Physique du primaire et du collège · Grades 1–9

52Graphiques du mouvement et vitesse moyenne

Il y a deux ans, la vitesse voulait dire « des kilomètres parcourus en une heure », comptés sur les doigts. Maintenant, armée de lettres et de graphiques, l’idée montre les dents : une formule qui calcule dans trois directions, une image qui montre tout un trajet d’un coup d’œil — et un piège célèbre au sujet des moyennes, qui attrape des adultes tous les jours.

52.1 La formule

Définition 52.1 (La vitesse, par la formule)

Pour un trajet (ou un tronçon de trajet) parcouru à allure régulière, la vitesse $v$ est la distance $d$ divisée par la durée $t$ du parcours :

v = \frac{d}{t}.

Avec $d$ en kilomètres et $t$ en heures, $v$ parle en kilomètres par heure ( $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ) ; avec des mètres et des secondes, en mètres par seconde ( $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ) — l’unité préférée des scientifiques. Comme celle de la masse volumique, cette formule calcule dans les trois directions : $v = d/t$ , $d = v \times t$ , $t = d/v$ .

Exemple 52.2 (Les recettes au travail)

Un train parcourt $240\,\mathrm{km}$ en $2$ heures : $v = 240 \div 2 = 120\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . Quelle distance à cette allure en $5$ heures ? $d = 120 \times 5 = 600\,\mathrm{km}$ . Combien de temps pour $300\,\mathrm{km}$ ? $t = 300 \div 120 = 2.5$ heures — deux heures et trente minutes (attention au rebelle : $0.5$ heure fait $30$ minutes, jamais « $50$ »).

Exemple 52.3 (Deux unités, une seule vitesse)

Un sprinteur court $100\,\mathrm{m}$ en $10\,\mathrm{s}$ : $v = 10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Cela fait combien en unités de la route ? En une heure — $3600$ secondes — le sprinteur parcourrait $10 \times 3600 = 36\,000\,\mathrm{m} = 36\,\mathrm{km}$ : donc $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 36\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . Le taux de change général : chaque $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ vaut $3.6\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ — parce qu’une heure contient $3600$ secondes et un kilomètre seulement $1000$ mètres. Les $340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ du son, en unités de la route : plus de $1200\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .

52.2 Le trajet en image

Proposition 52.4 (Les lois du graphique)

Porte la distance parcourue en fonction du temps, et le mouvement écrit son autobiographie :

un mouvement uniforme dessine une droite — des distances égales pendant des durées égales, pas après pas ;
plus la droite est raide, plus le mouvement est rapide : la pente est la vitesse rendue visible ;
un tronçon horizontal est un arrêt : le temps passe, la distance reste.

Les courbures racontent les changements : une courbe qui se redresse, c’est une accélération ; une courbe qui s’aplatit, un ralentissement.

La matinée d’un coursier racontée par une seule ligne : une course vive, un arrêt de quinze minutes, puis une allure plus douce. Le graphique est l’autobiographie du trajet.

Méthode 52.5 (Lire un graphique distance–temps)

vérifier d’abord les axes et leurs unités — minutes ou heures, mètres ou kilomètres ;
découper la ligne à ses cassures en tronçons ; étiqueter chacun : droit et raide, droit et doux, horizontal ;
pour tout tronçon droit, relever sa montée et sa longueur horizontale — la distance gagnée, la durée écoulée — et diviser : c’est la vitesse du tronçon ;
pour l’histoire entière, lire la distance totale au temps final — et se rappeler que les tronçons horizontaux font partie de la durée totale.

Exemple 52.6 (Le coursier, décodé)

Applique la méthode à la figure. Premier tronçon : $10\,\mathrm{km}$ en $20$ minutes — un tiers d’heure — donc $v = 10 \div \tfrac{1}{3} = 30\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . Deuxième : horizontal de la minute $20$ à la minute $35$ — un arrêt de livraison. Troisième : $10\,\mathrm{km}$ en $25$ minutes, un peu moins de $24\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . Total : $20\,\mathrm{km}$ en une heure — ce qui nous sert sur un plateau l’idée suivante du chapitre.

52.3 La vitesse moyenne — et son piège célèbre

Définition 52.7 (Vitesse moyenne)

La vitesse moyenne d’un trajet entier est la distance totale divisée par la durée totale — arrêts compris :

v_{\text{moyenne}} = \frac{d_{\text{totale}}}{t_{\text{totale}}}.

