Matemáticas de secundaria · Grades 10–12

22Diferenciación y convexidad

El derivado mide la tasa de cambio instantánea de un función; es el pendiente de la línea tangente a su gráfico. Este capítulo revisa y amplía las reglas de diferenciación, vincula el signo de $f'$ a las variaciones de $f$ , e introduce convexidad, que se rige por el segundo derivado.

22.1 la derivada

Definición 22.1 (Derivada en un punto)

Dejemos que $f$ se defina en intervalo, $I$ y $a \in I$ . El función $f$ es diferenciable en $a$ si el cociente de diferencias

\frac{f(a+h) - f(a)}{h}

tiene un límite finito como $h \to 0$ . Este límite se llama derivada de $f$ en $a$ y se escribe $f'(a)$ . Si $f$ es diferenciable en cada punto de $I$ , el función $f' \colon x \mapsto f'(x)$ es el derivado de $f$ .

Definición 22.2 (recta tangente)

Si $f$ es diferenciable en $a$ , el tangente al curva de $f$ en el punto $(a, f(a))$ es la recta de ecuación

y = f(a) + f'(a)(x - a).

A medida que h disminuye, la línea secante hasta A = (a, f(a)) y (a+h, f(a+h)) (naranja) gira hacia tangente en A (rojo): su pendiente f(a+h)-f(a)/h tiende a f'(a). — A medida que $h$ disminuye, la línea secante hasta $A = (a, f(a))$ y $(a+h, f(a+h))$ (naranja) gira hacia tangente en $A$ (rojo): su pendiente $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ tiende a $f'(a)$ .

Proposición 22.3

Un función diferenciable en $a$ es continuo en $a$ . Lo contrario es falso.

Demostración. Para $h \neq 0$ pequeño, $f(a+h) - f(a) = h \cdot \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ . como $h \to 0$ , el lado derecho tiende a $0 \times f'(a) = 0$ , por lo que $f(a+h) \to f(a)$ . Por el contrario, $x \mapsto \abs{x}$ es continuo en $0$ , pero su cociente de diferencias en $0$ es igual a $\frac{\abs h}{h} = \pm 1$ dependiendo del signo de $h$ , y no tiene límite. ∎

22.1.1 Differentiation rules

Proposición 22.4 (Operaciones)

Sea $u, v$ diferenciable en $I$ y $\lambda \in \R$ . Entonces $u + v$ , $\lambda u$ , $uv$ son diferenciable en $I$ , al igual que $\frac{u}{v}$ donde $v \neq 0$ , y

(u+v)' = u' + v', \quad (\lambda u)' = \lambda u', \quad (uv)' = u'v + uv', \quad \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}.

Prueba de la regla del producto. Escribe el cociente de diferencias de $uv$ en $a$ como

\frac{u(a+h)v(a+h) - u(a)v(a)}{h} = \frac{u(a+h) - u(a)}{h}\,v(a+h) + u(a)\,\frac{v(a+h) - v(a)}{h}.

Como $h \to 0$ , $v(a+h) \to v(a)$ por continuidad (Proposición 22.3), por lo que el lado derecho tiende a $u'(a)v(a) + u(a)v'(a)$ . Las demás reglas se demuestran de manera similar. ∎

Teorema 22.5 (regla de cadena)

Sea $u$ diferenciable en $I$ con valores en $J$ y $g$ diferenciable. en $J$ . Entonces $g \circ u$ es diferenciable en $I$ y

(g \circ u)' = (g' \circ u) \cdot u' .

En particular, para $u$ diferenciable:

(u^n)' = n\,u'\,u^{n-1} \ (n \in \Z), \qquad \left(\sqrt{u}\right)' = \frac{u'}{2\sqrt{u}} \ (u > 0), \qquad \left(\eu^{u}\right)' = u'\,\eu^{u}.

Boceto de prueba. Cuando $u(a+h) \neq u(a)$ para $h$ sea pequeño, escriba

\frac{g(u(a+h)) - g(u(a))}{h} = \frac{g(u(a+h)) - g(u(a))}{u(a+h) - u(a)} \cdot \frac{u(a+h) - u(a)}{h}.

