Matemáticas de secundaria · Grades 10–12

20Secuencias

Un secuencia es una lista de números reales indexados por números naturales. Secuencias modelo de evoluciones discretas — poblaciones contadas año tras año, saldos de un cuenta bancaria, aproximaciones sucesivos de un número — y sus límites son el primer encuentro serio con el infinito. Este capítulo establece el vocabulario, el principio de inducción y la convergencia fundamental teoremas

20.1 Razonamiento por inducción

Teorema 20.1 (Principio de inducción)

Sea $P(n)$ una declaración que dependa de entero $n$ y sea $n_0 \in \N$ . si

(caso base) $P(n_0)$ es cierto, y
(paso inductivo) por cada $n \geq n_0$ , $P(n)$ implica $P(n+1)$ ,

entonces $P(n)$ es verdadero para cada $n \geq n_0$ .

Demostración. Supongamos, por contradicción, que el conjunto $A$ de números enteros $n \geq n_0$ para cuyo $P(n)$ es falso no está vacío. Entonces $A$ tiene un elemento más pequeño. $m$ .¹ Dado que $P(n_0)$ es verdadero, $m > n_0$ , entonces $m - 1 \geq n_0$ y $m-1 \notin A$ , es decir, $P(m-1)$ es verdadero. el inductivo El paso aplicado a $n = m-1$ luego muestra que $P(m)$ es verdadero, lo que contradice $m \in A$ . ∎

Ejemplo 20.2

Probemos La desigualdad de Bernoulli: para cada $a > 0$ real y cada $n \in \N$ ,

(1+a)^n \geq 1 + na.

Caso base. Para $n = 0$ , ambos lados son iguales a $1$ . Paso inductivo. Supongamos $(1+a)^n \geq 1+na$ para algunos $n \in \N$ . desde $1 + a > 0$ , multiplicar ambos lados por $1+a$ preserva la desigualdad:

(1+a)^{n+1} \geq (1+na)(1+a) = 1 + (n+1)a + na^2 \geq 1 + (n+1)a .

Por inducción, la desigualdad es válida para todo $n \in \N$ .

Método 20.3 (Escribiendo una prueba de inducción)

Haga siempre explícita la declaración $P(n)$ antes de comenzar. Una prueba completa tiene tres partes visibles: el caso base, el paso inductivo (“supongamos $P(n)$ ; probamos $P(n+1)$ ”), y la conclusión invocando el principio de inducción. El error más común es probar el paso inductivo sin utilizar nunca el Hipótesis $P(n)$ : si eso sucede, o la prueba es incorrecta o la inducción fue incorrecta. no es necesario.

20.2 Vocabulario de secuencias.

Definición 20.4 (Secuencia)

Un secuencia es un función $u \colon \N \to \R$ (o de $\{n \in \N : n \geq n_0\}$ a $\R$ ). El imagen de $n$ se escribe $u_n$ , y la secuencia misma $(u_n)_{n\in\N}$ o simplemente $(u_n)$ .

Un secuencia puede definirse como explícitamente, mediante una fórmula $u_n = f(n)$ o mediante reaparición, por su primer término y una relación $u_{n+1} = f(u_n)$ .

Definición 20.5 (Monotonicidad)

A secuencia $(u_n)$ es creciente si $u_{n+1} \geq u_n$ para todos $n$ , decreciente si $u_{n+1} \leq u_n$ para todo $n$ y monótono si es creciente o decreciente. es estrictamente aumenta (resp. decreciente) cuando las desigualdades son estricto.

Método 20.6 (Estudiando la monotonicidad de una secuencia)

Tres técnicas estándar:

estudia el signo de $u_{n+1} - u_n$ ;
si todos los términos son positivos, compare $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ con $1$ ;
si $u_n = f(n)$ con $f$ definido en $\intco{0}{+\infty}$ , use el variaciones de $f$ .

Definición 20.7 (Secuencia acotada)

A secuencia $(u_n)$ es delimitado arriba si hay existe $M \in \R$ con $u_n \leq M$ para todos los $n$ ; delimitado por debajo si hay existe $m \in \R$ con $u_n \geq m$ para todos los $n$ ; y encerrado si ambos espera.

20.2.1 Arithmetic and geometric sequences

Definición 20.8 (Secuencias aritméticas y geométricas.)

A secuencia $(u_n)$ es aritmética con común diferencia $r$ si $u_{n+1} = u_n + r$ para todos $n$ , y geométrico con proporción común $q$ si $u_{n+1} = q\,u_n$ para todos los $n$ .

Proposición 20.9 (forma y sumas)

Deje $n \in \N$ .

Si $(u_n)$ es aritmética con diferencia común $r$ , entonces $u_n = u_0 + nr$ y

$u_0 + u_1 + \dots + u_n = (n+1)\,\frac{u_0 + u_n}{2}.$
Si $(u_n)$ es geométrico con proporción común $q \neq 1$ , entonces $u_n = u_0\, q^n$ y

$u_0 + u_1 + \dots + u_n = u_0\,\frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}.$

Demostración. Las formas explícitas siguen por inducciones inmediatas. Para la suma aritmética, escribe $S = u_0 + \dots + u_n$ y suma la misma suma escrita en orden inverso: cada una de las sumas de las columnas $n+1$ es igual a $u_0 + u_n$ , por lo que $2S = (n+1)(u_0+u_n)$ . Para la suma geométrico, calcule $S - qS$ : todos los términos se cancelan en pares excepto el primero y último, entonces $(1-q)S = u_0(1 - q^{n+1})$ . ∎

20.3 Límite de una secuencia

Definición 20.10 (secuencia convergente)

A secuencia $(u_n)$ converge al real numero $\ell$ si cada intervalo abierto que contiene $\ell$ contiene todos los términos $u_n$ a partir de algún índice. Luego escribimos $\lim\limits_{n\to+\infty} u_n = \ell$ .

