Matemáticas de secundaria · Grades 10–12

30Matrices y gráficas

Un matriz es una matriz rectangular de números, sumados y multiplicados por reglas diseñado para que el álgebra matriz represente la composición de transformaciones. Matrices resuelven sistemas lineales, unidad acoplada recurrente secuencias y contar paseos en redes: las matemáticas detrás de la búsqueda motores y algoritmos de camino más corto.

30.1 Álgebra matricial

Definición 30.1 (Matriz)

Un $m \times n$ matrix es una tabla de números reales con $m$ filas y $n$ columnas: $A = (a_{ij})$ , donde $a_{ij}$ es la entrada en la fila $i$ , columna $j$ . Se suman dos matrices del mismo tamaño entrada por entrada, y $\lambda A = (\lambda a_{ij})$ .

Definición 30.2 (Producto matriz)

Sea $A$ $m \times n$ y $B$ sea $n \times p$ . El producto $AB$ es el $m \times p$ matriz cuya entrada $(i,j)$ es

(AB)_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} b_{kj}

(la regla “fila $i$ de $A$ multiplicada por la columna $j$ de $B$ ”).

Ejemplo 30.3

$\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 3\\ 4 & 7\end{pmatrix}$ , mientras $\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 4\\ 4 & 6\end{pmatrix}$ : matriz multiplication is not commutative.

Proposición 30.4 (Reglas del álgebra matricial)

Siempre que los tamaños hagan que los productos tengan significado:

(AB)C = A(BC), \qquad A(B + C) = AB + AC, \qquad (A+B)C = AC + BC,

y el identity matriz $I_n$ (unos en la diagonal, ceros en el resto) satisface $I_m A = A I_n = A$ para $A$ de tamaño $m \times n$ .

Demostración. Todas son verificaciones entrada por entrada de Definición 30.2; asociatividad, la única no trivial, equivale a intercambiar dos sumas finitas: $\bigl((AB)C\bigr)_{ij} = \sum_l \left(\sum_k a_{ik}b_{kl}\right) c_{lj} = \sum_k a_{ik} \left(\sum_l b_{kl} c_{lj}\right) = \bigl(A(BC)\bigr)_{ij}$ . ∎

Definición 30.5 (inversa)

Un cuadrado matriz $A$ de tamaño $n$ es reversible si hay un matriz $B$ con $AB = BA = I_n$ ; $B$ es entonces único, escrito $A^{-1}$ .

Proposición 30.6 (Inversa de una matriz $2\times2$ )

Deje $A = \begin{pmatrix} a & b\\ c & d\end{pmatrix}$ y $\det A = ad - bc$ (el determinante). Entonces $A$ es reversible si y sólo si $\det A \neq 0$ , en cuyo caso

A^{-1} = \frac{1}{ad - bc}\begin{pmatrix} d & -b\\ -c & a\end{pmatrix}.

Demostración. Un cálculo da $A \begin{pmatrix} d & -b\\ -c & a\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} d & -b\\ -c & a\end{pmatrix} A = (ad - bc) I_2$ ; si $ad - bc \neq 0$ , dividir. Por el contrario, si $ad - bc = 0$ , las columnas de $A$ son proporcionales, al igual que las columnas de $AB$ para cualquier $B$ ; pero el Las columnas de $I_2$ no son proporcionales, por lo que ninguna $B$ puede satisfacer $AB = I_2$ . ∎

Método 30.7 (sistemas lineales)

el sistema $\begin{cases} ax + by = e\\ cx + dy = f \end{cases}$ es el matriz ecuación $AX = Y$ con $X = \begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix}$ , $Y = \begin{pmatrix} e \\ f\end{pmatrix}$ . Si $\det A \neq 0$ , es único la solución es $X = A^{-1}Y$ . El mismo formalismo maneja $n$ ecuaciones en $n$ incógnitas.

30.2 Poderes matriciales y secuencias recurrentes.

Definición 30.8

Para un cuadrado matriz $A$ y $k \in \N$ , $A^k = A \times \dots \times A$ (factores $k$ ), con $A^0 = I$ .