Como $h \to 0$ , $u(a+h) \to u(a)$ , el primer factor tiende a $g'(u(a))$ y el segundo a $u'(a)$ . (Una prueba completa debe manejar el caso donde $u(a+h) = u(a)$ para $h$ arbitrariamente pequeño; Este punto técnico es tratado en universidad.) ∎

Ejemplo 22.6

El derivados habitual, válido sobre el dominios natural:

(x^n)' = nx^{n-1}, \quad \left(\frac{1}{x}\right)' = -\frac{1}{x^2}, \quad (\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}, \quad (\cos x)' = -\sin x, \quad (\sin x)' = \cos x .

El primero se prueba por inducción a partir de la regla del producto, y los dos últimos en Capítulo 24.

22.2 Variaciones y extremos

Teorema 22.7 (Signo de la derivada y variaciones)

Sea $f$ diferenciable en un intervalo $I$ .

$f$ es creciente en $I$ si y sólo si $f' \geq 0$ en $I$ .
$f$ es decreciente en $I$ si y solo si $f' \leq 0$ en $I$ .
Si $f' > 0$ en $I$ excepto en un número finito de puntos donde desaparece, entonces $f$ es estrictamente creciente en $I$ .

prueba parcial. Si $f$ es creciente, cada cociente de diferencias $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ es $\geq 0$ , y pasar al límite da $f'(a) \geq 0$ . Las implicaciones inversas se basan en el teorema del valor significar, probado en la universidad; son admitido a este nivel. ∎

Definición 22.8 (extremo local)

$f$ tiene un máximo local en $a$ si $f(x) \leq f(a)$ para todo $x$ cerca de $a$ ; los mínimos locales se definen simétricamente.

Proposición 22.9 (Condición de primer orden)

Si $f$ es diferenciable en un abierto intervalo $I$ y tiene un local extremo en $a \in I$ , luego $f'(a) = 0$ . Lo contrario es falso ( $f(x) = x^3$ en $a = 0$ ).

Demostración. Digamos que $a$ es un máximo local. Para $h > 0$ pequeño, $\frac{f(a+h)-f(a)}{h} \leq 0$ , por lo que dejar $h \to 0^+$ da $f'(a) \leq 0$ ; para $h < 0$ el cociente es $\geq 0$ , lo que da $f'(a) \geq 0$ . Por lo tanto $f'(a) = 0$ . ∎

En un extremo local dentro de un intervalo abierto, el tangente (naranja) es horizontal: f'(a) = 0. Aquí f(x) = x3 - 3x, con un máximo local en -1 y un mínimo local en 1. — En un extremo local dentro de un intervalo abierto, el tangente (naranja) es horizontal: $f'(a) = 0$ . Aquí $f(x) = x^3 - 3x$ , con un máximo local en $-1$ y un mínimo local en $1$ .

Método 22.10 (Tabla de variaciones)

Para estudiar un función $f$ : determine su dominio y sus límites en el límite; calcular $f'$ y factorizarlo; determinar el signo de $f'$ en cada subintervalo; registrar todo en un tabla de variaciones, marcando extremos; deducir el número de soluciones de $f(x) = k$ usando el teorema de biyección (Teorema 21.15).

22.3 Convexidad

Definición 22.11 (Función convexa)

Un función $f$ definido en un intervalo $I$ es convexo en $I$ si cada acorde de su gráfico se encuentra por encima del gráfico: para todos $a, b \in I$ y $t \in \intcc{0}{1}$ ,

f\bigl((1-t)a + t b\bigr) \leq (1-t) f(a) + t f(b).

Es cóncavo si se cumple la desigualdad inversa ( $-f$ convexa).

A convexo función: cada cuerda (roja) se encuentra por encima del gráfico, y el gráfico se encuentra encima de cada uno de sus tangentes (naranja). El segmento discontinuo muestra la brecha entre f ((1-t)a+tb ) y (1-t)f(a)+tf(b). — A convexo función: cada cuerda (roja) se encuentra por encima del gráfico, y el gráfico se encuentra encima de cada uno de sus tangentes (naranja). El segmento discontinuo muestra la brecha entre $f\bigl((1-t)a+tb\bigr)$ y $(1-t)f(a)+tf(b)$ .

