Matemáticas de secundaria · Grades 10–12

17Estadísticas descriptivas

Estadísticas comprime una lista de números en algunos resúmenes significativos: dónde se encuentran los datos (significar, mediana) y qué tan dispersos están (cuartiles, diferencia, desviación estándar). Este capítulo resuelve todo en uno. ejemplo de ejecución. Los mismos resúmenes reaparecen para variables aleatorias en Capítulo 18, y sus leyes probabilísticas en Capítulo 34.

A lo largo del capítulo, nuestro conjunto de datos en ejecución son las marcas (de $20$ ) de una clase de estudiantes $12$ :

8,\ 9,\ 10,\ 10,\ 11,\ 12,\ 12,\ 12,\ 13,\ 14,\ 16,\ 17 .

17.1 Media y mediana

Definición 17.1 (Medio)

El significar de los valores $x_1, x_2, \dots, x_n$ es

\bar x = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n}.

Si el valor $x_i$ aparece con frecuencia $n_i$ (con $n_1 + \dots + n_k = n$ ), entonces $\bar x = \frac{n_1 x_1 + \dots + n_k x_k}{n}$ .

Definición 17.2 (mediana)

Un mediana de un conjunto de datos ordenados es un valor que se divide por la mitad: al menos la mitad de los valores son $\leq$ y al menos la mitad son $\geq$ . En la práctica, ordene los valores $n$ ; si $n$ es impar, la mediana es el valor medio; si $n$ es par, tome el punto medio de los dos medios valores.

Ejemplo 17.3

Para el conjunto de datos en ejecución, la suma es $144$ , por lo que $\bar x = \frac{144}{12} = 12$ . Los dos valores medios ( $6$ th y $7$ th de la lista ordenada) son ambos $12$ , por lo que mediana también es $12$ . Significar y mediana no tienen por qué coincidir: el mediana ignora Hasta dónde, los valores extremos son, significar no. Reemplazar la marca superior $17$ por $20$ mueve el significar a $12.25$ pero deja el mediana en $12$ .

17.2 Cuartiles

Definición 17.4 (Cuartiles, rango intercuartil)

El primer cuartil $Q_1$ es el valor más pequeño tal que al menos una cuarta parte de los datos sean $\leq Q_1$ ; el tercero cuartil $Q_3$ es el valor más pequeño tal que al menos tres cuartos de el dato es $\leq Q_3$ . El rango intercuartil es $Q_3 - Q_1$ : el ancho de la mitad central de los datos.

Ejemplo 17.5

$n = 12$ : una cuarta parte es $3$ , por lo que $Q_1$ es el tercer valor ordenado $3$ : $Q_1 = 10$ . Tres cuartos es $9$ , por lo que $Q_3$ es el valor $9$ : $Q_3 = 13$ . El rango intercuartil es $3$ : la mitad central de la clase. se encuentra dentro de las marcas $3$ .

El conjunto de datos en ejecución como un diagrama de puntos, su significar (rojo) y el resumen de cinco números encima (naranja): mínimo, Q_1, mediana, Q_3, máximo. El cuadro contiene la mitad central de los datos. — El conjunto de datos en ejecución como un diagrama de puntos, su significar (rojo) y el resumen de cinco números encima (naranja): mínimo, $Q_1$ , mediana, $Q_3$ , máximo. El cuadro contiene la mitad central de los datos.

17.3 Varianza y desviación estándar

Definición 17.6 (Varianza, desviación estándar)

El diferencia del conjunto de datos es el significar del desviaciones al cuadrado del significar:

V = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar x)^2,

y el desviación estándar es $\sigma = \sqrt{V}$ , expresado en la misma unidad que los datos.

Proposición 17.7 (Fórmula de acceso directo)

El diferencia es el significar de los cuadrados menos el cuadrado del significar:

V = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i^2 \;-\; \bar x^{\,2}.

