de um dipolo elétrico)

Um dipolo de momento $\vect p(t) = p_0\cos\omega t\,\vect e_z$ , de tamanho $a$ , na origem, irradia. Na zona de radiação — a distâncias $r \gg \lambda = 2\pi c/\omega \gg a$ — seu campo, em coordenadas esféricas $(r, \theta, \varphi)$ em torno do eixo do dipolo, vale

\vect E(M, t) = -\frac{\mu_0\,\omega^2p_0}{4\pi}\,\frac{\sin\theta}r\,\cos\bigl(\omega(t - r/c)\bigr)\,\vect e_\theta , \qquad \vect B = \frac{\vect e_r\wedge\vect E}c :

uma onda esférica, localmente plana — $(\vect E, \vect B, \vect e_r)$ um triedro direto com $B = E/c$ —, retardada do tempo de percurso $r/c$ , de amplitude que cai como $1/r$ , proporcional à aceleração $\ddot p = -\omega^2p$ do dipolo e a $\sin\theta$ : máxima no plano equatorial, nula ao longo do eixo; polarizada no plano que contém o eixo.

Demonstração. Admitido neste nível. ∎

Observação 17.2 (Como ler a fórmula)

A solução exata das equações de Maxwell (a partir dos potenciais retardados, além deste volume) contém também termos em $1/r^2$ e $1/r^3$ ; o último é o campo quase estático de dipolo do volume do Ano 1, $\vect E \propto p/4\pi\varepsilon_0r^3$ , que domina na zona próxima $r \ll \lambda$ ; em $r \sim \lambda/2\pi$ os dois se equivalem, e além disso só o termo em $1/r$ sobrevive. Cada fator tem sua razão. O $1/r$ : a potência através de uma esfera, $\propto E^2r^2$ , não pode depender de $r$ . O $\omega^2p_0$ : o campo de uma carga em repouso ou em movimento uniforme não é radiativo; é a aceleração que irradia. O $\sin\theta$ : um observador no eixo vê a carga ir e vir ao longo da linha de visada, sem aceleração transversal; no plano equatorial toda a aceleração é transversal. O retardo: o campo em $M$ no instante $t$ reflete o que o dipolo fez em $t - r/c$ .

À esquerda: o campo de radiação de um dipolo num ponto distante M — transversal, segundo e_, com B azimutal; nada é irradiado ao longo do eixo. À direita: o diagrama de radiação, uma rosca 2 cuja seção está desenhada. — À esquerda: o campo de radiação de um dipolo num ponto distante $M$ — transversal, segundo $\vect e_\theta$ , com $\vect B$ azimutal; nada é irradiado ao longo do eixo. À direita: o diagrama de radiação, uma rosca $\propto\sin^2\theta$ cuja seção está desenhada.

17.2 Potência irradiada

Proposição 17.3 (Potência de um dipolo; fórmula de Larmor)

O vetor de Poynting médio do campo do dipolo é radial,

\langle\vect\Pi\rangle = \frac{\mu_0\,\omega^4p_0^2}{32\pi^2c}\,\frac{\sin^2\theta}{r^2}\,\vect e_r ,

e a potência média total irradiada vale

\mathcal P = \frac{\mu_0\,\omega^4p_0^2}{12\pi c} = \frac{p_0^2\omega^4}{12\pi\varepsilon_0c^3} .

Para uma única carga $q$ com aceleração $a$ (não relativística), a potência instantânea vale $\mathcal P = q^2a^2/6\pi\varepsilon_0c^3$ (Larmor).

Demonstração. $\langle\Pi\rangle = \langle E^2\rangle/\mu_0c$ com $\langle\cos^2\rangle = \tfrac12$ ; integre sobre a esfera:

\int\sin^2\theta\,r^2\dd\Omega = 2\pi r^2\int_0^\pi\sin^3\theta\,\dd\theta = \tfrac83\pi r^2 , \qquad \mathcal P = \frac{\mu_0\omega^4p_0^2}{32\pi^2c}\cdot\frac{8\pi}3 = \frac{\mu_0\omega^4p_0^2}{12\pi c} .

Larmor: $p = qz$ , logo $\ddot p = qa$ ; substituir a média $\tfrac12\omega^4p_0^2 = \langle\ddot p^2\rangle$ pelo valor instantâneo $q^2a^2$ dá $\mathcal P = \mu_0q^2a^2/6\pi c$ . ∎

Exemplo 17.4 (Uma antena e um fio)