De manera equivalente: por cada $\varepsilon > 0$ , existe $N \in \N$ tal que para todos $n \geq N$ , $\abs{u_n - \ell} \leq \varepsilon$ .

Convergencia de u_n = 2 + (-1)n/n a = 2: dado > 0, todos los términos del índice N se encuentran en la banda [ - , + ]. — Convergencia de $u_n = 2 + \frac{(-1)^n}{n}$ a $\ell = 2$ : dado $\varepsilon > 0$ , todos los términos del índice $N$ se encuentran en la banda $\intcc{\ell-\varepsilon}{\ell+\varepsilon}$ .

Definición 20.11 (Divergencia al infinito)

El secuencia $(u_n)$ tends to $+\infty$ si por cada $A \in \R$ , hay existe $N \in \N$ tal que $u_n \geq A$ para todos los $n \geq N$ . escribimos $\lim\limits_{n\to+\infty} u_n = +\infty$ ; la definición de $\lim u_n = -\infty$ es análogo. Se dice un secuencia que no converge a divergir.

Observación 20.12

Un secuencia puede divergir sin atender a $\pm\infty$ : el secuencia $u_n = (-1)^n$ toma sólo los valores $1$ y $-1$ y no tiene límite.

Proposición 20.13 (Singularidad del límite)

Si $(u_n)$ converge, su límite es único.

Demostración. Supongamos $u_n \to \ell$ y $u_n \to \ell'$ con $\ell \neq \ell'$ , digamos $\ell < \ell'$ . Establezca $\varepsilon = \frac{\ell' - \ell}{3} > 0$ . De algunos índice en, $\abs{u_n - \ell} \leq \varepsilon$ y $\abs{u_n - \ell'} \leq \varepsilon$ , por lo tanto

\ell' - \ell \leq \abs{\ell' - u_n} + \abs{u_n - \ell} \leq 2\varepsilon = \tfrac{2}{3}(\ell' - \ell) < \ell' - \ell,

una contradicción. ∎

Proposición 20.14 (Operaciones en límites)

Sean $(u_n)$ y $(v_n)$ secuencias con límites $\ell$ y $\ell'$ (finitos o infinito). Entonces, siempre que el lado derecho no sea una forma indeterminada,

\lim (u_n + v_n) = \ell + \ell', \qquad \lim (u_n v_n) = \ell\,\ell', \qquad \lim \frac{u_n}{v_n} = \frac{\ell}{\ell'}.

Las formas indeterminadas son $(+\infty) + (-\infty)$ , $0 \times \infty$ , $\frac{\infty}{\infty}$ y $\frac{0}{0}$ .

Demostración. Probamos la regla de la suma para límites finitos; los otros casos son similares y quedan como ejercicios. Sea $\varepsilon > 0$ . Existe $N_1, N_2$ tal que $\abs{u_n - \ell} \leq \varepsilon/2$ para $n \geq N_1$ y $\abs{v_n - \ell'} \leq \varepsilon/2$ para $n \geq N_2$ . Para $n \geq \max(N_1, N_2)$ , la desigualdad del triángulo da

\abs{(u_n + v_n) - (\ell + \ell')} \leq \abs{u_n - \ell} + \abs{v_n - \ell'} \leq \varepsilon. \qedhere

∎

Método 20.15 (Levantando una forma indeterminada)

Ante una forma indeterminada, factorice el término dominante. por ejemplo

n^2 - n = n^2\left(1 - \tfrac{1}{n}\right) \xrightarrow[n\to+\infty]{} +\infty, \qquad \frac{2n^2+1}{n^2 - n} = \frac{2 + 1/n^2}{1 - 1/n} \xrightarrow[n\to+\infty]{} 2 .

20.4 Teoremas de convergencia

Teorema 20.16 (Teoremas de comparación y compresión)

Sea $(u_n)$ , $(v_n)$ , $(w_n)$ secuencias.

Si $u_n \leq v_n$ de algún índice en adelante y $u_n \to +\infty$ , entonces $v_n \to +\infty$ .
(Teorema de compresión) Si $u_n \leq v_n \leq w_n$ de algún índice en adelante y $(u_n)$ y $(w_n)$ ambos convergen al mismo límite $\ell$ , luego $(v_n)$ converge a $\ell$ .

Demostración. 1. Vamos $A \in \R$ . Desde $u_n \to +\infty$ , existe $N$ con $u_n \geq A$ para $n \geq N$ ; ampliando $N$ si es necesario, $v_n \geq u_n \geq A$ para $n \geq N$ .

2. Vamos $\varepsilon > 0$ . A partir de algún índice, ambos $\ell - \varepsilon \leq u_n$ y $w_n \leq \ell + \varepsilon$ se mantienen, por lo tanto $\ell - \varepsilon \leq u_n \leq v_n \leq w_n \leq \ell + \varepsilon$ , que es $\abs{v_n - \ell} \leq \varepsilon$ . ∎

Ejemplo 20.17

Para todos los $n \geq 1$ , $-\frac{1}{n} \leq \frac{(-1)^n}{n} \leq \frac{1}{n}$ y ambos límites tienden a $0$ ; por lo tanto $\frac{(-1)^n}{n} \to 0$ .

