Physique du primaire et du collège · Grades 1–9

65Le mouvement : uniforme et varié

Il y a deux ans, tu diagnostiquais le mouvement à l’œil : des points également espacés, uniforme ; des points qui s’écartent, en train d’accélérer. Cette année, les points reçoivent des graduations au millimètre et le diagnostic reçoit des nombres — intervalle par intervalle, vitesse par vitesse. Et à la fin du chapitre se tient une phrase tranquille sur la force et le mouvement, qui portera un jour la moitié de la physique sur son dos.

65.1 L’enregistrement du mouvement

Définition 65.1 (Enregistrement chronométré des positions)

Un enregistrement chronométré des positions d’un mouvement marque les positions de l’objet mobile à des instants également espacés — des images de vidéo parcourues une à une, une photographie prise sous un stroboscope clignotant, ou l’enregistreur à points du laboratoire qui frappe cinquante points par seconde sur une bande de papier tirée par l’objet. Entre deux marques voisines se trouve un intervalle de temps de trajet : l’enregistrement transforme le mouvement en segments mesurables.

Méthode 65.2 (Lire un enregistrement avec des nombres)

Pour un enregistrement dont l’intervalle vaut $\tau$ (mettons $0.02\,\mathrm{s}$ pour cinquante par seconde, ou un confortable $0.1\,\mathrm{s}$ en vidéo) :

mesurer chaque écart entre marques voisines à la règle millimétrée ;
diviser chaque écart par l’intervalle : $v = d/\tau$ donne la vitesse (moyenne) sur ce petit intervalle — en $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ si les écarts sont en mètres ;
aligner les vitesses côte à côte et lire l’histoire : des nombres constants, mouvement uniforme ; croissants, accéléré ; décroissants, ralenti ;
citer la vitesse d’un intervalle comme la vitesse « à » cet instant : sur un intervalle si court, moyenne et instantanée se serrent la main.

Trois bandes de l’enregistreur à points, un point par intervalle. Cette année, les écarts sont mesurés, et chacun devient une vitesse.

Exemple 65.3 (Une bande, traitée)

La bande d’un chariot, intervalles de $0.1\,\mathrm{s}$ , écarts en centimètres : $2.0$ , $3.0$ , $4.0$ , $5.0$ , $6.0$ . Vitesses, écart par écart : $0.02 \div 0.1 = 0.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , puis $0.3$ , $0.4$ , $0.5$ , $0.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Verdict : accéléré — et magnifiquement régulier : la vitesse croît d’exactement $0.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ à chaque intervalle. Les mouvements dont la vitesse monte par paliers égaux en des durées égales portent un nom particulier et ont un grand avenir — uniformément accélérés, la signature des causes constantes.

Exemple 65.4 (Le plus célèbre des mouvements accélérés)

Lâche une pierre et filme-la : les écarts s’allongent d’un intervalle à l’autre — la chute libre est accélérée. Mesurée, sa vitesse croît d’environ $9.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ à chaque seconde de chute : après une seconde, $9.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; après deux, près de $20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Que ce taux de croissance égale le $g$ du lieu n’a rien d’une coïncidence — c’est la plus profonde des rimes de la physique de cette année, et le volume de lycée bâtit sa mécanique dessus. Note-le, souligne-le, et laisse-le attendre.

65.2 La vitesse instantanée, honnêtement

Définition 65.5 (Vitesse instantanée)

La vitesse instantanée d’un mouvement à un instant donné est la vitesse moyenne sur un intervalle très court autour de cet instant — si court que le mouvement n’a pas la place d’y changer d’allure. C’est le nombre du compteur de vitesse et celui du radar : tous deux mesurent en fait exactement comme le fait Méthode 65.2, sur des intervalles de la durée d’un clin d’œil. (Ce que « très court » veut dire en toute rigueur est la grande question à laquelle répondent les mathématiques de la dernière année de lycée — et cette réponse a créé la science moderne.)

Exemple 65.6 (Moyenne et instantanée, côte à côte)

Un trajet de métro entre deux stations : vitesse moyenne — distance totale sur durée totale — $35\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . Vitesse instantanée : $0$ sur les deux quais, $70\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ au milieu du tunnel. Dans le mouvement uniforme, et là seulement, les deux notions fusionnent en un seul nombre constant : le mouvement uniforme est précisément le mouvement qui fait de la vitesse une grandeur unique, honnête et sans intervalle.

