Química universitária — 3.º ano · Bachelor Year 3

8RMN em profundidade: pulsos, relaxação e 2D

Um aparelho de ressonância magnética de hospital e o espectrômetro de RMN de um departamento de química funcionam segundo o mesmo princípio. Cada um põe núcleos de hidrogênio em um campo magnético intenso, inclina sua magnetização com um pulso curto de ondas de rádio e escuta o fraco sinal que ela induz enquanto precessiona e relaxa. O aparelho transforma o sinal em uma imagem dos tecidos moles; o espectrômetro, em uma lista de deslocamentos químicos e acoplamentos e, com vários pulsos seguidos, em mapas bidimensionais que mostram qual átomo está ligado a qual. Este capítulo explica o que fazem os pulsos, por que o sinal se apaga e como se leem os espectros bidimensionais — o método pelo qual hoje se resolve a maioria das novas estruturas orgânicas.

O que você já sabe

O volume do 1.º ano interpretou espectros de RMN de ${}^1$ H: deslocamento químico, blindagem, prótons equivalentes, integração, acoplamento spin–spin, constantes de acoplamento e multipletos. O volume do 2.º ano acrescentou a RMN de ${}^{13}$ C com desacoplamento de banda larga e o DEPT, cuja sequência de pulsos tomou como dada; os pulsos são explicados aqui. O Capítulo 2 tratou o spin como um momento angular. Da física: um momento magnético em um campo tem energia $-\boldsymbol\mu\cdot\mathbf B$ , e as populações dos níveis seguem o fator de Boltzmann $\eu^{-\Delta E/kT}$ , desenvolvido no Capítulo 10.

À esquerda: um aparelho de ressonância magnética de hospital. À direita: um laboratório de RMN; cada ímã supercondutor fica em seu criostato, reabastecido com hélio líquido e nitrogênio líquido a partir dos dewars à esquerda. Fotografia de Shandchem, CC BY 2.0.

8.1 Spins nucleares em um campo magnético

Definição 8.1 (Número quântico de spin nuclear, razão giromagnética)

Um núcleo tem um momento angular de spin de número quântico $I$ , seu número quântico de spin nuclear ( $I = 0$ para $\ce{^{12}C}$ , $\ce{^{16}O}$ ; $\frac12$ para $\ce{^1H}$ , $\ce{^{13}C}$ , $\ce{^{15}N}$ , $\ce{^{19}F}$ , $\ce{^{31}P}$ ; 1 para $\ce{^2H}$ , $\ce{^{14}N}$ ), e um momento magnético $\boldsymbol\mu = \gamma\hat{\mathbf I}$ proporcional a ele; $\gamma$ é a razão giromagnética. Ao longo de um campo $B_0$ (eixo $z$ ), $\hat I_z$ assume os valores $m_I\hbar$ , $m_I = -I, \dots, I$ .

Proposição 8.2 (Níveis Zeeman)

Em um campo $B_0$ , os níveis são $E_m = -m_I\gamma\hbar B_0$ ; as transições $\Delta m_I = \pm1$ absorvem na frequência

\nu_0 = \frac{\gamma B_0}{2\pi}.

Demonstração. $E = -\boldsymbol\mu\cdot\mathbf B = -\gamma B_0\hat I_z$ , de autovalores $-\gamma B_0m_I\hbar$ . Níveis adjacentes diferem de $\gamma\hbar B_0 = h\nu_0$ . ∎

Definição 8.3 (Frequência de Larmor)

$\nu_0 = \gamma B_0/2\pi$ é a frequência de Larmor do núcleo: a frequência da ressonância e também a frequência com que seu momento magnético precessiona em torno do campo.

Exemplo 8.4 (Os núcleos comuns)

Para um núcleo de spin $\frac12$ e momento $\mu$ , $\gamma/2\pi = \mu/(Ih) = 2\mu/h$ . Com os momentos medidos: $\ce{^1H}$ $42.58\,\mathrm{MHz}/\mathrm{T}$ , $\ce{^{19}F}$ $40.08\,\mathrm{MHz}/\mathrm{T}$ , $\ce{^{31}P}$ $17.25\,\mathrm{MHz}/\mathrm{T}$ , $\ce{^{13}C}$ $10.71\,\mathrm{MHz}/\mathrm{T}$ , $\ce{^{15}N}$ $-4.32\,\mathrm{MHz}/\mathrm{T}$ . Um “espectrômetro de $400\,\mathrm{MHz}$ ” tem $B_0 = 9.4\,\mathrm{T}$ : seus prótons ressoam em $400.2\,\mathrm{MHz}$ , seus carbonos em $100.7\,\mathrm{MHz}$ .

