Física universitária — 2.º ano · Bachelor Year 2

27Balanços termodinâmicos e sistemas abertos

A termodinâmica do volume do primeiro ano tratou de sistemas fechados — uma massa fixa de gás num cilindro, comprimida, aquecida, expandida. Mas as máquinas que de fato aquecem nossas casas, resfriam nossos alimentos e fazem nossa eletricidade são atravessadas por um escoamento: o vapor corre pela turbina de uma usina a centenas de quilogramas por segundo, um fluido refrigerante circula pelo compressor, pelo condensador, pela válvula e pelo evaporador de uma bomba de calor, o ar passa pelo compressor e pela câmara de combustão de um motor a jato. Cada componente é um sistema aberto, uma região do espaço com matéria entrando e saindo, e o primeiro e o segundo princípios devem ser reescritos para ele. A reescrita é curta — o essencial é que o fluido empurrado para dentro do sistema carrega, além de sua energia interna, o trabalho feito para empurrá-lo, razão pela qual a entalpia, e não a energia interna, é a energia natural de um escoamento. Este capítulo estabelece os balanços de massa, energia e entropia para sistemas abertos em escoamento estacionário, aplica-os aos dispositivos elementares — bocal, válvula de estrangulamento, compressor, turbina, trocador de calor — e reúne esses dispositivos nos dois ciclos que o problema de fim de semana dimensiona: uma bomba de calor e uma usina a vapor.

A unidade externa de uma bomba de calor numa manhã de inverno: um ventilador puxa o ar frio sobre o evaporador e, dentro, um compressor, um condensador e uma válvula levam esse calor, multiplicado três ou quatro vezes, para dentro da casa.

27.1 Sistemas abertos e o balanço de massa

Definição 27.1 (Sistema aberto, volume de controle, escoamento estacionário)

Um sistema aberto é uma região fixa do espaço, o volume de controle $\Sigma$ , limitado por uma superfície através da qual o fluido entra e sai (seções de entrada e de saída) e através da qual calor e trabalho podem ser trocados com o exterior; o trabalho recebido por peças móveis (um eixo, um pistão) que não sejam o próprio escoamento é o trabalho útil $W_{\text{u}}$ (trabalho de eixo). O escoamento é estacionário quando todo campo no interior de $\Sigma$ é independente do tempo: a massa, a energia e a entropia contidas em $\Sigma$ são então constantes.

Proposição 27.2 (Balanço de massa)

Através de uma seção de área $S$ em que o fluido de massa volúmica $\rho$ se move à velocidade média $c$ normal a ela escoa a vazão mássica $\dot m = \rho c S$ (em $\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ ). Num escoamento estacionário, o que entra sai: $\sum_{\text{in}}\dot m = \sum_{\text{out}} \dot m$ ; para uma única corrente, $\dot m$ é a mesma na entrada e na saída, $\rho_1c_1S_1 = \rho_2c_2S_2$ — a equação da continuidade do Capítulo 2 integrada sobre a seção.

Demonstração. A massa em $\Sigma$ é constante, de modo que os fluxos se equilibram. ∎

27.2 O primeiro princípio para um sistema aberto

Teorema 27.3 (Balanço de energia de um escoamento estacionário de uma corrente)

Para um escoamento estacionário de vazão mássica $\dot m$ que entra no estado 1 e sai no estado 2, recebendo a potência útil (de eixo) $P_{\text{u}}$ e a potência térmica $P_{\text{th}}$ ,

\dot m\,\Big[(h_2 - h_1) + \tfrac12(c_2^2 - c_1^2) + g(z_2 - z_1)\Big] = P_{\text{u}} + P_{\text{th}} ,

ou, por unidade de massa de fluido que atravessa o sistema,

\Delta h + \Delta\big(\tfrac12c^2\big) + g\,\Delta z = w_{\text{u}} + q .

A entalpia $h = u + Pv$ substitui a energia interna: $Pv$ é o trabalho de escoamento, o trabalho feito pelo fluido a montante para empurrar uma unidade de massa para dentro, menos o feito para empurrá-la para fora.

Demonstração. Siga o sistema fechado formado pelo fluido dentro de $\Sigma$ em $t$ mais a porção $\dd m = \dot m\,\dd t$ prestes a entrar; em $t + \dd t$ ele consiste no fluido dentro de $\Sigma$ (mesmo estado, estacionário) mais a porção $\dd m$ que saiu. Sua energia variou de $\dd m\,[(u_2 + \tfrac12c_2^2 + gz_2) - (u_1 + \tfrac12c_1^2 + gz_1)]$ . Ele recebeu $P_{\text{u}}\dd t + P_{\text{th}}\dd t$ , mais o trabalho das forças de pressão na entrada, $P_1S_1 \times c_1\dd t = P_1v_1\,\dd m$ (que empurra a porção para dentro), menos o da saída, $P_2v_2\,\dd m$ . O primeiro princípio para esse sistema fechado, com $u + Pv = h$ , dá o resultado. ∎

O sistema aberto estacionário: o sistema fechado seguido durante t é o conteúdo de mais a porção que entra, depois o conteúdo mais a porção que sai; o trabalho de pressão nas duas seções transforma u em h = u + Pv. — O sistema aberto estacionário: o sistema fechado seguido durante $\dd t$ é o conteúdo de $\Sigma$ mais a porção que entra, depois o conteúdo mais a porção que sai; o trabalho de pressão nas duas seções transforma $u$ em $h = u + Pv$ .

