Matemáticas de secundaria · Grades 10–12

12Diferenciación: un primer curso

¿Qué tan rápido cambia un función? La respuesta en un solo punto es la derivado, el número más útil de todos los aplicados matemáticas. Este capítulo lo construye a partir de tasas de cambio promedio, lo calcula para funciones de referencia y usa su signo para leer el variaciones de un función. Todo aquí se amplía y profundiza en Capítulo 22.

12.1 La tasa promedio de cambio

Definición 12.1 (Tasa de cambio promedio)

Dejemos que $f$ se defina en intervalo $I$ y $a \neq b$ en $I$ . el tasa de cambio promedio de $f$ entre $a$ y $b$ son

\frac{f(b) - f(a)}{b - a}.

Es el pendiente de la recta secante que pasa por los puntos $\bigl(a, f(a)\bigr)$ y $\bigl(b, f(b)\bigr)$ de la curva.

Ejemplo 12.2

Un automóvil recorre $140$ km entre las 14:00 y las 16:00 horas: su velocidad media es $\frac{140}{2} = 70$ kilómetros por hora. El velocímetro, sin embargo, muestra una instantáneo velocidad en cada momento — esa es exactamente la noción que el derivado hace preciso.

12.2 La derivada en un punto

Definición 12.3 (Derivada en un punto)

Dejemos que $f$ se defina en un intervalo que contiene $a$ . Para $h \neq 0$ , forme el tasa de cambio promedio entre $a$ y $a + h$ :

r(h) = \frac{f(a+h) - f(a)}{h}.

Si $r(h)$ se acerca a un único número fijo mientras $h$ se acerca arbitrariamente a $0$ , decimos que $f$ es diferenciable en $a$ ; este número es el derivada de $f$ en $a$ , escrito $f'(a)$ :

f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}.

Ejemplo 12.4

Sean $f(x) = x^2$ y $a = 1$ . Para $h \neq 0$ :

\frac{f(1+h) - f(1)}{h} = \frac{(1+h)^2 - 1}{h} = \frac{1 + 2h + h^2 - 1}{h} = \frac{h(2 + h)}{h} = 2 + h .

A medida que $h$ se aproxima a $0$ , esto se aproxima a $2$ : el función $x^2$ es diferenciable en $1$ y $f'(1) = 2$ . Tenga en cuenta la estrategia: simplificar el cociente hasta que $h$ ya no aparezca en un denominador, luego deje $h \to 0$ .

Ejemplo 12.5 (Un punto no diferenciable)

Sean $f(x) = \abs{x}$ y $a = 0$ . entonces $\frac{f(h) - f(0)}{h} = \frac{\abs h}{h}$ , que equivale a $1$ para $h > 0$ y $-1$ para $h < 0$ : no se acerca a ningún número único, y $\abs x$ no es diferenciable en $0$ . Su curva tiene allí un esquina.

12.3 la recta tangente

Definición 12.6 (tangente)

Si $f$ es diferenciable en $a$ , el tangente al curva en el punto $A = \bigl(a, f(a)\bigr)$ es la línea que pasa por $A$ con pendiente $f'(a)$ . Su ecuación es

y = f(a) + f'(a)(x - a).

El tangente es la posición límite del secantes al $A$ : como $h \to 0$ , el segundo punto $\bigl(a+h, f(a+h)\bigr)$ se desliza a lo largo del curva hacia $A$ , y el secante pendiente $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ se aproxima a $f'(a)$ .

Del secante al A y del B = (a+h, f(a+h) ) tiene pendiente f(a+h)-f(a)/h. Mientras B se desliza hacia A, el secante se inclina hacia el tangente, cuyo pendiente es f'(a). — Del secante al $A$ y del $B = \bigl(a+h, f(a+h)\bigr)$ tiene pendiente $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ . Mientras $B$ se desliza hacia $A$ , el secante se inclina hacia el tangente, cuyo pendiente es $f'(a)$ .

Ejemplo 12.7

Para $f(x) = x^2$ en $a = 1$ : $f(1) = 1$ y $f'(1) = 2$ (Ejemplo 12.4), por lo que tangente es

y = 1 + 2(x - 1) = 2x - 1 .

Esta es la línea $d_2$ encontrada por álgebra pura en Ejercicio 10.11.

