Matemáticas de secundaria · Grades 10–12

8Estadísticas descriptivas

Las estadísticas resumen una gran colección de números: grados, salarios, temperaturas — según unos pocos indicadores bien elegidos. Este capítulo presenta las dos familias de indicadores: los que localizan el centro del datos (significar, mediana) y aquellos que miden su desparramar (rango, cuartiles). Entra un tratamiento más profundo, que incluye la desviación estándar. Capítulo 17.

8.1 Datos y frecuencias

Definición 8.1 (serie estadistica)

A serie estadística es una lista de valores $x_1, x_2, \dots, x_N$ observado en una población de tamaño $N$ . cuando un valor $x$ aparece $n$ veces, $n$ es su contar y el cociente

f = \frac{n}{N}

es su frecuencia (a menudo expresado como porcentaje). Las frecuencias de todos los valores suman $1$ .

Ejemplo 8.2

Las calificaciones de los estudiantes $20$ en una prueba de puntos $5$ :

grade $x$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
count $n$	$1$	$2$	$4$	$6$	$5$	$2$
frecuencia $f$	$0.05$	$0.10$	$0.20$	$0.30$	$0.25$	$0.10$

Verifique: $1 + 2 + 4 + 6 + 5 + 2 = 20$ y las frecuencias suman $1$ .

El gráfico de barras de las calificaciones del cuestionario: una barra por valor, con altura igual al conteo.

8.2 medidas de centro

Definición 8.3 (Medio)

El significar de la serie es

\bar x = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_N}{N}.

Si los valores $v_1, \dots, v_k$ aparecen con recuentos $n_1, \dots, n_k$ , el Se calcula el mismo número que media ponderada.

\bar x = \frac{n_1 v_1 + n_2 v_2 + \dots + n_k v_k}{n_1 + n_2 + \dots + n_k}.

Ejemplo 8.4

Para el cuestionario de Ejemplo 8.2:

\bar x = \frac{1 \times 0 + 2 \times 1 + 4 \times 2 + 6 \times 3 + 5 \times 4 + 2 \times 5}{20} = \frac{0 + 2 + 8 + 18 + 20 + 10}{20} = \frac{58}{20} = 2.9 .

Definición 8.5 (mediana)

El mediana es un valor que divide el ordenado serie en dos mitades: al menos la mitad de los valores son $\leq$ la mediana, y al menos la mitad son $\geq$ . En la práctica, ordene los valores $N$ ;

si $N$ es impar, la mediana es el valor medio, en posición $\frac{N+1}{2}$ ;
si $N$ es par, tome el punto medio de los dos valores medios, en posiciones $\frac N2$ y $\frac N2 + 1$ .

Ejemplo 8.6

Serie ordenada de precios de viviendas $7$ (en miles): $120$ , $150$ , $160$ , $180$ , $210$ , $240$ , $900$ . El mediana es el valor $4$ , $180$ . El significar es $\frac{1960}{7} = 280$ — ¡mayor que $6$ de los precios $7$ ! Un valor extremo ( $900$ ) tira del significar mucho más que del mediana: el mediana es robusto, significar no lo es.

8.3 Medidas de propagación

Definición 8.7 (rango, cuartiles)

Para una serie ordenada:

el rango es la diferencia entre el valores más grandes y más pequeños;
el primer cuartil $Q_1$ es el más pequeño valor tal que al menos una cuarta parte ( $25\%$ ) de los valores sean $\leq Q_1$ ; el tercer cuartil $Q_3$ es el valor más pequeño tal que al menos tres cuartas partes ( $75\%$ ) de los valores sean $\leq Q_3$ ;
el rango intercuartil $Q_3 - Q_1$ mide la propagación de la mitad central de los datos.

Método 8.8 (Encontrar los cuartiles)

Para una serie de valores ordenados $N$ :

calcula $\frac N4$ ; si no es entero, redondee up a el siguiente entero; $Q_1$ es el valor en esa posición;
calcula $\frac{3N}{4}$ ; redondear si es necesario; $Q_3$ es el valor en esa posición.

Ejemplo 8.9

Tome los valores ordenados $11$

2,\ 3,\ 5,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9,\ 9,\ 10,\ 12 .

