Physique du primaire et du collège · Grades 1–9

38Masse et volume

Combien de limonade tient dans la bouteille, et quel est le poids de la caisse de bouteilles ? Deux questions différentes — la place et la matière — que le langage courant emmêle allègrement en un seul mot, « gros ». La science les démêle : le volume pour la place qu’un objet occupe, la masse pour la matière qu’il contient. Mesurer la seconde, tu es un vieux routier ; aujourd’hui, nous apprenons à mesurer la première — même pour un caillou dont aucune règle ne saurait aimer la forme.

38.1 Le volume : la place occupée

Définition 38.1 (Volume)

Le volume d’un objet est la quantité de place qu’il occupe. Les solides, les liquides et les gaz ont tous un volume : la brique prend sa place, la limonade prend l’intérieur de la bouteille, l’air prend le reste. Le volume se mesure en centimètres cubes ( $\mathrm{cm}^{3}$ ) — la place d’un petit cube d’un centimètre d’arête — et en litres ( $\mathrm{L}$ ).

Proposition 38.2 (Le litre en cubes)

Les deux familles d’unités de volume n’en font qu’une :

1\,\mathrm{L} = 1000\,\mathrm{cm}^{3}, \qquad 1\,\mathrm{mL} = 1\,\mathrm{cm}^{3}.

Un litre est exactement la place à l’intérieur d’un cube de dix centimètres d’arête : $10 \times 10 \times 10 = 1000$ petits cubes.

Un litre, déballé : mille centimètres cubes empilés dix par dix par dix.

Exemple 38.3 (Des volumes à savoir par cœur)

Une cuillère à café contient environ $5\,\mathrm{mL}$ ; un verre à boire, environ $25\,\mathrm{cL}$ , soit un quart de litre ; la brique de lait, $1\,\mathrm{L}$ ; une baignoire, autour de $150\,\mathrm{L}$ ; un morceau de sucre occupe environ $3\,\mathrm{cm}^{3}$ ; un dé à jouer, environ $4\,\mathrm{cm}^{3}$ . Des repères de ce genre rendent possible l’étape du jugement, dans toute mesure.

38.2 Mesurer les liquides

Méthode 38.4 (Lire une éprouvette graduée)

Le verre doseur du laboratoire est l’éprouvette graduée : haute, étroite, finement graduée.

poser l’éprouvette sur une table plane — ne jamais la lire à la main ;
trouver la valeur d’une graduation, comme pour toute échelle ;
mettre l’œil au niveau de la surface du liquide : cette surface n’est pas plane mais légèrement courbée — c’est le ménisque — et grimpe un peu le long des parois de verre ;
lire au bas de la courbe, bien en face.

L’œil trop haut ou trop bas, et la courbe te ment d’une graduation ou deux — l’erreur de la vue de biais, sous son déguisement préféré.

Le ménisque : les liquides grimpent un peu le long du verre. La lecture honnête se fait au bas de la courbe, l’œil à son niveau.

Le ménisque de près : on lit le milieu plat de la courbe, l’œil à son niveau.

38.3 Mesurer les solides — même biscornus

Un solide en forme de brique se rend à la règle : longueur fois largeur fois hauteur donne son volume en $\mathrm{cm}^{3}$ , comme l’a montré ton cours de mathématiques. Mais que faire d’un caillou, d’une clé, d’une prune ? Aucune règle ne convient à une forme biscornue. La réponse a deux mille ans, et elle est sortie d’une baignoire.

Proposition 38.5 (Le déplacement)

Un solide entièrement immergé chasse — déplace — exactement son propre volume d’eau. La montée du niveau de l’eau mesure l’intrus : biscornu ou lisse, l’eau se moule sur chaque creux et chaque bosse.

Méthode 38.6 (Le volume par la montée d’eau)

verser de l’eau dans une éprouvette graduée — assez pour recouvrir l’objet — et lire le volume : disons $120\,\mathrm{mL}$ ;
attacher un fil à l’objet et le descendre doucement jusqu’à immersion complète, sans éclaboussure et sans toucher les parois ;
lire de nouveau : disons $145\,\mathrm{mL}$ ;
soustraire : $145 - 120 = 25$ — le volume de l’objet est de $25\,\mathrm{cm}^{3}$ (des millilitres de montée, des centimètres cubes de pierre : c’est la même chose).

La méthode de la montée : l’eau s’élève exactement du volume du caillou — 145 - 120 = 25\, cm3 de caillou. — La méthode de la montée : l’eau s’élève exactement du volume du caillou — $145 - 120 = 25\,\mathrm{cm}^{3}$ de caillou.

