Matemáticas de secundaria · Grades 10–12

13Secuencias: un primer curso

Un secuencia es una lista de números producida por una regla: los saldos sucesivos de una cuenta de ahorros, el tamaño de una población año tras año. esto El capítulo estudia las dos familias que dominan las aplicaciones. aritmética secuencias, que crecen en pasos iguales, y geométrico secuencias, que crecen en proporciones iguales. La teoría rigurosa de límites se desarrolla en Capítulo 20.

13.1 Definiendo una secuencia

Definición 13.1 (Secuencia)

A secuencia $(u_n)$ asigna a cada entero $n \geq 0$ (o $n \geq 1$ ) a numero real $u_n$ , es término de índice $n$ . Se puede dar una secuencia

explícitamente, mediante una fórmula para $u_n$ en términos de $n$ : por ejemplo $u_n = n^2 + 1$ ;
recursivamente, por su primer término y una regla a pasar de cada uno término al siguiente: por ejemplo $u_0 = 3$ y $u_{n+1} = 2u_n - 1$ .

Ejemplo 13.2

Para $u_n = n^2 + 1$ : $u_0 = 1$ , $u_1 = 2$ , $u_2 = 5$ y $u_{10} = 101$ directamente. Para $u_0 = 3$ , $u_{n+1} = 2u_n - 1$ : $u_1 = 5$ , $u_2 = 9$ , $u_3 = 17$ — cada término necesita del anterior; llegar a $u_{10}$ toma diez pasos (o una fórmula general, ver Ejercicio 13.11).

13.2 secuencias aritméticas

Definición 13.3 (Secuencia aritmética)

Un secuencia es aritmética con diferencia común $d$ si cada término se obtiene del anterior uno agregando $d$ :

u_{n+1} = u_n + d \quad \text{for all } n.

Equivalentemente: la diferencia $u_{n+1} - u_n$ es constante, igual a $d$ .

Teorema 13.4 (término general)

Si $(u_n)$ es aritmética con el primer término $u_0$ y diferencia común $d$ , entonces

u_n = u_0 + n\,d \quad \text{for all } n \geq 0, \qquad\text{and more generally } u_n = u_p + (n - p)\,d .

Demostración. Para pasar de $u_0$ a $u_n$ se aplica la regla “añadir $d$ ” $n$ veces: una el paso da $u_1 = u_0 + d$ , dos pasos dan $u_2 = u_0 + 2d$ y después $n$ pasos cada aplicación ha contribuido con un $d$ , por lo que $u_n = u_0 + nd$ . (Este “y demás” se vuelve riguroso por inducción en Capítulo 20.) La fórmula general sigue contando los pasos $n - p$ desde $u_p$ hasta $u_n$ . ∎

Teorema 13.5 (Suma de enteros consecutivos)

Por cada entero $n \geq 1$ :

1 + 2 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2}.

De manera más general, una suma de términos consecutivos de un secuencia aritmética es igual

(\text{number of terms}) \times \frac{\text{first term} + \text{last term}}{2}.

Demostración. Escribe la suma $S$ dos veces, la segunda vez en orden inverso, y suma columna por columna:

\begin{array}{ccccccccc} S & = & 1 & + & 2 & + & \dots & + & n\\ S & = & n & + & (n-1) & + & \dots & + & 1\\ \hline 2S & = & (n+1) & + & (n+1) & + & \dots & + & (n+1) \end{array}

Hay columnas $n$ , cada una de las cuales suma $n + 1$ , por lo que $2S = n(n+1)$ . por un general secuencia aritmética funciona el mismo emparejamiento: primero $+$ último $=$ segundo $+$ penúltimo $= \dots$ , porque avanzar un paso en el extremo izquierdo ( $+d$ ) se compensa con un paso hacia atrás en el extremo derecho ( $-d$ ). ∎

Ejemplo 13.6

$1 + 2 + \dots + 100 = \frac{100 \times 101}{2} = 5050$ . la suma de la números impares $1 + 3 + \dots + 99$ (términos $50$ ) es $50 \times \frac{1 + 99}{2} = 2500$ .

