Physique du primaire et du collège · Grades 1–9

46Volume, masse, masse volumique

L’an dernier, tu as démasqué un orfèvre fraudeur en divisant des grammes par des centimètres cubes. Cette année, ton cours de mathématiques t’a remis un pouvoir nouveau : des lettres qui représentent des nombres. La masse volumique est l’endroit parfait pour le dépenser — une courte formule qui tasse trois recettes, la trousse d’un détective et toute la règle de la flottaison en cinq symboles.

46.1 La formule

Définition 46.1 (La masse volumique, par la formule)

La masse volumique $\rho$ (la lettre grecque rhô) d’une substance est sa masse par unité de volume : pour un échantillon de masse $m$ et de volume $V$ ,

\rho = \frac{m}{V}.

Avec $m$ en grammes et $V$ en centimètres cubes, $\rho$ sort en grammes par centimètre cube ( $\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ ) — la « masse d’un centimètre cube » de l’an dernier, désormais en uniforme. Masse volumique de l’eau : $\rho = 1.0\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ . Et comme un litre vaut $1000$ centimètres cubes, le même nombre se lit aussi en kilogrammes par litre : l’eau fait $1.0\,\mathrm{kg}$ par litre.

Exemple 46.2 (Lire les lettres)

Une formule est une phrase en sténographie. $\rho = m/V$ se lit : « pour trouver la masse volumique, diviser la masse de l’échantillon par son volume ». Les lettres sont des cases à remplir — pour ce caillou-ci, $m$ devient $75\,\mathrm{g}$ et $V$ devient $30\,\mathrm{cm}^{3}$ :

\rho = \frac{m}{V} = \frac{75}{30} = 2.5\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}.

La même division que l’an dernier — mais la formule, elle, se souvient de la recette pour tous les cailloux à venir.

Proposition 46.3 (Trois recettes dans une seule formule)

Comme la masse volumique lie la masse et le volume par une proportion, une seule formule sert trois besoins :

trouver une masse volumique : $\rho = m/V$ — on divise la masse par le volume ;
trouver une masse : $m = \rho \times V$ — chaque centimètre cube porte $\rho$ grammes, et il y en a $V$ ;
trouver un volume : $V = m/\rho$ — on partage la masse en parts de $\rho$ grammes ; le nombre de parts est le nombre de centimètres cubes.

Exemple 46.4 (Les recettes au travail)

La masse à partir du volume : que pèsent $250\,\mathrm{cm}^{3}$ de fer ( $\rho = 7.9$ ) ? $m = 7.9 \times 250 = 1975\,\mathrm{g}$ — presque deux kilogrammes dans le volume d’un mug. Le volume à partir de la masse : quelle place occupent $540\,\mathrm{g}$ de chêne ( $\rho = 0.6$ ) ? $V = 540 \div 0.6 = 900\,\mathrm{cm}^{3}$ . Le compagnon de bon sens : les réponses en fer doivent être lourdes-et-petites, celles en bois légères-et-grandes — le tableau des masses volumiques est le meilleur ami de l’étape du jugement.

Le tableau des masses volumiques en silhouette urbaine : du 0.2 plume du liège au 19.3 monumental de l’or. Le 1.0 de l’eau est la frontière de la flottaison. — Le tableau des masses volumiques en silhouette urbaine : du $0.2$ plume du liège au $19.3$ monumental de l’or. Le $1.0$ de l’eau est la frontière de la flottaison.

46.2 Mesurer des masses volumiques

Méthode 46.5 (Masse volumique d’un liquide)

Les liquides ne tiennent pas seuls sur un plateau de balance — empruntons donc l’astuce de la tare :

poser une éprouvette graduée vide sur la balance et la tarer à zéro ;
y verser un volume commode — disons $V = 80\,\mathrm{cm}^{3}$ du liquide mystérieux, en lisant correctement le ménisque ;
la balance affiche alors la masse du liquide seul : disons $m = 68\,\mathrm{g}$ ;
diviser : $\rho = 68 \div 80 = 0.85\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ — plus léger que l’eau : sans doute une huile.

