Matemáticas de secundaria · Grades 10–12

10Funciones y ecuaciones cuadráticas

Funciones cuadráticas son los funciones más simples después de los lineales, y los primeros cuyos graficos son genuinamente curvos. Este capítulo desarrolla la caja de herramientas completa para ellos: el forma canónica, el discriminante, el letrero de una expresión cuadrática y la geometría del parábola.

10.1 la forma canónica

Definición 10.1 (Función cuadrática)

Un función cuadrática es un función del forma

f(x) = ax^2 + bx + c, \qquad a \neq 0,

donde $a$ , $b$ , $c$ son números reales. La expresión $ax^2 + bx + c$ es también llamado trinomio cuadrático.

Teorema 10.2 (forma canónica)

Cada función cuadrática se puede escribir exactamente de una manera como

f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta, \qquad\text{where } \alpha = -\frac{b}{2a} \text{ and } \beta = f(\alpha).

Este es el forma canónica de $f$ .

Demostración. Nosotros completar el cuadrado. Desde $a \neq 0$ , factorízalo del primero dos términos:

ax^2 + bx + c = a\left(x^2 + \frac{b}{a}x\right) + c .

Ahora $x^2 + \frac{b}{a}x$ es el comienzo del cuadrado. $\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = x^2 + \frac ba x + \frac{b^2}{4a^2}$ , entonces $x^2 + \frac{b}{a}x = \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2}{4a^2}$ . Sustituyendo:

f(x) = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2}{4a} + c = a\bigl(x - \alpha\bigr)^2 + \beta,

con $\alpha = -\frac{b}{2a}$ y $\beta = c - \frac{b^2}{4a}$ . evaluando en $x = \alpha$ mata el término al cuadrado, por lo que $\beta = f(\alpha)$ . Unicidad: en expansión $a(x-\alpha)^2 + \beta$ e identificando los coeficientes de $x$ fuerza $\alpha = -\frac{b}{2a}$ y luego se determina $\beta$ . ∎

Ejemplo 10.3

Deje $f(x) = 2x^2 - 8x + 3$ . Luego $\alpha = -\frac{-8}{2 \times 2} = 2$ y $\beta = f(2) = 8 - 16 + 3 = -5$ , entonces

f(x) = 2(x - 2)^2 - 5 .

Consultar por en expansión: $2(x^2 - 4x + 4) - 5 = 2x^2 - 8x + 8 - 5 = 2x^2 - 8x + 3$ .

Proposición 10.4 (Extremos y variaciones)

Deje $f(x) = a(x-\alpha)^2 + \beta$ .

Si $a > 0$ , entonces $f$ es decreciente en $\intoc{-\infty}{\alpha}$ y creciente en $\intco{\alpha}{+\infty}$ : $f$ tiene un mínimo $\beta$ , obtenido en $x = \alpha$ .
Si $a < 0$ , las variaciones se invierten: $f$ tiene un máximo $\beta$ en $x = \alpha$ .

Demostración. Supongamos $a > 0$ y dejemos que $\alpha \leq u < v$ . entonces

f(v) - f(u) = a\bigl((v-\alpha)^2 - (u-\alpha)^2\bigr) = a\,(v - u)\,\bigl((v-\alpha) + (u-\alpha)\bigr).

Cada factor es positivo: $a > 0$ , $v - u > 0$ y $(v-\alpha) + (u-\alpha) > 0$ desde $v > \alpha$ y $u \geq \alpha$ . entonces $f(v) > f(u)$ : $f$ es creciente en $\intco{\alpha}{+\infty}$ . Para $u < v \leq \alpha$ el último factor es negativo, por lo que $f(v) < f(u)$ : $f$ es decreciente ahí. Finalmente $f(x) - f(\alpha) = a(x-\alpha)^2 \geq 0$ para todos $x$ , por lo que $\beta = f(\alpha)$ es mínimo. El caso $a < 0$ sigue por aplicando lo anterior a $-f$ . ∎

Ejemplo 10.5

Un agricultor tiene $100$ metros de cerca para cercar un campo rectangular contra un pared recta (no se necesita valla a lo largo de la pared). Si $x$ es el ancho, el El área cerrada es $A(x) = x(100 - 2x) = -2x^2 + 100x$ . Aquí $\alpha = -\frac{100}{2\times(-2)} = 25$ y $A(25) = 25 \times 50 = 1250$ : el área es mayor para un ancho de $25$ m, lo que da $1250$ m $^2$ .

10.2 Raíces y factorización

Definición 10.6 (Raíz, discriminante)

Un raíz del trinomio $ax^2+bx+c$ es una solución del ecuación $ax^2 + bx + c = 0$ . El discriminante del trinomio es el número

\Delta = b^2 - 4ac .