Proposição 8.5 (Uma diferença de população ínfima)

Para spin $\frac12$ à temperatura $T$ , o excesso de núcleos no nível inferior é

\frac{N_\alpha - N_\beta}{N} \approx \frac{\gamma\hbar B_0}{2kT}.

Demonstração. $N_\beta/N_\alpha = \eu^{-\Delta E/kT} \approx 1 - \Delta E/kT$ , pois $\Delta E \ll kT$ ; logo $(N_\alpha - N_\beta)/(N_\alpha + N_\beta) \approx \Delta E/2kT$ , com $\Delta E = \gamma\hbar B_0$ . ∎

Para prótons a $9.4\,\mathrm{T}$ e $300\,\mathrm{K}$ , o excesso é $3.2 \times 10^{-5}$ : apenas três núcleos em cem mil contribuem. Como o excesso e a tensão induzida na bobina crescem ambos com $\gamma$ e $B_0$ , o sinal cresce aproximadamente como $\gamma^3B_0^2$ : é a razão de ímãs cada vez mais intensos e da baixa sensibilidade dos núcleos de $\gamma$ pequeno e baixa abundância natural, como o $\ce{^{13}C}$ .

8.2 Pulsos e o decaimento de indução livre

Definição 8.6 (Magnetização resultante, referencial girante)

A magnetização resultante $\mathbf M$ de uma amostra é a soma de seus momentos magnéticos nucleares por unidade de volume; no equilíbrio, ela é $M_0$ ao longo de $\mathbf B_0$ . O referencial girante é um sistema de eixos $x'$ , $y'$ , $z$ que gira em torno de $z$ com a frequência das ondas de rádio aplicadas; nele, a precessão em $\nu_0$ aparece desacelerada até o desvio $\nu_0 - \nu_{\mathrm{rf}}$ .

Proposição 8.7 (Precessão)

Uma magnetização em um campo obedece a $\dd\mathbf M/\dd t = \gamma\,\mathbf M\times\mathbf B$ ; em um campo estático $B_0\mathbf e_z$ , sua componente transversal gira em torno de $z$ com a frequência angular $\omega_0 = \gamma B_0$ , enquanto $M_z$ permanece constante.

Demonstração parcial. A equação é a equação clássica do torque para um momento magnético que carrega momento angular, admitida da física. Com $\mathbf B = B_0\mathbf e_z$ : $\dot M_x = \gamma B_0M_y$ , $\dot M_y = -\gamma B_0M_x$ , $\dot M_z = 0$ , cuja solução é $M_x + \iu M_y \propto \eu^{-\iu\gamma B_0t}$ : uma rotação em $\omega_0$ (no sentido horário visto de $+z$ para $\gamma > 0$ ). ∎

Definição 8.8 (Pulso de radiofrequência, ângulo de nutação)

Um pulso de radiofrequência é uma breve emissão de ondas de rádio em $\nu_{\mathrm{rf}} \approx \nu_0$ , cujo campo magnético $B_1$ , fixo no referencial girante ao longo de $x'$ , gira $\mathbf M$ em torno de $x'$ . O ângulo girado é o ângulo de nutação $\theta = \gamma B_1t_p$ para um pulso de duração $t_p$ : um pulso de $90^\circ$ leva $\mathbf M$ ao plano $x'y'$ , um pulso de $180^\circ$ o inverte.

A magnetização no referencial girante. Um pulso de 90 em torno de x' gira M de z para y' (com > 0, a rotação segue a regra da mão esquerda em torno de B_1, a convenção usual); um pulso de 180 a inverte. — A magnetização no referencial girante. Um pulso de $90^\circ$ em torno de $x'$ gira $\mathbf M$ de $z$ para $y'$ (com $\gamma > 0$ , a rotação segue a regra da mão esquerda em torno de $\mathbf B_1$ , a convenção usual); um pulso de $180^\circ$ a inverte.

Definição 8.9 (Decaimento de indução livre)

Depois de um pulso de $90^\circ$ , a magnetização transversal precessiona na frequência de Larmor e induz uma tensão oscilante na bobina em torno da amostra, que se extingue à medida que a magnetização relaxa: é o decaimento de indução livre (FID).

Teorema 8.10 (Do FID ao espectro)

A transformada de Fourier de uma oscilação amortecida $\eu^{-t/T_2}\cos(2\pi\nu t)$ ( $t \ge 0$ ) é, perto de $\nu$ , uma linha lorentziana de largura à meia altura $1/(\pi T_2)$ .

