Matemáticas de secundaria · Grades 10–12

5Geometría de coordenadas

La gran idea de Descartes fue describir puntos mediante pares de números, convirtiendo problemas de geometría en cálculos. Con sólo dos fórmulas — la punto medio y la distancia — se puede demostrar que un triángulo es isósceles, que un cuadrilátero es un paralelogramo, o que tres puntos están alineados, sin trazar una sola línea auxiliar.

5.1 Coordenadas en el avión.

Definición 5.1 (sistema de coordenadas)

Un sistema de coordenadas del avión consta de un origen $O$ y dos ejes graduados hasta $O$ : el horizontal Eje $x$ y el eje vertical $y$ . Cada punto $M$ tiene un par único. de coordenadas $(x, y)$ : es abscisa $x$ y sus ordenada $y$ . El sistema es ortonormal cuando los ejes están perpendicular y lleva la misma unidad de longitud. Todos los sistemas en este capítulo son ortonormales.

Cada punto del plano está situado mediante dos números: primero el abscisa (horizontal), luego ordenada (vertical).

5.2 Punto medio de un segmento

Proposición 5.2 (Fórmula del punto medio)

Sean $A(x_A, y_A)$ y $B(x_B, y_B)$ . El punto medio $I$ del segmento $[AB]$ tiene coordenadas

I\left(\frac{x_A + x_B}{2},\ \frac{y_A + y_B}{2}\right).

Demostración. Considere el coordenadas horizontal. Pasando de $A$ a $B$ , el abscisa cambios por $x_B - x_A$ ; el punto a mitad de camino tiene abscisa

x_A + \frac{x_B - x_A}{2} = \frac{2x_A + x_B - x_A}{2} = \frac{x_A + x_B}{2},

el promedio de los dos abscisas. El mismo cálculo se aplica a la ordenadas. ∎

Ejemplo 5.3

Con $A(-1, 4)$ y $B(5, -2)$ , el punto medio de $[AB]$ es

I\left(\frac{-1 + 5}{2},\ \frac{4 + (-2)}{2}\right) = I(2, 1).

La fórmula también se ejecuta al revés: si $A(-1, 4)$ y punto medio son $I(2, 1)$ , entonces $B$ satisface $\frac{-1 + x_B}{2} = 2$ y $\frac{4 + y_B}{2} = 1$ , entonces $x_B = 5$ y $y_B = -2$ : el punto $B$ es el simétrico de $A$ sobre $I$ .

5.3 Distancia entre dos puntos

Teorema 5.4 (Fórmula de distancia)

En un sistema ortonormal, la distancia entre $A(x_A, y_A)$ y $B(x_B, y_B)$ es

AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}.

Demostración. Sea $C$ el punto $(x_B, y_A)$ : tiene la misma altura que $A$ y el mismo abscisa que $B$ , por lo que el triángulo $ACB$ tiene un ángulo recto en $C$ . su Los catetos son segmentos horizontales y verticales, de longitudes. $AC = \abs{x_B - x_A}$ y $CB = \abs{y_B - y_A}$ . Por el pitagórico teorema,

AB^2 = AC^2 + CB^2 = (x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2,

y tomando la raíz cuadrada (ambos lados no negativos) se obtiene la fórmula. ∎

La fórmula de la distancia es el teorema de Pitágoras aplicado a la triángulo rectángulo ACB construido sobre un cateto horizontal y uno vertical. — La fórmula de la distancia es el teorema de Pitágoras aplicado a la triángulo rectángulo $ACB$ construido sobre un cateto horizontal y uno vertical.

Ejemplo 5.5

Con $A(1, 1)$ y $B(5, 3)$ :

AB = \sqrt{(5-1)^2 + (3-1)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt 5 .

Las distancias generalmente se mantienen en forma exacta (raíz cuadrada); solo vuelta en el final si se necesita una respuesta decimal.

