Physique du primaire et du collège · Grades 1–9

37La mesure en science : unités et instruments

Un charpentier, un médecin et une astronome entrent dans leur journée de travail : l’un mesure une étagère, l’autre une fièvre, la troisième les errances de Mars. Tous les trois font confiance à la même machinerie discrète — des unités convenues, des instruments honnêtes, une lecture soigneuse. Cette année, la physique devient vraiment quantitative : commençons donc par affûter les outils sur lesquels tous les chapitres suivants vont s’appuyer.

37.1 De l’apparence au nombre

Cinq années d’expériences nous ont appris un rythme : les yeux et les mains devinent, les instruments tranchent. La règle contre le « ça-a-l’air-plus-long » ; la balance contre le « ça-a-l’air-plus-lourd » ; le thermomètre contre la sensation de froid. À chaque fois, le verdict de l’instrument est un nombre accompagné d’une unité — et ce couple voyage, se compare et peut être vérifié par n’importe qui, ce qu’aucune sensation n’a jamais pu faire.

Définition 37.1 (Mesurer une grandeur)

Mesurer une grandeur — une longueur, une masse, une durée, une température — c’est compter combien de fois son unité convenue y tient, à l’aide d’un instrument construit pour ce travail. Le résultat s’écrit toujours comme un nombre accompagné de son unité : $28.5\,\mathrm{cm}$ , $450\,\mathrm{g}$ , $37.2\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ . Un nombre seul est une rumeur ; un nombre avec son unité est une mesure.

Exemple 37.2 (Le prix d’une unité manquante)

« Ajouter 3 de farine. » Des grammes ? Des cuillerées ? Des bols ? Le sort du gâteau tient au mot manquant. De vrais désastres ont suivi des unités oubliées ou confondues — des avions se sont retrouvés sans carburant en plein vol parce que des kilogrammes avaient été confondus avec des livres. Les professionnels écrivent l’unité à chaque fois, sans exception ; à partir de ce chapitre, nous aussi.

37.2 Les unités du monde

Définition 37.3 (La trousse de départ du scientifique)

Le monde s’est mis d’accord sur des unités communes, une famille par grandeur :

la longueur : le mètre ( $\mathrm{m}$ ), avec ses rejetons le kilomètre ( $1\,\mathrm{km} = 1000\,\mathrm{m}$ ), le centimètre ( $100\,\mathrm{cm} = 1\,\mathrm{m}$ ) et le millimètre ( $1000\,\mathrm{mm} = 1\,\mathrm{m}$ ) ;
la masse : le kilogramme ( $\mathrm{kg}$ ), avec le gramme ( $1\,\mathrm{kg} = 1000\,\mathrm{g}$ ) et le milligramme ( $1000\,\mathrm{mg} = 1\,\mathrm{g}$ ) ;
le temps : la seconde ( $\mathrm{s}$ ), avec la minute ( $1\,\mathrm{min} = 60\,\mathrm{s}$ ) et l’heure ( $1\,\mathrm{h} = 60\,\mathrm{min} = 3600\,\mathrm{s}$ ) ;
la température : le degré Celsius ( ${}^{\circ}\mathrm{C}$ ) ;
le volume des liquides : le litre ( $\mathrm{L}$ ), que nous mesurerons au chapitre suivant.

Exemple 37.4 (Convertir comme un scientifique)

Les conversions sont des promenades sur l’escalier décimal. $2.35\,\mathrm{m}$ en centimètres : on multiplie par $100$ — la virgule glisse de deux rangs vers la droite : $235\,\mathrm{cm}$ . $4500\,\mathrm{g}$ en kilogrammes : on divise par $1000$ : $4.5\,\mathrm{kg}$ . Le temps est le rebelle de la famille — ses marches valent $60$ , et non $10$ : $2.5\,\mathrm{min}$ ne fait pas $250$ secondes mais $2 \times 60 + 30 = 150\,\mathrm{s}$ . Respect au rebelle.

Remarque 37.5 (Qui garde le mètre ?)