Método 30.9 (Casos diagonal más nilpotente y diagonalizable)

Dos formas estándar de calcular $A^k$ :

Si $A = \lambda I + N$ donde $N^2 = 0$ , el teorema del binomio (válido aquí desde que $I$ y $N$ conmutan) se colapsa en dos términos: $A^k = \lambda^k I + k \lambda^{k-1} N$ .
Si se encuentra un reversible $P$ con $A = PDP^{-1}$ y $D$ en diagonal, luego $A^k = P D^k P^{-1}$ y $D^k$ se calcula entrada por entrada. (Encontrar tal $P$ sistemáticamente es la teoría de diagonalización, desarrollado en la universidad; en este nivel $P$ es dado.)

Ejemplo 30.10 (secuencias acopladas)

Sean $u_{n+1} = 3u_n + v_n$ y $v_{n+1} = u_n + 3v_n$ . Configuración $X_n = \begin{pmatrix} u_n\\ v_n \end{pmatrix}$ y $A = \begin{pmatrix} 3 & 1\\ 1 & 3\end{pmatrix}$ , obtenemos $X_{n+1} = AX_n$ , entonces $X_n = A^n X_0$ . El auxiliar secuencias $s_n = u_n + v_n$ y $d_n = u_n - v_n$ satisfacen $s_{n+1} = 4s_n$ y $d_{n+1} = 2d_n$ , entonces $s_n = 4^n s_0$ , $d_n = 2^n d_0$ y

u_n = \frac{4^n(u_0+v_0) + 2^n(u_0-v_0)}{2}, \qquad v_n = \frac{4^n(u_0+v_0) - 2^n(u_0-v_0)}{2}.

(Detrás de escena: $(1,1)$ y $(1,-1)$ son direcciones de vectores propios de $A$ ).

30.3 Graficas y paseos

Definición 30.11 (Gráfico, matriz de adyacencia)

Un gráfico consta de vértices $1, 2, \dots, n$ y aristas unir ciertos pares de vértices (pares ordenados para un dirigido gráfico). Su matriz de adyacencia es el $n \times n$ matriz $M$ con $m_{ij} = 1$ si hay un borde de $i$ a $j$ y $0$ en caso contrario. Un caminar de longitud $k$ de $i$ a $j$ es un secuencia de $k$ bordes consecutivos que van desde $i$ a $j$ .

M = pmatrix 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0 pmatrix Un gráfico dirigido y su matriz de adyacencia (): m_ij = 1 exactamente cuando hay un borde de i a j. — $M = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ Un gráfico dirigido y su matriz de adyacencia (Ejercicio 30.6): $m_{ij} = 1$ exactamente cuando hay un borde de $i$ a $j$ .

Teorema 30.12 (Contando paseos)

El número de recorridos de longitud $k$ desde el vértice $i$ hasta el vértice $j$ es el $(i,j)$ entrada de $M^k$ .

Demostración. Inducción en $k$ . Para $k = 1$ esta es la definición de $M$ . asumir el reclamación para $k$ . Un paseo de longitud $k+1$ desde $i$ hasta $j$ es un paseo de longitud $k$ desde $i$ hasta algún vértice $l$ , seguido de una arista desde $l$ hasta $j$ ; por el principios de suma y multiplicación, su número es

\sum_{l=1}^{n} \bigl(M^k\bigr)_{il}\, m_{lj} = \bigl(M^{k+1}\bigr)_{ij}. \qedhere

∎

Ejemplo 30.13

Para el triángulo gráfico (vértices $3$ , todos los pares unidos), $M = \begin{pmatrix} 0&1&1\\ 1&0&1\\ 1&1&0\end{pmatrix}$ y $M^2 = \begin{pmatrix} 2&1&1\\ 1&2&1\\ 1&1&2\end{pmatrix}$ : de cada vértice hay $2$ recorridos de longitud $2$ de regreso a sí mismo (a través de cualquier vecino) y $1$ entre sí.

30.4 Ceremonias

Ejercicio 30.1 ★

Deje $A = \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} 2 & 0\\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ . Calcular $A + B$ , $AB$ , $BA$ y $A^2$ .

Solución

Solución de Ejercicio 30.1.

A + B = \begin{pmatrix} 3 & 2\\ 1 & 2\end{pmatrix}, \quad AB = \begin{pmatrix} 4 & 2\\ 1 & 1\end{pmatrix}, \quad BA = \begin{pmatrix} 2 & 4\\ 1 & 3\end{pmatrix}, \quad A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 4\\ 0 & 1\end{pmatrix}.

Nota $AB \neq BA$ .