Um fio curto de comprimento $\ell \ll \lambda$ percorrido pela corrente $I_0\cos\omega t$ é um dipolo com $\dot p = I_0\ell\cos\omega t$ , ou seja, $p_0 = I_0\ell/\omega$ : ele irradia $\mathcal P = \mu_0\omega^2I_0^2\ell^2/12\pi c = \tfrac12R_{\text{rad}}I_0^2$ com a resistência de radiação $R_{\text{rad}} = \dfrac{2\pi}3\sqrt{\dfrac{\mu_0}{\varepsilon_0}} \Bigl(\dfrac\ell\lambda\Bigr)^2 \approx 790\,(\ell/\lambda)^2\ \Omega$ — a potência deixa o circuito como se por um resistor, sem aquecer nada. Um fio de $1\,\mathrm{m}$ a $1\,\mathrm{MHz}$ ( $\lambda = 300\,\mathrm{m}$ ): $R_{\text{rad}} = 9\,\mathrm{m}\Omega$ , menos que sua resistência de cobre, uma antena ruim; a $100\,\mathrm{MHz}$ : $88\,\Omega$ (a fórmula do dipolo curto já está sendo esticada aqui), uma boa antena. O dipolo de meia onda, $\ell = \lambda/2$ com distribuição senoidal de corrente, tem $R_{\text{rad}} = 73\,\Omega$ (admitido) e um diagrama próximo do dipolo elementar — a antena padrão, das torres de rádio às "orelhas de coelho" dos televisores antigos. Um fio de rede de $1\,\mathrm{m}$ a $50\,\mathrm{Hz}$ : $R_{\text{rad}} \approx 2 \times 10^{-11}\,\Omega$ — os circuitos quase estacionários do Capítulo 11 nada irradiam.

À esquerda: a distribuição de corrente num dipolo de meia onda, máxima na alimentação e nula nas pontas. À direita: a resistência de radiação de um dipolo curto, 790( / )2 ohms, e os 73\, do dipolo de meia onda. — À esquerda: a distribuição de corrente num dipolo de meia onda, máxima na alimentação e nula nas pontas. À direita: a resistência de radiação de um dipolo curto, $790(\ell/\lambda)^2$ ohms, e os $73\,\Omega$ do dipolo de meia onda.

Exemplo 17.5 (Um elétron que irradia)

Num tubo de raios X um elétron de $50\,\mathrm{keV}$ ( $v = 1.2 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ) para em $1\,\text{µ}\mathrm{m}$ de tungstênio: $a \sim v^2/2d = 7 \times 10^{21}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , potência de Larmor $1.2 \times 10^{-4}\,\mathrm{W}$ durante $1.6 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}$ : $2 \times 10^{-18}\,\mathrm{J}$ , cerca de $0.02\%$ de sua energia irradiada como a "radiação de freamento" (bremsstrahlung) do tubo — o resto é calor, e o anodo é refrigerado. O elétron clássico de um átomo de hidrogênio, acelerado a $v^2/r = 9 \times 10^{22}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , irradiaria $5 \times 10^{-8}\,\mathrm{W}$ e espiralaria até o núcleo em $1 \times 10^{-11}\,\mathrm{s}$ : a física clássica proíbe os átomos, e o Capítulo 30 os resgata.

17.3 Espalhamento Rayleigh: o céu azul

Proposição 17.6 (Espalhamento por um elétron ligado)

Uma onda de amplitude $E_0$ e frequência $\omega$ incide num átomo modelado como um elétron ligado elasticamente de ressonância $\omega_0 \gg \omega$ (Capítulo 14): o elétron oscila com amplitude $eE_0/m\omega_0^2$ , o átomo vira um dipolo $p_0 = e^2E_0/m\omega_0^2$ em fase com o campo, e reirradia a potência $\mathcal P = p_0^2\omega^4/12\pi \varepsilon_0c^3$ . A razão entre essa potência e a intensidade incidente é a seção de choque de espalhamento

\sigma = \frac{\mathcal P}{\varepsilon_0cE_0^2/2} = \frac{8\pi}3\,r_e^2\Bigl(\frac\omega{\omega_0}\Bigr)^4 , \qquad r_e = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0mc^2} = 2.8 \times 10^{-15}\,\mathrm{m} :

a lei de Rayleigh, $\sigma \propto \omega^4 \propto 1/\lambda^4$ . Para um elétron livre ( $\omega_0 = 0$ ) a seção de choque vale $\sigma_T = 8\pi r_e^2/3 = 6.65 \times 10^{-29}\,\mathrm{m}^{2}$ , independente da frequência (espalhamento Thomson).

Demonstração. Do modelo de Lorentz com $\omega \ll \omega_0$ e amortecimento desprezível, $\underline{\vect r} = -e\underline{\vect E}/m\omega_0^2$ ; insira $p_0$ na potência e divida por $I = \varepsilon_0cE_0^2/2$ ; o $r_e$ reúne as constantes. Para o elétron livre, $\vect r = e\vect E/m\omega^2$ (em oposição de fase), $p_0 = e^2E_0/m\omega^2$ , e os $\omega^4$ se cancelam. ∎

Exemplo 17.7 (Céu azul, pôr do sol vermelho, nuvens brancas)

A luz violeta ( $400\,\mathrm{nm}$ ) é espalhada $(700/400)^4 = 9.4$ vezes mais que a vermelha: o céu, iluminado pela luz solar espalhada, é azul (e não violeta: o Sol emite menos violeta e o olho o enxerga mal). No poente a luz direta atravessa quarenta vezes mais ar que ao meio-dia e perde seu azul para o céu de outros lugares: ela avermelha. Cada molécula do ar espalha com $\sigma \approx 5 \times 10^{-31}\,\mathrm{m}^{2}$ a $550\,\mathrm{nm}$ ; com $n = 2.5 \times 10^{25}\,\mathrm{m}^{-3}$ o livre caminho médio $1/n\sigma$ vale $80\,\mathrm{km}$ : um décimo da luz verde é espalhado no caminho de descida pela atmosfera, e um terço do violeta. As gotículas das nuvens, muito maiores que $\lambda$ , não são espalhadores de Rayleigh: elas espalham todas as cores igualmente — branco.