Teorema 22.12 (Convexidad y derivadas)

Sea $f$ diferenciable en un intervalo $I$ . Los siguientes son equivalentes:

$f$ es convexo en $I$ ;
$f'$ es creciente en $I$ ;
el gráfico de $f$ se encuentran encima de cada uno de sus tangentes.

Si $f$ es el doble de diferenciable, estos también equivalen a $f'' \geq 0$ en $I$ .

Prueba de (2) $\Rightarrow$ (3). Reparar $a \in I$ y configurar $g(x) = f(x) - f(a) - f'(a)(x-a)$ , la brecha entre la curva y el tangente en $a$ . Entonces $g$ es diferenciable y $g'(x) = f'(x) - f'(a)$ . Si $f'$ es creciente, $g' \leq 0$ en $I \cap \intoc{-\infty}{a}$ y $g' \geq 0$ en $I \cap \intco{a}{+\infty}$ : $g$ disminuye antes de $a$ y aumenta después, entonces $g$ alcanza su mínimo $g(a) = 0$ , por lo tanto $g \geq 0$ . Las implicaciones restantes se admiten a este nivel; la equivalencia con $f'' \geq 0$ se deriva de Teorema 22.7 aplicado a $f'$ . ∎

Definición 22.13 (Punto de inflexión)

Un punto donde la curva de $f$ cruza su tangente es un inflexión punto. Para $f$ dos veces diferenciable, inflexión Los puntos son los puntos donde $f''$ cambia de signo.

Ejemplo 22.14

$f(x) = x^3$ tiene $f''(x) = 6x$ : $f$ es cóncavo en $\intoc{-\infty}{0}$ , convexo en $\intco{0}{+\infty}$ , con un punto de inflexión en el origen, donde la curva cruza su tangente (el eje $x$ ).

El punto de inflexión de x x3 en el origen: la curva cruza su tangente (naranja), cóncavo a la izquierda, convexo a la derecha. — El punto de inflexión de $x \mapsto x^3$ en el origen: la curva cruza su tangente (naranja), cóncavo a la izquierda, convexo a la derecha.

Ejemplo 22.15 (Desigualdades de convexidad)

El exponencial es convexo en $\R$ (su segundo derivado es en sí mismo, positivo). Su tangente en $0$ es $y = 1 + x$ , por lo que

\eu^x \geq 1 + x \quad \text{for all } x \in \R .

Estos tangente line inequalities son un producto estándar de convexidad.

Método 22.16 (convexidad)

Para demostrar una desigualdad $f(x) \geq ax + b$ : identifica la recta como tangente de un convexo $f$ e invocar Teorema 22.12(3).
Para localizar puntos de inflexión: resolver $f''(x) = 0$ y comprobar que $f''$ cambia de signo allí.
En un tabla de variaciones, convexidad refina el boceto de la curva. (en qué dirección se dobla).

22.4 Ceremonias

Ejercicio 22.1 ★

Diferenciar los siguientes funciones en su dominios:

f(x) = x^3 - 5x + 2, \quad g(x) = \frac{x}{x^2+1}, \quad h(x) = (2x+1)^5, \quad k(x) = \sqrt{x^2 + 1}.

Solución

Solución de Ejercicio 22.1.

$f'(x) = 3x^2 - 5$ .

Regla del cociente: $g'(x) = \dfrac{(x^2+1) - x\cdot 2x}{(x^2+1)^2} = \dfrac{1 - x^2}{(x^2+1)^2}$ .

Regla de la cadena con $u = 2x+1$ : $h'(x) = 5 \cdot 2 \cdot (2x+1)^4 = 10(2x+1)^4$ .

Regla de la cadena con $u = x^2 + 1$ : $k'(x) = \dfrac{2x}{2\sqrt{x^2+1}} = \dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}$ .

Ejercicio 22.2 ★

Dale el ecuación del tangente a la curva de $f(x) = x^2 - 3x + 1$ en el punto de abscisa $a = 2$ , y determine las posiciones de la curva en relación con este tangente.