Pendant deux siècles, le mètre du monde fut une barre de métal précieux enfermée dans un coffre gardé près d’une grande capitale européenne, et le kilogramme un cylindre brillant posé à côté : les règles et les masses de toutes les nations étaient des copies de copies de ceux-là. Aujourd’hui, les gardes ont été mis à la retraite : le mètre et ses amis sont désormais définis à partir de faits immuables de la nature elle-même — la lumière et les horloges intérieures des atomes — de sorte que tout laboratoire bien équipé sur Terre (ou ailleurs !) puisse les reconstruire à l’identique. Les unités sont l’accord pacifique le plus durable de l’humanité.

La trousse de celui qui mesure : longueur, volume, masse, température et temps, chacun avec son instrument et son unité.

37.3 Bien se servir des instruments

Méthode 37.6 (Lire une graduation, quelle qu’elle soit)

Règles, thermomètres, verres doseurs, cadrans : un seul savoir-faire les lit tous.

trouver la valeur d’une graduation : prendre deux traits chiffrés voisins, soustraire, et diviser par le nombre de petits pas entre eux — sur une règle chiffrée tous les centimètres avec dix pas, chaque pas vaut $1 \div 10 = 0.1\,\mathrm{cm}$ , soit un millimètre ;
placer l’œil bien en face du trait (une vue de biais décale la lecture) ;
compter à partir du dernier trait chiffré : $7$ et $3$ petits pas donnent $7.3$ ;
écrire le nombre avec son unité.

Lire une graduation : apprendre d’abord ce que vaut un petit pas, puis compter à partir du dernier trait chiffré.

Méthode 37.7 (Estimer, mesurer, juger)

Les professionnels ne mesurent jamais à froid :

estimer d’abord — « cette table fait à peu près deux mètres » ;
choisir l’instrument dont l’étendue et les graduations conviennent au travail (une règle pour un timbre, un mètre ruban pour un couloir, la balance de cuisine pour la farine, le pèse-personne pour les gens) ;
mesurer, en suivant les règles de lecture ;
juger : le résultat s’accorde-t-il à peu près avec l’estimation ? Une table mesurée à $21.3\,\mathrm{m}$ n’a pas grandi — on s’est trompé d’un facteur dix, et l’estimation vient de le rattraper.

L’estimation est ton filet de sécurité : elle attrape les virgules qui glissent avant qu’elles ne t’attrapent.

Exemple 37.8 (Choisir avec discernement)

Pour peser une lettre à poster, le pèse-personne ne sert à rien — les $18\,\mathrm{g}$ de la lettre disparaissent entre ses graduations ; la balance de cuisine, qui avance au gramme, répond parfaitement. Pour chronométrer un $100$ mètres, l’horloge de la cuisine et ses graduations d’une minute sont sans espoir ; un chronomètre compte en centièmes de seconde. Aucun instrument n’est « meilleur » : chacun a son territoire, fixé par son étendue et par sa plus petite graduation.

37.4 Des nombres honnêtes

Remarque 37.9 (Entre deux traits)

Les aiguilles réelles adorent s’arrêter entre deux traits. L’honnêteté a alors deux niveaux : au minimum, nommer les deux voisins — « entre $7.3$ et $7.4$ , plus près de $7.3$ » ; mieux, estimer un chiffre au-delà des traits — « environ $7.32\,\mathrm{cm}$ ». Ce que l’honnêteté interdit, c’est d’inventer de la précision : lire $7.3214\,\mathrm{cm}$ sur des traits millimétrés est de la fiction en blouse blanche. Les graduations d’un instrument fixent la limite de ce qu’il peut promettre.

Exemple 37.10 (Mesurer deux fois, croire davantage)

Trois camarades chronomètrent la même descente d’une petite voiture avec le même chronomètre : $4.6\,\mathrm{s}$ , $4.8\,\mathrm{s}$ , $4.7\,\mathrm{s}$ . Personne n’a commis de bévue — les doigts partent et s’arrêtent simplement à un cheveu près. Une petite dispersion est la respiration normale de toute mesure réelle. Les bonnes habitudes : recommencer la mesure, regarder les lectures se serrer les unes contre les autres, et se méfier de tout nombre isolé — surtout du sien.

37.5 Exercices

Exercice 37.1 ★

Complète chaque mesure par une unité sensée : une porte fait $2$ … de haut ; une pièce de monnaie a une masse de $8$ … ; un cours dure $55$ … ; une fièvre est de $39$ …

Solution

Solution de Exercice 37.1.