Exemple 46.6 (Masse volumique d’un solide, du début à la fin)

Une médaille se prétend en argent ( $\rho = 10.5$ ). Balance : $m = 84\,\mathrm{g}$ . Éprouvette : l’eau monte de $60.0\,\mathrm{cm}^{3}$ à $68.0\,\mathrm{cm}^{3}$ , donc $V = 8.0\,\mathrm{cm}^{3}$ . Alors $\rho = 84 \div 8.0 = 10.5\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ — la signature correspond : ce peut bien être de l’argent. (Un métal bon marché habillé d’un placage d’argent se serait trahi ici — à moins d’être choisi avec ruse, comme le montrera le problème du week-end.)

Remarque 46.7 (Les unités dans les formules)

Une formule n’est honnête que si ses unités s’accordent. Avec $m$ en grammes et $V$ en $\mathrm{cm}^{3}$ , $\rho$ parle en $\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ ; nourris-la de kilogrammes et de litres, elle répond en $\mathrm{kg}/\mathrm{L}$ — heureusement, le même nombre pour une substance donnée. Mais mélange des grammes et des litres, et la formule, sans se plaindre, livre un non-sens. Règle des professionnels : avant de calculer, passer les unités en revue ; après avoir calculé, les écrire dans la réponse.

46.3 Penser en masses volumiques

Exemple 46.8 (Alliages et intermédiaires)

Mélange deux substances et la masse volumique du mélange tombe entre leurs signatures — plus près de celle de l’ingrédient le plus généreux. Le bronze (du cuivre à $9.0$ avec un peu d’étain) signe près de $8.8$ ; le mélange or-argent de la couronne signait entre $10.5$ et $19.3$ ; l’eau de mer, du sel dissous dans de l’eau, grimpe à environ $1.03$ . L’intermédiaire est en soi un indice : une lecture de $12$ pour un lingot « d’or pur » est un aveu de mauvaise compagnie.

Exemple 46.9 (La masse volumique décide du monde flottant)

La règle de la flottaison, désormais en uniforme : un objet flotte dans un liquide quand $\rho_{\text{objet}} < \rho_{\text{liquide}}$ . Le chêne ( $0.6$ ) sur l’eau ( $1.0$ ) : il flotte. La glace ( $0.9$ ) dans l’huile ( $0.85$ ) : elle coule — consulte le tableau, pas ton intuition. Un nageur ( $\approx 1.0$ ) dans les fameux lacs ultra-salés ( $\approx 1.2$ ) : il flotte comme un bouchon, le journal à la main. Une seule inégalité, et tout le port.

Remarque 46.10 (Attention à la foule, pas au colis)

$\rho = m/V$ décrit des substances ; les navires et les gilets de sauvetage gonflés sont des colis — de la substance plus de l’air emprisonné — et c’est le $m/V$ d’ensemble du colis qui affronte la règle de la flottaison. La formule traite les deux, à condition de la nourrir des bons $m$ et $V$ : la masse volumique propre de l’acier pour la substance, la masse de toute la coque sur le volume de toute la coque pour le colis. La plupart des « paradoxes » de la flottaison ne sont que les deux comptabilités confondues.

46.4 Exercices

Exercice 46.1 ★

Écris la formule de la masse volumique, nomme chaque lettre, et donne l’unité qui accompagne les grammes et les centimètres cubes.

Solution

Solution de Exercice 46.1.

$\rho = m/V$ : $\rho$ la masse volumique, $m$ la masse de l’échantillon, $V$ son volume. Avec des grammes et des centimètres cubes, $\rho$ sort en $\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ .

Exercice 46.2 ★

Calcule la masse volumique : $m = 270\,\mathrm{g}$ , $V = 100\,\mathrm{cm}^{3}$ . De quel métal du diagramme s’agit-il ?

Solution

Solution de Exercice 46.2.

$\rho = 270 \div 100 = 2.7\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ : de l’aluminium.

Exercice 46.3 ★

Utilise la bonne recette : la masse de $40\,\mathrm{cm}^{3}$ de cuivre ( $\rho = 9.0$ ) ; le volume de $1930\,\mathrm{g}$ d’or ( $\rho = 19.3$ ).

Solution

Solution de Exercice 46.3.