C’est l’unique allure régulière qui aurait couvert la même route dans la même durée d’ensemble — les $20\,\mathrm{km}$ du coursier en une heure : moyenne de $20\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ , alors que ses roues n’ont pas tourné une seule fois à cette vitesse.

Proposition 52.8 (Le piège)

La vitesse moyenne d’un trajet n’est pas, en général, le milieu de ses vitesses. Les tronçons lents dévorent plus de temps que les rapides, et pèsent donc plus lourd dans la moyenne. Seule la recette complète — distance totale sur durée totale — est digne de confiance ; faire la moyenne des nombres de vitesse eux-mêmes est le faux pas le plus séduisant du chapitre.

Exemple 52.9 (Le piège se referme)

Une cycliste parcourt $60\,\mathrm{km}$ à l’aller à $30\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ , et les mêmes $60\,\mathrm{km}$ au retour à $20\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . « Moyenne : $25\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ » ? Vérifions honnêtement. Aller : $t = 60 \div 30 = 2$ heures. Retour : $t = 60 \div 20 = 3$ heures. Trajet entier : $120\,\mathrm{km}$ en $5$ heures — $v_{\text{moyenne}} = 24\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . La moitié lente s’est approprié trois des cinq heures, et a tiré la moyenne au-dessous du milieu. Plus tu vas vite sur une moitié, moins cette moitié existe longtemps.

Remarque 52.10 (Ce que sait le compteur)

La vitesse moyenne décrit un trajet entier ; l’aiguille du compteur répond à une autre question — à quelle vitesse maintenant. Sur le graphique, ce « maintenant » vit dans la pente de la ligne en un seul point — facile à voir sur un tronçon droit, subtil là où la ligne se courbe. Rendre précise la « pente en un point » est l’une des plus grandes inventions des mathématiques, et elle t’attend à la fin du lycée. En attendant : les tronçons droits reçoivent des nombres, les courbes reçoivent des récits.

52.4 Exercices

Exercice 52.1 ★

Écris la formule de la vitesse et ses deux unités courantes. Quelle recette trouve une distance ? Une durée ?

Solution

Solution de Exercice 52.1.

$v = d/t$ ; unités $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ et $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . La distance : $d = v \times t$ ; la durée : $t = d/v$ .

Exercice 52.2 ★

Un ferry parcourt $45\,\mathrm{km}$ en $3$ heures ; un lièvre court $100\,\mathrm{m}$ en $8\,\mathrm{s}$ . Calcule les deux vitesses, chacune dans son unité naturelle.

Solution

Solution de Exercice 52.2.

Le ferry : $45 \div 3 = 15\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . Le lièvre : $100 \div 8 = 12.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

Exercice 52.3 ★

Convertis, avec le taux de change : $5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ en $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ; $72\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ en $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

Solution

Solution de Exercice 52.3.

$5 \times 3.6 = 18\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ; $72 \div 3.6 = 20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

Exercice 52.4 ★

Énonce les trois lois du graphique. Que raconte une courbe qui s’aplatit progressivement ?

Solution

Solution de Exercice 52.4.

Droite : mouvement uniforme ; plus raide : plus rapide ; horizontal : à l’arrêt. Une courbe qui s’aplatit progressivement raconte un ralentissement.

Exercice 52.5 ★

Sur le graphique du coursier : entre quelles minutes l’allure est-elle la plus douce (sans être nulle) ? Comment le voir sans calculer ?

Solution

Solution de Exercice 52.5.

De la minute $35$ à la minute $60$ — le troisième tronçon : c’est le moins raide des tronçons montants, cela se lit directement à sa pente plus douce.

Exercice 52.6 ★

Le graphique d’un marcheur montre une droite passant par les points ( $30$ min, $2\,\mathrm{km}$ ) et ( $60$ min, $4\,\mathrm{km}$ ). Mouvement uniforme ou varié ? Vitesse en $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ?

Solution

Solution de Exercice 52.6.

Uniforme — une seule droite. Elle gagne $2\,\mathrm{km}$ par demi-heure : $v = 4\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .

Exercice 52.7 ★

Définis la vitesse moyenne. Une randonnée : $12\,\mathrm{km}$ en $4$ heures, pique-nique d’une heure compris. Vitesse moyenne — et vitesse moyenne en marchant ?

Solution

Solution de Exercice 52.7.

