Matemáticas de secundaria · Grades 10–12

14Trigonometría: el círculo unitario

La trigonometría comienza en triángulos rectángulos, pero su verdadero hogar es el círculo unitario, donde coseno y seno se convierten en funciones de un valor arbitrario. numero real. Este capítulo instala el radián, el devanado del real línea alrededor del círculo, los valores exactos que debe saber de memoria y el simetrías que generan todas las identidades clásicas. el estudio de $\cos$ y $\sin$ como funciones — variaciones, derivados — se lleva en Capítulo 24.

14.1 Radianes y el devanado

Definición 14.1 (Radián)

Sea $\mathcal C$ el círculo de radio $1$ centrado en el origen $O$ , y $I(1, 0)$ . La medida radián de un ángulo en el El centro de $\mathcal C$ es la longitud del arco que corta en $\mathcal C$ . Como el círculo completo tiene circunferencia $2\pi$ :

360^\circ = 2\pi \text{ rad}, \qquad 180^\circ = \pi \text{ rad}, \qquad 1 \text{ rad} = \frac{180^\circ}{\pi} \approx 57.3^\circ .

Método 14.2 (Conversión)

Los grados y radianes son proporcionales: multiplica por $\frac{\pi}{180}$ para ir desde grados hasta radianes, por $\frac{180}{\pi}$ al revés. por ejemplo $60^\circ = 60 \times \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{3}$ , y $\frac{3\pi}{4} = \frac{3 \times 180^\circ}{4} = 135^\circ$ .

Definición 14.3 (Inscribiendo la línea en el círculo)

A cada numero real $t$ asociar el punto $M(t)$ de $\mathcal C$ obtenido caminando una distancia $\abs t$ a lo largo del círculo desde $I$ , en sentido antihorario si $t \geq 0$ , en sentido horario si $t < 0$ . desde el la circunferencia es $2\pi$ , los números $t$ y $t + 2k\pi$ ( $k \in \Z$ ) llegar al mismo punto: $M(t + 2k\pi) = M(t)$ .

Ejemplo 14.4

$M(0) = I$ ; $M\!\left(\frac{\pi}{2}\right) = (0, 1)$ , la parte superior del círculo; $M(\pi) = (-1, 0)$ ; $M\!\left(-\frac{\pi}{2}\right) = (0, -1)$ ; y $M\!\left(\frac{9\pi}{4}\right) = M\!\left(\frac{\pi}{4} + 2\pi\right) = M\!\left(\frac{\pi}{4}\right)$ .

14.2 Coseno y seno

Definición 14.5 (Coseño y seno)

Por cada $t$ real, el coseno y seno de $t$ son los coordenadas del punto $M(t)$ de el círculo unitario:

M(t) = (\cos t,\ \sin t).

El círculo unitario: el numero real t, enrollado en sentido antihorario desde I, aterriza en el punto M(t) cuyo coordenadas definir t y t. — El círculo unitario: el numero real $t$ , enrollado en sentido antihorario desde $I$ , aterriza en el punto $M(t)$ cuyo coordenadas *definir* $\cos t$ y $\sin t$ .

Proposición 14.6 (Primeras propiedades)

Para todos los $t \in \R$ y $k \in \Z$ :

-1 \leq \cos t \leq 1, \qquad -1 \leq \sin t \leq 1, \qquad \cos^2 t + \sin^2 t = 1,

\cos(t + 2k\pi) = \cos t, \qquad \sin(t + 2k\pi) = \sin t .

Demostración. $M(t)$ se encuentra en el círculo unitario, por lo que sus coordenadas están entre $-1$ y $1$ , y satisfacen el ecuación $x^2 + y^2 = 1$ del círculo, que es el identidad $\cos^2 t + \sin^2 t = 1$ . Replanteos de periodicidad $M(t + 2k\pi) = M(t)$ (Definición 14.3). ∎

Ejemplo 14.7

Si $\sin t = \frac35$ y $t \in \intcc{\frac\pi2}{\pi}$ (segundo cuadrante), luego $\cos^2 t = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$ , entonces $\cos t = \pm\frac45$ ; en el segundo cuadrante el abscisa es negativo, por lo tanto $\cos t = -\frac45$ .