Solución

Solución de Ejercicio 22.2.

$f'(x) = 2x - 3$ , entonces $f(2) = -1$ y $f'(2) = 1$ : el tangente es $y = -1 + (x - 2) = x - 3$ . La brecha es

f(x) - (x - 3) = x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2 \geq 0 ,

por lo que la curva queda por encima de tangente en todas partes, tocándola sólo en $x = 2$ (como se esperaba: $f$ es convexo).

Ejercicio 22.3 ★

Utilizando la definición de derivado, calcule

\lim_{x \to 0} \frac{(1+x)^{100} - 1}{x} \qquad\text{and}\qquad \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{4+h} - 2}{h}.

Solución

Solución de Ejercicio 22.3.

Ambos son cocientes de diferencias. Con $f(x) = (1+x)^{100}$ en $0$ : $f'(x) = 100(1+x)^{99}$ , por lo que el límite es $f'(0) = 100$ . Con $g(x) = \sqrt{x}$ en $4$ : $g'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ , entonces el límite es $g'(4) = \frac14$ .

Ejercicio 22.4 ★★

Estudie el función $f(x) = \dfrac{x^2 + 3}{x - 1}$ en su dominio: límites, derivado, tabla de variaciones, extremos locales.

Solución

Solución de Ejercicio 22.4.

Dominio $\R \setminus \{1\}$ . Límites: en $\pm\infty$ , $f(x) \sim x \to \pm\infty$ ; en $1^\pm$ , numerador $\to 4 > 0$ y denominador $\to 0^\pm$ , entonces $f \to \pm\infty$ ; la línea $x = 1$ es una asíntota vertical.

f'(x) = \frac{2x(x-1) - (x^2+3)}{(x-1)^2} = \frac{x^2 - 2x - 3}{(x-1)^2} = \frac{(x-3)(x+1)}{(x-1)^2}.

Por lo tanto $f' > 0$ en $\intoo{-\infty}{-1}$ y $\intoo{3}{+\infty}$ , $f' < 0$ en $\intoo{-1}{1}$ y $\intoo{1}{3}$ . El función aumenta a un máximo local $f(-1) = -2$ , disminuye a $-\infty$ , salta a $+\infty$ después de asíntota, disminuye a un mínimo $f(3) = 6$ local y luego aumenta.

Ejercicio 22.5 ★★

Una caja sin tapa está hecha de una hoja cuadrada de cartón de lado $30\,$ cm cortando cuadrados iguales del lado $x$ de las esquinas y doblando hacia arriba los lados. Determine $x$ maximizando el volumen de la caja.

Solución

Solución de Ejercicio 22.5.

Para $x \in \intoo{0}{15}$ , la caja tiene una base cuadrada de lado $30 - 2x$ y altura $x$ , entonces

V(x) = x(30 - 2x)^2 .

$V'(x) = (30-2x)^2 + x \cdot 2(30-2x)(-2) = (30-2x)(30 - 2x - 4x) = (30-2x)(30-6x)$ . En $\intoo{0}{15}$ , $30 - 2x > 0$ , entonces $V'$ tiene el signo de $30 - 6x$ : positivo antes de $x = 5$ , negativo después. El volumen es máximo para $x = 5$ cm, dando $V(5) = 5 \times 20^2 = 2000\ \text{cm}^3$ .

Ejercicio 22.6 ★★

Deje $f(x) = x^4 - 4x^3 + 10$ .

Calcule $f''$ y determine convexidad intervalos y inflexión puntos de $f$ .
Mostrar que el tangente en el punto de inflexión de abscisa $2$ cruza la curva allí.

Solución

Solución de Ejercicio 22.6.

1. $f'(x) = 4x^3 - 12x^2$ y $f''(x) = 12x^2 - 24x = 12x(x-2)$ . Así, $f'' > 0$ en $\intoo{-\infty}{0}$ y en $\intoo{2}{+\infty}$ (convexo), $f'' < 0$ en $\intoo{0}{2}$ (cóncavo). $f''$ cambia de signo en $0$ y en $2$ : ambos son puntos de inflexión.

