Matemáticas de secundaria · Grades 10–12

34Sumas de variables aleatorias y la ley de los números grandes

¿Por qué los casinos siempre ganan al final y por qué funcionan las encuestas? porque los promedios de muchas cantidades aleatorias independiente fluctúan cada vez menos. esto El capítulo lo demuestra: linealidad de expectativa, aditividad de diferencia para independiente, la desigualdad Bienaymé-Chebyshev y la ley de grandes números.

34.1 Sumas de variables aleatorias

Dados dos variables aleatorias $X, Y$ en el mismo espacio muestral finito $\Omega$ , la suma $X + Y$ es el variable aleatoria $\omega \mapsto X(\omega) + Y(\omega)$ .

Teorema 34.1 (Linealidad de expectativa)

Para todos los variables aleatorias $X, Y$ en $\Omega$ y $a, b \in \R$ :

\E(X + Y) = \E(X) + \E(Y), \qquad \E(aX + b) = a\E(X) + b .

No se necesita ninguna hipótesis de independencia.

Demostración. Escriba la esperanza como una suma de resultados: a partir de $\P(X = x) = \sum_{\omega : X(\omega) = x} \P(\{\omega\})$ , agrupando términos se obtiene $\E(X) = \sum_{\omega \in \Omega} \P(\{\omega\})\,X(\omega)$ . Entonces

\E(X + Y) = \sum_{\omega} \P(\{\omega\})\bigl(X(\omega) + Y(\omega)\bigr) = \sum_{\omega} \P(\{\omega\})X(\omega) + \sum_{\omega} \P(\{\omega\})Y(\omega) = \E(X) + \E(Y). \qedhere

∎

Definición 34.2 (Variables aleatorias independientes)

$X$ y $Y$ son independiente si para todos los valores $x, y$ :

\P(X = x \text{ and } Y = y) = \P(X = x)\,\P(Y = y).

Varias variables $X_1, \dots, X_n$ son independientes si esta regla de producto es válido para cada elección de valores de cada subfamilia.

Proposición 34.3

Si $X$ y $Y$ son independiente, $\E(XY) = \E(X)\,\E(Y)$ .

Demostración.

\begin{aligned} \E(XY) &= \sum_{x, y} xy\;\P(X = x \text{ and } Y = y) = \sum_{x, y} xy\,\P(X=x)\P(Y=y) \\ &= \Bigl(\sum_x x\P(X=x)\Bigr)\Bigl(\sum_y y\P(Y=y)\Bigr). \qedhere \end{aligned}

∎

Teorema 34.4 (Variación de una suma)

Si $X$ y $Y$ son independiente, Entonces

\V(X + Y) = \V(X) + \V(Y).

De manera más general, para independiente $X_1, \dots, X_n$ : $\V(X_1 + \dots + X_n) = \V(X_1) + \dots + \V(X_n)$ .

Demostración. Usando König–Huygens (Proposición 33.3) y linealidad:

\begin{align*} \V(X + Y) &= \E\bigl((X+Y)^2\bigr) - \bigl(\E X + \E Y\bigr)^2\\ &= \E(X^2) + 2\E(XY) + \E(Y^2) - \E(X)^2 - 2\E(X)\E(Y) - \E(Y)^2\\ &= \V(X) + \V(Y) + 2\bigl(\E(XY) - \E(X)\E(Y)\bigr), \end{align*}

y el último corchete desaparece para las variables independiente (Proposición 34.3). El caso general se sigue por inducción. ∎

Ejemplo 34.5 (Binomio revisado)

Una variable binomial $X \sim \mathcal B(n, p)$ es una suma $X = X_1 + \dots + X_n$ de $n$ independiente variables de Bernoulli. Por lo tanto, estructuralmente:

\E(X) = np, \qquad \V(X) = np(1-p),

recuperando Teorema 33.8 sin ningún cálculo.

Proposición 34.6 (Medios de la muestra)

Sea $X_1, \dots, X_n$ independiente con el mismo distribución que $X$ (expectativa $\mu$ , diferencia $\sigma^2$ ), y dejemos $M_n = \frac{X_1 + \dots + X_n}{n}$ sea su muestra significar. Entonces

\E(M_n) = \mu, \qquad \V(M_n) = \frac{\sigma^2}{n}, \qquad \sigma(M_n) = \frac{\sigma}{\sqrt n}.