Proposição 17.8 (Polarização por espalhamento)

A luz natural que viaja segundo $x$ induz dipolos no plano $yz$ . Um observador que olha segundo $y$ (a $90{}^{\circ}$ do feixe) não recebe radiação alguma das componentes do dipolo segundo $y$ (sua linha de visada) e recebe toda a radiação das componentes segundo $z$ : a luz espalhada é polarizada retilineamente segundo $z$ , perpendicularmente ao plano que contém o feixe e a linha de visada. Em outros ângulos ela fica parcialmente polarizada, com grau $(1 - \cos^2\chi)/(1 + \cos^2\chi)$ para o ângulo de espalhamento $\chi$ .

Demonstração. A luz natural incidente tem um $\vect E$ com componentes médias iguais segundo $y$ e $z$ ; o dipolo segundo $y$ não irradia rumo a $y$ ( $\sin \theta = 0$ ), e o segundo $z$ irradia $\propto\sin\theta = 1$ . No ângulo $\chi$ a contribuição da componente $y$ fica reduzida de $\cos^2\chi$ em intensidade. ∎

Luz do Sol espalhada por uma molécula do ar: o dipolo induzido tem componentes perpendiculares ao feixe; um observador a 90 recebe apenas a componente perpendicular à sua linha de visada — luz polarizada retilineamente. É ali que o céu é mais azul e mais polarizado. — Luz do Sol espalhada por uma molécula do ar: o dipolo induzido tem componentes perpendiculares ao feixe; um observador a $90{}^{\circ}$ recebe apenas a componente perpendicular à sua linha de visada — luz polarizada retilineamente. É ali que o céu é mais azul e mais polarizado.

Observação 17.9 (Por que a luz azul chega até nós)

Num meio perfeitamente uniforme as ondas espalhadas por moléculas vizinhas interfeririam destrutivamente em todas as direções, menos para a frente (o índice de refração é essa onda espalhada para a frente). São as flutuações da densidade do ar — as moléculas não estão numa rede — que deixam uma intensidade espalhada resultante, proporcional ao número de moléculas, como se calculou acima para uma só (Einstein, 1910). A mesma aleatoriedade torna a luz do céu incoerente de ponto a ponto.

Método 17.10 (Estimativas de radiação)

(1) Identifique o dipolo: $p_0 = q\,\times$ amplitude, ou $I_0\ell/\omega$ para um fio. (2) Campo à distância $r$ : $E \approx \mu_0\omega^2p_0\sin\theta/4\pi r$ ; potência: $\mu_0\omega^4p_0^2/12\pi c$ . (3) Para uma carga acelerada use Larmor; para uma antena, a resistência de radiação. (4) Para o espalhamento, calcule o dipolo induzido pela resposta do meio (modelo de Lorentz) e divida a potência irradiada pela intensidade incidente. (5) Lembre-se dos zeros: nada ao longo do eixo de oscilação, donde a polarização a $90{}^{\circ}$ e o ângulo de Brewster do Capítulo 15.

17.4 Exercícios

Exercício 17.1 ★

Uma antena curta de $1.0\,\mathrm{m}$ conduz $2.0\,\mathrm{A}$ (amplitude) a $100\,\mathrm{MHz}$ . Amplitude do dipolo $p_0$ ; amplitude do campo a $1\,\mathrm{km}$ no plano equatorial e a $30{}^{\circ}$ do eixo; potência irradiada; resistência de radiação.

Solução

Solução de Exercício 17.1.

$p_0 = I_0\ell/\omega = 3.2 \times 10^{-9}\,\mathrm{C}\,\mathrm{m}$ ; $E = \mu_0\omega^2p_0\sin\theta/4\pi r$ : $0.13\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ em $\theta = 90^\circ$ , $0.063\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ a $30{}^{\circ}$ ; $\mathcal P = \mu_0\omega^4p_0^2/12\pi c = 175\,\mathrm{W}$ ; $R_{\text{rad}} = 2\mathcal P/I_0^2 = 88\,\Omega$ .

Exercício 17.2 ★

Resistência de radiação de um fio de $1\,\mathrm{m}$ a $100\,\mathrm{kHz}$ , $1\,\mathrm{MHz}$ , $10\,\mathrm{MHz}$ e $100\,\mathrm{MHz}$ ; compare com sua resistência de cobre ( $1\,\mathrm{mm}$ de diâmetro, com o efeito pelicular nas frequências mais altas, $\delta = 0.2\,\mathrm{mm}$ a $100\,\mathrm{kHz}$ ); rendimento (irradiado sobre total) em cada caso. Por que os transmissores de ondas longas têm torres de centenas de metros?

Solução

Solução de Exercício 17.2.