Teorema 20.18 (Teorema de convergencia monótona)

Un creciente secuencia que es delimitado arriba converge. decreciente secuencia es decir delimitado por debajo converge. Un creciente secuencia que no es delimitado arriba tiende a $+\infty$ .

prueba parcial. Probamos la tercera afirmación. Sea $(u_n)$ creciente y no delimitado arriba, y sea $A \in \R$ . Dado que $A$ no es un límite superior, existe $N$ con $u_N \geq A$ ; por monotonicidad, $u_n \geq u_N \geq A$ para todos los $n \geq N$ . Por lo tanto $u_n \to +\infty$ .

Las dos declaraciones de convergencia se basan en la propiedad del límite superior mínimo de $\R$ ; son admitido a este nivel (y probados en el primer año de universidad). ∎

Observación 20.19

El teorema garantiza el existencia del límite pero no da su valor. Un creciente secuencia delimitado arriba por $M$ converge para algunos $\ell \leq M$ , no necesariamente a $M$ .

Teorema 20.20 (Límite de secuencias geométricas)

Deje $q \in \R$ .

Si $q > 1$ , entonces $q^n \to +\infty$ .
Si $q = 1$ , entonces $q^n \to 1$ .
Si $\abs{q} < 1$ , entonces $q^n \to 0$ .
Si $q \leq -1$ , entonces $(q^n)$ diverge y no tiene límite.

Demostración. 1. Escriba $q = 1 + a$ con $a > 0$ . La desigualdad de Bernoulli (Ejemplo 20.2) da $q^n \geq 1 + na \to +\infty$ , y nosotros concluir por comparación (Teorema 20.16).

2. Inmediato.

3. Si $q = 0$ el reclamo es claro. De lo contrario $\abs{q} < 1$ da $1/\abs{q} > 1$ , entonces $(1/\abs{q})^n \to +\infty$ por el punto 1, por lo tanto $\abs{q}^n \to 0$ y $-\abs{q}^n \leq q^n \leq \abs{q}^n$ nos permiten concluir por el teorema de compresión.

4. Para $q \leq -1$ , $(q^{2n})$ toma valores $\geq 1$ mientras $(q^{2n+1})$ toma valores $\leq -1$ : ningún límite puede atraer a ambos subsecuencias. ∎

Los tres comportamientos de (qn): divergencia a +∈fty para q > 1 (rojo), convergencia a 0 para q < 1 (azul) y amortiguado oscilación — todavía convergencia a 0 — para -1 < q < 0 (naranja). — Los tres comportamientos de $(q^n)$ : divergencia a $+\infty$ para $q > 1$ (rojo), convergencia a $0$ para $\abs q < 1$ (azul) y amortiguado oscilación — todavía convergencia a $0$ — para $-1 < q < 0$ (naranja).

Método 20.21 (Secuencias recurrentes $u_{n+1} = f(u_n)$ )

Para estudiar un secuencia definido por $u_{n+1} = f(u_n)$ :

demostrar por inducción que $(u_n)$ permanece en un intervalo $I$ en el que $f$ se porta bien (y, a menudo, que $(u_n)$ es monótono);
deduce la convergencia a partir del teorema de convergencia monótona;
pasa al límite en la relación $u_{n+1} = f(u_n)$ : si $f$ es continuo y $u_n \to \ell \in I$ , entonces $\ell$ satisface $f(\ell) = \ell$ (ver Capítulo 21); resuelve este ecuación y seleccione el raíz correcto.

Construcción de escalera para u_n+1 = √u_n + 2, u_0 = 0 (): cada paso vertical lee f(u_n) en la curva, cada paso horizontal lo lleva de vuelta a través de y = x. El secuencia sube al punto fijo = 2, donde la curva se encuentra con la línea. — Construcción de escalera para $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2}$ , $u_0 = 0$ (Ejercicio 20.6): cada paso vertical lee $f(u_n)$ en la curva, cada paso horizontal lo lleva de vuelta a través de $y = x$ . El secuencia sube al punto fijo $\ell = 2$ , donde la curva se encuentra con la línea.

Ejemplo 20.22

Sean $u_0 = 2$ y $u_{n+1} = \frac{1}{2}\left(u_n + \frac{2}{u_n}\right)$ . Se comprueba por inducción que $u_n \geq \sqrt{2}$ para todo $n$ (la desigualdad $\frac{1}{2}(x + 2/x) \geq \sqrt{2}$ para $x>0$ es equivalente a $(x - \sqrt2)^2 \geq 0$ ), entonces ese $(u_n)$ es decreciente, ya que

u_{n+1}-u_n=\frac{2-u_n^2}{2u_n}\leq 0 .

Decreciente y delimitado por debajo, $(u_n)$ converge a algún $\ell \geq \sqrt{2}$ , que debe satisfacer $\ell = \frac{1}{2}(\ell + 2/\ell)$ , es decir $\ell^2 = 2$ . Por lo tanto $u_n \to \sqrt{2}$ . Este es el algoritmo de Heron, ya utilizado por el babilonios; su convergencia es extremadamente rápida ( $u_3$ ya da $\sqrt 2$ hasta ocho decimales).

20.5 Ceremonias

Ejercicio 20.1 ★

Demuestre por inducción que para todo $n \in \N$ ,

1^2 + 2^2 + \dots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.

Solución

Solución de Ejercicio 20.1.