Exemple 38.7 (La couronne dans la baignoire)

La vieille histoire : un roi soupçonnait son orfèvre d’avoir coupé d’argent l’or de la couronne royale, et demanda au savant Archimède de le découvrir sans abîmer la couronne. En entrant dans un bain plein, Archimède vit l’eau déborder — et comprit d’un éclair que le débordement mesurait le volume de son propre corps, bosses comprises. La légende dit qu’il courut dans les rues en criant « Eurêka ! » — j’ai trouvé ! Comment le volume de la couronne a démasqué la fraude demande une idée de plus, deux chapitres plus loin ; la baignoire, elle, lui a donné le volume de n’importe quoi.

38.4 Masse et volume répondent à deux questions

Exemple 38.8 (Même volume, masses différentes)

Remplis deux verres identiques de $25\,\mathrm{cL}$ , l’un d’eau, l’autre de miel, et pèse-les (en retranchant les verres) : le verre de miel contient nettement plus de grammes dans exactement la même place. Même volume, masses différentes. Et un litre d’air pèse à peine plus d’un gramme, dans la place où un litre d’eau pèse un kilogramme entier. La place et la matière tiennent vraiment deux comptabilités distinctes — garde bien cette idée : elle deviendra une loi, avec un nom, au dernier chapitre de cette année.

Remarque 38.9 (Peser ce qui ne tient pas debout tout seul)

Comment peser de la farine sans peser son saladier ? Les balances modernes ont un bouton pour cela : on pose le saladier vide sur le plateau, on appuie — l’affichage se remet à zéro — puis on verse : la balance annonce alors la farine seule. La manœuvre s’appelle la tare. Sans le bouton, on pèse deux fois et on soustrait : saladier-avec-farine moins saladier vide. Dans les deux cas, c’est de nouveau la règle du départ honnête : partir d’un zéro loyal.

38.5 Exercices

Exercice 38.1 ★

À quelle question le volume répond-il, et à quelle question la masse répond-elle ? Donne les deux principales unités de chacun.

Solution

Solution de Exercice 38.1.

Le volume : quelle place un objet occupe — en $\mathrm{cm}^{3}$ et en litres. La masse : quelle quantité de matière il contient — en grammes et en kilogrammes.

Exercice 38.2 ★

Convertis : $2\,\mathrm{L}$ en $\mathrm{cm}^{3}$ ; $350\,\mathrm{mL}$ en $\mathrm{cm}^{3}$ ; $1500\,\mathrm{cm}^{3}$ en litres ; un demi-litre en millilitres.

Solution

Solution de Exercice 38.2.

$2000\,\mathrm{cm}^{3}$ ; $350\,\mathrm{cm}^{3}$ ; $1.5\,\mathrm{L}$ ; $500\,\mathrm{mL}$ .

Exercice 38.3 ★

Pourquoi une éprouvette graduée doit-elle être lue à hauteur d’œil, posée sur la table, au bas du ménisque ? Nomme l’erreur que chaque règle évite.

Solution

Solution de Exercice 38.3.

Sur la table : une éprouvette penchée penche la surface. À hauteur d’œil : un œil trop haut ou trop bas décale le trait apparent (l’erreur de la vue de biais). Au bas du ménisque : le liquide grimpe le long des parois, et seul le bas de la courbe se tient au volume vrai.

Exercice 38.4 ★

Une éprouvette indique $200\,\mathrm{mL}$ ; une prune y étant descendue, elle indique $265\,\mathrm{mL}$ . Quel est le volume de la prune, en $\mathrm{cm}^{3}$ ?

Solution

Solution de Exercice 38.4.

$265 - 200 = 65$ : le volume de la prune est de $65\,\mathrm{cm}^{3}$ .

Exercice 38.5 ★

Pourquoi la méthode de la montée fonctionne-t-elle même pour un caillou biscornu, qu’aucune règle ne saurait mesurer ? Quelle proposition répond ?

Solution

Solution de Exercice 38.5.

L’eau se moule sur chaque creux et chaque bosse : l’eau chassée égale donc exactement le volume du caillou — c’est la proposition du déplacement. La règle a besoin d’arêtes droites ; l’eau n’a besoin de rien.

Exercice 38.6 ★

Une gomme en forme de brique mesure $5\,\mathrm{cm}$ sur $2\,\mathrm{cm}$ sur $1\,\mathrm{cm}$ . Son volume ? Plan de vérification : comment le confirmerais-tu par la méthode de la montée ?

