Matemáticas de secundaria · Grades 10–12

11Funciones y variaciones

Este capítulo organiza lo que uno necesita saber sobre funciones antes cálculo: la pequeña familia de funciones de referencia cuyo graficos debe saber de memoria el significado preciso de creciente y decreciente y cómo se comportan las variaciones cuando se combinan funciones.

11.1 Funciones y curvas

Definición 11.1 (Función, dominio, curva)

A función $f$ asigna a cada número $x$ de un conjunto $D \subseteq \R$ (es dominio) exactamente un número $f(x)$ . Su curva (o gráfico) es el conjunto de puntos $\bigl(x, f(x)\bigr)$ para $x \in D$ .

Ejemplo 11.2

La fórmula $f(x) = \frac{\sqrt{x+2}}{x-1}$ requiere $x + 2 \geq 0$ (para la raíz cuadrada) y $x \neq 1$ (denominador distinto de cero): el dominio es $\intco{-2}{1} \cup \intoo{1}{+\infty}$ .

11.2 Las funciones de referencia

Los siguientes cinco funciones y sus curvas deben convertirse en reflejos.

Definición 11.3 (Funciones de referencia)

x \mapsto x^2 \text{ (square)}, \quad x \mapsto x^3 \text{ (cube)}, \quad x \mapsto \sqrt{x}, \quad x \mapsto \frac{1}{x}, \quad x \mapsto \abs{x}.

Sus dominios son $\R$ , $\R$ , $\intco{0}{+\infty}$ , $\R \setminus \{0\}$ . y $\R$ respectivamente. La curva de $x \mapsto \frac1x$ es una hipérbola.

Las cinco curvas de referencia: la parábola x2 y el cubo x3 (izquierda); √ x, x y hipérbola 1x (derecha). — Las cinco curvas de referencia: la parábola $x^2$ y el cubo $x^3$ (izquierda); $\sqrt x$ , $\abs x$ y hipérbola $\frac1x$ (derecha).

11.3 Variaciones en un intervalo

Definición 11.4 (Creciente, decreciente)

Dejemos que $f$ se defina en un intervalo $I$ . El función $f$ es creciente en $I$ si conserva el orden:

\text{for all } u, v \in I: \quad u < v \implies f(u) \leq f(v),

y decreciente si invierte el orden ( $u < v \implies f(u) \geq f(v)$ ). Con desigualdades estrictas a la derecha, $f$ es estrictamente aumentando (resp. decreciente). Un función que está aumentando o decreciente en $I$ es monótono en $I$ .

Método 11.5 (Demostrando una variación de la definición)

Tome dos números arbitrarios $u < v$ en intervalo y determine el signo de la diferencia $f(v) - f(u)$ , generalmente por factorización. si el El signo es constante en el intervalo, concluye.

Proposición 11.6 (Variaciones de las funciones de referencia.)

$x^2$ es estrictamente decreciente en $\intoc{-\infty}{0}$ y estrictamente creciente en $\intco{0}{+\infty}$ .
$x^3$ es estrictamente creciente en $\R$ .
$\sqrt x$ es estrictamente creciente en $\intco{0}{+\infty}$ .
$\frac1x$ es estrictamente decreciente en $\intoo{-\infty}{0}$ y en $\intoo{0}{+\infty}$ (pero no en su unión).
$\abs x$ es estrictamente decreciente en $\intoc{-\infty}{0}$ y estrictamente creciente en $\intco{0}{+\infty}$ .

Demostración. Deje $u < v$ . Factorizamos $f(v) - f(u)$ en cada caso.

1. $v^2 - u^2 = (v-u)(v+u)$ . En $\intco{0}{+\infty}$ : $v - u > 0$ y $v + u > 0$ (como $v > u \geq 0$ ), entonces $v^2 > u^2$ . encendido $\intoc{-\infty}{0}$ : $v + u < 0$ , entonces $v^2 < u^2$ .

2. $v^3 - u^3 = (v - u)(v^2 + uv + u^2)$ , y el segundo factor es igual a $\left(v + \frac u2\right)^2 + \frac{3u^2}{4} > 0$ a menos que $u = v = 0$ . Por lo tanto $v^3 > u^3$ siempre que $v > u$ .