65.3 La phrase tranquille

Proposition 65.7 (Des forces qui se compensent laissent le mouvement inchangé)

Quand les forces exercées sur un corps se compensent — ou quand aucune n’agit du tout — le mouvement du corps ne change pas : au repos, il reste au repos ; en mouvement, il poursuit en ligne droite à vitesse constante. Un changement de mouvement — accélérer, ralentir, tourner — ne se produit que tant qu’agit une force non compensée. Cette phrase, énoncée ici et honnêtement remise à plus tard, est la loi d’ouverture de toute la mécanique ; le volume de lycée commence par elle et ne la lâche plus.

Exemple 65.8 (Lire le monde avec la phrase)

Le palet sur la glace lisse glisse droit et régulier — forces compensées (poids vers le bas, glace vers le haut), mouvement inchangé : aucune poussée n’est nécessaire pour continuer. La voiture qui freine ralentit : une force non compensée, la prise de la route sur les pneus, agissant vers l’arrière. Le cycliste qui tourne : force non compensée latérale, fournie par les pneus inclinés. Et l’avion de ligne en croisière à $900\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ constants : la poussée compensant la traînée, la portance compensant le poids — quatre forces, égalité parfaite, mouvement uniforme. L’immobilité et la croisière sont, pour la physique, le même état paisible.

Remarque 65.9 (Pourquoi la phrase surprend)

La vie quotidienne semble protester : arrête de pédaler et la bicyclette ralentit — le mouvement n’a-t-il donc pas besoin de force ? Mais la bicyclette qui ralentit n’est pas libre de forces : les frottements et l’air poussent vers l’arrière, sans compensation, et c’est exactement pourquoi l’allure décline. Supprime-les — la patinoire, le vide de l’espace — et le mouvement se poursuit à jamais : les sondes spatiales lancées avant la rencontre de tes grands-parents filent encore aujourd’hui, moteurs froids. L’humanité a eu besoin de deux mille ans pour percer le déguisement du frottement ; tu as l’avantage des patinoires et des sondes spatiales.

65.4 Exercices

Exercice 65.1 ★

Qu’est-ce qu’un enregistrement chronométré des positions ? Nomme deux façons d’en obtenir un.

Solution

Solution de Exercice 65.1.

Des marques des positions de l’objet à des instants également espacés. Deux façons d’en obtenir : parcourir une vidéo image par image ; l’enregistreur à points qui frappe une bande de papier tirée (ou une photographie au stroboscope).

Exercice 65.2 ★

Une bande à intervalles de $0.1\,\mathrm{s}$ montre des écarts de $4.0\,\mathrm{cm}$ , $4.0$ , $4.0$ , $4.0$ . Diagnostique le mouvement et donne sa vitesse en $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

Solution

Solution de Exercice 65.2.

Écarts égaux : uniforme. $v = 0.04 \div 0.1 = 0.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

Exercice 65.3 ★

Une autre bande : écarts $1.0$ , $2.5$ , $4.5$ , $7.0\,\mathrm{cm}$ . Diagnostique — et calcule les vitesses du premier et du dernier intervalle.

Solution

Solution de Exercice 65.3.

Écarts croissants : accéléré. Premier intervalle : $0.01 \div 0.1 = 0.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; dernier : $0.07 \div 0.1 = 0.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

Exercice 65.4 ★

Distingue la vitesse moyenne de la vitesse instantanée sur un trajet vers l’école : laquelle le radar du portail lit-il, et laquelle calcule le « vingt minutes de porte à porte » de la famille ?

Solution

Solution de Exercice 65.4.

Le radar lit la vitesse instantanée — l’allure à l’instant du portail. Le « vingt minutes de porte à porte » calcule la moyenne — distance totale sur durée totale, arrêts et pointes confondus.

Exercice 65.5 ★

Dans quels mouvements la vitesse moyenne et la vitesse instantanée coïncident-elles ? Pourquoi là et là seulement ?

Solution

Solution de Exercice 65.5.

Dans les mouvements uniformes : l’allure ne change jamais, si bien que tout intervalle — long ou bref comme un clin d’œil — redonne le même nombre, et les deux notions s’effondrent en une seule.

Exercice 65.6 ★

De combien la vitesse d’une pierre en chute libre croît-elle chaque seconde, et à quel nombre local ce taux est-il égal ?

Solution

Solution de Exercice 65.6.

D’environ $9.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ chaque seconde — numériquement le $g$ local, $9.8\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ : la plus profonde rime de l’année.

Exercice 65.7 ★

Énonce la phrase tranquille. Que dit-elle d’un corps sur lequel aucune force n’agit — et de l’égalité à quatre de l’avion en croisière ?

Solution

Solution de Exercice 65.7.

