Physique du primaire et du collège · Grades 1–9

57Les lois des courants et des tensions dans les circuits

Deux appareils, deux grandeurs — et voici enfin la constitution. Tout circuit que tu construiras jamais, de la lampe de poche au réseau d’une ville, obéit à quatre lois brèves : deux sur la comptabilité du courant, deux sur celle de la tension. Muni d’elles et d’un peu d’algèbre, tu peux calculer des lectures que tu n’as pas encore mesurées — et confondre toute mesure qui ment.

57.1 Les lois des courants

Proposition 57.1 (Loi des courants dans une boucle en série)

Le long d’une seule boucle, l’intensité est la même partout :

I_{\text{pile}} = I_{\text{lampe 1}} = I_{\text{lampe 2}} = \dots

Une route, une marche — les péages du chapitre précédent, devenus une loi de la constitution.

Proposition 57.2 (Loi des nœuds)

En tout nœud, les intensités qui entrent, prises ensemble, égalent les intensités qui sortent, prises ensemble : pour une route principale qui se divise en deux branches,

I = I_1 + I_2 .

La charge n’est ni créée, ni détruite, ni stockée à un embranchement : tout ce qui arrive repart. (Vrai pour un nombre quelconque de branches — somme des arrivées, somme des départs, et les comptes s’équilibrent.)

La loi des nœuds en nombres : 0.50\, A arrivent à l’embranchement, 0.30 + 0.20 repartent par les branches — et 0.50\, A se reforment au nœud d’en face. — La loi des nœuds en nombres : $0.50\,\mathrm{A}$ arrivent à l’embranchement, $0.30 + 0.20$ repartent par les branches — et $0.50\,\mathrm{A}$ se reforment au nœud d’en face.

57.2 Les lois des tensions

Proposition 57.3 (Loi des tensions dans une boucle en série)

Le long d’une boucle en série, la tension de la pile se partage entre les appareils, et les parts s’additionnent exactement :

U_{\text{pile}} = U_1 + U_2 + \dots

L’image de la chute d’eau tient les comptes : la pile hisse la marche sur toute sa hauteur, et les appareils dépensent cette hauteur entre eux, goutte à goutte — les bons fils n’en dépensant rien.

Proposition 57.4 (Loi des tensions pour des branches en dérivation)

Des appareils en dérivation sont tous placés entre les deux mêmes nœuds — une seule tension les sert donc tous :

U_1 = U_2 = U_{\text{entre les deux nœuds}} .

Chaque branche jouit de toute la poussée entre les nœuds — et c’est pourquoi des lampes en dérivation brillent à leur pleine valeur nominale, et pourquoi chaque prise de ta maison offre les mêmes $230\,\mathrm{V}$ .

La loi des tensions en série, en nombres : les 4.5\, V de la pile sont dépensés en deux parts inégales — 2.1 + 2.4 = 4.5, à la décimale près. — La loi des tensions en série, en nombres : les $4.5\,\mathrm{V}$ de la pile sont dépensés en deux parts inégales — $2.1 + 2.4 = 4.5$ , à la décimale près.

Exemple 57.5 (Pourquoi des parts inégales ?)

Deux lampes différentes en série portent le même courant (première loi) et se partagent pourtant la tension inégalement — $2.1\,\mathrm{V}$ contre $2.4\,\mathrm{V}$ . La plus grosse part revient à la lampe qui s’oppose le plus à la marche : le travailleur le plus rude prend la plus grande chute. Ce que « s’opposer davantage » veut dire au juste, et comment le mesurer, fait tout le sujet du chapitre suivant — les lois de ce chapitre-ci en sont la scène.

57.3 Calculer avant de mesurer

Méthode 57.6 (Résoudre un circuit avec les quatre lois)

Étant donné un circuit dont on connaît quelques lectures :

dessiner le schéma et marquer tous les $I$ et $U$ connus ;
écrire les lois applicables sous forme d’équations — sommes aux nœuds pour les courants, sommes sur la boucle pour les tensions, égalité pour le $I$ en série et le $U$ en dérivation ;
résoudre en cherchant les inconnues (les équations du cours d’algèbre, enfin utiles) ;
vérifier le bon sens : aucune lampe ne reçoit plus que ce que la pile offre, aucun courant de branche ne dépasse celui de la route principale.