12.4 Derivadas de las funciones de referencia

Proposición 12.8

Sobre su dominios de diferenciabilidad:

(c)' = 0, \quad (x)' = 1, \quad (x^2)' = 2x, \quad (x^3)' = 3x^2, \quad \left(\frac1x\right)' = -\frac{1}{x^2}, \quad (\sqrt x\,)' = \frac{1}{2\sqrt x} \ (x > 0).

De manera más general, $(x^n)' = n\,x^{n-1}$ por cada entero $n \geq 1$ .

Demostración. Cada prueba sigue la estrategia de Ejemplo 12.4: simplificar la tasa, luego deje $h \to 0$ . Reparar $a$ en dominio.

Constante e identidad. $\frac{c - c}{h} = 0$ y $\frac{(a+h) - a}{h} = 1$ para todos los $h$ : los límites son $0$ y $1$ .

Cuadrado. $\frac{(a+h)^2 - a^2}{h} = \frac{2ah + h^2}{h} = 2a + h \to 2a$ .

Cubo. $(a+h)^3 = a^3 + 3a^2h + 3ah^2 + h^3$ , por lo que la tasa es $3a^2 + 3ah + h^2 \to 3a^2$ .

Recíproca. Para $a \neq 0$ y $h$ lo suficientemente pequeño como para $a + h \neq 0$ :

\frac{1}{h}\left(\frac{1}{a+h} - \frac{1}{a}\right) = \frac{1}{h} \cdot \frac{a - (a+h)}{a(a+h)} = \frac{-1}{a(a+h)} \xrightarrow[h \to 0]{} -\frac{1}{a^2}.

Raíz cuadrada. Para $a > 0$ , multiplica por el conjugado:

\frac{\sqrt{a+h} - \sqrt a}{h} = \frac{(a + h) - a}{h\,(\sqrt{a+h} + \sqrt a)} = \frac{1}{\sqrt{a+h} + \sqrt a} \xrightarrow[h \to 0]{} \frac{1}{2\sqrt a}.

Poder general. El patrón $2a$ , $3a^2$ continúa: en expansión $(a+h)^n$ , todos los términos posteriores a $a^n + n\,a^{n-1}h$ llevan $h^2$ , por lo que el la tasa tiende a $n\,a^{n-1}$ . (Se da una inducción completa en Capítulo 22.) ∎

12.5 Reglas de diferenciación

Teorema 12.9 (Operaciones)

Sean $u$ y $v$ diferenciable en $I$ y $\lambda \in \R$ . entonces $u + v$ , $\lambda u$ , $uv$ son diferenciable en $I$ , tal como están $\frac{u}{v}$ dondequiera que sea $v \neq 0$ , y

(u+v)' = u' + v', \qquad (\lambda u)' = \lambda u', \qquad (uv)' = u'v + uv', \qquad \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}.

Prueba de las tres primeras reglas. Corrija $a \in I$ y abrevie $\Delta u = u(a+h) - u(a)$ , $\Delta v = v(a+h) - v(a)$ .

Suma. La tasa de $u + v$ es $\frac{\Delta u + \Delta v}{h} = \frac{\Delta u}{h} + \frac{\Delta v}{h} \to u'(a) + v'(a)$ .

Múltiple. La tasa de $\lambda u$ es $\lambda \frac{\Delta u}{h} \to \lambda u'(a)$ .

Producto. Suma y resta del término mixto $u(a+h)\,v(a)$ :

\begin{align*} \frac{u(a+h)v(a+h) - u(a)v(a)}{h} &= \frac{u(a+h)v(a+h) - u(a+h)v(a) + u(a+h)v(a) - u(a)v(a)}{h}\\ &= u(a+h)\,\frac{\Delta v}{h} + v(a)\,\frac{\Delta u}{h}. \end{align*}

Como $h \to 0$ : $\frac{\Delta v}{h} \to v'(a)$ , $\frac{\Delta u}{h} \to u'(a)$ y $u(a+h) \to u(a)$ (su tarifa tiene un límite, por lo que $\Delta u = h \cdot \frac{\Delta u}{h} \to 0$ ). Por lo tanto, la tasa tiende a $u(a)v'(a) + v(a)u'(a)$ .

La regla del cociente se demuestra del mismo modo; es admitido en este nivel y se prueba en Capítulo 22. ∎

Ejemplo 12.10

Polinomio. $f(x) = 3x^3 - 5x^2 + 7x - 2$ :

f'(x) = 3 \times 3x^2 - 5 \times 2x + 7 = 9x^2 - 10x + 7 .