Demostración. La linealidad da $\E(M_n) = \frac{n\mu}{n} = \mu$ ; independencia da $\V(X_1 + \dots + X_n) = n\sigma^2$ , y al dividir por $n$ se escala el diferencia por $\frac{1}{n^2}$ (Proposición 33.4). ∎

El $\frac{\sigma}{\sqrt n}$ es el ley de la raíz cuadrada fundamental: para reducir a la mitad las fluctuaciones de un promedio, cuadriplicar el tamaño muestra.

La ley de la raíz cuadrada: cada cuadriplicado del tamaño muestra solamente reduce a la mitad el desviación estándar del significar.

34.2 Desigualdades de concentración

Teorema 34.7 (desigualdad de Markov)

Si $X \geq 0$ y $a > 0$ :

\P(X \geq a) \leq \frac{\E(X)}{a}.

Demostración. En $\E(X) = \sum_i p_i x_i$ (todos los términos no negativos), mantenga solo los términos con $x_i \geq a$ : cada uno es al menos $a\,p_i$ , por lo que $\E(X) \geq a \sum_{x_i \geq a} p_i = a\,\P(X \geq a)$ . ∎

Teorema 34.8 (Bienaymé–Desigualdad de Chebyshev)

Para cualquier variable aleatoria $X$ y cualquier $\varepsilon > 0$ :

\P\bigl(\abs{X - \E(X)} \geq \varepsilon\bigr) \leq \frac{\V(X)}{\varepsilon^2}.

Demostración. Aplicar la desigualdad de Markov a la variable no negativa. $Y = (X - \E(X))^2$ con $a = \varepsilon^2$ :

\P\bigl(\abs{X - \E(X)} \geq \varepsilon\bigr) = \P(Y \geq \varepsilon^2) \leq \frac{\E(Y)}{\varepsilon^2} = \frac{\V(X)}{\varepsilon^2}. \qedhere

∎

Concentración: Bienaymé–Chebyshev acota el probabilidad que X cae en las colas (rojo), a una distancia al menos de es expectativa, por (X)/ 2. — Concentración: Bienaymé–Chebyshev acota el probabilidad que $X$ cae en las colas (rojo), a una distancia al menos $\varepsilon$ de es expectativa, por $\V(X)/\varepsilon^2$ .

Teorema 34.9 (Ley de los grandes números)

Sea $X_1, \dots, X_n$ independiente con el mismo distribución (expectativa $\mu$ , diferencia $\sigma^2$ ) y $M_n$ sus media muestral. Para cada $\varepsilon > 0$ :

\P\bigl(\abs{M_n - \mu} \geq \varepsilon\bigr) \leq \frac{\sigma^2}{n\,\varepsilon^2} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0 .

El media muestral se concentra alrededor del expectativa.

Demostración. Bienaymé–Chebyshev postuló a $M_n$ , cuyo expectativa es $\mu$ y cuyo diferencia es $\frac{\sigma^2}{n}$ (Proposición 34.6). ∎

Observación 34.10

Este teorema es el puente entre la teoría probabilidad y la estadística: el frecuencia de un evento en muchos enfoques de repeticiones independiente su probabilidad (tome $X_i$ el indicador del evento, de modo que $\mu = p$ ). Justifica estimar un probabilidad mediante simulación. (Método Montecarlo) y una proporción de población según una encuesta — cuantitativamente: ver Capítulo 35.

Método 34.11 (Usando Bienaymé–Chebyshev)

Para garantizar $\P(\abs{M_n - \mu} \geq \varepsilon) \leq \alpha$ , basta con que $n \geq \frac{\sigma^2}{\alpha\,\varepsilon^2}$ . El límite es crudo (las fluctuaciones reales suelen ser mucho menores) pero perfectamente general: no requiere nada sobre el distribución más allá de un diferencia finito.