3. Para $0 \leq u < v$ : $\sqrt v - \sqrt u = \frac{(\sqrt v - \sqrt u)(\sqrt v + \sqrt u)} {\sqrt v + \sqrt u} = \frac{v - u}{\sqrt v + \sqrt u} > 0$ .

4. Para $0 < u < v$ : $\frac1v - \frac1u = \frac{u - v}{uv} < 0$ desde $u - v < 0$ y $uv > 0$ ; Mismo cálculo para $u < v < 0$ . En el unión el reclamo falla: $-1 < 1$ pero $\frac{1}{-1} = -1 < 1 = \frac11$ .

5. En $\intco{0}{+\infty}$ , $\abs x = x$ es estrictamente creciente; en $\intoc{-\infty}{0}$ , $\abs x = -x$ es estrictamente decreciente. ∎

Observación 11.7

El punto 4 es una trampa clásica: “decreciente en $\intoo{-\infty}{0}$ y en $\intoo{0}{+\infty}$ ” es no igual que “decreciente en $\R \setminus \{0\}$ ”. Las variaciones sólo tienen sentido en intervalos.

Ejemplo 11.8 (Comparando sin computadora)

Dado que $\sqrt x$ es estrictamente creciente, $\sqrt{7} < \sqrt{8}$ ; desde $x^2$ es estrictamente decreciente en $\intoc{-\infty}{0}$ , $(-3)^2 > (-2)^2$ . La monotonicidad convierte las comparaciones de imágenes en comparaciones de argumentos.

11.4 Nuevas funciones de las antiguas

Proposición 11.9 (Transformaciones)

Sea $u$ un función definido en un intervalo $I$ y $k \in \R$ .

$u + k$ tiene las variaciones mismo como $u$ en $I$ ; su curva es el de $u$ se desplazó verticalmente en $k$ .
Para $\lambda > 0$ , $\lambda u$ tiene las mismas variaciones que $u$ ; para $\lambda < 0$ , las variaciones se invierten.
Si $u \geq 0$ en $I$ , entonces $\sqrt u$ tiene las mismas variaciones que $u$ .
Si $u \neq 0$ y $u$ tienen signo constante en $I$ , entonces $\frac1u$ tiene las variaciones opuesto a las de $u$ .

Demostración. Dejemos $u < v$ en $I$ (abusando de la notación, comparamos $x$ -valores $u < v$ ; escribimos $s = u(x_1)$ , $t = u(x_2)$ para el imágenes de $x_1 < x_2$ ).

1. $(u+k)(x_2) - (u+k)(x_1) = t - s$ : la diferencia de imágenes es no cambia, por lo que su signo no cambia.

2. $\lambda t - \lambda s = \lambda(t - s)$ : el signo se conserva si $\lambda > 0$ , volteado si $\lambda < 0$ .

3. Si $u$ es creciente y $x_1 < x_2$ , entonces $0 \leq s \leq t$ , y $\sqrt{}$ siendo creciente (Proposición 11.6) da $\sqrt s \leq \sqrt t$ . Mismo argumento en el caso decreciente.

4. Si $u$ es creciente, $0 < s \leq t$ (o $s \leq t < 0$ ), entonces $\frac1s \geq \frac1t$ porque $x \mapsto \frac1x$ es decreciente en cada lado de $0$ : el orden se invierte. ∎

Ejemplo 11.10

Estudio $f(x) = \sqrt{x^2 + 1}$ sobre $\R$ . El interior función $u(x) = x^2 + 1$ es positivo, decreciente en $\intoc{-\infty}{0}$ y creciente en $\intco{0}{+\infty}$ (un cuadrado desplazado). Por el punto 3, $f$ tiene las mismas variaciones: decreciente luego creciente, con mínimo $f(0) = 1$ .

Transformaciones en acción: cambiar x2 hacia arriba en 1 (rojo) mantiene sus variaciones; tomando la raíz cuadrada (naranja) los mantiene nuevamente, como en . — Transformaciones en acción: cambiar $x^2$ hacia arriba en $1$ (rojo) mantiene sus variaciones; tomando la raíz cuadrada (naranja) los mantiene nuevamente, como en Ejemplo 11.10.