Observação 27.4 (Usar o primeiro princípio)

Para um gás perfeito $\Delta h = c_p\Delta T$ ; para um líquido $\Delta h \approx c\,\Delta T + v\,\Delta P$ (o segundo termo é o trabalho da bomba); para um vapor lê-se $h$ em tabelas ou diagramas. O termo cinético em geral é desprezível: a $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $c^2/2 = 50\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}$ , contra $1\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ para um kelvin de ar — ele só importa em bocais e em pás de turbina, onde as velocidades chegam a centenas de metros por segundo. O termo potencial, $g\Delta z \approx 10\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}$ por metro, importa para a água numa barragem, nunca num ciclo a gás. Com várias entradas e saídas o balanço se escreve $\sum_{\text{out}}\dot m\,h - \sum_{\text{in}}\dot m\,h = P_{\text{u}} + P_{\text{th}}$ (termos cinético e potencial desprezados).

27.3 O segundo princípio para um sistema aberto

Teorema 27.5 (Balanço de entropia de um escoamento estacionário)

Para um escoamento estacionário de uma corrente que troca as potências térmicas $P_{\text{th},i}$ com fontes às temperaturas $T_i$ ,

\dot m\,(s_2 - s_1) = \sum_i\frac{P_{\text{th},i}}{T_i} + \dot S_{\text{c}}, \qquad \dot S_{\text{c}} \ge 0 ;

por unidade de massa, $\Delta s = s_{\text{troc}} + s_{\text{c}}$ . Um escoamento adiabático e reversível é isentrópico; um escoamento adiabático real tem $s_2 > s_1$ . O rendimento isentrópico de uma turbina é $\eta_{\text{T}} = w_{\text{real}}/w_{\text{s}} = (h_1 - h_2)/(h_1 - h_{2s})$ e o de um compressor $\eta_{\text{C}} = (h_{2s} - h_1)/(h_2 - h_1)$ , onde $2s$ é o estado alcançado isentropicamente à mesma pressão de saída; ambos valem tipicamente $0.8$ – $0.9$ . O trabalho perdido pela irreversibilidade, referido à temperatura ambiente $T_0$ , vale $T_0\,s_{\text{c}}$ por unidade de massa.

Demonstração. O mesmo sistema fechado de antes: sua entropia varia de $\dd m\,(s_2 - s_1)$ , ele recebe $\sum P_{\text{th},i}\dd t/T_i$ das fontes, e o resto é criado. ∎

27.4 Os dispositivos elementares

Proposição 27.6 (Bocal, estrangulamento, compressor, turbina, trocador)

Todos adiabáticos salvo menção contrária, estacionários, com os termos cinético e potencial desprezados a menos que sejam o ponto em questão.

Bocal (sem eixo, sem calor): $\tfrac12c_2^2 - \tfrac12c_1^2 = h_1 - h_2$ — a entalpia vira velocidade; um difusor faz o contrário.
Estrangulamento (válvula, tampão poroso; sem eixo, sem calor, velocidades pequenas): $h_2 = h_1$ , isentálpico. Para um gás perfeito $T_2 = T_1$ ; para um gás real a temperatura em geral cai (efeito Joule–Thomson); para um líquido perto da saturação uma fração vaporiza bruscamente — a válvula de expansão de todo refrigerador.
Compressor, bomba, turbina (máquinas adiabáticas): $w_{\text{u}} = h_2 - h_1$ — positivo para um compressor, negativo para uma turbina; para uma bomba de líquido $w_{\text{u}} \approx v(P_2 - P_1)$ , minúsculo porque $v$ é pequeno.
Trocador de calor (duas correntes, sem eixo, adiabático como um todo): $\dot m_{\text{a}}(h_{\text{a},2} - h_{\text{a},1}) = -\dot m_{\text{b}}(h_{\text{b},2} - h_{\text{b},1})$ — o que um perde o outro ganha; a troca cria entropia a menos que as correntes estejam à mesma temperatura em toda parte (a contracorrente a reduz).
Câmara de mistura: $\sum\dot m_{\text{in}}h_{\text{in}} = \dot m_{\text{out}}h_{\text{out}}$ .

Demonstração. Cada um é o primeiro princípio com os termos apropriados anulados. ∎

Os sistemas abertos elementares: cada um é o balanço de energia com os termos irrelevantes riscados — sem eixo num bocal ou num estrangulamento, sem calor numa turbina adiabática, sem calor líquido num trocador tomado como um todo.

