Physique du primaire et du collège · Grades 1–9

63La gravitation

Une pomme lâche sa branche et tombe. La Lune, au-dessus du même verger, ne tombe pas. Pendant des milliers d’années, cela sembla deux faits sans rapport — jusqu’à ce qu’une intuition de génie les réunisse : la Lune est en train de tomber, sans fin, autour de la Terre, retenue par l’attraction même qui réclame la pomme. Une seule loi pour le verger et pour le ciel — l’équation la plus audacieuse jamais écrite à ce jour, et ta dernière année de ce livre s’ouvre sur elle.

63.1 L’attraction universelle

Définition 63.1 (Gravitation)

La gravitation est l’attraction mutuelle entre toutes les masses : chaque portion de matière de l’Univers attire toutes les autres. C’est la force sans contact que tu as rencontrée sous le nom d’« attraction de la Terre » il y a des années — révélée maintenant comme universelle : la Terre attire la pomme, la pomme attire la Terre, la Lune attire les mers, le Soleil attire les planètes, et deux livres sur une étagère s’attirent l’un l’autre, faiblement, pour toujours.

Proposition 63.2 (La loi de la gravitation universelle)

Deux corps de masses $m_A$ et $m_B$ (en $\mathrm{kg}$ ), dont les centres sont distants de $d$ (en $\mathrm{m}$ ), s’attirent l’un l’autre par des forces égales et opposées, portées par la droite qui les joint, et de valeur

F = G \times \frac{m_A \times m_B}{d^2},

$F$ en newtons ( $\mathrm{N}$ ) — l’unité de force dont l’histoire complète commence au chapitre suivant — avec $G = 6.67 \times 10^{-11}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{kg}^{2}$ , la constante gravitationnelle, le même nombre partout dans l’Univers. La force croît avec chacune des masses, et meurt avec le carré de la distance : deux fois plus loin, quatre fois plus faible ; dix fois plus loin, cent fois plus faible.

La gravitation universelle : deux masses, deux attractions égales et opposées le long de la droite qui les joint — la pomme attire la Terre exactement aussi fort que la Terre attire la pomme.

Exemple 63.3 (Lire la loi)

Chaque trait de la formule parle. Les masses se multiplient : double l’un ou l’autre partenaire, tu doubles la force. La distance est au carré au dénominateur : la gravitation est un murmure qui s’éteint vite — la dilution en carré inverse que tu retrouveras avec la lumière et le son, car c’est la géométrie de tout ce qui se répand dans l’espace. Et la taille minuscule de $G$ — onze zéros après la virgule — proclame la gravitation le poids plume des forces de la nature : elle ne règne sur le cosmos que parce que les masses de là-haut sont monstrueuses et que rien ne la compense.

Exemple 63.4 (Pourquoi les étagères ne se referment pas d’un coup)

Deux livres de $1\,\mathrm{kg}$ , centres distants de $0.1\,\mathrm{m}$ :

F = 6.67 \times 10^{-11} \times \frac{1 \times 1}{0.1^2} = 6.67 \times 10^{-9}\,\mathrm{N}

— quelques milliardièmes de newton, autant dire le poids d’une poussière de poussière. Maintenant la Terre et la pomme : remplace un livre par $5.97 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$ de planète et la distance par son rayon de $6.4 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ , et la même loi livre la traction familière d’un après-midi au verger. Universel veut dire universel — seules les masses décident de qui s’en aperçoit.

63.2 La Lune qui tombe

Exemple 63.5 (Le canon sur la montagne)

L’expérience de pensée de l’intuition elle-même. Tire un boulet de canon à l’horizontale depuis un haut sommet : il décrit un arc et retombe. Tire-le plus vite : il retombe plus loin — l’attraction de la Terre courbant sa trajectoire tout du long. Imagine maintenant de le tirer si vite que, pendant qu’il tombe, la surface de la Terre ronde s’écarte sous lui à la même allure : le boulet tombe sans fin et ne retombe jamais — il fait le tour de la planète. Cette chute perpétuelle porte un nom familier : une orbite. Rien ne tient « en l’air » un corps en orbite ; il tombe avec panache.

Le canon de la montagne : chaque tir plus rapide tombe plus loin autour de la Terre qui se courbe — jusqu’à ce que la chute et la courbure s’accordent, et que le boulet se mette en orbite.

Proposition 63.6 (Ce que fait tourner la gravitation)

Une seule loi, tout le ciel : la Lune est l’éternel boulet de canon de la Terre, qui tombe autour de nous une fois par mois ; les planètes tombent de même autour du Soleil — les plus proches plus vite, comme l’exige le carré inverse ; les comètes plongent depuis le noir sur de longues boucles de chute ; et tout satellite artificiel — yeux météorologiques, balises de navigation, station habitée qui tourne toutes les quatre-vingt-dix minutes — roule sur les mathématiques du canon de la montagne. Rien n’est suspendu dans les cieux. Tout tombe, et tout manque sa cible.