Teorema 10.7 (Resolviendo $ax^2+bx+c=0$ )

Si $\Delta > 0$ , el ecuación tiene dos raíces distintos.

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}, \qquad x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a},$

y $ax^2+bx+c = a(x - x_1)(x - x_2)$ .
Si $\Delta = 0$ , el ecuación tiene el único raíz $x_0 = -\frac{b}{2a}$ y $ax^2+bx+c = a(x - x_0)^2$ .
Si $\Delta < 0$ , el ecuación no tiene una solución real y el El trinomio no se puede factorizar con coeficientes reales.

Demostración. Comience desde forma canónica calculado en Teorema 10.2:

ax^2+bx+c = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + c - \frac{b^2}{4a} = a\left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{\Delta}{4a^2}\right],

desde $c - \frac{b^2}{4a} = \frac{4ac - b^2}{4a} = -\frac{\Delta}{4a} = a \times \left(-\frac{\Delta}{4a^2}\right)$ .

1. Si $\Delta > 0$ , entonces $\frac{\Delta}{4a^2} = \left(\frac{\sqrt\Delta}{2a}\right)^2$ y el corchete es una diferencia de dos cuadrados:

ax^2+bx+c = a\left(x + \frac{b}{2a} - \frac{\sqrt\Delta}{2a}\right) \left(x + \frac{b}{2a} + \frac{\sqrt\Delta}{2a}\right) = a(x - x_2)(x - x_1).

Un producto es cero exactamente cuando uno de sus factores es cero, dando a los dos raíces, distinto porque $\sqrt\Delta \neq 0$ .

2. Si $\Delta = 0$ , el soporte es $\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2$ , que desaparece sólo en $x_0 = -\frac{b}{2a}$ .

3. Si $\Delta < 0$ , entonces $-\frac{\Delta}{4a^2} > 0$ , entonces el soporte es un cuadrado más un número positivo: nunca desaparece, y el ecuación tiene ninguna solución real. Una factorización $a(x-x_1)(x-x_2)$ produciría raíces, por lo que ninguno existe. ∎

Ejemplo 10.8

Resuelve $2x^2 - 8x + 3 = 0$ . Aquí $\Delta = (-8)^2 - 4 \times 2 \times 3 = 64 - 24 = 40 > 0$ , entonces hay dos raíces:

x_{1,2} = \frac{8 \pm \sqrt{40}}{4} = \frac{8 \pm 2\sqrt{10}}{4} = 2 \pm \frac{\sqrt{10}}{2}.

Para $x^2 + x + 1 = 0$ : $\Delta = 1 - 4 = -3 < 0$ , no hay una solución real.

Proposición 10.9 (Suma y producto de las raíces.)

Si $\Delta \geq 0$ y $x_1, x_2$ son raíces (igual cuando $\Delta = 0$ ), entonces

x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \qquad x_1 x_2 = \frac{c}{a} .

Por el contrario, dos números con suma $s$ y producto $p$ son las soluciones de $x^2 - sx + p = 0$ .

Demostración. Ampliar la factorización de Teorema 10.7:

a(x - x_1)(x - x_2) = a x^2 - a(x_1 + x_2)x + a\,x_1 x_2 .

Identificar los coeficientes con $ax^2 + bx + c$ da $-a(x_1+x_2) = b$ y $a\,x_1x_2 = c$ . Por el contrario, si $u + v = s$ y $uv = p$ , luego $(x-u)(x-v) = x^2 - sx + p$ , por lo que $u$ y $v$ son su raíces. ∎

Ejemplo 10.10

Encuentra dos números con suma $10$ y producto $21$ . Ellos resuelven $x^2 - 10x + 21 = 0$ ; $\Delta = 100 - 84 = 16$ , raíces $\frac{10 \pm 4}{2} = 7$ y $3$ . Quick raíz spotting: desde el coeficientes de $x^2 - 5x + 4$ satisfacen $1 - 5 + 4 = 0$ , el número $1$ es un raíz, y el otro es $\frac{c}{a} = 4$ (su producto debe ser $\frac ca$ ).

10.3 Signo de una cuadrática

Teorema 10.11 (Signo de un trinomio)

Deje $f(x) = ax^2+bx+c$ con $a \neq 0$ .