Los valores a saber de memoria:

$t$	$0$	$\dfrac{\pi}{6}$	$\dfrac{\pi}{4}$	$\dfrac{\pi}{3}$	$\dfrac{\pi}{2}$
[6pt] $\cos t$	$1$	$\dfrac{\sqrt3}{2}$	$\dfrac{\sqrt2}{2}$	$\dfrac12$	$0$
[6pt] $\sin t$	$0$	$\dfrac12$	$\dfrac{\sqrt2}{2}$	$\dfrac{\sqrt3}{2}$	$1$

Observación 14.8

Una ayuda para la memoria: la lectura senos $\frac{\sqrt0}{2}, \frac{\sqrt1}{2}, \frac{\sqrt2}{2}, \frac{\sqrt3}{2}, \frac{\sqrt4}{2}$ y cosenos son la misma lista invertida.

14.3 Ángulos asociados

Proposición 14.9 (Ángulos asociados)

Para todos los $t \in \R$ :

\begin{aligned} \cos(-t) &= \cos t, & \sin(-t) &= -\sin t,\\ \cos(\pi - t) &= -\cos t, & \sin(\pi - t) &= \sin t,\\ \cos(\pi + t) &= -\cos t, & \sin(\pi + t) &= -\sin t,\\ \cos\left(\tfrac{\pi}{2} - t\right) &= \sin t, & \sin\left(\tfrac{\pi}{2} - t\right) &= \cos t . \end{aligned}

Demostración. Cada línea expresa una simetría del círculo.

$M(-t)$ es el reflejo de $M(t)$ en el eje $x$ : el abscisa es sin cambios, el ordenada cambia de signo.

$M(\pi - t)$ es el reflejo de $M(t)$ en el eje $y$ : caminar hacia atrás desde $\pi$ por $t$ aterriza en sentido opuesto (horizontalmente) a caminar reenvía desde $0$ por $t$ . El abscisa cambia de signo, el ordenada cambia de signo. sin cambios.

$M(\pi + t)$ está diametralmente opuesto a $M(t)$ (media vuelta): ambos coordenadas cambio de signo.

$M\!\left(\frac\pi2 - t\right)$ es el reflejo de $M(t)$ en el línea diagonal $y = x$ , que intercambia los dos coordenadas. ∎

Los cuatro puntos asociados: M(-t) refleja M(t) en el x, M(π - t) en el eje y y M(π + t) diametralmente opuesto. Se lee cada identidad de esta foto. — Los cuatro puntos asociados: $M(-t)$ refleja $M(t)$ en el $x$ , $M(\pi - t)$ en el eje $y$ y $M(\pi + t)$ diametralmente opuesto. Se lee cada identidad de Proposición 14.9 esta foto.

Ejemplo 14.10

$\cos\frac{2\pi}{3} = \cos\left(\pi - \frac\pi3\right) = -\cos\frac\pi3 = -\frac12$ , y $\sin\frac{7\pi}{6} = \sin\left(\pi + \frac\pi6\right) = -\sin\frac\pi6 = -\frac12$ . La tabla de cinco valores, ampliada por el simetrías, cubre todo el círculo.

14.4 Resolver ecuaciones trigonométricas

Teorema 14.11 (Las ecuaciones $\cos t = \cos a$ y $\sin t = \sin a$ )

Para números reales $t$ y $a$ :

\cos t = \cos a \iff t = a + 2k\pi \ \text{or}\ t = -a + 2k\pi \quad (k \in \Z),

\sin t = \sin a \iff t = a + 2k\pi \ \text{or}\ t = \pi - a + 2k\pi \quad (k \in \Z).

