Physique du primaire et du collège · Grades 1–9

40Décrire le mouvement : trajectoire et vitesse

Une feuille qui tombe, un train à grande vitesse, un cheval de manège, un tir au but : le monde ne tient jamais en place. Pour étudier le mouvement, la physique pose à tout ce qui bouge deux questions bien rangées : le long de quel chemin ? et à quelle allure sur ce chemin ? Le chemin et l’allure — la trajectoire et la vitesse — sont les lunettes de ce chapitre.

40.1 La trajectoire : le chemin suivi

Définition 40.1 (Trajectoire)

La trajectoire d’un objet en mouvement est la ligne que trace son voyage — le chemin qu’il dessine dans l’espace. Trois formes couvrent l’essentiel de la vie courante : rectiligne (l’ascenseur, la pomme qui tombe), circulaire (le cheval de manège, la pointe d’une aiguille d’horloge), et courbe de façon plus libre (l’arc du ballon lancé, le piqué de l’hirondelle).

Trois trajectoires de tous les jours : la montée rectiligne, le cercle sans fin, l’arc du lancer.

Exemple 40.2 (La trajectoire de qui ?)

Attention à préciser quel point on suit. Le naseau du cheval de manège décrit un cercle ; le centre du manège tout entier ne décrit rien du tout — il reste sur place. Le moyeu d’une roue qui roule glisse en ligne droite tandis qu’un point de sa jante trace d’élégants bonds. Une seule machine, bien des trajectoires : la physique suit un point à la fois.

Remarque 40.3 (En mouvement par rapport à quoi ?)

Un voyageur qui somnole dans le train ne décrit aucune trajectoire pour le voyageur assis en face — et une ligne de cent kilomètres sur la carte pour une vache qui regarde depuis son pré. Les deux descriptions sont honnêtes : un mouvement est toujours un mouvement par rapport à quelque chose, et celui qui décrit doit dire par rapport à quoi. Pour l’instant, nous comparons discrètement tout au sol ; toute la puissance du choix d’autres points de vue est une histoire célèbre gardée pour le volume du lycée.

Un appareil photo laissé ouvert la nuit dessine des trajectoires : chaque phare trace le chemin exact suivi par sa voiture.

40.2 Uniforme ou varié ?

Définition 40.4 (Mouvement uniforme et mouvement varié)

Un mouvement est uniforme quand il parcourt des distances égales pendant des durées égales — le pas régulier de qui suit un métronome, la marche d’un train entre deux gares. Il est varié quand l’allure change : elle augmente (le sprinteur qui quitte les blocs), elle diminue (l’autobus qui freine), ou les deux tour à tour (l’éternel arrêt-redémarrage de la circulation en ville).

Proposition 40.5 (Lire le film pointillé)

Photographie un objet en mouvement à intervalles de temps égaux — de nombreux clichés rapides sur une seule image — et son mouvement signe lui-même son nom en points :

des points régulièrement espacés : mouvement uniforme ;
des points qui s’écartent en chemin : le mouvement s’accélère ;
des points qui se resserrent : le mouvement ralentit.

Des durées égales séparent chaque paire de points, si bien que les écarts entre points comparent les distances — tout le diagnostic d’un coup d’œil.

Trois films pointillés, un cliché par intervalle : espacement régulier, écartement, resserrement — uniforme, accéléré, freiné.

Méthode 40.6 (Réaliser un film pointillé)

N’importe quel téléphone peut produire ces portraits :

filmer l’objet en mouvement — un camarade qui passe à vélo, une balle qui dévale une rampe — en tenant l’appareil immobile ;
avancer dans la vidéo en s’arrêtant à intervalles égaux (toutes les demi-secondes de lecture, par exemple) ;
à chaque arrêt, marquer la position de l’objet sur un calque posé sur l’écran, ou la repérer par rapport aux piquets d’une clôture à l’arrière-plan ;
aligner les marques et les lire avec Proposition 40.5.

Un avertissement des professionnels : tenir l’appareil immobile — un appareil qui dérive ajoute son propre mouvement au film et embrouille les trajectoires (exactement l’avertissement de Remarque 40.3).

40.3 Mettre des nombres sur l’allure

Exemple 40.7 (La vitesse par proportionnalité)

Un tramway en mouvement uniforme parcourt $9\,\mathrm{km}$ en $20$ minutes. Quelle vitesse cela fait-il, en kilomètres par heure ? La proportionnalité répond sans aucune machinerie nouvelle : une heure, ce sont trois parts de $20$ minutes ; le tramway parcourt donc $3 \times 9 = 27\,\mathrm{km}$ en une heure — sa vitesse est de $27$ kilomètres par heure. En tableau :

minutes	$20$	$60$
kilomètres	$9$	$27$

Le mouvement uniforme est une proportionnalité entre la distance et la durée — ton cours de mathématiques et ton cours de physique viennent de se serrer la main.