Si $\Delta > 0$ , con raíces $x_1 < x_2$ : $f(x)$ tiene el signo de $a$ fuera de $\intcc{x_1}{x_2}$ , y el signo de $-a$ en $\intoo{x_1}{x_2}$ .
Si $\Delta = 0$ : $f(x)$ tiene el signo de $a$ para todo $x \neq x_0$ , y desaparece en $x_0$ .
Si $\Delta < 0$ : $f(x)$ tiene el signo de $a$ para todo $x$ .

En resumen: a trinomial has the sign of $a$ , except between its raíces.

Demostración. 1. Escribe $f(x) = a(x-x_1)(x-x_2)$ y sigue las indicaciones del factores. Si $x < x_1$ : tanto $x - x_1$ como $x - x_2$ son negativos, sus El producto es positivo, por lo que $f(x)$ tiene el signo de $a$ . Si $x_1 < x < x_2$ : el Los factores tienen signos opuestos, el producto es negativo y $f(x)$ tiene el signo de $-a$ . Si $x > x_2$ : ambos factores son positivos y $f(x)$ tiene el signo de $a$ nuevamente.

2. $f(x) = a(x - x_0)^2$ y $(x-x_0)^2 > 0$ para $x \neq x_0$ .

3. De la prueba de Teorema 10.7, $f(x) = a\left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + \left(-\frac{\Delta}{4a^2}\right)\right]$ , y el soporte siempre es positivo. ∎

Método 10.12 (Resolver desigualdades cuadráticas)

Para resolver $ax^2 + bx + c \leq 0$ (o $\geq$ , $<$ , $>$ ):

calcula $\Delta$ y raíces, si los hubiera;
dibuja el mesa de signos usando Teorema 10.11 (signo de $a$ fuera del raíces);
lea la solución intervalo(s), prestando atención a si la Los propios raíces están incluidos (amplia desigualdad) o no (estricta).

Ejemplo 10.13

Resuelve $-x^2 + 3x + 4 \geq 0$ . Aquí $\Delta = 9 + 16 = 25$ y raíces. son $\frac{-3 \pm 5}{-2}$ , es decir $x_1 = -1$ y $x_2 = 4$ . desde $a = -1 < 0$ , el trinomio es negativo fuera del raíces y positivo entre ellos. Con la desigualdad amplia, el conjunto solución es $\intcc{-1}{4}$ .

10.4 la parábola

Definición 10.14 (Parábola)

El gráfico de un función cuadrática $f(x) = a(x-\alpha)^2+\beta$ es un parábola con vértice $S(\alpha, \beta)$ . eso se abre hacia arriba si $a > 0$ , hacia abajo si $a < 0$ , y es simétrico con respecto al línea vertical $x = \alpha$ .

Observación 10.15

La simetría es fácil de comprobar: para cualquier $h$ , $f(\alpha + h) = ah^2 + \beta = f(\alpha - h)$ , por lo que dos puntos son iguales La distancia horizontal desde la línea $x = \alpha$ tiene la misma altura.

Las tres posiciones de un parábola ascendente (a > 0) con respecto al Eje x: dos raíces, uno doble raíz, ningún raíz. El vértice S tiene abscisa = -b/2a. — Las tres posiciones de un parábola ascendente ( $a > 0$ ) con respecto al Eje $x$ : dos raíces, uno doble raíz, ningún raíz. El vértice $S$ tiene abscisa $\alpha = -\frac{b}{2a}$ .

Signo de un trinomio descendente (a < 0) con dos raíces: el signo de -a entre el raíces (sombreado), el signo de a afuera. — Signo de un trinomio descendente ( $a < 0$ ) con dos raíces: el signo de $-a$ entre el raíces (sombreado), el signo de $a$ afuera.

Método 10.16 (Leyendo una parábola)

Para dibujar $f(x) = ax^2+bx+c$ : busque la orientación (signo de $a$ ), el vértice $\left(-\frac{b}{2a},\, f\!\left(-\frac{b}{2a}\right)\right)$ , el intersección $(0, c)$ con el eje $y$ y el raíces, si lo hubiera. El eje de La simetría $x = -\frac{b}{2a}$ luego coloca cada punto calculado dos veces.

Ejemplo 10.17

Para $f(x) = x^2 - 4x + 3$ : hacia arriba, el vértice $(2, -1)$ , cruza el eje $y$ en $(0,3)$ , raíces $1$ y $3$ (manchado: $1 - 4 + 3 = 0$ ). Por simetría, el El punto $(4, 3)$ también está en la curva, reflejando $(0, 3)$ .

10.5 Ceremonias

Ejercicio 10.1 ★

Resuelve el ecuaciones

x^2 - 5x + 6 = 0, \qquad 2x^2 + 3x - 2 = 0, \qquad x^2 + 2x + 5 = 0, \qquad 9x^2 - 6x + 1 = 0 .