Cociente. $g(x) = \frac{2x+1}{x^2+1}$ : con $u = 2x + 1$ , $v = x^2 + 1$ ,

g'(x) = \frac{2(x^2+1) - (2x+1)\,2x}{(x^2+1)^2} = \frac{-2x^2 - 2x + 2}{(x^2+1)^2}.

Producto. $k(x) = x\sqrt x$ para $x > 0$ : $k'(x) = 1 \times \sqrt x + x \times \frac{1}{2\sqrt x} = \sqrt x + \frac{\sqrt x}{2} = \frac{3\sqrt x}{2}$ .

12.6 Signo de la derivada y variaciones.

Teorema 12.11 (Derivada y variaciones)

Sea $f$ diferenciable en un intervalo $I$ .

Si $f' \geq 0$ en $I$ , entonces $f$ es creciente en $I$ .
Si $f' \leq 0$ en $I$ , entonces $f$ es decreciente en $I$ .
Si $f' > 0$ en $I$ (excepto posiblemente en un número finito de puntos donde desaparece), entonces $f$ es estrictamente creciente en $I$ .

Demostración. La intuición es clara: una curva cuyo tangentes apunte hacia arriba debe subir — pero una demostración rigurosa necesita el teorema del valor significar. El resultado es admitido a este nivel; ver Teorema 22.7. ∎

Proposición 12.12 (extremo)

Si $f'$ cambia de signo en $a$ de $+$ a $-$ , entonces $f$ tiene un máximo local. en $a$ ; de $-$ a $+$ , un mínimo local. En tal punto, $f'(a) = 0$ y el tangente es horizontal.

Demostración. Si $f' \geq 0$ en un intervalo termina en $a$ y $f' \leq 0$ en un intervalo comenzando en $a$ , luego $f$ aumenta hasta $f(a)$ y luego disminuye (Teorema 12.11): $f(a)$ es el más grande en las cercanías. Desde $f'$ cambia de signo en $a$ y se define allí, $f'(a) = 0$ . ∎

Método 12.13 (Estudiando una función)

Calcule $f'(x)$ y simplifíquelo — idealmente en una forma factorizada.
Determine el signo de $f'(x)$ en cada intervalo (para una ecuación cuadrática $f'$ , utilice Teorema 10.11).
Registre los resultados en un tabla de variaciones: una fila para el signo de $f'$ , una fila de flechas para $f$ , con los valores de $f$ en los puntos de inflexión.
Concluye: extremos, número de soluciones de $f(x) = k$ , desigualdades.

Ejemplo 12.14

Estudio $f(x) = x^3 - 3x + 1$ sobre $\R$ . Primero, $f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1)$ : una cuadrática con raíces $-1$ y $1$ , positivo fuera de ellos. Entonces $f$ es creciente en $\intoc{-\infty}{-1}$ , decreciente en $\intcc{-1}{1}$ , creciente en $\intco{1}{+\infty}$ , con un local máximo $f(-1) = -1 + 3 + 1 = 3$ y un local mínimo $f(1) = 1 - 3 + 1 = -1$ .

La curva de f(x) = x3 - 3x + 1 (): horizontal tangentes (naranja) en el local máximo (-1, 3) y el mínimo (1, -1) local, donde f' cambia firmar. — La curva de $f(x) = x^3 - 3x + 1$ (Ejemplo 12.14): horizontal tangentes (naranja) en el local máximo $(-1, 3)$ y el mínimo $(1, -1)$ local, donde $f'$ cambia firmar.

Ejemplo 12.15 (Optimización)

Se fabrica una caja abierta a partir de una lámina de $12 \times 12$ cm cortando un cuadrado de lado $x$ desde cada esquina y plegable. Su volumen es $V(x) = x(12 - 2x)^2$ para $0 < x < 6$ . En expansión, $V(x) = 4x^3 - 48x^2 + 144x$ , entonces

V'(x) = 12x^2 - 96x + 144 = 12(x^2 - 8x + 12) = 12(x - 2)(x - 6).

En $\intoo{0}{6}$ , el factor $x - 6$ es negativo, por lo que $V'(x)$ tiene el signo de $-(x-2)$ : positivo antes de $2$ , negativo después. El volumen es máximo. para $x = 2$ cm, dando $V(2) = 2 \times 8^2 = 128$ cm $^3$ .

12.7 Ceremonias

Ejercicio 12.1 ★

Usando la definición (tasa de cambio, luego $h \to 0$ ), calcule $f'(2)$ para $f(x) = x^2$ , luego $g'(1)$ para $g(x) = x^2 + 3x$ .