34.3 Ceremonias

Ejercicio 34.1 ★

Se lanzan dos dados justos; sea $S$ la suma. Usando linealidad (no la distribución de $S$ !), calcule $\E(S)$ ; luego calcule $\V(S)$ usando independencia, dado que un solo dado justo tiene diferencia $\frac{35}{12}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 34.1.

Cada dado tiene expectativa $\frac{1 + 2 + \dots + 6}{6} = \frac{7}{2}$ , entonces por linealidad $\E(S) = \frac72 + \frac72 = 7$ . Los dados son independiente, entonces $\V(S) = \frac{35}{12} + \frac{35}{12} = \frac{35}{6} \approx 5.83$ .

Ejercicio 34.2 ★

Deje $X \sim \mathcal B(100,\ 0.5)$ . Atado $\P(X \geq 75)$ usando la desigualdad de Markov, Entonces $\P(\abs{X - 50} \geq 25)$ usando Bienaymé–Chebyshev. Comparar.

Solución

Solución de Ejercicio 34.2.

$\E(X) = 50$ y $\V(X) = 100 \times 0.25 = 25$ .

Markov ( $X \geq 0$ ): $\P(X \geq 75) \leq \frac{50}{75} = \frac23$ .

Bienaymé–Chebyshev: $\P(\abs{X - 50} \geq 25) \leq \frac{25}{25^2} = 0.04$ — y esto incluso limita el bilateral evento, del cual $X \geq 75$ es la mitad. Chebyshev es mucho más nítido aquí porque explota el diferencia, no sólo el significar. (El valor verdadero de $\P(X \geq 75)$ es menor que $10^{-6}$ : ambos límites son toscos.)

Ejercicio 34.3 ★

Una moneda justa se lanza $n$ veces y $F_n$ denota el frecuencia de caras. ¿Qué tamaño debe tener $n$ para que, en el camino de Bienaymé-Chebyshev, $\P\bigl(\abs{F_n - 0.5} \geq 0.05\bigr) \leq 0.05$ ?

Solución

Solución de Ejercicio 34.3.

$F_n$ es el media muestral de las variables $n$ Bernoulli $\left(\frac12\right)$ , de diferencia $\sigma^2 = \frac14$ . el atado

\P\left(\abs{F_n - 0.5} \geq 0.05\right) \leq \frac{1/4}{n \times 0.05^2} = \frac{100}{n}

es $\leq 0.05$ tan pronto como $n \geq 2000$ .

Ejercicio 34.4 ★★

Un inversor divide su capital en partes iguales entre activos $n$ independiente, cada uno con retorno esperado $\mu = 5\%$ y desviación estándar $\sigma = 20\%$ . Calcule el expectativa y el desviación estándar del rendimiento de la cartera $M_n$ , y el número de activos necesarios para llevar el desviación estándar debajo de $4\%$ . ¿Qué principio financiero hace esto? ilustrar?

Solución

Solución de Ejercicio 34.4.

Por Proposición 34.6, $\E(M_n) = 5\%$ (la diversificación no cambiar el rendimiento esperado) y $\sigma(M_n) = \frac{20\%}{\sqrt n}$ . Requerir $\frac{20}{\sqrt n} < 4$ da $\sqrt n > 5$ , i.e. $n \geq 26$ . Este es el principio de diversificación: distribuir el capital entre independiente riesgos divide el riesgo (desviación estándar) por $\sqrt n$ sin reducir el rendimiento esperado.

Ejercicio 34.5 ★★

Sean $X$ y $Y$ independiente, ambos uniformes en $\{1, 2, 3\}$ .

Dé el distribución de $S = X + Y$ y calcule $\E(S)$ , $\V(S)$ . directamente de él.
Recupera ambos valores por linealidad y aditividad de diferencia.

Solución

Solución de Ejercicio 34.5.

1. Contando los pares igualmente probables $9$ : $S$ toma los valores $2, 3, 4, 5, 6$ con probabilidades $\frac19, \frac29, \frac39, \frac29, \frac19$ . Por lo tanto $\E(S) = \frac{2 + 6 + 12 + 10 + 6}{9} = 4$ y $\E(S^2) = \frac{4 + 18 + 48 + 50 + 36}{9} = \frac{156}{9} = \frac{52}{3}$ , entonces $\V(S) = \frac{52}{3} - 16 = \frac43$ .