13.3 Secuencias geométricas

Definición 13.7 (secuencia geométrica)

Un secuencia es geométrico con común relación $q \neq 0$ si cada término se obtiene del anterior por multiplicando por $q$ :

u_{n+1} = q\,u_n \quad \text{for all } n.

De manera equivalente, cuando ningún término desaparece: la relación $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ es constante, igual a $q$ .

Teorema 13.8 (término general)

Si $(u_n)$ es geométrico con el primer término $u_0$ y la relación $q$ , entonces

u_n = u_0\, q^n \quad \text{for all } n \geq 0, \qquad\text{and more generally } u_n = u_p\, q^{\,n-p} .

Demostración. Mismo conteo de pasos que en Teorema 13.4: de $u_0$ a $u_n$ , se aplica $n$ veces la regla “multiplicar por $q$ ”, aportando un factor $q^n$ . ∎

Teorema 13.9 (suma geométrica)

Para cada $q \neq 1$ y entero $n \geq 0$ reales:

1 + q + q^2 + \dots + q^n = \frac{1 - q^{\,n+1}}{1 - q}.

Demostración. Deje $S = 1 + q + \dots + q^n$ . Multiplicar por $q$ : $qS = q + q^2 + \dots + q^{n+1}$ . Restar:

S - qS = \bigl(1 + q + \dots + q^n\bigr) - \bigl(q + q^2 + \dots + q^{n+1}\bigr) = 1 - q^{\,n+1},

porque cada término intermedio aparece una vez en cada suma y se cancela. Por lo tanto $(1 - q)S = 1 - q^{\,n+1}$ , y al dividir por $1 - q \neq 0$ se obtiene fórmula. ∎

Ejemplo 13.10

$1 + 2 + 4 + \dots + 2^{10} = \frac{1 - 2^{11}}{1 - 2} = 2^{11} - 1 = 2047$ : doblar granos de arroz en las casillas de un tablero de ajedrez abruma cualquier granero mucho antes de la casilla $64$ , donde el total es $2^{64} - 1 \approx 1.8 \times 10^{19}$ .

Pasos iguales versus proporciones iguales: un secuencia aritmética (u_n+1 = u_n + 0.9, azul) sigue una línea, una secuencia geométrica (u_n+1 = 1.2\,u_n, rojo) sigue una curva exponencial que eventualmente lo supera. — Pasos iguales versus proporciones iguales: un secuencia aritmética ( $u_{n+1} = u_n + 0.9$ , azul) sigue una línea, una secuencia geométrica ( $u_{n+1} = 1.2\,u_n$ , rojo) sigue una curva exponencial que eventualmente lo supera.

Método 13.11 (Reconociendo el tipo de una secuencia)

Calcule $u_{n+1} - u_n$ y simplifique. Si el resultado es una constante $d$ , el secuencia es aritmética. De lo contrario, calcule $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ (términos distinto de cero) y simplificar: una constante $q$ significa geométrico. Si ninguno lo es constante, el secuencia no es de ningún tipo — nunca concluya del primeros términos solos.

Ejemplo 13.12

Para $u_n = 3 \times 5^n$ : $\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{3 \times 5^{n+1}}{3 \times 5^n} = 5$ para todos $n$ : geométrico con relación $5$ . Para $u_n = n^2$ : $u_1 - u_0 = 1$ pero $u_2 - u_1 = 3$ , y $\frac{u_1}{u_0}$ ni siquiera está definido — ni aritmética ni geométrico.

13.4 monotonicidad

Definición 13.13 (Secuencia monótona)

A secuencia $(u_n)$ es creciente si $u_{n+1} \geq u_n$ para todos los $n$ , y decreciente si $u_{n+1} \leq u_n$ para todos los $n$ .

Método 13.14 (Estudiando la monotonía)

Estudie el signo de $u_{n+1} - u_n$ . Para secuencias con términos positivos, uno en su lugar, puede comparar $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ con $1$ .