Demostración. Expande cada desviación al cuadrado: $(x_i - \bar x)^2 = x_i^2 - 2\bar x\, x_i + \bar x^2$ . sumando y dividiendo por $n$ :

V = \frac1n \sum x_i^2 - 2\bar x \cdot \underbrace{\frac1n \sum x_i}_{=\ \bar x} + \frac1n \cdot n\bar x^2 = \frac1n\sum x_i^2 - 2\bar x^2 + \bar x^2 = \frac1n\sum x_i^2 - \bar x^2 .

La misma identidad, para variables aleatorias, es Proposición 18.13. ∎

Ejemplo 17.8

Para el conjunto de datos en ejecución, las desviaciones de $\bar x = 12$ son $-4$ , $-3$ , $-2$ , $-2$ , $-1$ , $0$ , $0$ , $0$ , $1$ , $2$ , $4$ , $5$ ; sus cuadrados suma a

16 + 9 + 4 + 4 + 1 + 0 + 0 + 0 + 1 + 4 + 16 + 25 = 80 .

Por lo tanto

V = \frac{80}{12} = \frac{20}{3} \approx 6.67, \qquad \sigma = \sqrt{20/3} \approx 2.6 \text{ marks}.

En términos generales, una marca típica se encuentra a unas $2.6$ marcas de distancia de la significar.

Proposición 17.9 (Cambio de unidades)

Si cada valor es transformado por $y_i = a x_i + b$ , entonces

\bar y = a \bar x + b, \qquad V_y = a^2\, V_x, \qquad \sigma_y = \abs{a}\,\sigma_x .

Demostración. $\bar y = \frac1n \sum (a x_i + b) = a\left(\frac1n\sum x_i\right) + \frac1n \cdot nb = a\bar x + b$ . entonces $y_i - \bar y = a(x_i - \bar x)$ : cada desviación se escala en $a$ (el desplazamiento $b$ se cancela), por lo que cada desviación al cuadrado se escala en $a^2$ , y también lo es su significar. Sacar raíces cuadradas da $\sigma_y = \abs a\,\sigma_x$ . ∎

Ejemplo 17.10

Temperaturas registradas en grados Celsius con significar $20$ y estándar desviación $3$ convertidas a Fahrenheit por $F = 1.8\,C + 32$ : el significar se convierte en $1.8 \times 20 + 32 = 68$ , el desviación estándar $1.8 \times 3 = 5.4$ . Cambiar un conjunto de datos no cambia su distribución; reescalarlo reescala la extensión.

Método 17.11 (Resumen y comparación de conjuntos de datos.)

Para comparar dos conjuntos de datos, colóquelos uno al lado del otro: significar (o mediana) para posición, desviación estándar (o rango intercuartil) para desparramar. El par (mediana, rango intercuartil) es robusto a valores extremos; el par (significar, desviación estándar) usa todos los valores y alimenta la teoría probabilidad.

Ejemplo 17.12

Dos arqueros disparan flechas $10$ cada uno; puntuaciones promedio $8.5$ para ambos, pero los desviaciones estándar son $0.5$ y $2.1$ . Mismo nivel en promedio — pero el primer arquero es mucho más consistente.

17.4 Ceremonias

Ejercicio 17.1 ★

Calcule significar, mediana, cuartiles y rango intercuartil de la conjunto de datos

5,\ 7,\ 7,\ 8,\ 9,\ 10,\ 11,\ 14 .

Solución

Solución de Ejercicio 17.1.

$n = 8$ , suma $71$ : significar $\bar x = \frac{71}{8} = 8.875$ . Mediana: punto medio de los valores $4$ th y $5$ th, $\frac{8 + 9}{2} = 8.5$ . Cuartiles: un la cuarta parte de $8$ es $2$ , por lo que $Q_1$ es el valor $2$ , $7$ ; tres cuartos es $6$ , por lo que $Q_3$ es el valor $6$ , $10$ . rango intercuartil: $10 - 7 = 3$ .

Ejercicio 17.2 ★

Calcule diferencia y desviación estándar del conjunto de datos $2,\ 4,\ 4,\ 4,\ 5,\ 5,\ 7,\ 9$ (significar primero, luego la fórmula abreviada de Proposición 17.7).