Demostración. Dos puntos del círculo unitario tienen el mismo abscisa exactamente cuando están iguales o reflejos entre sí en el eje $x$ ; por Proposición 14.9, el reflejo de $M(a)$ es $M(-a)$ . entonces $\cos t = \cos a$ significa $M(t) = M(a)$ o $M(t) = M(-a)$ , es decir $t = \pm a$ hasta un múltiplo de $2\pi$ . Del mismo modo, igual ordenadas media puntos iguales o reflejos en el eje $y$ , y el reflejo de $M(a)$ es $M(\pi - a)$ . ∎

Método 14.12 (Resolviendo $\cos t = c$ en un intervalo)

Encuentre el ángulo uno $a$ con $\cos a = c$ , de la tabla de valores conocidos.
Escribe las soluciones generales $t = \pm a + 2k\pi$ . (Teorema 14.11).
Elija el números enteros $k$ que aterrice dentro del intervalo solicitado, y enumere las soluciones.

Proceder de la misma manera para $\sin t = c$ con $t = a + 2k\pi$ o $t = \pi - a + 2k\pi$ .

Ejemplo 14.13

Resuelva $\cos t = \frac12$ en $\intoc{-\pi}{\pi}$ . Una solución de $\cos a = \frac12$ es $a = \frac{\pi}{3}$ . Las soluciones generales son $t = \frac\pi3 + 2k\pi$ y $t = -\frac\pi3 + 2k\pi$ . Dentro $\intoc{-\pi}{\pi}$ , sólo $k = 0$ aporta: $t \in \left\{-\frac\pi3,\ \frac\pi3\right\}$ .

Resuelva $\sin t = -\frac{\sqrt2}{2}$ en $\intco{0}{2\pi}$ . Un ángulo es $a = -\frac\pi4$ ; las soluciones son $t = -\frac\pi4 + 2k\pi$ y $t = \pi + \frac\pi4 + 2k\pi = \frac{5\pi}{4} + 2k\pi$ . en $\intco{0}{2\pi}$ : $t = \frac{7\pi}{4}$ (de $k = 1$ ) y $t = \frac{5\pi}{4}$ .

Resolviendo t = 1/2: la línea vertical x = 1/2 (naranja) corta el círculo unitario en dos puntos, simétrico en el eje x — de ahí las dos familias de soluciones t = ± π3 + 2kπ. — Resolviendo $\cos t = \frac12$ : la línea vertical $x = \frac12$ (naranja) corta el círculo unitario en dos puntos, simétrico en el eje $x$ — de ahí las dos familias de soluciones $t = \pm\frac\pi3 + 2k\pi$ .

14.5 Ceremonias

Ejercicio 14.1 ★

Convertir a radianes: $30^\circ$ , $45^\circ$ , $120^\circ$ , $270^\circ$ . Convertir a grados: $\frac{\pi}{5}$ , $\frac{5\pi}{6}$ , $\frac{7\pi}{4}$ , $\frac{2\pi}{9}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 14.1.

To radianes: $30^\circ = \frac{\pi}{6}$ , $45^\circ = \frac{\pi}{4}$ , $120^\circ = \frac{2\pi}{3}$ , $270^\circ = \frac{3\pi}{2}$ .

A grados: $\frac{\pi}{5} = 36^\circ$ , $\frac{5\pi}{6} = 150^\circ$ , $\frac{7\pi}{4} = 315^\circ$ , $\frac{2\pi}{9} = 40^\circ$ .

Ejercicio 14.2 ★

Coloque en el círculo unitario los puntos $M(t)$ para

t = \frac{2\pi}{3},\quad t = -\frac{\pi}{4},\quad t = \frac{17\pi}{6},\quad t = -\frac{7\pi}{2},

después de reducir cada uno a un valor en $\intoc{-\pi}{\pi}$ módulo $2\pi$ .

Solución

Solución de Ejercicio 14.2.

$\frac{2\pi}{3}$ y $-\frac{\pi}{4}$ ya están en $\intoc{-\pi}{\pi}$ : segundo cuadrante y cuarto cuadrante respectivamente.