Ejemplo 13.15

Un secuencia aritmética es creciente cuando $d \geq 0$ ( $u_{n+1} - u_n = d$ ), decreciente cuando $d \leq 0$ . A secuencia geométrica con $u_0 > 0$ y $q > 1$ es creciente: $u_{n+1} - u_n = u_0 q^n (q - 1) > 0$ ; con $u_0 > 0$ y $0 < q < 1$ es decreciente.

13.5 Comportamiento a largo plazo, informalmente

¿Qué le sucede a $u_n$ cuando $n$ se vuelve muy grande? Para un aritmética secuencia con $d > 0$ , los términos $u_0 + nd$ exceden cualquier número fijo eventualmente. Para un secuencia geométrica con $0 < q < 1$ , los términos $u_0 q^n$ se reduce hacia $0$ : multiplicar repetidamente por $0.9$ , digamos, erosiona cualquier valor inicial. Y para $q > 1$ los términos explotan, como en Ejemplo 13.10.

Observación 13.16

Estas afirmaciones pueden hacerse perfectamente precisas: "los términos eventualmente manténgase dentro de cualquier distancia determinada de $0$ ” — y probado. esa es la teoria de límites, el tema de apertura de Capítulo 20.

13.6 Ceremonias

Ejercicio 13.1 ★

Para cada secuencia, calcule $u_1$ , $u_2$ , $u_3$ :

u_n = \frac{n}{n+1}; \qquad u_0 = 5,\ u_{n+1} = 3u_n - 2; \qquad u_n = (-1)^n\,n .

Solución

Solución de Ejercicio 13.1.

$u_n = \frac{n}{n+1}$ : $u_1 = \frac12$ , $u_2 = \frac23$ , $u_3 = \frac34$ .

$u_0 = 5$ , $u_{n+1} = 3u_n - 2$ : $u_1 = 13$ , $u_2 = 37$ , $u_3 = 109$ .

$u_n = (-1)^n n$ : $u_1 = -1$ , $u_2 = 2$ , $u_3 = -3$ .

Ejercicio 13.2 ★

$(u_n)$ es aritmética con $u_0 = 7$ y $d = -3$ . Calcular $u_{10}$ y $u_{25}$ . $(v_n)$ es aritmética con $v_3 = 11$ y $v_8 = 26$ . Encuentra el diferencia común y $v_0$ .

Solución

Solución de Ejercicio 13.2.

$u_{10} = 7 + 10 \times (-3) = -23$ y $u_{25} = 7 - 75 = -68$ .

Para $(v_n)$ : $v_8 = v_3 + 5d$ da $26 = 11 + 5d$ , por lo que $d = 3$ ; entonces $v_0 = v_3 - 3d = 11 - 9 = 2$ .

Ejercicio 13.3 ★

$(u_n)$ es geométrico con $u_0 = 5$ y $q = 2$ . Calcule $u_8$ . $(v_n)$ es geométrico con términos positivos, $v_2 = 12$ y $v_4 = 48$ . Encuentra la proporción y $v_0$ .

Solución

Solución de Ejercicio 13.3.

$u_8 = 5 \times 2^8 = 1280$ .

Para $(v_n)$ : $v_4 = v_2\, q^2$ da $48 = 12 q^2$ , por lo que $q^2 = 4$ y $q = 2$ (los términos son positivos). entonces $v_0 = \frac{v_2}{q^2} = \frac{12}{4} = 3$ .

Ejercicio 13.4 ★

calcular

1 + 2 + 3 + \dots + 500, \qquad 4 + 7 + 10 + \dots + 61, \qquad 1 + \frac12 + \frac14 + \dots + \frac{1}{2^{10}} .

Solución

Solución de Ejercicio 13.4.

$1 + \dots + 500 = \frac{500 \times 501}{2} = 125\,250$ .

$4 + 7 + \dots + 61$ es aritmética con $d = 3$ y $\frac{61 - 4}{3} + 1 = 20$ términos: suma $20 \times \frac{4 + 61}{2} = 650$ .

$1 + \frac12 + \dots + \frac{1}{2^{10}}$ es geométrico con $q = \frac12$ y $11$ términos: $\frac{1 - (1/2)^{11}}{1 - 1/2} = 2\left(1 - \frac{1}{2048}\right) = \frac{2047}{1024}$ .