Exemple 40.8 (Le tableau des allures)

Les allures de tous les jours, pour juger n’importe quelle réponse : la promenade, environ $4$ kilomètres par heure ; la marche soutenue, $6$ ; le vélo tranquille, $15$ ; un bus de ville avec arrêts, $20$ ; une voiture sur route, $90$ ; un train à grande vitesse, jusqu’à $300$ . Quand un calcul te remet un marcheur à $40$ kilomètres par heure, le tableau des allures le renvoie à l’expéditeur.

Remarque 40.9 (La vitesse à un instant)

Un mouvement varié n’a pas de vitesse unique — l’autobus qui freine est rapide, puis lent, puis immobile. L’aiguille du compteur d’une voiture répond à une question plus subtile : à quelle vitesse maintenant ? Définir précisément cette vitesse-là est réellement profond — cela demande des mathématiques que tu rencontreras dans la dernière année du lycée, et cela a ouvert l’un des plus grands chapitres de toute la science. Pour cette année : les mouvements uniformes reçoivent un nombre honnête ; les mouvements variés reçoivent un récit.

40.4 Exercices

Exercice 40.1 ★

Donne la forme de la trajectoire : une goutte de pluie sur une vitre immobile ; la pointe de la grande aiguille ; un tir au panier de basket ; le slalom d’un skieur.

Solution

Solution de Exercice 40.1.

Rectiligne (le long de la vitre) ; circulaire ; courbe (un arc) ; courbe (une ligne en S).

Exercice 40.2 ★

Sur un vélo qui roule, quelle trajectoire décrit le moyeu de la roue ? Et la valve de la jante ? (Un mot et un croquis pour chacun.)

Solution

Solution de Exercice 40.2.

Le moyeu : une ligne droite, qui glisse parallèlement à la route. La valve : une courbe faite de bonds gracieux — elle monte, décrit un arc et retouche le sol à chaque tour de roue.

Exercice 40.3 ★

Uniforme ou varié : un train qui roule entre deux gares ; le même train qui quitte le quai ; un parachutiste qui descend à allure constante ; un palet qui glisse et ralentit sur une glace rugueuse ?

Solution

Solution de Exercice 40.3.

Uniforme ; varié (accéléré) ; uniforme ; varié (ralenti).

Exercice 40.4 ★

Un film pointillé montre des écarts de $2\,\mathrm{cm}$ , $2\,\mathrm{cm}$ , $2\,\mathrm{cm}$ , $2\,\mathrm{cm}$ entre les clichés. Diagnostique le mouvement. Un autre montre $1\,\mathrm{cm}$ , $2\,\mathrm{cm}$ , $4\,\mathrm{cm}$ , $7\,\mathrm{cm}$ : diagnostique celui-là.

Solution

Solution de Exercice 40.4.

Écarts égaux : mouvement uniforme. Écarts croissants ( $1, 2, 4, 7$ ) : mouvement accéléré — plus de distance à chaque intervalle égal.

Exercice 40.5 ★

Pourquoi l’appareil doit-il rester immobile pendant la réalisation d’un film pointillé ? Quelle remarque du chapitre est en jeu ?

Solution

Solution de Exercice 40.5.

Un appareil qui dérive ajoute son propre mouvement à l’enregistrement — les points mêlent alors le voyage de l’objet à celui de l’appareil. Un mouvement est toujours un mouvement par rapport à quelque chose, et le film doit fixer son « quelque chose » : c’est la remarque sur les points de vue.

Exercice 40.6 ★

Un ferry en mouvement uniforme parcourt $12\,\mathrm{km}$ en $30$ minutes. Construis le tableau de proportionnalité et donne sa vitesse en kilomètres par heure.

Solution

Solution de Exercice 40.6.

Tableau : $30$ min $\to$ $12\,\mathrm{km}$ , donc $60$ min $\to$ $24\,\mathrm{km}$ : la vitesse du ferry est de $24$ kilomètres par heure.

Exercice 40.7 ★

Un cycliste affirme rouler à $14$ kilomètres par heure de façon régulière. Quelle distance parcourt-il en $30$ minutes ? En $15$ minutes ? (Des tableaux, pas des formules.)

Solution

Solution de Exercice 40.7.

$60$ min $\to$ $14\,\mathrm{km}$ ; $30$ min $\to$ $7\,\mathrm{km}$ ; $15$ min $\to$ $3.5\,\mathrm{km}$ .