Exemplo 27.7 (Números para os dispositivos)

Vapor que entra no bocal de uma turbina com $h = 3000\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ e sai com $2800\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ atinge $c = \sqrt{2 \times 200 \times 10^3} = 630\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Ar comprimido adiabaticamente de $1\,\mathrm{bar}$ , $293\,\mathrm{K}$ a $8\,\mathrm{bar}$ : isentropicamente $T_2 = 293 \times 8^{0.286} = 531\,\mathrm{K}$ e $w = c_p\Delta T = 239\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ ; com $\eta_{\text{C}} = 0.8$ , $299\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ e $590\,\mathrm{K}$ — razão pela qual os compressores são resfriados entre estágios. Um radiador de carro que retira $42\,\mathrm{kW}$ da água resfriada de $10\,\mathrm{K}$ ( $1\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ ) aquece $2.1\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ de ar de $20\,\mathrm{K}$ . Refrigerante líquido a $40\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ estrangulado até $0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ chega como uma névoa com $28\%$ de vapor: essa vaporização brusca é o que resfria o líquido até a temperatura do evaporador.

27.5 Ciclos

Proposição 27.8 (Refrigeração por compressão de vapor e bomba de calor)

Um fluido refrigerante circula por: (1 $\to$ 2) um compressor adiabático que eleva o vapor da pressão do evaporador à pressão do condensador, $w = h_2 - h_1$ ; (2 $\to$ 3) um condensador em que ele libera $q_{\text{cond}} = h_2 - h_3$ para o lado quente (a sala, para uma bomba de calor; a cozinha, para uma geladeira) e sai como líquido; (3 $\to$ 4) um estrangulamento, $h_4 = h_3$ ; (4 $\to$ 1) um evaporador em que ele absorve $q_{\text{evap}} = h_1 - h_4$ do lado frio. Os coeficientes de desempenho valem

\mathrm{COP}_{\text{frio}} = \frac{h_1 - h_4}{h_2 - h_1}, \qquad \mathrm{COP}_{\text{quente}} = \frac{h_2 - h_3}{h_2 - h_1} = \mathrm{COP}_{\text{frio}} + 1 ,

limitados pelos de Carnot, $T_{\text{c}}/(T_{\text{h}} - T_{\text{c}})$ e $T_{\text{h}}/(T_{\text{h}} - T_{\text{c}})$ ; o ciclo se lê mais facilmente no diagrama $(\log P, h)$ , em que as duas trocas e o trabalho são segmentos horizontais.

Demonstração. Os quatro balanços do primeiro princípio; o balanço de energia de todo o ciclo dá $q_{\text{cond}} = q_{\text{evap}} + w$ , e daí a relação entre os dois COP. ∎

O ciclo de compressão de vapor no diagrama ( P, h): o condensador e o evaporador são isóbaras dentro do domo, o estrangulamento uma isentálpica vertical, o compressor uma linha inclinada; os comprimentos dos segmentos horizontais são os calores e o trabalho por quilograma. — O ciclo de compressão de vapor no diagrama $(\log P, h)$ : o condensador e o evaporador são isóbaras dentro do domo, o estrangulamento uma isentálpica vertical, o compressor uma linha inclinada; os comprimentos dos segmentos horizontais são os calores e o trabalho por quilograma.

Proposição 27.9 (O ciclo a vapor (de Rankine))

A água circula por: (1 $\to$ 2) uma bomba, $w_{\text{p}} \approx v(P_2 - P_1)$ , alguns $\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ ; (2 $\to$ 3) uma caldeira em alta pressão em que ela é aquecida, vaporizada e superaquecida, $q_{\text{in}} = h_3 - h_2$ ; (3 $\to$ 4) uma turbina que expande o vapor até a pressão do condensador, $w_{\text{t}} = h_3 - h_4$ (mil $\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ ); (4 $\to$ 1) um condensador em baixa pressão em que o vapor úmido volta a ser líquido, rejeitando $q_{\text{out}} = h_4 - h_1$ à água de refrigeração. O rendimento vale

\eta = \frac{w_{\text{t}} - w_{\text{p}}}{q_{\text{in}}} = 1 - \frac{q_{\text{out}}}{q_{\text{in}}} ,

cerca de $0.35$ – $0.45$ na prática; o calor é fornecido a uma temperatura média $\bar T = q_{\text{in}}/(s_3 - s_2)$ bem abaixo do pico da caldeira, razão pela qual o superaquecimento, o reaquecimento e as pressões altas elevam $\eta$ , e razão pela qual a exaustão deve permanecer seca o bastante ( $x_4 \gtrsim 0.88$ ) para poupar as últimas pás da erosão por gotículas.