2. Una variable: $\E(X) = 2$ , $\E(X^2) = \frac{1 + 4 + 9}{3} = \frac{14}{3}$ , $\V(X) = \frac{14}{3} - 4 = \frac23$ . Luego $\E(S) = 2 + 2 = 4$ y, por independencia, $\V(S) = \frac23 + \frac23 = \frac43$ . Mismos valores.

Ejercicio 34.6 ★★

Demuestre que la aditividad de diferencia puede fallar sin independencia: calcule $\V(X + Y)$ para $Y = X$ y compárelo con $\V(X) + \V(Y)$ . Para ¿Qué variables $X$ es $\V(2X) = 2\V(X)$ ?

Solución

Solución de Ejercicio 34.6.

Con $Y = X$ : $\V(X + Y) = \V(2X) = 4\V(X)$ , mientras $\V(X) + \V(Y) = 2\V(X)$ . Los dos están de acuerdo sólo cuando $\V(X) = 0$ , i.e. cuando $X$ es constante — entonces la aditividad realmente requiere independencia (aquí $X$ depende al máximo de sí mismo).

Ejercicio 34.7 ★★

Se sospecha que un dado está cargado. Se lanza $1200$ veces y muestra un seis veces $260$ ( $f = 0.2167$ en lugar de $\frac16 \approx 0.1667$ ). bajo la hipótesis de que el dado es justo, atado $\P\bigl(\abs{F_n - \frac16} \geq 0.05\bigr)$ de Bienaymé–Chebyshev, y discutir si la hipótesis de equidad es plausible.

Solución

Solución de Ejercicio 34.7.

Para ser justos, $F_n$ es el significar de $n = 1200$ variables de Bernoulli con $p = \frac16$ , $\sigma^2 = \frac16\cdot\frac56 = \frac{5}{36}$ :

\P\left(\abs{F_n - \tfrac16} \geq 0.05\right) \leq \frac{5/36}{1200 \times 0.0025} = \frac{5}{108} \approx 0.046 .

La desviación observada es exactamente $0.05$ : una evento que produce un dado justo con probabilidad como máximo $4.6\%$ — y como Chebyshev es muy conservador, el verdadero probabilidad es mucho más pequeño. La hipótesis de la justicia no es plausible; Es muy probable que el dado esté cargado.

Ejercicio 34.8 ★★★

(Una mejor desigualdad para la moneda). Deja $X \sim \mathcal B(n,\ p)$ y $F_n = \frac Xn$ .

Muestre que $p(1-p) \leq \frac14$ para $p \in \intcc{0}{1}$ .
Deduce el límite libre de distribución. $\P\bigl(\abs{F_n - p} \geq \varepsilon\bigr) \leq \frac{1}{4n\varepsilon^2}$ .
¿Cuántas personas se deben encuestar para que el frecuencia observado sea dentro de $3$ puntos de la verdadera proporción con probabilidad al menos $95\%$ , ¿usando este enlace? (Las encuestas reales utilizan estimaciones más precisas, pero el orden de magnitud es correcto.)

Solución

Solución de Ejercicio 34.8.

1. $p(1-p) = \frac14 - \left(p - \frac12\right)^2 \leq \frac14$ .

2. $F_n$ tiene expectativa $p$ y diferencia $\frac{p(1-p)}{n} \leq \frac{1}{4n}$ ; Bienaymé–Chebyshev da

\P\bigl(\abs{F_n - p} \geq \varepsilon\bigr) \leq \frac{p(1-p)}{n\varepsilon^2} \leq \frac{1}{4n\varepsilon^2},

válido cualquiera que sea el desconocido $p$ .

3. Con $\varepsilon = 0.03$ y nivel $0.05$ :

\frac{1}{4n(0.03)^2} \leq 0.05 \iff n \geq \frac{1}{4 \times 0.0009 \times 0.05} \approx 5556 .

Aproximadamente $5600$ personas son suficientes para este tosco límite (el clásico aproximación normal la respuesta está más cerca de $1100$ , consulte Capítulo 35).