11.5 Funciones pares e impares

Definición 11.11 (Paridad)

Dejemos que $f$ se defina en un dominio $D$ simétrico con respecto a $0$ (es decir, $-x \in D$ siempre que sea $x \in D$ ). El función $f$ es incluso si $f(-x) = f(x)$ para todos los $x \in D$ , y extraño si $f(-x) = -f(x)$ para todos los $x \in D$ .

Proposición 11.12 (Significado geométrico)

La curva de un incluso función es simétrica con respecto al eje $y$ ; la curva de un función impar es simétrico con respecto al origen.

Demostración. Si $f$ es incluso y $(x, y)$ está en la curva (por lo tanto, $y = f(x)$ ), entonces $f(-x) = f(x) = y$ : el punto especular $(-x, y)$ también está en la curva. si $f$ es extraño, $f(-x) = -y$ : el punto $(-x, -y)$ , simétrico de $(x,y)$ aproximadamente el origen, está en la curva. ∎

Ejemplo 11.13

$x^2$ y $\abs x$ son incluso; $x^3$ y $\frac1x$ son extraño; $f(x) = x^2 + x$ no es: $f(-1) = 0$ mientras que $f(1) = 2$ , entonces $f(-1) \neq \pm f(1)$ . La paridad reduce el trabajo a la mitad: un incluso o un función impar solo necesita ser estudiado en $\intco{0}{+\infty}$ .

11.6 Ceremonias

Ejercicio 11.1 ★

Proporcione el dominio de cada función:

f(x) = \sqrt{3 - x}, \qquad g(x) = \frac{1}{x^2 - 4}, \qquad h(x) = \frac{\sqrt{x}}{x - 5} .

Solución

Solución de Ejercicio 11.1.

$f$ : necesita $3 - x \geq 0$ , dominio $\intoc{-\infty}{3}$ .

$g$ : necesita $x^2 - 4 \neq 0$ , es decir $x \neq \pm 2$ : dominio $\R \setminus \{-2, 2\}$ .

$h$ : necesita $x \geq 0$ y $x \neq 5$ : dominio $\intco{0}{5} \cup \intoo{5}{+\infty}$ .

Ejercicio 11.2 ★

Utilizando las variaciones del funciones de referencia, compare sin calculadora:

\sqrt{11} \text{ and } \sqrt{13}; \qquad (-2.1)^2 \text{ and } (-2.05)^2; \qquad \frac{1}{0.9} \text{ and } \frac{1}{1.1}; \qquad (-1.01)^3 \text{ and } (-0.99)^3 .

Solución

Solución de Ejercicio 11.2.

$\sqrt{11} < \sqrt{13}$ ya que $\sqrt{}$ es creciente y $11 < 13$ .

$(-2.1)^2 > (-2.05)^2$ ya que $x^2$ es decreciente en $\intoc{-\infty}{0}$ y $-2.1 < -2.05$ .

$\frac{1}{0.9} > \frac{1}{1.1}$ ya que $\frac1x$ es decreciente en $\intoo{0}{+\infty}$ y $0.9 < 1.1$ .

$(-1.01)^3 < (-0.99)^3$ ya que $x^3$ es creciente y $-1.01 < -0.99$ .

Ejercicio 11.3 ★

Determine si cada función es incluso, extraño o ninguno de los dos:

f(x) = 3x^4 - x^2, \qquad g(x) = x^3 + x, \qquad h(x) = x^2 + x^3, \qquad k(x) = \frac{x}{x^2+1} .

Solución

Solución de Ejercicio 11.3.

$f(-x) = 3(-x)^4 - (-x)^2 = 3x^4 - x^2 = f(x)$ : incluso.

$g(-x) = -x^3 - x = -g(x)$ : extraño.

$h(1) = 2$ y $h(-1) = 1 - 1 = 0$ , por lo que $h(-1)$ no es ni $h(1)$ ni $-h(1)$ : ni incluso ni extraño.

$k(-x) = \frac{-x}{x^2+1} = -k(x)$ : extraño.

