Physique du primaire et du collège · Grades 1–9

44La masse volumique : pourquoi les objets flottent

Dès ta toute première année, une minuscule pièce de monnaie coulait pendant qu’un grand tronc flottait, et nous avions promis que le « pourquoi » serait un trésor de ce cours. Tu l’as mérité. La clé a été forgée en deux chapitres — la masse pour la matière, le volume pour la place — et aujourd’hui les deux tournent ensemble dans la serrure.

44.1 La masse d’un centimètre cube

Exemple 44.1 (Une comparaison enfin honnête)

Comparer un tronc entier à une pièce entière n’a jamais été honnête : tailles différentes, formes différentes. La compétition honnête prend des volumes égaux : un centimètre cube de chaque concurrent. Un $\mathrm{cm}^{3}$ d’eau a une masse de $1\,\mathrm{g}$ . Un $\mathrm{cm}^{3}$ de chêne : environ $0.6\,\mathrm{g}$ . De pierre : environ $2.5\,\mathrm{g}$ . De fer : $7.9\,\mathrm{g}$ . Des places égales, des matières follement inégales — voilà le nombre que le jeu de la flottaison attendait.

Définition 44.2 (Masse volumique)

La masse volumique d’une substance est la masse d’un centimètre cube de cette substance, en grammes. La masse volumique de l’eau vaut $1\,\mathrm{g}$ par $\mathrm{cm}^{3}$ ; celle du chêne, environ $0.6$ ; celle du fer, $7.9$ . Pour trouver une masse volumique, aucun instrument nouveau n’est nécessaire : on mesure la masse et le volume d’un échantillon, puis on divise — on partage les grammes également entre les centimètres cubes, et la réponse est la part de chaque centimètre cube.

La compétition honnête : la même place pour tous, et chaque substance affiche la masse qui lui sert de signature.

Proposition 44.3 (La masse volumique est une signature)

La masse volumique d’une substance pure est la même pour chacun de ses morceaux, grand ou petit : un éclat de chêne et une poutre entière portent tous deux environ $0.6\,\mathrm{g}$ dans chaque centimètre cube. La masse volumique identifie donc les substances, comme le font les températures de fusion : on mesure la masse et le volume d’un objet mystérieux, on divise, et on compare avec le tableau — la substance avoue souvent sur-le-champ.

Méthode 44.4 (Mesurer une masse volumique)

Pour un caillou — ou pour une couronne :

mesurer sa masse à la balance : disons $75\,\mathrm{g}$ ;
mesurer son volume par la montée d’eau : disons $30\,\mathrm{cm}^{3}$ ;
diviser les grammes par les centimètres cubes : $75 \div 30 = 2.5$ — chaque centimètre cube porte $2.5\,\mathrm{g}$ ;
consulter le tableau : masse volumique $2.5$ — notre caillou est une pierre ordinaire.

44.2 La règle de la flottaison

Proposition 44.5 (Pourquoi les objets flottent)

Un objet flotte dans l’eau si sa masse volumique est plus petite que celle de l’eau — moins de $1\,\mathrm{g}$ par centimètre cube — et il coule si sa masse volumique est plus grande. L’eau, pour ainsi dire, compare l’intrus à elle-même, place pour place : plus-léger-que-moi-par-place voyage à la surface ; plus-lourd-par-place descend. La même règle gouverne tous les liquides, chacun avec sa propre masse volumique pour arbitre.

La glace n’est qu’un peu moins dense que l’eau — un iceberg flotte donc très enfoncé, en cachant l’essentiel de sa masse sous la ligne de flottaison.

Exemple 44.6 (Six ans d’énigmes, résolues)

Le tronc ( $0.6$ ) : il flotte, aussi énorme soit-il — chacun de ses centimètres cubes fait une offre inférieure à celle de l’eau. La pièce (en bronze, près de $9$ ) : elle coule, aussi petite soit-elle. Le canard en plastique, le bouchon de liège, le crayon : au-dessous de $1$ , tous flotteurs. La glace, à $0.9$ — le solide gonflé de l’eau elle-même — flotte sur son propre liquide d’un cheveu, ce qui explique que les étangs portent des couvercles et que les icebergs naviguent. Et le bateau en pâte à modeler ? Façonné en barquette, le colis bateau-plus-air contient beaucoup d’air par unité de place : la masse volumique du colis passe au-dessous de $1$ , et sur les quais, la même astuce lance des navires d’acier de dix mille tonnes.

L’écriture de la masse volumique : les liquides s’empilent du plus dense en bas, et la glace à 0.9 ne laisse qu’un dixième d’elle-même au-dessus de l’eau. — L’écriture de la masse volumique : les liquides s’empilent du plus dense en bas, et la glace à $0.9$ ne laisse qu’un dixième d’elle-même au-dessus de l’eau.