Ejercicio 30.2 ★

Determine si las siguientes matrices son reversible y calcule la Inversos cuando existen:

A = \begin{pmatrix} 2 & 5\\ 1 & 3\end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} 3 & 6\\ 2 & 4\end{pmatrix}.

Solución

Solución de Ejercicio 30.2.

$\det A = 6 - 5 = 1 \neq 0$ : $A^{-1} = \begin{pmatrix} 3 & -5\\ -1 & 2 \end{pmatrix}$ . $\det B = 12 - 12 = 0$ : $B$ no es reversible.

Ejercicio 30.3 ★

Resolver por inversión matriz el sistema. $\begin{cases} 2x + 5y = 1\\ x + 3y = 2 . \end{cases}$

Solución

Solución de Ejercicio 30.3.

El sistema es $AX = Y$ con $A$ como en Ejercicio 30.2 y $Y = \begin{pmatrix} 1\\ 2\end{pmatrix}$ :

X = A^{-1}Y = \begin{pmatrix} 3 & -5\\ -1 & 2\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1\\ 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -7\\ 3\end{pmatrix}: \qquad x = -7,\ y = 3 .

Ejercicio 30.4 ★★

Deje $A = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 0 & 2\end{pmatrix} = 2I + N$ con $N = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ .

Compruebe que $N^2 = 0$ y $I$ y $N$ conmutan.
Deduzca $A^k$ para todos los $k \in \N$ y verifique la fórmula para $k=2$ por cálculo directo.

Solución

Solución de Ejercicio 30.4.

1. $N^2 = \begin{pmatrix} 0&1\\0&0\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0&1\\0&0\end{pmatrix} = 0$ y $I$ conmutan con cada matriz.

2. Dado que los dos términos se conmutan, se aplica el teorema del binomio y todos Los términos que contienen $N^2$ desaparecen:

A^k = (2I + N)^k = 2^k I + k\,2^{k-1} N = \begin{pmatrix} 2^k & k\,2^{k-1}\\ 0 & 2^k \end{pmatrix}.

Compruebe si hay $k = 2$ : $A^2 = \begin{pmatrix} 2&1\\0&2\end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix} 4&4\\0&4\end{pmatrix}$ , y la fórmula da $2^2 = 4$ , $2 \times 2 = 4$ . ✓

Ejercicio 30.5 ★★

Vamos $A = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 1\end{pmatrix}$ y $F_n$ los Fibonacci secuencia ( $F_0 = 0$ , $F_1 = 1$ , $F_{n+2} = F_{n+1} + F_n$ ). Mostrar por inducción que para $n \geq 1$ ,

A^n = \begin{pmatrix} F_{n-1} & F_n\\ F_n & F_{n+1}\end{pmatrix},

y deducir la identidad $F_{n+1}F_{n-1} - F_n^2 = (-1)^n$ . (Pista: determinantes multiplica: $\det(MN) = \det M \det N$ , que puedes verifique las matrices $2\times2$ ).

Solución

Solución de Ejercicio 30.5.

Inducción. Para $n = 1$ : $A^1 = \begin{pmatrix} 0&1\\1&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} F_0 & F_1\\ F_1 & F_2\end{pmatrix}$ . Supongamos la fórmula para $n$ ; entonces

A^{n+1} = A^n A = \begin{pmatrix} F_{n-1} & F_n\\ F_n & F_{n+1}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} F_n & F_{n-1} + F_n\\ F_{n+1} & F_n + F_{n+1}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} F_n & F_{n+1}\\ F_{n+1} & F_{n+2}\end{pmatrix}.

Identidad. Para matrices $2\times2$ , se muestra en expansión $\det(MN) = \det M \det N$ ; por lo tanto $\det(A^n) = (\det A)^n = (-1)^n$ , y $\det A^n = F_{n-1}F_{n+1} - F_n^2$ . (Este es La identidad de Cassini.)

Ejercicio 30.6 ★★

Un gráfico dirigido en los vértices $\{1, 2, 3\}$ tiene aristas $1\to2$ , $2\to3$ , $3\to1$ y $1\to3$ .

Escriba matriz de adyacencia $M$ y calcule $M^2$ y $M^3$ .
¿Cuántas caminatas de longitud $3$ van de $1$ a $1$ ? Enumérelos.

Solución

Solución de Ejercicio 30.6.