Ejercicio 11.4 ★

Un función $f$ tiene el siguiente comportamiento de variación: creciente en $\intcc{-3}{1}$ de $f(-3) = -2$ a $f(1) = 4$ , luego decreciente en $\intcc{1}{5}$ hasta $f(5) = 0$ . ¿Cuántas soluciones tiene el ecuación? $f(x) = 1$ tiene en $\intcc{-3}{5}$ ? ¿Y $f(x) = 5$ ?

Solución

Solución de Ejercicio 11.4.

Lea el tabla de variaciones. En $\intcc{-3}{1}$ , $f$ sube de $-2$ a $4$ y cruza el valor $1$ exactamente una vez; en $\intcc{1}{5}$ baja de $4$ a $0$ y cruza una vez más $1$ : el ecuación $f(x) = 1$ tiene $2$ soluciones. El máximo de $f$ es $f(1) = 4 < 5$ , por lo que $f(x) = 5$ no tiene solución.

Ejercicio 11.5 ★★

Utilizando Método 11.5 (signo de $f(v) - f(u)$ ), demuestre que $f(x) = x^2 - 4x$ es estrictamente creciente en $\intco{2}{+\infty}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 11.5.

Deje $2 \leq u < v$ . entonces

f(v) - f(u) = v^2 - 4v - u^2 + 4u = (v-u)(v+u) - 4(v-u) = (v - u)(u + v - 4).

Ambos factores son positivos: $v - u > 0$ y $u + v > 2 + 2 = 4$ desde $u \geq 2$ y $v > 2$ . Por lo tanto $f(v) > f(u)$ : $f$ es estrictamente creciente. en $\intco{2}{+\infty}$ .

Ejercicio 11.6 ★★

Sin calcular ninguna derivada, dé las variaciones de

f(x) = \sqrt{5 - x} \ \text{ on } \intoc{-\infty}{5}, \quad g(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \ \text{ on } \intco{0}{+\infty}, \quad h(x) = 3 - 2\sqrt{x} \ \text{ on } \intco{0}{+\infty}.

Solución

Solución de Ejercicio 11.6.

$f = \sqrt{u}$ con $u(x) = 5 - x$ decreciente y no negativo en $\intoc{-\infty}{5}$ : $f$ está decreciente ahí (Proposición 11.9).

$g = \frac1u$ con $u(x) = x^2 + 1$ creciente y positivo en $\intco{0}{+\infty}$ : $g$ está decreciente allí.

$h = 3 - 2\sqrt x$ : $\sqrt x$ es creciente, multiplicado por $-2 < 0$ se invierte, agregar $3$ no cambia nada: $h$ es decreciente en $\intco{0}{+\infty}$ .

Ejercicio 11.7 ★★

Deje $f(x) = (x-2)^2 - 3$ en $\R$ .

Dé las variaciones de $f$ y su mínimo.
Deduce las variaciones de $g(x) = \frac{1}{(x-2)^2+1}$ y sus máximo. (Nota $g = \frac{1}{f + 4}$ .)

Solución

Solución de Ejercicio 11.7.

1. $f$ is in forma canónica: decreciente on $\intoc{-\infty}{2}$ , creciente on $\intco{2}{+\infty}$ , mínimo $f(2) = -3$ .

2. $g = \frac{1}{u}$ con $u(x) = (x-2)^2 + 1 = f(x) + 4$ . el shift by $4$ mantiene las variaciones de $f$ y $u \geq 1 > 0$ . Tomando el recíproco los invierte: $g$ es creciente en $\intoc{-\infty}{2}$ y decreciente en $\intco{2}{+\infty}$ , con máximo $g(2) = \frac{1}{1} = 1$ .

Ejercicio 11.8 ★★

La curva de un función $f$ pasa por los puntos $(0, 1)$ , $(2, 3)$ y $(4, 1)$ , y $f$ es creciente en $\intcc{0}{2}$ y decreciente en $\intcc{2}{4}$ . Dibuje una curva posible y luego dibuje las curvas de $f + 2$ , de $-f$ y de $2f$ .

Solución

Solución de Ejercicio 11.8.