Exercice 40.8 ★

Avec le tableau des allures de Exemple 40.8, juge ces affirmations : un promeneur qui parcourt $12\,\mathrm{km}$ en une heure ; un bus de ville qui parcourt $10\,\mathrm{km}$ en $30$ minutes ; un train à grande vitesse qui parcourt $75\,\mathrm{km}$ en $15$ minutes.

Solution

Solution de Exercice 40.8.

Un promeneur à $12$ kilomètres par heure : rejeté — trois fois l’allure de la promenade. Le bus : $10\,\mathrm{km}$ en $30$ min font $20$ kilomètres par heure — exactement l’allure d’un bus de ville, accepté. Le train : $75\,\mathrm{km}$ en $15$ min font $300$ kilomètres par heure — le haut du tableau, mais plausible pour un train à grande vitesse : accepté.

Exercice 40.9 ★★

Le voyageur assoupi de Remarque 40.3 : décris son mouvement — trajectoire et allure — d’abord pour le voyageur assis en face, puis pour la vache dans le pré. Pourquoi les deux descriptions sont-elles honnêtes ?

Solution

Solution de Exercice 40.9.

Pour le voyageur assis en face : aucun mouvement — pas de trajectoire, allure nulle. Pour la vache : une longue trajectoire rectiligne, à la pleine allure du train. Les deux sont honnêtes : chacun décrit le dormeur par rapport à son propre point de vue, et un mouvement est toujours un mouvement par rapport à quelque chose.

Exercice 40.10 ★★

Une ligne de métro fait $9\,\mathrm{km}$ d’un terminus à l’autre. L’horaire prévoit $18$ minutes, arrêts compris (six arrêts d’une minute). Pendant le temps de roulage effectif, l’allure moyenne du métro est-elle supérieure ou inférieure à $45$ kilomètres par heure ? (Trouve d’abord le temps de roulage, puis utilise un tableau.)

Solution

Solution de Exercice 40.10.

Temps de roulage : $18 - 6 = 12$ minutes pour $9\,\mathrm{km}$ . Tableau : $12$ min $\to$ $9\,\mathrm{km}$ , donc $60$ min $\to$ $45\,\mathrm{km}$ — exactement $45$ kilomètres par heure : ni au-dessus ni au-dessous, mais pile dessus.

Exercice 40.11 ★★

Imagine un film pointillé pour trancher une dispute de famille : le chien court-il à allure régulière quand il rapporte la balle, ou alterne-t-il sprints et roue libre ? Énumère tes étapes, ce que tu mesureras, et le verdict que donnerait chaque disposition de points.

Solution

Solution de Exercice 40.11.

Filmer le rapport de balle avec un appareil immobile ; s’arrêter toutes les demi-secondes ; marquer les positions du chien par rapport aux piquets d’une clôture ; mesurer les écarts. Des écarts réguliers d’un bout à l’autre : allure constante. Des écarts qui s’écartent puis se resserrent (ou qui alternent larges et étroits) : sprints et roue libre. Les points rendent le verdict, quels qu’aient été les cris de la famille.

Exercice 40.12 ★★★

Une balle roule et quitte le bord d’une table. Esquisse sa trajectoire du bord de la table jusqu’au sol, telle que la voit quelqu’un debout dans la pièce. Puis argumente — encore les points de vue ! — quelle trajectoire verrait un minuscule observateur monté sur un chariot roulant sous la balle qui tombe, exactement à l’allure d’avance de la balle. (L’un des deux voit une courbe ; l’autre, quelque chose de bien plus simple. Cette énigme revient, résolue, dans le volume du lycée.)

Solution

Solution de Exercice 40.12.

Depuis la pièce : une courbe — la balle décrit un arc vers l’avant et vers le bas, du bord de la table jusqu’au sol. Depuis le petit chariot qui roule à l’allure d’avance de la balle : la balle ne prend ni avance ni retard — elle semble tomber tout droit vers le bas. Une même chute, deux points de vue, et c’est l’observateur en mouvement qui a la vue la plus simple : le germe d’une grande idée.

40.5 Problème : le film pointillé de la ligne 7

Problème 40.1

Problème du week-end — un ingénieur des transports lit les films pointillés d’une ligne de tramway ; diagnostiquer le trajet, chronométrer la ligne, prendre l’horaire en flagrant délit

Un ingénieur des transports a filmé des courses de tramway avec une caméra de bord de voie qui marque la position du tramway à chaque intervalle (un intervalle $=$ $10$ secondes), et il te remet les films.