$\frac{17\pi}{6} - 2\pi = \frac{5\pi}{6}$ : segundo cuadrante, cercano al eje $x$ negativo.

$-\frac{7\pi}{2} + 4\pi = \frac{\pi}{2}$ : la parte superior del círculo, $(0, 1)$ .

Ejercicio 14.3 ★

Usando la tabla y el ángulos asociados, proporcione los valores exactos de

\cos\frac{3\pi}{4}, \quad \sin\frac{5\pi}{6}, \quad \cos\left(-\frac{\pi}{3}\right), \quad \sin\frac{4\pi}{3}, \quad \cos\frac{11\pi}{6} .

Solución

Solución de Ejercicio 14.3.

$\cos\frac{3\pi}{4} = \cos\left(\pi - \frac\pi4\right) = -\cos\frac\pi4 = -\frac{\sqrt2}{2}$ .

$\sin\frac{5\pi}{6} = \sin\left(\pi - \frac\pi6\right) = \sin\frac\pi6 = \frac12$ .

$\cos\left(-\frac\pi3\right) = \cos\frac\pi3 = \frac12$ .

$\sin\frac{4\pi}{3} = \sin\left(\pi + \frac\pi3\right) = -\sin\frac\pi3 = -\frac{\sqrt3}{2}$ .

$\cos\frac{11\pi}{6} = \cos\left(-\frac\pi6 + 2\pi\right) = \cos\frac\pi6 = \frac{\sqrt3}{2}$ .

Ejercicio 14.4 ★

Dado $\cos t = \frac{5}{13}$ con $t \in \intoo{-\frac\pi2}{0}$ , calcule $\sin t$ exactamente.

Solución

Solución de Ejercicio 14.4.

$\sin^2 t = 1 - \cos^2 t = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169}$ , entonces $\sin t = \pm\frac{12}{13}$ . En $\intoo{-\frac\pi2}{0}$ (cuarto cuadrante) el ordenada es negativo: $\sin t = -\frac{12}{13}$ .

Ejercicio 14.5 ★★

Simplifique, para cualquier $x$ real:

A = \cos(\pi + x) + \cos(-x) + \sin\left(\frac\pi2 - x\right) - \cos x, \qquad B = \sin(\pi - x) + \sin(\pi + x) + \sin(-x) .

Solución

Solución de Ejercicio 14.5.

Usando Proposición 14.9:

A = (-\cos x) + \cos x + \cos x - \cos x = 0 ,

B = \sin x + (-\sin x) + (-\sin x) = -\sin x .

Ejercicio 14.6 ★★

Resuelva en $\intoc{-\pi}{\pi}$ :

\cos t = \frac{\sqrt3}{2}, \qquad \sin t = \frac12, \qquad \cos t = -1 .

Solución

Solución de Ejercicio 14.6.

$\cos t = \frac{\sqrt3}{2}$ : una solución es $\frac\pi6$ , entonces $t = \pm\frac\pi6$ (los desplazamientos por $2k\pi$ salen del intervalo).

$\sin t = \frac12$ : $t = \frac\pi6$ or $t = \pi - \frac\pi6 = \frac{5\pi}{6}$ .

$\cos t = -1$ : el único punto de abscisa $-1$ es $M(\pi)$ , por lo que $t = \pi$ .

Ejercicio 14.7 ★★

Resuelva en $\intco{0}{2\pi}$ :

\sin t = -\frac{\sqrt3}{2}, \qquad \cos t = 0, \qquad 2\sin t + 1 = 0 .

Solución

Solución de Ejercicio 14.7.

$\sin t = -\frac{\sqrt3}{2}$ : a partir de $a = -\frac\pi3$ , las familias son $-\frac\pi3 + 2k\pi$ y $\pi + \frac\pi3 + 2k\pi$ ; en $\intco{0}{2\pi}$ : $t = \frac{4\pi}{3}$ y $t = \frac{5\pi}{3}$ .