Cualquier curva en forma de colina que pase por los tres puntos funciona. Entonces: $f + 2$ pasa por $(0,3)$ , $(2,5)$ , $(4,3)$ , mismas variaciones (desplazamiento vertical); $-f$ pasa por $(0,-1)$ , $(2,-3)$ , $(4,-1)$ con invertido variaciones (el pico se convierte en valle); $2f$ pases hasta $(0,2)$ , $(2,6)$ , $(4,2)$ , mismas variaciones pero amplificadas verticalmente.

Ejercicio 11.9 ★★

Demuestre que función $f(x) = \frac{2x+1}{x+1}$ se puede escribir $f(x) = 2 - \frac{1}{x+1}$ , y deducir sus variaciones sobre $\intoo{-1}{+\infty}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 11.9.

$2 - \frac{1}{x+1} = \frac{2(x+1) - 1}{x+1} = \frac{2x+1}{x+1} = f(x)$ . En $\intoo{-1}{+\infty}$ , $u(x) = x + 1$ es creciente y positivo, por lo que $\frac1u$ es decreciente, $-\frac1u$ es creciente y se agregan cambios $2$ nada: $f$ es estrictamente creciente en $\intoo{-1}{+\infty}$ .

Ejercicio 11.10 ★★

verdadero o falso (justifique o dé un contraejemplo):

La suma de dos funciones crecientes en $I$ es creciente en $I$ .
El producto de dos funciones crecientes en $I$ es creciente en $I$ .
Si $f$ es creciente en $I$ , entonces $f^2$ ( $= f \times f$ ) es creciente en $I$ .

Solución

Solución de Ejercicio 11.10.

1. Verdadero. Si $u < v$ , entonces $(f+g)(v) - (f+g)(u) = \bigl(f(v)-f(u)\bigr) + \bigl(g(v)-g(u)\bigr)$ es una suma de dos números no negativos.

2. Falso. $f(x) = g(x) = x$ son creciente en $\R$ , pero sus el producto $x^2$ no es creciente en $\R$ (disminuye en $\intoc{-\infty}{0}$ ). (La afirmación se vuelve verdadera si ambos funciones son también no negativo.)

3. Falso. Mismo contraejemplo: $f(x) = x$ es creciente en $\R$ pero $f^2(x) = x^2$ no lo es.

Ejercicio 11.11 ★★★

Deje $f(x) = x + \frac{1}{x}$ por $x > 0$ .

Muestre que para $0 < u < v$ , $f(v) - f(u) = (v - u)\,\frac{uv - 1}{uv}$ .
Deduzca que $f$ es estrictamente decreciente en $\intoc{0}{1}$ y estrictamente creciente en $\intco{1}{+\infty}$ .
Concluir que $x + \frac1x \geq 2$ para todos $x > 0$ , con igualdad sólo en $x = 1$ .

Solución

Solución de Ejercicio 11.11.

1. Para $0 < u < v$ :

f(v) - f(u) = (v - u) + \frac1v - \frac1u = (v - u) + \frac{u - v}{uv} = (v - u)\left(1 - \frac{1}{uv}\right) = (v - u)\,\frac{uv - 1}{uv}.

2. Siempre $v - u > 0$ y $uv > 0$ . Si $0 < u < v \leq 1$ , entonces $uv < 1$ , entonces $uv - 1 < 0$ y $f(v) < f(u)$ : $f$ es estrictamente decreciente en $\intoc{0}{1}$ . Si $1 \leq u < v$ , entonces $uv > 1$ y $f(v) > f(u)$ : $f$ es estrictamente creciente en $\intco{1}{+\infty}$ .

3. $f$ disminuye antes de $1$ y aumenta después, por lo que $f(x) \geq f(1) = 2$ para todos los $x > 0$ , con igualdad exactamente en $x = 1$ . (Esta desigualdad reaparece de muchas formas; compárese Ejemplo 10.3 y las desigualdades de la recta tangente de Capítulo 22.)