Partie I — lire les films. Le film A, entre deux stations, montre des écarts (en mètres) : $50, 50, 50, 50, 50$ .

Diagnostique le mouvement du film A.
Quelle distance le tramway a-t-il parcourue pendant les $50$ secondes du film A ?
Le film B, au départ d’une station, montre des écarts $10, 25, 40, 50, 50$ . Raconte l’histoire du trajet avec des mots.
Sur le film B, pendant quels intervalles le mouvement est-il (presque) uniforme ?

Partie II — la véritable allure de la ligne.

Sur son tronçon uniforme, le tramway parcourt $50\,\mathrm{m}$ toutes les $10$ secondes. Construis le tableau jusqu’à une minute : quelle distance par minute ?
Poursuis jusqu’à l’heure : quelle est la vitesse de croisière du tramway, en kilomètres par heure ?
La ligne entière fait $12\,\mathrm{km}$ . À vitesse de croisière et sans arrêt, combien de minutes d’un bout à l’autre ?
L’horaire prévoit $50$ minutes d’un bout à l’autre. Combien de minutes la vraie ligne perd-elle au total en stations, feux rouges et zones lentes ?

Partie III — la publicité en jugement. L’affiche de la compagnie se vante : « Ligne 7 — toute la ville à $18$ kilomètres par heure, deux fois mieux qu’un marcheur au mieux de sa forme ! »

Contrôle l’arithmétique de l’affiche à l’aide de l’horaire : $12\,\mathrm{km}$ en $50$ minutes — construis le tableau jusqu’à une heure. « $18$ kilomètres par heure » est-il honnête pour le trajet entier ?
Un pinailleur objecte : « Aucun nombre de ce genre ne figure jamais au compteur — le tramway roule à $18$ ou il est arrêté à $0$ ! » Explique ce que décrit réellement une vitesse de trajet entier, et pourquoi elle reste le nombre honnête pour un trajet à plusieurs allures.
L’ingénieur propose de supprimer deux stations pour gagner quatre minutes. Quelle serait la nouvelle durée d’un bout à l’autre, et — tableau à nouveau — la nouvelle vitesse de trajet entier en kilomètres par heure ? (Arrondis raisonnablement.)
Rédige le rapport de l’ingénieur en une phrase : quel nombre les voyageurs doivent-ils retenir pour organiser leurs déplacements, la vitesse de croisière ou la vitesse de trajet entier, et pourquoi ?

Solution

Solution de Problème 40.1.

1. Des écarts égaux de $50\,\mathrm{m}$ : mouvement uniforme. 2. $5 \times 50 = 250\,\mathrm{m}$ . 3. Le tramway démarre depuis l’arrêt : des écarts courts qui grandissent — il accélère pendant les trois premiers intervalles — puis se stabilisent à $50\,\mathrm{m}$ : il est en vitesse de croisière. 4. Les deux derniers intervalles, à $50\,\mathrm{m}$ chacun. 5. $10$ s $\to$ $50\,\mathrm{m}$ , donc $60$ s $\to$ $300\,\mathrm{m}$ par minute. 6. $60$ min $\to$ $60 \times 300 = 18\,000\,\mathrm{m}$ : vitesse de croisière de $18$ kilomètres par heure. 7. Tableau : $18\,\mathrm{km}$ pour $60$ min, donc $12\,\mathrm{km}$ en $40$ minutes. 8. $50 - 40 = 10$ minutes perdues en arrêts et zones lentes. 9. $50$ min $\to$ $12\,\mathrm{km}$ , donc $60$ min $\to$ $12 \times 60 \div 50 = 14.4\,\mathrm{km}$ : le trajet entier se fait à environ $14$ kilomètres par heure — les $18$ de l’affiche ne sont honnêtes que pour les tronçons de croisière, et non pour « toute la ville ». 10. Une vitesse de trajet entier décrit le voyage comme s’il était uniforme : l’unique allure régulière qui couvrirait les mêmes $12\,\mathrm{km}$ dans les mêmes $50$ minutes. Aucun compteur ne l’affiche, et pourtant c’est le nombre honnête pour organiser un déplacement, parce qu’il contient déjà chaque arrêt et chaque zone lente. 11. $50 - 4 = 46$ minutes ; $12 \times 60 \div 46 \approx 15.7\,\mathrm{km}$ par heure — disons environ $16$ . 12. Par exemple : « Les voyageurs doivent organiser leurs déplacements avec la vitesse de trajet entier — environ $14$ kilomètres par heure aujourd’hui — car c’est le seul nombre qui inclut les attentes ; les $18$ de croisière flattent la ligne et oublient tous les arrêts. »

Termes définis dans ce chapitre

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