Physique du primaire et du collège · Grades 1–9

58La résistance et la loi d’Ohm

Une question a suivi toute l’histoire électrique : certains composants laissent la marche filer, d’autres l’étranglent jusqu’au filet d’eau — les lampes se partagent les tensions inégalement, les fils fins chauffent, les gros restent froids. L’opposition elle-même reçoit aujourd’hui un nom, une unité et — couronnement de quatre années de circuits — la loi la plus utile de ce livre : trois lettres qui nouent la poussée, la marche et l’opposition en une seule ligne d’algèbre.

58.1 La résistance

Définition 58.1 (Résistance)

La résistance $R$ d’un composant mesure avec quelle force il s’oppose au courant électrique : sous une tension donnée, plus la résistance est grande, plus faible est la marche qu’il laisse passer. Son unité est l’ohm (symbole $\Omega$ , la capitale grecque oméga), en l’honneur du maître d’école devenu physicien qui trouva la loi de ce chapitre avec des fils faits maison et une patience héroïque.

Définition 58.2 (Résistor)

Un résistor — on dit aussi un conducteur ohmique — est un composant fabriqué pour avoir une résistance choisie et stable : un obstacle étalonné, vendu de la fraction d’ohm au million d’ohms. Les circuits emploient les résistors pour régler les courants à dessein : dompter la marche qui brûlerait une pièce délicate, atténuer, diviser, ajuster. Leurs anneaux de couleur épellent leur valeur ; leur symbole est un simple rectangle.

Exemple 58.3 (Des résistances autour de toi)

Un mètre de gros fil de cuivre : des centièmes d’ohm — la route plate. Une ampoule de lampe de poche allumée : quelques ohms. Un petit moteur électrique : quelques ohms. La résistance chauffante d’une bouilloire : environ $25\,\Omega$ . La peau humaine sèche, d’une main à l’autre : des dizaines de milliers d’ohms — mouillée, catastrophiquement moins : la vieille règle des mains humides est un énoncé de résistance. Un interrupteur ouvert : une résistance au-delà de toute mesure — l’obstacle infini.

58.2 L’expérience

Méthode 58.4 (Relever le portrait $U$ – $I$ d’un composant)

Un résistor, une alimentation réglable (ou une file croissante de piles), les deux appareils :

brancher l’alimentation, l’ampèremètre et le résistor en série ; poser le voltmètre aux bornes du résistor ;
régler la plus petite tension ; noter le couple ( $U$ , $I$ ) ;
augmenter la tension pas à pas — une pile, deux, trois — en notant un couple à chaque fois ;
placer les points, $I$ en abscisse, $U$ en ordonnée, et regarder.

Exemple 58.5 (L’aveu d’un résistor)

Le tableau d’une séance, pour un résistor :

$U$ ( $\mathrm{V}$ )	$1.5$	$3.0$	$4.5$	$6.0$
$I$ ( $\mathrm{A}$ )	$0.10$	$0.20$	$0.30$	$0.40$

Double la poussée, double la marche ; triple-la, elle triple : $U$ et $I$ sont proportionnels, et chaque rapport $U/I$ redonne le même nombre : $15$ . Ce rapport constant n’est pas un hasard — c’est la résistance du résistor, $R = 15\,\Omega$ , qui se montre à chaque ligne.

Proposition 58.6 (Loi d’Ohm)

Pour un résistor à température constante, la tension à ses bornes et le courant qui le traverse sont proportionnels, et la constante de proportionnalité est sa résistance :

U = R \times I ,

avec $U$ en volts, $I$ en ampères, $R$ en ohms. Réarrangée à volonté : $I = U/R$ (le courant qu’une poussée entraîne à travers un obstacle) et $R = U/I$ (l’obstacle démasqué par un seul couple de lectures honnêtes).

