Physique du primaire et du collège · Grades 1–9

35La vitesse : distance et durée

« Je suis plus rapide ! » — « Non, c’est moi ! » Toutes les cours de récréation tranchent cela honnêtement : on s’aligne, à vos marques, prêts, partez. Mais comment comparer un cycliste et un coureur qui a couru hier, sur une autre route ? La vitesse est la façon dont la physique tranche les courses qui ne pourront jamais être disputées côte à côte.

35.1 Deux façons de gagner une course

Proposition 35.1 (Les règles de la course honnête)

Deux façons honnêtes de comparer le rapide et le lent :

sur la même distance, le plus rapide met moins de temps — le premier sur la ligne gagne le sprint ;
en même temps, le plus rapide parcourt plus de distance — au bout d’une minute, le nageur le plus rapide est tout simplement plus loin.

Même distance ou même durée : fixe l’une, compare l’autre. Comparer en changeant les deux — « j’ai couru plus loin ! » « Oui, mais tu as couru tout l’après-midi ! » — ne décide rien.

Exemple 35.2 (Malhonnête et honnête)

Lena a fait $10\,\mathrm{km}$ à vélo ; Marco en a fait $15\,\mathrm{km}$ . Marco est-il plus rapide ? Impossible de le dire — il a peut-être roulé trois fois plus longtemps. Mais si tous deux ont roulé exactement une heure, la comparaison devient honnête : même durée, plus de distance, Marco est plus rapide. Ce petit « en une heure » est sur le point de devenir notre expression préférée.

35.2 La vitesse : la distance parcourue en une heure

Définition 35.3 (Vitesse)

La vitesse d’un voyageur régulier est la distance qu’il parcourt pendant une part de temps fixée — le plus souvent une heure. « Cette voiture parcourt $60$ kilomètres en une heure » nomme sa vitesse ; un marcheur allant bon train fait environ $5$ kilomètres en une heure, un cycliste de course $40$ . Pour les traînards, nous prenons des parts plus commodes : un escargot parcourt environ $5$ mètres en une heure.

Une échelle de vitesses : la distance que chaque voyageur parcourt en une heure — des cinq mètres de l’escargot aux neuf cents kilomètres de l’avion de ligne.

Méthode 35.4 (Mesurer ta propre vitesse)

Mesurer ou trouver une longueur d’exactement $100\,\mathrm{m}$ (beaucoup de pistes d’athlétisme en tracent une) ;
la parcourir à ton allure naturelle pendant qu’un camarade te chronomètre — supposons que cela prenne une minute ;
une heure contient $60$ de ces minutes : en une heure, tu parcourrais donc $60 \times 100 = 6000\,\mathrm{m}$ ;
dit en kilomètres : ta vitesse de marche est de $6$ kilomètres en une heure.

Recommence en courant et compare — la plupart des enfants doublent à peu près.

35.3 Prévoir les distances

Proposition 35.5 (La distance à partir de la vitesse)

Un voyageur régulier parcourt de nouveau sa distance d’une heure à chaque heure suivante. Donc :

\text{distance parcourue} = \text{distance en une heure} \times \text{nombre d'heures}.

Une voiture faisant $60$ kilomètres par heure parcourt, en $3$ heures, $60 \times 3 = 180\,\mathrm{km}$ .

Exemple 35.6 (Calculs de trajet)

Le marcheur à $4$ kilomètres par heure, sorti $2$ heures : $4 \times 2 = 8\,\mathrm{km}$ . Le cycliste à $15$ kilomètres par heure, roulant $4$ heures : $15 \times 4 = 60\,\mathrm{km}$ . L’avion de ligne à $900$ kilomètres par heure, volant $5$ heures : $900 \times 5 = 4500\,\mathrm{km}$ — un continent traversé entre deux repas.

Des trajets réguliers tracés en droites : chaque heure ajoute la même part de kilomètres. La droite du voyageur le plus rapide monte plus fort.

Remarque 35.7 (« Régulier » est une simplification)

Les vrais voyageurs sont rarement réguliers : la voiture ralentit dans les villages, le cycliste dévale les descentes et peine dans les montées, tu traînes devant la boulangerie. Nos calculs font comme si tout le trajet se déroulait à une seule allure fidèle — une simplification utile, bien suffisante pour préparer un voyage. Comment être honnête à propos d’un trajet à plusieurs allures — et ce que « moyenne » veut vraiment dire — est une histoire pour une année plus avancée, quand tu posséderas les mathématiques qu’il faut.

Exemple 35.8 (Lire les vitesses autour de toi)

Les panneaux routiers et les tableaux de bord parlent en kilomètres-en-une-heure — le panneau rond indiquant $50$ dit aux conducteurs : parcourez au plus $50$ kilomètres en une heure, une allure choisie pour qu’un enfant courant après un ballon puisse encore être épargné. L’écran d’un train à grande vitesse affiche parfois fièrement $300$ ; les panneaux de randonnée en montagne préfèrent les heures aux kilomètres — « lac : 2 h » — en faisant confiance au marcheur pour connaître sa propre vitesse.

35.4 Exercices

Exercice 35.1 ★

Énonce les deux façons honnêtes de comparer le rapide et le lent. Pourquoi « j’ai couru plus loin que toi » ne prouve-t-il rien à lui seul ?

Solution

Solution de Exercice 35.1.