11.7 Problema: la fábrica de simetría

Problema 11.1

Problema de fin de semana — cada función es par parte más una parte impar: reglas de paridad, el juego de transformación y mínimos ganados sin cálculo

Algunos funciones son simétricos en espejo, otros son de media vuelta. simétricos, la mayoría no lo son, pero es un pequeño milagro algebraico dice que cada función es, exactamente de una manera, la suma de una pieza simétrica espejo y una pieza simétrica de media vuelta. esto problema demuestra el milagro, juega el juego de la transformación en el curvas de referencia (Proposición 11.9), y cierra con la técnica factorización de diferencias de Ejercicio 11.11, que gana los problemas de minimización por completo capítulo antes de que llegue el derivado.

Parte I — Parity fluency.

Incluso, extraño o ninguno (Definición 11.11)? Justifique cada uno: $x^4 - 3x^2$ ; $x^3 - x$ ; $x^2 + x$ ; $\abs x$ ; $\frac1x$ .
Indique el significado geométrico de cada veredicto. (Proposición 11.12): ¿qué simetría hace? ¿Qué curva tiene un incluso función? ¿De un extraño?
La paridad multiplica como signos: demuestra que el producto de dos funciones impares es incluso, y completa el conjunto tabla de multiplicar (incluso $\times$ incluso, incluso $\times$ extraño, extraño $\times$ extraño).
Consecuencias rápidas: si $f$ es extraño y se define en $0$ , ¿Qué es $f(0)$ ? Si $f$ es incluso con $f(3) = 7$ , ¿cuál es $f(-3)$ ? Y demuestre que el único función tanto incluso como extraño es el cero función.
¿Qué parte de la curva de incluso función determina todos los eso? Proporcione un función que no sea ni incluso ni extraño, y explica lo que falla.

Parte II — The decomposition theorem. Para un función $f$ definido en un dominio simétrico respecto a $0$ , establezca

E(x) = \frac{f(x) + f(-x)}{2}, \qquad O(x) = \frac{f(x) - f(-x)}{2} .

Calcular $E$ y $O$ para $f(x) = x^3 + x^2 + 1$ , y comprobar: $E$ incluso, $O$ extraño, $E + O = f$ .
Demuestre la afirmación general: para cualquier $f$ , el función $E$ es incluso, $O$ es extraño y $f = E + O$ — every función splits into an incluso part and an extraño part.
Demostrar que la división es única: si $f = E_1 + O_1 = E_2 + O_2$ con $E_i$ incluso y $O_i$ extraño, utilice la pregunta 4 en $E_1 - E_2$ .
Descomponer $f(x) = \dfrac{1}{1 - x}$ (para $x \neq \pm 1$ ): ponga $E$ y $O$ sobre el común denominador $1 - x^2$ y simplificar.
Un vistazo al futuro, en una frase cada uno: el incluso y el extraño partes del exponencial función serán el gemelo funciones de grado 12 (coseno y seno hiperbólicos); y el mismo instinto — dividir un objeto en simétrico piezas y tratar cada una con su propia simetría — poderes Análisis de sonidos y señales de los volúmenes universitarios. ¿Por qué hay tal división útil, en general?

Parte III — The transformation game.

Partiendo de la curva de $x \mapsto x^2$ , describa precisamente las curvas de $(x - 3)^2$ , $x^2 + 2$ , $(x - 3)^2 + 2$ , $-x^2$ , $2x^2$ (Proposición 11.9).
Reducir $f(x) = \abs{x - 2} + \abs{x + 2}$ a un fórmula por partes en los tres intervalos cortados por $-2$ y $2$ , y describir su curva (tiene un famoso plano abajo).
¿Qué transformaciones respetan la uniformidad? decidir, con prueba o contraejemplo: desplazamiento horizontal $f(x - 3)$ ; desplazamiento vertical $f(x) + 2$ ; estiramiento vertical $2 f(x)$ (todo aplicado a un incluso $f$ ).
Resuelva $\abs{x - 2} + \abs{x + 2} = 6$ usando el Fórmula por partes de la pregunta 12.
Ingeniería inversa: un parábola tiene el vértice $(2, -3)$ y pasa por $(0, 1)$ . Reconstruir su ecuación en forma canónica.

Parte IV — Minima without calculus.