Demonstração. Primeiro princípio em cada componente, depois no ciclo: $w_{\text{t}} - w_{\text{p}} = q_{\text{in}} - q_{\text{out}}$ . ∎

O ciclo de Rankine no diagrama (T,s): bomba (invisível), aquecimento ao longo da linha do líquido, vaporização à pressão da caldeira, superaquecimento, expansão (isentrópica tracejada, real em traço cheio, terminando mais úmida ou mais seca), condensação. É a temperatura média de fornecimento de calor, e não o pico, que fixa o rendimento. — O ciclo de Rankine no diagrama $(T,s)$ : bomba (invisível), aquecimento ao longo da linha do líquido, vaporização à pressão da caldeira, superaquecimento, expansão (isentrópica tracejada, real em traço cheio, terminando mais úmida ou mais seca), condensação. É a temperatura média de fornecimento de calor, e não o pico, que fixa o rendimento.

Observação 27.10 (Outros ciclos, e um transitório)

A turbina a gás (compressor, câmara de combustão, turbina: o ciclo de Brayton) tem o rendimento ideal $1 - r^{-(\gamma-1)/\gamma}$ para a razão de pressões $r$ e rejeita sua exaustão a várias centenas de graus; alimentar com essa exaustão um ciclo a vapor (ciclo combinado) chega a $60\%$ . Os sistemas abertos também têm transitórios: encher um tanque rígido evacuado a partir de uma linha a $T_0$ termina em $T = \gamma T_0$ (o trabalho de escoamento $Pv$ vira energia interna), $120\,\mathrm{K}$ mais quente para o ar — a razão pela qual um cilindro de mergulho esquenta ao ser enchido.

Método 27.11 (Balanços de sistemas abertos)

(1) Desenhe o volume de controle; liste entradas, saídas, eixo e calor. (2) Massa: $\sum\dot m_{\text{in}} = \sum\dot m_{\text{out}}$ . (3) Energia por unidade de massa: $\Delta h + \Delta c^2/2 + g\Delta z = w_{\text{u}} + q$ , com $\Delta h = c_p\Delta T$ para gases, tabelas para vapores, $v\Delta P$ para bombas. (4) Entropia: $\Delta s = \sum q_i/T_i + s_{\text{c}}$ , estados de referência isentrópicos, rendimentos, $T_0s_{\text{c}}$ perdido. (5) Ciclos: leia o diagrama, some ao longo da malha, compare com Carnot.

27.6 Exercícios

Exercício 27.1 ★

(a) Uma mangueira de jardim entrega $12\,\mathrm{L}/\mathrm{min}$ por um bocal de $1\,\mathrm{cm}$ : velocidade de saída. (b) Água quente a $60\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ , $0.1\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ , se mistura com água fria a $10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ , $0.2\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ : temperatura de saída. (c) Por que a mistura é irreversível — calcule a entropia criada por segundo.

Solução

Solução de Exercício 27.1.

(a) $2 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}/7.85 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}^{2} = 2.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (b) $(0.1 \times 60 + 0.2 \times 10)/0.3 = 26.7\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ . (c) $\dot S_{\text{c}} = 0.1c\ln(299.8/333) + 0.2c\ln(299.8/283) = 4.3\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$ : calor passado da água quente para a fria.

Exercício 27.2 ★

Vapor entra num bocal a $50\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ com $h = 3000\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ e sai com $2800\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ : velocidade de saída. Ar a $300\,\mathrm{K}$ acelerado do repouso a $300\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ num bocal ( $c_p = 1005\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$ ): queda de temperatura. Um difusor freia o ar de $250\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ até o repouso: aumento.

Solução

Solução de Exercício 27.2.

$\sqrt{2 \times 200 \times 10^3 + 50^2} = 634\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $c^2/2c_p = 45\,\mathrm{K}$ ; $31\,\mathrm{K}$ .

Exercício 27.3 ★

Estrangulamento. (a) Um gás perfeito: o que acontece com $T$ , com $s$ ? (b) Vapor úmido a $10\,\mathrm{bar}$ ( $h_{\text{f}} = 763$ , $h_{\text{fg}} = 2015\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ ), título $0.9$ , estrangulado até $1\,\mathrm{bar}$ ( $h_{\text{f}} = 417$ , $h_{\text{fg}} = 2258\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ ): título final — o calorímetro de estrangulamento. (c) Refrigerante líquido a $40\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ( $h = 256\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ ) estrangulado até $0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ( $h_{\text{f}} = 200$ , $h_{\text{g}} = 399\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ ): fração de vapor.

Solução

Solução de Exercício 27.3.

(a) $T$ inalterada, $s$ aumenta de $r\ln(P_1/P_2)$ . (b) $h = 2576\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ : $x = (2576 - 417)/2258 = 0.956$ — o título é lido a partir da temperatura da saída superaquecida (ou apenas seca). (c) $(256 - 200)/199 = 0.28$ .