Mediana: posición $\frac{11+1}{2} = 6$ , por lo que mediana es $7$ . $Q_1$ : $\frac{11}{4} = 2.75$ , redondear hacia arriba a $3$ ; el valor $3$ es $5$ . $Q_3$ : $\frac{33}{4} = 8.25$ , redondear hacia arriba a $9$ ; el valor $9$ es $9$ . Rango: $12 - 2 = 10$ ; rango intercuartil: $9 - 5 = 4$ .

El diagrama de caja de : el cuadro abarca el intercuartil intervalo [Q_1, Q_3] y contiene la mitad central de los datos; los bigotes alcanzan los valores extremos. — El diagrama de caja de Ejemplo 8.9: el cuadro abarca el intercuartil intervalo $\intcc{Q_1}{Q_3}$ y contiene la mitad central de los datos; los bigotes alcanzan los valores extremos.

Ejemplo 8.10 (Comparando dos grupos)

Dos clases toman el mismo examen (puntuaciones de $20$ ):

	mediana	$Q_1$	$Q_3$
class A	$12$	$10$	$14$
class B	$12$	$6$	$17$

Mismo mediana, spreads muy diferentes: la clase A es homogénea (la mitad de su puntuaciones en $\intcc{10}{14}$ ), la clase B es heterogénea (su mitad central abarca $\intcc{6}{17}$ ). Los indicadores del centro por sí solos nunca dicen el todo historia.

Observación 8.11

Ni el significar ni el mediana son "mejores": el significar usa todos los valores (y es necesario para calcular totales), el mediana resiste valores extremos. un Un resumen serio de una serie proporciona al menos un indicador de centro. y uno de propagación.

8.4 Ceremonias

Ejercicio 8.1 ★

Aquí está la cantidad de libros leídos en un año por los estudiantes de $15$ :

0,\ 1,\ 1,\ 2,\ 2,\ 2,\ 3,\ 3,\ 4,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 12 .

Calcule el significar, el mediana y el rango de esta serie.

Solución

Solución de Ejercicio 8.1.

Suma: $0+1+1+2+2+2+3+3+4+4+5+6+7+8+12 = 60$ , por lo que significar es $\frac{60}{15} = 4$ . La serie ya está ordenada y $N = 15$ es impar: el mediana es el valor $8$ , $3$ . Rango: $12 - 0 = 12$ .

Ejercicio 8.2 ★

Se lanzó un dado $50$ veces:

outcome	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
count	$7$	$9$	$8$	$10$	$6$	$10$

Calcule el frecuencia de cada resultado y el resultado significar.

Solución

Solución de Ejercicio 8.2.

Frecuencias: $\frac{7}{50} = 0.14$ , $\frac{9}{50} = 0.18$ , $\frac{8}{50} = 0.16$ , $\frac{10}{50} = 0.20$ , $\frac{6}{50} = 0.12$ , $\frac{10}{50} = 0.20$ (suma $1$ ). Significar resultado:

\bar x = \frac{7 \times 1 + 9 \times 2 + 8 \times 3 + 10 \times 4 + 6 \times 5 + 10 \times 6}{50} = \frac{7 + 18 + 24 + 40 + 30 + 60}{50} = \frac{179}{50} = 3.58 .

Ejercicio 8.3 ★

Encuentre mediana, $Q_1$ y $Q_3$ de la serie ordenada

1,\ 2,\ 4,\ 4,\ 5,\ 6,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9,\ 9,\ 11 \qquad (N = 12),

y dibuja el diagrama de caja correspondiente.

Solución

Solución de Ejercicio 8.3.

$N = 12$ (par): el mediana es el punto medio del $6$ th y $7$ th valores, ambos iguales a $6$ : mediana $6$ .

$Q_1$ : $\frac{12}{4} = 3$ , por lo que $Q_1$ es el tercer valor $3$ : $4$ .

$Q_3$ : $\frac{3 \times 12}{4} = 9$ , por lo que $Q_3$ es el valor $9$ : $8$ .

Diagrama de caja: caja de $4$ a $8$ con la barra mediana en $6$ , bigotes de $1$ a $11$ .

Ejercicio 8.4 ★

El significar de los resultados de las pruebas $24$ es $11.5$ . Un estudiante $25$ º realiza la prueba y puntuaciones $19$ . ¿Cuál es el nuevo significar de la clase?

Solución

Solución de Ejercicio 8.4.

Las puntuaciones $24$ suman $24 \times 11.5 = 276$ . Con la nueva puntuación el el total es $276 + 19 = 295$ para estudiantes $25$ : nuevo significar $\frac{295}{25} = 11.8$ .