Solución

Solución de Ejercicio 17.2.

Sume $40$ , por lo que $\bar x = 5$ . Suma de cuadrados: $4 + 16 + 16 + 16 + 25 + 25 + 49 + 81 = 232$ . Por la fórmula abreviada,

V = \frac{232}{8} - 5^2 = 29 - 25 = 4, \qquad \sigma = 2 .

Ejercicio 17.3 ★

Se lanza un dado $50$ veces; Los resultados se resumen por frecuencias:

outcome	1	2	3	4	5	6
frecuencia	6	9	8	10	9	8

Calcule el resultado significar y mediana.

Solución

Solución de Ejercicio 17.3.

Significar:

\bar x = \frac{1 \times 6 + 2 \times 9 + 3 \times 8 + 4 \times 10 + 5 \times 9 + 6 \times 8}{50} = \frac{181}{50} = 3.62 .

Mediana: las frecuencias acumuladas son $6, 15, 23, 33, \dots$ , por lo que el Los resultados ordenados $25$ th y $26$ th son $4$ : mediana es $4$ .

Ejercicio 17.4 ★★

Una clase de estudiantes $15$ tiene la marca significar $11.2$ . Un estudiante $16$ se une y puntuaciones $18$ . ¿Cuál es la nueva clase significar?

Solución

Solución de Ejercicio 17.4.

El total de las marcas $15$ es $15 \times 11.2 = 168$ ; con el recién llegado, $\frac{168 + 18}{16} = \frac{186}{16} = 11.625$ .

Ejercicio 17.5 ★★

El significar del conjunto de datos $6, 8, x, 12, 14$ es $10$ . Encuentre $x$ , luego calcule el desviación estándar del conjunto de datos completo.

Solución

Solución de Ejercicio 17.5.

$\frac{6 + 8 + x + 12 + 14}{5} = 10$ da $40 + x = 50$ , por lo que $x = 10$ . Las desviaciones de $6, 8, 10, 12, 14$ del significar $10$ son $-4, -2, 0, 2, 4$ , con cuadrados que suman $40$ : $V = \frac{40}{5} = 8$ y $\sigma = 2\sqrt2 \approx 2.83$ .

Ejercicio 17.6 ★

Las marcas con significar $12.4$ y desviación estándar $2.5$ se vuelven a escalar $y = \frac{x}{2} + 4$ . Proporcione el nuevo significar y el nuevo desviación estándar.

Solución

Solución de Ejercicio 17.6.

Por Proposición 17.9 con $a = \frac12$ , $b = 4$ : nuevo significar $\frac{12.4}{2} + 4 = 10.2$ ; nuevo desviación estándar $\frac{2.5}{2} = 1.25$ .

Ejercicio 17.7 ★★

El grupo A (valores $20$ ) tiene significar $10$ ; el grupo B (valores $30$ ) tiene significar $15$ . Calcule el significar de los valores $50$ agrupados. ¿Es el punto medio? $12.5$ ? ¿Por qué no?

Solución

Solución de Ejercicio 17.7.

El significar agrupado es el promedio ponderado

\frac{20 \times 10 + 30 \times 15}{50} = \frac{650}{50} = 13,

no $12.5$ : el grupo B aporta más valores, por lo que extrae el significar agrupado hacia lo suyo.

Ejercicio 17.8 ★★

Dos líneas de producción llenan sacos de azúcar de $1$ kg. Muestras da: línea 1: significar $1.002$ kg, desviación estándar $0.006$ kg; línea 2: significar $1.001$ kg, desviación estándar $0.019$ kg. ¿Qué línea debería ser? recalibrado primero, y ¿por qué?

Solución

Solución de Ejercicio 17.8.

Ambas líneas están cerca del objetivo en promedio ( $1.002$ y $1.001$ kg), pero El desviación estándar de Line 2 es tres veces más grande: sus bolsas varían mucho más, lo que produce bolsas mucho más notoriamente llenas o insuficientemente llenas. Línea 2 debe tratarse primero: la coherencia, no solo el significar, es lo que necesita arreglo.

