Matemáticas de secundaria · Grades 10–12

2Álgebra: ecuaciones y desigualdades

El álgebra es el arte de calcular con letras. Este capítulo revisa y afina los dos movimientos básicos — en expansión y factorización — y los usa para resolver ecuaciones y desigualdades sistemáticamente, con mesa de signos como la herramienta central.

2.1 Expandiendo y factorizando

Definición 2.1 (Expandiendo, factorizando)

En expansión una expresión significa transformar productos en sumas; factorización significa lo contrario, Transformar una suma en un producto. La regla básica es la distributividad:

k(a + b) = ka + kb, \qquad (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd .

Ejemplo 2.2

Expandir $(2x + 3)(x - 5)$ paso a paso:

\begin{align*} (2x + 3)(x - 5) &= 2x \times x + 2x \times (-5) + 3 \times x + 3 \times (-5) \\ &= 2x^2 - 10x + 3x - 15 \\ &= 2x^2 - 7x - 15 . \end{align*}

Teorema 2.3 (Identidades notables)

Para todos los números reales $a$ y $b$ :

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2, \qquad (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2, \qquad (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 .

Demostración. Cada uno es una expansión directa. Para el primero:

(a+b)^2 = (a+b)(a+b) = a^2 + ab + ba + b^2 = a^2 + 2ab + b^2 .

El segundo sigue reemplazando $b$ con $-b$ : $(a-b)^2 = a^2 + 2a(-b) + (-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ . Para el tercero: $(a+b)(a-b) = a^2 - ab + ba - b^2 = a^2 - b^2$ . ∎

Por qué (a+b)2 = a2 + 2ab + b2: un cuadrado de lado a + b se divide en un cuadrado de lado a, un cuadrado de lado b y dos a × b rectángulos. — Por qué $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ : un cuadrado de lado $a + b$ se divide en un cuadrado de lado $a$ , un cuadrado de lado $b$ y dos $a \times b$ rectángulos.

Ejemplo 2.4

Usado hacia adelante (en expansión) y hacia atrás (factorización):

\begin{align*} (3x + 2)^2 &= 9x^2 + 12x + 4, & x^2 - 25 &= (x+5)(x-5), \\ (x - 4)^2 &= x^2 - 8x + 16, & 4x^2 + 4x + 1 &= (2x + 1)^2 . \end{align*}

Beneficios de la aritmética mental también: $101 \times 99 = (100+1)(100-1) = 10000 - 1 = 9999$ .

Método 2.5 (Factorizar una expresión)

Pruebe, en este orden:

Factor común: detecta un factor presente en cada término y extrae sáquelo, por ejemplo $6x^2 + 4x = 2x(3x + 2)$ . El factor común puede ser un soporte completo: $(x+1)(2x-3) + (x+1)(x+7) = (x+1)(3x+4)$ .
Identidad notable: reconoce $a^2 - b^2$ , o $a^2 \pm 2ab + b^2$ , por ejemplo $9x^2 - 16 = (3x)^2 - 4^2 = (3x+4)(3x-4)$ .
Combine ambos y verifique el resultado en expansión nuevamente.

Ejemplo 2.6

Factor $E = (2x + 1)^2 - (x - 3)^2$ . Esta es una diferencia de dos cuadrados. $a^2 - b^2$ con $a = 2x+1$ y $b = x-3$ :

\begin{align*} E &= \bigl[(2x+1) + (x-3)\bigr] \times \bigl[(2x+1) - (x-3)\bigr] \\ &= (3x - 2)(2x + 1 - x + 3) \\ &= (3x - 2)(x + 4). \end{align*}

Tenga en cuenta el segundo paréntesis: restar $x - 3$ significa restar $x$ y agregando $3$ .

2.2 Ecuaciones

Definición 2.7 (Ecuación, solución)

Un ecuación es una igualdad que contiene una incógnita. número $x$ ; a solución es un valor de $x$ que hace la igualdad cierto. Resolver la ecuación significa encontrar todo sus soluciones.

Dos ecuaciones son equivalente cuando tienen exactamente lo mismo soluciones. Sumar el mismo número a ambos lados o multiplicar ambos lados por el mismo número distinto de cero, produce un ecuación equivalente.