Exercício 27.4 ★

(a) Um radiador resfria $1\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ de água de $90\,$ a $80\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ; o ar ( $c_p = 1005\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$ ) esquenta de $20\,$ a $40\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ : vazão mássica e vazão volumétrica de ar. (b) Uma turbina a vapor, $10\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ , com $h$ de $3400\,$ a $2400\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ : potência. (c) Uma bomba eleva a água de $1\,$ a $60\,\mathrm{bar}$ : trabalho por quilograma, e potência para $500\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ .

Solução

Solução de Exercício 27.4.

(a) $41.8\,\mathrm{kW}$ ; $41.8 \times 10^3/(1005 \times 20) = 2.1\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ , $1.7\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ . (b) $10\,\mathrm{MW}$ . (c) $v\Delta P = 5.9\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ ; $3\,\mathrm{MW}$ .

Exercício 27.5 ★★

O trabalho de escoamento. (a) Refaça a dedução do primeiro princípio para sistemas abertos e explique de onde vem $Pv$ . (b) Por que a energia interna $u$ aparece num sistema fechado e $h$ num escoamento? (c) Compare $c^2/2$ a $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ e a $300\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ com $c_p\Delta T$ para $1\,\mathrm{K}$ de ar. (d) Água que cai $100\,\mathrm{m}$ por um conduto forçado: $g\Delta z$ contra $c\,\Delta T$ para $1\,\mathrm{K}$ ; conclua quanto a água esquenta se a turbina for retirada.

Solução

Solução de Exercício 27.5.

(a) Teorema 27.3. (b) Um escoamento é empurrado para dentro e para fora por seus vizinhos: esse trabalho de pressão, $Pv$ por unidade de massa, é juntado a $u$ . (c) $50\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}$ e $45\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ contra $1\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ . (d) $981\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}$ contra $4180\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}$ : $0.23\,\mathrm{K}$ .

Exercício 27.6 ★★

Compressores. Ar, $1\,\mathrm{bar}$ , $293\,\mathrm{K}$ , até $8\,\mathrm{bar}$ ; $\gamma = 1.4$ , $c_p = 1005\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$ , $r = 287\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$ . (a) Temperatura isentrópica de saída e trabalho. (b) Com $\eta_{\text{C}} = 0.8$ : trabalho, temperatura de saída, entropia criada. (c) Dois estágios de razão $\sqrt8$ com resfriamento de volta a $293\,\mathrm{K}$ entre eles: trabalho economizado. (d) Limite isotérmico $rT\ln 8$ ; por que os compressores reais se aproximam dele com muitos estágios.

Solução

Solução de Exercício 27.6.

(a) $531\,\mathrm{K}$ , $239\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ . (b) $299\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ , $590\,\mathrm{K}$ , $c_p\ln(590/531) = 106\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$ . (c) Cada estágio termina a $393\,\mathrm{K}$ : $2 \times 1005 \times 100 = 201\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ , $16\%$ economizados. (d) $rT\ln 8 = 175\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ ; com resfriamento intermediário entre muitos estágios o caminho abraça a isoterma.

Exercício 27.7 ★★

Turbina. Vapor a $60\,\mathrm{bar}$ , $500\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ : $h_3 = 3422\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ , $s_3 = 6.88\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$ ; condensador a $0.05\,\mathrm{bar}$ ( $33\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ): $s_{\text{f}} = 0.476$ , $s_{\text{g}} = 8.394\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$ , $h_{\text{f}} = 138$ , $h_{\text{fg}} = 2423\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ . (a) Título e entalpia de saída isentrópicos, trabalho. (b) Com $\eta_{\text{T}} = 0.85$ : trabalho, entalpia e título de saída. (c) Entropia criada por quilograma e trabalho perdido a $T_0 = 306\,\mathrm{K}$ . (d) Por que uma exaustão úmida demais é um problema.

Solução

Solução de Exercício 27.7.

(a) $x = (6.88 - 0.476)/7.918 = 0.81$ , $h_{4s} = 2098\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ , $w_{\text{s}} = 1324\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ . (b) $1125\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ ; $h_4 = 2297$ , $x_4 = 0.89$ . (c) $s_4 = 7.53\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$ : $s_{\text{c}} = 0.65\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$ ; perdidos $T_0s_{\text{c}} = 200\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ . (d) As gotículas, a centenas de metros por segundo, erodem as últimas pás.

Exercício 27.8 ★★

Bomba de calor. Evaporador a $0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ , condensador a $40\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ; $h_1 = 399$ (vapor saturado, $0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ), $h_{2s} = 426$ , $h_3 = 256$ , $h_4 = h_3$ ( $\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ ); $\eta_{\text{C}} = 0.8$ . (a) $h_2$ e o trabalho. (b) Calores trocados, os dois COP. (c) COP de Carnot; razão. (d) Vazão mássica e potência elétrica para $8\,\mathrm{kW}$ de aquecimento; por que o COP cai quando o ar externo esfria.

Solução

Solução de Exercício 27.8.

