Física universitária — 2.º ano · Bachelor Year 2

22Difração de Fraunhofer e filtragem espacial

Aperte os olhos para um poste de luz através da fresta entre dois dedos e a lâmpada se estica numa faixa de franjas; olhe uma estrela pelo melhor dos telescópios e você verá não um ponto, mas um pequeno disco cercado de círculos tênues. A luz que passa por uma abertura se espalha — quanto mais estreita a abertura, mais largo o espalhamento — e nenhuma lente consegue focalizá-la mais apertado do que esse espalhamento permite. É a difração, a razão pela qual um microscópio não consegue ver um vírus, o poder de resolução de um telescópio cresce com seu diâmetro e um feixe de laser não consegue permanecer paralelo. Este capítulo calcula o padrão de difração de uma abertura no campo distante, o limite que ele impõe a todo instrumento óptico, o modo como ele se combina com a interferência, e a ideia — de Abbe — que faz do plano focal de uma lente um lugar onde uma imagem pode ser filtrada.

22.1 O princípio de Huygens–Fresnel e o regime de Fraunhofer

Definição 22.1 (Princípio de Huygens–Fresnel)

Todo ponto de uma frente de onda (ou de uma abertura iluminada por uma onda) age como uma fonte secundária que emite uma ondícula esférica, em fase com a onda ali; a onda além é a soma coerente das ondículas. Para uma abertura $\Sigma$ iluminada por uma onda plana de amplitude $a$ , a amplitude que chega a um ponto distante é $\underline s(M) = K\iint_\Sigma\eu^{-\iu\varphi(P, M)}\dd S$ , com $\varphi(P, M)$ a fase do caminho do ponto $P$ da abertura até $M$ ( $K$ uma constante). A difração de Fraunhofer (campo distante) é o caso em que $M$ está no infinito — ou no plano focal de uma lente — de modo que os raios que vão de todos os pontos da abertura até $M$ são paralelos, na direção $\vect u$ , e

\varphi(P, M) = \varphi_0 - \frac{2\pi}\lambda\,\vect{OP}\cdot\vect u , \qquad \underline s(\vect u) \propto \iint_\Sigma\eu^{\iu(2\pi/\lambda)\vect{OP}\cdot\vect u}\dd S .

O padrão é observado no infinito, ou no foco $F'$ de uma lente, onde a direção $\vect u$ de pequenos ângulos $(\alpha, \beta)$ corresponde ao ponto $(f\alpha, f\beta)$ .

Demonstração. Admitido neste nível. ∎

Observação 22.2 (Quando é longe o bastante?)

Para uma abertura de tamanho $D$ vista à distância $L$ sem lente, os raios são suficientemente paralelos quando o termo quadrático do Exercício 18.12 é desprezível, $D^2/L \ll \lambda$ — o número de Fresnel $D^2/\lambda L \ll 1$ . Uma fenda de $0.1\,\mathrm{mm}$ em $500\,\mathrm{nm}$ exige $L \gg 2\,\mathrm{cm}$ ; uma abertura de $1\,\mathrm{cm}$ , $L \gg 200\,\mathrm{m}$ — daí a lente, que traz o infinito para seu plano focal. Mais perto (difração de Fresnel) os padrões são mais complexos; a sombra de uma borda reta, por exemplo, tem franjas ao longo de seu lado iluminado.

22.2 A fenda única e a abertura circular

Proposição 22.3 (Difração por uma fenda)

Uma fenda de largura $b$ (longa ao longo de $y$ ) iluminada sob incidência normal envia na direção $\theta$ (no plano perpendicular à fenda) a intensidade

I(\theta) = I_0\,\operatorname{sinc}^2\Bigl(\frac{\pi b\sin\theta}\lambda\Bigr) , \qquad \operatorname{sinc}x = \frac{\sin x}x :

um máximo central brilhante de semilargura angular $\lambda/b$ (primeiros zeros em $\sin\theta = \pm\lambda/b$ ), que contém $90\%$ da luz, e máximos secundários em cerca de $\sin\theta = \pm1.43\lambda/b$ , $\pm2.46\lambda/b$ , …, de intensidades relativas $4.7\%$ , $1.6\%$ , …— quanto mais estreita a fenda, mais largo o padrão. No plano focal de uma lente de distância focal $f$ o máximo central tem $2\lambda f/b$ de largura.