Exemple 63.7 (Les marées : la Lune attire en retour)

La mutualité a une signature écrite dans l’eau. L’attraction de la Lune sur la Terre est la plus forte sur l’océan qui lui fait face et la plus faible de l’autre côté — si bien que les mers se soulèvent doucement vers la Lune et à l’opposé de la Lune à la fois ; et comme la Terre tourne sous ces bourrelets, les côtes voient l’eau monter et descendre : les marées, deux fois par jour la plupart du temps. Le Soleil y met la main — aligné à la nouvelle et à la pleine lune pour les grandes marées de vives-eaux. Les pêcheurs lisent la Lune depuis des millénaires ; la loi la leur relit.

Remarque 63.8 (Ce que la loi ne dit pas)

La grande équation calcule la force avec une exactitude exquise et n’explique pas d’un iota comment deux corps se saisissent à travers le vide — son auteur lui-même déclara la question ouverte et la laissa, magnifiquement, sans réponse. Des réponses plus profondes existent — les années d’université de ce cours atteignent la réponse moderne, où la masse courbe la géométrie même qu’elle habite — mais tout physicien honnête depuis lors a répété la leçon que tu peux tirer de cette page : une loi peut être parfaitement utile, parfaitement éprouvée, et garder pourtant son ultime secret.

La chute libre, vécue tous les jours : la station spatiale et tout ce qu’elle contient tombent ensemble autour de la Terre, si bien que rien n’appuie sur rien — appareils photo, stylos, pommes et eau flottent.

63.3 Exercices

Exercice 63.1 ★

Énonce la loi de la gravitation universelle — formule, unités, et les deux traits (les masses, la distance) avec des mots.

Solution

Solution de Exercice 63.1.

$F = G \, m_A m_B / d^2$ , avec les masses en kilogrammes, $d$ en mètres entre les centres, $F$ en newtons et $G = 6.67 \times 10^{-11}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{kg}^{2}$ . Avec des mots : l’attraction croît avec chacune des masses et meurt avec le carré de la distance — et elle agit également sur les deux partenaires, en sens opposés.

Exercice 63.2 ★

La Terre attire la pomme avec $1\,\mathrm{N}$ . Avec quelle force la pomme attire-t-elle la Terre ? Pourquoi une seule des deux accélère-t-elle visiblement ?

Solution

Solution de Exercice 63.2.

Avec exactement $1\,\mathrm{N}$ — les attractions de la loi vont toujours par paires égales et opposées. La pomme accélère visiblement parce que sa masse est minuscule ; le même $1\,\mathrm{N}$ appliqué à $5.97 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$ de planète la remue d’une quantité incommensurable.

Exercice 63.3 ★

Deux satellites sont en orbite à des distances $d$ et $2d$ du centre de la Terre. Compare les forces gravitationnelles qu’ils subissent (masses égales). Et à $10 d$ ?

Solution

Solution de Exercice 63.3.

À $2d$ : le quart de la force à $d$ — le carré de deux. À $10d$ : le centième.

Exercice 63.4 ★

Calcule l’attraction entre deux danseurs de $80\,\mathrm{kg}$ distants de $0.5\,\mathrm{m}$ — et commente le romantisme au regard de la gravitation.

Solution

Solution de Exercice 63.4.

$F = 6.67 \times 10^{-11} \times 80 \times 80 \div 0.25 = 1.7 \times 10^{-6}\,\mathrm{N}$ — moins de deux millionièmes de newton : quoi qui rapproche deux danseurs, ce n’est pas la gravitation.

Exercice 63.5 ★

Dans l’histoire du canon de la montagne, quelles deux allures s’accordent exactement pour le tir mis en orbite ? Qu’est-ce qu’une orbite, en trois mots ?

Solution

Solution de Exercice 63.5.

L’allure à laquelle le boulet tombe, et l’allure à laquelle la surface de la Terre ronde s’écarte sous lui. Une orbite : tomber en manquant.

Exercice 63.6 ★

« Les astronautes flottent parce qu’il n’y a pas de gravité là-haut. » Démolis cela avec le boulet de canon : que font, l’une et l’autre, la station et son équipage ?

Solution

Solution de Exercice 63.6.

À l’altitude de la station, la gravitation garde presque toute sa force de surface — c’est elle qui tient la station sur son cercle. La station et son équipage sont tous deux en train de tomber, ensemble, autour de la Terre : des compagnons de chute n’appuient sur rien, et flotter est la sensation d’une chute libre partagée.