Exemple 57.7 (Exemple traité : le circuit mixte)

Une pile de $6\,\mathrm{V}$ alimente la lampe A en série avec une paire en dérivation (B et C). Mesures : $I_{\text{pile}} = 0.5\,\mathrm{A}$ , $I_B = 0.3\,\mathrm{A}$ , $U_A = 2.5\,\mathrm{V}$ . Calculons le reste. Loi des nœuds : $I_C = 0.5 - 0.3 = 0.2\,\mathrm{A}$ . Loi des courants en série : la lampe A porte les $0.5\,\mathrm{A}$ en entier. Loi des tensions sur la boucle : la paire reçoit $U_{\text{paire}} = 6 - 2.5 = 3.5\,\mathrm{V}$ ; loi des tensions en dérivation : $U_B = U_C = 3.5\,\mathrm{V}$ . Toutes les lectures d’appareil du circuit, désormais connues — quatre lois, une ligne d’algèbre chacune.

Exemple 57.8 (Les lois comme détecteurs de mensonge)

Un compte rendu de travaux pratiques affirme : pile $4.5\,\mathrm{V}$ ; deux lampes en série à $2.1\,\mathrm{V}$ et $2.9\,\mathrm{V}$ . La loi de la boucle additionne les parts : $5.0\,\mathrm{V}$ dépensés depuis une bourse de $4.5\,\mathrm{V}$ — impossible ; quelqu’un a mal lu un cadran. Un autre compte rendu : $0.40\,\mathrm{A}$ entrant au nœud, $0.25\,\mathrm{A}$ et $0.20\,\mathrm{A}$ sortant par les branches — l’embranchement « crée » $0.05\,\mathrm{A}$ : rejeté. Avant les lois, des lectures fausses paraissaient aussi bonnes que des justes ; désormais, la constitution audite chaque page.

Remarque 57.9 (Les piles sous les mêmes lois)

La règle du bout à bout n’est que la loi des tensions en série dans ses plus vieux habits : des piles en série additionnent leurs tensions ( $1.5 + 1.5 + 1.5 = 4.5\,\mathrm{V}$ — le secret de la pile plate), et un élément retourné se retranche, sa poussée passée à combattre les autres. Les lois gouvernent les donneurs comme les dépensiers ; seul le signe de leur contribution diffère.

57.4 Exercices

Exercice 57.1 ★

Énonce les quatre lois — deux pour le courant, deux pour la tension — chacune en une ligne.

Solution

Solution de Exercice 57.1.

Loi des courants en série : une boucle, une intensité partout. Loi des nœuds : autant de courants entrants que de courants sortants. Loi des tensions en série : la tension de la pile égale la somme des parts des appareils le long de la boucle. Loi des tensions en dérivation : des branches tendues entre les mêmes nœuds se partagent une seule et même tension.

Exercice 57.2 ★

Un nœud reçoit $0.8\,\mathrm{A}$ et envoie $0.55\,\mathrm{A}$ dans une branche. Que porte l’autre branche ?

Solution

Solution de Exercice 57.2.

$0.8 - 0.55 = 0.25\,\mathrm{A}$ .

Exercice 57.3 ★

Une pile de $9\,\mathrm{V}$ alimente trois lampes en série ; deux d’entre elles prennent $2.5\,\mathrm{V}$ et $3.8\,\mathrm{V}$ . La part de la troisième ?

Solution

Solution de Exercice 57.3.

$9 - 2.5 - 3.8 = 2.7\,\mathrm{V}$ .

Exercice 57.4 ★

Deux lampes en dérivation aux bornes d’une pile de $12\,\mathrm{V}$ : la tension de chaque lampe ? Quel fait quotidien à propos des prises d’une maison relève de la même loi ?

Solution

Solution de Exercice 57.4.