Observación 5.6

No importa el orden de los puntos: $(x_A - x_B)^2 = (x_B - x_A)^2$ . ¡Pero no te olvides de los cuadrados! la distancia es no $\abs{x_B - x_A} + \abs{y_B - y_A}$ .

5.4 Usando las fórmulas en geometría.

Método 5.7 (Naturaleza de un triangulo)

Dados tres puntos $A$ , $B$ , $C$ por su coordenadas:

calcula las tres longitudes al cuadrado $AB^2$ , $AC^2$ , $BC^2$ con el fórmula de distancia (mantener cuadrados evita raíces cuadradas);
dos longitudes iguales al cuadrado $\Rightarrow$ el triángulo es isósceles;
si la longitud al cuadrado más grande es la suma de las otras dos, la triángulo es en ángulo recto en el vértice opuesto al más largo lado, por el inverso del teorema de Pitágoras.

Ejemplo 5.8

Sean $A(0, 1)$ , $B(4, 3)$ y $C(2, -3)$ . entonces

\begin{align*} AB^2 &= (4-0)^2 + (3-1)^2 = 16 + 4 = 20, \\ AC^2 &= (2-0)^2 + (-3-1)^2 = 4 + 16 = 20, \\ BC^2 &= (2-4)^2 + (-3-3)^2 = 4 + 36 = 40 . \end{align*}

Primero, $AB^2 = AC^2$ , entonces $AB = AC$ : el triángulo es isósceles en $A$ . Además $AB^2 + AC^2 = 40 = BC^2$ , por lo contrario del pitagórico teorema el triángulo también es rectángulo en $A$ .

Método 5.9 (Reconociendo un paralelogramo)

Un cuadrilátero $ABCD$ es un paralelogramo exactamente cuando sus diagonales $[AC]$ y $[BD]$ tienen el mismo punto medio. Entonces: calcule tanto puntos medios con la fórmula punto medio y compararlos.

Ejemplo 5.10

Sean $A(-1, 0)$ , $B(2, 2)$ , $C(5, 1)$ y $D(2, -1)$ . El punto medio de $[AC]$ es $\left(\frac{-1+5}{2}, \frac{0+1}{2}\right) = (2, \frac12)$ ; el punto medio de $[BD]$ es $\left(\frac{2+2}{2}, \frac{2-1}{2}\right) = (2, \frac12)$ . Coinciden, por lo que $ABCD$ es un paralelogramo.

ABCD es un paralelogramo porque sus dos diagonales comparten lo mismo punto medio I(2, 1/2). — $ABCD$ es un paralelogramo porque sus dos diagonales comparten lo mismo punto medio $I(2, \frac12)$ .

5.5 Ceremonias

Ejercicio 5.1 ★

Sean $A(2, 5)$ y $B(-4, 1)$ . Calcular el coordenadas del punto medio de $[AB]$ y la distancia $AB$ .

Solución

Solución de Ejercicio 5.1.

Punto medio: $\left(\frac{2 + (-4)}{2}, \frac{5 + 1}{2}\right) = (-1, 3)$ . Distancia:

AB = \sqrt{(-4 - 2)^2 + (1 - 5)^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}.

Ejercicio 5.2 ★

Sean $A(3, -2)$ y $I(1, 2)$ . Encuentra el coordenadas del punto $B$ tal que $I$ es el punto medio de $[AB]$ .

Solución

Solución de Ejercicio 5.2.

$I$ es el punto medio de $[AB]$ significa $\frac{3 + x_B}{2} = 1$ y $\frac{-2 + y_B}{2} = 2$ , entonces $x_B = -1$ y $y_B = 6$ : $B(-1, 6)$ .

Ejercicio 5.3 ★

¿Cuál de los puntos $P(4, 1)$ , $Q(-3, 2)$ y $R(0, -5)$ está más cerca del origen $O(0,0)$ ? Responde con distancias exactas.

Solución

Solución de Ejercicio 5.3.

$OP = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17}$ ; $OQ = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}$ ; $OR = \sqrt{0 + 25} = 5 = \sqrt{25}$ . Desde $13 < 17 < 25$ , el cuadrado siendo la raíz creciente, $Q$ es la más cercana al origen.