Ejercicio 8.5 ★★

Un estudiante tiene un significar de $12$ después de las pruebas $5$ , todos con el mismo peso. ¿Qué puntuación en la prueba $6$ elevaría el significar a $13$ ? Es un significar de ¿ $14$ accesible (las puntuaciones están fuera de $20$ )?

Solución

Solución de Ejercicio 8.5.

Total actual: $5 \times 12 = 60$ . Se requiere una prueba significar de $13$ sobre $6$ un total de $78$ , por lo que la puntuación $6$ debe ser $78 - 60 = 18$ . Un significar de $14$ requeriría $84 - 60 = 24 > 20$ : no accesible.

Ejercicio 8.6 ★★

Inventar una serie de valores no negativos $7$ cuyo mediana sea $10$ y cuyo significar es mayor que $20$ ; entonces uno cuyo mediana es $10$ y cuyo significar es menor que $6$ . ¿Por qué el significar de una serie de este tipo nunca puede ser menor que $\frac{40}{7}$ ? ¿Qué muestran estos ejemplos?

Solución

Solución de Ejercicio 8.6.

Significar mayor que $20$ : por ejemplo $1,\ 2,\ 3,\ 10,\ 40,\ 50,\ 60$ — mediana $10$ (el valor ordenado $4$ ), significar $\frac{166}{7} \approx 23.7$ .

Significar menor que $6$ : por ejemplo $0,\ 0,\ 0,\ 10,\ 10,\ 10,\ 10$ — mediana $10$ , significar $\frac{40}{7} \approx 5.7$ .

El significar no puede ir por debajo de $\frac{40}{7}$ : para el mediana (el $4$ th ordenado valor) para que sea $10$ , todos los valores en las posiciones $4$ a $7$ deben ser $\geq 10$ , por lo que el total es al menos $40$ y el significar al menos $\frac{40}{7}$ — el segundo ejemplo es extremo.

Estos ejemplos muestran que significar y mediana son en gran medida independientes: conocer uno dice poco del otro, por eso un buen resumen informa ambos.

Ejercicio 8.7 ★★

En una empresa, los empleados $9$ ganan $1800$ cada uno por mes y el director gana $12000$ .

Calcular el salario significar y mediana.
¿Qué indicador describe mejor un salario "típico" aquí? ¿Por qué?

Solución

Solución de Ejercicio 8.7.

1. Significar: $\frac{9 \times 1800 + 12000}{10} = \frac{16200 + 12000}{10} = 2820$ . Mediana: ordenado, los salarios $10$ son nueve valores $1800$ y luego $12000$ ; el mediana es el punto medio de los valores $5$ th y $6$ th, ambos $1800$ : mediana $1800$ .

2. El mediana ( $1800$ ) describe el salario típico: es lo que Los empleados de $9$ de $10$ realmente ganan. El significar ( $2820$ ) está levantado. por el salario único alto y no iguala la nómina de nadie.

Ejercicio 8.8 ★★

Una clase de chicos $12$ tiene una altura significar de $168$ cm; las chicas $18$ de la misma clase tienen una altura significar de $163$ cm. Calcule la altura significar del toda la clase. (Ojo: es no el punto medio de $168$ y $163$ — ponderar las medias según el tamaño del grupo.)

Solución

Solución de Ejercicio 8.8.

Altura total: $12 \times 168 + 18 \times 163 = 2016 + 2934 = 4950$ cm para $30$ estudiantes, por lo que significar es $\frac{4950}{30} = 165$ cm. esta mas cerca de significar de las niñas porque son más numerosas (ponderado significar, pesos $12$ y $18$ ).

Ejercicio 8.9 ★★★

Una serie de valores $N$ $x_1, \dots, x_N$ tiene significar $\bar x$ . Cada valor es transformado a $y_i = a x_i + b$ para números fijos $a$ y $b$ .

Muestra que el significar de la nueva serie es $a \bar x + b$ .
Las temperaturas de una semana, en grados centígrados, tienen significar $20$ . ¿Cuál es su significar en grados Fahrenheit? ( $F = 1.8\,C + 32$ )?

Solución

Solución de Ejercicio 8.9.