Le portrait U–I du résistor : des points mesurés alignés sur une droite passant par l’origine — la proportionnalité dessinée. Plus la droite est raide, plus la résistance est grande. — Le portrait $U$ – $I$ du résistor : des points mesurés alignés sur une droite passant par l’origine — la proportionnalité dessinée. Plus la droite est raide, plus la résistance est grande.

Exemple 58.7 (La loi calcule tout)

Une fois $R$ connu, la loi répond dans tous les sens. La résistance chauffante de la bouilloire, $25\,\Omega$ sur le secteur à $230\,\mathrm{V}$ : $I = U/R = 230 \div 25 = 9.2\,\mathrm{A}$ — l’appareil à dix ampères s’explique. Un résistor doit limiter à $0.02\,\mathrm{A}$ le courant d’une lampe délicate depuis $4.5\,\mathrm{V}$ : $R = U/I = 4.5 \div 0.02 = 225\,\Omega$ — on prendra la valeur normalisée immédiatement supérieure. Dans $60\,\Omega$ passent $0.05\,\mathrm{A}$ : la tension à ses bornes vaut $U = 60 \times 0.05 = 3\,\mathrm{V}$ . Une loi, trois recettes, tout l’atelier.

Remarque 58.8 (La béquille du triangle)

Certains élèves crayonnent $U$ au-dessus de $R$ et $I$ dans un petit triangle et masquent la lettre cherchée pour y lire la recette. Inoffensif comme béquille — mais ton algèbre réarrange désormais $U = R I$ honnêtement en une ligne, et la manière honnête voyage jusqu’à toutes les formules que tu rencontreras jamais, triangle ou non. Appuie-toi sur la béquille cette année s’il le faut ; prévois de marcher.

58.3 Ce que la résistance explique

Exemple 58.9 (De vieux mystères sur une seule facture)

Le partage inégal des tensions du chapitre des lois : des lampes en série partagent un même $I$ , donc par $U = R I$ le plus grand $R$ prend le plus grand $U$ — la plus grande chute du travailleur le plus rude, désormais calculable. La branche étranglée du chapitre de la dérivation : le long fil fin ajoutait de la résistance, et $I = U/R$ rapetissait la part de cette branche. Le court-circuit : une déviation de $R$ presque nul, donc $I = U/R$ explose — la bousculade a toujours été une division par presque zéro. Quatre années de savoir qualitatif sur les circuits, la facture d’une seule loi.

Exemple 58.10 (Les fils, au mètre)

La résistance d’un fil croît avec sa longueur et décroît avec son épaisseur — un fil long et fin est une route de montagne étroite, un fil court et gros une autoroute. D’où les gros câbles de l’électricien pour les appareils voraces, l’alliage résistant délibérément long et fin de la résistance chauffante — et la raison pour laquelle la même loi qui allume une lampe échauffe un grille-pain : la résistance est l’endroit où la marche dépense sa poussée, et la poussée dépensée, comme le confirmera le chapitre sur l’énergie l’an prochain, devient de la chaleur.

Remarque 58.11 (Où s’arrête l’autorité de la loi)

La loi d’Ohm est la loi d’un résistor, non un droit universel. Relève le portrait d’une lampe à filament et les points s’écartent de la droite : le filament s’échauffe à mesure que le courant croît, et le métal chaud résiste davantage — $R$ refuse de rester en place. Les diodes, les moteurs et la peau vivante courbent aussi leurs portraits, chacun à sa façon. La droite passant par l’origine est la signature du résistor, non celle de la matière — demande toujours à un composant son portrait avant de lui confier la loi.

58.4 Exercices

Exercice 58.1 ★

Que mesure la résistance ? Donne son unité et son symbole, et écris la loi d’Ohm avec ses trois écritures.

Solution

Solution de Exercice 58.1.

Avec quelle force un composant s’oppose au courant ; unité l’ohm, symbole $\Omega$ . $U = R I$ ; $I = U/R$ ; $R = U/I$ .