(a) $h_2 = 399 + 27/0.8 = 433\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ ; $w = 34\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ . (b) $q_{\text{evap}} = 143$ , $q_{\text{cond}} = 177\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ ; $\mathrm{COP}_{\text{f}} = 4.2$ , $\mathrm{COP}_{\text{q}} = 5.2$ . (c) $6.8$ e $7.8$ ; dois terços. (d) $0.045\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ , $1.5\,\mathrm{kW}$ ; um evaporador mais frio significa uma pressão menor, uma razão de pressões maior (mais trabalho por quilograma) e um vapor mais leve (menos massa por curso).

Exercício 27.9 ★★

Entropia num trocador. Água quente a $1\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ de $90\,$ a $50\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ aquece água fria a $2\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ a partir de $10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ . (a) Temperatura de saída da corrente fria. (b) Entropia criada por segundo ( $c = 4180\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$ ). (c) Potência perdida a $T_0 = 293\,\mathrm{K}$ , comparada com os $167\,\mathrm{kW}$ trocados. (d) Por que um arranjo em corrente paralela criaria mais entropia que a contracorrente para o mesmo serviço?

Solução

Solução de Exercício 27.9.

(a) $30\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ . (b) $4180[\ln(323/363) + 2\ln(303/283)] = 83\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$ . (c) $24\,\mathrm{kW}$ de $167\,\mathrm{kW}$ . (d) Em corrente paralela as diferenças de temperatura são maiores e a saída quente não pode ficar abaixo da saída fria: mais entropia para o mesmo serviço.

Exercício 27.10 ★★★

Encher um tanque. Um tanque rígido, evacuado e isolado é ligado a uma linha que transporta um gás perfeito a $T_0$ , $P_0$ . (a) Escreva o balanço de energia do tanque durante o enchimento (não estacionário: sua energia cresce) e mostre que o gás em seu interior termina a $T = \gamma T_0$ . (b) Ar a $293\,\mathrm{K}$ : temperatura final. (c) Se o tanque contivesse inicialmente gás a $T_0$ e $P_1 < P_0$ , argumente que a temperatura final fica entre $T_0$ e $\gamma T_0$ . (d) Por que um cilindro de mergulho esquenta ao ser enchido, e por que ele é enchido lentamente dentro da água?

Solução

Solução de Exercício 27.10.

(a) $\dd(mu)/\dd t = \dot m h_0$ integra-se em $mu = mh_0$ : $c_vT = c_pT_0$ , $T = \gamma T_0$ . (b) $410\,\mathrm{K}$ . (c) O gás final é uma mistura do gás original a $T_0$ e do gás que entra aquecido a $\gamma T_0$ , logo fica entre os dois. (d) O trabalho de escoamento aquece o gás; um enchimento lento num banho de água deixa o calor sair, de modo que a pressão a $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ seja a desejada.

Exercício 27.11 ★★★

Reaquecimento. A turbina do Exercício 27.7 é dividida: expansão até $10\,\mathrm{bar}$ (fim isentrópico: $h = 2850\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ ), reaquecimento a $500\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ( $h = 3478$ , $s = 7.76\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$ ), expansão até $0.05\,\mathrm{bar}$ , os dois estágios isentrópicos. Trabalho da bomba $6\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ , $h_2 = 144\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ . (a) Título e entalpia de saída do segundo estágio. (b) Trabalho e calor totais; rendimento; compare com a expansão única ( $\eta = 0.40$ isentrópico). (c) Por que o reaquecimento ajuda, em termos da temperatura média de fornecimento de calor? (d) O que mais ele resolve?

Solução

Solução de Exercício 27.11.

(a) $x = (7.76 - 0.476)/7.918 = 0.92$ , $h = 2367\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ . (b) $w = 572 + 1111 - 6 = 1677\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ , $q = 3278 + 628 = 3906\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ , $\eta = 0.43$ contra $0.40$ . (c) O reaquecimento fornece calor a alta temperatura e eleva a temperatura média de fornecimento de calor. (d) A exaustão fica mais seca ( $0.92$ em vez de $0.81$ ).

Exercício 27.12 ★★★

Turbina a gás e ciclo combinado. Ar comprimido isentropicamente de $1\,\mathrm{bar}$ , $293\,\mathrm{K}$ a $12\,\mathrm{bar}$ , aquecido a pressão constante até $1500\,\mathrm{K}$ , expandido isentropicamente até $1\,\mathrm{bar}$ ; $\gamma = 1.4$ , $c_p = 1005\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$ . (a) As quatro temperaturas. (b) Trabalhos, calor, rendimento; mostre que $\eta = 1 - r^{-(\gamma - 1)/\gamma}$ . (c) A exaustão a $T_4$ gera vapor para um ciclo de Rankine de rendimento $0.35$ que recupera $70\%$ do calor da exaustão acima de $373\,\mathrm{K}$ : rendimento combinado. (d) Por que o ciclo combinado é a usina térmica mais eficiente que existe?

Solução

Solução de Exercício 27.12.