Demonstração. Escreva o sinal $\eu^{-t/T_2}\eu^{2\pi\iu\nu t}$ e integre: $\int_0^\infty\eu^{-t/T_2}\eu^{2\pi\iu(\nu - f)t}\dd t = \frac{1}{1/T_2 - 2\pi\iu(\nu - f)}$ , cuja parte real é $\frac{T_2}{1 + 4\pi^2T_2^2(f - \nu)^2}$ . Ela é máxima em $f = \nu$ e cai à metade quando $2\pi T_2|f - \nu| = 1$ , isto é, em $f - \nu = \pm1/(2\pi T_2)$ : uma largura total $1/(\pi T_2)$ . ∎

À esquerda: o FID de duas linhas (desvios de 100 e 250\, Hz, T_2 = 0.10\, s), com batimentos produzidos pela interferência das duas frequências dentro de uma envoltória exponencial (tracejada). À direita: sua transformada de Fourier, duas linhas lorentzianas de 3.2\, Hz de largura. — À esquerda: o FID de duas linhas (desvios de 100 e $250\,\mathrm{Hz}$ , $T_2 = 0.10\,\mathrm{s}$ ), com batimentos produzidos pela interferência das duas frequências dentro de uma envoltória exponencial (tracejada). À direita: sua transformada de Fourier, duas linhas lorentzianas de $3.2\,\mathrm{Hz}$ de largura.

Proposição 8.11 (Acumulação de sinal)

Somar $N$ FIDs multiplica o sinal por $N$ e o ruído aleatório por $\sqrt N$ : a razão sinal-ruído cresce como $\sqrt N$ .

Demonstração. O sinal se soma de modo coerente. O ruído de aquisições independentes tem média nula e variância $\sigma^2$ cada; a variância de uma soma de $N$ termos independentes é $N\sigma^2$ (a lei de propagação do volume do 2.º ano), logo seu desvio-padrão é $\sqrt N\sigma$ . ∎

O DEPT, que classifica os sinais de ${}^{13}$ C pelo número de hidrogênios ligados, aplica aos prótons e aos carbonos uma sequência de pulsos separados por atrasos de $1/2J$ : a grande magnetização dos prótons é transferida ao carbono pelo acoplamento a uma ligação, o que multiplica o sinal do carbono por cerca de $\gamma_H/\gamma_C \approx 4$ , e o ângulo do último pulso de prótons pondera diferentemente CH, $\ce{CH2}$ e $\ce{CH3}$ . A mesma ideia — transferir magnetização entre núcleos por meio de seus acoplamentos — está na base dos experimentos bidimensionais a seguir.

8.3 Relaxação

Definição 8.12 (Tempos de relaxação longitudinal e transversal)

O retorno de $M_z$ a $M_0$ depois de uma perturbação é exponencial, com o tempo de relaxação longitudinal $T_1$ (relaxação spin–rede: energia cedida ao meio). O decaimento da magnetização transversal até zero é exponencial com o tempo de relaxação transversal $T_2 \le T_1$ (relaxação spin–spin: perda da coerência de fase entre os spins).

Proposição 8.13 (Recuperação da inversão)

Depois de um pulso de $180^\circ$ , $M_z(t) = M_0(1 - 2\eu^{-t/T_1})$ ; ela passa por zero em $t_{\mathrm{null}} = T_1\ln2$ .

Demonstração. A equação de relaxação $\dd M_z/\dd t = (M_0 - M_z)/T_1$ com $M_z(0) = -M_0$ tem a solução $M_0 - 2M_0\eu^{-t/T_1}$ , que se anula quando $\eu^{-t/T_1} = \frac12$ . ∎

Método 8.14 (Medir $T_1$ e fixar um tempo de espera quantitativo)

Execute a sequência $180^\circ$ – $\tau$ – $90^\circ$ –aquisição para uma série de atrasos $\tau$ , esperando pelo menos $5T_1$ entre as varreduras.
Ajuste cada sinal a $M_0(1 - 2\eu^{-\tau/T_1})$ , ou leia o ponto nulo: $T_1 = t_{\mathrm{null}}/\ln2$ .
Para uma integração quantitativa com pulsos de $90^\circ$ , espere pelo menos $5T_1$ do núcleo mais lento entre as varreduras: falta então $\eu^{-5} < 1\,\%$ da magnetização.

Relaxação (valores-modelo). A magnetização longitudinal invertida se recupera passando por zero em T_1 2; a magnetização transversal decai mais depressa, com T_2. — Relaxação (valores-modelo). A magnetização longitudinal invertida se recupera passando por zero em $T_1\ln2$ ; a magnetização transversal decai mais depressa, com $T_2$ .