Ejercicio 5.4 ★

Trace los puntos $A(1, 2)$ , $B(5, 4)$ , $C(7, 0)$ en papel gráfico y luego muestre mediante cálculo que el triángulo $ABC$ es isósceles. ¿Es en ángulo recto?

Solución

Solución de Ejercicio 5.4.

Longitudes al cuadrado:

\begin{align*} AB^2 &= (5-1)^2 + (4-2)^2 = 16 + 4 = 20, \\ BC^2 &= (7-5)^2 + (0-4)^2 = 4 + 16 = 20, \\ AC^2 &= (7-1)^2 + (0-2)^2 = 36 + 4 = 40 . \end{align*}

$AB = BC$ : el triángulo es isósceles en $B$ . Además $AB^2 + BC^2 = 40 = AC^2$ : por el inverso del teorema de Pitágoras también tiene un ángulo recto en $B$ .

Ejercicio 5.5 ★★

Sean $A(-2, 1)$ , $B(1, 3)$ , $C(4, 1)$ y $D(1, -1)$ .

Demuestre que $ABCD$ es un paralelogramo.
Calcula $AB$ y $BC$ . ¿ $ABCD$ es un rombo (todos los lados iguales)?
Calcula $AC$ y $BD$ . ¿Es $ABCD$ un rectángulo (diagonales iguales)?

Solución

Solución de Ejercicio 5.5.

1. Punto medio de $[AC]$ : $\left(\frac{-2+4}{2}, \frac{1+1}{2}\right) = (1, 1)$ ; punto medio de $[BD]$ : $\left(\frac{1+1}{2}, \frac{3+(-1)}{2}\right) = (1, 1)$ . lo mismo punto medio: $ABCD$ es un paralelogramo.

2. $AB^2 = 3^2 + 2^2 = 13$ y $BC^2 = 3^2 + (-4)^2 = 25$ : $AB \neq BC$ , no un rombo.

3. $AC^2 = 6^2 + 0^2 = 36$ y $BD^2 = 0^2 + (-4)^2 = 16$ : $AC \neq BD$ , no un rectángulo. $ABCD$ es un paralelogramo simple.

Ejercicio 5.6 ★★

El círculo con centro $\Omega(2, 1)$ y radio $5$ consta de todos puntos a la distancia $5$ de $\Omega$ . ¿Cuál de los puntos $A(5, 5)$ , ¿ $B(-1, -3)$ , $C(6, 2)$ se encuentran en este círculo? ¿Dentro de él? ¿Fuera de él?

Solución

Solución de Ejercicio 5.6.

Calcule distancias al cuadrado hasta $\Omega(2,1)$ y compárelas con $5^2 = 25$ :

\Omega A^2 = 3^2 + 4^2 = 25, \qquad \Omega B^2 = (-3)^2 + (-4)^2 = 25, \qquad \Omega C^2 = 4^2 + 1^2 = 17 .

$A$ y $B$ están en el círculo; $C$ está dentro ( $17 < 25$ ).

Ejercicio 5.7 ★★

Sean $A(1, 1)$ y $B(7, 5)$ . Encuentra todos los puntos $M(x, 0)$ del eje $x$ que están equidistantes de $A$ y $B$ . (Escribe $MA^2 = MB^2$ y resuelve $x$ .)

Solución

Solución de Ejercicio 5.7.

$MA^2 = (x - 1)^2 + 1$ y $MB^2 = (x - 7)^2 + 25$ . Configuración $MA^2 = MB^2$ :

x^2 - 2x + 2 = x^2 - 14x + 74 \ \Longleftrightarrow\ 12x = 72 \ \Longleftrightarrow\ x = 6 .

El único punto de este tipo es $M(6, 0)$ .

Ejercicio 5.8 ★★

Sea $A(0, 3)$ , $B(4, 1)$ .