Solución

Solución de Ejercicio 12.1.

Para $f(x) = x^2$ en $a = 2$ :

\frac{(2+h)^2 - 4}{h} = \frac{4h + h^2}{h} = 4 + h \xrightarrow[h\to0]{} 4,

Entonces $f'(2) = 4$ . Para $g(x) = x^2 + 3x$ en $a = 1$ : $g(1) = 4$ y

\frac{(1+h)^2 + 3(1+h) - 4}{h} = \frac{5h + h^2}{h} = 5 + h \xrightarrow[h\to0]{} 5,

entonces $g'(1) = 5$ .

Ejercicio 12.2 ★

Diferenciar:

f(x) = 4x^3 - 2x^2 + x - 7, \qquad g(x) = 5\sqrt{x} + \frac{3}{x}, \qquad h(x) = (2x+1)(x^2 - 3) .

Solución

Solución de Ejercicio 12.2.

$f'(x) = 12x^2 - 4x + 1$ .

$g'(x) = \frac{5}{2\sqrt x} - \frac{3}{x^2}$ (on $\intoo{0}{+\infty}$ ).

$h'(x) = 2(x^2 - 3) + (2x+1)(2x) = 2x^2 - 6 + 4x^2 + 2x = 6x^2 + 2x - 6$ (regla de producto).

Ejercicio 12.3 ★

Dale el ecuación del tangente a la curva de $f$ en el punto de abscisa $a$ :

f(x) = x^2 - 3x, \ a = 2; \qquad f(x) = \frac1x, \ a = 1; \qquad f(x) = \sqrt x, \ a = 4 .

Solución

Solución de Ejercicio 12.3.

$f(x) = x^2 - 3x$ , $a = 2$ : $f(2) = -2$ , $f'(x) = 2x - 3$ so $f'(2) = 1$ ; tangente $y = -2 + (x - 2) = x - 4$ .

$f(x) = \frac1x$ , $a = 1$ : $f(1) = 1$ , $f'(1) = -1$ ; tangente $y = 1 - (x - 1) = 2 - x$ .

$f(x) = \sqrt x$ , $a = 4$ : $f(4) = 2$ , $f'(4) = \frac{1}{2\sqrt4} = \frac14$ ; tangente $y = 2 + \frac14(x - 4) = \frac{x}{4} + 1$ .

Ejercicio 12.4 ★

Diferenciar los cocientes:

f(x) = \frac{x+2}{x-1}, \qquad g(x) = \frac{x^2}{x^2+1}, \qquad h(x) = \frac{1}{x^2 + x + 1} .

Solución

Solución de Ejercicio 12.4.

$f'(x) = \frac{(x-1) - (x+2)}{(x-1)^2} = \frac{-3}{(x-1)^2}$ .

$g'(x) = \frac{2x(x^2+1) - x^2 \times 2x}{(x^2+1)^2} = \frac{2x}{(x^2+1)^2}$ .

$h'(x) = -\frac{2x+1}{(x^2+x+1)^2}$ (regla del cociente con $u = 1$ ).

Ejercicio 12.5 ★★

Estudie las variaciones de $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 2$ en $\R$ (variación mesa, extremos locales).

Solución

Solución de Ejercicio 12.5.

$f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x^2 - 4x + 3) = 3(x-1)(x-3)$ : positivo exterior $\intcc{1}{3}$ , negativo interior. Entonces $f$ está en creciente. $\intoc{-\infty}{1}$ , decreciente en $\intcc{1}{3}$ , creciente en $\intco{3}{+\infty}$ , con un local máximo $f(1) = 1 - 6 + 9 - 2 = 2$ y un local mínimo $f(3) = 27 - 54 + 27 - 2 = -2$ .

Ejercicio 12.6 ★★

Estudie las variaciones de $f(x) = \frac{x^2 + 3}{x + 1}$ en $\intoo{-1}{+\infty}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 12.6.

En $\intoo{-1}{+\infty}$ :

f'(x) = \frac{2x(x+1) - (x^2+3)}{(x+1)^2} = \frac{x^2 + 2x - 3}{(x+1)^2} = \frac{(x+3)(x-1)}{(x+1)^2}.

Para $x > -1$ , tanto $x + 3$ como $(x+1)^2$ son positivos, por lo que $f'(x)$ tiene el signo de $x - 1$ : $f$ es decreciente en $\intoc{-1}{1}$ y creciente en $\intco{1}{+\infty}$ , con mínimo $f(1) = \frac{4}{2} = 2$ .