Definição 8.15 (Eco de spin)

Na sequência $90^\circ$ – $\tau$ – $180^\circ$ – $\tau$ , os spins que se defasaram por causa das inomogeneidades do campo são refocalizados no instante $2\tau$ , produzindo um eco de spin; sua amplitude decai com o verdadeiro $T_2$ , livre da inomogeneidade do ímã.

Definição 8.16 (Efeito Overhauser nuclear)

Saturar ou perturbar um spin altera, por meio de sua relaxação dipolar, a intensidade do sinal de outro spin próximo no espaço: é o efeito Overhauser nuclear (NOE). Sua velocidade de crescimento é proporcional a $r^{-6}$ , de modo que ele só é visto entre núcleos a menos de cerca de $0.5\,\mathrm{nm}$ uns dos outros, ligados ou não.

8.4 RMN bidimensional

Definição 8.17 (Espectro bidimensional, pico cruzado, pico diagonal)

Um espectro bidimensional é registrado repetindo uma sequência de pulsos com um atraso incrementado $t_1$ antes do tempo de aquisição $t_2$ ; uma dupla transformada de Fourier dá um mapa de intensidade em função de duas frequências. Um pico cruzado em $(\delta_1, \delta_2)$ mostra que os núcleos em $\delta_1$ e $\delta_2$ estão conectados (por um acoplamento ou pela proximidade); um pico diagonal em $(\delta, \delta)$ pertence a um único núcleo.

Definição 8.18 (COSY, HSQC, HMBC, NOESY)

O COSY (espectroscopia de correlação) correlaciona os prótons acoplados entre si, em geral através de três ligações (H–C–C–H). O HSQC (coerência heteronuclear de quantum único) correlaciona cada carbono com os prótons diretamente ligados a ele. O HMBC (correlação heteronuclear a múltiplas ligações) correlaciona carbonos com prótons situados a duas ou três ligações, através de carbonos quaternários e heteroátomos. O NOESY correlaciona prótons próximos no espaço por meio do efeito Overhauser nuclear.

Sequências de pulsos (o tempo corre para a direita; retângulos cheios: pulsos, rotulados com seu ângulo de nutação em graus; em azul: o sinal registrado). O eco de spin atinge o máximo 2 após o primeiro pulso. — Sequências de pulsos (o tempo corre para a direita; retângulos cheios: pulsos, rotulados com seu ângulo de nutação em graus; em azul: o sinal registrado). O eco de spin atinge o máximo $2\tau$ após o primeiro pulso.

Método 8.19 (Resolver uma estrutura com espectros bidimensionais)

A partir da fórmula, das integrais de ${}^1$ H e do espectro de ${}^{13}$ C/DEPT, liste os carbonos CH, $\ce{CH2}$ , $\ce{CH3}$ e quaternários.
HSQC: associe cada sinal de próton a seu carbono.
COSY: una os carbonos protonados em sistemas de spin (cadeias de vizinhos).
HMBC: una os sistemas de spin através dos carbonos quaternários, das carbonilas e dos heteroátomos, onde o COSY é silencioso.
NOESY: fixe as configurações e conformações relativas a partir dos contatos através do espaço.
Confira cada sinal com a estrutura proposta.

Espectros bidimensionais do butanoato de etila, CH3CH2CH2COOCH2CH3, desenhados com seus deslocamentos medidos. COSY: em preto, os picos diagonais; em vermelho, os picos cruzados entre prótons de carbonos vizinhos — dois sistemas de spin, etila e propila, sem pico cruzado através do oxigênio do éster. À direita: os picos HSQC (quadrados) ligam cada próton a seu carbono; os picos HMBC (círculos) mostram os prótons de OCH_2 (4.13\, ppm) e os de CH_2C=O (2.28\, ppm) chegando ambos ao carbono da carbonila, em 173.6\, ppm. — Espectros bidimensionais do butanoato de etila, $\ce{CH3CH2CH2COOCH2CH3}$ , desenhados com seus deslocamentos medidos. COSY: em preto, os picos diagonais; em vermelho, os picos cruzados entre prótons de carbonos vizinhos — dois sistemas de spin, etila e propila, sem pico cruzado através do oxigênio do éster. À direita: os picos HSQC (quadrados) ligam cada próton a seu carbono; os picos HMBC (círculos) mostram os prótons de OCH $_2$ ( $4.13\,\mathrm{ppm}$ ) e os de CH $_2$ C=O ( $2.28\,\mathrm{ppm}$ ) chegando ambos ao carbono da carbonila, em $173.6\,\mathrm{ppm}$ .