Ejemplo 2.8 (Ecuación de primer grado)

Resuelva $5x - 7 = 2x + 8$ , un movimiento a la vez:

\begin{align*} 5x - 7 &= 2x + 8 \\ 5x - 2x &= 8 + 7 && \text{(add $7 - 2x$ to both sides)} \\ 3x &= 15 \\ x &= 5 && \text{(divide both sides by $3$).} \end{align*}

La solución única es $5$ . Verificar: $5 \times 5 - 7 = 18$ y $2 \times 5 + 8 = 18$ .

Teorema 2.9 (Regla de producto cero)

Un producto de números reales es cero si y sólo si al menos uno de sus factores es cero:

A \times B = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad A = 0 \ \text{ or } \ B = 0 .

Demostración. Si $A = 0$ o $B = 0$ , el producto es claramente $0$ . Por el contrario, supongamos $AB = 0$ y $A \neq 0$ . Al dividir ambos lados por $A$ se obtiene $B = 0$ . ∎

Método 2.10 (Resolviendo por factorización)

Para resolver un ecuación cuyo lado derecho es $0$ y cuyo lado izquierdo lado se puede factorizar:

lleva todo a la izquierda para que ecuación diga $E = 0$ ;
factoriza $E$ en un producto de factores de primer grado;
aplica la regla del producto cero y resuelve cada pequeño ecuación;
recoge todas las soluciones encontradas.

Ejemplo 2.11

Resuelva $(x - 2)(3x + 6) = 0$ : $x - 2 = 0$ , dando $x = 2$ , o $3x + 6 = 0$ , dando $x = -2$ . Soluciones: $-2$ y $2$ .

Resuelve $x^2 = 9x$ . Divida no por $x$ (¡podría ser cero!); traer todo a un lado y factorizar:

x^2 - 9x = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x(x - 9) = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x = 0 \ \text{ or } \ x = 9 .

Ejemplo 2.12 (Ecuación del cociente)

Resuelve $\dfrac{x - 1}{x + 2} = 0$ . Un cociente es cero exactamente cuando su el numerador es cero y su denominador no lo es. Aquí $x - 1 = 0$ da $x = 1$ y $1 + 2 = 3 \neq 0$ : la única solución es $1$ . el valor $x = -2$ es prohibido (división por cero) y siempre debe ser excluido primero.

2.3 Desigualdades y tablas de signos.

Proposición 2.13 (Reglas para desigualdades)

Deje $a \leq b$ .

Para cualquier $c$ : $a + c \leq b + c$ (agregar conserva el orden).
Si $c > 0$ : $ac \leq bc$ (multiplicando por un número positivo conserva el orden).
Si $c < 0$ : $ac \geq bc$ (multiplicando por un número negativo invierte el pedido).

Demostración. 1. $(b + c) - (a + c) = b - a \geq 0$ . 2. $bc - ac = (b-a)c$ es el producto de dos números no negativos, entonces $bc \geq ac$ . 3. Ahora $(b-a)c \leq 0$ como producto de un no negativo y un negativo número, entonces $bc \leq ac$ . ∎

Ejemplo 2.14

Resuelva $-2x + 3 > 9$ :

\begin{align*} -2x + 3 &> 9 \\ -2x &> 6 && \text{(subtract 3)} \\ x &< -3 && \text{(divide by $-2 < 0$: reverse the inequality).} \end{align*}

El conjunto de soluciones es $\intoo{-\infty}{-3}$ .

Definición 2.15 (Tabla de señales)

Un mesa de signos registra, en una fila por factor, el signo ( $+$ o $-$ ) de cada factor de una expresión cuando $x$ se ejecuta sobre $\R$ , con un $0$ en cada valor donde el factor desaparece; una fila final da la signo del producto, utilizando la regla de los signos columna por columna.

Ejemplo 2.16

Signo de $P(x) = (x - 2)(3 - x)$ . El factor $x - 2$ desaparece en $2$ y es positivo después; el factor $3 - x$ desaparece en $3$ y es positivo antes:

$x$	$-\infty$	$2$		$3$	$+\infty$
$x - 2$	$-$	$0$	$+$		$+$
$3 - x$	$+$		$+$	$0$	$-$
$P(x)$	$-$	$0$	$+$	$0$	$-$

Entonces $P(x) > 0$ exactamente en $\intoo{2}{3}$ y $P(x) \leq 0$ en $\intoc{-\infty}{2} \cup \intco{3}{+\infty}$ .