Ejercicio 17.9 ★★

Un conjunto de datos de valores $n = 10$ tiene $\sum x_i = 70$ y $\sum x_i^2 = 540$ . Calcule sus significar, diferencia y desviación estándar.

Solución

Solución de Ejercicio 17.9.

$\bar x = \frac{70}{10} = 7$ ; $V = \frac{540}{10} - 7^2 = 54 - 49 = 5$ ; $\sigma = \sqrt5 \approx 2.24$ .

Ejercicio 17.10 ★★★

El conjunto de datos $1,\ 2,\ 2,\ 3,\ 3,\ 3,\ 4,\ 4,\ 5,\ 23$ contiene un parte aislada.

Calcule significar y mediana con y sin el valor $23$ .
Calcular el rango intercuartil con y sin $23$ .
¿Qué resúmenes son robustos ante el valor atípico? Concluir con un recomendación.

Solución

Solución de Ejercicio 17.10.

1. Con $23$ : suma $50$ , significar $5$ ; mediana = punto medio de $5$ y $6$ ésimos valores $= 3$ . Sin $23$ : suma $27$ , significar $3$ ; mediana (5 de 9 valores) $= 3$ .

2. Con $23$ ( $n = 10$ ): $Q_1$ es el tercer valor $3$ ( $2$ ), $Q_3$ el $8$ ( $4$ ): rango intercuartil $2$ . Sin ( $n = 9$ ): $Q_1$ es el $3$ er valor ( $2$ ), $Q_3$ el $7$ ( $4$ ): todavía $2$ .

3. El único valor atípico arrastra el significar desde $3$ hasta $5$ pero deja el mediana y el rango intercuartil sin cambios: esos dos son robusto. Cuando un conjunto de datos pueda contener valores aberrantes, informar el mediana y rango intercuartil en lugar de significar y estándar desviación.

17.5 Problema: el puntaje z, una regla universal

Problema 17.1

Problema de fin de semana — comparación de desviaciones estándar manzanas con naranjas, la desigualdad de Chebyshev convierte a $\sigma$ en una garantía, y la media gana su propia medalla

¿ $15/20$ en un examen difícil es mejor que $13/20$ en uno fácil? es ¿Un $23$ en una lista de números pequeños es un accidente o un valor atípico? crudo los números no pueden decir — pero divididos por la derecha estándar desviación todos hablan un idioma, el puntuación z. esto El problema domina la maquinaria diferencia. (Definición 17.6, Proposición 17.7), construye la regla universal, y demuestra la notable desigualdad que convierte a $\sigma$ de un número descriptivo en una garantía.

Parte I — Diferencia mechanics.

Para el conjunto de datos $4, 8, 6, 5, 2$ : calcule significar, luego el diferencia directamente de la definición, entonces $\sigma$ .
Vuelva a calcular el diferencia con la fórmula de acceso directo (Proposición 17.7) — significar de cuadrados menos el cuadrado de significar — y verifique el acuerdo.
Con frecuencias: marcas $8$ , $10$ , $14$ obtenidas por Estudiantes $3$ , $5$ , $2$ . Calcular significar, diferencia y $\sigma$ (dos decimales).
Las temperaturas tienen significar $20$ y $\sigma = 3$ (grados Celsius). Indique significar y $\sigma$ en Fahrenheit ( $F = 1.8\,C + 32$ ; Proposición 17.9).
Demuestre las dos reglas que acabamos de usar: agregar una constante $b$ a cada valor desplaza significar por $b$ y deja $\sigma$ sin cambios; multiplicar por $a$ multiplica el significar por $a$ y $\sigma$ por $\abs a$ .

Parte II — The universal ruler. El puntuación z de un valor $x$ en un conjunto de datos de significar $\bar x$ y desviación estándar $\sigma$ es $z = \dfrac{x - \bar x}{\sigma}$ : el número de estándar desviaciones que separa $x$ del significar.