$790(\ell/\lambda)^2$ : $8.8 \times 10^{-5}\,\Omega$ , $8.8 \times 10^{-3}\,\Omega$ , $0.88\,\Omega$ , $88\,\Omega$ . Cobre: $0.026$ , $0.084$ , $0.27$ , $0.84\,\Omega$ (efeito pelicular): rendimentos de $0.3\%$ , $10\%$ , $77\%$ e $99\%$ . Em comprimentos de onda longos, só uma torre que seja uma boa fração de $\lambda$ tem resistência de radiação acima de suas perdas.

Exercício 17.3 ★

Razão entre o espalhamento Rayleigh da luz de $400\,\mathrm{nm}$ , $550\,\mathrm{nm}$ e $700\,\mathrm{nm}$ ; e o dos comprimentos de onda de radar de $3\,\mathrm{cm}$ e $10\,\mathrm{cm}$ por gotas de chuva (se elas fossem pequenas o bastante — não são bem); por que o radar meteorológico usa comprimentos de onda curtos para ver a chuva e longos para ver através dela?

Solução

Solução de Exercício 17.3.

$400 : 550 : 700 = 9.4 : 2.6 : 1$ . $(10/3)^4 = 120$ : o radar de $3\,\mathrm{cm}$ vê gotas pequenas cem vezes melhor; o de $10\,\mathrm{cm}$ enxerga através da chuva o que está atrás.

Exercício 17.4 ★

Grau de polarização da luz do céu a $30{}^{\circ}$ , $60{}^{\circ}$ , $90{}^{\circ}$ e $120{}^{\circ}$ do Sol; para onde no céu um fotógrafo deve apontar um polarizador para o azul mais escuro, e o que acontece quando o Sol está a pino? Por que o máximo real é de apenas cerca de $75\%$ (pense no espalhamento múltiplo e no que o solo reflete)?

Solução

Solução de Exercício 17.4.

$\sin^2\chi/(1 + \cos^2\chi)$ : $0.14$ , $0.60$ , $1$ , $0.60$ . Aponte a $90{}^{\circ}$ do Sol (um grande círculo no céu); com o Sol a pino, todo o horizonte está a $90{}^{\circ}$ e polarizado ao longo dele. O espalhamento múltiplo, o reflexo do solo e a anisotropia das moléculas acrescentam luz não polarizada: cerca de $75\%$ , no melhor caso.

Exercício 17.5 ★★

(a) Integre o vetor de Poynting do dipolo sobre uma esfera e confira $\mathcal P = \mu_0\omega^4p_0^2/12\pi c$ . (b) Fração da potência irradiada dentro de $30{}^{\circ}$ do plano equatorial. (c) Ângulo de meia potência: em que $\theta$ a intensidade é metade do máximo? (d) O "ganho" do dipolo, intensidade máxima sobre a média isotrópica: mostre que vale $1.5$ .

Solução

Solução de Exercício 17.5.

(a) $\int\sin^2\theta\,\dd\Omega = 8\pi/3$ . (b) $\int_{60^\circ}^{120^\circ}\sin^3\theta\,\dd\theta/ (4/3) = 0.917/1.333 = 69\%$ . (c) $\sin^2\theta = \tfrac12$ : $\theta = 45{}^{\circ}$ , um feixe de $90{}^{\circ}$ de abertura. (d) Máximo $1$ contra a média $2/3$ : $1.5$ .

Exercício 17.6 ★★

Perto e longe. (a) Escreva o campo quase estático de um dipolo em $\theta = 90^\circ$ , $E_{\text{qs}} = p/4\pi\varepsilon_0r^3$ , e o campo radiativo; a que distância $r_0$ suas amplitudes se igualam? Exprima $r_0$ em função de $\lambda$ . (b) Para uma antena de $1\,\mathrm{MHz}$ , quanto vale $r_0$ ; que campo sente um receptor a $10\,\mathrm{m}$ e a $10\,\mathrm{km}$ ? (c) Um celular de $1\,\mathrm{GHz}$ segurado a $2\,\mathrm{cm}$ da cabeça: zona próxima ou distante? (d) Por que o campo próximo não leva potência resultante embora?

Solução

Solução de Exercício 17.6.

(a) $p/4\pi\varepsilon_0r^3 = \omega^2p/4\pi\varepsilon_0c^2r$ em $r_0 = c/\omega = \lambda/2\pi$ . (b) $48\,\mathrm{m}$ : a $10\,\mathrm{m}$ o campo quase estático, e a $10\,\mathrm{km}$ o campo irradiado. (c) $r_0 = 4.8\,\mathrm{cm}$ : a cabeça está na zona próxima. (d) O $\vect E$ e o $\vect B$ da zona próxima estão em quadratura: o vetor de Poynting tem média nula, a energia é armazenada e devolvida, como num capacitor.

Exercício 17.7 ★★

Thomson e a coroa. (a) Calcule $\sigma_T$ . (b) A coroa solar tem $n_e \approx 1 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{-3}$ ao longo de $10^9$ m: fração da luz da fotosfera espalhada em nossa direção; por que a coroa é branca e só visível durante eclipses? (c) Raios X de $10\,\mathrm{keV}$ num átomo de carbono ( $6$ elétrons, energias de ligação abaixo de $300\,\mathrm{eV}$ ): por que os elétrons espalham como se fossem livres, e qual é a seção de choque do átomo? (d) Por que uma radiografia médica distingue osso de carne sobretudo pela absorção, e não pelo espalhamento Thomson?