La gráfica de P(x) = (x-2)(3-x) confirma el mesa de signos: positivo entre las raíces 2 y 3, negativo afuera. — La gráfica de $P(x) = (x-2)(3-x)$ confirma el mesa de signos: positivo entre las raíces $2$ y $3$ , negativo afuera.

Método 2.17 (Resolver una desigualdad con una tabla de signos)

Para resolver una desigualdad como $E(x) \geq 0$ o $E(x) < 0$ :

lleva todo al lado izquierdo, de modo que el lado derecho quede $0$ (nunca multiplique ambos lados por una expresión cuyo signo sea desconocido);
factoriza el lado izquierdo o ponlo sobre un denominador común si es un cociente;
construye el mesa de signos con una fila por factor (para un cociente, marca valores prohibidos con doble barra en la última fila);
lee el intervalos donde se encuentra el signo solicitado, verificando si cada límite está incluido.

Ejemplo 2.18

Resuelve $\dfrac{x + 1}{x - 3} \leq 0$ . El numerador desaparece en $-1$ , el denominador en $3$ (valor prohibido). El cociente es negativo cuando dos tienen signos opuestos, lo que ocurre para $x$ entre $-1$ y $3$ . Incluyendo el límite donde desaparece el numerador pero excluyendo el valor prohibido: el conjunto de soluciones es $\intco{-1}{3}$ .

2.4 Ceremonias

Ejercicio 2.1 ★

Ampliar y simplificar:

3(2x - 5) - 2(x - 7), \qquad (x + 4)(2x - 1), \qquad (3x - 2)^2, \qquad (5 - x)(5 + x).

Solución

Solución de Ejercicio 2.1.

$3(2x-5) - 2(x-7) = 6x - 15 - 2x + 14 = 4x - 1$ .

$(x+4)(2x-1) = 2x^2 - x + 8x - 4 = 2x^2 + 7x - 4$ .

$(3x-2)^2 = 9x^2 - 12x + 4$ .

$(5-x)(5+x) = 25 - x^2$ .

Ejercicio 2.2 ★

Factores:

x^2 - 49, \qquad x^2 + 10x + 25, \qquad 7x^2 - 14x, \qquad 16x^2 - 8x + 1 .

Solución

Solución de Ejercicio 2.2.

$x^2 - 49 = (x+7)(x-7)$ (diferencia de cuadrados).

$x^2 + 10x + 25 = (x+5)^2$ .

$7x^2 - 14x = 7x(x - 2)$ (factor común).

$16x^2 - 8x + 1 = (4x - 1)^2$ .

Ejercicio 2.3 ★

Resolver:

4x + 9 = x - 3, \qquad \frac{2x - 1}{3} = 5, \qquad 2(x - 3) = 2x + 1 .

(Uno de ellos no tiene solución; explique por qué).

Solución

Solución de Ejercicio 2.3.

$4x + 9 = x - 3$ : $3x = -12$ , so $x = -4$ .

$\frac{2x-1}{3} = 5$ : $2x - 1 = 15$ , so $x = 8$ .

$2(x-3) = 2x + 1$ se expande a $2x - 6 = 2x + 1$ , es decir $-6 = 1$ : falso para cada $x$ . No hay solución — los dos lados definen líneas paralelas que nunca reunirse.

Ejercicio 2.4 ★

Resuelva usando la regla del producto cero:

(x + 5)(2x - 8) = 0, \qquad x^2 - 16 = 0, \qquad x^2 + 6x + 9 = 0 .

Solución

Solución de Ejercicio 2.4.

$(x+5)(2x-8) = 0$ : $x = -5$ or $x = 4$ .

$x^2 - 16 = (x-4)(x+4) = 0$ : $x = 4$ or $x = -4$ .

$x^2 + 6x + 9 = (x+3)^2 = 0$ : la solución única $x = -3$ .

Ejercicio 2.5 ★

Resuelve las desigualdades y escribe los conjuntos de soluciones como intervalos:

3x - 5 \leq 7, \qquad -4x + 1 > 9, \qquad 2(x - 1) \geq 5x + 4 .

Solución

Solución de Ejercicio 2.5.