Ejercicio 13.5 ★

Determine si cada secuencia es aritmética, geométrico o ninguno de los dos:

u_n = 4n - 1; \qquad v_n = \frac{2^n}{3^{n+1}}; \qquad w_n = n^2 + n .

Solución

Solución de Ejercicio 13.5.

$u_{n+1} - u_n = 4(n+1) - 1 - 4n + 1 = 4$ : aritmética con $d = 4$ .

$\frac{v_{n+1}}{v_n} = \frac{2^{n+1}}{3^{n+2}} \cdot \frac{3^{n+1}}{2^n} = \frac23$ : geométrico con $q = \frac23$ .

$w_0 = 0$ , $w_1 = 2$ , $w_2 = 6$ : las diferencias $2$ y $4$ difieren, por lo que no aritmética; $\frac{w_1}{w_0}$ ni siquiera está definido y los ratios $\frac{w_2}{w_1} = 3 \neq \frac{w_3}{w_2} = 2$ : ninguno.

Ejercicio 13.6 ★★

Un teatro tiene $20$ filas: $16$ asientos en la primera fila, y cada fila tiene $2$ más asientos que el anterior. ¿Cuántos asientos hay en el último fila? ¿En todo el teatro?

Solución

Solución de Ejercicio 13.6.

Los tamaños de fila son aritmética: primer término $16$ , diferencia $2$ . el ultimo (20.ª) fila tiene asientos $16 + 19 \times 2 = 54$ . el total es $20 \times \frac{16 + 54}{2} = 700$ asientos.

Ejercicio 13.7 ★★

Una población de bacterias se duplica cada hora; al mediodía hay $500$ bacterias. ¿Cuántos hay a las 8 de la noche? ¿Después de cuántas horas completas ¿La población supera por primera vez el millón? (Resuelve probando potencias sucesivas de $2$ .)

Solución

Solución de Ejercicio 13.7.

Después de las horas $n$ la población es $500 \times 2^n$ . A las 20 horas, $n = 8$ : $500 \times 256 = 128\,000$ bacterias. Necesitamos $500 \times 2^n > 10^6$ , es decir $2^n > 2000$ : desde $2^{10} = 1024$ y $2^{11} = 2048$ , el La población supera el millón por primera vez después de $11$ horas completas, a las 11 p.m.

Ejercicio 13.8 ★★

Cada mes, un ahorrador deposita $100$ euros en una cuenta que paga $0.2\%$ interés mensual sobre el saldo existente (el interés se acredita justo antes del depósito). Sea $c_n$ el saldo justo después del $n$ -ésimo depósito, por lo que $c_1 = 100$ y $c_{n+1} = 1.002\,c_n + 100$ . Calcular $c_2$ y $c_3$ , y explique por qué $(c_n)$ no es ni aritmética ni geométrico.

Solución

Solución de Ejercicio 13.8.

$c_2 = 1.002 \times 100 + 100 = 200.20$ y $c_3 = 1.002 \times 200.20 + 100 \approx 300.60$ . las diferencias $c_2 - c_1 = 100.20$ y $c_3 - c_2 \approx 100.40$ no son iguales, por lo que $(c_n)$ no es aritmética; las relaciones $\frac{c_2}{c_1} = 2.002$ y $\frac{c_3}{c_2} \approx 1.50$ tampoco son iguales, por lo que no es geométrico. (Las recursiones mixtas tipo “multiplicar y luego sumar” como esta son resuelto por el truco secuencia auxiliar de Ejercicio 13.11.)

Ejercicio 13.9 ★★

Estudia la monotonicidad del secuencias

u_n = n^2 - 8n \ (n \geq 0), \qquad v_n = \frac{3^n}{n!}\ (n \geq 1),

donde $n! = 1 \times 2 \times \dots \times n$ . (Para $(v_n)$ , compare $\frac{v_{n+1}}{v_n}$ a $1$ ).

Solución

Solución de Ejercicio 13.9.