$12\,\mathrm{V}$ chacune — la loi des tensions en dérivation. La même loi pose les mêmes $230\,\mathrm{V}$ sur chaque prise du câblage en dérivation de la maison.

Exercice 57.5 ★

Dans le circuit mixte traité, quelle mesure supplémentaire aurait été redondante, et pourquoi ? (Choisis-en une, justifie par une loi.)

Solution

Solution de Exercice 57.5.

Par exemple $I_C$ : une fois $I_{\text{pile}}$ et $I_B$ connus, la loi des nœuds fixe $I_C = 0.2\,\mathrm{A}$ — tout appareil envoyé là ne pourrait que confirmer (de même $U_C$ , fixé par la loi des tensions en dérivation dès que $U_B$ est connu).

Exercice 57.6 ★

Deux lampes différentes en série portent le même courant mais se partagent la tension $1.8$ contre $2.7\,\mathrm{V}$ . Quelle lampe s’oppose le plus à la marche ? Quel chapitre à venir mesure cette opposition ?

Solution

Solution de Exercice 57.6.

La lampe à $2.7\,\mathrm{V}$ : à courant égal, la plus grande part de tension désigne l’opposant le plus fort. Le chapitre suivant mesure cette opposition — la résistance.

Exercice 57.7 ★

Audit : pile $6\,\mathrm{V}$ ; lampes en série mesurées à $2.2\,\mathrm{V}$ , $1.9\,\mathrm{V}$ , $1.4\,\mathrm{V}$ . Les comptes s’équilibrent-ils à l’honnêteté d’un appareil près ?

Solution

Solution de Exercice 57.7.

$2.2 + 1.9 + 1.4 = 5.5\,\mathrm{V}$ contre une bourse de $6\,\mathrm{V}$ : un demi-volt égaré — au-delà de la dispersion honnête d’un appareil pour de telles lectures ; un cadran a été mal lu (ou une part est restée non mesurée).

Exercice 57.8 ★

Audit : route principale $0.9\,\mathrm{A}$ ; trois branches $0.4\,\mathrm{A}$ , $0.3\,\mathrm{A}$ , $0.3\,\mathrm{A}$ . Verdict ?

Solution

Solution de Exercice 57.8.

$0.4 + 0.3 + 0.3 = 1.0\,\mathrm{A}$ qui sortent contre $0.9\,\mathrm{A}$ qui entrent : l’embranchement « crée » $0.1\,\mathrm{A}$ — condamné par la loi des nœuds.

Exercice 57.9 ★★

Une pile de $4.5\,\mathrm{V}$ , la lampe D en série avec un interrupteur — puis, en dérivation avec la lampe D, un voltmètre indique $4.5\,\mathrm{V}$ aux bornes de l’interrupteur ouvert et $0\,\mathrm{V}$ aux bornes de D. Montre que les deux lectures obéissent à la loi des tensions sur la boucle.

Solution

Solution de Exercice 57.9.

La dépense de la boucle doit totaliser les $4.5\,\mathrm{V}$ de la pile : interrupteur ouvert $4.5\,\mathrm{V}$ $+$ lampe au repos $0\,\mathrm{V}$ $= 4.5$ — équilibré. (Après le déclic, les parts s’échangent : interrupteur près de zéro, lampe près de $4.5\,\mathrm{V}$ — équilibré de nouveau.)

Exercice 57.10 ★★

Trois éléments identiques bout à bout allument une lampe ; un quatrième, retourné, rejoint la file. Tension totale avant et après, par la loi des tensions en série avec les signes ? Que fait la lampe ?

Solution

Solution de Exercice 57.10.

Avant : $3 \times 1.5 = 4.5\,\mathrm{V}$ . Après : $4.5 - 1.5 = 3.0\,\mathrm{V}$ — l’élément retourné se retranche. La lampe passe de sa lueur de $4.5\,\mathrm{V}$ à celle de $3\,\mathrm{V}$ .

Exercice 57.11 ★★

Un circuit à deux branches : la branche une porte les lampes E et F en série ; la branche deux porte la lampe G seule. Pile $6\,\mathrm{V}$ ; $U_E = 2.2\,\mathrm{V}$ . Calcule $U_F$ et $U_G$ , en citant une loi à chaque étape.