1. El nuevo significar es

\bar y = \frac{y_1 + \dots + y_N}{N} = \frac{(a x_1 + b) + \dots + (a x_N + b)}{N} = \frac{a(x_1 + \dots + x_N) + Nb}{N} = a \bar x + b .

2. Con $a = 1.8$ y $b = 32$ : significar $1.8 \times 20 + 32 = 68$ grados Fahrenheit.

8.5 Problema: la persona promedio no existe

Problema 8.1

Problema de fin de semana — media contra mediana: valores atípicos, curvas niveladoras, el almacén en la carretera y la cabina diseñada para nadie

En 1950, la Fuerza Aérea de EE. UU. midió a $4\,000$ pilotos en diez cuerpos. dimensiones y construyó la cabina para el hombre promedio. eso equipado — como descubrió un teniente al contar — esencialmente nadie. Las estadísticas resumen las multitudes con números únicos, y cada resumen dice la verdad sobre algo y miente sobre algo más. Este problema toma el significar y el mediana. (Definición 8.3, Definición 8.5) a los tribunales, deja que cada uno muestre lo que hace mejor y cierra la cabina.

Parte I — Two summaries on trial.

Una calle vende siete casas, en miles de euros: $200$ , $210$ , $220$ , $230$ , $240$ , $250$ — y uno mansión en $1\,200$ . Calcular el significar y el mediana precio. ¿Qué número describe "una casa en esta calle"?
Retire la mansión y vuelva a calcular ambas. ¿Por cuánto hizo cada movimiento resumido? Establezca la moraleja sobre los valores atípicos.
Una tabla censal: de $100$ familias, $20$ no tienen niño, $25$ tiene uno, $30$ tiene dos, $15$ tiene tres, $10$ tiene cuatro. Calcule el número de niños significar. No la familia “tiene $1.7$ hijos” — entonces, ¿cuál es la cantidad real? ¿Codifica el significar? (Multiplíquelo por $100$ ).
Por los quince marcos $4, 6, 7, 8, 9, 10, 10, 11, 12, 12, 13, 14, 15, 17, 19$ : encuentre el mediana y el cuartiles $Q_1$ , $Q_3$ (Método 8.8).
Para la misma serie, proporcione el rango y el rango intercuartil. ¿Qué mide cada uno?

Parte II — Grading curves and merged classes.

De Ejercicio 8.9: cambiando cada valor por $+b$ desplaza significar, mediana y cuartiles por $+b$ ; escalando por $a$ los escala por $a$ . ¿Qué sucede con el rango y el rango intercuartil bajo un turno? ¿Bajo una escala? Justificar.
Un examen tiene significar $9$ (de $20$ ) y el profesor quiere significar $12$ . Se proponen dos curvas: agregar puntos $3$ a todos, o multiplique cada marca por $\frac43$ . calcular el destino de un estudiante en $6$ y uno en $18$ debajo de cada curva. ¿Qué curva favorece a quién y cuál tiene una ¿Problema del techo?
Clase A (estudiantes $20$ ) tiene significar $12$ ; clase B ( $30$ estudiantes) tiene significar $10$ . Calcular el significar del $50$ estudiantes juntos y expliquen por qué no es $11$ (la lección de promedio ponderado del problema de fin de semana media armónica del volumen de Escuela Secundaria, en el aula).
Demuestre que medianas rechaza este juego: calcule el medianas de $A = \{1, 2, 3\}$ y $B = \{0, 10\}$ , entonces el mediana de la lista fusionada y compárelo con el promedio ponderado por tamaño de los dos medianas.
Patinaje artístico: cinco jueces puntúan $5.2$ , $5.3$ , $5.4$ , $5.5$ , $9.9$ . Calcule el significar, el mediana y el trimmed significar (eliminar el promedio más bajo y más alto el resto). ¿Por qué la mayoría de los deportes juzgados recortan?

Parte III — Reading distributions.