Demonstração. $\underline s(\theta) \propto \int_{-b/2}^{b/2}\eu^{\iu kx\sin\theta}\dd x = b\,\operatorname{sinc}(kb\sin\theta/2)$ com $k = 2\pi/\lambda$ ; eleve ao quadrado. Zeros onde $b\sin\theta = m\lambda$ , $m \ne 0$ : as ondículas das duas metades da fenda se cancelam então duas a duas. ∎

À esquerda: as ondículas vindas de toda a fenda, somadas na direção . À direita: o padrão de Fraunhofer da fenda, sinc2: um lóbulo central duas vezes mais largo que os outros e muito mais brilhante. — À esquerda: as ondículas vindas de toda a fenda, somadas na direção $\theta$ . À direita: o padrão de Fraunhofer da fenda, $\operatorname{sinc}^2$ : um lóbulo central duas vezes mais largo que os outros e muito mais brilhante.

Proposição 22.4 (Abertura circular; o disco de Airy)

Uma abertura circular de diâmetro $D$ dá um disco central brilhante, o disco de Airy, cercado de anéis tênues; o primeiro anel escuro está em

\sin\theta = 1.22\,\frac\lambda D ,

e o disco contém $84\%$ da luz. Todo instrumento com uma pupila de entrada de diâmetro $D$ — olho, câmera, telescópio, objetiva de microscópio — transforma uma fonte pontual num disco de Airy desse raio angular; dois pontos são resolvidos (critério de Rayleigh) se sua separação angular ultrapassa $1.22\lambda/D$ : o poder de resolução do instrumento.

Demonstração. Admitido neste nível. ∎

Exemplo 22.5 (O olho, o telescópio, o microscópio)

O olho ( $D = 3\,\mathrm{mm}$ , $\lambda = 550\,\mathrm{nm}$ ): $1.22\lambda/D = 2.2 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad}$ , cerca de $45''$ — um detalhe de $1\,\mathrm{mm}$ a $4\,\mathrm{m}$ , que é de fato mais ou menos a acuidade de um bom olho: a evolução ajustou as células da retina ao limite de difração. Um telescópio de $2.4\,\mathrm{m}$ : $0.06''$ , mil vezes melhor, se a atmosfera deixar (do solo ela não deixa: $1''$ de "seeing", daí os telescópios espaciais e a óptica adaptativa). Uma antena de rádio de $100\,\mathrm{m}$ em $\lambda = 21\,\mathrm{cm}$ : $9'$ , pior que o olho; interferômetros entre continentes restauram a resolução. Uma objetiva de microscópio de ângulo de abertura $\alpha$ resolve $0.61\lambda/n\sin\alpha$ — cerca de $0.2\,\text{µ}\mathrm{m}$ no visível, seja qual for a ampliação: o limite que levou a microscopia aos elétrons e aos raios X.

À esquerda e ao centro: o disco de Airy de uma fonte pontual, e duas fontes no limite de Rayleigh — o centro de uma sobre o primeiro anel escuro da outra. À direita: seus perfis (esboçados com formas em sinc2), separados por 1.22 /D. — À esquerda e ao centro: o disco de Airy de uma fonte pontual, e duas fontes no limite de Rayleigh — o centro de uma sobre o primeiro anel escuro da outra. À direita: seus perfis (esboçados com formas em $\operatorname{sinc}^2$ ), separados por $1.22\lambda/D$ .

22.3 Difração e interferência juntas

Proposição 22.6 (Fendas de Young de largura finita; a envoltória da rede)

Duas fendas de largura $b$ cujos centros distam $a$ dão

I(\theta) = 4I_0\,\operatorname{sinc}^2\Bigl(\frac{\pi b\sin\theta}\lambda\Bigr)\cos^2\Bigl(\frac{\pi a\sin\theta}\lambda\Bigr) :

as franjas de Young (espaçamento $\lambda/a$ em $\sin\theta$ ) sob a envoltória da fenda única (largura $2\lambda/b$ ); $a/b$ franjas preenchem o lóbulo central, e as franjas em $a\sin\theta = p\lambda$ que caem sobre um zero da envoltória ( $b\sin\theta = m\lambda$ ) estão ausentes. Uma rede de $N$ fendas de largura $b$ tem, do mesmo modo, seus máximos principais modulados pela mesma envoltória — que o blaze do Capítulo 21 inclina para a ordem em uso.

Demonstração. A integral sobre a abertura se separa numa soma, sobre as duas fendas, da mesma integral deslocada de $\pm a/2$ : $\underline s \propto b\,\operatorname{sinc}(\pi b\sin\theta/\lambda) \times2\cos(\pi a\sin\theta/\lambda)$ . Para $N$ fendas o segundo fator é a soma de $N$ ondas. ∎

Duas fendas com a = 4b: as franjas de Young sob a envoltória da fenda única (tracejada); as franjas de quarta ordem caem sobre os zeros da envoltória e estão ausentes. — Duas fendas com $a = 4b$ : as franjas de Young sob a envoltória da fenda única (tracejada); as franjas de quarta ordem caem sobre os zeros da envoltória e estão ausentes.