Solução

Solução de Exercício 17.7.

(a) $8\pi r_e^2/3 = 6.65 \times 10^{-29}\,\mathrm{m}^{2}$ . (b) $n_e\sigma_TL = 10^{14} \times 6.65 \times 10^{-29} \times 10^9 = 7 \times 10^{-6}$ : um milionésimo da fotosfera, sem cor porque o espalhamento Thomson não a tem, e afogada pela luz solar espalhada pelo céu, exceto num eclipse. (c) $10\,\mathrm{keV}$ $\gg$ $300\,\mathrm{eV}$ : os elétrons respondem como livres, $6\sigma_T = 4 \times 10^{-28}\,\mathrm{m}^{2}$ . (d) A absorção fotoelétrica cresce como $Z^4$ e destaca o cálcio; o espalhamento é o mesmo por elétron no osso e na carne.

Exercício 17.8 ★★

Pôr do sol. A profundidade óptica da atmosfera para o espalhamento Rayleigh no zênite vale $\tau(\lambda) = 0.1\,(550\,\text{nm}/\lambda)^4$ (a luz direta é atenuada de $\eu^{-\tau}$ ). (a) Transmissão no zênite para $400\,\mathrm{nm}$ , $550\,\mathrm{nm}$ e $700\,\mathrm{nm}$ . (b) No poente o caminho é $38$ vezes mais longo: transmissões; razão vermelho/azul. (c) Por que a Lua fica vermelha durante um eclipse lunar? (d) Por que o céu perto do horizonte é esbranquiçado em vez de azul profundo?

Solução

Solução de Exercício 17.8.

(a) $\tau = 0.36$ , $0.10$ , $0.038$ : $T = 0.70$ , $0.90$ , $0.96$ . (b) $\tau \times 38 = 13.6$ , $3.8$ , $1.45$ : $T = 1 \times 10^{-6}$ , $0.02$ , $0.23$ ; vermelho sobre azul $\sim 2 \times 10^5$ . (c) A atmosfera da Terra encurva a luz do poente para dentro da sombra, avermelhada pelo mesmo espalhamento. (d) Perto do horizonte o caminho é longo: o azul é espalhado para fora da própria luz espalhada, e o espalhamento múltiplo acrescenta branco.

Exercício 17.9 ★★

Duas antenas. Dois dipolos verticais separados de uma distância $d$ segundo $x$ são alimentados com a mesma amplitude. (a) Em fase, com $d = \lambda/2$ : em que direções horizontais seus campos distantes se somam e em quais se cancelam? (arranjo transversal). (b) Em oposição de fase, com $d = \lambda/2$ : o mesmo (arranjo longitudinal). (c) Em quadratura, com $d = \lambda/4$ : mostre que o arranjo irradia só para um lado. (d) Por que as emissoras AM usam várias torres, e como um radar de arranjo em fase orienta seu feixe sem se mover?

Solução

Solução de Exercício 17.9.

(a) Ao longo da linha do par a diferença de caminho $\lambda/2$ dá cancelamento; transversalmente, soma. (b) Em oposição de fase: o contrário — radiação ao longo da linha (arranjo longitudinal), nada transversalmente. (c) Rumo a $+x$ : atraso de caminho $-\pi/2$ mais fase de alimentação $+\pi/2$ , em fase; rumo a $-x$ : $-\pi$ , cancelando: um cardioide, de um lado só. (d) As torres moldam a cobertura e protegem os vizinhos; um arranjo em fase orienta o feixe mudando as fases de alimentação, em microssegundos.

Exercício 17.10 ★★★

Amortecimento por radiação. O elétron de Lorentz (Capítulo 14) que oscila em $\omega_0$ com amplitude $x_0$ irradia pela fórmula de Larmor. (a) Potência média irradiada; energia do oscilador $\tfrac12m\omega_0^2x_0^2$ ; mostre que a energia decai com a taxa $\Gamma = e^2\omega_0^2/6\pi\varepsilon_0mc^3$ . (b) Valor de $\Gamma$ para a linha do sódio ( $589\,\mathrm{nm}$ ): compare com o $\Gamma$ usado no Exercício 14.9. (c) Tempo de vida $1/\Gamma$ e a largura natural da linha, $\Delta\lambda = \lambda^2\Gamma/2\pi c$ . (d) Fator de qualidade $\omega_0/\Gamma$ do oscilador atômico.

Solução

Solução de Exercício 17.10.

(a) $\langle\mathcal P\rangle = e^2\omega_0^4x_0^2/12\pi\varepsilon_0c^3$ , $W = \tfrac12m\omega_0^2x_0^2$ : $\Gamma = \mathcal P/W = e^2\omega_0^2/6\pi\varepsilon_0mc^3$ . (b) $\omega_0 = 3.2 \times 10^{15}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ : $\Gamma = 6.4 \times 10^{7}\,\mathrm{s}^{-1}$ — o valor usado. (c) $16\,\mathrm{ns}$ ; $\Delta\lambda = \lambda^2\Gamma/2\pi c = 1.2 \times 10^{-14}\,\mathrm{m}$ , um centésimo de picômetro ( $10\,\mathrm{MHz}$ ). (d) $Q = 5 \times 10^7$ .