$m = 9.0 \times 40 = 360\,\mathrm{g}$ de cuivre. $V = 1930 \div 19.3 = 100\,\mathrm{cm}^{3}$ d’or — le nombre même de l’affaire de la couronne.

Exercice 46.4 ★

Dans Méthode 46.5, pourquoi l’éprouvette est-elle tarée d’abord ? Quelles deux lectures nourrissent ensuite la formule ?

Solution

Solution de Exercice 46.4.

La tare retire la masse propre de l’éprouvette pour que la balance annonce le liquide seul — la règle du zéro honnête. La formule est ensuite nourrie de la masse $m$ donnée par la balance et du volume $V$ lu au ménisque.

Exercice 46.5 ★

Un liquide : $V = 50\,\mathrm{cm}^{3}$ , $m = 70\,\mathrm{g}$ . Sa masse volumique ? Un glaçon ( $0.9$ ) y flotte-t-il ou y coule-t-il ?

Solution

Solution de Exercice 46.5.

$\rho = 70 \div 50 = 1.4\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ — du genre miel. La glace, à $0.9$ , est bien moins dense : elle y flotte haut.

Exercice 46.6 ★

Pourquoi la masse volumique de l’eau est-elle le même nombre en $\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ et en kilogrammes par litre ? Quel avertissement Remarque 46.7 attache-t-il au mélange des grammes et des litres ?

Solution

Solution de Exercice 46.6.

Les deux unités changent d’échelle ensemble : un litre vaut $1000$ $\mathrm{cm}^{3}$ et un kilogramme vaut $1000$ grammes, si bien que les deux milliers se simplifient — un seul nombre sert dans les deux cas. Mélanger des grammes et des litres saute cette simplification et livre un nombre mille fois faux.

Exercice 46.7 ★

Un bracelet marqué « or pur » a $m = 58\,\mathrm{g}$ et $V = 5.0\,\mathrm{cm}^{3}$ . Calcule sa masse volumique et rends ton verdict, le tableau à la barre des témoins.

Solution

Solution de Exercice 46.7.

$\rho = 58 \div 5.0 = 11.6\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ — proche du $11.3$ du plomb, très loin du $19.3$ de l’or. Verdict : ce n’est pas de l’or pur ; sans doute un imposteur à cœur de plomb en habit doré.

Exercice 46.8 ★★

Un mètre cube est un cube de $100 \times 100 \times 100$ centimètres. Cela fait combien de $\mathrm{cm}^{3}$ — et quelle est la masse d’un mètre cube d’eau, en kilogrammes ? (La réponse explique pourquoi les lits à eau inquiètent les propriétaires.)

Solution

Solution de Exercice 46.8.

$100 \times 100 \times 100 = 1000000$ $\mathrm{cm}^{3}$ — un million. À $1\,\mathrm{g}$ chacun, cela fait $1\,000\,000\,\mathrm{g}$ $=$ $1000\,\mathrm{kg}$ : une tonne entière par mètre cube d’eau — et voilà pourquoi un grand lit à eau est un meuble de rez-de-chaussée.

Exercice 46.9 ★★

Un trophée « en argent » : $m = 420\,\mathrm{g}$ , montée d’eau de $200\,\mathrm{cm}^{3}$ à $260\,\mathrm{cm}^{3}$ . Masse volumique ? Entre quelles deux substances du tableau tombe-t-elle — et que murmure cet entre-deux ?

Solution

Solution de Exercice 46.9.

$V = 260 - 200 = 60\,\mathrm{cm}^{3}$ ; $\rho = 420 \div 60 = 7.0\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ — entre l’aluminium ( $2.7$ ) et le fer ( $7.9$ ), tout près sous le fer. L’entre-deux murmure : un mélange ou un imposteur plaqué, certainement pas le $10.5$ de l’argent.

Exercice 46.10 ★★

Une bouteille vide pèse $380\,\mathrm{g}$ ; remplie jusqu’à son trait de $75\,\mathrm{cL}$ d’un liquide mystérieux, elle pèse $1010\,\mathrm{g}$ . Trouve la masse volumique du liquide en $\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ et propose son identité.

Solution

Solution de Exercice 46.10.