2. En $a = 2$ : $f(2) = 16 - 32 + 10 = -6$ , $f'(2) = 32 - 48 = -16$ , tangente $y = -6 - 16(x-2) = -16x + 26$ . La brecha es

g(x) = f(x) + 16x - 26 = x^4 - 4x^3 + 16x - 16 .

Dado que $g(2) = g'(2) = g''(2) = 0$ , $(x-2)^3$ divide $g$ ; la división da $g(x) = (x-2)^3(x+2)$ . Cerca de $x = 2$ , $x + 2 > 0$ , por lo que $g$ tiene el signo de $(x-2)^3$ : negativo antes de $2$ , positivo después. La curva cruza el tangente: $2$ es de hecho un punto de inflexión.

Ejercicio 22.7 ★★

Usando una desigualdad de línea tangente, demuestre que para todo $x > 0$ ,

\sqrt{x} \leq \frac{x + 1}{2},

e identificar cuándo se cumple la igualdad. (Pista: la raíz cuadrada es cóncavo).

Solución

Solución de Ejercicio 22.7.

El función $f(x) = \sqrt{x}$ satisface $f''(x) = -\frac{1}{4}x^{-3/2} < 0$ en $\intoo{0}{+\infty}$ : es cóncavo, entonces su gráfico se encuentra abajo cada tangente. El tangente en $a = 1$ es

y = f(1) + f'(1)(x - 1) = 1 + \tfrac12 (x-1) = \frac{x+1}{2},

de donde $\sqrt{x} \leq \frac{x+1}{2}$ para todos los $x > 0$ . La igualdad significa la curva toca el tangente, lo que ocurre sólo en el punto de tangencia $x = 1$ . (Equivalentemente: $\left(\sqrt x - 1\right)^2 \geq 0$ .)

Ejercicio 22.8 ★★★

Sea $f$ convexo y diferenciable en $\R$ , y supongamos que $f'$ desaparece en algún momento $a$ . Demuestre que $f(a)$ es el global mínimo de $f$ en $\R$ .

Solución

Solución de Ejercicio 22.8.

Por Teorema 22.12, el gráfico de un diferenciable convexo función se encuentra encima de cada uno de sus tangentes. El tangente en $a$ es horizontal ( $f'(a) = 0$ ), de ecuación $y = f(a)$ . Por lo tanto $f(x) \geq f(a)$ para todos $x \in \R$ : $f(a)$ es el mínimo global.

Ejercicio 22.9 ★★★

Demuestre que entre todos los rectángulos de perímetro fijo $p$ , el cuadrado tiene el área más grande. Luego demuestre que entre todos los rectángulos de área fija $A$ , el El cuadrado tiene el perímetro más pequeño y explica cómo se relacionan las dos afirmaciones. relacionado.

Solución

Solución de Ejercicio 22.9.

Perímetro fijo. Un rectángulo con lados $x$ y $\frac{p}{2} - x$ ( $0 < x < \frac p2$ ) tiene el área $S(x) = x\left(\frac p2 - x\right)$ . entonces $S'(x) = \frac p2 - 2x$ desaparece en $x = \frac p4$ , positivo antes y negativo después: el máximo está en $x = \frac{p}{4}$ , donde ambos lados son iguales $\frac p4$ — un cuadrado.

Área fija. Los lados $x$ y $\frac Ax$ dan perímetro $P(x) = 2\left(x + \frac Ax\right)$ , con $P'(x) = 2\left(1 - \frac{A}{x^2}\right)$ , negativo para $x < \sqrt A$ y positivo después: mínimo en $x = \sqrt{A}$ , un cuadrado nuevamente.

Relación. Las dos declaraciones son duales. Supongamos un rectángulo no cuadrado minimizó el perímetro en el área fija $A$ ; el cuadrado del mismo perímetro tendría el área $> A$ por la primera declaración, y la reduciría homotéticamente al área $A$ disminuiría estrictamente su perímetro — contradiciendo minimalidad. Por tanto, cada afirmación implica la otra.