El examen A tiene significar $12$ y $\sigma = 2$ ; el examen B tiene significar $8$ y $\sigma = 4$ . Alice obtuvo $15$ en A, Bob $13$ en B. Calcule ambos puntuaciones z: cuyo rendimiento se mantiene ¿Más por encima de la multitud?
Calcule los cinco puntuaciones z del conjunto de datos de la pregunta 1, y verificar que tengan significar $0$ y estándar desviación $1$ . Explique a partir de la pregunta 5 por qué la estandarización siempre produce significar $0$ y $\sigma = 1$ .
Una prueba de aptitud tiene significar $100$ y $\sigma = 15$ . que ¿La puntuación bruta tiene $z = 2$ ? ¿Qué es el puntuación z de $76$ ?
Un pediatra registra el peso de un bebé como “ $z = -2.5$ ”. Diga qué significa esto y por qué el crecimiento es rastreado en puntuaciones z en lugar de kilogramos como el niño edades.
El valor atípico de Ejercicio 17.10 (conjunto de datos $1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 23$ ): calcula el significar, $\sigma$ y puntuación z de $23$ . La alarma clásica el umbral es $\abs z \geq 3$ : ¿veredicto?
Vuelva a calcular $\sigma$ sin el valor $23$ , y el puntuación z que tendría $23$ contra el clean significar y $\sigma$ de datos. ¿Qué hizo el caso atípico para el mismo gobernante pretendía medirlo, y ¿qué significa Ejercicio 17.10 sugiere como contramedida?

Parte III — Chebyshev’s guarantee.

Demuestre la desigualdad de Bienaymé–Chebyshev para a conjunto de datos: si una proporción $p$ de los valores satisface $\abs{x - \bar x} \geq k\sigma$ , entonces, quedando sólo esos términos en la suma diferencia,

$\sigma^2 \geq p \cdot (k\sigma)^2, \qquad\text{hence}\qquad p \leq \frac{1}{k^2} .$
¿Qué garantiza la desigualdad sobre la proporción? de cualquier conjunto de datos más allá de $2\sigma$ de su significar? Más allá $3\sigma$ ? Verifique la declaración $2\sigma$ en el conjunto de datos de la pregunta 1.
Una fábrica produce pernos con significar $50$ mm y $\sigma = 0.1$ mm. ¿Qué garantiza Chebyshev sobre la proporción de tornillos fuera $\intcc{49.7}{50.3}$ ? (La producción real funciona mucho mejor — la curva de campana del grado 12 se vuelve así de cautelosa $\frac19$ en una fracción de porcentaje.)
Dos fondos devuelven $5\,\%$ por año en promedio, con $\sigma = 2\,\%$ para el fondo A y $\sigma = 12\,\%$ para fondo B. Para cada fondo, ¿qué dice Chebyshev sobre la proporción similar a la probabilidad de años con rendimientos debajo de $-19\,\%$ ? ¿Cuál es el nombre financiero de $\sigma$ ?

Parte IV — The significar’s medal, and a warning.

Sea $f(c)$ el significar de las desviaciones al cuadrado. $(x_i - c)^2$ de un centro arbitrario $c$ . demostrar el identidad

$f(c) = \sigma^2 + (\bar x - c)^2 ,$

y concluimos: el significar es el único minimizador de significar desviación al cuadrado — su medalla, que coincide con la del mediana minimización de las desviaciones absolutas en Problema 8.1.
Verifique la identidad en el conjunto de datos de la pregunta 1 con $c = 6$ : calcula $f(6)$ directamente y mediante la fórmula.
Mismos resúmenes, diferentes datos: comprueba que $P = \{3, 5, 7, 9, 11\}$ y $Q = \{1, 7, 7, 7, 13\}$ comparten el mismo significar pero no el mismo diferencia; entonces construir un conjunto de datos de la forma $\{7 - a, 7, 7, 7, 7 + a\}$ con exactamente el significar y diferencia de $P$ — pero con una forma propia.
Demuestre que $\sigma = 0$ fuerza que todos los valores sean iguales. (¿Qué ¿Debe serlo cada término de una suma cero de cuadrados?)
Finale — la escalera del estadístico, una línea por peldaño: centros (significar, mediana), diferenciales ( $\sigma$ , IQR), el gobernante universal ( $z$ ), la garantía (Chebyshev), y la advertencia de la pregunta 18: los resúmenes se comprimen, y la compresión pierde — con la curva de campana de grado 12 esperando convertir puntuaciones z en probabilidades exactas.