8.5 Outros núcleos e dinâmica

O flúor 19 e o fósforo 31, de spin $\frac12$ , 100 % abundantes e com $\gamma$ grande, são quase tão fáceis de observar quanto os prótons; suas amplas faixas de deslocamento fazem deles sondas precisas de seu ambiente (fármacos, fosfatos, ligantes como as fosfinas do Capítulo 20). O nitrogênio 15 é raro e fraco, e costuma ser observado indiretamente por meio dos prótons ligados a ele. O acoplamento entre núcleos diferentes é removido por desacoplamento, como para o ${}^{13}$ C no volume do 2.º ano.

Definição 8.20 (Temperatura de coalescência)

Quando um núcleo troca entre dois ambientes cujos deslocamentos estão separados por $\Delta\nu$ (em hertz), suas duas linhas se alargam à medida que a troca se acelera e se fundem em uma só na temperatura de coalescência $T_c$ .

Proposição 8.21 (Velocidade na coalescência)

Para dois sítios igualmente povoados e sem acoplamento, a constante de velocidade de troca na coalescência é $k_c = \pi\Delta\nu/\sqrt2$ .

Demonstração. Admitido neste nível. ∎

A dedução, a partir das equações de Bloch com troca, é tratada em cursos mais avançados. Com a equação de Eyring (Capítulo 12), a velocidade dá a barreira: a RMN dinâmica mede rotações em torno de ligações amida, inversões de anel e trocas de ligantes com barreiras de 40 a $100\,\mathrm{kJ}/\mathrm{mol}$ .

Exemplo 8.22 (Uma imagem de ressonância magnética)

Na imagem por ressonância magnética, um gradiente de campo faz a frequência de Larmor dos prótons da água depender da posição, de modo que a transformada de Fourier do sinal é um mapa de onde eles estão. O contraste vem da relaxação: o tempo de repetição e os atrasos de eco são escolhidos para ponderar a imagem por $T_1$ ou por $T_2$ , que diferem entre os tecidos; os agentes de contraste que contêm gadolínio encurtam o $T_1$ da água vizinha (Capítulo 24).

No laboratório — Preparar um espectrômetro

A amostra, dissolvida em um solvente deuterado, é descida até a sonda. O espectrômetro faz o lock no sinal do deutério para compensar a lenta deriva do campo; a sonda é sintonizada e casada com a frequência de cada núcleo; o campo é homogeneizado sobre a amostra ajustando as bobinas de shim até que as linhas fiquem estreitas. O campo do ímã é permanente: ferramentas de aço, cartões de crédito e marca-passos ficam fora da linha de segurança marcada.

História — Da ressonância às duas dimensões

Felix Bloch e Edward Purcell detectaram a ressonância magnética nuclear na matéria condensada em 1946 (Prêmio Nobel de Física, 1952). Richard Ernst introduziu a RMN pulsada por transformada de Fourier em 1966 e, seguindo uma ideia de Jean Jeener, a espectroscopia bidimensional nos anos 1970 (Prêmio Nobel de Química, 1991).

8.6 Exercícios

Exercício 8.1 ★

Calcule as frequências de Larmor de $\ce{^1H}$ , $\ce{^{13}C}$ e $\ce{^{19}F}$ a $14.1\,\mathrm{T}$ ( $\gamma/2\pi = 42.58$ , 10.71 e $40.08\,\mathrm{MHz}/\mathrm{T}$ ).

Solução

Solução de Exercício 8.1.

$\nu_0 = (\gamma/2\pi)B_0$ : $\ce{^1H}$ $600.4\,\mathrm{MHz}$ , $\ce{^{13}C}$ $151.0\,\mathrm{MHz}$ , $\ce{^{19}F}$ $565.1\,\mathrm{MHz}$ .

Exercício 8.2 ★

Calcule o excesso relativo de prótons no nível inferior a $9.4\,\mathrm{T}$ e $300\,\mathrm{K}$ . Quanto ele muda a $4\,\mathrm{K}$ ?

Solução

Solução de Exercício 8.2.

$h\nu_0/2kT = 6.626\times10^{-34} \times 400.2\times10^6/(2 \times 1.381\times10^{-23} \times 300) = 3.2 \times 10^{-5}$ . A $4\,\mathrm{K}$ , ele é 75 vezes maior, $2.4 \times 10^{-3}$ (a aproximação ainda vale).