Sea $P(n)$ la declaración $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ . Caso base: para $n = 0$ ambos lados son $0$ (suma vacía). Paso inductivo: supone $P(n)$ . entonces

\sum_{k=1}^{n+1} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + (n+1)^2 = \frac{(n+1)\bigl(n(2n+1) + 6(n+1)\bigr)}{6} = \frac{(n+1)(2n^2 + 7n + 6)}{6}.

Desde $2n^2 + 7n + 6 = (n+2)(2n+3)$ , esto es $\frac{(n+1)(n+2)(2(n+1)+1)}{6}$ , que es $P(n+1)$ . Por inducción, $P(n)$ es válido para todos los $n$ .

Ejercicio 20.2 ★

Estudiar la monotonicidad del secuencias definido para $n \geq 1$ por

a_n = \frac{n+1}{n}, \qquad b_n = \frac{2^n}{n}, \qquad c_n = n^2 - 10n .

Solución

Solución de Ejercicio 20.2.

$a_{n+1} - a_n = \frac{n+2}{n+1} - \frac{n+1}{n} = \frac{n(n+2) - (n+1)^2}{n(n+1)} = \frac{-1}{n(n+1)} < 0$ : $(a_n)$ es estrictamente decreciente.

$(b_n)$ tiene términos positivos y $\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{2^{n+1}}{n+1}\cdot\frac{n}{2^n} = \frac{2n}{n+1} \geq 1 \iff 2n \geq n+1 \iff n \geq 1$ : $(b_n)$ es creciente (estrictamente para $n \geq 2$ ).

$c_{n+1} - c_n = (n+1)^2 - 10(n+1) - n^2 + 10n = 2n - 9$ , que es negativo para $n \leq 4$ y positivo para $n \geq 5$ : $(c_n)$ disminuye hasta $c_5 = -25$ , es mínimo, luego aumenta. No es monótono.

Ejercicio 20.3 ★

Calcular los límites del secuencias con términos generales.

u_n = \frac{3n^2 - n + 1}{2n^2 + 5}, \qquad v_n = \sqrt{n+1} - \sqrt{n}, \qquad w_n = \frac{2^n - 3^n}{3^n + 1}.

Solución

Solución de Ejercicio 20.3.

Términos factoriales dominantes:

u_n = \frac{n^2(3 - 1/n + 1/n^2)}{n^2(2 + 5/n^2)} \xrightarrow[n\to+\infty]{} \frac{3}{2}.

Multiplicar por el conjugado:

v_n = \frac{(n+1) - n}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} \xrightarrow[n\to+\infty]{} 0.

Divida el numerador y el denominador por $3^n$ :

w_n = \frac{(2/3)^n - 1}{1 + (1/3)^n} \xrightarrow[n\to+\infty]{} \frac{0-1}{1+0} = -1,

usando $\lim q^n = 0$ para $\abs{q} < 1$ .

Ejercicio 20.4 ★

Sea $(u_n)$ el secuencia aritmética con $u_0 = 5$ y diferencia común $r = 3$ y $(v_n)$ , secuencia geométrica con $v_0 = 8$ y proporción común. $q = \frac{1}{2}$ . Calcule $u_n$ , $v_n$ , $\sum_{k=0}^{n} u_k$ y $\sum_{k=0}^{n} v_k$ , y los límites de las cuatro expresiones como $n \to +\infty$ .

Solución

Solución de Ejercicio 20.4.

$u_n = 5 + 3n \to +\infty$ y $v_n = 8 \cdot (1/2)^n = 2^{3-n} \to 0$ . las sumas son

\sum_{k=0}^{n} u_k = (n+1)\,\frac{5 + (5+3n)}{2} = \frac{(n+1)(10+3n)}{2} \xrightarrow[n\to+\infty]{} +\infty,

\sum_{k=0}^{n} v_k = 8\,\frac{1 - (1/2)^{n+1}}{1 - 1/2} = 16\left(1 - \left(\tfrac{1}{2}\right)^{n+1}\right) \xrightarrow[n\to+\infty]{} 16 .

Ejercicio 20.5 ★★

Utilizando el teorema de compresión, calcule

\lim_{n\to+\infty} \frac{n + \cos n}{n + 1} \qquad\text{and}\qquad \lim_{n\to+\infty} \frac{n!}{n^n},

donde $n! = 1 \times 2 \times \dots \times n$ . Para el segundo límite, obligado $\frac{n!}{n^n}$ por un término de secuencia geométrica.

Solución

Solución de Ejercicio 20.5.

Desde $-1 \leq \cos n \leq 1$ ,

\frac{n-1}{n+1} \leq \frac{n + \cos n}{n+1} \leq 1,

y $\frac{n-1}{n+1} \to 1$ , por lo que el límite es $1$ según el teorema de compresión.

Para el segundo límite, escriba

0 \leq \frac{n!}{n^n} = \frac{1}{n}\cdot\frac{2}{n}\cdots\frac{n}{n} \leq \frac{1}{n},

porque cada factor $\frac{k}{n}$ con $2 \leq k \leq n$ es como máximo $1$ . Desde $\frac1n \to 0$ , el teorema de compresión da $\frac{n!}{n^n} \to 0$ . (El El límite geométrico sugerido también funciona: cada factor con $k \leq n/2$ es como máximo $\frac12$ , dando el límite más fuerte $(1/2)^{\floor{n/2}}$ .)

Ejercicio 20.6 ★★

Deje $u_0 = 0$ y $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2}$ para todos los $n \in \N$ .

Demuestre por inducción que $0 \leq u_n \leq 2$ para todo $n$ .
Demuestre que $(u_n)$ es creciente.
Deduzca que $(u_n)$ converge y determine su límite.