Calcular el coordenadas del punto medio $I$ de $[AB]$ .
Muestre que $M(2, 2) = I$ , luego verifique calculando $MA$ , $MB$ que $M$ está equidistante de $A$ y $B$ .
Encuentre un segundo punto, en el eje $y$ , equidistante de $A$ y $B$ .

Solución

Solución de Ejercicio 5.8.

1. $I = \left(\frac{0+4}{2}, \frac{3+1}{2}\right) = (2, 2)$ .

2. $M(2,2)$ es de hecho $I$ . y $MA^2 = (0-2)^2 + (3-2)^2 = 5$ , $MB^2 = (4-2)^2 + (1-2)^2 = 5$ : el punto medio está equidistante de los dos puntos finales, como se esperaba.

3. Busque $N(0, y)$ con $NA^2 = NB^2$ :

(3 - y)^2 = 16 + (1 - y)^2 \ \Longleftrightarrow\ 9 - 6y = 16 + 1 - 2y \ \Longleftrightarrow\ -4y = 8,

entonces $y = -2$ : el punto $N(0, -2)$ .

Ejercicio 5.9 ★★

Se dan los puntos $A(-1, -1)$ , $B(3, 1)$ y $C(11, 5)$ . Calcular $AB$ , $BC$ y $AC$ , y deducir que $A$ , $B$ , $C$ están alineados. (Tres puntos están alineadas exactamente cuando la mayor de las tres distancias es la suma de los otros dos.)

Solución

Solución de Ejercicio 5.9.

\begin{align*} AB &= \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt5, \\ BC &= \sqrt{8^2 + 4^2} = \sqrt{80} = 4\sqrt5, \\ AC &= \sqrt{12^2 + 6^2} = \sqrt{180} = 6\sqrt5 . \end{align*}

Entonces $AB + BC = 2\sqrt5 + 4\sqrt5 = 6\sqrt5 = AC$ : el triángulo la desigualdad es una igualdad, por lo que $B$ se encuentra en el segmento $[AC]$ — el Tres puntos están alineados.

Ejercicio 5.10 ★★★

Sea $A(a, 0)$ y $B(0, b)$ con $a, b > 0$ , y sea $I$ el punto medio. de $[AB]$ . Muestre mediante cálculo que $OI = IA = IB$ , donde $O$ es el origen. (Esto prueba un teorema clásico: en un triángulo rectángulo, el punto medio de la hipotenusa es equidistante de los tres vértices.)

Solución

Solución de Ejercicio 5.10.

El punto medio de $[AB]$ es $I\left(\frac a2, \frac b2\right)$ . entonces

OI^2 = \frac{a^2}{4} + \frac{b^2}{4}, \qquad IA^2 = \left(a - \frac a2\right)^2 + \left(0 - \frac b2\right)^2 = \frac{a^2}{4} + \frac{b^2}{4},

y $IB^2 = \left(0 - \frac a2\right)^2 + \left(b - \frac b2\right)^2 = \frac{a^2}{4} + \frac{b^2}{4}$ también. Las tres distancias al cuadrado son igual, entonces $OI = IA = IB$ : el punto medio de la hipotenusa de la derecha El triángulo $OAB$ es equidistante de los tres vértices (es el centro de su círculo circunscrito).

5.6 Problema: El puente de Descartes — ecuaciones circulares y cómo para encontrar donde estás

Problema 5.1

Problema de fin de semana — el círculo se convierte en un ecuación, los viejos teoremas se convierten en cálculos y tres faros localizar un punto: trilateración por álgebra

En 1637 René Descartes construyó un puente entre dos continentes: cada curva de la geometría se convirtió en un ecuación, cada pregunta geométrica un cálculo. Este problema camina por el puente. en ambas direcciones — derivando el ecuación del círculo del fórmula de distancia (Teorema 5.4), reprobando teoremas clásicos en tres líneas de álgebra, y terminando donde El puente tiene la mayor cantidad de tráfico en la actualidad: calcular una posición. de señales lejanas, el corazón plano del GPS.