$2$ $\mathrm{m}$ ; $8$ $\mathrm{g}$ ; $55$ $\mathrm{min}$ ; $39$ ${}^{\circ}\mathrm{C}$ .

Exercice 37.2 ★

Convertis : $3.2\,\mathrm{m}$ en $\mathrm{cm}$ ; $750\,\mathrm{g}$ en $\mathrm{kg}$ ; $4\,\mathrm{min}$ en secondes ; $5600\,\mathrm{m}$ en $\mathrm{km}$ .

Solution

Solution de Exercice 37.2.

$320\,\mathrm{cm}$ ; $0.75\,\mathrm{kg}$ ; $240\,\mathrm{s}$ ; $5.6\,\mathrm{km}$ .

Exercice 37.3 ★

Pourquoi le temps est-il le rebelle de la famille des unités ? Convertis $3.5\,\mathrm{min}$ en secondes — et dis quelle réponse fausse l’escalier décimal aurait donnée.

Solution

Solution de Exercice 37.3.

Ses marches valent $60$ et non $10$ : l’escalier décimal ment donc. $3.5\,\mathrm{min} = 3 \times 60 + 30 = 210\,\mathrm{s}$ , alors que l’escalier aurait donné à tort $350\,\mathrm{s}$ .

Exercice 37.4 ★

Un verre doseur est chiffré tous les $100\,\mathrm{mL}$ avec cinq petits pas entre les chiffres. Que vaut un pas ? Le jus s’arrête deux pas au-dessus du trait $300$ — combien de jus ?

Solution

Solution de Exercice 37.4.

Chaque pas : $200 \div 5 = 40\,\mathrm{mL}$ . Deux pas au-dessus de $300$ : $300 + 80 = 380\,\mathrm{mL}$ .

Exercice 37.5 ★

Quel instrument pour chaque travail, et pourquoi : peser une pincée de levure ; chronométrer un comptage de battements de cœur ; la largeur de cette page ; la longueur de la cour de récréation ?

Solution

Solution de Exercice 37.5.

La levure : la balance de cuisine (des pas d’un gramme — le pèse-personne ne remarquerait pas une pincée). Les battements de cœur : un chronomètre (des pas d’une seconde et plus fins). La largeur de la page : une règle (des pas d’un millimètre). La cour : un long mètre ruban ou une roue d’arpenteur (une étendue de plusieurs mètres).

Exercice 37.6 ★

Nadia mesure son crayon : $17.4\,\mathrm{m}$ . Quel filet de sécurité de Méthode 37.7 aurait dû rattraper cela, et quelle est la valeur vraie la plus probable ?

Solution

Solution de Exercice 37.6.

L’étape du jugement : on estime un crayon à moins de $20\,\mathrm{cm}$ , et $17.4\,\mathrm{m}$ échoue donc aussitôt au contrôle de bon sens. Elle a lu des centimètres et écrit des mètres : la valeur vraie est $17.4\,\mathrm{cm}$ .

Exercice 37.7 ★

La colonne d’un thermomètre s’arrête entre les traits $18$ et $19$ , plus près de $19$ . Donne une façon honnête de le rapporter — et une façon malhonnête à éviter.

Solution

Solution de Exercice 37.7.

Honnête : « entre $18$ et $19\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ , plus près de $19$ » (ou « environ $18.8\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ »). Malhonnête : « $18.7643\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ » — une précision que les graduations ne peuvent pas promettre.

Exercice 37.8 ★

Trois lectures au chronomètre d’une même course : $6.1\,\mathrm{s}$ , $6.3\,\mathrm{s}$ , $6.2\,\mathrm{s}$ . Y a-t-il un fautif ? Quel est le compte rendu raisonnable ?

Solution

Solution de Exercice 37.8.

Personne n’est fautif : les doigts partent et s’arrêtent à un cheveu près, et une petite dispersion est la respiration normale de la mesure. Compte rendu raisonnable : les lectures se serrent autour de $6.2\,\mathrm{s}$ — « environ $6.2\,\mathrm{s}$ ».

Exercice 37.9 ★★

Une recette venue de l’étranger demande « un quart de livre de beurre ». Ta balance de cuisine parle grammes, et une livre entière fait environ $450\,\mathrm{g}$ . Combien de grammes pèses-tu ? Que nous apprend cette course sur les unités partagées ?