1. Ordenar vértices $1, 2, 3$ :

M = \begin{pmatrix} 0&1&1\\ 0&0&1\\ 1&0&0\end{pmatrix}, \quad M^2 = \begin{pmatrix} 1&0&1\\ 1&0&0\\ 0&1&1\end{pmatrix}, \quad M^3 = \begin{pmatrix} 1&1&1\\ 1&0&1\\ 1&0&1 \end{pmatrix}.

2. $\bigl(M^3\bigr)_{11} = 1$ : exactamente un paseo cerrado de longitud $3$ en el vértice $1$ , es decir, $1 \to 2 \to 3 \to 1$ . (El paseo $1 \to 3 \to 1$ tiene longitud $2$ solamente, y $1 \to 3$ luego $3\to1$ luego $1\to3$ termina en $3$ .)

Ejercicio 30.7 ★★

Una empresa de coches compartidos mueve vehículos entre dos ciudades $A$ y $B$ . cada uno semana, $80\%$ de los autos en $A$ permanecen en $A$ y $20\%$ pasan a $B$ ; $30\%$ de los autos en $B$ pasan a $A$ y $70\%$ permanecen. Sea $a_n, b_n$ el proporciones de la flota en cada ciudad.

Escribe $X_{n+1} = MX_n$ con $X_n = \begin{pmatrix} a_n\\ b_n\end{pmatrix}$ e identificar $M$ .
Encuentra las proporciones de equilibrio (resuelve $MX = X$ con $a + b = 1$ ).
Demuestre que $c_n = a_n - 0.6$ satisface $c_{n+1} = 0.5\,c_n$ , y concluir que la flota distribución converge llega al equilibrio.

Solución

Solución de Ejercicio 30.7.

1. $a_{n+1} = 0.8a_n + 0.3b_n$ , $b_{n+1} = 0.2a_n + 0.7b_n$ : $M = \begin{pmatrix} 0.8 & 0.3\\ 0.2 & 0.7\end{pmatrix}$ .

2. $MX = X$ da $0.8a + 0.3b = a$ , i.e. $0.3b = 0.2a$ , entonces $b = \frac23 a$ ; con $a + b = 1$ : $a = 0.6$ , $b = 0.4$ .

3. Usando $b_n = 1 - a_n$ : $a_{n+1} = 0.8a_n + 0.3(1 - a_n) = 0.5a_n + 0.3$ , entonces

c_{n+1} = a_{n+1} - 0.6 = 0.5a_n + 0.3 - 0.6 = 0.5(a_n - 0.6) = 0.5\,c_n .

Por lo tanto $c_n = 0.5^n c_0 \to 0$ : $a_n \to 0.6$ y $b_n \to 0.4$ , cualquiera que sea el inicial distribución.

Ejercicio 30.8 ★★★

Vamos $A = \begin{pmatrix} 3 & 1\\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ , $P = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ .

Calcule $P^{-1}$ , luego $D = P^{-1}AP$ y verifique que $D$ sea diagonal.
Deducir una fórmula cerrada para $A^n$ y comparar con Ejemplo 30.10.

Solución

Solución de Ejercicio 30.8.

1. $\det P = -2$ , entonces $P^{-1} = -\frac12\begin{pmatrix} -1 & -1\\ -1 & 1\end{pmatrix} = \frac12\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1\end{pmatrix}$ . entonces

AP = \begin{pmatrix} 4 & 2\\ 4 & -2 \end{pmatrix}, \qquad D = P^{-1}AP = \frac12\begin{pmatrix} 1&1\\1&-1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4&2\\4&-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 0\\ 0 & 2\end{pmatrix}.

2. A partir de $A = PDP^{-1}$ , una inducción inmediata da $A^n = PD^nP^{-1}$ con $D^n = \begin{pmatrix} 4^n & 0\\ 0 & 2^n\end{pmatrix}$ , entonces

A^n = P D^n P^{-1} = \begin{pmatrix} 4^n & 2^n\\ 4^n & -2^n\end{pmatrix}\cdot \frac12\begin{pmatrix} 1&1\\1&-1\end{pmatrix} = \frac12\begin{pmatrix} 4^n + 2^n & 4^n - 2^n\\ 4^n - 2^n & 4^n + 2^n\end{pmatrix}.

Aplicando $A^n$ a $X_0 = \begin{pmatrix} u_0\\v_0\end{pmatrix}$ se reproduce exactamente las fórmulas de Ejemplo 30.10.