Solución

Solución de Problema 17.1.

1. Significar $\bar x = \frac{25}{5} = 5$ . Desviaciones al cuadrado: $1, 9, 1, 0, 9$ : diferencia $\frac{20}{5} = 4$ , entonces $\sigma = 2$ .

2. Significar de cuadrados: $\frac{16 + 64 + 36 + 25 + 4}{5} = 29$ ; menos $\bar x^2 = 25$ : diferencia $4$ . Misma respuesta, la mitad del trabajo.

3. Significar $= \frac{3 \times 8 + 5 \times 10 + 2 \times 14}{10} = 10.2$ ; diferencia $= \frac{3 \times 64 + 5 \times 100 + 2 \times 196}{10} - 10.2^2 = 108.4 - 104.04 = 4.36$ ; $\sigma \approx 2.09$ .

4. Significar: $1.8 \times 20 + 32 = 68\,^\circ$ F; $\sigma$ : $1.8 \times 3 = 5.4\,^\circ$ F — el turno $+32$ no difunde nada.

5. Añadiendo $b$ : cada desviación $x_i + b - (\bar x + b) = x_i - \bar x$ no cambia, por lo que diferencia sí. multiplicando por $a$ : las desviaciones se multiplican por $a$ , sus cuadrados por $a^2$ , diferencia por $a^2$ y $\sigma$ por $\sqrt{a^2} = \abs a$ .

6. $z_A = \frac{15 - 12}{2} = 1.5$ ; $z_B = \frac{13 - 8}{4} = 1.25$ . Alice está más arriba de ella. multitud: el $15$ del examen más difícil supera al $13$ del examen más fácil.

7. $z$ -puntuaciones: $-0.5,\ 1.5,\ 0.5,\ 0,\ -1.5$ : significar $0$ , desviación estándar $1$ . En general, la estandarización resta $\bar x$ (haciendo que significar $0$ , $\sigma$ quede intacto) luego se divide por $\sigma$ (lo que hace que el nuevo $\sigma$ sea igual a $1$ ): pregunta 5 dos veces.

8. $z = 2$ : $100 + 2 \times 15 = 130$ . y $z(76) = \frac{76 - 100}{15} = -1.6$ .

9. El bebé está $2.5$ desviaciones estándar debajo del significar peso de bebés de su edad — alarmantemente ligero para su cohorte. Los kilogramos brutos no se pueden comparar entre edades (todas los bebés aumentan de peso); puntuaciones z mide a cada niño contra su propio grupo de edad, un gobernante para todas las edades.

10. Significar $5$ ; significar de cuadrados $\frac{622}{10} = 62.2$ , diferencia $37.2$ , $\sigma \approx 6.10$ ; $z(23) = \frac{18}{6.10} \approx 2.95$ : justo debajo de la alarma umbral — la prueba apenas parpadea.

11. Sin $23$ : significar $3$ , diferencia $\frac{93}{9} - 9 \approx 1.33$ , $\sigma \approx 1.15$ ; contra el gobernante limpio, $23$ anota $z \approx \frac{20}{1.15} \approx 17$ : un monstruo. El valor atípico infló tanto el significar como el $\sigma$ , camuflándose — es por eso que Ejercicio 17.10 recomienda robusto resúmenes (mediana, IQR) cuando exista amenaza de contaminación.