Solution

Solution de Exercice 37.9.

Un quart de $450\,\mathrm{g}$ : environ $112\,\mathrm{g}$ ( $113\,\mathrm{g}$ convient). Cette course montre pourquoi les unités partagées comptent : une recette écrite dans les unités d’un pays doit être traduite avant que les instruments d’un autre puissent lui obéir.

Exercice 37.10 ★★

Le premier centimètre d’une règle est usé, si bien que son bord commence au trait $1$ . Un timbre posé à partir du bord donne $3.4$ à son autre extrémité. Quelle est la vraie largeur du timbre ? Quelle habitude vient à bout des règles usées ?

Solution

Solution de Exercice 37.10.

Le timbre s’étend du trait $1$ au trait $3.4$ : $3.4 - 1 = 2.4\,\mathrm{cm}$ . L’habitude : ne jamais se fier au bord d’un instrument — partir d’un trait choisi et soustraire, et les règles usées perdent tout pouvoir.

Exercice 37.11 ★★

La classe mesure deux fois le couloir avec un ruban de $20\,\mathrm{m}$ : $18.25\,\mathrm{m}$ puis $18.35\,\mathrm{m}$ . La professeure écrit « $18.3\,\mathrm{m}$ ». Explique son choix, à l’aide de Remarque 37.9 et de Exemple 37.10.

Solution

Solution de Exercice 37.11.

Les deux lectures s’écartent de $0.10\,\mathrm{m}$ : le dernier chiffre de l’une comme de l’autre n’est donc pas fiable, et elles se serrent autour de $18.3$ . Écrire « $18.3\,\mathrm{m}$ » conserve tous les chiffres que le ruban peut honnêtement promettre, et pas un de plus.

Exercice 37.12 ★★★

Un vieux conte : un roi décrète que son propre pied sera l’unité de longueur du royaume. Cite deux désastres pratiques qui s’ensuivent (pense aux charpentiers des villes lointaines, et au fils du roi qui grandit et qui héritera), et explique comment la barre de métal aujourd’hui à la retraite de Remarque 37.5 a résolu les deux — et quel problème même la barre laissait irrésolu, que les constantes de la nature ont fini par régler.

Solution

Solution de Exercice 37.12.

Désastres : les « pieds » de deux villes ne coïncident jamais, si bien que les poutres taillées dans une ville ne s’ajustent jamais aux maisons d’une autre ; et quand le fils hérite, l’unité elle-même change de longueur — toutes les mesures du royaume expirent avec le roi. La barre de métal a réglé les deux : une longueur unique et immuable, copiée pour toutes les villes, survivant à tous les rois. Son propre défaut : un objet unique peut être rayé, volé ou lentement altéré, et le monde entier devait faire le voyage jusqu’à son coffre pour vérifier les copies — jusqu’à ce que les unités soient rebâties sur les constantes de la nature, qui ne s’usent pas et sont de service partout à la fois.

37.6 Problème : l’inspectrice des instruments

Problème 37.1

Problème du week-end — une journée avec l’inspectrice des instruments de la ville ; balances, verres doseurs et horloges au banc d’essai ; le carnet de l’apprenti

Chaque année, l’inspectrice de la ville contrôle les instruments des commerces et des écoles. Aujourd’hui, tu es l’apprenti, carnet en main.

Partie I — la balance de la boulangerie. L’inspectrice transporte des masses certifiées : $500\,\mathrm{g}$ , $200\,\mathrm{g}$ , $200\,\mathrm{g}$ , $100\,\mathrm{g}$ , $50\,\mathrm{g}$ .

Elle vérifie que l’aiguille de la balance à vide est exactement sur le zéro. Pourquoi cela doit-il être le tout premier contrôle ?
Elle charge la masse de $500\,\mathrm{g}$ et une de $200\,\mathrm{g}$ . Que devrait afficher une balance honnête ?
L’aiguille indique $680\,\mathrm{g}$ à la place. Cette balance avantage-t-elle le boulanger ou les clients ? Explique qui perd de l’argent à chaque vente.
Quelles combinaisons de ses masses lui permettent de tester l’affichage $750\,\mathrm{g}$ ? Donnes-en une.
La balance de la boulangerie avance par pas de $5\,\mathrm{g}$ . L’inspectrice pourrait-elle s’en servir pour contrôler un timbre de $2\,\mathrm{g}$ ? Pourquoi non ?