34.4 Problema: la casa siempre gana

Problema 34.1

Problema de fin de semana — la ley de los grandes números explica los casinos, las encuestas y los seguros, y derriba el la falacia del jugador en camino

Un jugador de ruleta después de los giros $100$ es, casi siempre, adelante. El casino que ejecuta un millón de giros está por delante con un certeza que ningún tribunal cuestionaría. Mismo juego, misma pequeña ventaja — la diferencia es $\sqrt n$ , y es el tema de este capítulo (Proposición 34.6, Teorema 34.8, Teorema 34.9). esto El problema controla los libros del casino, dimensiona una encuesta electoral, fija los precios. diversificación — y desmantela la falacia más cara en la historia del juego.

Parte I — Fluency.

Dos dados independiente: calcular $V(X + Y)$ (Teorema 34.4).
Tira los dados $100$ independiente y promedia los resultados: dar el expectativa y el desviación estándar del media muestral (Proposición 34.6; por un dado, $\sigma = \sqrt{35/12} \approx 1.71$ ).
Un variable aleatoria no negativo tiene expectativa $2$ . ¿Qué significa la desigualdad de Markov? (Teorema 34.7) decir sobre $\P(X \geq 10)$ ?
Obligado $\P\left(\abs{\bar X_{100} - 3.5} \geq 0.5\right)$ para el promedio de dados de la pregunta 2 con Bienaymé–Chebyshev.
Esperanzas de heredar agregar siempre, variaciones solo bajo independencia: exposición dependiente $X, Y$ (pista: $Y = -X$ ) para el cual $V(X + Y) \neq V(X) + V(Y)$ .

Parte II — The house’s books. Ruleta europea, apuesta $1$ euro al rojo: gana $+1$ con probabilidad $\frac{18}{37}$ , pierde $-1$ con probabilidad $\frac{19}{37}$ .

Calcular el expectativa y desviación estándar de uno ganancia de la apuesta.
Un jugador hace apuestas $100$ independiente; sea $G$ el ganancia total. Calcule $\E(G)$ y $\sigma(G)$ , luego el relación $\frac{\abs{\E(G)}}{\sigma(G)}$ . ¿Qué significa un deriva de un cuarto de desviación estándar significar para el ¿Cuáles son las posibilidades del jugador de ganar esta noche?
El casino ve apuestas $1\,000\,000$ . Calcular el expectativa y desviación estándar de su toma total, y la misma proporción. Interprete el número $27$ .
Certificar ante Chebyshev: vinculado el probabilidad que el casino pierde dinero sobre el millón de apuestas.
Sistemas de apuestas: doblar después de perder, abandonar cuando forward … Usando la linealidad de expectativa (Teorema 34.1) sobre el (posiblemente aleatorio) secuencia de lo que está en juego, explica por qué cada La estrategia en un juego de borde negativo tiene expectativas negativas. ganancia — ¿qué violaría un sistema ganador?
Indica qué es la ley de los grandes números. (Teorema 34.9) promete sobre el frecuencia de rojo — y lo que promete no el siguiente giro después de diez rojos seguidos. Nombra el falacia.
El punto más sutil: la ley funciona por dilución, no compensación. Si los rojos corren $100$ por delante de expectativa después de una tarde, el excedente nunca es “reembolsado” — calcula lo que sucede en cambio con el fracción $\frac{100}{n}$ por $n = 10^6$ , y Reescribe el error del jugador en una frase.

Parte III — Polls.

De Ejercicio 34.8: cuantas personas deben ser encuestado para que el frecuencia observado caiga dentro de $3$ puntos de la verdad con probabilidad al menos $95\,\%$ , ¿por el destino de Chebyshev sin distribución?
Los institutos electorales reales utilizan alrededor de $1\,100$ personas para un margen de puntos $\pm 3$ en $95\,\%$ : su fórmula es $n \approx \frac{1.96^2 \times p(1-p)} {\varepsilon^2}$ con $p(1-p) \leq \frac14$ . evaluar y explique la brecha con la pregunta 13 (¿qué ¿Acaso Chebyshev no conoce la forma del ¿fluctuaciones?).
Para reducir a la mitad el margen de error, ¿cómo debe ser el muestra? crecer? De $\pm 3$ puntos a $1\,100$ , qué muestra da puntos $\pm 1.5$ ?
El clásico contradictorio: el tamaño muestra necesario nunca usé el tamaño de la población — $1\,100$ personas suficiente para una ciudad o un continente. Señala el lugar en el modelo donde el tamaño de la población está ausente, y Dé la analogía de la cocina que utilizan los encuestadores.

