Física de secundaria · Grades 10–12

20Ondas mecánicas

Sábado por la tarde, un estadio lleno: una ondulación de espectadores que se ponen de pie recorre las gradas en menos de un minuto y, sin embargo, nadie abandona su asiento. El anillo de una piedra cruza el estanque mientras el corcho solo cabecea. Este capítulo estudia al viajero mismo — la onda — y los cuatro números que lo domestican: velocidad, retraso, periodo y longitud de onda — suficientes para leer un terremoto en una tira de papel.

20.1 La perturbación viaja, el medio se queda

Definición 20.1 (Onda mecánica)

Una onda mecánica es una perturbación que se propaga por un medio material — una cuerda, el agua, el aire, la roca — transportando energía sin transportar materia: cada trozo del medio oscila brevemente en su sitio, pasa el movimiento al siguiente y vuelve a su posición.

Ejemplo 20.2 (Sin transporte de materia)

En la ola del estadio, el “medio” es el público: lo que viaja es el acto de ponerse de pie, mientras cada espectador conserva su asiento. En el estanque, el anillo se ensancha, pero un corcho que flote solo cabecea en su sitio.

Definición 20.3 (Ondas transversales y longitudinales)

Una onda es transversal cuando el medio se mueve perpendicularmente a la propagación: una joroba corre a lo largo de una cuerda sacudida mientras cada punto solo sube y baja. Es longitudinal cuando el medio se mueve a lo largo de la propagación: una zona de espiras apretadas recorre un muelle empujado, mientras cada espira oscila en su sitio.

Transversal (cuerda): el medio se mueve perpendicularmente a la propagación. Longitudinal (muelle): viajan las compresiones y las espiras oscilan en su sitio.

Observación 20.4 (El sonido es longitudinal)

El sonido es la onda longitudinal por excelencia: el aire comprimido — a mayor presión (Capítulo 7) — viaja de la fuente al tímpano; el Capítulo 21 está dedicado a él. Los terremotos envían los dos tipos: las ondas P comprimen la roca y las ondas S la sacuden de lado.

20.2 Velocidad y retraso

Definición 20.5 (Velocidad de propagación)

La velocidad de propagación de una onda es la distancia recorrida por la perturbación dividida entre el tiempo empleado: $v = d/t$ . Es la velocidad de la forma que viaja, no la del medio.

Un pulso en una cuerda fotografiado dos veces: la cresta se ha desplazado 2.4\, m en 0.30\, s, luego v = 8.0\, m/ s — la forma viaja, la cuerda se queda. — Un pulso en una cuerda fotografiado dos veces: la cresta se ha desplazado $2.4\,\mathrm{m}$ en $0.30\,\mathrm{s}$ , luego $v = 8.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — la forma viaja, la cuerda se queda.

Proposición 20.6 (El medio fija la velocidad)

Para perturbaciones pequeñas, la velocidad de propagación depende únicamente del medio, no de la forma ni del tamaño de la perturbación. En una cuerda tensa, $v$ aumenta con la tensión y disminuye con la masa por metro: tensa y ligera es rápida; floja y pesada, lenta.

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

Observación 20.7 (Dónde vive la fórmula)

La fórmula exacta de la velocidad en una cuerda se deduce en el volumen del primer año; este año bastan los hechos experimentales anteriores.

Ejemplo 20.8 (Velocidades del sonido)

El sonido viaja a $340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ en el aire, a $1500\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ en el agua y a $5900\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ en el acero — cuanto más rígido, más rápido. De ahí la oreja sobre el raíl de las películas del oeste: el acero anuncia el tren antes.

Definición 20.9 (Retraso)

Una onda de velocidad $v$ alcanza un punto situado a la distancia $d$ tras el retraso $\tau = d/v$ : dos puntos separados una distancia $d$ repiten el mismo movimiento, y el más lejano se retrasa $\tau$ — la medida por ecos del Capítulo 8, leída al revés.

Proposición 20.10 (Superposición sin interacción)

Donde dos ondas se solapan, el desplazamiento del medio es en todo instante la suma de los desplazamientos que cada una causaría por separado; y tras cruzarse, cada onda continúa sin cambios — se deduce en el volumen del segundo año a partir de la linealidad de las ecuaciones del movimiento.