30.5 Problema: La matriz que conoce a Fibonacci (y la clima)

Problema 30.1

Problema de fin de semana — una matriz $2 \times 2$ lleva todo Fibonacci, una matriz de Markov pronóstica a largo plazo clima, y un vector propio vale mil millones de dólares

Un matriz es una máquina que come un estado y devuelve el siguiente — y su potestades poseen, por tanto, futuros completos. esto El problema comienza con el asombroso matriz cuyos poderes enumeran los Números de Fibonacci (y probar sus identidades en una línea cada uno), luego ejecuta el clima como una cadena de Markov hasta su estado estacionario, y cierra con el vector propio sobre el que se construyó un motor de búsqueda (Teorema 30.12, Método 30.9).

Parte I — Fluency.

Con $A = \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4\end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix}$ : calcular $AB$ y $BA$ . ¿Veredicto sobre la conmutatividad?
Invertir $\begin{pmatrix} 2 & 1\\ 5 & 3\end{pmatrix}$ (Proposición 30.6) y utilizar el inverso para resolver $2x + y = 4$ , $5x + 3y = 7$ .
Vamos a $N = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix}$ : calcular $N^2$ y deducir $(I + N)^n = I + nN$ por cada $n$ .
El triángulo gráfico (tres vértices, todos los pares unidos): escriba su matriz de adyacencia $A$ , calcule $A^3$ y interpretar las entradas diagonales (Teorema 30.12).
Para $D = \begin{pmatrix} 2 & 0\\ 0 & \frac12 \end{pmatrix}$ : proporcione $D^n$ y su comportamiento como $n \to \infty$ .

Parte II — The Fibonacci matriz. Deja $F = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix}$ y deja $F_1 = F_2 = 1, F_3 = 2, \dots$ sean los números de Fibonacci de Problema 13.1.

Calcula $F^2$ , $F^3$ , $F^4$ y conjetura el general forma de $F^n$ en términos de números de Fibonacci.
Demuestra la conjetura $F^n = \begin{pmatrix} F_{n+1} & F_n\\ F_n & F_{n-1} \end{pmatrix}$ por inducción.
Tome determinantes de ambos lados (el determinante de un El producto es el producto del determinantes — compruébalo. en matrices $2 \times 2$ si nunca lo has visto): deducir La identidad de Cassini $F_{n+1}F_{n-1} - F_n^2 = (-1)^n$ — el Motor de cuadrado fugaz, probado en una línea.
De $F^{m+n} = F^m F^n$ , lea la parte superior derecha entradas y derivar el fórmula de suma

$F_{m+n} = F_{m+1} F_n + F_m F_{n-1} .$

Compruébelo para $m = n = 3$ .
Deducir de la fórmula de la suma (inducción en $k$ ) que $F_n$ divide $F_{kn}$ , y verifique en $F_3 \mid F_6$ y $F_3 \mid F_9$ .
Para calcular $F_{100}$ , no es necesario multiplicar $100$ matrices: cuadrado repetidamente ( $F^2, F^4, F^8, \dots$ ) y combinar. ¿Cuántas multiplicaciones matriz son suficientes? y qué antiguo truco de multiplicación del Medio ¿El volumen escolar es este, promovido a matrices?

Parte III — The weather machine. En una determinada ciudad: después de un día soleado, el siguiente es soleado con probabilidad $0.8$ ; despues de un dia lluvioso, soleado con probabilidad $0.4$ . Codifique el distribución del día como una columna. $\binom{p_{\text{sun}}}{p_{\text{rain}}}$ y la evolución por

M = \begin{pmatrix} 0.8 & 0.4\\ 0.2 & 0.6 \end{pmatrix}.