Parte IV — Diversification.

El asegurador de Problema 33.1 gana $30n$ euros en expectativa en pólizas $n$ con afirma desviación estándar de aproximadamente $315\sqrt n$ . Para cuál $n$ hace que el beneficio esperado finalmente supere uno desviación estándar de las reclamaciones? cual es el $\sqrt n$ haciendo para la aseguradora?
El rendimiento anual de una acción fluctúa con $\sigma = 20\,\%$ . Divide el dinero en partes iguales entre $25$ independiente dichos stocks: calcular el $\sigma$ de la cartera. Las finanzas llaman a la diversificación el único almuerzo gratis — ¿qué es el almuerzo exactamente?
Ahora dejemos que las acciones $25$ estén perfectamente correlacionadas (son todos se mueven juntos): ¿cuál es el $\sigma$ de la cartera? Compare los dos extremos y establezca qué supuesto cada diversificación argumento alquila en secreto — y qué ocurrió cuando falló en todo el sistema en 2008.
Finale — la sinfonía $\sqrt n$ : las sumas fluctúan como $\sqrt n$ mientras sus medios se asientan como $\frac{1}{\sqrt n}$ ; reproducir el tema a través de los cuatro industrias de este problema (casino, encuestas, seguros, portafolios), nombre a los dos abusadores permanentes (el falacia del jugador y falso independencia), y dar la puntero hacia adelante: el forma de las fluctuaciones — la campana — es el siguiente capítulo continuo estrella, y su teorema completo corona la universidad volúmenes.

Solución

Solución de Problema 34.1.

1. $V(X + Y) = V(X) + V(Y) = \frac{35}{12} + \frac{35}{12} = \frac{35}{6}$ (independencia).

2. $\E(\bar X) = 3.5$ ; $\sigma(\bar X) = \frac{1.71}{\sqrt{100}} \approx 0.17$ : el promedio de cien dados abrazos $3.5$ dentro de una quinta parte de un punto.

3. $\P(X \geq 10) \leq \frac{2}{10} = 0.2$ .

4. $\P \leq \frac{V(\bar X)}{0.5^2} = \frac{35/1200}{0.25} \approx 0.117$ : como máximo aproximadamente $12\,\%$ .

5. Con $Y = -X$ : $V(X + Y) = V(0) = 0$ , mientras $V(X) + V(Y) = 2V(X) > 0$ : variables perfectamente anticorrelacionadas cancelar — La adición de diferencia es un privilegio independencia.

6. $\E = \frac{18}{37} - \frac{19}{37} = -\frac{1}{37} \approx -0.027$ ; $\sigma = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{37}\right)^2} \approx 1.00$ .

7. $\E(G) = -2.70$ , $\sigma(G) = 10 \times 1.00 = 10$ : la deriva es solo $0.27\sigma$ . El ruido de la noche eclipsa la ventaja — una gran minoría de jugadores (aproximadamente $40\,\%$ , dice el timbre) salen adelante, que es precisamente lo que mantiene que regresen.

8. Ganancia del casino: expectativa $+27\,027$ euros, desviación estándar $\approx 1\,000$ : el beneficio se sitúa en $27$ desviaciones estándar por encima de cero. En $27\sigma$ , "el casino "Podemos perder este año" no es un riesgo, es un error de redondeo.

9. $\P(\text{loss}) = \P(G \geq 27\,027$ para el gamblers $)$ $\leq \frac{10^6 \times 1}{27\,027^2} \approx 0.0014$ : hasta la desigualdad más contundente del libro garantiza la casa en $99.86\,\%$ — la verdad es astronómicamente más fuerte.