Solución

Solución de Ejercicio 20.6.

1. $u_0 = 0 \in \intcc{0}{2}$ . Si $0 \leq u_n \leq 2$ , entonces $2 \leq u_n + 2 \leq 4$ , entonces $\sqrt{2} \leq u_{n+1} \leq 2$ ; en particular $0 \leq u_{n+1} \leq 2$ . Por inducción la propiedad es válida para todos los $n$ .

2. $u_{n+1} - u_n = \sqrt{u_n + 2} - u_n$ . Para $x \in \intcc{0}{2}$ , $\sqrt{x+2} \geq x \iff x + 2 \geq x^2 \iff (2-x)(x+1) \geq 0$ , lo cual es cierto. Por lo tanto, $(u_n)$ es creciente.

3. Creciente y delimitado arriba por $2$ , $(u_n)$ converge para algunos $\ell \in \intcc{0}{2}$ . Pasando al límite en $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2}$ (el mapa $x \mapsto \sqrt{x+2}$ es continuo) da $\ell = \sqrt{\ell + 2}$ , entonces $\ell^2 - \ell - 2 = 0$ , es decir $\ell \in \{-1, 2\}$ . Desde $\ell \geq 0$ , $\lim u_n = 2$ .

Ejercicio 20.7 ★★

Un paciente toma una dosis de $1$ unidad de un medicamento todas las mañanas. Durante cada En un período de 24 horas, el cuerpo elimina $40\%$ del fármaco presente. Sea $u_n$ la cantidad de fármaco en el cuerpo justo después de la dosis del día $n$ , de modo que $u_0 = 1$ .

Justifique que $u_{n+1} = 0.6\,u_n + 1$ .
Vamos $v_n = u_n - 2.5$ . Demuestre que $(v_n)$ es geométrico y deduzca una Fórmula explícita para $u_n$ .
Determinar la cantidad de fármaco a largo plazo en el cuerpo.

Solución

Solución de Ejercicio 20.7.

1. Entre dos dosis se elimina $40\%$ del fármaco, por lo que el la cantidad $u_n$ se convierte en $0.6\,u_n$ ; la siguiente dosis agrega la unidad $1$ : $u_{n+1} = 0.6\,u_n + 1$ .

2. $v_{n+1} = u_{n+1} - 2.5 = 0.6\,u_n + 1 - 2.5 = 0.6(u_n - 2.5) = 0.6\,v_n$ : $(v_n)$ es geométrico con relación $0.6$ y primer término $v_0 = 1 - 2.5 = -1.5$ . Por lo tanto $v_n = -1.5 \times 0.6^n$ y

u_n = 2.5 - 1.5 \times 0.6^n .

3. Desde $0.6^n \to 0$ , $u_n \to 2.5$ : la cantidad de medicamento se estabiliza en unidades $2.5$ .

Ejercicio 20.8 ★★

Dejemos que $(u_n)$ esté definido por $u_0 = 3$ y $u_{n+1} = \frac{4u_n - 1}{u_n + 2}$ .

Mostrar por inducción que $u_n > 1$ para todos los $n \in \N$ .
Muestre que $v_n = \dfrac{1}{u_n - 1}$ define un secuencia aritmética.
Deducir fórmulas explícitas para $v_n$ y $u_n$ , y el límite de $(u_n)$ .

Solución

Solución de Ejercicio 20.8.

1. $u_0 = 3 > 1$ . Si $u_n > 1$ , entonces $u_n + 2 > 0$ y

u_{n+1} - 1 = \frac{4u_n - 1 - u_n - 2}{u_n + 2} = \frac{3(u_n - 1)}{u_n + 2} > 0 .

Por inducción, $u_n > 1$ para todos los $n$ (y en particular $u_n + 2 \neq 0$ , por lo que el secuencia está bien definido).

2. Usando la identidad anterior,

v_{n+1} = \frac{1}{u_{n+1} - 1} = \frac{u_n + 2}{3(u_n - 1)} = \frac{(u_n - 1) + 3}{3(u_n - 1)} = \frac{1}{3} + v_n .

Entonces $(v_n)$ es aritmética con diferencia común $\frac13$ y $v_0 = \frac{1}{u_0 - 1} = \frac12$ .

3. $v_n = \frac12 + \frac{n}{3}$ , por lo tanto $u_n = 1 + \frac{1}{v_n} = 1 + \frac{6}{3 + 2n}$ . Desde $v_n \to +\infty$ , $u_n \to 1$ .

Ejercicio 20.9 ★★★

Para $n \geq 1$ , deje $H_n = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n}$ .

Muestre eso para todos $n \geq 1$ , $H_{2n} - H_n \geq \frac{1}{2}$ .
Deduce que $H_{2^k} \geq 1 + \frac{k}{2}$ para todo $k \in \N$ , y concluir que $H_n \to +\infty$ .

Solución

Solución de Ejercicio 20.9.

1. $H_{2n} - H_n = \sum_{k=n+1}^{2n} \frac{1}{k}$ es una suma de $n$ términos, cada uno al menos $\frac{1}{2n}$ ; por lo tanto $H_{2n} - H_n \geq n \cdot \frac{1}{2n} = \frac12$ .

2. Por inducción en $k$ : $H_{2^0} = H_1 = 1 \geq 1$ . si $H_{2^k} \geq 1 + \frac{k}{2}$ , luego aplicando el punto 1 con $n = 2^k$ ,

H_{2^{k+1}} \geq H_{2^k} + \frac12 \geq 1 + \frac{k+1}{2}.