$\cos t = 0$ : $t = \frac\pi2$ y $t = \frac{3\pi}{2}$ .

$2\sin t + 1 = 0$ significa $\sin t = -\frac12$ : de $a = -\frac\pi6$ , en $\intco{0}{2\pi}$ : $t = \frac{7\pi}{6}$ y $t = \frac{11\pi}{6}$ .

Ejercicio 14.8 ★★

Resuelva en $\R$ el ecuación $\cos 2t = \cos t$ . (Usar Teorema 14.11 con $a = t$ y analice las dos familias. de soluciones.)

Solución

Solución de Ejercicio 14.8.

Por Teorema 14.11, $\cos 2t = \cos t$ significa $2t = t + 2k\pi$ o $2t = -t + 2k\pi$ , es decir, $t = 2k\pi$ o $t = \frac{2k\pi}{3}$ ( $k \in \Z$ ). La primera familia está contenida en el segundo (tome $k$ un múltiplo de $3$ ), por lo que el conjunto de soluciones es

S = \left\{\frac{2k\pi}{3} : k \in \Z\right\}

— en el círculo, los tres puntos $M(0)$ , $M\!\left(\frac{2\pi}{3}\right)$ , $M\!\left(\frac{4\pi}{3}\right)$ .

Ejercicio 14.9 ★★

Muéstralo de verdad $x$ ,

\bigl(\cos x + \sin x\bigr)^2 + \bigl(\cos x - \sin x\bigr)^2 = 2 .

Solución

Solución de Ejercicio 14.9.

En expansión ambos cuadrados y usando $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$ :

(\cos^2 x + 2\sin x\cos x + \sin^2 x) + (\cos^2 x - 2\sin x\cos x + \sin^2 x) = 1 + 1 = 2 .

Ejercicio 14.10 ★★

Una rueda de radio $30$ cm rueda sin patinar. ¿A través de qué ángulo (en radianes, luego en grados) ¿gira cuando la bicicleta avanza $1.5$ m? ¿Qué distancia avanza la bicicleta durante un giro completo de la rueda?

Solución

Solución de Ejercicio 14.10.

Rodar sin deslizarse significa que la longitud del arco es igual a la distancia recorrido: $r\theta = 150$ cm da $\theta = \frac{150}{30} = 5$ rad $= 5 \times \frac{180}{\pi} \approx 286.5^\circ$ . Una vuelta completa hace avanzar la bicicleta por la circunferencia. $2\pi \times 30 = 60\pi \approx 188.5$ cm, aproximadamente $1.88$ m.

Ejercicio 14.11 ★★★

Resuelve en $\intoc{-\pi}{\pi}$ la desigualdad $\cos t \leq \frac12$ . (Dibuje el círculo unitario, marque la región donde abscisa es como máximo $\frac12$ y lee el intervalo de los valores de $t$ .)

Solución

Solución de Ejercicio 14.11.

En el círculo unitario, los puntos de abscisa exactamente $\frac12$ son $M\!\left(\pm\frac\pi3\right)$ . Los puntos con abscisa a lo sumo $\frac12$ forma el arco a la izquierda de la línea vertical $x = \frac12$ , viajado como $t$ va desde $\frac\pi3$ hasta $\pi$ , o desde $-\pi$ hasta $-\frac\pi3$ . Por lo tanto, en $\intoc{-\pi}{\pi}$ :

S = \intoc{-\pi}{-\frac{\pi}{3}} \cup \intcc{\frac{\pi}{3}}{\pi}.

(Se incluyen los puntos finales $\pm\frac\pi3$ ya que la desigualdad es amplia).