22.4 O plano de Fourier e a filtragem espacial

Proposição 22.7 (A lente como analisador de Fourier)

Uma transparência de transmitância $t(x, y)$ no plano focal objeto de uma lente, iluminada por uma onda plana, produz no plano focal imagem a amplitude

\underline s(X, Y) \propto \iint t(x, y)\,\eu^{-\iu2\pi(xX + yY)/\lambda f}\dd x\,\dd y

— sua transformada de Fourier bidimensional, com cada ponto $(X, Y)$ do plano de Fourier recolhendo a luz difratada nos ângulos $(X/f, Y/f)$ , ou seja, as frequências espaciais $(X/\lambda f, Y/\lambda f)$ do objeto: os detalhes finos (frequências altas) longe do eixo, os grosseiros perto dele. Uma segunda lente reconstrói a imagem a partir desse plano; tudo o que for bloqueado ou alterado ali fica filtrado fora da imagem (filtragem espacial, a teoria de Abbe do microscópio): um furo de agulha no eixo guarda só as frequências baixas (suavização, "limpeza" de um feixe de laser); um anteparo no eixo remove o fundo uniforme e guarda as bordas (campo escuro, estrioscopia); uma lâmina de quarto de onda no eixo transforma objetos de fase, invisíveis de outro modo, em contraste de intensidade (contraste de fase, Zernike).

Justificativa. Na integral de Fraunhofer, $\vect{OP}\cdot\vect u = x\alpha + y\beta$ com a direção levada em $(X, Y) = (f\alpha, f\beta)$ ; a transmitância pondera cada fonte secundária. (A própria transformada de Fourier é estudada no volume de matemática do terceiro ano; aqui ela é apenas o nome desta integral.) Para um objeto periódico de período $d$ a transformada é o conjunto das ordens da rede em $X = p\lambda f/d$ : a imagem só pode mostrar o período se pelo menos as ordens $\pm1$ passarem pela lente — a condição de Abbe, que é de novo o limite de resolução do microscópio. ∎

A montagem 4f: a primeira lente forma a transformada de Fourier do objeto em seu plano focal (um objeto periódico dá ali ordens discretas), a segunda reconstrói a imagem; uma máscara no plano de Fourier filtra a imagem. — A montagem $4f$ : a primeira lente forma a transformada de Fourier do objeto em seu plano focal (um objeto periódico dá ali ordens discretas), a segunda reconstrói a imagem; uma máscara no plano de Fourier filtra a imagem.

Exemplo 22.8 (Limpar um feixe, ver o invisível)

Um feixe de laser carrega poeira e ondulações: focalize-o através de um furo de agulha de alguns micrômetros — o tamanho do disco de Airy central do feixe gaussiano limpo — e todo o resto, que fica fora, é bloqueado; o feixe recolimado é liso: um filtro espacial. Uma célula viva é transparente; ela muda apenas a fase da luz. Bloquear a mancha axial torna suas bordas brilhantes sobre fundo preto; a lâmina de Zernike desloca a luz não difratada de um quarto de onda para que ela interfira em intensidade com a luz difratada: o interior da célula aparece, e a biologia ganhou seu microscópio (prêmio Nobel de 1953).

Método 22.9 (Estimativas de difração)

(1) Espalhamento angular $\sim\lambda/b$ para uma abertura de tamanho $b$ ( $1.22\lambda/D$ para um círculo); o tamanho do padrão à distância $L$ ou com distância focal $f$ é $\lambda L/b$ , $\lambda f/b$ . (2) Verifique a condição de Fraunhofer $b^2/\lambda L \ll 1$ ou use uma lente. (3) Combine: envoltória de difração $\times$ franjas de interferência. (4) Resolução: dois pontos exigem $\Delta\theta > 1.22\lambda/D$ ; um objeto periódico exige que suas primeiras ordens entrem na pupila. (5) A imagem do plano de Fourier: o que bloquear para remover qual detalhe.

22.5 Exercícios

Exercício 22.1 ★

Uma fenda de $0.10\,\mathrm{mm}$ iluminada por um laser He–Ne ( $633\,\mathrm{nm}$ ); anteparo a $2.0\,\mathrm{m}$ . Largura do máximo central; posição dos dois primeiros máximos secundários; número de Fresnel — o anteparo está longe o bastante? A mesma fenda com uma lente de $f = 50\,\mathrm{cm}$ .

Solução

Solução de Exercício 22.1.

$2\lambda L/b = 25\,\mathrm{mm}$ ; máximos secundários em $1.43\lambda L/b = 18\,\mathrm{mm}$ e $2.46\lambda L/b = 31\,\mathrm{mm}$ ; número de Fresnel $b^2/\lambda L = 8 \times 10^{-3}$ : longe o bastante. Com a lente, $2\lambda f/b = 6.3\,\mathrm{mm}$ .