Solución

Solución de Ejercicio 10.1.

$x^2-5x+6$ : $\Delta = 25 - 24 = 1$ , raíces $\frac{5 \pm 1}{2}$ , es decir $2$ y $3$ .

$2x^2+3x-2$ : $\Delta = 9 + 16 = 25$ , raíces $\frac{-3 \pm 5}{4}$ , es decir $\frac12$ y $-2$ .

$x^2+2x+5$ : $\Delta = 4 - 20 = -16 < 0$ , no hay una solución real.

$9x^2-6x+1$ : $\Delta = 36 - 36 = 0$ , uno (doble) raíz $x_0 = \frac{6}{18} = \frac13$ .

Ejercicio 10.2 ★

Escribe en forma canónica y da el vértice del parábola:

f(x) = x^2 - 6x + 11, \qquad g(x) = -2x^2 + 4x + 1, \qquad h(x) = 3x^2 + 6x .

Solución

Solución de Ejercicio 10.2.

$f(x) = x^2 - 6x + 11 = (x-3)^2 - 9 + 11 = (x-3)^2 + 2$ : vértice $(3, 2)$ .

$g(x) = -2x^2+4x+1 = -2(x^2 - 2x) + 1 = -2\bigl((x-1)^2 - 1\bigr) + 1 = -2(x-1)^2 + 3$ : vértice $(1, 3)$ .

$h(x) = 3x^2 + 6x = 3(x^2 + 2x) = 3\bigl((x+1)^2 - 1\bigr) = 3(x+1)^2 - 3$ : vértice $(-1, -3)$ .

Ejercicio 10.3 ★

resolver las desigualdades

x^2 - 3x - 10 < 0, \qquad 2x^2 + x + 3 > 0, \qquad -x^2 + 6x - 9 \geq 0 .

Solución

Solución de Ejercicio 10.3.

$x^2 - 3x - 10$ : $\Delta = 9 + 40 = 49$ , raíces $\frac{3 \pm 7}{2} = -2$ y $5$ ; coeficiente principal positivo, por lo que el trinomio es negativo estrictamente entre raíces: el conjunto de soluciones es $\intoo{-2}{5}$ .

$2x^2 + x + 3$ : $\Delta = 1 - 24 = -23 < 0$ y $a = 2 > 0$ : siempre positivo, el conjunto de soluciones es $\R$ .

$-x^2 + 6x - 9 = -(x-3)^2$ : es $\geq 0$ solo donde $(x-3)^2 \leq 0$ , eso es en $x = 3$ . El conjunto de soluciones es $\{3\}$ .

Ejercicio 10.4 ★

Sin calcular $\Delta$ , busque un raíz obvio y luego el otro:

x^2 - 7x + 6 = 0, \qquad 2x^2 + 5x - 7 = 0, \qquad x^2 + 4x - 5 = 0 .

(Sugerencia: pruebe $x = 1$ y $x = -1$ , luego use el producto de raíces).

Solución

Solución de Ejercicio 10.4.

$x^2 - 7x + 6$ : $1 - 7 + 6 = 0$ , por lo que $1$ es un raíz; el producto de la raíces es $6$ , por lo que el otro raíz es $6$ .

$2x^2 + 5x - 7$ : $2 + 5 - 7 = 0$ , por lo que $1$ es un raíz; el producto es $\frac{c}{a} = -\frac72$ , por lo que el otro raíz es $-\frac72$ .

$x^2 + 4x - 5$ : $1 + 4 - 5 = 0$ , por lo que $1$ es un raíz; el producto es $-5$ , entonces el otro raíz es $-5$ .

Ejercicio 10.5 ★★

Encuentra dos números cuya suma sea $14$ y cuyo producto sea $45$ . Luego encuentra el dimensiones de un rectángulo de perímetro $34$ y área $60$ .

Solución

Solución de Ejercicio 10.5.

Los dos números resuelven $x^2 - 14x + 45 = 0$ (Proposición 10.9); $\Delta = 196 - 180 = 16$ , raíces $\frac{14 \pm 4}{2} = 9$ y $5$ .

Para el rectángulo: la mitad del perímetro da largo $+$ ancho $= 17$ , y el área da su producto $60$ . Resuelven $x^2 - 17x + 60 = 0$ ; $\Delta = 289 - 240 = 49$ , raíces $\frac{17 \pm 7}{2} = 12$ y $5$ . el El rectángulo es $12 \times 5$ .

Ejercicio 10.6 ★★

Sea $f(x) = x^2 + (m-2)x + 1$ , donde $m$ es un parámetro real. para cual valores de $m$ , ¿el ecuación $f(x) = 0$ tiene exactamente una solución? No solución?