La distance totale sur la durée totale, arrêts compris. Randonnée entière : $12 \div 4 = 3\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . En marchant seulement : $12 \div 3 = 4\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .

Exercice 52.8 ★★

Pourquoi un tronçon lent est-il « plus lourd » dans une moyenne qu’un tronçon rapide de même longueur ? Réponds avec le temps, pas avec des formules.

Solution

Solution de Exercice 52.8.

Sur des distances égales, le tronçon lent dure tout simplement plus longtemps — une plus grande part de l’horloge du trajet est vécue à l’allure lente, et cette allure lente parle donc avec une plus grande part de la voix du trajet.

Exercice 52.9 ★★

Rejoue le piège : $30\,\mathrm{km}$ à l’aller à $15\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ , $30\,\mathrm{km}$ au retour à $30\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . Milieu prédit, moyenne honnête — et quelle moitié du trajet a possédé l’essentiel de l’horloge ?

Solution

Solution de Exercice 52.9.

Milieu supposé : $22.5\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . Honnêtement : aller $30 \div 15 = 2$ heures, retour $30 \div 30 = 1$ heure ; total $60\,\mathrm{km}$ en $3$ heures : $20\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . La moitié lente a possédé deux des trois heures.

Exercice 52.10 ★★

Esquisse (ou décris précisément) le graphique de ce trajet : uniforme à $40\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ pendant une demi-heure ; arrêt d’un quart d’heure ; uniforme à $60\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ pendant un quart d’heure. Calcule ensuite la vitesse moyenne du trajet.

Solution

Solution de Exercice 52.10.

Graphique : droite jusqu’à ( $30\,\mathrm{min}$ , $20\,\mathrm{km}$ ) ; palier jusqu’à $45$ min ; droite plus raide jusqu’à ( $60\,\mathrm{min}$ , $35\,\mathrm{km}$ ). Moyenne : $35\,\mathrm{km}$ en une heure — $35\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .

Exercice 52.11 ★★

Le comptage de l’orage, version améliorée : le tonnerre arrive $6\,\mathrm{s}$ après l’éclair. Avec le son à $340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , utilise $d = v \times t$ pour la distance de l’orage — et confronte la vieille règle « diviser par trois pour avoir des kilomètres » à ta formule.

Solution

Solution de Exercice 52.11.

$d = 340 \times 6 = 2040\,\mathrm{m}$ — environ $2\,\mathrm{km}$ . La vieille règle : $6 \div 3 = 2$ kilomètres — d’accord avec la formule, parce que $340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ signifie très exactement à peu près un kilomètre toutes les trois secondes.

Exercice 52.12 ★★★

Un vieux classique qui vaut chaque minute : un conducteur parcourt la première moitié de la distance d’un trajet à $30\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ et veut une moyenne d’ensemble de $60\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . Montre — avec la recette distance totale sur durée totale, sur un trajet de $60\,\mathrm{km}$ — que la seconde moitié devrait être parcourue en un temps nul : le souhait est impossible, et non pas simplement difficile.

Solution

Solution de Exercice 52.12.

Première moitié : $30\,\mathrm{km}$ à $30\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ coûte exactement $1$ heure. Une moyenne d’ensemble de $60\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ sur $60\,\mathrm{km}$ autorise un total d’exactement $1$ heure — déjà dépensée jusqu’à la dernière seconde. Les $30\,\mathrm{km}$ restants devraient être parcourus en $0$ heure : aucune vitesse, si héroïque soit-elle, ne rattrape la moyenne ; le budget est épuisé.

52.5 Problème : le vendredi du coursier

Problème 52.1

Problème du week-end — une coursière à vélo, un vendredi en ville ; le graphique du régulateur, le piège de la fiche de prime

Le régulateur enregistre le vendredi de la coursière Lena sur un graphique distance–temps et en déduit sa paie. Tu vérifies la fiche.

Partie I — la matinée, d’après le graphique. Le graphique montre : une montée droite de ( $0$ min, $0\,\mathrm{km}$ ) à ( $30$ min, $9\,\mathrm{km}$ ) ; un palier jusqu’à $45$ min ; une droite de là jusqu’à ( $75$ min, $15\,\mathrm{km}$ ) ; un palier jusqu’à $90$ min.

Raconte l’histoire de la matinée avec des mots : les tronçons, les arrêts, et ce qu’étaient vraisemblablement ces arrêts.
Vitesse sur le premier tronçon, en $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ?
Vitesse sur le second tronçon roulé ?
Vitesse moyenne de Lena sur toute la matinée de $90$ minutes, arrêts compris ?