Solution

Solution de Exercice 38.6.

$5 \times 2 \times 1 = 10\,\mathrm{cm}^{3}$ . Vérification : la descendre dans une éprouvette — la lecture doit monter d’exactement $10\,\mathrm{mL}$ .

Exercice 38.7 ★

Pour peser du riz : saladier vide $280\,\mathrm{g}$ ; saladier avec riz $745\,\mathrm{g}$ . Combien de riz ? Quel bouton fait le même travail en une seule étape ?

Solution

Solution de Exercice 38.7.

$745 - 280 = 465\,\mathrm{g}$ de riz. Le bouton de tare : remettre la balance à zéro avec le saladier vide dessus, puis verser.

Exercice 38.8 ★

Qu’est-ce qui a le plus grand volume, un kilogramme de plumes ou un kilogramme de fer ? Qu’est-ce qui a la plus grande masse ? (Réponds soigneusement aux deux.)

Solution

Solution de Exercice 38.8.

Des masses égales — un kilogramme chacun. Les plumes prennent beaucoup plus de place : un volume bien plus grand pour la même matière.

Exercice 38.9 ★★

La méthode de la montée échoue pour un bouchon de liège : il flotte. Propose une solution qui utilise encore l’éprouvette — et dis ce qu’il faudra soustraire si ta solution fait appel à un objet auxiliaire.

Solution

Solution de Exercice 38.9.

Immerger le bouchon exprès : l’enfoncer avec une fine brochette (en lisant la montée quand seul le bouchon est immergé), ou l’attacher à un lest — mesurer d’abord la montée due au lest seul, puis celle du couple, et retrancher la part du lest.

Exercice 38.10 ★★

Une brique de jus annonce $1\,\mathrm{L}$ . Une fois versée, elle remplit trois fois un verre de $250\,\mathrm{mL}$ , et le quatrième verre seulement jusqu’au trait $200\,\mathrm{mL}$ . L’annonce était-elle honnête ? De combien ?

Solution

Solution de Exercice 38.10.

Versé : $3 \times 250 + 200 = 950\,\mathrm{mL}$ . L’annonce manque de $50\,\mathrm{mL}$ — un vingtième de litre en moins.

Exercice 38.11 ★★

Un collier est descendu dans une éprouvette qui indique $80.0\,\mathrm{mL}$ ; elle monte à $83.5\,\mathrm{mL}$ . Le bijoutier affirme que le collier contient $5\,\mathrm{cm}^{3}$ d’or. L’affirmation peut-elle être vraie ? Qu’a mesuré l’eau, exactement ?

Solution

Solution de Exercice 38.11.

La montée vaut $83.5 - 80.0 = 3.5\,\mathrm{mL}$ : le volume total du collier est de $3.5\,\mathrm{cm}^{3}$ . L’eau mesure le volume total, métal, fermoir et tout — une affirmation de $5\,\mathrm{cm}^{3}$ d’or ne peut donc pas être vraie : il n’y a même pas $5\,\mathrm{cm}^{3}$ de collier.

Exercice 38.12 ★★★

Imagine une vérification à la Archimède de Proposition 38.5 elle-même, avec un objet en forme de brique dont la règle connaît déjà le volume. Décris les étapes, prédis les deux lectures de l’éprouvette pour un bloc de $4 \times 3 \times 2$ centimètres descendu dans $150\,\mathrm{mL}$ , et dis quel résultat prouverait la proposition fausse.

Solution

Solution de Exercice 38.12.

La règle promet $4 \times 3 \times 2 = 24\,\mathrm{cm}^{3}$ . Descendre le bloc (au fil, sans éclaboussure, entièrement immergé, sans toucher les parois) dans $150\,\mathrm{mL}$ : la prédiction est une montée de $150\,\mathrm{mL}$ à $174\,\mathrm{mL}$ . Si l’eau montait d’autre chose que $24\,\mathrm{mL}$ — au-delà d’une ou deux graduations honnêtes de l’éprouvette — la proposition du déplacement serait réfutée. (Elle ne l’a jamais été.)

38.6 Problème : jour de mise en bouteilles au verger

Problème 38.1

Problème du week-end — jour de pressage au verger ; des litres dans les bouteilles, des caisses sur la balance ; le caillou dans le pichet

Le verger presse ses pommes aujourd’hui, et chaque aide reçoit un travail de mesure.

Partie I — du jus au litre. Le pressoir a rempli un tonneau de $20\,\mathrm{L}$ .