$u_{n+1} - u_n = (n+1)^2 - 8(n+1) - n^2 + 8n = 2n - 7$ : negativo para $n \leq 3$ , positivo para $n \geq 4$ . Entonces $(u_n)$ disminuye hasta $u_4 = 16 - 32 = -16$ , luego aumenta: no es monótono.

$(v_n)$ tiene términos positivos y

\frac{v_{n+1}}{v_n} = \frac{3^{n+1}}{(n+1)!} \cdot \frac{n!}{3^n} = \frac{3}{n+1},

que es $> 1$ para $n \leq 1$ , $= 1$ para $n = 2$ y $< 1$ para $n \geq 3$ : el secuencia aumenta hasta $v_2 = v_3 = \frac92$ , luego disminuye.

Ejercicio 13.10 ★★

La suma de los primeros términos $n$ de un secuencia aritmética con $u_0 = 3$ y $d = 4$ es igual a $903$ . Encuentra $n$ . (Configure un ecuación cuadrático en $n$ y utilice Capítulo 10.)

Solución

Solución de Ejercicio 13.10.

Los primeros términos $n$ son $u_0, \dots, u_{n-1}$ , con $u_0 = 3$ y $u_{n-1} = 3 + 4(n-1) = 4n - 1$ . Su suma es

n \times \frac{3 + (4n-1)}{2} = n(2n + 1) = 903,

entonces $2n^2 + n - 903 = 0$ . Aquí $\Delta = 1 + 4 \times 2 \times 903 = 7225 = 85^2$ y $n = \frac{-1 + 85}{4} = 21$ (el negativo raíz es rechazado). Verificar: $21 \times 43 = 903$ .

Ejercicio 13.11 ★★★

Sean $u_0 = 3$ y $u_{n+1} = 2u_n - 1$ .

Calcula $u_1, u_2, u_3$ y conjetura una fórmula para $u_n$ .
Vamos $v_n = u_n - 1$ . Demuestre que $(v_n)$ es geométrico, proporcione su relación y primer término.
Deduzca una fórmula explícita para $u_n$ y verifique su conjetura.

Solución

Solución de Ejercicio 13.11.

1. $u_1 = 5$ , $u_2 = 9$ , $u_3 = 17$ : cada término es uno más que $4, 8, 16$ , sugiriendo $u_n = 2^{n+1} + 1$ .

2. Con $v_n = u_n - 1$ :

v_{n+1} = u_{n+1} - 1 = 2u_n - 1 - 1 = 2(u_n - 1) = 2v_n,

entonces $(v_n)$ es geométrico con relación $2$ y primer término $v_0 = u_0 - 1 = 2$ .

3. Por lo tanto $v_n = 2 \times 2^n = 2^{n+1}$ y $u_n = v_n + 1 = 2^{n+1} + 1$ , confirmando la conjetura. (El número $1$ restado en $v_n$ es el punto fijo de $x \mapsto 2x - 1$ ; lo mismo La idea reaparece para $u_{n+1} = au_n + b$ en Capítulo 20.)

13.7 Problema: La torre de Brahma y los conejos de Fibonacci

Problema 13.1

Problema del fin de semana — dos recurrencias legendarias: la torre que acaba con el mundo, la secuencia que crece como el oro, y el truco auxiliar que domina los préstamos

Dos secuencias gobiernan el folklore de las matemáticas. Uno cuenta el movimientos de la torre de Brahma — sesenta y cuatro discos dorados cuyos La transferencia, dice la leyenda, acabará con el mundo. el otro cuenta Los conejos de Fibonacci y esconde la proporción áurea. Tampoco lo es aritmética, tampoco lo es geométrico — y ambos se entregan a esto Armas del capítulo: recurrencias, sumas geométrico. (Teorema 13.9), y el truco secuencia auxiliar de Ejercicio 13.11, que también computa tu hipoteca.

Parte I — The tower of Brahma. El rompecabezas: los discos $n$ de tamaño decreciente están apilados en la clavija A; mueva toda la pila a la clavija C, un disco a la vez, sin colocar nunca un disco más grande en uno más pequeño (la clavija B puede ayudar). Sea $h_n$ el número mínimo de movimientos.