El secuencia $(H_n)$ es creciente (cada paso agrega $\frac{1}{n+1} > 0$ ) y la subsecuencia $H_{2^k}$ no está limitada, por lo que $(H_n)$ no es delimitado arriba. Creciente y ilimitado, tiende a $+\infty$ (Teorema 20.18).

Ejercicio 20.10 ★★★

(Adjacent secuencias.) Dos secuencias $(a_n)$ y $(b_n)$ son adyacente si $(a_n)$ es creciente, $(b_n)$ es decreciente y $b_n - a_n \to 0$ .

Muestre eso para todos $n$ , $a_n \leq b_n$ . (Pista: estudia la monotonicidad de $(b_n - a_n)$ .)
Demuestre que secuencias adyacentes convergen al mismo límite.
Aplicación : muestra que el secuencias $a_n = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!}$ y $b_n = a_n + \frac{1}{n \cdot n!}$ ( $n \geq 1$ ) son adyacentes. (Sus El límite común es el número $\eu$ , estudiado en Capítulo 23.)

Solución

Solución de Ejercicio 20.10.

1. El secuencia $d_n = b_n - a_n$ satisface $d_{n+1} - d_n = (b_{n+1} - b_n) - (a_{n+1} - a_n) \leq 0$ , entonces $(d_n)$ es decreciente; desde $d_n \to 0$ , obtenemos $d_n \geq 0$ para todos los $n$ (un decreciente secuencia con un término negativo permanecería por debajo de él para siempre, evitando límite $0$ ). Por lo tanto $a_n \leq b_n$ .

2. De $a_n \leq b_n \leq b_0$ , el creciente secuencia $(a_n)$ es delimitado arriba, por lo que converge es $\ell$ . Del mismo modo $(b_n)$ , decreciente y delimitado por debajo por $a_0$ , converge a algunos $\ell'$ . entonces $\ell' - \ell = \lim (b_n - a_n) = 0$ , entonces $\ell = \ell'$ .

3. $(a_n)$ es (estrictamente) creciente desde $a_{n+1} - a_n = \frac{1}{(n+1)!} > 0$ . Para $(b_n)$ ,

b_{n+1} - b_n = \frac{1}{(n+1)!} + \frac{1}{(n+1)(n+1)!} - \frac{1}{n\,n!} = \frac{n(n+1) + n - (n+1)^2}{n(n+1)(n+1)!} = \frac{-1}{n(n+1)(n+1)!} < 0 ,

entonces $(b_n)$ es decreciente. Finalmente $b_n - a_n = \frac{1}{n\,n!} \to 0$ . el dos secuencias son adyacentes, por lo tanto convergen a un límite común.

20.6 Problema: la secuencia de Heron, finalmente juzgada

Problema 20.1

Problema de fin de semana — inducción certifica, monotono sentencias de convergencia y la receta de hace dos mil años para $\sqrt2$ finalmente obtiene su prueba (con la maravillosa media de Gauss para postre)

Tres veces esta serie ha cumplido con la receta de Heron — promedia el adivina con $2/\text{guess}$ — y tres veces solo pudo observar que la receta funciona. Este capítulo por fin posee los instrumentos de juicio: la inducción (Teorema 20.1), el teorema de convergencia monótona (Teorema 20.18), y límites de recurrencias. el veredicto y la velocidad certificada ocupan el centro de este problema; A su alrededor, las clásicas trampas de la inducción, las más lentas. divergencia en matemáticas, y la convergencia más rápida de Gauss jamás encontrado.

Parte I — Induction warm-ups.

Demostrar por inducción: $1 + 3 + 5 + \dots + (2n - 1) = n^2$ (la escalera de números impares, dibujados en el volumen de la Escuela Secundaria, ahora certificado).
Demuestre por inducción que $2^n > n$ para cada $n \in \N$ .
Demuestre la desigualdad de Bernoulli por inducción: para $x \geq 0$ y $n \in \N$ , $(1 + x)^n \geq 1 + nx$ .
La clásica trampa: “todas las canicas tienen el mismo color — cierto para una canica; y si alguna canica $n$ siempre está monocromo, luego entre las canicas $n + 1$ la primera $n$ comparten un color, el último $n$ comparte un color, por lo que todos $n + 1$ hacer". Cada niño sabe que la conclusión es Absurdo: encontrar el paso exacto donde se rompe la inducción.
Demostrar por inducción que $4^n - 1$ es divisible por $3$ por cada $n \in \N$ .

Parte II — The trial of Heron. Sean $x_0 = 2$ y $x_{n+1} = \dfrac12\left(x_n + \dfrac{2}{x_n}\right)$ .

Calcular $x_1$ , $x_2$ , $x_3$ como fracciones exactas (antiguo amigos).
Demostrar la identidad de la clave

$x_{n+1}^2 - 2 = \left(\frac{x_n^2 - 2}{2x_n}\right)^{\!2} \geq 0,$

y deducir por inducción que $x_n > 0$ y $x_n^2 > 2$ por cada $n$ .
Demuestre que $(x_n)$ es estrictamente decreciente (calcule $x_{n+1} - x_n$ y utilice la pregunta 7).
Invocar el teorema de convergencia monótona: ¿por qué ¿ $(x_n)$ converge a algún límite $L \geq 1$ ?
Identificar el límite: pasar la recurrencia al límite (Proposición 20.14) y concluir $L = \sqrt2$ . Enuncia el veredicto histórico: después de dos mil años de fiel servicio, la receta de Heron es probado para converger.
La velocidad certificada: con $e_n = x_n - \sqrt2$ , demostrar

$e_{n+1} = \frac{e_n^2}{2 x_n} ,$

y deducir $e_{n+1} \leq \frac{e_n^2}{2\sqrt2}$ : el el error se eleva al cuadrado en cada paso — la duplicación de dígitos observado desde el volumen de la escuela secundaria, ahora un teorema.
Confirmar numéricamente: calcular $e_0, e_1, e_2, e_3$ (de pregunta 6) y verifique que cada $\frac{e_{n+1}}{e_n^2}$ está cerca de $\frac{1}{2x_n}$ .