Exercice 58.2 ★

Complète chaque couple pour un résistor de $30\,\Omega$ : $U = 6\,\mathrm{V}$ , $I = {?}$ ; $I = 0.5\,\mathrm{A}$ , $U = {?}$ .

Solution

Solution de Exercice 58.2.

$I = 6 \div 30 = 0.2\,\mathrm{A}$ ; $U = 30 \times 0.5 = 15\,\mathrm{V}$ .

Exercice 58.3 ★

Un composant présente $U = 4.5\,\mathrm{V}$ sous $I = 0.09\,\mathrm{A}$ . Sa résistance ?

Solution

Solution de Exercice 58.3.

$R = 4.5 \div 0.09 = 50\,\Omega$ .

Exercice 58.4 ★

Dans l’expérience du portrait, quelle forme dessinent les points d’un vrai résistor, et que signifie une droite plus raide ?

Solution

Solution de Exercice 58.4.

Une droite passant par l’origine — la proportionnalité. Une droite plus raide signifie plus de volts par ampère : une résistance plus grande.

Exercice 58.5 ★

À partir du tableau du chapitre, vérifie $R$ sur la deuxième et la quatrième colonne. Pourquoi obtenir deux fois le même nombre est-il tout l’enjeu ?

Solution

Solution de Exercice 58.5.

$3.0 \div 0.20 = 15$ ; $6.0 \div 0.40 = 15$ . L’égalité du rapport d’une colonne à l’autre est la loi : c’est le fait qu’un seul $R$ constant serve toutes les lectures qui fait de « la résistance » une propriété du composant.

Exercice 58.6 ★

La résistance chauffante d’une bouilloire vaut $25\,\Omega$ ; celle d’une seconde bouilloire, $35\,\Omega$ . Sur le même secteur, laquelle appelle le courant le plus fort — et combien appelle chacune (une décimale) ?

Solution

Solution de Exercice 58.6.

La plus petite résistance boit davantage : $230 \div 25 = 9.2\,\mathrm{A}$ contre $230 \div 35 \approx 6.6\,\mathrm{A}$ .

Exercice 58.7 ★

Explique avec $U = R I$ pourquoi, de deux lampes en série partageant un même courant, celle qui résiste le plus prend la plus grande tension.

Solution

Solution de Exercice 58.7.

Des lampes en série partagent un seul $I$ ; la tension de chaque lampe vaut $U = R I$ avec le même $I$ — donc le plus grand $R$ se multiplie en le plus grand $U$ : l’opposant le plus fort prend la plus grosse part.

Exercice 58.8 ★

Traduis en langage de résistance : la bousculade du court-circuit ; le blocage total de l’interrupteur ouvert.

Solution

Solution de Exercice 58.8.

Court-circuit : $R$ proche de zéro, donc $I = U/R$ explose — la bousculade est une division par presque rien. Interrupteur ouvert : $R$ au-delà de toute mesure, donc $I = U/R$ s’effondre à zéro — le blocage total.

Exercice 58.9 ★★

Un voyant lumineux délicat tolère $20\,\mathrm{mA}$ . Quel résistor en série le protège sur une pile de $9\,\mathrm{V}$ , si le voyant prend lui-même environ $2\,\mathrm{V}$ de la part ? (La part du résistor d’abord, puis $R$ .)

Solution

Solution de Exercice 58.9.

Le résistor doit prendre $9 - 2 = 7\,\mathrm{V}$ sous $0.02\,\mathrm{A}$ : $R = 7 \div 0.02 = 350\,\Omega$ .

Exercice 58.10 ★★

Portrait mesuré d’une lampe à filament : ( $1\,\mathrm{V}$ , $0.25\,\mathrm{A}$ ), ( $4\,\mathrm{V}$ , $0.5\,\mathrm{A}$ ). Montre qu’aucun $R$ unique ne convient aux deux points, et raconte l’histoire physique derrière cette courbure.

Solution

Solution de Exercice 58.10.