Solution

Solution de Exercice 57.11.

La branche une est tendue aux bornes de la pile : $U_E + U_F = 6\,\mathrm{V}$ (loi des tensions en série le long de la branche), donc $U_F = 6 - 2.2 = 3.8\,\mathrm{V}$ . La branche deux est tendue entre les mêmes nœuds : $U_G = 6\,\mathrm{V}$ (loi des tensions en dérivation).

Exercice 57.12 ★★★

L’audit complet : une pile de $6\,\mathrm{V}$ ; la lampe P en série avec un nœud ; les branches Q et R se rejoignent et reviennent. Mesures : $I_P = 0.6\,\mathrm{A}$ , $I_Q = 0.45\,\mathrm{A}$ , $U_Q = 2.3\,\mathrm{V}$ . Calcule tous les courants et toutes les tensions restants du circuit ( $I_R$ , $U_P$ , $U_R$ ), en énonçant la loi derrière chaque ligne — puis invente une « mesure » supplémentaire qu’un élève négligent pourrait rapporter et que ta solution achevée confondrait immédiatement.

Solution

Solution de Exercice 57.12.

$I_R = 0.6 - 0.45 = 0.15\,\mathrm{A}$ (loi des nœuds). $U_R = U_Q = 2.3\,\mathrm{V}$ (loi des tensions en dérivation). $U_P = 6 - 2.3 = 3.7\,\mathrm{V}$ (loi des tensions en série). Une addition condamnable : « $I_R = 0.2\,\mathrm{A}$ » — les comptes du nœud donneraient $0.45 + 0.2 = 0.65 \neq 0.6$ ; ou « $U_R = 2.6\,\mathrm{V}$ » — des branches en dérivation n’ont pas le droit d’être en désaccord.

57.5 Problème : les boîtes mystères scellées

Problème 57.1

Problème du week-end — le défi des boîtes scellées du club d’électronique ; quatre lois contre quatre mystères ; le grand audit

Le club scelle des circuits simples dans des boîtes, ne laissant que des prises pour les appareils. Les équipes doivent en déduire l’intérieur — constitution en main. La pile de l’établi est de $6\,\mathrm{V}$ partout.

Partie I — boîte A : deux bornes, deux lampes. L’étiquette avoue : deux lampes identiques et rien d’autre, soit en série, soit en dérivation.

Branchée sur la pile, la boîte A appelle $0.2\,\mathrm{A}$ ; une seule lampe de ce genre, seule sous $6\,\mathrm{V}$ , appelle environ $0.4\,\mathrm{A}$ . Série ou dérivation ? Argumente par une loi des courants.
Prédis ce que la boîte appellerait dans l’autre disposition.
Quelle tension chaque lampe intérieure reçoit-elle dans la disposition réelle, et par quelle loi des tensions ?
Dans quelle disposition les lampes cachées brilleraient-elles à leur pleine valeur nominale — et pourquoi, visiblement, ne le font-elles pas, vu par le judas de la boîte ?

Partie II — boîte B : l’énigme des trois lampes. La boîte B avoue : une lampe (X) en série avec une paire en dérivation (Y, Z — pas nécessairement identiques).

L’équipe mesure $I_{\text{pile}} = 0.5\,\mathrm{A}$ et, à la prise d’essai propre à Y, $I_Y = 0.35\,\mathrm{A}$ . Trouve $I_Z$ et $I_X$ , en citant les lois.
Un voltmètre aux bornes de X : $2.8\,\mathrm{V}$ . Trouve la tension de la paire en dérivation — puis $U_Y$ et $U_Z$ .
Y et Z portent des courants différents sous la même tension. Que révèle cela sur les deux lampes, dans le langage de Exemple 57.5 ?
L’équipe dévisse Y par une trappe. Prédis le sens de variation du nouveau $I_{\text{pile}}$ (hausse, baisse ou maintien), en raisonnant sur les routes et leur opposition.

Partie III — boîte C : la triche.