Exemple 44.7 (La tour de liquides)

Verse du miel, puis de l’eau colorée à l’encre, puis de l’huile doucement le long de la paroi d’un grand verre : trois couches, le miel ( $1.4$ ) au fond, l’huile ( $0.9$ ) au sommet, refusant de mélanger leurs rangs. Fais-y tomber des invités : un grain de raisin ( $1.05$ ) traverse l’huile, traverse l’eau, et se pose sur le miel — plus dense que deux étages, plus léger que le troisième. La tour est la règle de la flottaison jouée au théâtre.

Remarque 44.8 (Lire l’iceberg)

Le $0.9$ de la glace face au $1.0$ de l’eau fait plus que faire flotter l’iceberg : il fixe la ligne de flottaison. Neuf dixièmes du volume d’un iceberg voyagent sous la surface — la fameuse masse cachée qui a coulé de fiers navires. Pourquoi, exactement, la fraction immergée est égale au rapport des masses volumiques est une magnifique loi du savant antique de la baignoire lui-même, honnêtement démontrée dans le volume du lycée ; le tableau des masses volumiques en murmure déjà la réponse.

44.3 La couronne, enfin

Exemple 44.9 (Archimède clôt l’affaire)

Achevons maintenant l’histoire commencée deux chapitres plus tôt. La masse de la couronne : facile, la balance la donne. Son volume : impossible pour un chef-d’œuvre biscornu — jusqu’à ce que la leçon de la baignoire livre la méthode de la montée d’eau. La masse divisée par le volume : la masse volumique de la couronne — et une masse volumique est une signature. L’or pur signe $19.3$ ; l’argent signe $10.5$ ; un mélange secret signe quelque part entre les deux. La légende dit que la couronne de l’orfèvre avoua une masse volumique bien inférieure à celle de l’or, et que la fraude fut démasquée sans une égratignure sur la couronne. Le problème du week-end te remet ses nombres.

44.4 Exercices

Exercice 44.1 ★

Qu’est-ce que la masse volumique d’une substance ? Donne celle de l’eau, et énonce la règle de la flottaison.

Solution

Solution de Exercice 44.1.

La masse d’un centimètre cube de la substance, en grammes ; celle de l’eau vaut $1\,\mathrm{g}$ par $\mathrm{cm}^{3}$ . La règle : moins dense que l’eau, ça flotte ; plus dense, ça coule.

Exercice 44.2 ★

Prédis « flotte » ou « coule » dans l’eau : le chêne ( $0.6$ ) ; la pierre ( $2.5$ ) ; le liège ( $0.2$ ) ; le fer ( $7.9$ ) ; la glace ( $0.9$ ).

Solution

Solution de Exercice 44.2.

Le chêne flotte ; la pierre coule ; le liège flotte ; le fer coule ; la glace flotte — d’un cheveu.

Exercice 44.3 ★

Un bloc a une masse de $120\,\mathrm{g}$ et un volume de $80\,\mathrm{cm}^{3}$ . Trouve sa masse volumique. Flotte-t-il ou coule-t-il ?

Solution

Solution de Exercice 44.3.

$120 \div 80 = 1.5$ : masse volumique $1.5$ — plus dense que l’eau, le bloc coule.

Exercice 44.4 ★

Un morceau mystérieux : masse $158\,\mathrm{g}$ , montée dans l’éprouvette $20\,\mathrm{cm}^{3}$ . Sa masse volumique — et, d’après les nombres du chapitre, sa substance probable ?

Solution

Solution de Exercice 44.4.

$158 \div 20 = 7.9$ : la signature du fer.

Exercice 44.5 ★

Pourquoi la masse volumique d’un éclat de chêne est-elle la même que celle d’une poutre de chêne entière ? À quoi cette propriété sert-elle ?

Solution

Solution de Exercice 44.5.

La masse volumique appartient à la substance, pas au morceau : chaque centimètre cube de chêne porte la même part de grammes, éclat ou poutre. Cela fait de la masse volumique une carte d’identité pour les substances inconnues.

Exercice 44.6 ★

Dans la tour de liquides, pourquoi le miel est-il au fond et l’huile au sommet ? Où s’immobilise un grain de raisin de masse volumique $1.05$ ?

Solution

Solution de Exercice 44.6.

Les liquides s’empilent par masse volumique, le plus dense en bas : le miel $1.4$ sous l’eau $1.0$ sous l’huile $0.9$ . Le grain de raisin ( $1.05$ ) traverse l’huile et l’eau et se pose sur le plancher de miel — plus dense que les deux étages du dessus, moins dense que le miel.