Exercício 17.11 ★★★

A torre. Uma emissora AM irradia $50\,\mathrm{kW}$ a $1\,\mathrm{MHz}$ de uma torre vertical de altura $\lambda/4$ sobre solo condutor (que age como espelho, tornando a torre a metade de um dipolo de meia onda: $R_{\text{rad}} \approx 36\,\Omega$ , e a potência vai só para o semiespaço superior). (a) Altura; corrente na base. (b) Amplitude do campo a $10\,\mathrm{km}$ no plano horizontal (use o diagrama do dipolo, $\mathcal P$ no semiespaço superior $= \int\langle\Pi\rangle\dd S$ ; tome $\langle\Pi\rangle = 1.5\, \mathcal P/2\pi r^2$ no horizonte como estimativa razoável). (c) Fem numa antena chicote receptora de $1\,\mathrm{m}$ ali. (d) Por que a condutividade do solo importa, e por que se enterram fios de cobre radiais sob a torre?

Solução

Solução de Exercício 17.11.

(a) $75\,\mathrm{m}$ ; $I_0 = \sqrt{2\mathcal P/R} = 53\,\mathrm{A}$ . (b) $\langle\Pi\rangle = 1.5 \times 5 \times 10^4/2\pi \times 10^8 = 1.2 \times 10^{-4}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ , $E_0 = \sqrt{2\Pi/\varepsilon_0c} = 0.30\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ . (c) $0.30\,\mathrm{V}$ . (d) As correntes de retorno circulam no solo; um solo resistivo acrescenta perdas e estraga o espelho; os radiais enterrados lhes dão um caminho de cobre.

Exercício 17.12 ★★★

Espalhamento e índice. Num gás rarefeito as ondas espalhadas para a frente por todas as moléculas se somam coerentemente e constroem o índice de refração, $n - 1 = N\alpha/2\varepsilon_0$ com $\alpha = e^2/m\omega_0^2$ a polarizabilidade; a seção de choque de Rayleigh vale $\sigma = (8\pi/3)r_e^2(\omega/\omega_0)^4$ . (a) Exprima $\sigma$ em função de $n$ , $N$ e $\lambda$ : $\sigma = 8\pi^3(n^2 - 1)^2/3N^2\lambda^4$ . (b) Para o ar ( $n - 1 = 2.9 \times 10^{-4}$ , $N = 2.5 \times 10^{25}\,\mathrm{m}^{-3}$ ) a $550\,\mathrm{nm}$ : $\sigma$ e o livre caminho médio $1/N\sigma$ . (c) Profundidade óptica vertical da atmosfera (altura equivalente $8\,\mathrm{km}$ ); compare com o $0.1$ do Exercício 17.8. (d) Por que essa relação (Rayleigh, 1899) forneceu um valor do número de Avogadro?

Solução

Solução de Exercício 17.12.

(a) $p_0 = \alpha E_0$ dá $\sigma = \alpha^2\omega^4/6\pi\varepsilon_0^2c^4$ ; com $\alpha = \varepsilon_0(n^2 - 1)/N$ e $\omega = 2\pi c/\lambda$ : $\sigma = 8\pi^3(n^2 - 1)^2/3N^2\lambda^4$ . (b) $n^2 - 1 = 5.8 \times 10^{-4}$ : $\sigma = 4.9 \times 10^{-31}\,\mathrm{m}^{2}$ , livre caminho médio $1/N\sigma = 80\,\mathrm{km}$ . (c) $8/80 = 0.1$ . (d) $\sigma$ é medida pela atenuação do céu, e $n$ é conhecido: $N$ segue, e daí o número de Avogadro.

17.5 Problema: A torre, o céu e o elétron

Problema 17.1

Problema de fim de semana — três antenas: uma torre de transmissão, uma molécula do ar ao sol e um elétron livre

Parte I — A torre. Uma emissora de ondas médias em $f = 1.0\,\mathrm{MHz}$ irradia $\mathcal P = 100\,\mathrm{kW}$ de uma torre de um quarto de onda sobre solo condutor ( $R_{\text{rad}} = 36\,\Omega$ , diagrama de um dipolo vertical sobre o semiespaço superior, como no Exercício 17.11).