Exercício 8.3 ★

Um pulso de $90^\circ$ dura $10\,\text{µ}\mathrm{s}$ para os prótons. Quanto vale $\gamma B_1/2\pi$ ? Quanto dura um pulso de $180^\circ$ , e o que faz um pulso de $5\,\text{µ}\mathrm{s}$ ?

Solução

Solução de Exercício 8.3.

$\theta = \gamma B_1t_p = \pi/2$ em $10\,\text{µ}\mathrm{s}$ : $\gamma B_1/2\pi = 1/(4 \times 10\,\text{µ}\mathrm{s}) = 25\,\mathrm{kHz}$ . Um pulso de $180^\circ$ dura $20\,\text{µ}\mathrm{s}$ ; $5\,\text{µ}\mathrm{s}$ dão $45^\circ$ .

Exercício 8.4 ★

Uma linha tem $3.2\,\mathrm{Hz}$ de largura à meia altura. Quanto vale $T_2$ (supondo um campo perfeitamente homogêneo)?

Solução

Solução de Exercício 8.4.

$T_2 = 1/(\pi \times 3.2) = 0.10\,\mathrm{s}$ .

Exercício 8.5 ★★

Usando sinal $\propto\gamma^3$ por núcleo e a abundância natural de 1.1 % do $\ce{^{13}C}$ , compare a sensibilidade da RMN de ${}^{13}$ C com a de ${}^1$ H. Quantas varreduras a mais um espectro de ${}^{13}$ C exige para a mesma razão sinal-ruído?

Solução

Solução de Exercício 8.5.

$(10.71/42.58)^3 = 0.0159$ , vezes 0.011: $1.75 \times 10^{-4}$ , cerca de 1/5700 do sinal do próton. Como S/R $\propto\sqrt N$ , a mesma S/R exige $5700^2 \approx 3 \times 10^{7}$ vezes mais varreduras — impossível, e é por isso que os espectros de ${}^{13}$ C usam amostras mais concentradas, desacoplamento e transferência de polarização.

Exercício 8.6 ★★

Em um experimento de recuperação da inversão, o sinal de um carbono se anula em $\tau = 1.39\,\mathrm{s}$ . Encontre $T_1$ e o tempo de espera para um trabalho quantitativo.

Solução

Solução de Exercício 8.6.

$T_1 = 1.39/\ln2 = 2.0\,\mathrm{s}$ ; tempo de espera $\ge 5T_1 = 10\,\mathrm{s}$ .

Exercício 8.7 ★★

No espectro COSY da butanona, $\ce{CH3COCH2CH3}$ , quais picos cruzados aparecem? Quais carbonos mostram picos HMBC a partir dos prótons do metila singleto?

Solução

Solução de Exercício 8.7.

COSY: um único pico cruzado, entre o quarteto do $\ce{CH2}$ e o tripleto do $\ce{CH3}$ do grupo etila; o singleto do $\ce{CH3CO}$ não se acopla a nada. HMBC a partir do metila singleto: o carbono da carbonila (duas ligações) e o carbono do $\ce{CH2}$ (três ligações).

Exercício 8.8 ★★

Dois sinais de metila de uma amida, separados por $50\,\mathrm{Hz}$ a baixa temperatura, coalescem a $330\,\mathrm{K}$ . Calcule a velocidade de troca na coalescência e a energia de Gibbs de ativação com $\Delta G^\ddagger = RT_c\ln(k_BT_c/hk_c)$ .

Solução

Solução de Exercício 8.8.

$k_c = \pi \times 50/\sqrt2 = 111\,\mathrm{s}^{-1}$ . $\Delta G^\ddagger = 8.314 \times 330 \times \ln(6.88\times10^{12}/111) = 68\,\mathrm{kJ}/\mathrm{mol}$ .

Exercício 8.9 ★★

Um NOE entre os prótons H $_a$ e H $_b$ é quatro vezes mais forte que entre H $_a$ e H $_c$ , a $0.30\,\mathrm{nm}$ . Estime a distância H $_a$ –H $_b$ .

Solução

Solução de Exercício 8.9.

NOE $\propto r^{-6}$ : $r_b = 0.30 \times 4^{-1/6} = 0.24\,\mathrm{nm}$ .

Exercício 8.10 ★★★

Mostre, resolvendo $\dd\mathbf M/\dd t = \gamma\mathbf M\times\mathbf B_1$ no referencial girante com $\mathbf B_1$ ao longo de $x'$ , que um pulso gira $\mathbf M$ de $\gamma B_1t_p$ em torno de $x'$ .

Solução

Solução de Exercício 8.10.