Parte I — The circle gets an ecuación.

Un punto $M(x, y)$ se encuentra en el círculo del centro. $\Omega(2, 1)$ y radio $5$ exactamente cuando $\Omega M = 5$ . Eleva esta condición al cuadrado para obtener ecuación del círculo:

$(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 25 .$
Membresía de prueba: cuál de $A(5, 5)$ , $B(6, 4)$ , $D(4, 4)$ están en el círculo, dentro, fuera de él?
Un círculo disfrazado: completa los cuadrados (Problema 2.1) en

$x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0$

y dar su centro y radio.
Haz lo mismo con $x^2 + y^2 - 6x + 4y + 14 = 0$ . que ¿Revela el formulario completado? Indique el criterio: cuando ¿ $(x - h)^2 + (y - k)^2 = c$ describe un círculo, un ¿Un solo punto o nada en absoluto?
Intersecta el círculo de la pregunta 3 con la horizontal línea $y = 3$ : sustituir y resolver. ¿Cuántos puntos y ¿Cuál es el nombre geométrico de tal línea?

Parte II — Old theorems in three lines.

El teorema del círculo del teorema del círculo del volumen de la escuela secundaria (un ángulo recto en cada semicírculo), re-probado por álgebra: sean $A(-r, 0)$ y $B(r, 0)$ los extremos de un diámetro y $M(x, y)$ cualquier punto del círculo $x^2 + y^2 = r^2$ . Calcular $MA^2 + MB^2$ y Concluimos con el inverso de Pitágoras que $\widehat{AMB}$ tiene razón.
El teorema de la mediana: con $A(-a, 0)$ , $B(a, 0)$ (por lo que el punto medio de $[AB]$ es el origen $I$ ), muestra que para cada punto $M(x, y)$ :

$MA^2 + MB^2 = 2\,MI^2 + \frac{AB^2}{2} .$
Deducir el lugar geométrico de los puntos $M$ con $MA^2 + MB^2 = 26$ cuando $AB = 6$ : qué curva, cuál centro, ¿qué radio?
Un locus diferente: $A(0,0)$ , $B(3,0)$ ; encontrar todos los puntos con $MA = 2\,MB$ . (Cuadre, expanda, complete el cuadrados: aparece un famoso círculo — Apolonio lo sabía sin coordenadas.)
En una o dos frases: ¿qué significa el puente de Descartes? ¿Se demuestra el cambio sobre los teoremas cómo? Comparar pregunta 6 con la prueba del rectángulo de el teorema del círculo del volumen de la escuela secundaria (un ángulo recto en cada semicírculo).

Parte III — Three beacons find you. Su posición $M(x, y)$ es desconocida. Baliza $P(0, 0)$ medidas su distancia es $5$ ; La baliza $Q(6, 0)$ también mide $5$ .

Escribe los dos círculos ecuaciones, réstalos y observa. los cuadrados se cancelan: ¿qué simple ecuación sobrevive? Combine con un círculo para encontrar el candidato dos posiciones.
Una tercera baliza $R(0, 8)$ mide su distancia como $5$ . Calcule su distancia a cada candidato y decida dónde lo eres.
Explica por qué restar dos círculos ecuaciones siempre produce el ecuación de una línea (que términos ¿cancelar?), y cuál es esa línea geométricamente cuando la Los círculos se cruzan en dos puntos.
Trabajos de posicionamiento satelital real en el espacio y con Relojes imperfectos: cada satélite da (a través de la señal de viaje) tiempo) una distancia, por lo tanto una esfera. cuantas incógnitas ¿Tiene un receptor (posición y su propio reloj)? error), y por qué el GPS escucha al menos cuatro satélites?
Precisión : supongamos que la distancia de la baliza $P$ es realmente $5.1$ en lugar de $5$ (todo lo demás sin cambios). Rehacer el resta de la pregunta 11 para encontrar el nuevo $x$ , y cuantificar hasta dónde avanzó la estimación. (Compare el error ideas de presupuesto de Problema 1.1.)