Solución

Solución de Ejercicio 10.6.

$\Delta = (m-2)^2 - 4$ . Exactamente una solución cuando $\Delta = 0$ : $(m-2)^2 = 4$ , entonces $m - 2 = \pm 2$ , es decir $m = 0$ o $m = 4$ . Ninguna solución cuando $\Delta < 0$ : $(m-2)^2 < 4$ , es decir $-2 < m - 2 < 2$ , es decir $0 < m < 4$ .

Ejercicio 10.7 ★★

Se lanza una pelota hacia arriba; su altura después de $t$ segundos es $h(t) = -5t^2 + 20t + 1$ (en metros). ¿Cuál es la altura máxima alcanzada? y a que hora? Durante ese tiempo intervalo la pelota es al menos $16$ m alto?

Solución

Solución de Ejercicio 10.7.

El vértice está en $t = -\frac{20}{2 \times (-5)} = 2$ y $h(2) = -20 + 40 + 1 = 21$ : altura máxima $21$ m, alcanzada después de $2$ segundos.

$h(t) \geq 16$ significa $-5t^2 + 20t - 15 \geq 0$ , es decir (dividiendo por $-5$ , lo que invierte la desigualdad) $t^2 - 4t + 3 \leq 0$ . El raíces de $t^2-4t+3$ son $1$ y $3$ ( $1 - 4 + 3 = 0$ , producto $3$ ), por lo que $t^2 - 4t + 3 \leq 0$ exactamente en $\intcc{1}{3}$ : la pelota está al menos $16$ m de altura entre los tiempos $t = 1$ s y $t = 3$ s.

Ejercicio 10.8 ★★

Resuelva el ecuación $x^4 - 13x^2 + 36 = 0$ configurando $X = x^2$ (un bicuadrado ecuación).

Solución

Solución de Ejercicio 10.8.

Con $X = x^2$ : $X^2 - 13X + 36 = 0$ , $\Delta = 169 - 144 = 25$ , entonces $X = \frac{13 \pm 5}{2} = 9$ o $4$ . Volver a $x$ : $x^2 = 9$ da $x = \pm 3$ y $x^2 = 4$ dan $x = \pm 2$ . El conjunto solución es $\{-3, -2, 2, 3\}$ .

Ejercicio 10.9 ★★

Para qué valores de $x$ es el punto $M(x, x^2)$ del parábola $y = x^2$ estrictamente debajo de la línea $y = x + 2$ ? Interpretar en un boceto.

Solución

Solución de Ejercicio 10.9.

La condición es $x^2 < x + 2$ , es decir, $x^2 - x - 2 < 0$ . desde $x^2 - x - 2 = (x+1)(x-2)$ (raíces $-1$ y $2$ ), la desigualdad se cumple estrictamente entre raíces: $x \in \intoo{-1}{2}$ . En un boceto, el parábola $y = x^2$ cae por debajo de la línea $y = x+2$ exactamente entre sus dos intersección puntos $(-1, 1)$ y $(2, 4)$ .

Ejercicio 10.10 ★★

La suma de un número positivo y su recíproco es $\frac{13}{6}$ . Encuentra el número. (Reducir a ecuación cuadrático).

Solución

Solución de Ejercicio 10.10.

Deje que $x > 0$ satisfaga a $x + \frac1x = \frac{13}{6}$ . Multiplicando por $6x > 0$ : $6x^2 + 6 = 13x$ , es decir $6x^2 - 13x + 6 = 0$ . entonces $\Delta = 169 - 144 = 25$ y $x = \frac{13 \pm 5}{12}$ , dando $x = \frac32$ o $x = \frac23$ . Ambos son positivos y recíprocos de entre sí, como se esperaba: el número es $\frac32$ (o $\frac23$ ).

Ejercicio 10.11 ★★★

Sea $\mathcal P$ el parábola $y = x^2$ y sea $d_m$ la línea $y = mx - 1$ , donde $m$ es un parámetro real.

¿Para qué valores de $m$ se cruzan $\mathcal P$ y $d_m$ en dos? puntos? ¿Un punto? ¿No tiene sentido?
Cuando se tocan exactamente en un punto, calcular el punto de contacto. (En Capítulo 12 reconocerás $d_m$ como la tangente a $\mathcal P$ en ese momento.)

Solución

Solución de Ejercicio 10.11.