Exercice 63.7 ★

Pourquoi la gravitation, poids plume de la nature, gouverne-t-elle malgré tout le cosmos ? Deux raisons tirées du chapitre.

Solution

Solution de Exercice 63.7.

Parce que les cieux traitent en masses monstrueuses — planètes et étoiles multiplient le chétif $G$ en forces puissantes — et parce que la gravitation n’est jamais compensée : elle ne fait qu’attirer, si bien que toute masse ajoutée creuse encore l’attraction.

Exercice 63.8 ★

D’où viennent les marées, et pourquoi deux fois par jour la plupart du temps ? Quand les plus grandes frappent-elles ?

Solution

Solution de Exercice 63.8.

L’attraction de la Lune soulève les mers à la fois vers elle (l’eau la plus proche, la plus fortement attirée) et à l’opposé d’elle (l’eau la plus éloignée, la moins attirée) ; la Terre en tournant fait passer chaque côte sous les deux bourrelets chaque jour — deux marées. Les plus grandes à la nouvelle et à la pleine lune, quand la main du Soleil s’aligne sur celle de la Lune : les marées de vives-eaux.

Exercice 63.9 ★★

La Lune ( $7.3 \times 10^{22}\,\mathrm{kg}$ ) est en orbite à $3.8 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ de la Terre ( $5.97 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$ ). Calcule leur attraction, en notation scientifique du début à la fin — et admire le nombre de chiffres que porte la puissance de dix du résultat.

Solution

Solution de Exercice 63.9.

$F = 6.67 \times 10^{-11} \times (7.3 \times 10^{22} \times 5.97 \times 10^{24}) \div (3.8 \times 10^{8})^2 \approx 2.0 \times 10^{20}\,\mathrm{N}$ — un $2$ suivi de vingt zéros de newtons qui tiennent la Lune à son bail.

Exercice 63.10 ★★

À la surface de la Lune, ton poids se réduisait au sixième (souviens-toi des astronautes qui bondissaient). En te servant des deux réglages de la loi — la masse plus petite de la Lune, son rayon plus petit — explique comment un sixième peut sortir d’un corps quatre-vingts fois plus léger que la Terre.

Solution

Solution de Exercice 63.10.

Deux réglages tournent l’un contre l’autre : la masse de la Lune, environ quatre-vingts fois plus petite, divise l’attraction par quatre-vingts ; mais son rayon, près de quatre fois plus petit, multiplie l’attraction de surface par quatre au carré — environ quatorze. Quatre-vingts en moins, quatorze en plus : il reste près d’un sixième.

Exercice 63.11 ★★

Mercure boucle son tour du Soleil en $88$ jours, Neptune en $165$ ans. Lis ce motif dans le carré inverse : que fait l’affaiblissement de la gravitation avec la distance à la poigne du Soleil, et donc à l’allure de la famille extérieure ?

Solution

Solution de Exercice 63.11.

Le carré inverse amincit la poigne du Soleil avec la distance, et une poigne plus faible ne peut tenir qu’une chute autour plus lente : les planètes extérieures sont tenues en laisse lâche et flânent, les intérieures sont serrées fort et courent — le sprint de Mercure et la promenade de 164 ans de Neptune sont la même loi lue à deux distances.

Exercice 63.12 ★★★

Un satellite géostationnaire se tient apparemment immobile au-dessus d’un point de l’équateur — les antennes paraboliques ne bougent jamais. Concilie cette apparence avec Proposition 63.6 : que doit valoir sa période orbitale, dans quel sens doit-il tourner, et pourquoi « se tenir » ici veut-il dire « tomber au pas parfait de la Terre qui tourne » ?

Solution

Solution de Exercice 63.12.

Sa période doit valoir exactement un jour, et il doit tourner vers l’est — le sens de rotation propre de la Terre. Satellite et antenne tournent alors au pas parfait : la parabole « immobile » regarde un boulet de canon qui tombe autour de la planète précisément à l’allure à laquelle la planète tourne sous lui — immobile aux seuls yeux d’un observateur qui tourne.

63.4 Problème : l’héritage du boulet de canon

Problème 63.1

Problème du week-end — du verger à l’orbite ; la pomme, le canon et la Lune audités avec une seule loi ; le tableau des lancements

Une soirée au pupitre de vulgarisation de l’agence spatiale : une seule loi, $G = 6.67 \times 10^{-11}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{kg}^{2}$ , masse de la Terre $5.97 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$ , rayon de la Terre $6.4 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ .

Partie I — l’audit de la pomme.