Juega (con monedas) y registra $h_1$ , $h_2$ , $h_3$ .
Explica la estrategia detrás de la recurrencia. $h_{n+1} = 2h_n + 1$ : lo que debe pasar antes y después ¿Se mueve el disco más grande?
Resuelve la recurrencia con el truco de Ejercicio 13.11: establecer $v_n = h_n + 1$ , mostrar $(v_n)$ es geométrico y concluye $h_n = 2^n - 1$ .
La torre de la leyenda tiene discos $64$ y los monjes se mueven. un disco por segundo. Usando $2^{10} = 1024 \approx 10^3$ , estimar el tiempo de transferencia en años (un año es aproximadamente $3 \times 10^7$ segundos; comparar Ejemplo 13.10, el mismo gigante en otro historia). ¿Deberíamos preocuparnos?
¿Por qué ninguna estrategia puede superar los movimientos $2^n - 1$ ? argumentar que cualquier la solución obedece $h_{n+1} \geq 2 h_n + 1$ : lo que debe ser cierto de la cima Discos $n$ justo antes y justo después del disco inferior. moverse?

Parte II — Fibonacci. Defina $F_1 = F_2 = 1$ y $F_{n+2} = F_{n+1} + F_n$ (cada término la suma de los dos anteriores — la regla de conteo de ritmo del Volumen Middle School, ahora con nombre europeo).

Lista $F_1$ a $F_{12}$ .
Demuestre que $(F_n)$ no es ni aritmética ni geométrico, pero que es estrictamente creciente de $n = 2$ en adelante (Método 13.14 y la recurrencia).
Demostrar la identidad de la suma

$F_1 + F_2 + \dots + F_n = F_{n+2} - 1$

telescópico: escriba cada $F_k$ como $F_{k+2} - F_{k+1}$ y observa cómo colapsa la suma. verificar para $n = 6$ .
Demostrar la identidad de los cuadrados. $F_1^2 + F_2^2 + \dots + F_n^2 = F_n F_{n+1}$ , telescópico con $F_k F_{k+1} - F_{k-1} F_k = F_k^2$ . Verificar para $n = 4$ . (Imagen: cuadrados de lados $1, 1, 2, 3, 5, \dots$ mosaico de un rectángulo — el famoso El esqueleto de la espiral de Fibonacci.)
Estados de identidad de Cassini $F_{n+1} F_{n-1} - F_n^2 = (-1)^n$ . Verifíquelo para $n = 4, 5, 6$ — y reconocer el motor del Truco del cuadrado fugaz jugado en la escuela secundaria Problema de áreas de volumen.
Demuestre por la recurrencia que $F_{n+2} \geq 2 F_n$ : Fibonacci al menos se duplica cada dos pasos — crece al menos tan rápido como un geométrico secuencia de proporción $\sqrt2$ .
Calcule las razones $r_n = \frac{F_{n+1}}{F_n}$ para $n = 3$ a $10$ (tres decimales). Admitiendo que ellos establecer un límite $L$ , pasar la relación $r_{n+1} = 1 + \frac{1}{r_n}$ al límite y resuelve: ¿cual numero de Problema 2.1 hacen los conejos? adoración?

Parte III — The auxiliary trick, at the bank.

Generalizar Ejercicio 13.11: para $u_{n+1} = a\,u_n + b$ con $a \neq 1$ , vamos $\ell = \frac{b}{1 - a}$ (el punto fijo). Mostrar $v_n = u_n - \ell$ es geométrico de relación $a$ , y concluir $u_n = a^n (u_0 - \ell) + \ell$ .
Un préstamo: $10\,000$ euros a $1\,\%$ intereses al mes, reembolsado $300$ euros al mes, por lo que la deuda obedece $d_{n+1} = 1.01\,d_n - 300$ . Aplique la pregunta 13 (¡fijo punto primero!) para obtener una fórmula explícita para $d_n$ .
Con una calculadora, encuentre el primer mes en el que La deuda se liquida y se reembolsa el importe total. cuanto ¿Cuanto costó el endeudamiento?
Un pueblo de $50\,000$ habitantes crece $2\,\%$ al año y da la bienvenida a $1\,000$ a los recién llegados además de: $p_{n+1} = 1.02\,p_n + 1000$ . Dar la fórmula explícita y la población después de $10$ años.