Exercice 44.7 ★

La glace flotte sur l’eau — pourquoi est-ce étrange pour un solide, et quelle vieille proposition sur l’eau qui gèle explique le $0.9$ ?

Solution

Solution de Exercice 44.7.

La plupart des solides sont plus denses que leur propre liquide et y coulent. La glace flotte parce que l’eau gonfle en gelant — la même matière dans un dixième de place en plus donne une masse volumique $0.9 < 1$ .

Exercice 44.8 ★

Le grand tronc et la petite pièce de ta première année : donne la réponse finale et complète, avec les nombres du chapitre.

Solution

Solution de Exercice 44.8.

Le bois signe environ $0.6$ : chaque centimètre cube du tronc fait une offre inférieure au $1\,\mathrm{g}$ de l’eau, et le tronc flotte donc, aussi énorme soit-il. Le bronze signe près de $9$ : chaque centimètre cube de la pièce surenchérit sur l’eau, et elle coule donc, aussi petite soit-elle. La taille n’a jamais compté ; la masse par unité de place a toujours compté.

Exercice 44.9 ★★

Un litre d’un certain liquide a une masse de $800\,\mathrm{g}$ . Quelle est sa masse volumique en grammes par centimètre cube ? Un glaçon ( $0.9$ ) y flottera-t-il ou y coulera-t-il ?

Solution

Solution de Exercice 44.9.

$1\,\mathrm{L} = 1000\,\mathrm{cm}^{3}$ , donc $800 \div 1000 = 0.8$ gramme par centimètre cube. La glace, à $0.9$ , est plus dense que ce liquide : le glaçon y coule.

Exercice 44.10 ★★

L’acier signe $7.9$ , et pourtant les navires en acier flottent. Résous le paradoxe avec l’idée du colis de Exemple 44.6 — que contient le colis-navire en plus de l’acier, et que doit valoir sa masse volumique d’ensemble ? À quel moment un navire percé cesse-t-il de satisfaire la règle ?

Solution

Solution de Exercice 44.10.

Le colis flottant est la coque tout entière : la coquille d’acier plus le grand volume d’air qu’elle enferme. Moyennée sur toute cette place, la masse volumique du colis passe au-dessous de $1$ , et la règle dit : ça flotte. Une brèche laisse l’eau remplacer l’air : la masse volumique du colis grimpe vers celle de l’acier, dépasse $1$ — et la règle, imperturbable, dit : ça coule.

Exercice 44.11 ★★

L’eau de mer est un peu plus dense que l’eau douce — environ $1.03$ . Explique pourquoi les nageurs flottent nettement mieux en mer, et prédis ce qui arrive à la ligne de flottaison d’un navire qui passe de la mer salée à un fleuve d’eau douce.

Solution

Solution de Exercice 44.11.

L’arbitre a changé : face au $1.03$ de l’eau de mer, le corps d’un nageur, proche de $1$ , se trouve confortablement du côté des flotteurs, et la mer le porte donc plus haut. En entrant dans l’eau douce ( $1.0$ ), le navire perd cette marge et s’enfonce davantage : sa ligne de flottaison remonte sur la coque.

Exercice 44.12 ★★★

Une sphère métallique creuse flotte exactement à moitié immergée dans l’eau. Raisonne pour trouver la masse volumique du colis-sphère entier (coque métallique plus l’air à l’intérieur). Puis argumente dans quel sens elle se déplace si de l’eau s’infiltre lentement à l’intérieur, et à quel moment elle se met à couler — la règle et le colis, main dans la main.

Solution

Solution de Exercice 44.12.

À moitié immergée, la sphère s’enfonce exactement comme doit le faire un colis de masse volumique égale à la moitié de celle de l’eau : la coquille plus l’air donnent en moyenne environ $0.5$ gramme par centimètre cube — c’est l’air caché qui allège le plus. À mesure que l’eau s’infiltre, elle remplace l’air, la masse volumique moyenne du colis grimpe, et la sphère s’enfonce de plus en plus ; à l’instant où cette moyenne dépasse le $1.0$ de l’eau, la règle de la flottaison change de camp et la sphère descend.

44.5 Problème : la couronne du roi

Problème 44.1

Problème du week-end — l’affaire de la couronne du roi, rouverte avec tes instruments ; le procès de l’orfèvre, résolu par une division

Rouvre la plus célèbre affaire de fraude de l’Antiquité avec des nombres modernes. Signatures : l’or $19.3$ , l’argent $10.5$ (en grammes par centimètre cube).

Partie I — les preuves. Le roi a remis à l’orfèvre $1930\,\mathrm{g}$ d’or pur. La couronne achevée, sur la balance : $1930\,\mathrm{g}$ exactement.