1. Intersecciones corresponden a soluciones de $x^2 = mx - 1$ , es decir $x^2 - mx + 1 = 0$ , cuyo discriminante es $\Delta = m^2 - 4$ . Dos puntos cuando $\abs{m} > 2$ ; exactamente uno cuando $m = \pm 2$ ; ninguno cuando $-2 < m < 2$ .

2. Para $m = 2$ : $x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2 = 0$ , por lo que el contacto único El punto es $(1, 1)$ . Para $m = -2$ : $(x+1)^2 = 0$ , punto de contacto $(-1, 1)$ . En ambos casos la línea se encuentra con parábola en un solo punto sin cruzándolo — es la tangente allí, y de hecho su pendiente $m = \pm 2$ es igual al valor en $x = \pm 1$ de la derivada $2x$ de $x^2$ (Capítulo 12).

10.6 Problema: el punto secreto de la parábola

Problema 10.1

Problema de fin de semana — foco y directriz: por qué antenas parabólicas, faros y puentes colgantes dibujan el misma curva, de la cual esencialmente solo hay una

Cada antena parabólica en cada balcón apunta su receptor a una punto interior preciso; Cada faro esconde su bombilla en el mismo lugar especial. Ese punto — el enfocar — es un secreto que el parábola ha mantenido desde la geometría griega, y el La fórmula de distancia es suficiente para extraerla. En el camino, este El problema perfora el discriminante, lanza proyectiles por encima de las paredes, suspende un puente, y demuestra un hecho final sorprendente: hasta zoom, there is only one parábola in the world.

Parte I — Trinomial fluency.

Resuelve $x^2 - 5x + 6 = 0$ , luego $2x^2 + x - 6 = 0$ , luego $x^2 + x + 1 = 0$ (Teorema 10.7).
Escribe $2x^2 - 4x - 6$ en forma factorizada y en canónico forma (Teorema 10.2). junto con el forma expandida, ahora tienes tres disfraces de uno función: diga qué característica muestra cada uno de un vistazo (raíces, vértice, $y$ -intersección).
Resuelve $-x^2 + 4x - 3 \geq 0$ con la regla de los signos (Teorema 10.11).
Viète como detective (Proposición 10.9, continuando Babilonia en Problema 2.1): encuentra dos números con suma $7$ y producto $12$ escribiendo su ecuación. Entonces: un raíz de $x^2 - 5x + c = 0$ es igual $2$ ; encuentra $c$ y el otro raíz sin resolver cualquier cosa.
¿Para qué valores de $m$ tiene $x^2 + mx + 9 = 0$ un doble raíz? No raíz? ¿Dos raíces?

Parte II — The enfocar unveiled. Trabajar en el parábola $y = x^2$ , el punto $F\left(0, \frac14\right)$ y la línea horizontal $\delta$ de ecuación $y = -\frac14$ .

Para un punto $P(x, x^2)$ del parábola, expandir $PF^2 = x^2 + \left(x^2 - \frac14\right)^2$ y muéstralo es el cuadrado perfecto $\left(x^2 + \frac14\right)^2$ . Deducir $PF$ .
Calcule la distancia desde $P$ hasta la línea $\delta$ , y concluir: every point of the parábola is exactly as far from $F$ as from $\delta$ . ( $F$ es el enfocar, $\delta$ el directora.)
Demuestre lo contrario: un punto $P(x, y)$ con $PF = \operatorname{dist}(P, \delta)$ debe satisfacer $y = x^2$ . (Eleva al cuadrado ambas distancias y simplifica.) parábola es por tanto un lugar, exactamente como el círculo estaba en Problema 5.1: equidistancia desde un punto y una línea, en lugar de desde un punto.
Para el parábola $y = \frac{x^2}{4f}$ más ancho (con $f > 0$ ), adapte la pregunta 6 para mostrar que enfocar es $(0, f)$ y directora $y = -f$ . Aplicación: una la antena parabólica tiene $60$ cm de ancho y $9$ cm de profundidad — la llanta pasa por $(30, 9)$ . Encuentra $f$ : ¿a qué altura está arriba? ¿En qué vértice debe colgarse el receptor?
La razón por la que las antenas funcionan: los rayos llegan paralelos a la Todos los ejes reflejan through the enfocar (y una bombilla en el enfocar lanza un haz paralelo — los faros están los platos corren hacia atrás). Explica por qué la pregunta 7 La equidistancia hace que esto sea plausible (piense en los rayos como frentes de onda en marcha), y decir qué herramienta, entrando Capítulo 12 (ver Ejercicio 10.11), gira verosimilitud en prueba.

Parte III — Parábolas at work.