Parte IV — The two royal families.

Calcular $1 + 2 + 3 + \dots + 1000$ (Teorema 13.5 — suma del pequeño Gauss de el volumen de Middle School, ahora oficial), y $1 + 2 + 4 + \dots + 2^{19}$ (Teorema 13.9).
Calcular la suma de secuencia aritmética $7, 12, 17, \dots, 502$ (¿cuántos términos?).
Plan de ahorro: $100$ euros depositados cada mes, ganando $0.5\,\%$ mensual; después del $n$ -ésimo depósito el saldo es $100\left(1.005^{n-1} + \dots + 1.005 + 1\right)$ . Calcule el saldo después de $5$ años ( $n = 60$ ).
Finale — el kit del domador de secuencias: explícito contra descripciones recurrentes; las dos familias reales y sus fórmulas de suma; el auxiliar secuencia que gira recurrencias afines en geométrico; y Fibonacci, primer ciudadano fuera de ambas familias, domesticado hoy por identidades y matrices en espera (grado 12) y límites para una captura completa. Una frase cada uno.

Solución

Solución de Problema 13.1.

1. $h_1 = 1$ , $h_2 = 3$ , $h_3 = 7$ .

2. Para mover el disco más grande, los discos $n$ que se encuentran encima de él. primero debe migrar a la clavija de repuesto ( $h_n$ se mueve); el disco grande cruces (movimiento $1$ ); los discos $n$ deben volver a subir a la parte superior del mismo (movimientos $h_n$ ): $h_{n+1} = 2h_n + 1$ .

3. $v_{n+1} = h_{n+1} + 1 = 2h_n + 2 = 2v_n$ : geométrico de relación $2$ con $v_1 = 2$ , por lo que $v_n = 2^n$ y $h_n = 2^n - 1$ .

4. $2^{64} - 1 \approx 1.8 \times 10^{19}$ segundos; dividiendo por $3 \times 10^7$ segundos por año: alrededor de $6 \times 10^{11}$ años — seiscientos mil millones de años, cuarenta veces la edad del universo. Los monjes pueden tomar pausas para el café.

5. En cualquier solución legal, considere el disco inferior. primer movimiento: en ese instante los otros discos $n$ deben estar todos en la clavija restante (al menos $h_n$ se mueve para llevarlas allí), y después del último movimiento del disco inferior todos deben regresar encima (al menos $h_n$ más): cualquier solución necesita al menos $2h_n + 1$ se mueve. La recurrencia es un piso así como un techo: $2^n - 1$ es óptimo.

6. $1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144$ .

7. No aritmética ( $2 - 1 = 1$ pero $3 - 2 = 1$ , $5 - 3 = 2$ : cambio de diferencias); no geométrico ( $\frac21 = 2$ pero $\frac32 = 1.5$ ). Creciente: para $n \geq 2$ , $F_{n+1} - F_n = F_{n-1} > 0$ .

8. $F_k = F_{k+2} - F_{k+1}$ , entonces

\sum_{k=1}^{n} F_k = (F_3 - F_2) + (F_4 - F_3) + \dots + (F_{n+2} - F_{n+1}) = F_{n+2} - F_2 = F_{n+2} - 1 .

Para $n = 6$ : $1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 = 20 = F_8 - 1 = 21 - 1$ .

9. $F_k F_{k+1} - F_{k-1} F_k = F_k (F_{k+1} - F_{k-1}) = F_k \cdot F_k = F_k^2$ ; telescopios sumadores para $F_n F_{n+1} - F_1 F_0$ (con $F_0 = 0$ ): la suma de cuadrados es $F_n F_{n+1}$ . Para $n = 4$ : $1 + 1 + 4 + 9 = 15 = F_4 F_5 = 3 \times 5$ .