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

Ejemplo 20.11 (Pulsos que se cruzan)

Envía una joroba hacia arriba desde cada extremo de una cuerda: donde se encuentran, la cuerda se eleva brevemente hasta la suma de las dos alturas; después emergen dos jorobas intactas — como dos conversaciones que se cruzan y llegan cada una a su oyente.

20.3 Ondas periódicas: la doble periodicidad

Definición 20.12 (Onda periódica)

Cuando la fuente repite su movimiento con periodo $T$ y frecuencia $f = 1/T$ (Capítulo 8), alimenta el medio con una onda periódica: cada punto repite su propio movimiento con periodo $T$ , retrasado respecto de sus vecinos en el retraso de propagación.

Definición 20.13 (Longitud de onda)

Una instantánea de una onda periódica muestra un patrón que se repite en el espacio; su periodo espacial — de cresta a cresta — es la longitud de onda $\lambda$ , en metros. Una onda periódica es doblemente periódica: con periodo $T$ en el tiempo en cada punto, y con periodo $\lambda$ en el espacio en cada instante.

Teorema 20.14 (La relación de las ondas)

Una onda periódica de velocidad $v$ , periodo $T$ y frecuencia $f$ tiene longitud de onda $\lambda = v\,T = v/f$ .

Demostración. Durante un periodo, el patrón se desliza hacia adelante $v\,T$ ; pero para entonces la fuente — y con ella cada punto — ha vuelto a su estado inicial, así que el patrón desplazado coincide con el original: la distancia de repetición es $v\,T$ . ∎

La misma sinusoide dos veces: la instantánea se repite cada en el espacio y la señal de un punto, cada T en el tiempo; = v\,T. — La misma sinusoide dos veces: la instantánea se repite cada $\lambda$ en el espacio y la señal de un punto, cada $T$ en el tiempo; $\lambda = v\,T$ .

Observación 20.15 (La frecuencia es de la fuente)

Al pasar de un medio a otro — el sonido del aire al agua — una onda conserva su frecuencia, que dicta la fuente, mientras cambia su velocidad; y por $\lambda = v/f$ , la longitud de onda cambia con ella.

Ejemplo 20.16 (El la de $440\,\mathrm{Hz}$ , en el aire y bajo el agua)

El la de $440\,\mathrm{Hz}$ del Capítulo 8 tiene una longitud de onda de $340/440 = 0.77\,\mathrm{m}$ en el aire y de $1500/440 = 3.4\,\mathrm{m}$ en el agua: la misma nota, estirada por el medio más rápido.

Definición 20.17 (En fase, en oposición de fase)

Dos puntos separados por un número entero de longitudes de onda, $d = k\lambda$ , se mueven de forma idéntica en todo instante: están en fase. Los puntos separados por $d = (k + \tfrac12)\lambda$ se mueven siempre en sentidos opuestos — cresta contra valle: están en oposición de fase.

Método 20.18 (Leer la doble periodicidad)

En un registro $y(t)$ tomado en un punto fijo, se lee $T$ de cresta a cresta; $f = 1/T$ .
En una instantánea $y(x)$ tomada en un instante fijo, se lee $\lambda$ de cresta a cresta.
Se deduce $v = \lambda/T = \lambda f$ ; y se comprueba con una medida directa $v = d/\tau$ cuando se disponga de ella.
Nunca hay que confundir las dos gráficas: un eje lleva segundos y el otro, metros.

20.4 Frentes de onda y atenuación

Definición 20.19 (Frente de onda)

Un frente de onda es una línea (o una superficie) de puntos a los que la onda llega en el mismo instante — una línea de cresta en el estanque. De una fuente puntual salen frentes de onda circulares que se ensanchan; lejos de cualquier fuente son casi rectos. La onda se propaga perpendicularmente a sus frentes, con las crestas sucesivas separadas $\lambda$ .