Exercício 22.2 ★

Poder de resolução (Rayleigh) do olho ( $3\,\mathrm{mm}$ , $550\,\mathrm{nm}$ ); de um telescópio amador de $10\,\mathrm{cm}$ ; do espelho de $2.4\,\mathrm{m}$ do Hubble; de uma antena de rádio de $64\,\mathrm{m}$ em $6\,\mathrm{cm}$ ; de uma objetiva fotográfica de $50\,\mathrm{mm}$ a $f/8$ (pupila de $6\,\mathrm{mm}$ ): tamanho do disco de Airy sobre o sensor, comparado a um pixel de $4\,\text{µ}\mathrm{m}$ .

Solução

Solução de Exercício 22.2.

$1.22\lambda/D$ : olho $2.2 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad}$ ( $46''$ ); $10\,\mathrm{cm}$ : $1.4''$ ; Hubble $0.058''$ ; antena $1.22 \times 0.06/64 = 1.1 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad} = 3.9'$ ; objetiva: $1.1 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad} \times 50\,\mathrm{mm} = 5.6\,\text{µ}\mathrm{m}$ de raio, um disco de $11\,\text{µ}\mathrm{m}$ — três pixels: a difração já limita um sensor a $f/8$ .

Exercício 22.3 ★

Duas fendas de largura $b = 0.05\,\mathrm{mm}$ , com centros a $a = 0.25\,\mathrm{mm}$ de distância, $\lambda = 500\,\mathrm{nm}$ , lente $f = 1\,\mathrm{m}$ : espaçamento das franjas; largura da envoltória central; número de franjas nela; que ordens estão ausentes?

Solução

Solução de Exercício 22.3.

$\lambda f/a = 2\,\mathrm{mm}$ ; envoltória $2\lambda f/b = 20\,\mathrm{mm}$ ; dez franjas; as ordens $p = 5, 10, \dots$ ( $a/b = 5$ ) estão ausentes.

Exercício 22.4 ★

Um feixe de laser de $2\,\mathrm{mm}$ de diâmetro em $633\,\mathrm{nm}$ se propaga até a Lua ( $3.8 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ ): ângulo de difração $\sim1.22\lambda/D$ , diâmetro da mancha; com um telescópio de $3.5\,\mathrm{m}$ como emissor; por que os ecos da telemetria lunar são tão fracos (o retrorrefletor, de $1\,\mathrm{m}$ , devolve a luz com sua própria difração)?

Solução

Solução de Exercício 22.4.

$\theta = 1.22\lambda/D = 3.9 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad}$ : uma mancha de $290\,\mathrm{km}$ de diâmetro; com $3.5\,\mathrm{m}$ , $170\,\mathrm{m}$ . A própria difração do refletor, $\lambda/1\,\mathrm{m}$ , espalha o retorno por $600\,\mathrm{m}$ : dos $10^{17}$ fótons enviados, voltam uns poucos.

Exercício 22.5 ★★

A fenda em detalhe. (a) Efetue a integral de Fraunhofer para a fenda e obtenha $\operatorname{sinc}^2$ . (b) Mostre que os máximos secundários estão em $\tan x = x$ ( $x = \pi b\sin\theta/\lambda$ ), o primeiro perto de $x = 1.43\pi$ , e calcule sua intensidade relativa. (c) Fração da energia no lóbulo central (admita $\int_{-\pi}^\pi\operatorname{sinc}^2 = 0.903\pi$ e $\int_{-\infty}^\infty\operatorname{sinc}^2 = \pi$ ). (d) A fenda é iluminada sob incidência $\theta_0$ : mostre que o padrão é o mesmo, centrado na direção $\theta_0$ .

Solução

Solução de Exercício 22.5.

(a) $\int_{-b/2}^{b/2}\eu^{\iu kx\sin\theta}\dd x = b\,\operatorname{sinc}(kb\sin\theta/2)$ . (b) $\dd(\sin x/x)/\dd x = 0$ dá $\tan x = x$ ; $x = 4.49 = 1.43\pi$ , $\operatorname{sinc}^2 = 0.047$ . (c) $0.903$ . (d) A fase se torna $kx(\sin\theta - \sin\theta_0)$ : o mesmo padrão, em torno de $\theta_0$ .

Exercício 22.6 ★★

Microscópio. Uma objetiva de abertura numérica $n\sin\alpha = 1.4$ (imersão em óleo) em $500\,\mathrm{nm}$ : menor distância resolvida $0.61\lambda/n\sin \alpha$ ; com luz azul ( $400\,\mathrm{nm}$ ); no ultravioleta ( $250\,\mathrm{nm}$ ); por que uma ocular de $1000\times$ não ajuda (o limite do próprio olho a $25\,\mathrm{cm}$ é $0.1\,\mathrm{mm}$ )? O que mudam os microscópios eletrônicos ( $\lambda = 4\,\mathrm{pm}$ a $100\,\mathrm{keV}$ )?