Calcule l’attraction de la Terre sur une pomme de $0.1\,\mathrm{kg}$ à la surface (centres séparés d’un rayon terrestre).
Avec quelle force la pomme attire-t-elle la Terre en retour ? Donne le mot de la loi pour cette comptabilité à double sens.
Élève la pomme jusqu’à deux rayons terrestres du centre. Que devient l’attraction ?
Un visiteur demande pourquoi la formule emploie la distance au centre de la Terre plutôt qu’au sol. Offre la réponse courte et honnête (la planète entière attire, et ses attractions dispersées s’additionnent comme si elles venaient du centre — un théorème que le grand auteur lui-même mit des années à démontrer).

Partie II — le tableau des lancements.

Le satellite du jour a une masse de $2000\,\mathrm{kg}$ . Son poids à la surface, par la loi ? (Ou par le raccourci que nomme le chapitre suivant : environ $9.8\,\mathrm{N}$ par kilogramme.)
Sur son orbite de travail, à $1.28 \times 10^{7}\,\mathrm{m}$ du centre — deux rayons terrestres — quelle fraction de son poids de surface la gravitation exerce-t-elle encore sur lui ?
« Il y a donc encore une vraie gravité là-haut ? » Confirme avec le nombre — et explique ce que le satellite fait de cette attraction au lieu de s’écraser.
Le commentaire du lancement dit que « la vitesse orbitale doit s’accorder à la chute ». Raconte de nouveau l’histoire du canon de la montagne en deux phrases pour la brochure des visiteurs.

Partie III — le grand livre de la Lune.

La Lune étant à $3.8 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ , à combien de rayons terrestres roule-t-elle ? (Une décimale.)
Par le carré inverse, la gravitation là-bas s’est affaiblie jusqu’à environ quelle fraction de sa valeur en surface ? (Élève au carré ta réponse précédente.)
La grande intuition, redite : la pomme du verger tombe d’environ cinq mètres dans sa première seconde ; la Lune, chaque seconde, « tombe » vers la Terre d’à peine un millimètre — et n’arrive pourtant jamais. Relie les deux faits par tes réponses 9 et 10 : pourquoi la chute de la Lune est-elle des milliers de fois plus douce, et pourquoi est-elle sans fin ?
Clos la soirée de vulgarisation : une loi, trois interprètes — la pomme, le satellite, la Lune. Écris la phrase de conclusion du pupitre qui les réunit.

Solution

Solution de Problème 63.1.

1. $F = 6.67 \times 10^{-11} \times (0.1 \times 5.97 \times 10^{24}) \div (6.4 \times 10^{6})^2 \approx 0.97\,\mathrm{N}$ — disons un newton : la traction du verger, calculée depuis la constante de l’Univers. 2. $0.97\,\mathrm{N}$ de même — la mutualité : les attractions de la loi ne viennent que par paires égales et opposées. 3. Doubler la distance des centres divise l’attraction par quatre : environ $0.24\,\mathrm{N}$ . 4. Chaque miette de la planète attire la pomme — montagnes proches, noyau profond, antipodes lointains — et la somme de toutes ces attractions se trouve valoir exactement comme si toute la masse siégeait au centre : un théorème, non une hypothèse, et son auteur retarda de plusieurs années sa publication jusqu’à savoir le démontrer. 5. Environ $2000 \times 9.8 \approx 2.0 \times 10^{4}\,\mathrm{N}$ — vingt mille newtons (la loi avec $d$ égal à un rayon terrestre donne la même chose). 6. À deux rayons, le carré inverse en laisse le quart : environ $4900\,\mathrm{N}$ pour ses $19\,600\,\mathrm{N}$ de poids en surface. 7. Oui — un quart de la gravitation entière n’est pas un vide sans pesanteur. Le satellite dépense cette attraction à courber sa trajectoire : il tombe autour de la Terre en manquant toujours sa cible, exactement comme l’enseignait le canon de la montagne. 8. « Tiré assez vite, la chute d’un boulet de canon s’accorde à la courbure de la Terre, et il tourne pour toujours — tombant sans jamais atterrir. Tout satellite est ce boulet, lancé de côté assez vite pour continuer de manquer le sol. » 9. $3.8 \times 10^{8} \div 6.4 \times 10^{6} \approx 59.4$ rayons terrestres. 10. Environ $1 \div 59.4^2 \approx 1/3500$ de la force de surface. 11. Douce parce que la gravitation à soixante rayons est diluée trois mille cinq cents fois — la chute de cinq mètres de la première seconde se réduit à environ un millimètre. Sans fin parce que ce millimètre de chute s’accorde exactement au millimètre dont la surface de la Terre s’écarte sous la glissade latérale de la Lune : la chute ne gagne jamais de terrain. 12. Par exemple : « La pomme, le satellite et la Lune obéissent à une seule phrase : toute masse tombe vers toute autre, selon $G m_A m_B / d^2$ — la pomme atterrit, le satellite et la Lune continuent de manquer leur cible, et la différence n’est qu’une vitesse latérale. »

Termes définis dans ce chapitre

Gravitation

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