12. En la suma diferencia $\sigma^2 = \frac1N \sum (x_i - \bar x)^2$ , conserve sólo el términos con $\abs{x_i - \bar x} \geq k\sigma$ : hay $pN$ de ellos, cada uno al menos $(k\sigma)^2$ , por lo que $\sigma^2 \geq \frac{1}{N} \cdot pN \cdot k^2\sigma^2 = p\,k^2\sigma^2$ : dividir por $k^2 \sigma^2$ (spread distinto de cero): $p \leq \frac{1}{k^2}$ .

13. Más allá de $2\sigma$ : como máximo $\frac14 = 25\,\%$ de cualquier conjunto de datos; más allá de $3\sigma$ : como máximo $\frac19 \approx 11\,\%$ . Datos de la pregunta 1: más allá $2\sigma = 4$ de significar $5$ significa $\leq 1$ o $\geq 9$ : ninguno de los cinco valores — $0\,\% \leq 25\,\%$ , como se prometió.

14. Fuera $\intcc{49.7}{50.3}$ significa más allá $3\sigma$ : como máximo $\frac19$ de producción, lo que la forma de la distribución — Chebyshev no pregunta más que una significar y un $\sigma$ . La producción en forma de campana se concentra mejor (aproximadamente $0.3\,\%$ más allá de $3\sigma$ ): la ley normal, grado 12.

15. $-19\,\%$ se encuentra $24$ puntos por debajo del significar $5$ . Fondo B: $24 = 2\sigma_B$ : Chebyshev permite hasta $\frac14$ de años así de malos. Fondo A: $24 = 12\sigma_A$ : en la mayoría $\frac{1}{144}$ . El mismo promedio, peligros incomparables — $\sigma$ es lo que en finanzas llaman riesgo (o volatilidad).

16. Expandir alrededor de $\bar x$ : $(x_i - c)^2 = \left((x_i - \bar x) + (\bar x - c)\right)^2 = (x_i - \bar x)^2 + 2(\bar x - c)(x_i - \bar x) + (\bar x - c)^2$ . Promediando: el término medio muere (desviaciones de la suma significar a cero), dejando $f(c) = \sigma^2 + (\bar x - c)^2$ — mínimo exactamente en $c = \bar x$ , con mínimo $\sigma^2$ . El significar es el centro de mínimos cuadrados, ya que mediana es el mínimo absoluto centro (Problema 8.1).

17. Directamente: las desviaciones de $6$ son $-2, 2, 0, -1, -4$ , cuadrados $4, 4, 0, 1, 16$ : $f(6) = \frac{25}{5} = 5$ . Fórmula: $\sigma^2 + (5 - 6)^2 = 4 + 1 = 5$ . Acuerdo.

18. Ambos tienen significar $7$ ; variaciones: $P$ : $\frac{16 + 4 + 0 + 4 + 16}{5} = 8$ ; $Q$ : $\frac{36 + 0 + 0 + 0 + 36}{5} = 14.4$ : diferenciales diferentes detrás de un significar. Para $\{7 - a, 7, 7, 7, 7 + a\}$ : diferencia $\frac{2a^2}{5} = 8$ da $a = \sqrt{20} \approx 4.47$ : el El conjunto de datos $\{2.53, 7, 7, 7, 11.47\}$ contiene el significar exacto y diferencia de $P$ con un perfil completamente diferente — los resúmenes se comprimen y la compresión se pierde.

19. $\sigma^2 = 0$ significa una suma de cuadrados $(x_i - \bar x)^2$ desaparece; los cuadrados son $\geq 0$ , por lo que un cero la suma obliga a que cada término sea cero: $x_i = \bar x$ para todos los $i$ — todos los valores iguales.

20. Los centros dicen dónde residen los datos; los diferenciales dicen cómo libremente; el puntuación z coloca una regla en todos los conjuntos de datos, exámenes, edades y monedas; Chebyshev convierte $\sigma$ en una garantía incondicional; y la pregunta 18 nos mantiene honestos — ningún puñado de números contiene la historia completa. Siguiente año en que la curva de campana afila la regla hasta obtener probabilidades.