Solução

Solução de Exercício 22.6.

$0.61\lambda/\mathrm{NA}$ : $220\,\mathrm{nm}$ ; $170\,\mathrm{nm}$ ; $110\,\mathrm{nm}$ . Além de uns $500\times$ a ocular só amplia o borrão (ampliação vazia). Elétrons a $4\,\mathrm{pm}$ com $\mathrm{NA} \approx 0.01$ : $0.2\,\mathrm{nm}$ — os átomos.

Exercício 22.7 ★★

Retangular e circular. (a) Para uma abertura retangular $b \times h$ : mostre que o padrão vale $\operatorname{sinc}^2(\pi b\sin\theta_x/\lambda)\operatorname{sinc}^2(\pi h \sin\theta_y/\lambda)$ : uma cruz, mais larga ao longo do lado mais estreito. (b) Um quadrado de $0.2\,\mathrm{mm}$ com $f = 1\,\mathrm{m}$ : tamanho do quadrado central. (c) Para um círculo de mesma largura o primeiro zero está em $1.22\lambda/D$ em vez de $\lambda/b$ : por que mais longe (pense na luz concentrada perto do centro de um disco)? (d) O espelho secundário de um telescópio é sustentado por quatro hastes: o que elas acrescentam à imagem de uma estrela brilhante?

Solução

Solução de Exercício 22.7.

(a) A integral se fatora em $x$ e $y$ . (b) $2\lambda f/b = 5\,\mathrm{mm}$ . (c) As cordas de um disco são mais curtas que seu diâmetro fora do centro: sua largura efetiva é menor e seu padrão, mais largo. (d) Quatro espigões de difração em cruz.

Exercício 22.8 ★★

Abbe. Uma rede de período $d = 2\,\text{µ}\mathrm{m}$ é observada com uma objetiva de microscópio de ângulo de abertura $\alpha$ no ar, $\lambda = 550\,\mathrm{nm}$ . (a) Ângulos de suas ordens $\pm1$ , $\pm2$ . (b) $\sin\alpha$ mínimo para que a imagem mostre o período (as ordens $\pm1$ devem entrar). (c) Com $\sin\alpha = 0.4$ : o que a imagem mostra — é uma rede fiel? (d) A iluminação oblíqua deixa passar a ordem zero e uma primeira ordem: $\sin\alpha$ mínimo então, e o ganho.

Solução

Solução de Exercício 22.8.

(a) $\sin\theta = \pm0.275$ ( $16{}^{\circ}$ ), $\pm0.55$ ( $33{}^{\circ}$ ). (b) $\sin\alpha \ge 0.275$ . (c) Apenas as ordens $0$ , $\pm1$ : uma imagem senoidal de período correto, e não as barras nítidas. (d) $\sin\alpha \ge \lambda/2d = 0.14$ : o dobro da resolução.

Exercício 22.9 ★★

Filtro espacial. Um feixe de laser de $2\,\mathrm{mm}$ ( $\lambda = 633\,\mathrm{nm}$ ) é focalizado por uma lente de $f = 20\,\mathrm{mm}$ através de um furo de agulha. (a) Diâmetro do disco de Airy central no foco; diâmetro do furo para deixá-lo passar (tome $1.5\times$ ). (b) Um grão de poeira de $50\,\text{µ}\mathrm{m}$ sobre o feixe difrata a luz em que ângulo, e onde essa luz cai no plano focal — passa pelo furo ou não? (c) Potência perdida se o feixe for gaussiano e o furo deixar passar $99\%$ dele; por que o feixe emergente é liso? (d) Por que o furo precisa estar centrado com precisão de alguns micrômetros?

Solução

Solução de Exercício 22.9.

(a) $2.44\lambda f/D = 15\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; furo de $23\,\text{µ}\mathrm{m}$ . (b) $\lambda/50\,\text{µ}\mathrm{m} = 1.3 \times 10^{-2}\,\mathrm{rad}$ : $0.25\,\mathrm{mm}$ fora do eixo, bloqueada. (c) $1\%$ ; o furo guarda só as frequências espaciais baixas. (d) Descentrado de alguns micrômetros, o furo corta a própria mancha.

Exercício 22.10 ★★★

Babinet. Dois anteparos complementares (uma fenda e uma tira opaca de mesma largura) são iluminados por uma onda plana. (a) Mostre que, fora da direção do feixe incidente, seus padrões de Fraunhofer são idênticos (a soma das duas amplitudes é a da onda sem obstáculo, nula fora do eixo). (b) O padrão de um fio de cabelo de diâmetro $80\,\text{µ}\mathrm{m}$ a $2\,\mathrm{m}$ com um laser: espaçamento das franjas, e o diâmetro do cabelo a partir dele — uma medida clássica. (c) O que se vê sobre o próprio eixo? (d) Por que gotículas pequenas numa nuvem fina produzem uma coroa de anéis coloridos em torno da Lua, e o que dá o raio dos anéis?