Una pelota sigue la trayectoria $y = x - \frac{x^2}{20}$ ( $x$ y $y$ en metros). encontrar donde aterriza, la posición horizontal de su punto más alto punto y la altura máxima (Proposición 10.4).
En la misma trayectoria, se levanta un muro en $x = 4$ . Calcule la altura de la pelota allí: ¿supera un $3$ m? pared? ¿Una pared de $4$ m?
Un arco parabólico tiene una luz de $40$ m con altura máxima $10$ m: en coordenadas centrado, $y = 10 - \frac{x^2}{40}$ . ¿Puede pasar un camión $7$ m de altura? en $10$ m del centro? ¿En $15$ m?
Los ingresos de un teatro al precio de la entrada $p$ euros son $R(p) = p\,(120 - 2p)$ (la demanda cae a medida que el precio sube). Encuentre el precio que maximiza los ingresos y el máximo.
Los cables principales del Golden Gate son parabólicos a Excelente precisión (una carga uniforme en la plataforma produce una parábola — una cadena que cuelga libremente no: es curva, la catenaria, necesita la exponencial de grado 12). Con luz $1\,280$ m y hundimiento $143$ m, el cable sigue $y = 143\left(\frac{x}{640}\right)^2$ del centro. ¿A qué altura está el cable por encima de su punto más bajo en $x = 320$ m?

Parte IV — Lines, tangents, and the last surprise.

Completo Ejercicio 10.11: las líneas $y = mx - 1$ por el punto exterior $(0, -1)$ se encuentra $y = x^2$ según el signo de un discriminante. Encuentra las dos rectas tangentes de $(0, -1)$ y sus puntos de contacto.
Ahora las líneas $y = mx + 1$ hasta la interior punto $(0, 1)$ : calcular el discriminante del intersección ecuación y muestra que cada línea corta el parábola dos veces. Moraleja: desde dentro, sin tangentes — al igual que para un círculo.
La cuerda focal: intersecta $y = x^2$ con la línea horizontal que pasa por enfocar, $y = \frac14$ . que Cuál es la longitud del acorde? Consulta la regla general (vale la pena recordando para los platos): para $y = \frac{x^2}{4f}$ , el cuerda a través del enfocar paralelo al directora tiene longitud $4f$ .
La última sorpresa: aplica el zoom $(x, y) \mapsto (kx, ky)$ al parábola $y = x^2$ y muestre que imagen es exactamente $y = \frac{x^2}{k}$ . Concluir: cada parábola $y = \frac{x^2}{4f}$ es una unidad ampliada parábola — a diferencia de círculos y elipses de diferentes proporciones, all parábolas are similar.
Final: el retrato del parábola en cinco líneas — un ecuación con tres disfraces (pregunta 2), un locus (preguntas 7–8), un reflector de ingeniero (preguntas 9, 10), la trayectoria de un proyectil y el cable de un puente (preguntas 11 a 15) y una sola curva hacia arriba para ampliar (pregunta 19). Una frase cada uno.

Solución

Solución de Problema 10.1.

1. $x^2 - 5x + 6$ : $\Delta = 1$ , raíces $2$ y $3$ . $2x^2 + x - 6$ : $\Delta = 1 + 48 = 49$ , raíces $\frac{-1 \pm 7}{4}$ : $\frac32$ y $-2$ . $x^2 + x + 1$ : $\Delta = -3 < 0$ : no hay una solución real.

2. $\Delta = 16 + 48 = 64$ : raíces $3$ y $-1$ , entonces $2x^2 - 4x - 6 = 2(x - 3)(x + 1)$ ; forma canónica $2(x - 1)^2 - 8$ . La forma factorizada muestra el raíces, el forma canónica el vértice $(1, -8)$ , la forma expandida $y$ -intercepción $-6$ .

3. Raíces $1$ y $3$ , coeficiente principal negativo: el trinomio es $\geq 0$ entre el raíces: $x \in \intcc{1}{3}$ .

4. Los números son el raíces de $x^2 - 7x + 12 = 0$ : $3$ y $4$ . Si $2$ es un raíz de $x^2 - 5x + c$ , el otro raíz $r$ satisface $2 + r = 5$ (suma), por lo que $r = 3$ , y $c = 2 \times 3 = 6$ (producto): Viète lo lee.

5. $\Delta = m^2 - 36$ : doble raíz para $m = \pm 6$ (raíz $\mp 3$ ); no raíz para $-6 < m < 6$ ; dos raíces para $\abs m > 6$ .

6. $PF^2 = x^2 + \left(x^2 - \frac14\right)^2 = x^2 + x^4 - \frac{x^2}{2} + \frac{1}{16} = x^4 + \frac{x^2}{2} + \frac{1}{16} = \left(x^2 + \frac14\right)^2$ . Por lo tanto $PF = x^2 + \frac14$ (ambos factores positivos).