22.5 Problema: el cálculo del socorrista

Problema 22.1

Problema del fin de semana — la ruta de rescate más rápida obedece La ley de la luz de Snell, la convexidad certifica cada óptima, y la la lata de refresco ideal es exactamente tan alta como ancha

Un socorrista ve a un nadador en problemas, en diagonal por la playa, en el agua. Correr es más rápido que nadar: el La línea recta es no la ruta más rápida. La ruta que minimiza las curvas de tiempo en la costa, y su ley de flexión es Precisamente la ley por la que la luz se refracta al entrar en el agua: la naturaleza, también diferencia. Este problema entrena la regla de la cadena. (Teorema 22.5), realiza el rescate, cosecha el desigualdades de convexidad (Teorema 22.12), y diseña una lata.

Parte I — Chain-rule fluency.

Diferenciar: $\left(3x^2 + 1\right)^5$ ; $\sqrt{x^2 + 9}$ ; $\dfrac{1}{x^2 + 1}$ .
Entregue el tangente a $y = \sqrt{x^2 + 9}$ en $x = 4$ .
Construya el tabla de variaciones de $f(x) = \dfrac{x}{x^2 + 1}$ en $\R$ (extremos incluidos).
Para $g(x) = x^3 - 3x^2 + 4$ : tabla de variaciones y tabla convexidad ( $g''$ ), con el punto de inflexión (Definición 22.13).
Calcule tangente a $g$ en su punto de inflexión, y mostrar que $g(x) - (\text{tangent}) = (x - 1)^3$ : ¿Qué dice el cambio de signo sobre cómo funciona el tangente? encuentra la curva en una inflexión?

Parte II — The rescue. Línea costera a lo largo del eje $x$ ; El salvavidas se encuentra en la arena en $A(0, 30)$ , el nadador espera en $B(40, -20)$ (metros). el El guardia corre a $5$ m/s sobre arena, nada a $2$ m/s y entra al agua en un punto $(x, 0)$ de su elección.

Modelo : expresar el tiempo total de rescate $T(x)$ y decir por qué. sólo $x \in \intcc{0}{40}$ merece consideración.
Diferenciar $T$ (regla de la cadena en el trabajo — dos veces).
Sea $\theta_1$ el ángulo de la pierna que corre con el perpendicular a la orilla, $\theta_2$ la de la pierna de natación. mostrar eso $\sin\theta_1 = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 900}}$ y que la condición $T'(x) = 0$ dice

$\frac{\sin\theta_1}{5} = \frac{\sin\theta_2}{2}$

— ley de snell, con las dos velocidades en lugar de las velocidades de la luz en el aire y el agua.
El tramo recto $[AB]$ cruza la orilla en $x = 24$ . Calcular $T(24)$ , $T(40)$ (ejecutar a lo largo del playa, luego nade recto) y $T(0)$ : es el ¿La línea recta geométrica es la más rápida? ¿Es extremo? estrategia?
Localice el punto de entrada óptimo en dicotomía en $T'$ (es $\approx 33.7$ m): dar $x^*$ al medidor y el tiempo récord $T(x^*)$ a la décima de segundo. ¿Cuánto ahorra la curva óptima sobre la recta? línea?
¿Por qué el punto crítico es global mínimo? (Cada término de $T$ es convexo — admita que una suma de convexo funciones es convexo — y aplica Ejercicio 22.8.)
El principio de Fermat establece que la luz siempre viaja en dirección ruta de al menos tiempo. Deducir por qué un rayo de luz se desvía exactamente en la superficie al entrar en el agua (donde la luz es más lenta), y nombrar lo cotidiano observación que esto explica lo de un lápiz en un vaso de agua.

Parte III — Convexidad’s harvest.