Même distance — le moins de temps gagne ; même durée — la plus grande distance gagne. « J’ai couru plus loin » ne fixe ni l’une ni l’autre : avec des durées inégales, une plus grande distance ne prouve rien sur la rapidité.

Exercice 35.2 ★

Deux nageurs traversent le même bassin ; Ana met $30$ secondes, Bo en met $25$ . Qui est le plus rapide, et par quelle règle de la course honnête ?

Solution

Solution de Exercice 35.2.

Bo — même distance (un bassin), moins de temps ( $25 < 30$ secondes) : règle première.

Exercice 35.3 ★

Au bout d’une heure, un tracteur a parcouru $20\,\mathrm{km}$ et un scooter $45\,\mathrm{km}$ . Qui est le plus rapide, et par quelle règle ?

Solution

Solution de Exercice 35.3.

Le scooter — même durée (une heure), plus de distance ( $45 > 20$ kilomètres) : règle deuxième.

Exercice 35.4 ★

Que veut dire « ce train parcourt $200$ kilomètres en une heure » ? Jusqu’où va-t-il en $2$ heures ? En une demi-heure ?

Solution

Solution de Exercice 35.4.

À chaque heure, il parcourt $200\,\mathrm{km}$ . En $2$ heures : $200 \times 2 = 400\,\mathrm{km}$ . En une demi-heure : la moitié de $200$ , soit $100\,\mathrm{km}$ .

Exercice 35.5 ★

Range par vitesse : un marcheur ( $5$ kilomètres par heure) ; un pigeon ( $80$ kilomètres par heure) ; un escargot ( $5$ mètres par heure) ; un bus de ville ( $30$ kilomètres par heure).

Solution

Solution de Exercice 35.5.

L’escargot ( $5$ mètres par heure), le marcheur ( $5$ kilomètres), le bus de ville ( $30$ ), le pigeon ( $80$ kilomètres par heure).

Exercice 35.6 ★

Tu parcours tranquillement $100\,\mathrm{m}$ balisés en $2$ minutes. Combien de mètres parcourrais-tu en une heure à cette allure ? Dis ta vitesse en kilomètres par heure.

Solution

Solution de Exercice 35.6.

Une heure contient $30$ parts de $2$ minutes : $30 \times 100 = 3000\,\mathrm{m}$ — une vitesse de $3$ kilomètres par heure.

Exercice 35.7 ★

Une voiture tient un régulier $80$ kilomètres par heure pendant $3$ heures. Quelle distance parcourt-elle ? Et un cycliste à $15$ kilomètres par heure pendant les mêmes $3$ heures ?

Solution

Solution de Exercice 35.7.

La voiture : $80 \times 3 = 240\,\mathrm{km}$ . Le cycliste : $15 \times 3 = 45\,\mathrm{km}$ .

Exercice 35.8 ★

Sur le graphique des trajets du chapitre, comment repérer d’un coup d’œil le voyageur le plus rapide ? Lis dessus : quelle distance le cycliste a-t-il parcourue après $2$ heures ?

Solution

Solution de Exercice 35.8.

La droite du voyageur le plus rapide monte plus fort. Après $2$ heures, la droite du cycliste se trouve à $30\,\mathrm{km}$ .

Exercice 35.9 ★★

Un ferry parcourt $30$ kilomètres en une heure. La traversée fait $90\,\mathrm{km}$ . En utilisant Proposition 35.5 à l’envers — essaie heure après heure — combien de temps dure la traversée ?

Solution

Solution de Exercice 35.9.

Heure après heure : $30$ , $60$ , $90$ — au bout de $3$ heures, le ferry a parcouru exactement $90\,\mathrm{km}$ : la traversée dure $3$ heures.

Exercice 35.10 ★★

Deux villes sont distantes de $60\,\mathrm{km}$ . Mara part de l’une à vélo à $20$ kilomètres par heure ; au même instant, Jon part de l’autre vers elle à $10$ kilomètres par heure. De combien de kilomètres l’écart entre eux diminue-t-il chaque heure ? Au bout de combien d’heures se rencontrent-ils ?

Solution

Solution de Exercice 35.10.

Chaque heure, Mara comble $20\,\mathrm{km}$ et Jon $10\,\mathrm{km}$ : l’écart diminue de $30\,\mathrm{km}$ par heure. Parti de $60\,\mathrm{km}$ , il atteint zéro au bout de $2$ heures — ils se rencontrent à $40\,\mathrm{km}$ de la ville de Mara.

Exercice 35.11 ★★

La vieille fable, avec des nombres : la course fait $120\,\mathrm{m}$ de long. Le lièvre court $60$ mètres par minute — mais après une minute de course, il s’arrête pour une sieste de $70$ minutes, puis repart. La tortue avance de $2$ mètres par minute et ne s’arrête jamais. Où est le lièvre quand il commence sa sieste ? À quel instant chacun franchit-il la ligne d’arrivée ? Qui gagne ?

Solution

Solution de Exercice 35.11.

Après sa minute de course, le lièvre se trouve à $60\,\mathrm{m}$ — à mi-parcours — et s’endort. La tortue met $120 \div 2 = 60$ minutes et arrive à l’instant $60$ . Le lièvre se réveille à l’instant $1 + 70 = 71$ , court ses derniers $60\,\mathrm{m}$ en une minute, et arrive à l’instant $72$ . La tortue gagne de $12$ minutes — la régularité bat la vitesse, désormais avec de l’arithmétique.

Termes définis dans ce chapitre

Vitesse

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