7. La distancia desde $P(x, x^2)$ a la horizontal la línea $y = -\frac14$ es $x^2 + \frac14$ — exactamente $PF$ . cada El punto del parábola es equidistante del enfocar y del directora.

8. $PF^2 = x^2 + \left(y - \frac14\right)^2$ y $\operatorname{dist}^2 = \left(y + \frac14\right)^2$ . Igualdad da $x^2 + y^2 - \frac y2 + \frac{1}{16} = y^2 + \frac y2 + \frac1{16}$ , entonces $x^2 = y$ : el lugar geométrico es exactamente parábola. Un punto y una recta generan la curva, como un punto y una La distancia generó el círculo.

9. Para $y = \frac{x^2}{4f}$ , la misma expansión con $F(0, f)$ da $PF^2 = x^2 + \left(\frac{x^2}{4f} - f\right)^2 = \left(\frac{x^2}{4f} + f\right)^2$ : la distancia a $F$ es igual distancia a $y = -f$ . Plato: $9 = \frac{30^2}{4f}$ da $4f = 100$ , $f = 25$ cm: el receptor cuelga un cuarto de metro encima del vértice — fuera del cuenco $9$ cm, como platos reales espectáculo.

10. Un frente de onda que llega paralelo al eje tiene viajó distancias iguales para alcanzar el nivel del directora; La equidistancia convierte “distancia igual al directora” en “distancia igual a $F$ ”: todas las señales reflejadas llegan a $F$ al paso, reforzando — ahí es donde escuchar. La prueba honesta necesita la pendiente de la tangente en cada punto — el derivado de Capítulo 12, vislumbrado en Ejercicio 10.11.

11. $y = x\left(1 - \frac{x}{20}\right)$ : aterriza en $x = 20$ m. Vértice medio: $x = 10$ , altura $y(10) = 10 - 5 = 5$ m.

12. $y(4) = 4 - \frac{16}{20} = 3.2$ m: borra $3$ m con espacio, choca contra una pared de $4$ m.

13. $y(10) = 10 - \frac{100}{40} = 7.5$ m $> 7$ : el el camión pasa a $10$ m descentrado. $y(15) = 10 - \frac{225}{40} = 4.375$ m: no en $15$ m.

14. $R(p) = -2p^2 + 120p$ : vértice en $p = \frac{120}{4} = 30$ euros, ingresos $R(30) = 30 \times 60 = 1\,800$ euros.

15. $y(320) = 143 \times \left(\frac{320}{640}\right)^2 = \frac{143}{4} \approx 36$ m por encima del punto más bajo.

16. $x^2 = mx - 1$ da $x^2 - mx + 1 = 0$ , $\Delta = m^2 - 4$ : dos puntos por $\abs m > 2$ , ninguno por $\abs m < 2$ , tangencia para $m = \pm 2$ con contacto $x = \frac m2 = \pm 1$ : tangentes $y = 2x - 1$ en $(1, 1)$ y $y = -2x - 1$ en $(-1, 1)$ .

17. $x^2 = mx + 1$ da $\Delta = m^2 + 4 > 0$ por cada $m$ : dos intersecciones siempre. Desde un punto interior, cada línea cruza la curva dos veces — sólo se dibujan tangentes desde fuera, exactamente como en el caso de los círculos.

18. $y = \frac14$ se encuentra con $y = x^2$ en $x = \pm\frac12$ : longitud de la cuerda $1$ . Para $y = \frac{x^2}{4f}$ : $y = f$ da $x^2 = 4f^2$ , $x = \pm 2f$ : longitud $4f$ — el ancho focal es cuatro veces la distancia focal (los diseñadores de antenas lo llaman el lado recto).

19. Un punto de $y = x^2$ es $(a, a^2)$ ; su imagen es $(X, Y) = (ka, ka^2)$ y $\frac{X^2}{k} = \frac{k^2a^2}{k} = ka^2 = Y$ : la curva imagen es exactamente $y = \frac{x^2}{k}$ . Al elegir $k = 4f$ se llega a todos los parábola: son todos Ampliaciones de una curva maestra. (Los círculos son todos similares también — pero las elipses no lo son: aplastar importa, hacer zoom no.)

20. Un ecuación con tres disfraces legibles; el lugar de equidistancia entre un punto y una recta; el reflector que recoge rayos paralelos en su enfocar y el cable que lleva una cubierta uniforme; el recorrido de cada bola lanzada; y, hasta aumento, una sola curva — una parábola, en todas partes.