14.6 Problema: La noria y la marea

Problema 14.1

Problema del fin de semana — radianes como distancia recorrida, y el círculo unitario como reloj maestro de cada periódico. fenómeno

Una noria te lleva alrededor de un círculo; la marea lleva el el agua del puerto arriba y abajo en el mismo círculo matemático. cada fenómeno periódico — ruedas, mareas, sonido, estaciones — lee su horario fuera del círculo unitario de este capítulo (Definición 14.5), y el ecuaciones de Método 14.12 indica las horas exactas. este problema convierte, enrolla, modela y resuelve — y se establece en el camino por qué Los matemáticos miden ángulos en radianes.

Parte I — radianes, the rolled distance.

Convertir a radianes: $30^\circ$ , $135^\circ$ , $300^\circ$ ; y a grados: $\frac{3\pi}{4}$ , $\frac{5\pi}{6}$ (Método 14.2).
El punto completo de radianes: un arco de ángulo $t$ (en radianes) en un círculo de radio $r$ tiene longitud exactamente $r\,t$ . ¿Qué arco corta un ángulo de $2$ radianes en una círculo de radio $3$ m? (No hay $\pi$ en ninguna parte — es decir el punto.)
Una rueda de radio $30$ cm rueda $1$ km sin resbalando. ¿Por cuántos radianes ha girado? y cuantas vueltas completas son?
Colocar en el círculo unitario y evaluar exactamente: $\cos\frac{2\pi}{3}$ , $\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)$ , y $\cos\frac{19\pi}{6}$ (reduzca primero el módulo $2\pi$ ; Proposición 14.9).
Un ángulo $t \in \intoo{\frac\pi2}{\pi}$ satisface $\sin t = \frac35$ . Usando $\cos^2 t + \sin^2 t = 1$ y el cuadrante, encuentre $\cos t$ y $\tan t$ .

Parte II — The Ferris wheel. Una rueda gigante tiene radio $60$ m, su cubo $65$ m por encima del tierra y gira una vez cada $30$ minutos. Usted aborda en el punto más bajo en el momento $t = 0$ (en minutos), por lo que su altura obedece

h(t) = 65 - 60 \cos\!\left(\frac{\pi t}{15}\right).

Justifique la fórmula: verifique el ángulo girado después de $t$ minutos, la altura en $t = 0$ , y explique el signo negativo. firmar.
Calcula tu altura en $t = 7.5$ , $t = 15$ y $t = 20$ minutos (valores exactos).
¿A qué hora estás primero en $95$ m? (Resolver $h(t) = 95$ con Método 14.12.)
¿Durante qué tiempo intervalo del viaje estás al menos $95$ m de alto — ¿y por cuánto tiempo en total? (Comparar Ejercicio 14.11.)
¿Dónde cambia la altura lo más rápido? comparar el subir durante el primer minuto ( $h(1) - h(0)$ ) con la subida entre los minutos $7$ y $8$ , y formular la observación (la herramienta que hace es exacto — llega el derivado de la sinusoide — en el grado 12).
El turno del ingeniero: diseñar la fórmula de altura de una rueda con altura máxima $40$ m, altura mínima $4$ m y periodo $12$ minutos, embarque por la parte inferior a las $t = 0$ .

Parte III — The tide and the circle’s symmetries. En un puerto, la profundidad del agua en metros, $t$ horas después medianoche, es

d(t) = 7 + 3 \sin\!\left(\frac{\pi t}{6}\right).

Indique las profundidades máxima y mínima, los momentos en que aparecen por primera vez y el período de la marea.
Un buque de carga necesita $8.5$ m de agua. resolver $d(t) \geq 8.5$ en $\intco{0}{12}$ : durante qué ventana ¿Puede entrar y cuánto mide la ventana? ¿Cuándo siguiente ventana abierta?
Volver a derivar dos identidades de ángulos asociados directamente desde simetrías circulares — $\sin(\pi - t) = \sin t$ (espejo a lo largo del eje vertical) y $\cos(\pi + t) = -\cos t$ (media vuelta) — y enuncie la identidad complementaria $\cos\left(\frac\pi2 - t\right) = \sin t$ .
Paridad (vocabulario Problema 11.1): clasificar $\sin$ , $\cos$ y $t \mapsto \sin t + t^3$ como par o impar, con pruebas de una línea del círculo.
Resolver en $\intco{0}{2\pi}$ : $2\sin^2 t - \sin t - 1 = 0$ . (Una cuadrática en disfraz: factorícelo como en Problema 10.1, luego lee el círculo.)