Solução

Solução de Exercício 22.10.

(a) As amplitudes somam a onda sem obstáculo, que é nula fora do eixo: $|\underline s_{\text{fenda}}| = |\underline s_{\text{tira}}|$ ali. (b) Franjas separadas por $\lambda L/b = 16\,\mathrm{mm}$ ; meça o espaçamento e obtenha $b$ . (c) A sombra da tira fica dentro do feixe brilhante não difratado. (d) Gotículas de diâmetro $d$ difratam como furos: anéis em $1.22\lambda/d$ , com o vermelho por fora; o raio dá $d$ .

Exercício 22.11 ★★★

Campo escuro e contraste de fase. Um objeto transparente tem $t(x) = \eu^{\iu\varphi(x)} \approx 1 + \iu\varphi(x)$ com $|\varphi| \ll 1$ . (a) Intensidade de sua imagem comum: mostre que ela é uniforme em primeira ordem — invisível. (b) No plano de Fourier o "1" é a mancha axial e $\iu\varphi$ a luz difratada em torno dela: se um anteparo bloqueia a mancha axial, a intensidade da imagem vale $\propto\varphi^2$ — campo escuro; sua fraqueza. (c) Se, em vez disso, a mancha axial é atrasada de $\pi/2$ (multiplicada por $\iu$ ): imagem $\propto|1 + \varphi|^2 \approx 1 + 2\varphi$ — contraste de fase, linear em $\varphi$ . (d) Por que a lâmina de Zernike é muitas vezes também absorvente (ela atenua a mancha axial)?

Solução

Solução de Exercício 22.11.

(a) $|1 + \iu\varphi|^2 = 1 + \varphi^2$ : uniforme em primeira ordem. (b) Sem a luz axial, $|\iu\varphi|^2 = \varphi^2$ : segunda ordem, fraca. (c) $|\iu + \iu\varphi|^2 = 1 + 2\varphi + \dots$ : linear. (d) A mancha axial ofusca a luz difratada; atenuá-la iguala as duas amplitudes e aumenta o contraste.

Exercício 22.12 ★★★

Resolução da imagem da fenda de um espectrógrafo e a rede. Uma rede de largura $W$ é a abertura do espectrógrafo: mostre que o padrão de difração dessa abertura, $\operatorname{sinc}^2(\pi W\sin\theta/\lambda)$ (para o feixe que sai em $\theta \approx 0$ ), tem semilargura angular $\lambda/W$ , e que, convertida em comprimento de onda pela dispersão $p/a\cos \theta$ , isso dá $\Delta\lambda = \lambda/pN$ — o poder de resolução do Capítulo 21, visto como difração. (b) Um telescópio de diâmetro $D$ e uma rede de largura $W$ : a rede deve ser mais larga que $D\,f_{\text{col}}/f_{\text{tel}}$ : por quê? (c) Explique numa frase por que todo "poder de resolução" em óptica é $\sim$ (tamanho da abertura)/ $\lambda$ . (d) O que a fenda acrescenta, e quando ela domina?

Solução

Solução de Exercício 22.12.

(a) Semilargura $\lambda/W$ ; dividida por $p/a\cos\theta$ : $\Delta\lambda = \lambda a\cos\theta/pW \approx \lambda/pN$ . (b) O feixe colimado tem diâmetro $Df_{\text{col}}/f_{\text{tel}}$ ; uma rede menor desperdiçaria luz e poder de resolução. (c) Uma resolução é sempre o ângulo ao longo do qual a fase através da abertura varia de um comprimento de onda, $\lambda/(\text{tamanho})$ . (d) A largura de sua imagem, que domina quando é maior que a largura de difração da rede — o caso habitual.

Um feixe de laser através de uma fenda estreita: no anteparo distante, a larga banda central brilhante e os máximos laterais mais fracos e mais estreitos do padrão de Fraunhofer.

22.6 Problema: o que se pode resolver

Problema 22.1

Problema de fim de semana — o limite de difração em quatro escalas: o olho, um telescópio, um microscópio e o feixe de laser que deve ser limpo antes de ser usado

Parte I — O olho. Pupila $D = 3\,\mathrm{mm}$ de dia, $7\,\mathrm{mm}$ à noite; $\lambda = 550\,\mathrm{nm}$ ; os cones da retina estão a $2\,\text{µ}\mathrm{m}$ um do outro na fóvea, e a distância focal do olho é $17\,\mathrm{mm}$ .