Comprimento de onda e altura da torre; amplitude da corrente em sua base; tensão sobre $R_{\text{rad}}$ .
Amplitude do momento dipolar equivalente, tratando a torre como um dipolo curto com $p_0 = I_0\ell_{\text{ef}}/\omega$ , $\ell_{\text{ef}} \approx \lambda/2\pi$ para a torre de um quarto de onda (admitido).
Intensidade média a $10\,\mathrm{km}$ e a $100\,\mathrm{km}$ no plano horizontal (tome o diagrama do semiespaço superior, máximo no horizonte, $\langle\Pi\rangle = 1.5\mathcal P/2\pi r^2$ ); amplitudes do campo.
Fem num chicote vertical de $1\,\mathrm{m}$ a $100\,\mathrm{km}$ ; e numa antena de bastão de ferrite (uma bobina de $N = 100$ espiras, $1\,\mathrm{cm}^{2}$ , permeabilidade efetiva $100$ ) voltada para o $\vect B$ da onda: compare.
Potência recebida por um receptor casado com uma antena de área efetiva $A = 1.5\lambda^2/4\pi$ (a do dipolo) a $100\,\mathrm{km}$ .
Os condutores da torre têm uma resistência total de perdas de $2\,\Omega$ : rendimento; potência perdida em calor.
Um receptor a $10\,\mathrm{km}$ está na zona de radiação? E um a $100\,\mathrm{m}$ da torre?
Por que os sinais de ondas médias vão mais longe à noite? (Lembre a camada D do Capítulo 14.)

Parte II — O céu. Ar ao nível do mar: $N = 2.5 \times 10^{25}\,\mathrm{m}^{-3}$ , seção de choque de Rayleigh $\sigma = 4.6 \times 10^{-31}\,\mathrm{m}^{2}\,(550\,\text{nm}/\lambda)^4$ ; luz do Sol de $1.0\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$ no solo; a espessura equivalente da atmosfera na densidade do nível do mar é de $8\,\mathrm{km}$ .

Seção de choque a $450\,\mathrm{nm}$ e a $650\,\mathrm{nm}$ ; razão.
Livre caminho médio das três cores; profundidade óptica vertical $\tau = N\sigma H$ ; fração de cada cor espalhada para fora do feixe direto no zênite.
Potência espalhada por metro cúbico de ar no solo pela luz verde (tome $300\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ de luz solar em torno de $550\,\mathrm{nm}$ ); em que ângulo sólido, e com que diagrama?
Uma coluna de ar de $1\,\mathrm{m}^{2}$ de seção vista a $90{}^{\circ}$ do Sol: estime a intensidade da luz do céu que chega ao observador vinda dessa coluna (potência espalhada em sua direção por unidade de ângulo sólido, ao longo dos $8\,\mathrm{km}$ ) e compare com o Sol direto; o brilho do céu está na ordem certa (cerca de $1 \times 10^{-5}\,$ do Sol)?
Grau de polarização da luz dessa coluna; por que ele é menor na realidade, e como alguns insetos o usam?
No poente o caminho vale $38$ atmosferas: frações transmitidas de azul e de vermelho; cor do Sol; por que o céu no alto continua azul.
Por que o céu é preto na Lua mesmo em pleno dia?
Em Marte o ar é cem vezes mais rarefeito, mas cheio de poeira fina (grãos de um micrômetro): por que o céu marciano é cor de caramelo e seu pôr do sol é azul?

Parte III — O elétron.

Seção de choque de Thomson a partir de $r_e$ .
Num tubo de raios X um elétron de $100\,\mathrm{keV}$ ( $v = 1.6 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , trate-o de forma não relativística) é freado ao longo de $2\,\text{µ}\mathrm{m}$ de tungstênio: aceleração, potência de Larmor, duração, energia irradiada e sua fração da energia cinética.
Menor comprimento de onda que o tubo pode emitir (um fóton levando toda a energia do elétron).
O tubo opera com $20\,\mathrm{mA}$ : potência irradiada; calor no anodo; por que o anodo gira.
Um elétron clássico que circula um próton no raio de Bohr ( $5.3 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}$ , celeridade $2.2 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ): aceleração, potência de Larmor e o tempo para irradiar seus $13.6\,\mathrm{eV}$ — o tempo de vida do átomo clássico.
Os átomos reais duram para sempre: diga o que falta à física clássica aqui, e o que o Capítulo 30 dirá sobre um estado estacionário.
Um elétron num síncrotron de raio $100\,\mathrm{m}$ com $v \approx c$ : que potência dá a fórmula de Larmor não relativística? (A potência verdadeira é $\gamma^4$ vezes maior, com $\gamma \sim 10^4$ : a fonte de luz síncrotron.)
O mesmo elétron em repouso sob $1\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$ de luz solar: potência que ele reirradia (Thomson); número desses elétrons necessários para espalhar um watt.
Resuma as três antenas numa tabela: momento dipolar, frequência, potência, diagrama.

Solução

Solução de Problema 17.1.

1. $\lambda = 300\,\mathrm{m}$ , $h = 75\,\mathrm{m}$ ; $I_0 = \sqrt{2 \times 10^5/36} = 75\,\mathrm{A}$ ; $V = RI_0 = 2.7\,\mathrm{kV}$ .

2. $\ell_{\text{ef}} = 48\,\mathrm{m}$ : $p_0 = 75 \times 48/6.3 \times 10^6 = 5.7 \times 10^{-4}\,\mathrm{C}\,\mathrm{m}$ .

3. $\langle\Pi\rangle = 1.5 \times 10^5/2\pi r^2$ : $2.4 \times 10^{-4}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ e $2.4 \times 10^{-6}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ; $E_0 = 0.42\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ e $0.042\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ .

4. Chicote: $42\,\mathrm{mV}$ . Bastão: $N\mu_{\text{ef}}A\omega B_0 = 10^4 \times 10^{-4} \times 6.3 \times 10^6 \times 1.4 \times 10^{-10} = 0.9\,\mathrm{mV}$ — menos, mas compacto e seletivo.

5. $A = 1.5\lambda^2/4\pi = 1.1 \times 10^{4}\,\mathrm{m}^{2}$ : $P = \Pi A = 26\,\mathrm{mW}$ .

6. $36/38 = 95\%$ ; $5\,\mathrm{kW}$ de calor.

7. $r/\lambda = 33$ a $10\,\mathrm{km}$ : zona de radiação; a $100\,\mathrm{m}$ , $r \approx \lambda/3$ : a região de transição, onde o campo quase estático ainda conta.

8. De dia a camada D absorve a onda que de outro modo alcançaria as camadas refletoras; à noite ela some e a onda celeste leva a emissora a centenas de quilômetros.

9. $\sigma(450) = 1.0 \times 10^{-30}\,\mathrm{m}^{2}$ , $\sigma(650) = 2.4 \times 10^{-31}\,\mathrm{m}^{2}$ : razão $4.4$ .

10. Livres caminhos médios de $39$ , $87$ e $170\,\mathrm{km}$ ; $\tau = 0.21$ , $0.09$ , $0.05$ : $19\%$ , $9\%$ e $5\%$ espalhados.

11. $N\sigma I = 2.5 \times 10^{25} \times 4.6 \times 10^{-31} \times 300 = 3.5\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{3}$ , em $4\pi$ com o diagrama $(1 + \cos^2\chi)$ para luz natural.

12. A coluna espalha $3.5 \times 10^{-3} \times 8000 = 28\,\mathrm{W}$ de seus $300\,\mathrm{W}$ ( $9\%$ ); espalhados pelo hemisfério, o céu entrega uns $4\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{sr}^{-1}$ , contra os $300/6.8 \times 10^{-5} = 4 \times 10^{6}\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{sr}^{-1}$ do Sol: um milionésimo por esferorradiano — a ordem certa.

13. Totalmente polarizada a $90{}^{\circ}$ no espalhamento simples; o espalhamento múltiplo e o solo a reduzem a uns $75\%$ ; abelhas e formigas leem o padrão para achar o Sol atrás das nuvens.

14. $\tau \times 38$ : azul $8$ ( $T = 3 \times 10^{-4}$ ), vermelho $1.8$ ( $T = 0.17$ ): um Sol vermelho intenso; no alto, a luz chega por um caminho curto e é azul.

15. Sem atmosfera, nada há para espalhar: o céu é preto ao lado do Sol.

16. A poeira de um micrômetro espalha como partículas de Mie: para a frente e no vermelho, dando um céu cor de caramelo; perto do Sol poente a luz espalhada para a frente é azul.

17. $8\pi r_e^2/3 = 6.65 \times 10^{-29}\,\mathrm{m}^{2}$ .

18. $a = v^2/2d = 6.4 \times 10^{21}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; $\mathcal P = e^2a^2/6\pi\varepsilon_0c^3 = 2 \times 10^{-10}\,\mathrm{W}$ durante $2d/v = 2.5 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}$ : $6 \times 10^{-24}\,\mathrm{J}$ , $10^{-10}$ dos $100\,\mathrm{keV}$ — o rendimento real fica perto de $1\%$ , porque a frenagem ocorre em encontros próximos e violentos com os núcleos, e não numa desaceleração uniforme e suave.

19. $hc/E = 12.4\,\mathrm{pm}$ .

20. $2\,\mathrm{kW}$ no feixe, cerca de $20\,\mathrm{W}$ de raios X; dois quilowatts de calor num ponto — o anodo gira para espalhá-lo.

21. $a = v^2/r = 9 \times 10^{22}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , $\mathcal P = 5 \times 10^{-8}\,\mathrm{W}$ ; os $13.6\,\mathrm{eV}$ vão embora em $5 \times 10^{-11}\,\mathrm{s}$ .

22. As cargas clássicas em movimento ligado irradiam continuamente; a mecânica quântica tem estados estacionários que não irradiam, e um estado mais baixo sem para onde cair.

23. $a = c^2/R = 9 \times 10^{14}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ : $5 \times 10^{-24}\,\mathrm{W}$ por Larmor, e $\gamma^4 \sim 10^{16}$ vezes mais na realidade: dezenas de quilowatts de luz síncrotron de um feixe armazenado.

24. $\sigma_TI = 6.7 \times 10^{-26}\,\mathrm{W}$ ; $1.5 \times 10^{25}$ elétrons para um watt.

25. Torre: $5.7 \times 10^{-4}\,\mathrm{C}\,\mathrm{m}$ a $1\,\mathrm{MHz}$ , $100\,\mathrm{kW}$ , uma rosca vertical. Molécula: $\sim$ $1 \times 10^{-35}\,\mathrm{C}\,\mathrm{m}$ a $500\,\mathrm{THz}$ , $1 \times 10^{-28}\,\mathrm{W}$ , uma rosca em torno do campo. Elétron livre: Thomson, $1 \times 10^{-25}\,\mathrm{W}$ sob luz solar, o mesmo diagrama.