$3x - 5 \leq 7$ : $3x \leq 12$ , entonces $x \leq 4$ : conjunto de soluciones $\intoc{-\infty}{4}$ .

$-4x + 1 > 9$ : $-4x > 8$ , dividir por $-4$ invierte la desigualdad: $x < -2$ : conjunto de soluciones $\intoo{-\infty}{-2}$ .

$2(x-1) \geq 5x + 4$ : $2x - 2 \geq 5x + 4$ , entonces $-3x \geq 6$ , entonces $x \leq -2$ : conjunto de soluciones $\intoc{-\infty}{-2}$ .

Ejercicio 2.6 ★★

Factoriza $E = (x - 1)(x + 3) - (x - 1)(2x - 5)$ y luego resuelve $E = 0$ .

Solución

Solución de Ejercicio 2.6.

El factor común es $(x-1)$ :

E = (x-1)\bigl[(x+3) - (2x - 5)\bigr] = (x-1)(x + 3 - 2x + 5) = (x-1)(8 - x).

Luego $E = 0$ cuando $x = 1$ o $x = 8$ (regla de producto cero).

Ejercicio 2.7 ★★

Resuelva $x^2 = 5x$ , luego $(2x + 1)^2 = (x - 4)^2$ . (Para el segundo, lleva todo a la izquierda y factoriza la diferencia de cuadrados).

Solución

Solución de Ejercicio 2.7.

$x^2 = 5x$ : $x^2 - 5x = x(x - 5) = 0$ , entonces $x = 0$ o $x = 5$ (nunca dividir por $x$ : se perdería la solución $0$ ).

$(2x+1)^2 = (x-4)^2$ : llevar a la izquierda y factorizar la diferencia de cuadrados:

(2x+1)^2 - (x-4)^2 = \bigl[(2x+1) + (x-4)\bigr]\bigl[(2x+1) - (x-4)\bigr] = (3x - 3)(x + 5).

Regla de producto cero: $x = 1$ o $x = -5$ .

Ejercicio 2.8 ★★

Utilizando un mesa de signos, resuelva

(x + 2)(4 - x) > 0, \qquad \frac{2x - 6}{x + 1} \geq 0 .

Solución

Solución de Ejercicio 2.8.

$(x+2)(4-x) > 0$ : el factor $x + 2$ desaparece en $-2$ (positivo después), $4 - x$ desaparece en $4$ (positivo antes). El producto es positivo. exactamente cuando ambos factores son positivos, es decir en $\intoo{-2}{4}$ .

$\frac{2x-6}{x+1} \geq 0$ : numerador cero en $3$ , denominador cero en $-1$ (prohibido). mesa de firmas: el cociente es positivo cuando ambas partes tener el mismo signo, es decir para $x < -1$ o $x > 3$ ; desaparece en $x = 3$ . Conjunto de soluciones: $\intoo{-\infty}{-1} \cup \intco{3}{+\infty}$ .

Ejercicio 2.9 ★★

Un servicio de transmisión cuesta $9$ por mes, más una tarifa única de registro de $15$ ; un rival cuesta $12$ por mes sin tarifa. ¿Después de cuántos meses ¿El primer servicio se convierte en la opción más barata en general? Plantear y resolver un desigualdad.

Solución

Solución de Ejercicio 2.9.

Después de $x$ meses el primer servicio cuesta $9x + 15$ y el segundo $12x$ . El primero es más barato cuando

9x + 15 < 12x \ \Longleftrightarrow\ 15 < 3x \ \Longleftrightarrow\ x > 5 .

A partir del mes $6$ , el primer servicio es la opción más económica en general.

Ejercicio 2.10 ★★

Resuelve $\dfrac{x+3}{x-1} = 2$ . (Multiplique ambos lados por $x - 1$ después excluyendo el valor prohibido, o llevar todo a la izquierda sobre un denominador común.)

Solución

Solución de Ejercicio 2.10.

Valor prohibido: $x = 1$ . Para $x \neq 1$ , multiplique ambos lados por $x - 1$ :

x + 3 = 2(x - 1) = 2x - 2 \ \Longleftrightarrow\ x = 5 .

Desde $5 \neq 1$ , la solución es $x = 5$ . Comprobar: $\frac{5+3}{5-1} = \frac84 = 2$ .