Compruebe que cada columna de $M$ sume $1$ y diga por qué. cualquier máquina meteorológica debe tener esta propiedad.
Hoy está soleado. Calcule el pronóstico para mañana y para el día siguiente.
Encuentra el estado estable: el distribución $v$ con $Mv = v$ (y entradas que suman $1$ ). ¿Qué fracción de ¿Hay días soleados a largo plazo?
Comienza desde un día lluvioso, $\binom01$ , y aplica $M$ cuatro veces, rastreando la distancia hasta el estado estable en cada paso. ¿En qué factor se reduce la brecha por paso? — ¿Y qué tipo de convergencia es esta?
PageRank en miniatura: tres páginas, con enlaces $A \to B$ , $A \to C$ , $B \to C$ , $C \to A$ . un azar El navegante sigue un enlace saliente de manera uniforme y aleatoria. Escriba la transición matriz, encuentre el estado estacionario y clasificar las páginas.
Interprete el ranking: ¿por qué $C$ obtiene una puntuación tan alta como $A$ a pesar de recibir enlaces de menos páginas — ¿qué ¿Cómo mide realmente el estado estacionario? (PageRank real añade un factor de amortiguación para callejones sin salida y saltos; el La idea del vector propio es exactamente ésta.)

Parte IV — Diagonal dividends.

Dos cantidades acopladas obedecen $u_{n+1} = 3u_n + v_n$ , $v_{n+1} = u_n + 3v_n$ , es decir el matriz $A$ de Ejercicio 30.8. Usando eso diagonalización del ejercicio ( $D = \operatorname{diag}(4, 2)$ ), dar el cerrado fórmula para $u_n$ cuando $u_0 = 1$ , $v_0 = 0$ y verifique compararlo con el cálculo directo para $n = 1, 2, 3$ .
En una o dos frases: ¿qué significa diagonalización? do a un sistema acoplado — y en qué sentido el estado estacionario de Markov de la pregunta 14 es un vector propio historia también?
Finale — las tres caras del matriz este fin de semana: contabilidad (sistemas e inversas), combinatoria (paseos y enlaces contados por poderes), y evolución (Fibonacci, el clima, la web — lectura de futuros direcciones propias). Una frase cada uno, más la puntero hacia adelante: el álgebra lineal de los volúmenes universitarios hace de cada una de estas caras una teoría.

Solución

Solución de Problema 30.1.

1. $AB = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 4 & 3\end{pmatrix}$ y $BA = \begin{pmatrix} 3 & 4\\ 1 & 2\end{pmatrix}$ : matriz la multiplicación no es conmutativa — $B$ intercambia columnas en el derecha, filas a la izquierda.

2. Determinante $6 - 5 = 1$ : inversa $\begin{pmatrix} 3 & -1\\ -5 & 2\end{pmatrix}$ . Aplicándolo a $\binom{4}{7}$ : $x = 12 - 7 = 5$ , $y = -20 + 14 = -6$ .

3. $N^2 = 0$ . Luego $(I + N)^n = I + nN$ por inducción: $(I + nN)(I + N) = I + (n+1)N + nN^2 = I + (n+1)N$ .

4. $A = \begin{pmatrix} 0&1&1\\ 1&0&1\\ 1&1&0 \end{pmatrix}$ y $A^3$ tienen entradas diagonales $2$ : de cada vértice, exactamente dos caminos cerrados de longitud $3$ (el triángulo caminó en el sentido de las agujas del reloj o en el sentido contrario a las agujas del reloj) — el teorema de conteo en acción.

5. $D^n = \begin{pmatrix} 2^n & 0\\ 0 & 2^{-n} \end{pmatrix}$ : una dirección explota, la otra muere — los destinos diagonales son independientes secuencias geométricas.

6. $F^2 = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & 1\end{pmatrix}$ , $F^3 = \begin{pmatrix} 3 & 2\\ 2 & 1\end{pmatrix}$ , $F^4 = \begin{pmatrix} 5 & 3\\ 3 & 2\end{pmatrix}$ : Fibonacci en todas partes; conjetura como se dijo.

7. Si $F^n = \begin{pmatrix} F_{n+1} & F_n\\ F_n & F_{n-1}\end{pmatrix}$ , entonces

F^{n+1} = F^n F = \begin{pmatrix} F_{n+1} + F_n & F_{n+1}\\ F_n + F_{n-1} & F_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} F_{n+2} & F_{n+1}\\ F_{n+1} & F_n \end{pmatrix} :

herencia; el caso base $n = 1$ es el propio $F$ , utilizando el convención $F_0 = 0$ (que extiende la recurrencia hacia atrás).

8. $\det F = -1$ , entonces $\det(F^n) = (\det F)^n = (-1)^n$ ; y directamente $\det(F^n) = F_{n+1}F_{n-1} - F_n^2$ : Cassini, una línea. (El regla de producto para $2 \times 2$ determinantes es una agradable expansión de cinco minutos.)