Ejercicio 12.7 ★★

Deje $f(x) = x^2 - 4x + 5$ .

Encuentre el punto de la curva donde el tangente está horizontal.
Encuentre los puntos donde tangente es paralelo a la línea $y = 2x + 1$ .

Solución

Solución de Ejercicio 12.7.

$f'(x) = 2x - 4$ .

1. Horizontal tangente: $f'(x) = 0$ en $x = 2$ ; el punto es $(2, f(2)) = (2, 1)$ (el vértice del parábola).

2. Paralelo a $y = 2x + 1$ significa pendiente $2$ : $2x - 4 = 2$ , entonces $x = 3$ , dando el punto $(3, f(3)) = (3, 2)$ .

Ejercicio 12.8 ★★

Se construye un recinto rectangular contra una pared con $60$ m de valla (tres lados). Exprese el área como función del ancho $x$ y use el derivado para encontrar las dimensiones del área máxima. (Compárese con el método de vértice de Capítulo 10.)

Solución

Solución de Ejercicio 12.8.

Con ancho $x$ (dos lados vallados) y largo $60 - 2x$ : $A(x) = x(60 - 2x) = 60x - 2x^2$ en $\intoo{0}{30}$ . entonces $A'(x) = 60 - 4x$ , positivo antes de $x = 15$ y negativo después: el área es máximo para $x = 15$ , lo que da un recinto de $15 \times 30$ m de área $450$ m $^2$ . La fórmula del vértice $\alpha = -\frac{60}{2 \times (-2)} = 15$ de Capítulo 10 da la misma respuesta sin cálculo.

Ejercicio 12.9 ★★

Muestre eso para todos $x > 0$ , $\sqrt{x} \leq \frac{x + 1}{2}$ , estudiando el función $f(x) = \frac{x+1}{2} - \sqrt x$ en $\intoo{0}{+\infty}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 12.9.

Deje $f(x) = \frac{x+1}{2} - \sqrt x$ en $\intoo{0}{+\infty}$ . entonces

f'(x) = \frac12 - \frac{1}{2\sqrt x} = \frac{\sqrt x - 1}{2\sqrt x},

que tiene el signo de $\sqrt x - 1$ : negativo en $\intoo{0}{1}$ , positivo en $\intoo{1}{+\infty}$ . Entonces $f$ disminuye y luego aumenta, con mínimo $f(1) = 1 - 1 = 0$ . Por lo tanto $f(x) \geq 0$ para todo $x > 0$ , es decir $\sqrt x \leq \frac{x+1}{2}$ , con igualdad sólo en $x = 1$ .

Ejercicio 12.10 ★★

Una lata cilíndrica debe contener $500$ cm $^3$ . Su superficie (dos discos más el lado) es $S = 2\pi r^2 + 2\pi r h$ con $\pi r^2 h = 500$ . Expreso $S$ como función de $r$ solo, y muestre que $S'(r) = 4\pi r - \frac{1000}{r^2}$ . Deduzca el radio que minimiza la superficie, como expresión exacta.

Solución

Solución de Ejercicio 12.10.

De $\pi r^2 h = 500$ , $h = \frac{500}{\pi r^2}$ , entonces

S(r) = 2\pi r^2 + 2\pi r \cdot \frac{500}{\pi r^2} = 2\pi r^2 + \frac{1000}{r}, \qquad S'(r) = 4\pi r - \frac{1000}{r^2}.

$S'(r) = 0$ cuando $4\pi r^3 = 1000$ , es decir $r^3 = \frac{250}{\pi}$ , entonces $r = \sqrt[3]{250/\pi}$ ( $\approx 4.3$ cm). Dado que $S'(r) = \frac{4\pi r^3 - 1000}{r^2}$ es negativo antes de este valor y positivo después, es un mínimo.

Ejercicio 12.11 ★★★

¿Cuántos tangentes al parábola $y = x^2$ pasan por el exterior? punto $P(1, -3)$ ? Determine su ecuaciones. (Sea $a$ el abscisa de el punto de contacto y expresar que el tangente en $a$ pasa por $P$ ).

Solución

Solución de Ejercicio 12.11.