Masse du liquide : $1010 - 380 = 630\,\mathrm{g}$ ; volume : $75\,\mathrm{cL} = 750\,\mathrm{cm}^{3}$ ; donc $\rho = 630 \div 750 = 0.84\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ — une huile.

Exercice 46.11 ★★

Une bouée creuse en aluminium a un volume total de $4000\,\mathrm{cm}^{3}$ et une masse totale de $1200\,\mathrm{g}$ . Calcule la masse volumique du colis et prédis s’il flotte ou coule — puis explique, avec Remarque 46.10, pourquoi le $2.7$ propre à l’aluminium était le mauvais nombre à consulter.

Solution

Solution de Exercice 46.11.

Masse volumique du colis : $1200 \div 4000 = 0.3\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ — bien au-dessous du $1.0$ de l’eau : la bouée flotte haut. Le $2.7$ de l’aluminium ne décrit que la peau métallique ; le colis est surtout de l’air enfermé, et c’est le colis — masse totale sur volume total — qui affronte la règle de la flottaison.

Exercice 46.12 ★★★

Conçois un protocole complet pour décider si une chaîne est en cuivre pur : énumère chaque mesure, la recette appliquée, le nombre attendu en cas de pureté, et deux raisons honnêtes pour lesquelles ton verdict pourrait tout de même être faux (pense aux maillons creux, et aux mélanges rusés dont la masse volumique tombe tout près de celle du cuivre). Quel test supplémentaire resserrerait le dossier ?

Solution

Solution de Exercice 46.12.

Protocole : peser la chaîne ( $m$ ) ; mesurer son volume par la méthode de la montée d’eau, entièrement immergée, sans bulles ( $V$ ) ; calculer $\rho = m/V$ ; la pureté attend environ $9.0\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ . Doutes honnêtes : des maillons creux emprisonnent de l’air et gonflent $V$ , en simulant une masse volumique faible ; et un mélange rusé (ou une âme plaquée) peut tomber près de $9.0$ sans contenir le moindre cuivre pur. Test qui resserre le dossier : recommencer la mesure de volume après avoir noyé les maillons (en chassant les bulles), et ajouter une signature indépendante — par exemple l’aimant (une âme d’acier se trahit instantanément) ou, en atelier, un comportement de fusion mesuré.

46.5 Problème : le détective de la casse

Problème 46.1

Problème du week-end — un après-midi avec le détective des métaux de la casse ; quatre lots mystérieux, un lingot imposteur ; les limites du test de masse volumique

La casse achète le métal pour ce qu’il est, non pour ce dont il a l’air, et la détective du chantier travaille avec une balance, un grand récipient gradué et le tableau des masses volumiques. Tu es l’apprenti. (Extrait du tableau : aluminium $2.7$ ; fer $7.9$ ; cuivre $9.0$ ; plomb $11.3$ ; or $19.3$ ; tungstène $19.3$ .)

Partie I — quatre lots.

Lot A, un lingot gris : $m = 5400\,\mathrm{g}$ , déplacement $V = 2000\,\mathrm{cm}^{3}$ . Masse volumique et identité ?
Lot B, une bobine de fil : $m = 1800\,\mathrm{g}$ , $V = 200\,\mathrm{cm}^{3}$ . Masse volumique et identité ?
Lot C, une plaque terne et lourde : $m = 4520\,\mathrm{g}$ , $V = 400\,\mathrm{cm}^{3}$ . Masse volumique et identité — et pourquoi le lot C doit-il être manipulé avec des gants et du respect ?
Lot D, un sac de ferraille claire et mêlée : $m = 8100\,\mathrm{g}$ , $V = 1500\,\mathrm{cm}^{3}$ . Montre que la masse volumique du lot D tombe entre deux métaux du tableau, et dis ce que le sac contient le plus vraisemblablement.

Partie II — prix et prévisions. La casse paie à la masse mais organise le transport au volume.