Dos fábricas producen pernos de longitud significar $50$ mm. Fábrica A: $Q_1 = 49.9$ , $Q_3 = 50.1$ ; fábrica B: $Q_1 = 48$ , $Q_3 = 52$ . Necesitas intercambiables Pernos: ¿qué fábrica y qué estadística decidieron?
En una clínica, la espera mediana es de $10$ minutos pero el significar espera es $25$ . ¿Qué forma de datos tiene este par? ¿traicionar? Construya un conjunto de datos de cinco valores exactamente con esto mediana y significar.
“Su bebé está en el percentil 75 de altura” — ¿Qué significa esa frase significar? ¿Y puede cada hijo de una ciudad esté "por encima del promedio"? ¿Por encima del mediana? Explicar el diferencia.
Clase A: mín. $4$ , $Q_1\,8$ , mediana $11$ , $Q_3\,13$ , máx. $17$ . Clase B: mín $2$ , $Q_1\,9$ , mediana $11$ , $Q_3\,12$ , máximo $19$ . Compárese: marca típica, homogeneidad de la mitad media, desenfreno de los extremos.
La lista de verificación del periodista: un titular dice “promedio salario en TechCorp: $5\,000$ euros”. enumera los tres preguntas que este problema te ha enseñado a hacer antes creer que el titular dice algo sobre un típico empleado.

Parte IV — The cockpit case.

Construya su propia evidencia: construya cinco precios de viviendas con significar $300$ y mediana $200$ (miles de euros).
El significar es el punto de equilibrio: demostrarlo a partir de la definición que las desviaciones del significar siempre se cancelan, $\sum (x_i - \bar x) = 0$ y verifíquelo en su conjunto de datos de la pregunta 16.
El mediana es el minimizador de recados: las tiendas se encuentran en kilómetros $1$ , $3$ , $4$ , $9$ , $13$ de un camino, y un El almacén debe minimizar el distancia total al cinco tiendas. Calcule ese total para un almacén en el mediana ( $4$ ), en significar ( $6$ ) y en $5$ . ¿Quién gana? (Esto es general: el mediana minimiza el total absoluto distancia — pruebe cualquier otro lugar.)
La cabina, resuelta: supongamos que un piloto tiene un $30\,\%$ probabilidad de estar "cerca del promedio" en un cuerpo dimensión, independientemente entre las dimensiones $10$ . Estime la probabilidad de estar cerca del promedio en los diez — y conciliar el resultado con lo que teniente encontrado en $4\,000$ pilotos. ¿Qué hizo el aire? ¿Forzar construcción en lugar de la cabina promedio?
Finale — la guía del usuario, una línea cada una: cuando totalizan son lo que importa (un presupuesto, una cosecha), utilice el …; cuando el individuo típico importa (salarios, espera veces), utilice el …; cuando la equidad en la distribución importa, reportar el …; cuando la contaminación amenace, utilice el …. Cierra el caso con el título del problema.

Solución

Solución de Problema 8.1.

1. Significar: $\frac{2\,550}{7} \approx 364$ mil euros; mediana: el cuarto de los siete precios pedidos, $230$ . El mediana describe la calle — seis de las siete casas no cuesta nada cerca de $364$ .

2. Sin la mansión: significar $\frac{1\,350}{6} = 225$ , mediana $\frac{220 + 230}{2} = 225$ . El significar cayó aproximadamente $139$ ; el mediana por $5$ . Un valor extremo puede arrastrar al significar en cualquier lugar; el mediana apenas se da cuenta — es robusto.

3. Significar $= \frac{0 \times 20 + 1 \times 25 + 2 \times 30 + 3 \times 15 + 4 \times 10}{100} = \frac{170}{100} = 1.7$ . Ninguna familia tiene hijos $1.7$ , pero $1.7 \times 100 = 170$ is el número total exacto de niños: el significar codifica el total, redistribuido equitativamente — su verdadero talento.

4. $N = 15$ : mediana $=$ 8vo valor $= 11$ ; $Q_1 =$ 4to valor $= 8$ ; $Q_3 =$ Valor 12 $= 14$ .

5. Rango $19 - 4 = 15$ : la extensión completa, extremos incluido. rango intercuartil $14 - 8 = 6$ : el ancho del mitad media — extendido sin el ruido de los extremos.

6. Un desplazamiento $+b$ mueve el valor cada, por lo que diferencias de valores — rango, IQR — no cambian: $(x_i + b) - (x_j + b) = x_i - x_j$ . Una escala de $a$ multiplica todas las diferencias por $a$ : rango y IQR se escalan por $\abs a$ .

7. Curva aditiva: $6 \to 9$ y $18 \to 21$ — el el estudiante débil gana $50\,\%$ , el fuerte $17\,\%$ y $21$ supera ligeramente la escala de puntos $20$ . Multiplicativo: $6 \to 8$ y $18 \to 24$ — proporciones conservadas, pero $24$ es imposible en una escala $20$ : el problema del techo. aditivo las curvas aplanan la parte inferior; los multiplicativos explotan el arriba.