10. $F_5 F_3 - F_4^2 = 5 \times 2 - 9 = 1$ ; $F_6 F_4 - F_5^2 = 8 \times 3 - 25 = -1$ ; $F_7 F_5 - F_6^2 = 13 \times 5 - 64 = 1$ : alternando $\pm 1$ . Este uno por uno entre $F_{n+1} F_{n-1}$ y $F_n^2$ es exactamente la unidad cuadrada ganada o perdida del mago: Cortar un cuadrado $F_n \times F_n$ en pedazos y volver a ensamblarlos como un El rectángulo $F_{n+1} \times F_{n-1}$ debe crear o tragarse uno. unidad — la astilla.

11. $F_{n+2} = F_{n+1} + F_n \geq F_n + F_n = 2F_n$ (el secuencia aumenta): cada dos índices, al menos un duplicación — crecimiento de al menos geométrico de la relación $\sqrt2$ por índice.

12. $1.5$ ; $1.667$ ; $1.6$ ; $1.625$ ; $1.615$ ; $1.619$ ; $1.618$ ; $1.618$ . Si $r_n \to L$ : desde $F_{n+2} = F_{n+1} + F_n$ , dividiendo por $F_{n+1}$ : $r_{n+1} = 1 + \frac{1}{r_n}$ , entonces $L = 1 + \frac1L$ , es decir $L^2 = L + 1$ : $L = \varphi = \frac{1 + \sqrt5}{2}$ , el dorado relación de Problema 2.1. Los conejos se multiplican en oro.

13. $v_{n+1} = u_{n+1} - \ell = a u_n + b - \ell$ ; desde $\ell = a\ell + b$ , este es $a(u_n - \ell) = a v_n$ : geométrico de relación $a$ . Por lo tanto $v_n = a^n v_0$ y $u_n = a^n (u_0 - \ell) + \ell$ .

14. Punto fijo: $\ell = 1.01\ell - 300$ da $\ell = 30\,000$ . entonces $d_n = 1.01^n (10\,000 - 30\,000) + 30\,000 = 30\,000 - 20\,000 \times 1.01^n$ .

15. $d_n \leq 0$ requiere $1.01^n \geq 1.5$ : $1.01^{40} \approx 1.489$ , $1.01^{41} \approx 1.504$ : el $41$ El primer pago liquida la deuda (y es ligeramente menor que el $300$ ). Total reembolsado: poco menos de $41 \times 300 = 12\,300$ euros — el $10\,000$ prestado costó unos $2\,300$ euros de interés.

16. Punto fijo $\ell = \frac{1000}{1 - 1.02} = -50\,000$ , entonces $p_n = 1.02^n \times 100\,000 - 50\,000$ . después $10$ años: $1.02^{10} \approx 1.219$ : $p_{10} \approx 71\,900$ habitantes.

17. $\frac{1000 \times 1001}{2} = 500\,500$ ; y $2^{20} - 1 = 1\,048\,575$ .

18. De $7$ a $502$ en pasos de $5$ : $\frac{502 - 7}{5} + 1 = 100$ términos; suma $= 100 \times \frac{7 + 502}{2} = 25\,450$ .

19. Saldo $= 100 \times \frac{1.005^{60} - 1} {1.005 - 1} \approx 100 \times \frac{0.3489}{0.005} \approx 6\,977$ euros — de los cuales $6\,000$ depositado y aproximadamente $977$ ganado: geométrico las sumas son la lengua nativa del banco.

20. Las fórmulas explícitas responden "qué es $u_{1000}$ " al instante; Las recurrencias describen cómo evolucionan realmente los sistemas. el arte es convertir el segundo en el primero. Aritmética secuencias suma, geométrico las unidades se multiplican y cada familia posee una fórmula de suma (el emparejamiento de Gauss; el truco de la duplicación). el El truco de punto fijo y auxiliar convierte cada afín recurrencia en uno geométrico — préstamos, poblaciones y toda la torre cayó sobre ella. Fibonacci no obedece a ninguna familia, todavía identidades telescópicas captaron sus sumas y cuadrados; esta lleno El retrato (una fórmula exacta, el límite de oro) aguarda más fuerte. herramientas.