Demuestre que $x \mapsto x^2$ es convexo y pruebe la punto medio desigualdad $\left(\frac{a + b}{2}\right)^2 \leq \frac{a^2 + b^2}{2}$ dos veces: una vez de convexidad, una vez por en expansión $(a - b)^2 \geq 0$ .
Deduce que el quadratic significar $\sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2}}$ domina la aritmética significar, y montar la cadena completa de la serie — armónico $\leq$ geométrico $\leq$ aritmético $\leq$ cuadrático — verificando los cuatro en $a = 2$ , $b = 8$ .
Tangente debajo de la curva: $x \mapsto \frac1x$ es convexo en $\intoo{0}{+\infty}$ ; escriba su tangente en $1$ y deducir la desigualdad $\frac1x \geq 2 - x$ para todos los $x > 0$ . ¿Dónde es un igualdad?
Inflexión en la naturaleza: durante una epidemia, el El recuento acumulado de casos sigue una curva en forma de S. que sucede en su punto de inflexión, y ¿por qué es esa fecha? ¿El que vigilan los epidemiólogos? Relacionarse con el signo. del segundo derivado en cada lado.

Parte IV — The ideal can. Una lata cilíndrica debe contener $V = 330$ cm $^3$ con la menor metal: superficie $S = 2\pi r^2 + 2\pi r h$ , restricción $\pi r^2 h = V$ .

Expreso $S(r) = 2\pi r^2 + \dfrac{2V}{r}$ , diferenciar y calcular el radio óptimo y altura para $V = 330$ (precisión milimétrica).
Demuestre la elegante ley general: en el óptimo, $h = 2r$ — la lata ideal es exactamente tan alta como es de ancho.
Marque $S''(r) > 0$ y concluya (vía Ejercicio 22.8 nuevamente) que lo óptimo es globales. Las latas de refresco reales son visiblemente más altas que anchas: Nombra una razón no matemática.
Finale — el proceso de optimización: modelo, pregunte al derivado, resolver puntos críticos, certificar con convexidad o una tabla, interpretar. Ejecute la lista sobre el salvavidas, la lata y el rayo más fuerte del grado 11 (Problema 12.1) — e indicar cuál es el El principio dice sobre quién más dirige este oleoducto.

Solución

Solución de Problema 22.1.

1. $30x\left(3x^2 + 1\right)^4$ ; $\dfrac{x}{\sqrt{x^2 + 9}}$ ; $-\dfrac{2x}{\left(x^2 + 1\right)^2}$ .

2. $y(4) = 5$ , pendiente $\frac45$ : tangente $y = 5 + \frac45(x - 4)$ , i.e. $y = \frac45 x + \frac95$ .

3. $f'(x) = \frac{(x^2 + 1) - x \cdot 2x}{(x^2+1)^2} = \frac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2}$ : negativo, positivo, negativo en $-1$ y $1$ : mínimo $f(-1) = -\frac12$ , máximo $f(1) = \frac12$ , con asíntota horizontal $0$ en ambos lados.

4. $g'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)$ : creciente, decreciente, creciente en $0$ y $2$ ; máximo local $g(0) = 4$ , mínimo local $g(2) = 0$ . $g''(x) = 6x - 6$ : cóncavo antes de $1$ , convexo después: inflexión en $(1, 2)$ .

5. Tangente en $1$ : pendiente $g'(1) = -3$ : $y = 2 - 3(x - 1) = -3x + 5$ . Diferencia: $x^3 - 3x^2 + 4 - (-3x + 5) = x^3 - 3x^2 + 3x - 1 = (x - 1)^3$ , que cambia de signo en $1$ : el tangente cruces la curva — el comportamiento de la firma en un punto de inflexión, donde la curva cambia de lado.

6. $T(x) = \dfrac{\sqrt{x^2 + 900}}{5} + \dfrac{\sqrt{(40 - x)^2 + 400}}{2}$ . Entrando antes de $0$ o más allá de $40$ alarga las piernas ambos: inútil.

7. $T'(x) = \dfrac{x}{5\sqrt{x^2 + 900}} - \dfrac{40 - x}{2\sqrt{(40 - x)^2 + 400}}$ .

8. En el triángulo corrido, el lado a lo largo de la orilla es $x$ y la hipotenusa $\sqrt{x^2 + 900}$ : la seno de la El ángulo con la perpendicular es precisamente su cociente. (opuesto sobre hipotenusa); igualmente $\sin\theta_2 = \frac{40 - x}{\sqrt{(40-x)^2 + 400}}$ . entonces $T'(x) = 0$ lee $\frac{\sin\theta_1}{5} = \frac{\sin\theta_2}{2}$ — Snell ley con velocidades $5$ y $2$ .