Ejercicio 2.11 ★★★

Sea $n$ un entero. Demuestre que $(n + 1)^2 - n^2$ es siempre impar y que la diferencia entre los cuadrados de dos números impares consecutivos es siempre un múltiplo de $8$ .

Solución

Solución de Ejercicio 2.11.

$(n+1)^2 - n^2 = n^2 + 2n + 1 - n^2 = 2n + 1$ , que es impar para cada entero $n$ .

Se pueden escribir dos números impares consecutivos $2n - 1$ y $2n + 1$ . entonces

(2n+1)^2 - (2n-1)^2 = \bigl[(2n+1)+(2n-1)\bigr]\bigl[(2n+1)-(2n-1)\bigr] = 4n \times 2 = 8n,

un múltiplo de $8$ .

2.5 Problema: De Babilonia a la proporción áurea

Problema 2.1

Problema de fin de semana — problemas de suma y producto, completando el cuadrado como lo dibujó al-Khwarizmi, y el ecuación $x^2 = x + 1$

Hace cuatro mil años, los escribas babilónicos resolvieron esto en arcilla: encontrar dos números sabiendo su suma y su producto. Su truco — busque los números simétricamente alrededor del media suma — todavía descifra cada ecuación cuadrática hoy, bajo su nombre moderno, completando el cuadrado. este problema aprende el truco, observa a al-Khwarizmi literalmente completar un cuadrado, y pone el método a trabajar en los más célebres proporción de todos ellos.

Parte I — The Babylonian problem.

Calentamiento (Teorema 2.3): factor $x^2 - 10x + 25$ , luego $9x^2 - 49$ , luego — combinando un identidad con diferencia de cuadrados — $x^2 + 6x + 9 - 4$ .
Resuelve $(x + 1)(x + 5) = 0$ y $(3x - 7)(3x + 7) = 0$ (Teorema 2.9).
El problema del escriba: dos números tienen suma $10$ y producto $21$ . Siguiendo a Babylon, escríbelos como $5 - t$ y $5 + t$ (simétrico alrededor de la mitad de la suma) y encuentre $t$ , luego los dos números.
Mismo método: suma $14$ , producto $33$ .
La receta general: para la suma $s$ y el producto $p$ , mostrar que los dos numeros son

$\frac s2 - t \quad\text{and}\quad \frac s2 + t, \qquad\text{where}\quad t^2 = \left(\frac s2\right)^2 - p ,$

e indique la condición en $s$ y $p$ para que el problema tener una solución.

Parte II — Completing the square.

Expanda $(x - a)(x - b)$ y concluya: las soluciones de $x^2 - sx + p = 0$ son exactamente los pares de números con suma $s$ y producto $p$ . (Los escribas estaban resolviendo cuadrático ecuaciones sin saberlo.)
Verifique que $x^2 - 10x + 21 = (x - 5)^2 - 4$ y resuelva $x^2 - 10x + 21 = 0$ por factorización el lado derecho como diferencia de cuadrados. Compárese con la pregunta 3.
Resuelve $x^2 + 6x - 7 = 0$ completando el cuadrado.
Complete el cuadrado en $x^2 + 4x + 5$ y explique por qué. el ecuación $x^2 + 4x + 5 = 0$ tiene no real solución. Indique el criterio general: una vez escrito como $(x + h)^2 + k$ , ¿cuándo aparece una expresión cuadrática? ¿desaparecer?
El nombre es literal. En la Bagdad del siglo IX, al-Khwarizmi dibujó $x^2 + 6x = 7$ como un cuadrado de lado $x$ con dos rectángulos $3 \times x$ pegados a dos de sus lados, y completó la plaza con los faltantes $3 \times 3$ esquina. Dibuja la figura y explica cómo convierte el ecuación en $(x + 3)^2 = 16$ — luego resuelve.

Parte III — Signs, tables and two old promises.