(a) $293\,\mathrm{K}$ , $596\,\mathrm{K}$ , $1500\,\mathrm{K}$ , $737\,\mathrm{K}$ . (b) $w_{\text{c}} = 305$ , $w_{\text{t}} = 767$ , $q = 909\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ , $\eta = 0.51 = 1 - 12^{-0.286}$ . (c) Calor da exaustão acima de $373\,\mathrm{K}$ : $366\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ ; $0.7 \times 0.35 \times 366 = 90\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ : $\eta = (462 + 90)/909 = 0.61$ . (d) Ele toma calor a $1500\,\mathrm{K}$ e o rejeita a $306\,\mathrm{K}$ : o maior intervalo que qualquer fluido de trabalho permite.

27.7 Problema: uma bomba de calor doméstica e uma usina a vapor

Problema 27.1

Problema de fim de semana — duas máquinas dimensionadas com os balanços de sistemas abertos

Parte I — A bomba de calor. Dados do refrigerante ( $\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ , $\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$ ): vapor saturado a $0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ( $P = 2.9\,\mathrm{bar}$ ): $h_1 = 399$ , $s_1 = 1.727$ ; líquido saturado a $0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ : $h_{\text{f}} = 200$ , $s_{\text{f}} = 1.00$ ; à pressão do condensador $10.2\,\mathrm{bar}$ ( $T_{\text{sat}} = 40\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ): fim da compressão isentrópica $h_{2s} = 426$ , líquido saturado $h_3 = 256$ , $s_3 = 1.19$ ; o vapor superaquecido ali tem $c_p \approx 1.0\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$ . Compressor com $\eta_{\text{C}} = 0.8$ ; demanda da casa $8\,\mathrm{kW}$ .

Esboce o ciclo num diagrama $(\log P, h)$ e nomeie os quatro componentes com o processo que cada um realiza.
Estado 4 após o estrangulamento: entalpia e fração de vapor.
Calor absorvido por quilograma no evaporador.
Trabalho do compressor, isentrópico e real; $h_2$ e uma estimativa de $T_2$ .
Calor liberado no condensador; os dois COP; verifique a relação entre eles.
COP de Carnot entre $0\,$ e $40\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ; que fração a máquina atinge?
Vazão mássica de refrigerante e potência elétrica (rendimento do motor $0.9$ ).
Entropia criada por quilograma no compressor e no estrangulamento ( $s_4 = s_{\text{f}} + x\,(s_1 - s_{\text{f}})$ ); qual é o pior?

Parte II — Tempo frio e escolhas de projeto.

A $-10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ lá fora, o evaporador funciona a $-15\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ : COP de Carnot para aquecimento; por que o COP real cai mais depressa (pense na razão de pressões e na densidade do vapor)?
Por que se forma geada na serpentina externa, e quanto custa o ciclo de degelo?
Aquecimento de piso a $35\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ contra radiadores a $55\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ : COP de Carnot com o evaporador a $0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ; conclua.
Compare, por quilowatt-hora de combustível queimado numa usina de rendimento $0.40$ , o calor entregue por esta bomba de calor ( $\mathrm{COP} = 4$ ) e por uma caldeira a gás de rendimento $0.9$ que queime o combustível diretamente.

Parte III — A usina a vapor. Caldeira a $60\,\mathrm{bar}$ , $500\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ : $h_3 = 3422$ , $s_3 = 6.88$ ; a $60\,\mathrm{bar}$ , $T_{\text{sat}} = 276\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ , $h_{\text{f}} = 1213$ , $h_{\text{g}} = 2784$ ; condensador a $0.05\,\mathrm{bar}$ , $33\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ : $h_{\text{f}} = 138$ , $h_{\text{fg}} = 2423$ , $s_{\text{f}} = 0.476$ , $s_{\text{g}} = 8.394$ ; líquido $v = 1 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{kg}$ ; turbina $\eta_{\text{T}} = 0.85$ ; potência elétrica líquida $600\,\mathrm{MW}$ .

Esboce o ciclo num diagrama $(T,s)$ e nomeie os processos.
Trabalho da bomba e $h_2$ .
Calor fornecido na caldeira, repartido em pré-aquecimento, vaporização e superaquecimento.
Expansão isentrópica: título de saída, entalpia, trabalho.
Expansão real: trabalho, entalpia e título de saída; por que o título importa.
Rendimento do ciclo; Carnot entre $773\,$ e $306\,\mathrm{K}$ ; a temperatura média de fornecimento de calor $\bar T = q_{\text{in}}/(s_3 - s_2)$ e o rendimento de Carnot que ela daria.
Vazão mássica de vapor; calor rejeitado no condensador; vazão de água de refrigeração para uma elevação de $10\,\mathrm{K}$ , ou a massa de água que uma torre de resfriamento evapora por segundo ( $2.4\,\mathrm{MJ}/\mathrm{kg}$ ).
Entropia criada na turbina por quilograma e por segundo; o trabalho perdido a $306\,\mathrm{K}$ , como fração do trabalho da turbina.
O reaquecimento a $10\,\mathrm{bar}$ até $500\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ eleva o rendimento a cerca de $0.43$ e o título de saída a $0.92$ : explique qualitativamente os dois efeitos.