9. Arriba a la derecha de $F^m F^n$ : $F_{m+1}F_n + F_m F_{n-1}$ ; arriba a la derecha de $F^{m+n}$ : $F_{m+n}$ . Para $m = n = 3$ : $F_4 F_3 + F_3 F_2 = 3 \times 2 + 2 \times 1 = 8 = F_6$ .

10. Para $k = 1$ : trivial. Si $F_n \mid F_{kn}$ , el fórmula de suma con $m = kn$ : $F_{(k+1)n} = F_{kn+1}F_n + F_{kn}F_{n-1}$ : ambos términos son múltiplos de $F_n$ . Entonces $F_n \mid F_{kn}$ para todos los $k$ : verificar $F_3 = 2$ divide $F_6 = 8$ y $F_9 = 34$ .

11. $F^{100} = F^{64} F^{32} F^4$ : siete cuadraturas ( $F^2, F^4, \dots, F^{64}$ ) más dos combinaciones — nueve multiplicaciones en lugar de noventa y nueve. es el truco de la mesa de doblar de los escribas egipcios, tomado de números a matrices: escriba $100$ en binario, multiplique el duplicaciones que necesitas.

12. $0.8 + 0.2 = 1$ y $0.4 + 0.6 = 1$ : mañana debe ser alguno clima — cada columna es una información completa probabilidad distribución, por lo que las probabilidades se conservan.

13. Mañana: $\binom{0.8}{0.2}$ . Día después: $M\binom{0.8}{0.2} = \binom{0.72}{0.28}$ .

14. $Mv = v$ con $v = \binom{s}{r}$ , $s + r = 1$ : $0.8s + 0.4r = s$ da $0.4r = 0.2s$ , $s = 2r$ : $v = \binom{2/3}{1/3}$ . A la larga, dos días de cada tres son soleado — como sea que se vea hoy.

15. De $\binom01$ : componentes soleados $0.4$ , $0.56$ , $0.624$ , $0.6496$ ; espacios con $\frac23$ : $0.267$ , $0.107$ , $0.043$ , $0.017$ — cada paso multiplica la brecha exactamente por $0.4$ (el segundo valor propio de la máquina): geométrico convergencia al estado estacionario.

Columnas 16. (de $A$ , $B$ , $C$ ): $P = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\ \frac12 & 0 & 0\\ \frac12 & 1 & 0\end{pmatrix}$ . Estado estacionario: $v_A = v_C$ , $v_B = \frac{v_A}{2}$ , $v_C = \frac{v_A}{2} + v_B$ ; sumando a $1$ : $v = \left(\frac25, \frac15, \frac25\right)$ . Clasificación: $A$ y $C$ empatan en primer lugar, $B$ en último lugar.

17. $C$ recibe todo del tráfico de $B$ y la mitad de $A$ , y canaliza todo de regreso a $A$ : el constante medidas estatales donde el surfista pasa tiempo, no como muchos enlaces apuntan hacia — un enlace de una página popular pesa más varios de los desiertos. Esa ponderación recursiva es precisamente la idea fundacional de Google; manijas amortiguadoras trampas para arañas y callejones sin salida.

18. $A^n = P D^n P^{-1}$ da $u_n = \frac{4^n + 2^n}{2}$ (y $v_n = \frac{4^n - 2^n}{2}$ ). Verificar: $u_1 = 3$ , $u_2 = 10$ , $u_3 = 36$ ; directamente: $(1,0) \to (3,1) \to (10,6) \to (36, 28)$ : coincidente.

19. La diagonalización cambia a coordenadas en la que el sistema acoplado se desmorona en geométrico secuencias independiente — cada valor propio corre su propia carrera. El Markov El estado estacionario es el vector propio del valor propio $1$ , y el La tasa de convergencia de la pregunta 15 es el siguiente valor propio: el La máquina meteorológica fue una historia propia todo el tiempo.

20. Contabilidad: un sistema es un matriz ecuación, resuelto por una inversa. Combinatoria: potencias del adyacencia matriz cuentan paseos, enlaces, conexiones. Evolución: poderes de la máquina lleva a los estados a sus destinos, y la direcciones propias (la dirección dorada de Fibonacci, la dirección del tiempo). estado estacionario, ranking web vector) son los destinos. El álgebra lineal, en los volúmenes universitarios, es la ciencia de exactamente esto.