Construye el mesa de signos de $(x - 3)(x + 2)$ (Definición 2.15) y resuelve $(x - 3)(x + 2) < 0$ .
Resuelve $x^2 \leq 10x - 21$ (lleva todo a un lado y reutilizar pregunta 7).
Resuelva $\dfrac{x - 1}{x + 2} \geq 0$ con un mesa de signos, teniendo en cuenta el valor prohibido.
Una vieja promesa cumplida: para el granjero de problema del cerco de la reina Dido, en el volumen de Secundaria, con $20$ m de cerco, el área de un bolígrafo $x \times (10 - x)$ satisface

$A(x) = x(10 - x) = 25 - (x - 5)^2 .$

Verifique la identidad y lea un prueba de lo que el grado 6 sólo podía conjeturar: el área máxima, y el exclusivo $x$ lo logra.
Otro: demostrar que $x + \dfrac1x \geq 2$ para cada $x > 0$ , con igualdad sólo en $x = 1$ . (Multiplicar por $x$ , junta, reconoce un cuadrado — el aritmética: desigualdad geométrica de el problema de fin de semana sobre las relaciones de Euclides del volumen de la Escuela Secundaria con un traje nuevo.)

Parte IV — The golden section. Cortar un segmento de longitud $1$ en una parte grande $x$ y una pequeña parte $1 - x$ para que el conjunto es demasiado grande y lo grande es demasiado pequeño: $\frac{1}{x} = \frac{x}{1 - x}$ .

Muestre que la condición dice $x^2 + x - 1 = 0$ .
Resuelve completando el cuadrado, y mantén la raíz que es una longitud: $x = \frac{\sqrt5 - 1}{2} \approx 0.618$ .
El proporción áurea es $\varphi = \frac1x = \frac{2}{\sqrt5 - 1}$ . racionalizar el denominador (multiplicar arriba y abajo por $\sqrt5 + 1$ , una identidad en el trabajo) y mostrar $\varphi = \frac{\sqrt5 + 1}{2} \approx 1.618$ .
Verifica exactamente las dos identidades mágicas de $\varphi$ :

$\varphi^2 = \varphi + 1, \qquad \frac{1}{\varphi} = \varphi - 1 .$
Final: explica por qué $\varphi$ es irracional (El problema de la irracionalidad del fin de semana del volumen de la escuela secundaria proporciona el hecho clave acerca de $\sqrt5$ ), luego calcule las relaciones $\frac53$ , $\frac85$ , $\frac{13}{8}$ , $\frac{21}{13}$ de Números consecutivos de Hemachandra-Fibonacci. (el problema de fin de semana de contar ritmos del volumen de la escuela secundaria) a tres decimales. ¿Qué hacer? parecen perseguir? (La prueba de que lo pillan pertenece a los capítulos sobre secuencias.)

Solución

Solución de Problema 2.1.

1. $x^2 - 10x + 25 = (x - 5)^2$ ; $9x^2 - 49 = (3x - 7)(3x + 7)$ ; $x^2 + 6x + 9 - 4 = (x + 3)^2 - 2^2 = (x + 1)(x + 5)$ .

2. $x = -1$ or $x = -5$ ; $x = \frac73$ or $x = -\frac73$ .

3. $(5 - t)(5 + t) = 25 - t^2 = 21$ da $t^2 = 4$ , $t = 2$ : los números son $3$ y $7$ (suma $10$ , producto $21$ : comprobar).

4. $(7 - t)(7 + t) = 49 - t^2 = 33$ : $t = 4$ , números $3$ y $11$ .

5. $\left(\frac s2 - t\right)\left(\frac s2 + t\right) = \left(\frac s2\right)^2 - t^2 = p$ fuerzas $t^2 = \left(\frac s2\right)^2 - p$ . Existe una solución exactamente cuando esto es $\geq 0$ , es decir, cuando $p \leq \left(\frac s2\right)^2$ — el producto de dos números de una suma dada nunca puede superar el cuadrado de la mitad de la suma (El problema de la cerca de la reina Dido, en el volumen de la escuela secundaria lo conocía).

6. $(x - a)(x - b) = x^2 - (a + b)x + ab$ : el ecuación $x^2 - sx + p = 0$ dice precisamente “ $x$ es uno de dos números con suma $s$ y producto $p$ ”.

7. $(x-5)^2 - 4 = x^2 - 10x + 25 - 4 = x^2 - 10x + 21$ . Diferencia de cuadrados: $(x - 5 - 2)(x - 5 + 2) = (x - 7)(x - 3) = 0$ : soluciones $3$ y $7$ — los números del escriba de la pregunta 3.

8. $x^2 + 6x - 7 = (x + 3)^2 - 16 = 0$ da $(x + 3)^2 = 16$ , $x + 3 = \pm 4$ : $x = 1$ o $x = -7$ .