Partie II — l’après-midi, d’après la formule.

Première étape de l’après-midi : $12\,\mathrm{km}$ à un régulier $24\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . Combien de temps cela a-t-il pris, en minutes ?
Deuxième étape : une livraison dans le haut de la ville, $20\,\mathrm{minutes}$ à $18\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . Combien de kilomètres ?
Troisième étape : le long trajet jusqu’au dépôt, $10\,\mathrm{km}$ , effectué en $25$ minutes. Vitesse à allure régulière, en $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ?
Total de l’après-midi : additionne les distances et les durées (les étapes seules, sans les pauses) : quelle vitesse moyenne les roues ont-elles tenue en roulant ?

Partie III — le piège de la fiche de prime. La règle de la prime : « une vitesse moyenne sur une tournée complète supérieure à $20\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ donne droit à la prime de rapidité ».

Le vendredi complet de Lena : $37\,\mathrm{km}$ en $3$ heures (tous arrêts compris). A-t-elle droit à la prime ?
Son collègue Max la réclame : « J’ai roulé la moitié de ma tournée à $30\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ et l’autre moitié à $15\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ — cela fait une moyenne de $22.5$ ! » Le régulateur vérifie : les deux moitiés faisaient $12\,\mathrm{km}$ . Calcule la vraie moyenne de Max et statue sur sa prime.
Explique à Max, en langage de temps, où son $22.5$ a déraillé.
Lena propose une règle de prime plus juste pour les coursiers — une règle qui ne punisse pas les arrêts de livraison. Propose-en une (le graphique sait comment), et dis quelle vitesse elle mesure.

Partie IV — la leçon du régulateur.

Bilan du vendredi : écris les trois phrases du régulateur — ce que signifient sur le graphique un tronçon droit, un tronçon horizontal et un tronçon plus raide — et l’unique avertissement au sujet des moyennes de vitesses.

Solution

Solution de Problème 52.1.

1. Une course vive ( $30$ min), un arrêt de $15$ minutes (une livraison), une course plus douce ( $30$ min), et un second arrêt de $15$ minutes — deux courses, deux visites. 2. $9\,\mathrm{km}$ en une demi-heure : $18\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . 3. $15 - 9 = 6\,\mathrm{km}$ en une demi-heure : $12\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . 4. $15\,\mathrm{km}$ en $1.5$ heure : $10\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . 5. $t = 12 \div 24 = 0.5$ heure : $30$ minutes. 6. $20$ minutes font un tiers d’heure : $d = 18 \times \tfrac{1}{3} = 6\,\mathrm{km}$ . 7. $25$ minutes font $\tfrac{25}{60}$ heure ; $v = 10 \div \tfrac{25}{60} = 24\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . 8. Distances : $12 + 6 + 10 = 28\,\mathrm{km}$ ; durées : $30 + 20 + 25 = 75$ minutes $= 1.25$ heure ; moyenne en roulant : $28 \div 1.25 = 22.4\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . 9. $37 \div 3 \approx 12.3\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ — bien au-dessous de $20$ : pas de prime (ses arrêts sont un travail honnête, mais la règle les compte). 10. Max : moitié rapide $12 \div 30 = 0.4$ h ; moitié lente $12 \div 15 = 0.8$ h ; total $24\,\mathrm{km}$ en $1.2$ h : exactement $20\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ — pas au-dessus de $20$ : pas de prime. 11. Son $22.5$ faisait la moyenne des deux nombres, comme si chaque allure possédait la moitié de l’horloge. En vérité, la moitié lente possédait $0.8$ de ses $1.2$ heure — les deux tiers de la voix du trajet — et a tiré la vraie moyenne jusqu’à $20$ . 12. Par exemple : verser la prime sur la vitesse moyenne en roulant — la distance totale divisée par le seul temps de roulage, en excluant les paliers du graphique. Elle mesure l’allure que les roues tiennent réellement, et récompense la vitesse plutôt que les livraisons sautées. 13. « Un tronçon droit est une allure régulière ; un tronçon horizontal est un arrêt avec l’horloge qui continue de tourner ; un tronçon plus raide est une allure plus rapide — la pente est la vitesse. Et jamais de moyenne de vitesses : faites la moyenne du trajet — distance totale sur durée totale — ou les heures lentes se moqueront de la fiche. »

Termes définis dans ce chapitre

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