Des forces compensées (ou absentes) laissent le mouvement inchangé : le repos reste repos, et le mouvement rectiligne régulier se poursuit. Le corps libre de forces file à jamais ; l’égalité à quatre de l’avion de ligne — poussée contre traînée, portance contre poids — est exactement pourquoi ses $900\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ se maintiennent.

Exercice 65.8 ★

« Le mouvement a besoin de force pour continuer. » Confonds cette antique erreur avec la sonde spatiale qui file et le déguisement du frottement.

Solution

Solution de Exercice 65.8.

La sonde, libre de forces dans le vide, file depuis des décennies moteurs froids — un mouvement qui n’a besoin d’aucune force pour continuer. La bicyclette qui « prouve » le contraire ralentit sous les frottements et l’air, des forces non compensées vers l’arrière et déguisées ; sur la glace, le déguisement aminci, elle file loin.

Exercice 65.9 ★★

Une bande (intervalles de $0.1\,\mathrm{s}$ ) donne, en centimètres : $6.0$ , $5.0$ , $4.0$ , $3.0$ , $2.0$ . Diagnostique ; calcule la vitesse de chaque intervalle ; et prédis la suite de la bande si le motif se maintient.

Solution

Solution de Exercice 65.9.

Écarts décroissants : ralenti. Vitesses : $0.6$ , $0.5$ , $0.4$ , $0.3$ , $0.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — en baisse de $0.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ par intervalle. Si le motif se maintient, deux intervalles de plus ( $1.0\,\mathrm{cm}$ , puis rien) amènent la bande au repos.

Exercice 65.10 ★★

Le chariot traité gagnait $0.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ par intervalle de $0.1\,\mathrm{s}$ . Exprime ce gain par seconde — et compare le gain du chariot à celui de la chute libre.

Solution

Solution de Exercice 65.10.

$0.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ par $0.1\,\mathrm{s}$ , c’est $1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ gagné par seconde — environ le dixième des $9.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ par seconde de la chute libre : une poussée douce à côté de celle de la Terre.

Exercice 65.11 ★★

Un parachutiste tombe de plus en plus vite — puis, voile ouverte, à $5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ constants. Lis les deux phases avec la phrase tranquille : qu’est-ce qui n’est pas compensé au début, et quelle égalité s’est formée à la fin ?

Solution

Solution de Exercice 65.11.

Première phase : le poids l’emporte sur la jeune résistance de l’air — force non compensée vers le bas, la vitesse croît. Voile ouverte : la traînée de l’air qui s’épanouit monte jusqu’à égaler exactement le poids — forces compensées, et la chute s’installe aux $5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ constants que promet la phrase.

Exercice 65.12 ★★★

Conçois le verdict complet du laboratoire sur une petite voiture lâchée d’une rampe puis roulant sur un tapis : l’enregistrement à prendre, les nombres à calculer, le diagnostic attendu en deux actes (quel acte sur la rampe, lequel sur le tapis) et la lecture de chaque acte par la phrase des forces.

Solution

Solution de Exercice 65.12.

Enregistrement : filmer le lâcher et parcourir les images toutes les $0.1\,\mathrm{s}$ (ou attacher la voiture à l’enregistreur à points) ; mesurer écart après écart, sur la rampe puis sur le tapis. Nombres : les vitesses d’intervalle, listées dans l’ordre. Verdict attendu : acte un, écarts croissants — accéléré sur la rampe (la part non compensée du poids le long de la pente) ; acte deux, écarts décroissants — ralenti sur le tapis (la force non compensée du frottement, vers l’arrière). Un seul jouet, les deux visages de la phrase tranquille.

65.5 Problème : le bureau des bandes

Problème 65.1

Problème du week-end — un après-midi au bureau d’analyse des mouvements ; quatre bandes, quatre verdicts ; la comptine de l’inspecteur

Le bureau analyse les enregistrements chronométrés pour les écoles, les clubs sportifs et les tribunaux. Les intervalles valent $0.1\,\mathrm{s}$ partout ; les écarts arrivent en centimètres. C’est toi qui tiens la règle.

Partie I — verdicts de routine.

Bande A (un marcheur de couloir) : $8.0$ , $8.0$ , $8.0$ , $8.0$ , $8.0$ . Verdict et vitesse — en $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ et en $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .
Bande B (le départ d’un sprinteur) : $2.0$ , $4.0$ , $6.0$ , $8.0$ , $10.0$ . Verdict, première et dernière vitesses, et la croissance de la vitesse par seconde.
Bande C (une bille roulante qui rencontre du sable) : $10.0$ , $7.0$ , $4.5$ , $2.5$ , $1.0$ . Verdict — et le récit que la phrase des forces fait du sable.
Bande D (un mystère) : $5.0$ , $5.0$ , $5.0$ , $7.5$ , $10.0$ . Raconte l’histoire en deux actes de D, et marque l’intervalle où quelque chose s’est produit.