9. $x^2 + 4x + 5 = (x + 2)^2 + 1 \geq 1 > 0$ para cada $x$ : no hay una solución real. En el formulario $(x + h)^2 + k$ : soluciones existe exactamente cuando $k \leq 0$ (entonces $(x+h)^2 = -k$ tiene los dos raíces $-h \pm \sqrt{-k}$ ); cuando $k > 0$ la expresión permanece positivo.

10. El cuadrado del lado $x$ (área $x^2$ ) con dos Los rectángulos $3 \times x$ ( $6x$ en total) forman una L de área $x^2 + 6x = 7$ ; la esquina $3 \times 3$ que falta (área $9$ ) completa un gran cuadrado de lado $x + 3$ . Agregando $9$ a ambos lados: $(x + 3)^2 = 16$ , entonces $x + 3 = 4$ (las longitudes son positivas) y $x = 1$ . El álgebra y la imagen son el mismo acto.

11. $(x-3)(x+2)$ : negativo entre las raíces. Solución de $< 0$ : $x \in \intoo{-2}{3}$ .

12. $x^2 - 10x + 21 \leq 0$ , es decir $(x - 3)(x - 7) \leq 0$ : entre las raíces, extremos incluidos: $x \in \intcc{3}{7}$ .

13. Cero en $x = 1$ , prohibido en $x = -2$ ; el el cociente es positivo fuera de las raíces: $x \in \intoo{-\infty}{-2} \cup \intco{1}{+\infty}$ .

14. $25 - (x - 5)^2 = 25 - x^2 + 10x - 25 = x(10 - x)$ : identidad verificada. Desde $(x-5)^2 \geq 0$ siempre, $A(x) \leq 25$ , con igualdad exactamente cuando $x = 5$ : el $5 \times 5$ bolígrafo cuadrado, máximo $25$ m $^2$ — el grado 6 tabla, ahora una prueba de dos líneas.

15. Para $x > 0$ , multiplique el reclamo por $x$ : $x^2 + 1 \geq 2x$ , es decir $x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2 \geq 0$ — cierto, con igualdad solo en $x = 1$ . Dividiendo hacia atrás por $x > 0$ conserva todo (Proposición 2.13).

16. Multiplicación cruzada $\frac1x = \frac{x}{1 - x}$ (todas las longitudes positivas): $x^2 = 1 - x$ , es decir $x^2 + x - 1 = 0$ .

17. $x^2 + x - 1 = \left(x + \frac12\right)^2 - \frac54 = 0$ da $x + \frac12 = \pm\frac{\sqrt5}{2}$ . el raíz positiva: $x = \frac{\sqrt5 - 1}{2} \approx 0.618$ .

18. $\varphi = \frac{2}{\sqrt5 - 1} = \frac{2(\sqrt5 + 1)}{(\sqrt5 - 1)(\sqrt5 + 1)} = \frac{2(\sqrt5 + 1)}{5 - 1} = \frac{\sqrt5 + 1}{2} \approx 1.618$ .

19. $\varphi^2 = \frac{(\sqrt5 + 1)^2}{4} = \frac{6 + 2\sqrt5}{4} = \frac{3 + \sqrt5}{2}$ , y $\varphi + 1 = \frac{\sqrt5 + 3}{2}$ : igual. y $\varphi - 1 = \frac{\sqrt5 - 1}{2} = x = \frac1\varphi$ (que así se definió $\varphi$ ). La proporción áurea es el número. cuyo cuadrado suma uno y cuyo recíproco resta uno.

20. $\sqrt5$ es irracional (el problema de irracionalidad del fin de semana del volumen de la escuela secundaria: $5$ no es un cuadrado perfecto), y al agregar $1$ y luego dividir a la mitad se conserva irracionalidad (operaciones racionales, Problema 1.1). Relaciones: $\frac53 \approx 1.667$ , $\frac85 = 1.600$ , $\frac{13}{8} = 1.625$ , $\frac{21}{13} \approx 1.615$ : alternativamente arriba y abajo, acercándose a $\varphi = 1.618\ldots$ — los números de conteo de ritmo de el problema del fin de semana de contar el ritmo del volumen de la escuela secundaria persigue en secreto la sección áurea; el Los capítulos sobre secuencias los atraparán en el acto.