No referencial girante, em ressonância, só resta $\mathbf B_1 = B_1\mathbf e_{x'}$ : $\dot M_{x'} = 0$ , $\dot M_{y'} = \gamma B_1M_z$ , $\dot M_z = -\gamma B_1M_{y'}$ (componentes de $\gamma\mathbf M\times\mathbf B_1$ ). Logo $M_{x'}$ é constante e $(M_{y'}, M_z)$ gira com a velocidade angular $\gamma B_1$ : depois de $t_p$ , do ângulo $\gamma B_1t_p$ em torno de $x'$ .

Exercício 8.11 ★★★

Explique por que o eco de spin refocaliza a defasagem devida a um campo inomogêneo, mas não a devida às interações aleatórias entre spins. Que constante de tempo a amplitude do eco mede?

Solução

Solução de Exercício 8.11.

Um spin em um campo ligeiramente mais intenso ganha fase a uma taxa extra constante durante $\tau$ ; o pulso de $180^\circ$ inverte sua fase, e ele perde exatamente a mesma quantidade durante o segundo $\tau$ : todos esses spins se realinham em $2\tau$ . As interações spin–spin aleatórias flutuam no tempo e não se repetem no segundo intervalo: a defasagem que causam não é desfeita. A amplitude do eco decai com o verdadeiro $T_2$ .

Exercício 8.12 ★★★

Proponha a estrutura de um composto $\ce{C4H8O2}$ cujo espectro de ${}^1$ H mostra um quarteto (2H, 4.12 ppm), um singleto (3H, 2.05 ppm) e um tripleto (3H, 1.26 ppm), e cujo espectro HMBC correlaciona os prótons do quarteto com um carbono em 171 ppm (dados do exercício). Que outro éster de mesma fórmula daria um padrão HMBC diferente, e como?

Solução

Solução de Exercício 8.12.

Etanoato de etila, $\ce{CH3COOCH2CH3}$ : quarteto do $\ce{OCH2}$ (4.12), singleto do $\ce{CH3CO}$ (2.05), tripleto do $\ce{CH3}$ ; os prótons do quarteto veem o carbono da carbonila a três ligações, através do oxigênio do éster. O propanoato de metila, $\ce{CH3CH2COOCH3}$ , mostraria seu quarteto perto de 2.3 ppm (sobre um carbono perto de 27 ppm no HSQC, e não de 60) e um singleto de $\ce{OCH3}$ perto de 3.7 ppm, cujo pico HMBC até a carbonila atravessa o oxigênio.

8.7 Problema: O éster do abacaxi em duas dimensões

Problema 8.1

Problema de fim de semana — o butanoato de etila resolvido de novo, a partir de espectros bidimensionais: os sistemas de spin pelo COSY, os carbonos pelo HSQC, a ligação éster pelo HMBC, e o tempo de espera necessário para um espectro de carbono quantitativo

Um éster $\ce{C6H12O2}$ do aroma do abacaxi mostra sinais de ${}^1$ H em 4.13 (2H, q), 2.28 (2H, t), 1.66 (2H, m), 1.25 (3H, t) e 0.95 ppm (3H, t), e sinais de ${}^{13}$ C em 173.6, 60.1, 36.3, 18.6, 14.3 e 13.7 ppm, registrados a $9.4\,\mathrm{T}$ . Seus espectros 2D são os da figura da seção 4. Dados do problema: os valores de $T_1$ dos carbonos são de cerca de $20\,\mathrm{s}$ para a carbonila e de 2 a $6\,\mathrm{s}$ para os demais.

Parte I — Uma dimensão.

Calcule o grau de insaturação de $\ce{C6H12O2}$ .
Qual sinal de ${}^{13}$ C é a carbonila? Qual é o carbono ligado ao oxigênio?
Quantos carbonos protonados há? O que mostraria o DEPT-135?
A $9.4\,\mathrm{T}$ , quais são as frequências de Larmor de ${}^1$ H e de ${}^{13}$ C?
O acoplamento do quarteto é de $7.2\,\mathrm{Hz}$ . Qual é a largura, em ppm, do quarteto a $400\,\mathrm{MHz}$ ?
Por que os espectros 1D sozinhos podem deixar em aberto a ordem dos fragmentos?

Parte II — COSY.

Liste os picos cruzados do mapa COSY.
Deduza os dois sistemas de spin.
Por que não há pico cruzado entre 4.13 e 2.28 ppm?
Qual sinal de próton está acoplado a outros dois? Explique sua multiplicidade.
O que significaria um pico cruzado entre 0.95 e 1.25 ppm?
Desenhe os dois fragmentos.

Parte III — HSQC e HMBC.