Parte IV — The mathematician’s angle.

¿Cuántos grados tiene $1$ radián? Luego una trampa de calculadora: que es más grande, $\sin(1)$ (modo radián) o $\sin(1^\circ)$ — ¿y aproximadamente por qué factor? moraleja para la configuración de la calculadora?
Resuelva $\cos t = \sin t$ en $\intco{0}{2\pi}$ , usando el círculo (¿dónde son iguales abscisa y ordenada?).
Para ángulos pequeños, el arco y su seno casi coinciden: comparar $\sin(0.1)$ con $0.1$ (cinco decimales), y dar el error relativo. Este "ángulo pequeño" aproximación” gobierna barcos y péndulos; el teorema detrás de él ( $\frac{\sin t}{t} \to 1$ ) hay una estrella del Capítulo de límites de grado 12.
Finale — el círculo unitario como reloj maestro, una frase por artículo: radianes convierte ángulos en números honestos (arco $=$ radio $\times$ ángulo); coseno y seno son los sombra y altura de la manecilla del reloj; las simetrias del circulo son las identidades; resolviendo $\cos t = c$ tiempos de lectura fuera del horario; y todo fenómeno periódico — rueda, marea, sonido — este reloj lleva un disfraz.

Solución

Solución de Problema 14.1.

1. $30^\circ = \frac{\pi}{6}$ ; $135^\circ = \frac{3\pi}{4}$ ; $300^\circ = \frac{5\pi}{3}$ . y $\frac{3\pi}{4} = 135^\circ$ ; $\frac{5\pi}{6} = 150^\circ$ .

2. Longitud $r\,t = 3 \times 2 = 6$ m. radianes hacer arco longitud de un producto simple — los grados arrastrarían un $\frac{\pi}{180}$ en cada fórmula.

3. radianes se convirtió en $= \frac{\text{distance}} {\text{radius}} = \frac{1000}{0.30} \approx 3\,333$ rad; dividido por $2\pi$ : aproximadamente $530$ vueltas completas.

4. $\cos\frac{2\pi}{3} = -\frac12$ ; $\sin\left(-\frac\pi4\right) = -\frac{\sqrt2}{2}$ ; $\frac{19\pi}{6} - 2\pi = \frac{7\pi}{6}$ , so $\cos\frac{19\pi}{6} = \cos\frac{7\pi}{6} = -\frac{\sqrt3}{2}$ .

5. $\cos^2 t = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$ ; en el segundo cuadrante el coseno es negativo: $\cos t = -\frac45$ , y $\tan t = \frac{3/5}{-4/5} = -\frac34$ .

6. En $t$ minutos la rueda gira $\frac{t}{30} \times 2\pi = \frac{\pi t}{15}$ . En $t = 0$ : $h = 65 - 60 = 5$ m — la plataforma de embarque en la parte inferior (altura del cubo menos radio). El signo menos te pone abajo el cubo cuando el ángulo girado es $0$ .

7. $h(7.5) = 65 - 60\cos\frac{\pi}{2} = 65$ m (cubo altura); $h(15) = 65 + 60 = 125$ m (la parte superior); $h(20) = 65 - 60\cos\frac{4\pi}{3} = 65 + 30 = 95$ m.

8. $65 - 60\cos\frac{\pi t}{15} = 95$ da $\cos\frac{\pi t}{15} = -\frac12$ : primera solución $\frac{\pi t}{15} = \frac{2\pi}{3}$ , es decir, $t = 10$ minutos.

9. $\cos\frac{\pi t}{15} \leq -\frac12$ para $\frac{\pi t}{15} \in \intcc{\frac{2\pi}{3}}{\frac{4\pi}{3}}$ , es decir, $t \in \intcc{10}{20}$ : diez minutos del viaje anterior $95$ m, simétrico con respecto a la cumbre en $t = 15$ .