Raio angular do disco de Airy de dia; seu raio linear sobre a retina; compare com o espaçamento dos cones — a retina está ajustada à óptica?
Menor separação de dois pontos resolvida a $25\,\mathrm{cm}$ ; a $10\,\mathrm{m}$ ; você consegue ler um texto de $1\,\mathrm{mm}$ com o braço estendido?
À noite a pupila abre até $7\,\mathrm{mm}$ : limite de difração então; por que a visão ainda assim piora (aberrações do cristalino em plena abertura, bastonetes mais grosseiros que os cones)?
Dois faróis de carro a $1.5\,\mathrm{m}$ um do outro: distância a partir da qual eles se fundem numa só luz.
Um furo de $1\,\mathrm{mm}$ diante do olho: o que faz a difração, e por que um furo de agulha ainda assim ajuda um olho míope (profundidade de campo)?

Parte II — O telescópio. Um telescópio de $1\,\mathrm{m}$ , $f = 10\,\mathrm{m}$ , com uma câmera de pixels de $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; $\lambda = 550\,\mathrm{nm}$ .

Limite de difração em segundos de arco; raio de Airy sobre o detector; pixels por disco de Airy.
A atmosfera borra as imagens até $1''$ : quanto se perde da resolução do telescópio? Diâmetro de telescópio para o qual o limite de difração se iguala ao seeing.
A óptica adaptativa corrige a atmosfera em $2.2\,\text{µ}\mathrm{m}$ : limite de difração ali; por que é mais fácil no infravermelho?
Uma estrela dupla com componentes a $0.15''$ : resolvida com óptica adaptativa em $2.2\,\text{µ}\mathrm{m}$ ? E em $550\,\mathrm{nm}$ a partir do espaço?
A Lua está a $3.8 \times 10^{5}\,\mathrm{km}$ : menor cratera que este telescópio poderia resolver (só a difração); e a pegada de um módulo lunar ( $4\,\mathrm{m}$ )?
Poder coletor de luz do telescópio em relação ao olho noturno ( $7\,\mathrm{mm}$ ); o que isso traz, e o que não traz.
A luz de uma estrela através das quatro hastes que sustentam o espelho secundário: descreva a imagem.

Parte III — O microscópio. Objetiva de abertura numérica $\mathrm{NA} = n\sin\alpha = 0.9$ (a seco) ou $1.4$ (em óleo), $\lambda = 550\,\mathrm{nm}$ ; a distância resolvida vale $0.61\lambda/\mathrm{NA}$ .

Distância resolvida com cada objetiva; número de pares de linhas por milímetro.
Uma bactéria de $1\,\text{µ}\mathrm{m}$ com estrutura interna a $0.2\,\text{µ}\mathrm{m}$ : o que se vê com cada uma? E um vírus de $0.1\,\text{µ}\mathrm{m}$ ?
Abbe: uma estrutura periódica de período $d$ só é imageada se suas primeiras ordens em $\sin\theta = \lambda/d$ entrarem na objetiva: $d$ mínimo para $\mathrm{NA} = 1.4$ ; compare com $0.61\lambda/\mathrm{NA}$ .
Por que o óleo entre a lâmina e a objetiva melhora a resolução?
Ultravioleta em $250\,\mathrm{nm}$ e um microscópio eletrônico em $4\,\mathrm{pm}$ : distâncias resolvidas pela mesma fórmula (para os elétrons a NA prática vale $0.01\,$ ): compare.
Uma célula é transparente: em campo claro sua imagem é vazia. Explique em duas frases o que faz a lâmina de contraste de fase no plano de Fourier da objetiva.

Parte IV — O feixe. Um laser em $532\,\mathrm{nm}$ , com feixe de $1.5\,\mathrm{mm}$ de diâmetro, deve ser expandido para $30\,\mathrm{mm}$ e limpo.

Semiângulo de difração do feixe bruto ( $\sim1.22\lambda/D$ ); seu diâmetro depois de $100\,\mathrm{m}$ sem óptica alguma.
Uma lente de $f_1 = 10\,\mathrm{mm}$ o focaliza: diâmetro da mancha focal; diâmetro de furo escolhido ( $1.5\times$ a mancha).
Uma segunda lente de $f_2$ recolima a $30\,\mathrm{mm}$ : $f_2$ ; novo ângulo de difração; diâmetro depois de $1\,\mathrm{km}$ .
Poeira de $100\,\text{µ}\mathrm{m}$ sobre a primeira lente difrata em que ângulo; onde essa luz cai no plano do furo, e o que acontece com ela?
O furo deixa passar $99\%$ de um feixe gaussiano: potência perdida, e para onde ela vai.
Por que o feixe expandido precisa ser maior para permanecer paralelo (relacione $\lambda/D$ com a distância ao longo da qual o feixe dobra, $\sim D^2/\lambda$ )?
Resuma os quatro limites deste problema numa tabela: abertura, comprimento de onda, $\lambda/D$ , o que ele limita.