Premier point : $R = 1 \div 0.25 = 4\,\Omega$ ; second : $4 \div 0.5 = 8\,\Omega$ — aucune valeur unique ne convient. L’histoire : le courant croissant échauffe le filament, et le métal chaud résiste davantage ; le portrait se courbe parce que le composant change en travaillant.

Exercice 58.11 ★★

Deux résistors en série, $10\,\Omega$ et $20\,\Omega$ , sous $6\,\mathrm{V}$ . En utilisant les lois de la série puis la loi d’Ohm sur chacun : trouve le courant de la boucle et la tension de chaque résistor. (Indice : un seul courant $I$ vérifie $6 = 10 I + 20 I$ .)

Solution

Solution de Exercice 58.11.

Une boucle, un $I$ : les deux chutes totalisent la poussée de la pile, $6 = 10 I + 20 I = 30 I$ , donc $I = 0.2\,\mathrm{A}$ . Ensuite $U_{10} = 10 \times 0.2 = 2\,\mathrm{V}$ et $U_{20} = 20 \times 0.2 = 4\,\mathrm{V}$ — de somme $6\,\mathrm{V}$ , comme l’exige la loi de la boucle.

Exercice 58.12 ★★★

Les deux mêmes résistors, maintenant en dérivation sous $6\,\mathrm{V}$ . Trouve le courant de chaque branche, le total fourni par la pile, puis — la fin élégante — la résistance unique $R$ qui appellerait ce même total sous $6\,\mathrm{V}$ . Compare-la aux deux résistors et explique, en langage de routes, pourquoi l’équipe de deux résiste moins que chacun de ses membres seul.

Solution

Solution de Exercice 58.12.

Chaque branche est sous $6\,\mathrm{V}$ : $I_{10} = 6 \div 10 = 0.6\,\mathrm{A}$ , $I_{20} = 6 \div 20 = 0.3\,\mathrm{A}$ ; total $0.9\,\mathrm{A}$ . La remplaçante : $R = 6 \div 0.9 \approx 6.7\,\Omega$ — moins que chacun des deux membres. En langage de routes : deux routes entre les mêmes villes portent plus de trafic que chacune seule ; toute route ajoutée en dérivation facilite le passage, si bien que l’opposition de l’équipe tombe sous celle de son membre le plus faible.

58.5 Problème : le banc de contrôle qualité

Problème 58.1

Problème du week-end — jour d’inspection à l’usine de résistors ; des portraits, des tolérances et un composant qui n’est pas du tout un résistor

Le banc qualité de l’usine éprouve la production du jour — et un imposteur. C’est toi qui tiens les appareils.

Partie I — étalonner le banc.

Dessine (ou décris) le circuit d’essai : alimentation, ampèremètre, composant testé, voltmètre — qui est en série, qui est aux bornes ?
L’échantillon un, sous $4.5\,\mathrm{V}$ , laisse passer $0.15\,\mathrm{A}$ . Sa résistance ?
L’étiquette annonce $33\,\Omega$ , tolérance cinq pour cent. Calcule la fourchette acceptable, et statue sur l’échantillon un. (Cinq pour cent de $33$ d’abord.)
L’échantillon deux, étiqueté $150\,\Omega$ : prédis son courant sous $4.5\,\mathrm{V}$ , pour que le banc sache à quoi s’attendre (une décimale, en $\mathrm{mA}$ ).

Partie II — des portraits complets.

Tableau de l’échantillon trois : $(1.5, 0.05)$ , $(3.0, 0.10)$ , $(4.5, 0.15)$ , $(6.0, 0.20)$ — volts, ampères. Ajuste $R$ , en citant le trait des nombres qui autorise une valeur unique.
Tableau de l’échantillon quatre : $(1.5, 0.30)$ , $(3.0, 0.45)$ , $(4.5, 0.54)$ , $(6.0, 0.60)$ . Démasque l’imposteur : aucun $R$ unique, et le sens de la dérive.
L’échantillon quatre est en fait une petite lampe à filament venue de la chaîne voisine. Raconte l’histoire de sa courbure — et pourquoi l’essai de la droite, sur ce banc, est précisément un détecteur de résistors.
Le règlement du banc dit : « tout portrait doit être relevé à température constante. » Quelle clause de la loi d’Ohm cette règle protège-t-elle ?