Parte IV — The surveyor’s toolkit.

El camino de riego más corto: un campamento en $A(1, 5)$ , un granero en $B(7, 3)$ , río recto según el eje $y = 0$ . Para pasar de $A$ al río y luego a $B$ con el caminar menos: reflejar $B$ a través del río hacia $B'$ , y encontrar dónde cruza el río el segmento $[AB']$ . Indique el punto de cruce y la longitud total mínima. (La idea es el ejercicio de rebote del billar del volumen de Escuela Secundaria, ahora completamente computable.)
Confirmar la minimalidad en un rival: calcular el camino total a través de $Q(3, 0)$ y verifique que pierda su respuesta.
Clasifica el cuadrilátero $A(1,1)$ , $B(4,2)$ , $C(5,5)$ , $D(2,4)$ completamente: ¿paralelogramo? ¿rombo? ¿rectángulo? ¿cuadrado? (Método 5.9, Método 5.7 — comparar diagonales también.)
Dado $A(-1, 2)$ , $B(3, 4)$ , $C(6, 0)$ , encuentre $D$ tales que $ABCD$ es un paralelogramo (el punto medio diagonal truco del problema de fin de semana de medias vueltas del volumen Middle School, ahora en fórmulas).
Final: tres herramientas — fórmula punto medio, distancia fórmula, resta del círculo ecuaciones. Para cada uno, nombre el tipo de pregunta que resolvió en este problema, y indique lo que los próximos dos capítulos añaden al kit (direcciones y pendientes: vectores y línea ecuaciones).

Solución

Solución de Problema 5.1.

1. $\Omega M = 5 \iff \Omega M^2 = 25 \iff (x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 25$ por la fórmula de distancia (Teorema 5.4) — elevar al cuadrado es inofensivo, ambas partes son positivas.

2. $A$ : $(5-2)^2 + (5-1)^2 = 9 + 16 = 25$ : en el círculo. $B$ : $16 + 9 = 25$ : en eso también. $D$ : $4 + 9 = 13 < 25$ : adentro.

3. $x^2 - 6x = (x - 3)^2 - 9$ y $y^2 + 4y = (y + 2)^2 - 4$ , por lo que se lee ecuación $(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25$ : centro $(3, -2)$ , radio $5$ .

4. $(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = -1$ : una suma de cuadrados es nunca negativo — ningún punto lo satisface: el conjunto vacío. en general $(x - h)^2 + (y - k)^2 = c$ es un círculo de radio $\sqrt c$ si $c > 0$ , el punto único $(h, k)$ si $c = 0$ , y vacío si $c < 0$ .

5. Con $y = 3$ : $(x - 3)^2 + 25 = 25$ , entonces $(x - 3)^2 = 0$ : el punto único $(3, 3)$ . Un punto de contacto: la línea es tangente al círculo.

6. $MA^2 + MB^2 = (x + r)^2 + y^2 + (x - r)^2 + y^2 = 2x^2 + 2y^2 + 2r^2 = 2r^2 + 2r^2 = 4r^2$ (usando $x^2 + y^2 = r^2$ ). Desde $AB^2 = (2r)^2 = 4r^2$ , el triángulo $AMB$ satisface $MA^2 + MB^2 = AB^2$ : en ángulo recto en $M$ (conversación de Pitágoras) — tres líneas, como se prometió.

7. $MA^2 + MB^2 = (x + a)^2 + y^2 + (x - a)^2 + y^2 = 2x^2 + 2y^2 + 2a^2 = 2\,MI^2 + 2a^2$ , y $\frac{AB^2}{2} = \frac{(2a)^2}{2} = 2a^2$ . Identidad demostrada.

8. $2\,MI^2 + \frac{36}{2} = 26$ da $MI^2 = 4$ : el círculo de centro punto medio $I$ y radio $2$ .