Le constructeur de la boîte C rapporte : « pile $6\,\mathrm{V}$ ; deux lampes en série à l’intérieur, à $2.5\,\mathrm{V}$ et $4.1\,\mathrm{V}$ ; nœud intérieur recevant $0.3\,\mathrm{A}$ et envoyant $0.2\,\mathrm{A}$ plus $0.15\,\mathrm{A}$ . » Confonds ce rapport deux fois, une loi par condamnation.
L’une des deux tensions rapportées se révèle par la suite honnête. Si c’est celle de $2.5\,\mathrm{V}$ , que doit valoir réellement sa partenaire ?
Le constructeur avoue que les nombres du nœud ont été « arrondis généreusement ». Si les deux lectures de branche $0.2\,\mathrm{A}$ et $0.15\,\mathrm{A}$ sont honnêtes, que doit porter réellement la route principale ?
Pourquoi les quatre lois font-elles de la triche en boîte scellée un jeu perdu d’avance ? Une phrase.

Partie IV — la constitution.

Rédige la charte du club : les quatre lois en quatre lignes, chacune avec l’image quotidienne qui la porte (routes, péages, chutes d’eau, embranchements).

Solution

Solution de Problème 57.1.

1. En série. En série, les deux lampes s’opposent à la marche l’une après l’autre : le courant de la boucle tombe bien en dessous des $0.4\,\mathrm{A}$ d’une lampe seule — les $0.2\,\mathrm{A}$ mesurés collent. (La dérivation ajouterait deux branches entières.) 2. En dérivation : deux branches d’environ $0.4\,\mathrm{A}$ chacune — à peu près $0.8\,\mathrm{A}$ tirés de la pile. 3. La loi des tensions en série partage les $6\,\mathrm{V}$ entre deux lampes identiques : environ $3\,\mathrm{V}$ chacune. 4. En dérivation — chaque lampe serait aux bornes des $6\,\mathrm{V}$ entiers. Par le judas, la paire en série luit faiblement : chacune est sous-alimentée, à la moitié de sa poussée habituelle. 5. $I_Z = 0.5 - 0.35 = 0.15\,\mathrm{A}$ (loi des nœuds) ; $I_X = 0.5\,\mathrm{A}$ — X se tient sur la route non divisée (loi des courants en série). 6. $U_{\text{paire}} = 6 - 2.8 = 3.2\,\mathrm{V}$ (loi de la boucle) ; $U_Y = U_Z = 3.2\,\mathrm{V}$ (loi de la dérivation). 7. Même poussée, marches différentes : les lampes s’opposent inégalement au courant — Z, qui en porte moins sous la même tension, est l’opposant le plus fort (la route la plus dure). 8. Baisse : perdre la branche de Y supprime une route ; la route de Z restante s’oppose plus que la paire ne le faisait ensemble, si bien que la pile entraîne moins de courant total. 9. Première condamnation, loi de la boucle : $2.5 + 4.1 = 6.6\,\mathrm{V}$ dépensés depuis une bourse de $6\,\mathrm{V}$ . Seconde condamnation, loi des nœuds : $0.3\,\mathrm{A}$ entrants, $0.2 + 0.15 = 0.35\,\mathrm{A}$ sortants. 10. $6 - 2.5 = 3.5\,\mathrm{V}$ . 11. $0.2 + 0.15 = 0.35\,\mathrm{A}$ . 12. Parce que les quatre lois surdéterminent tout circuit honnête : chaque lecture doit s’accorder aux sommes des autres, si bien qu’un nombre inventé doit mentir à au moins une loi — et se trouve condamné par la seule arithmétique. 13. Par exemple : « Une route, une marche — la loi des courants en série. À chaque embranchement, les marches s’équilibrent, autant qui entrent que qui sortent — la loi des nœuds. Le long de toute boucle, la chute d’eau de la pile est dépensée jusqu’à la dernière goutte par les travailleurs — la loi des tensions en série. Et des branches suspendues entre les deux mêmes nœuds boivent à la même hauteur — la loi des tensions en dérivation. »