El tangente a $y = x^2$ en el punto de abscisa $a$ es $y = a^2 + 2a(x - a) = 2ax - a^2$ . Pasa por $P(1, -3)$ cuando $-3 = 2a - a^2$ , es decir $a^2 - 2a - 3 = 0$ , cuyos raíces son $a = 3$ y $a = -1$ ( $\Delta = 16$ ). Por lo tanto, existen dos tangentes hasta $P$ :

y = 6x - 9 \quad (a = 3), \qquad y = -2x - 1 \quad (a = -1).

Ejercicio 12.12 ★★★

Sea $f(x) = x^3 - 3x + 1$ (ver Ejemplo 12.14). Usando el tabla de variaciones, determine el número de soluciones del ecuación $f(x) = k$ según el valor del numero real $k$ .

Solución

Solución de Ejercicio 12.12.

Desde Ejemplo 12.14, $f$ aumenta hasta el local máximo $f(-1) = 3$ , disminuye al mínimo local $f(1) = -1$ , luego aumenta otra vez; para $x$ positivo grande (resp. negativo), $x^3$ domina y $f$ toma valores arbitrariamente grandes (o pequeños). Leyendo líneas horizontales $y = k$ a través del tabla de variaciones:

$k > 3$ o $k < -1$ : la línea se encuentra con la curva una vez — solución $1$ ;
$k = 3$ o $k = -1$ : la línea toca un punto de inflexión y cruza otra rama — soluciones $2$ ;
$-1 < k < 3$ : la línea cruza los tres ramales — $3$ soluciones.

12.8 Problema: los tres trabajos de la tangente

Problema 12.1

Problema del fin de semana — el espejo parabólico demostró, La máquina de búsqueda de raíces de Newton y la viga más fuerte del tronco

A derivado dibuja tangentes; Eso suena como un talento modesto. Este problema muestra que el tangente tiene tres trabajos a la vez: demuestra el teorema de los faros que quedó pendiente en Problema 10.1 (cada rayo paralelo al eje de parábola refleja a través del enfocar), alimenta el más rápido algoritmo de resolución de ecuaciones de uso común — dentro de cada calculadora y red neuronal — y encuentra el más fuerte viga rectangular que puede producir un tronco redondo.

Parte I — Tangente fluency.

Diferenciar $f(x) = 3x^2 - 5x + 1$ y $g(x) = x^3 - 12x$ (Teorema 12.9); y recuperar $\left(x^2 \right)'$ en $x = 1$ de la definición (tasa de cambiar, luego $h \to 0$ ).
Encuentre el tangente a $y = x^3 - 12x$ en $a = 2$ . que es Tiene algo de especial y ¿qué indica eso? (Proposición 12.12)?
Establecer del tangente general al parábola $y = x^2$ en el punto $(a, a^2)$ :

$y = 2ax - a^2 .$
¿Dónde cruza ese tangente el eje $y$ ? deducir el receta del dibujante: dibujar el tangente en un punto $P$ de altura $h$ sobre el parábola, unir $P$ al punto de el eje en la profundidad … debajo del origen. Dilo.
Construye el tabla de variaciones completo de $g(x) = x^3 - 12x$ (signo de $g'$ , extremos locales y sus valores, Método 12.13).

Parte II — The mirror theorem. Sea $P(a, a^2)$ un punto del parábola $y = x^2$ (tomar $a \neq 0$ ), $F\left(0, \frac14\right)$ el enfocar y $T$ el punto donde tangente en $P$ cruza el eje $y$ (pregunta 4). Recuerde de Problema 10.1 que $PF = a^2 + \frac14$ .

Calcula la distancia $FT$ .
Concluye que el triángulo $FPT$ es isósceles en $F$ . ¿Cuáles dos ángulos son entonces iguales?
El rayo entrante a través de $P$ , paralelo al eje, es paralela a la línea $(TF)$ (ambas verticales). Usando ángulos alternos, muestre que el tangente en $P$ hace ángulos iguales con el rayo vertical entrante y con el segmento $[PF]$ .
Física: la luz se refleja en una curva como en su tangente, saliendo en el mismo ángulo en que llegó (la ley de reflexión). Concluir el teorema del espejo: cada El rayo paralelo al eje se refleja a través del enfocar — y, invirtiendo el tiempo, se enciende una bombilla en el enfocar luz paralela. El plato y el faro de Problema 10.1 ahora son teoremas.
Verifique numéricamente el triángulo isósceles en $a = 1$ : calcular $T$ , $FP$ y $FT$ .

Parte III — Newton’s machine. Para resolver $f(x) = 0$ , Newton propuso: comenzar desde una suposición $x_0$ , siga tangente en $x_0$ hasta el eje y deje su intersección $x$ será la siguiente suposición.