9. $T(24) \approx 20.5$ s; $T(40) = 10 + 10 = 20$ s; $T(0) = 6 + \sqrt{2000}/2 \approx 28.4$ s. la linea recta pierde incluso al "correr todo el camino y luego nadar derecho" — y ambos pierden en el camino refractado.

10. Dicotomía en $T'$ (negativo en $24$ , positivo en $40$ ) converge a $x^* \approx 34$ m, con $T(x^*) \approx 19.5$ s: aproximadamente un segundo más rápido que el línea recta — la diferencia entre un rescate y un tragedia.

11. Cada tiempo de tramo es un convexo función de $x$ (una rama $\sqrt{\text{quadratic}}$ ), por lo que $T$ es convexo, y una El punto crítico de un convexo diferenciable función es su global mínimo (Ejercicio 22.8): $x^*$ no es simplemente estacionario, es inmejorable.

12. La luz en el agua es más lenta; por el principio de Fermat el camino más rápido entre el aire y el agua se curva en la superficie exactamente Ley de Snell: para que los rayos de un lápiz sumergido lleguen al ojo doblado, y el cerebro, extrapolando líneas rectas, ve la lápiz roto en la línea de flotación.

13. $(x^2)'' = 2 > 0$ : convexo. Convexidad en el punto medio: $f\left(\frac{a+b}{2}\right) \leq \frac{f(a) + f(b)}{2}$ , que es el reclamo. A mano: $\frac{a^2 + b^2}{2} - \left(\frac{a+b}{2}\right)^2 = \frac{(a - b)^2}{4} \geq 0$ .

14. Tomando raíces cuadradas (creciente) en la pregunta 13: $\frac{a + b}{2} \leq \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2}}$ . cadena completa en $2, 8$ : armónico $\frac{2 \cdot 16}{10} = 3.2$ ; geométrico $\sqrt{16} = 4$ ; aritmética $5$ ; cuadrático $\sqrt{34} \approx 5.83$ : cada significar se inclina ante el siguiente.

15. Tangente a $\frac1x$ en $1$ : valor $1$ , pendiente $-1$ : $y = 2 - x$ . Convexo las curvas se sientan por encima de sus tangentes (Teorema 22.12): $\frac1x \geq 2 - x$ para todos $x > 0$ , con igualdad exactamente en el punto de contacto $x = 1$ .

16. En la inflexión, el recuento de casos a diario (el derivado) picos: el crecimiento deja de acelerarse y comienza desacelerar — la primera señal matemática de que la onda está cambiando, mucho antes de que caigan los propios conteos. Antes de eso, $f'' > 0$ (cada día peor que el anterior); después de eso, $f'' < 0$ (sigue creciendo, pero más lentamente).

17. $S'(r) = 4\pi r - \frac{2V}{r^2} = 0$ da $r^3 = \frac{V}{2\pi} = \frac{330}{2\pi}$ : $r \approx 3.74$ cm, y $h = \frac{330}{\pi r^2} \approx 7.49$ cm.

18. $h = \frac{V}{\pi r^2} = \frac{2\pi r^3}{\pi r^2} = 2r$ en el óptimo: la altura es igual al diámetro, cualquiera que sea el volumen.

19. $S''(r) = 4\pi + \frac{4V}{r^3} > 0$ : convexo, entonces el radio crítico es el mínimo global. Soporte de latas reales más alto para agarre, apilamiento, presencia en estantes y más grueso metal superior/inferior — la optimización siempre minimiza exactamente lo que escribiste, no lo que quisiste decir.

20. Salvavidas: modelo $T(x)$ , diferenciar, Snell, convexidad, un segundo ahorrado. Puede: modelo $S(r)$ , diferenciar, $h = 2r$ , convexidad, metal salvado. Haz (Problema 12.1): modelo $S(w)$ , diferenciar, $d = w\sqrt2$ , mesa, rigidez ganada. Y por Fermat En principio, la luz misma recorre la tubería en cada superficie que cumple — la naturaleza fue el primer optimizador.