Parte IV — A cadeia inteira.

A fornalha transfere seu calor ao vapor a partir de gases de combustão a cerca de $1500\,\mathrm{K}$ : entropia criada por segundo nessa transferência (calor a $1500\,\mathrm{K}$ para o vapor a $\bar T$ ); compare com a da turbina.
O condensador rejeita seu calor para água a $306\,\mathrm{K}$ — que acaba chegando ao ambiente a $293\,\mathrm{K}$ : entropia criada por segundo ali.
Classifique as três fontes de irreversibilidade (fornalha, turbina, condensador) e diga para onde vai o esforço dos engenheiros.
Resuma em cinco linhas o método dos sistemas abertos.

Solução

Solução de Problema 27.1.

1. Compressor (adiabático, $w = \Delta h$ ), condensador (isobárico, calor para fora), estrangulamento (isentálpico), evaporador (isobárico, calor para dentro).

2. $h_4 = 256\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ , $x_4 = 0.28$ .

3. $143\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ .

4. $27\,$ e $34\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ ; $h_2 = 433$ ; $T_2 \approx 45 + 7 \approx 52\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ .

5. $177\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ ; $\mathrm{COP}_{\text{q}} = 5.2$ , $\mathrm{COP}_{\text{f}} = 4.2$ ; $5.2 = 4.2 + 1$ .

6. $7.8$ e $6.8$ ; dois terços.

7. $0.045\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ ; $1.5\,\mathrm{kW}$ , $1.7\,\mathrm{kW}$ na tomada.

8. Compressor: $c_p\ln(325/318) \approx 0.022\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$ ; estrangulamento: $s_4 - s_3 = 1.204 - 1.19 = 0.014\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$ — o compressor.

9. $313/55 = 5.7$ ; a razão de pressões quase dobra (mais trabalho por quilograma) e a densidade do vapor cai pela metade (menos massa por curso): a capacidade despenca justo quando a casa precisa de mais.

10. A serpentina fica abaixo de $0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ em ar úmido; a geada a isola; o degelo inverte o ciclo por alguns minutos a cada hora e custa alguns por cento.

11. $308/35 = 8.8$ contra $328/55 = 6.0$ : quanto menor a temperatura do condensador, melhor — o piso aquecido.

12. $1\,\mathrm{kWh}$ de combustível $\to$ $0.4\,\mathrm{kWh}$ de eletricidade $\to$ $1.6\,\mathrm{kWh}$ de calor, contra $0.9\,\mathrm{kWh}$ da caldeira.

13. Bomba, caldeira (aquecimento isobárico, vaporização, superaquecimento), turbina, condensador.

14. $6\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ ; $h_2 = 144$ .

15. $3278 = 1069 + 1571 + 638$ ( $\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ ).

16. $x = 0.81$ , $h_{4s} = 2098$ , $w_{\text{s}} = 1324\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ .

17. $1125\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ , $h_4 = 2297$ , $x_4 = 0.89$ ; um vapor mais úmido erode as pás e reduz o rendimento.

18. $\eta = 1119/3278 = 0.34$ ; Carnot $0.60$ ; $\bar T = 3278/6.40 = 512\,\mathrm{K}$ , o que dá $0.40$ .

19. $536\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ ; $1160\,\mathrm{MW}$ ; $28\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ de água de rio, ou $480\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ evaporados.

20. $0.65\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$ , $350\,\mathrm{kW}/\mathrm{K}$ ; $200\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ , $18\%$ do trabalho da turbina.

21. O segundo fornecimento de calor se dá a alta temperatura (um $\bar T$ maior), e a segunda expansão começa superaquecida e termina mais seca.

22. $1757\,\mathrm{MW} \times (1/512 - 1/1500) = 2.3\,\mathrm{MW}/\mathrm{K}$ — seis vezes a da turbina.

23. $1160\,\mathrm{MW} \times (1/293 - 1/306) = 0.17\,\mathrm{MW}/\mathrm{K}$ .

24. Fornalha $\gg$ turbina $>$ condensador: daí temperaturas e pressões de vapor mais altas, reaquecimento e regeneração; depois, pás melhores; o condensador vem por último.

25. Desenhe o volume de controle; a massa que entra é igual à que sai; $\Delta h + \Delta c^2/2 + g\Delta z = w_{\text{u}} + q$ com $h$ vindo de $c_p$ , de tabelas ou de $v\Delta P$ ; $\Delta s = \sum q/T + s_{\text{c}}$ com referências isentrópicas e rendimentos; monte os componentes e compare com Carnot.

Termos definidos neste capítulo

Sistema aberto, volume de controle, escoamento estacionário

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