Deducir la fórmula del método:

$x_{n + 1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} .$
Ejecútelo en $f(x) = x^2 - 2$ desde $x_0 = 1$ : calcular $x_1$ , $x_2$ , $x_3$ como fracciones exactas. cual secuencia de dos mil años — y qué máquina de Problema 3.1 — ¿acabas de reconstruido? Demuestre la identidad detrás de la coincidencia:

$x - \frac{x^2 - 2}{2x} = \frac12\left(x + \frac2x\right).$
Resuelva $x^3 = 100$ (el cruce de ahorros de Problema 4.1): aplique dos pasos de Newton para $f(x) = x^3 - 100$ de $x_0 = 5$ (cuatro decimales), y compárelo con el $\sqrt[3]{100}$ de la calculadora.
Sabotaje: intente iniciar el método en $f(x) = x^3 - 12x$ en $x_0 = 2$ . ¿Qué sale mal y ¿Por qué (pregunta 2)? Indique la advertencia práctica.
En la pregunta 12 los decimales correctos fueron aproximadamente $1 \to 3 \to 6$ . Comparar con la bisección (dividir a la mitad un intervalo cada paso) y diga en una frase por qué calculadoras, receptores GPS y entrenamiento de redes neuronales Todos se basan en la idea de Newton.

Parte IV — The strongest beam. Una viga rectangular de ancho $w$ y profundidad $d$ se corta desde una tronco redondo de diámetro $30$ cm, por lo que $w^2 + d^2 = 900$ . una viga la rigidez es proporcional a $w d^2$ (la profundidad cuenta dos veces: ¡Las vigas están de canto!).

Exprese la rigidez como función de $w$ solo: $S(w) = 900w - w^3$ , ¿en qué intervalo?
Diferenciar, construir el tabla de variaciones y encontrar el $w$ y $d$ óptimos (valores exactos, luego a la milímetro).
Demuestre que las proporciones óptimas satisfacen $d = w\sqrt2$ — la proporción de los viejos carpinteros. (Bonificación tradición: dividir el diámetro del tronco en tres partes iguales y elevando perpendiculares a las construcciones circulares. exactamente este rectángulo.)
La elección ingenua es el haz cuadrado ( $w = d$ ). Calcule su rigidez y el óptimo. viga y dé la ganancia del carpintero en porcentaje.
Finale — los tres trabajos del tangente, una frase cada uno: geometría (el teorema del espejo), números (la teoría de Newton) máquina), optimización (la viga), todo impulsado por el mismo objeto. Y el puntero hacia adelante: el grado 12 agrega convexidad — el lado de la curva del tangente — para afilar los tres.

Solución

Solución de Problema 12.1.

1. $f'(x) = 6x - 5$ ; $g'(x) = 3x^2 - 12$ . Definición: $\frac{(1 + h)^2 - 1}{h} = 2 + h \to 2$ : el derivado de $x^2$ en $1$ es $2$ .

2. $g(2) = 8 - 24 = -16$ y $g'(2) = 12 - 12 = 0$ : el tangente es la línea horizontal $y = -16$ . una horizontal tangente señala un punto crítico — aquí un mínimo local, como el tabla de variaciones de la pregunta 5 lo confirma.

3. pendiente $2a$ at $(a, a^2)$ : $y = a^2 + 2a(x - a) = 2ax - a^2$ .

4. En $x = 0$ : $y = -a^2$ : el tangente cruza el eje en la profundidad $a^2$ debajo del origen — exactamente tan lejos abajo cero ya que $P$ se encuentra encima de él. Receta: dibujar el tangente en un punto de altura $h$ , unirlo al punto del eje en profundidad $h$ debajo del origen. (No se necesita derivado en el tablero de dibujo.)

5. $g'(x) = 3(x^2 - 4)$ : positivo encendido $\intoo{-\infty}{-2}$ , negativo en $\intoo{-2}{2}$ , positivo más allá. $g$ aumenta a máximo local $g(-2) = 16$ , cae a un mínimo $g(2) = -16$ local, luego aumenta.

6. $F\left(0, \frac14\right)$ y $T(0, -a^2)$ : $FT = \frac14 + a^2$ .

7. $FP = a^2 + \frac14 = FT$ : isósceles en $F$ , por lo que el Los ángulos de la base son iguales: $\widehat{FTP} = \widehat{FPT}$ .