8. Puntuación total: $20 \times 12 + 30 \times 10 = 540$ , entonces el significar fusionado es $\frac{540}{50} = 10.8$ : treinta de clase B los estudiantes superan a los veinte de la clase A — significa fusionarse por ponderado promedio, nunca por promedio simple.

9. Mediana de $A$ : $2$ ; de $B$ : $5$ . Lista fusionada $\{0, 1, 2, 3, 10\}$ : mediana $2$ . El promedio ponderado por tamaño de el medianas sería $\frac{3 \times 2 + 2 \times 5}{5} = 3.2 \neq 2$ : medianas no lleva total, por lo que no existe una fórmula de fusión — hay que reordenar toda la lista.

10. Significar: $\frac{31.3}{5} = 6.26$ . Mediana: $5.4$ . Recortado significar: $\frac{5.3 + 5.4 + 5.5}{3} = 5.4$ . uno Un juez entusiasta (o corrupto) movió el significar por casi un punto; el mediana y el significar recortado se encogieron de hombros — de ahí el Reglas de recorte de deportes juzgados.

11. Fábrica A: mitad media dentro de $0.2$ mm; fábrica B: dentro de $4$ mm. Mismo significar, confiabilidad opuesta: compre en A. El rango intercuartil decidió — significa solo comparar centros, nunca coherencia.

12. Mediana muy por debajo de significar delata un largo a la derecha cola: la mayoría espera corta, algunas catastróficas. Ejemplo: $\{5, 5, 10, 10, 95\}$ — mediana $10$ , significar $\frac{125}{5} = 25$ .

13. Significa que $75\,\%$ de bebés de esa edad son más bajo (y $25\,\%$ más alto): un rango, no una talla. “Cada niño por encima de significar” es imposible — si todos los valores excedieron el significar, su promedio superaría al significar, que es a su vez: contradicción. Pero casi todo puede ser: uno muy corto El niño puede sostener el significar debajo de todos los demás. Por encima del mediana: nunca más de la mitad, por definición. Rangos no puede ser halagado; los promedios pueden.

14. Marca típica: igual, mediana $11$ para ambos. Homogeneidad del medio: B más ajustado (IQR $3$ contra $5$ ). Extremos: B wilder (rango $17$ contra $13$ ). B es una clase de estudiantes similares más algunos valores atípicos; A está distribuido uniformemente.

15. (1) ¿Es $5\,000$ el significar o el mediana — y puede ¿Tengo el mediana? (2) ¿Cuál es el diferencial (cuartiles), así que ¿Sabes lo típico que es lo "típico"? (3) Quién fue contado — muestra tamaño y selección (el problema del fin de semana de cómo se encuentran los datos de la lección de encuesta del volumen de la escuela secundaria)?

16. Por ejemplo $100, 150, 200, 250, 800$ : mediana $200$ , significar $\frac{1\,500}{5} = 300$ .

17. $\sum (x_i - \bar x) = \sum x_i - N \bar x = N\bar x - N\bar x = 0$ . Verificar: $-200 - 150 - 100 - 50 + 500 = 0$ . El significar es el punto donde se equilibran las desviaciones — el centro de gravedad de los datos (el problema del fin de semana del centroide del volumen $G$ de la escuela secundaria, en una dimensión).

18. En el mediana $4$ : $3 + 1 + 0 + 5 + 9 = 18$ km. en el significar $6$ : $5 + 3 + 2 + 3 + 7 = 20$ km. En $5$ : $4 + 2 + 1 + 4 + 8 = 19$ kilómetros. El mediana gana — alejándose desde allí siempre pasa más tiendas de las que se acerca, por lo que el el total sólo puede crecer.

19. $0.3^{10} \approx 6 \times 10^{-6}$ : alrededor de seis pilotos por millón. En $4\,000$ pilotos lo esperado El recuento es $0.02$ — cero, como descubrió el teniente Daniels. el aire Force dejó de diseñar para el hombre promedio y creó todo ajustable: asientos, pedales, correas — diseño para el desparramar, no el centro.

20. Totales: el significar. Individuo típico: el mediana. Equidad de propagación: el cuartiles (y RIQ). Contaminación: el trimmed significar. y el cierre línea: la persona promedio no existe — pero el mediana la persona casi lo hace.