Solução

Solução de Problema 22.1.

1. $1.22\lambda/D = 2.2 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad}$ ; $\times17\,\mathrm{mm} = 3.8\,\text{µ}\mathrm{m}$ : dois espaçamentos de cones — a retina amostra no limite da óptica.

2. $56\,\text{µ}\mathrm{m}$ a $25\,\mathrm{cm}$ , $2.2\,\mathrm{mm}$ a $10\,\mathrm{m}$ ; $1\,\mathrm{mm}$ a $50\,\mathrm{cm}$ é dez vezes o limite: com folga.

3. $9.6 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}$ ; as aberrações do cristalino em plena abertura e os bastonetes, mais grosseiros e agrupados, anulam o ganho.

4. $1.5/2.2 \times 10^{-4} = 7\,\mathrm{km}$ .

5. A difração piora para $6.7 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad}$ , mas o círculo de borrão de um olho desfocado encolhe com a abertura: a profundidade de campo vence.

6. $6.7 \times 10^{-7}\,\mathrm{rad}$ ( $0.14''$ ); $\times10\,\mathrm{m} = 6.7\,\text{µ}\mathrm{m}$ de raio: um disco de $1.3$ pixel.

7. $1''$ $= 4.9 \times 10^{-6}\,\mathrm{rad}$ , sete vezes o limite; $D = 1.22\lambda/4.9 \times 10^{-6} = 14\,\mathrm{cm}$ já alcança o seeing.

8. $2.7 \times 10^{-6}\,\mathrm{rad}$ ( $0.55''$ ); os erros de fase da atmosfera são uma fração menor de um comprimento de onda maior: correções menos numerosas e mais lentas.

9. $0.15 < 0.55$ : não; em $550\,\mathrm{nm}$ a partir do espaço, $0.14''$ : no limite.

10. $6.7 \times 10^{-7} \times 3.8 \times 10^8 = 250\,\mathrm{m}$ ; o módulo lunar, não.

11. Uma cruz de quatro espigões de difração.

12. $(1000/7)^2 = 2 \times 10^4$ : objetos mais fracos, não mais nítidos.

13. $370\,\mathrm{nm}$ e $240\,\mathrm{nm}$ : $2700$ e $4200$ pares de linhas por milímetro.

14. A bactéria, sim; sua estrutura de $0.2\,\text{µ}\mathrm{m}$ no limite com óleo, não a seco; o vírus, não.

15. $d \ge \lambda/\mathrm{NA} = 390\,\mathrm{nm}$ sob iluminação normal, $200\,\mathrm{nm}$ com luz oblíqua — o $0.61\lambda/\mathrm{NA}$ de dois pontos fica entre os dois.

16. O índice do óleo aumenta $n\sin\alpha$ e suprime a reflexão total que prenderia os raios muito inclinados na lamínula.

17. $110\,\mathrm{nm}$ ; elétrons: $0.61 \times 4\,\text{pm}/0.01 = 0.24\,\mathrm{nm}$ .

18. A lâmina atrasa de um quarto de onda a luz não difratada para que ela interfira com a luz difratada pela estrutura de fase da célula; o padrão de fase se torna um padrão de intensidade.

19. $4.3 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad}$ ; $1.5 + 2 \times 43 = 88\,\mathrm{mm}$ .

20. $2.44\lambda f_1/D = 8.7\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; furo de $13\,\text{µ}\mathrm{m}$ .

21. $f_2 = 20f_1 = 200\,\mathrm{mm}$ ; $2.2 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}$ ; $30 + 44 = 74\,\mathrm{mm}$ depois de um quilômetro.

22. $\lambda/100\,\text{µ}\mathrm{m} = 5.3 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad}$ : $53\,\text{µ}\mathrm{m}$ fora do eixo no plano do furo — bloqueada.

23. $1\%$ , absorvido pela placa do furo.

24. Um feixe de diâmetro $D$ dobra ao longo de $\sim D^2/\lambda$ : $4\,\mathrm{m}$ para $1.5\,\mathrm{mm}$ , $1.7\,\mathrm{km}$ para $30\,\mathrm{mm}$ .

25. Olho $3\,\mathrm{mm}$ , telescópio $1\,\mathrm{m}$ , objetiva (NA $1.4$ ), feixe $30\,\mathrm{mm}$ : em cada caso, $\lambda/D$ fixa o menor ângulo, o detalhe mais fino, o espalhamento mais lento.

Termos definidos neste capítulo

Princípio de Huygens–Fresnel

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