10. Cada euro apostado, cuando y como se elija, ha esperado el retorno $-\frac{1}{37}$ de sí mismo; por linealidad la ganancia total esperada es $-\frac{1}{37} \times (\text{total staked})$ , negativa para cada estrategia que apuesta cualquier cosa. Un sistema ganador violaría la linealidad de expectativa — ninguna secuenciación inteligente de malas apuestas constituye un bueno. (Los sistemas de doblar simplemente intercambian muchas pequeñas ganancias por raras pérdidas catastróficas.)

11. El teorema: el frecuencia del rojo sobre $n$ hace girar converge (en probabilidad) a $\frac{18}{37}$ . eso no dice nada sobre el giro $n + 1$ : la rueda no tiene memoria y Después de diez rojos, la posibilidad de que salga rojo sigue siendo $\frac{18}{37}$ . Creer lo contrario es el falacia del jugador, y La pregunta 12 muestra lo que realmente sucede con las rachas.

12. El excedente de tintos $100$ no se devuelve — Los giros futuros son copias limpias, el excedente esperado permanece $100$ . Pero $\frac{100}{10^6} = 0.0001$ : una centésima de punto. El error de la falacia en una frase: la ley de los grandes las cifras diluyen los accidentes pasados en un océano de nuevos juicios; eso Nunca envía la rueda a cobrar deudas.

13. $n \geq \frac{1}{4 \times 0.05 \times 0.03^2} \approx 5\,556$ personas.

14. $\frac{1.96^2 \times 0.25}{0.03^2} \approx 1\,067$ : cinco veces menos. Chebyshev aguanta para cada distribución y paga su universalidad con holgura; el La constante de los encuestadores $1.96$ proviene de la forma real de la campana. de las fluctuaciones, que se concentra mucho más.

15. Margen $\propto \frac{1}{\sqrt n}$ : reducirlo a la mitad cuadruplica el muestra — alrededor de $4\,400$ personas para $\pm 1.5$ puntos. La precisión se compra a precios cuadráticos.

16. El modelo es $n$ independiente dibuja con éxito. probabilidad $p$ — el tamaño de población $N$ nunca aparece (muestreo de una pequeña fracción de una población grande y bien mezclada es lo que codifica independencia). La analogía de los encuestadores: prueba la sopa, una cucharada bien revuelta es suficiente — si el bote sirve para diez o diez mil. El truco es el agitación — un marco de muestreo sesgado, como en la escuela secundaria encuesta de volumen que engañó a un país, no al bote.

17. $315\sqrt n < 30n \iff \sqrt n > 10.5 \iff n > 110$ : más allá de cien políticas, la deriva supera a la ruido, y cada nueva política amplía la brecha en Ley $\sqrt n$ — agrupación is del modelo de negocio.

18. Independiente partes iguales: $\sigma_{\text{pf}} = \frac{20\,\%}{\sqrt{25}} = 4\,\%$ : mismo rendimiento esperado, una quinta parte de la fluctuación. El almuerzo: reducción del riesgo a cero costo en expectativa — promediando la aleatoriedad independiente.

19. Perfectamente correlacionada: la cartera es una acción en trajes $25$ : $\sigma = 20\,\%$ , sin reducción alguna. Rentas de diversificación independencia; cuando una crisis correlaciona todo (2008: todas las apuestas inmobiliarias fueron una apuesta), la protección $\sqrt n$ se evapora exactamente cuando se necesario.

20. Las sumas varían como $n$ y fluctúan como $\sqrt n$ , significa resolver como $\frac{1}{\sqrt n}$ : el el casino acumula más de un millón de giros; el encuestador compra $\frac{1}{\sqrt{1100}}$ de ruido por un presupuesto de teléfono; la aseguradora supera sus propias reclamaciones en $n > 110$ ; el riesgo del inversor divide por $\sqrt{25}$ . Abusadores: el jugador quien cree en las deudas (sólo hay dilución), y el financiero que cree en independencia (a veces hay sólo una apuesta). La forma universal de las fluctuaciones — la bell — es la estrella del capítulo continuo, y su teorema, el teorema del límite central, es la cumbre de la universidad volúmenes ’probabilidad.