La masse correspond parfaitement. Pourquoi cela ne prouve-t-il rien à soi seul au sujet de la fraude ? (Qu’aurait pu faire l’orfèvre tout en obtenant la même masse ?)
Quel volume $1930\,\mathrm{g}$ d’or pur devraient-ils occuper ? (Partage les grammes : combien de centimètres cubes à $19.3\,\mathrm{g}$ chacun ?)
Archimède plonge la couronne dans un récipient plein à ras bord et recueille le débordement : $130\,\mathrm{cm}^{3}$ . Quel est le vrai volume de la couronne ?
Compare les deux volumes. Que crie déjà cette comparaison ?

Partie II — la signature.

Calcule la masse volumique de la couronne à partir de sa masse et de son volume mesuré (une décimale suffit).
Aligne les trois signatures : l’or, la couronne, l’argent. Où tombe la couronne ?
Explique au roi, en une phrase, pourquoi la couronne ne peut pas être en or pur.
L’orfèvre proteste : « La balance s’est peut-être trompée ! » Accorde-lui une erreur généreuse de $30\,\mathrm{g}$ dans un sens ou dans l’autre. Une masse comprise entre $1900\,\mathrm{g}$ et $1960\,\mathrm{g}$ sauve-t-elle une couronne d’or pur de volume $130\,\mathrm{cm}^{3}$ ? (Contrôle l’intervalle des masses volumiques.)

Partie III — combien a-t-il volé ? Supposons que l’orfèvre ait gardé une partie de l’or et l’ait remplacée, gramme pour gramme, par de l’argent.

Pourquoi remplacer de l’or par de l’argent, gramme pour gramme, garde-t-il la masse exacte tout en gonflant le volume ?
Teste une hypothèse : une couronne de $965\,\mathrm{g}$ d’or $+$ $965\,\mathrm{g}$ d’argent. Volume de la part d’or ? De la part d’argent ? (Une décimale.)
Fais le total du volume de cette couronne hypothétique, et juge l’hypothèse face aux $130\,\mathrm{cm}^{3}$ mesurés : trop d’argent, ou trop peu ?
La cour attend une phrase de verdict : dis ce qui a été prouvé sans doute possible (or pur ou non), quelle a été la méthode, et pourquoi la couronne n’a jamais eu besoin d’être abîmée — le véritable triomphe d’Archimède.

Solution

Solution de Problème 44.1.

1. Rien : échanger de l’or contre une masse égale d’argent laisse la balance satisfaite — la masse seule ne peut pas voir la substitution. 2. $1930 \div 19.3 = 100\,\mathrm{cm}^{3}$ . 3. $130\,\mathrm{cm}^{3}$ — le débordement est le volume de la couronne, par déplacement. 4. La couronne occupe $30\,\mathrm{cm}^{3}$ de plus que ne le devrait de l’or pur de cette masse : quelque chose de plus volumineux que l’or se cache à l’intérieur. 5. $1930 \div 130 \approx 14.8$ . 6. L’or $19.3$ — la couronne $14.8$ — l’argent $10.5$ : la couronne tombe entre les deux signatures. 7. « Sire, chaque centimètre cube d’or pur porte $19.3\,\mathrm{g}$ ; votre couronne n’en porte qu’environ $15$ — de l’or pur, elle ne l’est pas. » 8. L’intervalle donne des masses volumiques de $1900 \div 130 \approx 14.6$ à $1960 \div 130 \approx 15.1$ — très loin de $19.3$ : aucune erreur de balance plausible ne sauve l’orfèvre. 9. L’argent est moins dense : chaque gramme d’or volé a été rendu sous forme d’un gramme d’argent qui exige plus de place — une substitution gramme pour gramme conserve la masse et gonfle le volume. 10. Part d’or : $965 \div 19.3 = 50.0\,\mathrm{cm}^{3}$ ; part d’argent : $965 \div 10.5 \approx 91.9\,\mathrm{cm}^{3}$ . 11. Total $\approx 142\,\mathrm{cm}^{3}$ — plus que les $130$ mesurés : l’hypothèse moitié-moitié met trop d’argent ; le vrai vol était plus modeste (le volume mesuré se situe entre $100$ et $142$ ). 12. « Prouvé : la couronne n’est pas en or pur. Méthode : sa masse partagée sur son volume mesuré par l’eau donne une masse volumique très inférieure à l’immuable signature de l’or. Et la couronne n’a pas eu besoin de la moindre égratignure : l’eau a lu son secret de l’extérieur — voilà le triomphe. »

Termes définis dans ce chapitre

Masse volumique

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