Combien de centimètres cubes font $20\,\mathrm{L}$ ?
Le jus est mis en bouteilles de $75\,\mathrm{cL}$ . Combien de bouteilles pleines le tonneau donne-t-il ?
Combien de jus reste-t-il après la dernière bouteille pleine, en centilitres ?
Le reste est versé dans des verres de $25\,\mathrm{cL}$ . Combien de verres remplit-il ?

Partie II — les caisses sur la balance.

Une bouteille vide a une masse de $450\,\mathrm{g}$ . À l’aide de la partie I, quelle est la masse du jus contenu dans une bouteille pleine, sachant qu’un litre de jus a une masse d’environ $1\,\mathrm{kg}$ ? (Travaille en grammes.)
Que pèse donc une bouteille pleine au total ?
Une caisse en bois pèse $2\,\mathrm{kg}$ à vide et porte six bouteilles pleines. Masse totale d’une caisse chargée ?
La camionnette peut transporter $200\,\mathrm{kg}$ de caisses. Combien de caisses chargées peut-elle prendre ? (Des caisses entières seulement.)

Partie III — le caillou dans le pichet. Le petit Tom lâche un caillou dans un pichet de jus plein de $1\,\mathrm{L}$ , et du jus déborde sur la table.

Le débordement épongé mesure $40\,\mathrm{mL}$ . Qu’a mesuré ce dégât au sujet du caillou, et par quelle proposition ?
Une fois le caillou repêché, combien de jus reste-t-il dans le pichet ?
Tom proteste : « Le caillou est petit — regarde, il tient dans mon poing ! » Sa sœur répond avec une éprouvette graduée : elle met le caillou dans $100\,\mathrm{mL}$ d’eau. Quelle lecture prouve que le débordement disait vrai ?
Comptabilité en prime : le caillou pèse $104\,\mathrm{g}$ sur la balance de cuisine. Sans aucune idée nouvelle, peux-tu déjà dire si la matière du caillou est plus lourde ou plus légère que celle du jus pour la même place occupée ? Compare $104\,\mathrm{g}$ de caillou dans $40\,\mathrm{cm}^{3}$ à la masse de jus qui remplirait ces mêmes $40\,\mathrm{cm}^{3}$ — et garde ta conclusion au chaud pour le chapitre sur la masse volumique.

Solution

Solution de Problème 38.1.

1. $20 \times 1000 = 20\,000\,\mathrm{cm}^{3}$ . 2. $20\,\mathrm{L} = 2000\,\mathrm{cL}$ ; $2000 \div 75 = 26$ bouteilles pleines (avec un reste). 3. $26 \times 75 = 1950\,\mathrm{cL}$ , donc $2000 - 1950 = 50\,\mathrm{cL}$ restent. 4. $50 \div 25 = 2$ verres, exactement. 5. $75\,\mathrm{cL} = 0.75\,\mathrm{L}$ , et un litre pèse environ $1000\,\mathrm{g}$ : le jus pèse environ $750\,\mathrm{g}$ . 6. $750 + 450 = 1200\,\mathrm{g}$ — soit $1.2\,\mathrm{kg}$ . 7. $6 \times 1.2 = 7.2\,\mathrm{kg}$ de bouteilles plus $2\,\mathrm{kg}$ de caisse : $9.2\,\mathrm{kg}$ . 8. $200 \div 9.2$ : $21$ caisses feraient $193.2\,\mathrm{kg}$ , $22$ feraient $202.4\,\mathrm{kg}$ — trop. La camionnette prend $21$ caisses. 9. Le débordement est le jus déplacé par le caillou : le volume du caillou est de $40\,\mathrm{cm}^{3}$ , par la proposition du déplacement. 10. $1000 - 40 = 960\,\mathrm{mL}$ de jus restent. 11. L’éprouvette doit monter de $100\,\mathrm{mL}$ à $140\,\mathrm{mL}$ — une montée de $40\,\mathrm{mL}$ , qui concorde avec le débordement. Les poings ne mesurent rien ; l’eau dit la vérité. 12. Ces $40\,\mathrm{cm}^{3}$ , remplis de jus, contiendraient environ $40\,\mathrm{g}$ de jus — le caillou tasse $104\,\mathrm{g}$ dans la même place : la matière du caillou est plus lourde que celle du jus à place égale, plus de deux fois plus. Le chapitre sur la masse volumique donnera à cette comparaison son nom et son nombre.

Termes définis dans ce chapitre

Volume

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