Espejo Ejercicio 11.11 para $g(x) = x + \dfrac4x$ en $\intoo{0}{+\infty}$ : mostrar $g(v) - g(u) = (v - u)\,\dfrac{uv - 4}{uv}$ , localice el mínimo, y dar su valor.
Aplicar: entre todos los rectángulos del área $16$ , que tiene el ¿Mínimo perímetro? (Escriba $P = 2\left(x + \frac{16}{x}\right)$ y utilice el contestador de la pregunta 16). concluye un viejo amigo.
Determinar las variaciones de $h(x) = \sqrt{x^2 + 1}$ en todo $\R$ , combinando un argumento de composición en $\intco{0}{+\infty}$ con un argumento de paridad para el resto.
El punto más cercano: encuentra el punto de la curva. $y = \sqrt x$ más cercano a $(3, 0)$ . (Minimizar el Distancia al cuadrado — una cuadrática en $x$ — y explique por qué minimizar el cuadrado es legítimo).
Final, el recorrido por la fábrica: las curvas de referencia son las crudas valores; transforma las máquinas; paridad y la descomposición del control de calidad; factorización de diferencias el banco de medición. Una oración en cada — y nombre la herramienta eléctrica que ofrece el siguiente capítulo.

Solución

Solución de Problema 11.1.

1. $x^4 - 3x^2$ : incluso ( $(-x)^4 - 3(-x)^2 = x^4 - 3x^2$ ). $x^3 - x$ : extraño. $x^2 + x$ : ninguno ( $f(-1) = 0 \neq f(1) = 2$ y $\neq -f(1)$ ). $\abs x$ : incluso. $\frac1x$ : extraño.

2. Incluso: la curva es simétrica a través del eje $y$ (espejo). Extraño: simétrico respecto al origen (media vuelta).

3. Si $f$ y $g$ son extraño: $(fg)(-x) = f(-x)g(-x) = (-f(x))(-g(x)) = (fg)(x)$ : incluso. Tabla: incluso $\times$ incluso $=$ incluso; incluso $\times$ extraño $=$ extraño; extraño $\times$ extraño $=$ incluso — la regla de los signos con paridades.

4. Extraño en $0$ : $f(0) = -f(0)$ , entonces $f(0) = 0$ . Incluso: $f(-3) = f(3) = 7$ . Tanto incluso como extraño: $f(x) = f(-x) = -f(x)$ para todos los $x$ , por lo que $2f(x) = 0$ : $f$ es el cero función.

5. La mitad derecha ( $x \geq 0$ ) determina completamente un incluso función: la mitad izquierda es su espejo. Ni incluso ni extraño: $x^2 + x$ (pregunta 1) — sus dos simetrías fallan en $x = 1$ .

6. $E(x) = \frac{(x^3 + x^2 + 1) + (-x^3 + x^2 + 1)}{2} = x^2 + 1$ (incluso), $O(x) = \frac{(x^3 + x^2 + 1) - (-x^3 + x^2 + 1)}{2} = x^3$ (extraño); su suma es $f$ .

7. $E(-x) = \frac{f(-x) + f(x)}{2} = E(x)$ : incluso. $O(-x) = \frac{f(-x) - f(x)}{2} = -O(x)$ : extraño. y $E(x) + O(x) = f(x)$ por suma directa: cada función divisiones.

8. De $E_1 + O_1 = E_2 + O_2$ : $E_1 - E_2 = O_2 - O_1$ . El lado izquierdo es incluso, el lado derecho extraño — entonces este función es ambos, por lo tanto cero (pregunta 4): $E_1 = E_2$ y $O_1 = O_2$ . Una sola división.

9. $E(x) = \frac12\left(\frac{1}{1 - x} + \frac{1}{1 + x}\right) = \frac12 \cdot \frac{(1 + x) + (1 - x)}{1 - x^2} = \frac{1}{1 - x^2}$ , y $O(x) = \frac12 \cdot \frac{(1 + x) - (1 - x)}{1 - x^2} = \frac{x}{1 - x^2}$ . Verifique: $E$ es incluso, $O$ es extraño y su suma es $\frac{1 + x}{1 - x^2} = \frac{1 + x}{(1 - x)(1 + x)} = \frac{1}{1 - x} = f(x)$ .