8. El rayo entrante en $P$ es vertical, por lo tanto paralelo a la línea $(TF)$ (el eje $y$ ). El tangente $(TP)$ cruza ambos paralelos, por lo que el ángulo entre el rayo y el tangente es igual a $\widehat{FTP}$ (ángulos alternos) — que es igual $\widehat{FPT}$ , el ángulo entre $[PF]$ y tangente. Ángulos iguales en los dos lados del tangente en $P$ .

9. Por la ley de la reflexión, el rayo que llega verticalmente en $P$ hojas a lo largo de la línea que forma el ángulo igual del otro lado — por la pregunta 8, por $[PF]$ : a través del enfocar, sea lo que sea $a$ . Invertida, luz nacida en las hojas $F$ cada punto del espejo paralelo al eje. Los platos recogen, Haz de luces: probado.

10. $a = 1$ : tangente $y = 2x - 1$ , $T(0, -1)$ ; $FP = \sqrt{1 + \left(1 - \frac14\right)^2} = \sqrt{\frac{25}{16}} = \frac54$ ; $FT = \frac14 + 1 = \frac54$ : isósceles, como prometí.

11. El tangente en $x_n$ es $y = f(x_n) + f'(x_n)(x - x_n)$ ; cruza $y = 0$ donde $x = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$ .

12. $x_1 = 1 - \frac{-1}{2} = \frac32$ ; $x_2 = \frac32 - \frac{1/4}{3} = \frac{17}{12}$ ; $x_3 = \frac{577}{408}$ : aproximaciones de Garza de $\sqrt2$ , es decir, la máquina de punto fijo de Problema 3.1. Identidad: $x - \frac{x^2 - 2}{2x} = \frac{2x^2 - x^2 + 2}{2x} = \frac{x^2 + 2}{2x} = \frac12\left(x + \frac2x\right)$ — Receta de Heron is Método de Newton aplicado a $x^2 - 2$ , dos milenios antes.

13. $x_1 = 5 - \frac{125 - 100}{75} = \frac{14}{3} \approx 4.6667$ ; $x_2 \approx 4.6667 - \frac{1.63}{65.33} \approx 4.6417$ . Calculadora: $\sqrt[3]{100} = 4.6416\ldots$ — cuatro decimales correctos en dos pasos.

14. $f'(2) = 0$ : el tangente en el punto de partida es horizontal (pregunta 2) y nunca cruza el eje — el la fórmula divide por cero. Advertencia: comience a Newton lejos de puntos críticos (y, en general, lo suficientemente cerca del raíz quieres).

15. La bisección gana un dígito binario por paso; Newton aproximadamente dobles el número de dígitos correctos en cada paso ( $1 \to 3 \to 6$ aquí). Cuando cada paso es costoso: millones de parámetros, navegación en tiempo real — duplicación de tiempos avanzando lentamente, razón por la cual la línea tangente corre tanto hacia adentro silicio.

16. $d^2 = 900 - w^2$ , entonces $S(w) = w(900 - w^2) = 900w - w^3$ , para $0 < w < 30$ .

17. $S'(w) = 900 - 3w^2 = 0$ en $w = \sqrt{300} = 10\sqrt3 \approx 17.3$ cm ( $S' > 0$ antes, $< 0$ después: a máximo). entonces $d = \sqrt{600} = 10\sqrt6 \approx 24.5$ cm.

18. $\frac{d^2}{w^2} = \frac{600}{300} = 2$ , entonces $d = w\sqrt2$ : la profundidad es el ancho multiplicado por $\sqrt2$ — el proporción de carpintero (y el diámetro en tercios de construcción lo entrega con una brújula, sin álgebra en el sitio).

19. Viga cuadrada: $w = d = \sqrt{450} \approx 21.2$ cm, rigidez $w^3 = 450^{3/2} \approx 9\,546$ . Haz óptimo: $S = 10\sqrt3 \times 600 = 6\,000\sqrt3 \approx 10\,392$ . Ganancia: aproximadamente $8.9\,\%$ más rígido del mismo tronco — el derivado paga el aserradero.

Geometría 20.: los ángulos iguales del tangente se convirtieron en paraboloide en un captador de luz. Numéricos: deslizarse hacia abajo tangentes resuelve ecuaciones a una velocidad de duplicación de dígitos. Optimización: un derivado que desapareció encontró el registro más fuerte rectángulo. Un objeto, tres oficios — y grado 12 La convexidad dirá, además, de qué lado de cada tangente la curva está.