9. $MA^2 = 4\,MB^2$ : $x^2 + y^2 = 4\left((x - 3)^2 + y^2\right)$ , es decir $3x^2 + 3y^2 - 24x + 36 = 0$ , o $x^2 + y^2 - 8x + 12 = 0$ : completando, $(x - 4)^2 + y^2 = 4$ — el círculo del centro $(4, 0)$ y radio $2$ (el círculo de Apolonio de relación $2$ ).

10. El puente convierte las construcciones en cálculos: sin rectángulo auxiliar, sin análisis de caso — uno expansión y el teorema desaparece. El precio: cálculos tener menos conocimiento geométrico; la prueba clásica muestra por qué, el algebraico muestra eso — un trabajo El matemático se queda con ambos.

11. $x^2 + y^2 = 25$ y $(x - 6)^2 + y^2 = 25$ . Restando: $x^2 - (x - 6)^2 = 0$ , es decir $12x - 36 = 0$ : $x = 3$ . Entonces $9 + y^2 = 25$ : $y = \pm 4$ . Candidatos $(3, 4)$ y $(3, -4)$ .

12. De $(3, 4)$ a $R(0, 8)$ : $\sqrt{9 + 16} = 5$ — coincidencias. De $(3, -4)$ : $\sqrt{9 + 144} \approx 12.4$ — incorrecto. Estás en $(3, 4)$ .

13. Ambos ecuaciones llevan el mismo $x^2 + y^2$ (o con coeficientes iguales después de la expansión): la resta cancela la cuadra y deja un ecuación de grado uno — una línea. cuando los círculos se encuentran dos veces, esa línea pasa por ambos encuentros puntos: es la línea del acorde común.

14. Cuatro incógnitas: tres coordenadas más la error del reloj del receptor (un reloj barato, corregido por el matemáticas). Cada satélite suministra un ecuación, por lo que cuatro los satélites dan cuatro ecuaciones para cuatro incógnitas — con más satélites mejorando la precisión.

15. La resta ahora da $x = \frac{5.1^2 - 5^2 + 36}{12} = \frac{37.01}{12} \approx 3.084$ : un error $10$ cm en una distancia movió la estimación aproximadamente $8$ cm aquí. Los errores se propagan a través de cada fórmula — la precaución aritmética de intervalos de Problema 1.1, ahora con coordenadas.

16. $B' (7, -3)$ . La línea $(AB')$ tiene pendiente $\frac{-3 - 5}{7 - 1} = -\frac43$ y cruza $y = 0$ en $x = 1 + \frac{5}{8} \times 6 = 4.75$ : beber en $P(4.75,\ 0)$ . Longitud mínima: $AP + PB = AP + PB' = AB' = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10$ .

17. Vía $Q(3, 0)$ : $AQ + QB = \sqrt{4 + 25} + \sqrt{16 + 9} = \sqrt{29} + 5 \approx 10.39 > 10$ . La línea recta reflejada gana.

18. Diagonal puntos medios: $[AC]$ : $(3, 3)$ ; $[BD]$ : $(3, 3)$ — igual: paralelogramo. Lados: $AB = \sqrt{10} = AD$ : rombo. Diagonales: $AC = \sqrt{32} \neq BD = \sqrt{8}$ : no es un rectángulo, por lo tanto no un cuadrado. Veredicto: un rombo y nada más.

19. $D = A + C - B = (-1 + 6 - 3,\ 2 + 0 - 4) = (2, -2)$ : luego $[AC]$ y $[BD]$ comparten el punto medio $\left(\frac52, 1\right)$ .

20. Punto medio fórmula: paralelogramos y centros (preguntas 18, 19). Fórmula de distancia: círculos, lugares geométricos, triángulos naturalezas, caminos más cortos (preguntas 1-9, 16). Resta de círculo ecuaciones: la línea que ubica una posición (preguntas 11–15). Falta en el kit: un álgebra limpia de instrucciones — vectores — y de pendientes — línea ecuaciones y sistemas: los dos capítulos siguientes proporcionan exactamente eso.