Parte III — The slowest divergence.

Ejercicio 20.9 probado $H_{2^k} \geq 1 + \frac k2$ para las sumas armónicas. como ¿Cuántos términos garantizan $H_n > 10$ ? (Una potencia de dos voluntades hacer; Maravíllate con su tamaño.)
Por el contrario, el geométrico suma $1 + \frac12 + \frac14 + \dots + \frac{1}{2^n} = 2 - \frac{1}{2^n}$ converge a $2$ (Teorema 20.20): la barra de chocolate Intuición del volumen de la Escuela Secundaria, finalmente un límite. declaración. Escribe la prueba de dos líneas.
Entre los dos: muestra que las sumas $S_n = 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \dots + \frac{1}{n^2}$ converge, por delimitación $\frac{1}{k^2} \leq \frac{1}{k(k-1)} = \frac{1}{k-1} - \frac{1}{k}$ (para $k \geq 2$ ), telescópico y aplicación de convergencia monótona. (El límite, $\frac{\pi^2}{6}$ , es uno de los milagros de Euler, demostrado en los volúmenes de la universidad.)
Indique la moraleja de las preguntas 13 a 15 en dos oraciones: ¿Qué deciden "los términos tienden a $0$ " sobre el convergencia de las sumas — ¿y qué no?

Parte IV — Gauss’s arithmetic–geometric significar. Dejemos que $a_0 = 1$ , $b_0 = 2$ y

a_{n+1} = \sqrt{a_n b_n}, \qquad b_{n+1} = \frac{a_n + b_n}{2} .

Calcula $a_1, b_1, a_2, b_2$ (cinco decimales). ¿Qué hacer? observas sobre la velocidad?
Muestre que $a_n \leq b_n$ por cada $n$ (el aritmética–desigualdad geométrica, encontrada a lo largo de este serie), que $(a_n)$ aumenta y $(b_n)$ disminuye.
Demuestra que $b_{n+1} - a_{n+1} \leq \frac{b_n - a_n}{2}$ (factor $b_{n+1} - a_{n+1} = \frac{(\sqrt{b_n} - \sqrt{a_n})^2}{2}$ y comparar), y concluir con Ejercicio 20.10 que los dos secuencias son adyacentes: comparten un límite común $M(1, 2)$ , el arithmetic–geometric significar.
Calcule $M(1, 2)$ con seis decimales (cuántas iteraciones necesitabas?). El 30 de mayo de 1799, Gauss calculó $M(1, \sqrt2)$ hasta once decimales, reconocido $\frac{\pi}{M(1,\sqrt2)}$ como integral conocida, y escribió que se había abierto un "nuevo campo de análisis" — tenía: integrales elípticas, contadas en la universidad volúmenes. Cierre con las velocidades de convergencia observadas de este problema, del más lento al más rápido.

Solución

Solución de Problema 20.1.

1. Verdadero para $n = 1$ ( $1 = 1^2$ ). si $1 + 3 + \dots + (2n - 1) = n^2$ , luego sumando el siguiente impar número: $n^2 + (2n + 1) = (n + 1)^2$ : herencia. Por inducción, cierto para todos los $n \geq 1$ .

2. $2^0 = 1 > 0$ . Si $2^n > n$ , entonces $2^{n+1} = 2 \cdot 2^n > 2n \geq n + 1$ para $n \geq 1$ (y $n = 0$ comprueba directamente): herencia, hecho.

3. $n = 0$ : $1 \geq 1$ . si $(1 + x)^n \geq 1 + nx$ , multiplicar por $1 + x \geq 1 > 0$ : $(1 + x)^{n+1} \geq (1 + nx)(1 + x) = 1 + (n + 1)x + nx^2 \geq 1 + (n + 1)x$ .

4. El paso de $n = 1$ a $n = 2$ : entre dos canicas, “la primera $n$ ” y “la última $n$ ” son dos desarticular canicas individuales — ninguna canica común une el dos grupos, por lo que nada obliga a sus colores a coincidir. el El argumento de la herencia requiere silenciosamente que los dos grupos se superpongan, verdadero sólo desde $n \geq 2$ ; con la caja base $n = 1$ la cadena nunca comienza.

5. $4^0 - 1 = 0 = 3 \times 0$ . Si $4^n - 1 = 3k$ , luego $4^{n+1} - 1 = 4(4^n - 1) + 3 = 3(4k + 1)$ : herencia.

6. $x_1 = \frac32$ , $x_2 = \frac{17}{12}$ , $x_3 = \frac{577}{408}$ .

7. $x_{n+1}^2 - 2 = \frac{(x_n^2 + 2)^2 - 8x_n^2} {4x_n^2} = \frac{(x_n^2 - 2)^2}{4 x_n^2}$ : un cuadrado sobre un positivo, por lo tanto $\geq 0$ y $> 0$ siempre que $x_n^2 \neq 2$ . Inducción: $x_0 = 2 > 0$ con $x_0^2 = 4 > 2$ ; si $x_n > 0$ y $x_n^2 > 2$ , entonces $x_{n+1}$ (un promedio de positivos) es positivo y $x_{n+1}^2 - 2 > 0$ .