Partie II — les verres doseurs de l’école.

Un verre doseur est chiffré tous les $200\,\mathrm{mL}$ , avec quatre pas entre les chiffres. Que vaut chaque pas ?
L’eau s’arrête un pas au-dessus du trait $600\,\mathrm{mL}$ . Le cahier de la professeure indique « environ $700\,\mathrm{mL}$ ». Juge ce compte rendu : honnête, trop vague ou fictif ?
Un élève lit le verre doseur assis sur une chaise basse, l’œil bien au-dessous de la surface de l’eau, et trouve un nombre différent de celui de l’inspectrice. Quelle règle de lecture a été enfreinte ?
L’inspectrice verse les $650\,\mathrm{mL}$ annoncés par le verre doseur dans un verre certifié, qui indique $640\,\mathrm{mL}$ . De combien le verre de l’école se trompe-t-il, et est-ce pire ou mieux qu’un de ses propres pas ?

Partie III — les horloges, et le verdict de l’apprenti.

L’horloge de la gare est contrôlée avec le top horaire de la radio : elle indique $12$ h $2$ min au midi du signal. Avance-t-elle ou retarde-t-elle, et de combien ?
Si personne ne la corrige, de combien sera-t-elle en avance au bout d’une semaine ? (Elle prend la même avance chaque jour.)
Les horloges de trois commerces indiquent $12$ h $2$ min, $11$ h $58$ min et $12$ h juste au midi du signal. L’inspectrice dit : « Faire une moyenne serait absurde ici — il faut régler chaque horloge. » Quelle réparation demande chacune ?
Le soir. Dans ton carnet, écris les trois règles d’or de l’inspectrice — une sur le zéro, une sur la lecture, une sur les unités — chacune en une seule phrase de ton cru.

Solution

Solution de Problème 37.1.

1. Chaque pesée ajoute la charge à ce que l’aiguille indiquait déjà ; un départ non nul empoisonne toutes les lectures de la journée — le contrôle du départ honnête doit venir en premier. 2. $500 + 200 = 700\,\mathrm{g}$ . 3. Elle indique $20\,\mathrm{g}$ de moins que la réalité. En versant de la farine jusqu’à ce que l’aiguille dise $700\,\mathrm{g}$ , le boulanger en a réellement versé $720\,\mathrm{g}$ : la balance lui fait donner plus de marchandise que le client n’en paie — elle avantage les clients, et le boulanger perd à chaque vente. 4. $500 + 200 + 50 = 750\,\mathrm{g}$ . 5. Non : un timbre de $2\,\mathrm{g}$ disparaît sous les pas de $5\,\mathrm{g}$ de la balance — hors de son territoire. 6. $200 \div 4 = 50\,\mathrm{mL}$ par pas. 7. L’eau est à $600 + 50 = 650\,\mathrm{mL}$ ; « environ $700\,\mathrm{mL}$ » arrondit un pas entier — trop vague pour un instrument aussi bon. 8. L’œil au niveau du trait : lire d’en dessous décale la surface apparente de l’eau — la règle du regard bien en face a été enfreinte. 9. Un écart de $10\,\mathrm{mL}$ — mieux (plus petit) que son propre pas de $50\,\mathrm{mL}$ : acceptable pour un verre doseur d’école. 10. Elle avance, de $2$ minutes. 11. $2 \times 7 = 14$ minutes d’avance au bout d’une semaine. 12. Première horloge : la retarder de $2$ min ; deuxième : l’avancer de $2$ min ; troisième : rien — elle est juste. (Faire la moyenne des trois ne « réparerait » rien et fausserait la seule horloge honnête.) 13. Par exemple : Zéro : vérifier que l’instrument à vide indique zéro avant de croire quoi que ce soit de ce qu’il dit. Lecture : apprendre ce que vaut un pas et lire bien en face, en restant honnêtement modeste entre deux traits. Unités : un nombre sans son unité n’est pas une mesure — écrire l’unité, toujours.

Termes définis dans ce chapitre

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