A partir do HSQC, associe cada carbono a seus prótons.
Quais dois carbonos metílicos só são distinguidos pelo HSQC?
Que pico HMBC liga o fragmento etila à carbonila, e através de quantas ligações?
Que picos HMBC ligam o fragmento propila à carbonila?
Deduza a estrutura e exclua seu isômero, o propanoato de propila.
Por que os picos HMBC através de quatro ligações ou mais costumam estar ausentes?

Parte IV — Um espectro de carbono quantitativo.

Por que as integrais de um espectro de ${}^{13}$ C comum não são proporcionais ao número de carbonos?
Que fração de sua magnetização de equilíbrio a carbonila recupera se as varreduras se repetem a cada $5\,\mathrm{s}$ com pulsos de $90^\circ$ (partindo, a cada vez, de zero)?
Que fração após $5T_1$ ?
Além da relaxação, que efeito do desacoplamento de prótons distorce as integrais de carbono, e como ele é suprimido?
Com um tempo de espera de $5T_1$ , quanto tempo levam 256 varreduras?
Enuncie o resultado: o tempo de espera mínimo para um espectro de ${}^{13}$ C quantitativo deste éster.

Solução

Solução de Problema 8.1.

1. $(2 \times 6 + 2 - 12)/2 = 1$ : uma C=O. 2. 173.6 ppm: a carbonila do éster; 60.1 ppm: o $\ce{OCH2}$ . 3. Cinco; DEPT-135: $\ce{CH2}$ negativos (60.1, 36.3, 18.6), $\ce{CH3}$ positivos (14.3, 13.7), a carbonila ausente. 4. $400.2\,\mathrm{MHz}$ e $100.7\,\mathrm{MHz}$ . 5. $3J = 21.6\,\mathrm{Hz} = 0.054\,\mathrm{ppm}$ . 6. As multiplicidades mostram quais grupos são vizinhos dentro de cada fragmento, mas não como os fragmentos se unem através do oxigênio e da carbonila. 7. 4.13–1.25; 2.28–1.66; 1.66–0.95 (e os simétricos). 8. $\ce{OCH2CH3}$ (4.13, 1.25) e $\ce{CH2CH2CH3}$ (2.28, 1.66, 0.95). 9. Os prótons do $\ce{OCH2}$ e do $\ce{CH2C=O}$ estão separados pelo oxigênio e pelo carbono da carbonila: cinco ligações, nenhum acoplamento resolvido. 10. 1.66 ppm, entre $\ce{CH2}$ e $\ce{CH3}$ : acoplado a 2 + 3 = 5 prótons com $J$ semelhantes, um sexteto (um multipleto). 11. Metilas acoplados, logo dois $\ce{CH3}$ em carbonos adjacentes (uma unidade $\ce{CH3-CH3}$ ): impossível aqui. 12. $\ce{-O-CH2-CH3}$ e $\ce{-CH2-CH2-CH3}$ , mais o $\ce{C=O}$ . 13. 4.13/60.1; 2.28/36.3; 1.66/18.6; 1.25/14.3; 0.95/13.7. 14. 14.3 ( $\ce{CH3}$ da etila) e 13.7 ppm ( $\ce{CH3}$ do butanoíla), a apenas $0.6\,\mathrm{ppm}$ um do outro. 15. 4.13 ppm a 173.6 ppm: H–C–O–C, três ligações. 16. 2.28 ppm (duas ligações) e 1.66 ppm (três ligações) a 173.6 ppm. 17. $\ce{CH3CH2CH2C(=O)OCH2CH3}$ , o butanoato de etila. O propanoato de propila poria um tripleto de $\ce{OCH2}$ (e não um quarteto) perto de 4.0 ppm e um quarteto perto de 2.3 ppm. 18. Os acoplamentos a quatro ligações costumam ser inferiores a 1 Hz; o atraso do HMBC, ajustado para 5–10 Hz, não os seleciona. 19. Os carbonos relaxam com velocidades diferentes e recebem do desacoplamento intensificações Overhauser nucleares diferentes. 20. $1 - \eu^{-5/20} = 0.22$ : a carbonila fica sub-representada por um fator 4. 21. $1 - \eu^{-5} = 0.993$ . 22. O NOE do desacoplamento de prótons, diferente para cada carbono; ele é removido pelo desacoplamento inverso controlado (desacoplador ligado apenas durante a aquisição). 23. $256 \times 100\,\mathrm{s} = 25\,600\,\mathrm{s}$ , cerca de 7 horas. 24. $5T_1$ do carbono da carbonila: $100\,\mathrm{s}$ entre as varreduras.

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