10. Primer minuto:

h(1) - h(0) = 60\left(1 - \cos\frac{\pi}{15}\right) \approx 1.3 \text{ m}.

Entre los minutos $7$ y $8$ :

60\left(\cos\frac{7\pi}{15} - \cos\frac{8\pi}{15}\right) \approx 12.5 \text{ m}

— casi diez veces más. La altura cambia más rápidamente al pasar el nivel del buje. y se detiene cerca de la parte inferior y superior: la sinusoide es empinada en su medio, plano en sus extremos.

11. Radio $= \frac{40 - 4}{2} = 18$ m, cubo en $4 + 18 = 22$ m, período $12$ min: $h(t) = 22 - 18\cos\left(\frac{\pi t}{6}\right)$ .

12. Máximo $7 + 3 = 10$ m cuando $\sin\frac{\pi t}{6} = 1$ : primero a las $t = 3$ (3 a. m.); mínimo $4$ m primero en $t = 9$ ; período $\frac{2\pi}{\pi/6} = 12$ horas.

13. $\sin\frac{\pi t}{6} \geq \frac12$ para $\frac{\pi t}{6} \in \intcc{\frac\pi6}{\frac{5\pi}{6}}$ : $t \in \intcc{1}{5}$ — un período de cuatro horas de 1 a.m. a 5 a.m., reabriendo un período más tarde, $t \in \intcc{13}{17}$ (de 13 a 17 horas).

14. El espejo a través del eje vertical envía el punto en ángulo $t$ hasta el punto en el ángulo $\pi - t$ , preservando el ordenada: $\sin(\pi - t) = \sin t$ . La media vuelta sobre el El centro envía $t$ a $\pi + t$ , negando ambos coordenadas: $\cos(\pi + t) = -\cos t$ . Y el espejo en diagonal intercambia abscisa y ordenada: $\cos\left(\frac\pi2 - t\right) = \sin t$ — el “co” de ángulos complementarios.

15. $\sin(-t) = -\sin t$ : impar (simetría de media vuelta de es gráfico); $\cos(-t) = \cos t$ : par (espejo). y $\sin t + t^3$ es una suma de dos funciones impares: impar.

16. Factor: $(2\sin t + 1)(\sin t - 1) = 0$ : $\sin t = 1$ da $t = \frac\pi2$ ; $\sin t = -\frac12$ da $t = \frac{7\pi}{6}$ y $t = \frac{11\pi}{6}$ . Tres soluciones en el círculo.

17. $1$ rad $= \frac{180}{\pi} \approx 57.3^\circ$ . Entonces $\sin(1) \approx 0.841$ mientras que $\sin(1^\circ) \approx 0.0175$ : un factor de casi $50$ . Moraleja: comprueba la luz de modo. antes de confiar en cualquier visualización trigonométrica.

18. Abscisa es igual a ordenada en la diagonal: $t = \frac\pi4$ y $t = \frac{5\pi}{4}$ .

19. $\sin(0.1) = 0.09983\ldots$ contra $0.1$ : error relativo sobre $0.17\,\%$ . Para ángulos pequeños la cuerda abraza el arco — y el límite del grado 12 $\frac{\sin t}{t} \to 1$ es exactamente esta observación hecha en un teorema.

20. radianes: ángulo $=$ arco en el círculo unitario, por lo que los ángulos se calculan como longitudes. Coseno y seno: el coordenadas de la manecilla del reloj — sombra en el suelo, altura en el pared. Simetrías del círculo: todo el catálogo de identidades, leer espejos y medias vueltas. Ecuaciones $\cos t = c$ : horario del reloj, con el círculo mostrando cada solución a la vez. Disfraces: la rueda llevaba $65 - 60\cos$ , la marea llevaba $7 + 3\sin$ — mismo reloj, mismo matemáticas.