Un acheteur veut $540\,\mathrm{g}$ d’aluminium découpés dans le lot A. Quel volume de lingot cela représente-t-il ?
La bobine de cuivre du lot B doit être fondue en cubes de $25\,\mathrm{cm}^{3}$ chacun. Quelle est la masse d’un cube, et combien de cubes pleins la bobine donne-t-elle ?
Une caisse peut porter au plus $20\,\mathrm{kg}$ . Combien de ces cubes de cuivre a-t-elle le droit de contenir ?
Le puits de chargement du camion peut encore recevoir $3000\,\mathrm{cm}^{3}$ de ferraille de fer. Quelle masse supplémentaire, en kilogrammes, la détective a-t-elle le droit de charger ?

Partie III — l’imposteur. Un vendeur se présente avec un lingot « d’or » étincelant : $m = 3860\,\mathrm{g}$ , déplacement $V = 200\,\mathrm{cm}^{3}$ .

Calcule la masse volumique du lingot. Correspond-elle à la signature de l’or ?
La détective, imperturbable, consulte la dernière ligne du tableau et soupire. Quel métal bon marché porte exactement la masse volumique de l’or — et que cela apprend-il sur les limites du test de masse volumique ?
Lequel des deux instruments de la casse a été mis en échec ici : la balance, le récipient, les deux, ou aucun ? Dis précisément ce que le test de masse volumique a honnêtement établi au sujet du lingot.
Propose un autre test physique, tiré des années précédentes de ce cours, qui distingue l’or de son sosie sans abîmer le lingot. (Leurs températures de fusion diffèrent énormément — l’or vers $1064\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ , le sosie bien au-delà de tous les fours d’ici — mais aucune casse ne fond un trésor éventuel : trouve une preuve plus douce, peut-être le verdict de l’aimant sur les âmes de fer, ou le son d’un lingot frappé, et défends honnêtement ton choix.)

Partie IV — l’art de la détective.

Rédige le credo en trois lignes de la détective : ce que la masse volumique peut prouver, ce qu’elle ne peut que suggérer, et ce qu’elle ne peut jamais faire toute seule.

Solution

Solution de Problème 46.1.

1. $5400 \div 2000 = 2.7\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ : de l’aluminium. 2. $1800 \div 200 = 9.0\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ : du cuivre. 3. $4520 \div 400 = 11.3\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ : du plomb — dense, mou et toxique si on le manipule sans précaution : des gants. 4. $8100 \div 1500 = 5.4\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ — entre l’aluminium ( $2.7$ ) et le fer ( $7.9$ ) : un sac mêlé des deux, à peu près moitié-moitié en volume. 5. $V = 540 \div 2.7 = 200\,\mathrm{cm}^{3}$ . 6. Un cube : $m = 9.0 \times 25 = 225\,\mathrm{g}$ . Les $1800\,\mathrm{g}$ de la bobine donnent $1800 \div 225 = 8$ cubes pleins. 7. $20\,\mathrm{kg} = 20\,000\,\mathrm{g}$ ; $20000 \div 225 = 88.9$ : $88$ cubes. 8. $m = 7.9 \times 3000 = 23\,700\,\mathrm{g} \approx 23.7\,\mathrm{kg}$ . 9. $3860 \div 200 = 19.3\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ — une correspondance parfaite avec l’or. 10. Le tungstène — masse volumique $19.3$ , la même signature à la décimale près. Le test de masse volumique identifie des candidats ; il ne peut pas distinguer des substances qui, par hasard, partagent une signature. 11. Aucun instrument n’a échoué : la masse et le volume sont justes, et la division aussi. Le test a honnêtement établi que le lingot est soit de l’or, soit quelque chose ayant exactement la masse volumique de l’or — il a réduit les suspects à deux. 12. Choix défendables : le son et le toucher d’un lingot frappé (le tungstène est bien plus dur — une lime ou un test de dureté sur un coin caché les sépare vite), ou une mesure reconnue de la façon dont le lingot conduit la chaleur ou le courant (l’or est parmi les meilleurs conducteurs, le tungstène bien loin derrière) — plus doux que n’importe quel four, et décisif conjointement avec la masse volumique. 13. Par exemple : « La masse volumique peut prouver qu’une substance n’est pas ce qu’elle prétend. Elle ne peut que suggérer ce qu’elle est — les signatures réduisent les suspects. Et seule, elle ne peut jamais condamner : une identité réclame deux témoins indépendants. »

Termes définis dans ce chapitre

La masse volumique, par la formule

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