8. $x_{n+1} - x_n = \frac{2 - x_n^2}{2x_n} < 0$ por pregunta 7: estrictamente decreciente.

9. Decreciente y delimitado por debajo (por $1$ , desde $x_n^2 > 2 > 1$ y $x_n > 0$ ): por la convergencia monótona teorema, $(x_n)$ converge a algunos $L \geq 1$ .

10. Los límites respetan el álgebra: desde $x_{n+1} = \frac12\left(x_n + \frac{2}{x_n}\right)$ y $x_n \to L \geq 1 > 0$ : $L = \frac12\left(L + \frac2L\right)$ , entonces $L^2 = 2$ y $L$ siendo positivo, $L = \sqrt2$ . Veredicto: convergencia demostrada, límite identificado — Heron absuelto con honores.

11. $x_{n+1} - \sqrt2 = \frac{x_n^2 - 2\sqrt2\,x_n + 2}{2x_n} = \frac{(x_n - \sqrt2)^2}{2x_n}$ : exactamente $e_{n+1} = \frac{e_n^2}{2x_n}$ y $x_n > \sqrt2$ dan $e_{n+1} \leq \frac{e_n^2}{2\sqrt2}$ . Error al cuadrado: cada paso duplica el número de decimales correctos, como se observa desde grado 9.

12. $e_0 \approx 0.5858$ , $e_1 \approx 0.0858$ , $e_2 \approx 0.00245$ , $e_3 \approx 2.1 \times 10^{-6}$ . Relaciones $\frac{e_1}{e_0^2} \approx 0.25 = \frac{1}{2x_0}$ ; $\frac{e_2}{e_1^2} \approx 0.333 = \frac{1}{2x_1}$ ; $\frac{e_3}{e_2^2} \approx 0.353 \approx \frac{1}{2x_2}$ : el teorema en acción.

13. $H_{2^{18}} \geq 1 + 9 = 10$ : acerca de Términos $260\,000$ ( $2^{18} = 262\,144$ ) simplemente para pasar $10$ — divergencia a paso de tortuga (y $H_n > 100$ necesitaría más términos que los átomos en cualquier biblioteca).

14. $S_n = 2 - \frac{1}{2^n}$ (suma geométrico), y $\frac{1}{2^n} \to 0$ (Teorema 20.20), entonces $S_n \to 2$ : la barra de chocolate mordida sin cesar tiende a, sin llegar nunca, al conjunto — ahora en el oficial lenguaje de límites.

15. Para $k \geq 2$ : $\frac{1}{k^2} \leq \frac{1}{k(k-1)} = \frac{1}{k-1} - \frac1k$ , entonces $S_n \leq 1 + \left(1 - \frac1n\right) < 2$ : creciente y delimitado arriba, por lo tanto convergente (convergencia monótona). Euler Más tarde nombró el límite: $\frac{\pi^2}{6}$ .

16. Los términos tendientes a $0$ son necesario para el sumas por saldar pero no decide nada: los términos armónicos $\frac1n \to 0$ pero las sumas explotan; los términos $\frac{1}{n^2} \to 0$ y las sumas convergen. Cómo rápido los términos morir es toda la cuestión — la teoría de las series, construido en los volúmenes universitarios.

17. $a_1 = \sqrt2 \approx 1.41421$ , $b_1 = 1.5$ ; $a_2 \approx 1.45648$ , $b_2 \approx 1.45711$ : dos iteraciones ya estamos de acuerdo con tres decimales — velocidad asombrosa.

18. $b_{n+1} - a_{n+1} = \frac{a_n + b_n}{2} - \sqrt{a_n b_n} = \frac{(\sqrt{b_n} - \sqrt{a_n})^2}{2} \geq 0$ : significa permanecer ordenado. $(a_n)$ aumenta: $a_{n+1} = \sqrt{a_n b_n} \geq \sqrt{a_n \cdot a_n} = a_n$ ; $(b_n)$ disminuye simétricamente.

19. $\frac{b_{n+1} - a_{n+1}}{b_n - a_n} = \frac{(\sqrt{b_n} - \sqrt{a_n})^2} {2(\sqrt{b_n} - \sqrt{a_n})(\sqrt{b_n} + \sqrt{a_n})} = \frac{\sqrt{b_n} - \sqrt{a_n}}{2(\sqrt{b_n} + \sqrt{a_n})} \leq \frac12$ : la brecha se reduce al menos a la mitad, por lo que $b_n - a_n \to 0$ ; con la pregunta 18, los secuencias son adyacentes y comparten un límite $M(1, 2)$ .

20. Iteración tres da $a_3 \approx b_3 \approx 1.456791$ : $M(1, 2) \approx 1.456791$ en tres vueltas de manivela (la separación es aproximadamente cuadrícula, como el de Heron). Clasificación de velocidad de los problemas. secuencias, de más lento a más rápido: las sumas armónicas (glaciales divergencia), las sumas geométrico (el error se redujo a la mitad en cada paso), Heron y la Asamblea General Anual (error al cuadrado en cada paso) — y fue el La velocidad sobrenatural de AGM que le dijo a Gauss que había encontrado una nueva veta de análisis.

Every nonempty subset of $\N$ has a smallest element; this property of $\N$ is taken as an axiom. ↩