Partie III — le service des applications.

Une commande demande un résistor limitant le courant à $30\,\mathrm{mA}$ sur une alimentation de $12\,\mathrm{V}$ (la part de la charge elle-même étant négligeable). Calcule la valeur à proposer.
Un client se plaint que sa résistance chauffante de $25\,\Omega$ n’appelle « que » $9.2\,\mathrm{A}$ alors que le fusible en autorise $10$ . Calcule la tension d’alimentation que sa plainte suppose, et rassure-le par l’arithmétique.
Le laboratoire des prototypes réclame le cavalier de cuivre le plus gros et le plus court de l’usine, « avec une résistance aussi proche de zéro ohm que possible ». Pour quel rôle de circuit ce cavalier est-il né — et de quel coupable familier sa résistance presque nulle le rapproche s’il est mal employé ?
Clos le registre d’inspection : trois phrases — la loi, son portrait, et l’unique condition sous laquelle un composant a le droit de la signer.

Solution

Solution de Problème 58.1.

1. Alimentation, ampèremètre et composant sur une même boucle en série — le péage sur la route ; le voltmètre aux bornes du composant — le géomètre à côté. 2. $R = 4.5 \div 0.15 = 30\,\Omega$ . 3. Cinq pour cent de $33$ font environ $1.65$ : acceptable de $31.35$ à $34.65\,\Omega$ . Les $30\,\Omega$ de l’échantillon un tombent en dehors : rejeté. 4. $I = 4.5 \div 150 = 0.03\,\mathrm{A} = 30.0\,\mathrm{mA}$ . 5. Chaque colonne redonne $R = U/I = 30\,\Omega$ ( $1.5 \div 0.05$ , $3.0 \div 0.10$ , …) : rapport constant, portrait rectiligne — une seule valeur convient à toutes : $30\,\Omega$ . 6. Les rapports valent $5$ , $6.7$ , $8.3$ , $10\,\Omega$ : en hausse à chaque pas — une résistance qui grandit avec le courant ; aucun $R$ unique n’existe. 7. À mesure que le courant croît, le filament s’échauffe jusqu’à rougir, et le métal chaud résiste davantage — le portrait se courbe vers le haut. L’essai de la droite n’admet donc exactement que les composants dont le $R$ reste en place : c’est, par construction, un détecteur de résistors. 8. La clause de la température constante : la loi d’Ohm promet la proportionnalité à température constante — échauffe un composant en cours de portrait, et même un résistor honnête dérive. 9. $R = 12 \div 0.03 = 400\,\Omega$ . 10. $U = R I = 25 \times 9.2 = 230\,\mathrm{V}$ — exactement le secteur : la résistance chauffante appelle précisément ce que la loi d’Ohm lui attribue, et la marge du fusible fonctionne comme prévu. Rien n’est « que » ; tout est arithmétique. 11. Le cavalier est né pour être un fil de liaison — la route plate, qui ne dépense aucune poussée. Mal employé aux bornes d’une alimentation, ses ohms presque nuls en font le court-circuit parfait : le coupable n’a jamais été qu’un très bon fil au mauvais endroit. 12. Par exemple : « La loi : $U = R I$ , la poussée égale l’opposition fois la marche. Son portrait : une droite passant par l’origine, d’autant plus raide que l’opposant est fort. Et seul un composant à température constante a le droit de la signer — la chaleur réécrit la résistance, et les portraits pris en pleine fièvre ne prouvent rien. »

Termes définis dans ce chapitre

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