10. Debido a que cada pieza obedece a una simetría, la mitad del el trabajo (y la mitad de los datos) es suficiente para cada uno: resolver por un lado, espejo del otro — y muchas operaciones (integración, series, análisis de señales) tratan piezas simétricas mucho más simplemente que funciones sin procesar.

11. $(x-3)^2$ : $3$ desplazado a la derecha. $x^2 + 2$ : desplazado $2$ arriba. $(x-3)^2 + 2$ : ambos. $-x^2$ : volteado al revés. $2x^2$ : estirado verticalmente por $2$ (cuenco más estrecho).

12. Para $x \geq 2$ : $(x - 2) + (x + 2) = 2x$ . Para $-2 \leq x \leq 2$ : $(2 - x) + (x + 2) = 4$ . Para $x \leq -2$ : $-2x$ . La curva desciende con pendiente $-2$ , discurre plana en altura $4$ entre $-2$ y $2$ , luego sube con pendiente $2$ : un valle con piso plano.

13. Desplazamiento vertical: $f(x) + 2$ permanece incluso ( $f(-x) + 2 = f(x) + 2$ ). Estiramiento vertical: $2f(x)$ estancias incluso. Desplazamiento horizontal: $(x - 3)^2$ no es incluso ( $f(-1) = 16 \neq 4 = f(1)$ ): el deslizamiento lateral destruye el espejo.

14. En piso plano el valor es $4 \neq 6$ . Para $x \geq 2$ : $2x = 6$ , $x = 3$ . Para $x \leq -2$ : $-2x = 6$ , $x = -3$ . Soluciones: $\pm 3$ .

15. $f(x) = a(x - 2)^2 - 3$ con $f(0) = 4a - 3 = 1$ : $a = 1$ , entonces $f(x) = (x - 2)^2 - 3$ .

16. $g(v) - g(u) = (v - u) + 4\,\frac{u - v}{uv} = (v - u)\,\frac{uv - 4}{uv}$ : negativo para $u < v$ con $uv < 4$ , positivo con $uv > 4$ : decreciente encendido $\intoc{0}{2}$ , creciente en $\intco{2}{+\infty}$ ; mínimo en $x = 2$ , de valor $g(2) = 4$ .

17. Lados $x$ y $\frac{16}{x}$ : $P(x) = 2\left(x + \frac{16}{x}\right)$ , minimizado (pregunta Máquina de 16 con $4 \to 16$ , punto de inflexión $\sqrt{16} = 4$ ) en $x = 4$ : el $4 \times 4$ cuadrado, perímetro $16$ — La respuesta de Dido, ahora demostrada para cada longitud de lado real.

18. En $\intco{0}{+\infty}$ : $x \mapsto x^2 + 1$ aumenta, y $\sqrt{\phantom{x}}$ aumenta, por lo que el aumentos compuestos. Y $h(-x) = \sqrt{x^2 + 1} = h(x)$ : $h$ es incluso, por lo que por simetría especular disminuye en $\intoc{-\infty}{0}$ . Mínimo $h(0) = 1$ .

19. Distancia al cuadrado a $(3, 0)$ del punto $(x, \sqrt x)$ : $d^2(x) = (x - 3)^2 + x = x^2 - 5x + 9$ , mínimo en $x = \frac52$ : punto más cercano $\left(\frac52, \sqrt{\frac52}\right)$ , distancia $\sqrt{\frac{11}{4}} = \frac{\sqrt{11}}{2}$ . Minimizando $d^2$ es legítimo porque elevar al cuadrado es estrictamente creciente en Números positivos: $d$ y $d^2$ tocan fondo en el mismo lugar.

20. Stock en bruto: las curvas de referencia, conocidas de memoria. Máquinas: desplaza, voltea y estira montaje nuevo graficos de viejo. Control de calidad: paridad y reparto par-impar, que reducen a la mitad cada estudio. Banco de medición: factorización $f(v) - f(u)$ , que lee variaciones y mínimos directamente. el herramienta eléctrica del próximo capítulo: el derivado, que dice ellos de un vistazo.