Partie II — le pupitre de physique du bureau.

Un client soutient que son scooter de livraison « faisait $30\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ , monsieur l’agent, en moyenne ». Le radar a relevé $55\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ au carrefour. Explique au client pourquoi les deux nombres peuvent être vrais et lequel la loi lit.
Le sprinteur de la bande B gagne de la vitesse par paliers égaux. Quel mot unique le bureau appose-t-il sur un tel mouvement, et que suggère la régularité de cette croissance sur la force qui pousse ?
Le marcheur de couloir de la bande A, dit la phrase des forces, marche sous des forces compensées. Nomme cette compensation pour un marcheur régulier (qu’est-ce qui pousse, qu’est-ce qui résiste).
La bande de chute d’une pierre montre des vitesses d’intervalle de $0.98$ , $1.96$ , $2.94\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Vérifie la croissance par seconde et nomme le nombre qu’elle reproduit.

Partie III — l’affaire judiciaire. Une planche à roulettes a dévalé une rampe, traversé une cour d’école et fini dans un massif de fleurs ; le gardien accuse une « vitesse inconsidérée », le pratiquant affirme « je ralentissais depuis le début ». La caméra de la cour livre les écarts : sortie de rampe $12.0$ , puis $11.5$ , $11.0$ , $10.5$ , $10.0$ jusque dans le massif.

Verdict sur l’affirmation du pratiquant — avec les vitesses d’intervalle.
Vitesse de sortie et vitesse d’entrée dans le massif, en $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ : l’une des deux était-elle « inconsidérée » à côté des $15\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ d’un cycliste alerte ?
Le gardien demande pourquoi la planche ne s’est pas simplement arrêtée sur le plat, « comme font naturellement les choses ». La réponse du bureau, en une phrase de langage des forces.
Clos le dossier par la comptine de l’inspecteur — deux lignes : ce que signifient des écarts égaux, et ce qu’exigent des écarts qui changent (une cause, d’après la phrase tranquille).

Solution

Solution de Problème 65.1.

1. Uniforme ; $v = 0.08 \div 0.1 = 0.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 2.9\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ — une promenade. 2. Accéléré : de $0.02 \div 0.1 = 0.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ à $1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; gain de $0.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ par intervalle — $2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ par seconde. 3. Ralenti, et fortement. Le sable fournit une grande force non compensée vers l’arrière — un frottement profond — et les vitesses dégringolent : $1.0$ , $0.7$ , $0.45$ , $0.25$ , $0.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . 4. Trois intervalles de glissade uniforme à $0.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , puis une accélération — les écarts bondissant à $7.5$ puis $10.0\,\mathrm{cm}$ : entre le troisième et le quatrième intervalle, quelque chose s’est mis à pousser (une pente, une bourrade). L’événement siège à la fin du troisième écart. 5. Les deux peuvent être vrais : la moyenne mélange les attentes et la route sur tout le trajet ; le radar lit l’instant du carrefour. Le code de la route lit le radar — les limitations gouvernent la vitesse instantanée, et aucune moyenne débonnaire n’excuse un instant rapide. 6. Uniformément accéléré. Des paliers de vitesse égaux en des durées égales désignent une poussée résultante constante et invariable — cause constante, croissance constante. 7. La poussée vers l’avant du sol sur les chaussures du marcheur égale les traînées vers l’arrière de l’air et du sol sur le corps : compensées, d’où les $0.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ constants. 8. Croissance : $0.98\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ par intervalle de $0.1\,\mathrm{s}$ — $9.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ par seconde : le $g$ local, reproduit par la bande d’une pierre qui tombe. 9. L’affirmation tient : vitesses $1.2$ , $1.15$ , $1.10$ , $1.05$ , $1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — un ralentissement doux, du début à la fin. 10. Sortie $1.2 \times 3.6 = 4.3\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ; entrée $3.6\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ — l’une et l’autre bien en dessous de la référence du cycliste : imprudence acquittée ; la conduite, peut-être, est une autre affaire. 11. « Sur le plat, rien n’arrête une planche qui roule sinon un frottement non compensé vers l’arrière — les cours lisses en fournissent peu, si bien que la planche garde l’essentiel de son mouvement, exactement comme l’exige la loi des forces compensées. » 12. Par exemple : « Écarts égaux, allure tranquille — nulle force en trop ne trouble la file. Écarts qui changent, il faut une cause : une poussée non compensée, dit la clause. »

Termes définis dans ce chapitre

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