Definición 20.20 (Atenuación)

La disminución de la amplitud de una onda a medida que se propaga es su atenuación. Se suman dos causas: la energía de un frente circular se reparte sobre una cresta cada vez más larga, y el medio absorbe un poco al pasar. Los frentes rectos escapan de la primera causa — y por eso el oleaje de una tormenta lejana puede cruzar un océano.

Frentes de onda circulares, separados una longitud de onda, que se apagan al repartirse la energía sobre crestas más largas; los frentes rectos (a la derecha) se apagan despacio.

20.5 Ejercicios

Ejercicio 20.1 ★

Una ola de estadio recorre el anillo de $320\,\mathrm{m}$ de las gradas en $40\,\mathrm{s}$ . (a) Calcula su velocidad. (b) ¿Recorre algún espectador el anillo entero? ¿Qué lo recorre? (c) Cada espectador se levanta $1.5\,\mathrm{s}$ después que su vecino situado a $12\,\mathrm{m}$ : comprueba la coherencia.

Solución

Solución de Ejercicio 20.1.

(a) $v = 320/40 = 8.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (b) Ningún espectador recorre el anillo: lo que viaja es la perturbación (el acto de ponerse de pie), no el público. (c) $12/1.5 = 8.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — coherente.

Ejercicio 20.2 ★

¿Transversal o longitudinal? (a) un pulso en una cuerda sacudida arriba y abajo; (b) una compresión enviada a lo largo de un muelle; (c) el sonido en el aire; (d) una ondulación en un estanque (la superficie cabecea en vertical y el anillo viaja en horizontal); (e) las ondas sísmicas P (que comprimen en el sentido de la marcha) y las S (que sacuden de lado).

Solución

Solución de Ejercicio 20.2.

(a) transversal; (b) longitudinal; (c) longitudinal; (d) transversal; (e) P longitudinal, S transversal.

Ejercicio 20.3 ★

El trueno te llega $4.0\,\mathrm{s}$ después del destello. (a) ¿A qué distancia cayó el rayo ( $v = 340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ )? (b) Un buceador nota ese mismo retraso entre un destello y un estruendo submarino ( $v = 1500\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ): ¿a qué distancia está esa fuente? (c) ¿Qué hay que saber antes de convertir un retraso en una distancia?

Solución

Solución de Ejercicio 20.3.

(a) $d = 340 \times 4.0 \approx 1.4\,\mathrm{km}$ . (b) $1500 \times 4.0 = 6.0\,\mathrm{km}$ . (c) La velocidad de propagación en el medio atravesado.

Ejercicio 20.4 ★

Calcula la longitud de onda de un sonido de $440\,\mathrm{Hz}$ en el aire y en el agua. Cuando el sonido pasa del aire al agua, ¿cuáles de $f$ , $v$ y $\lambda$ cambian y cuál se mantiene fija?

Solución

Solución de Ejercicio 20.4.

$\lambda = v/f$ : $340/440 = 0.77\,\mathrm{m}$ en el aire y $1500/440 = 3.4\,\mathrm{m}$ en el agua. La frecuencia se mantiene fija (la dicta la fuente); $v$ y $\lambda$ cambian las dos.

Ejercicio 20.5 ★

En un estanque, las crestas contiguas de las ondulaciones distan $12\,\mathrm{cm}$ y los anillos avanzan a $0.30\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Halla la longitud de onda, el periodo y la frecuencia de la onda.

Solución

Solución de Ejercicio 20.5.

$\lambda = 12\,\mathrm{cm}$ ; $T = \lambda/v = 0.12/0.30 = 0.40\,\mathrm{s}$ ; $f = 1/T = 2.5\,\mathrm{Hz}$ .

Ejercicio 20.6 ★★

Un pulso en una cuerda larga se fotografía dos veces, con $0.30\,\mathrm{s}$ de diferencia: su cresta está en $x = 1.0\,\mathrm{m}$ y después en $3.4\,\mathrm{m}$ . (a) ¿La velocidad? (b) ¿Cuándo llega el pulso a la pared situada en $x = 7.0\,\mathrm{m}$ ? (c) Una cinta atada en $x = 5.0\,\mathrm{m}$ : ¿cómo se mueve al pasar el pulso?

Solución

Solución de Ejercicio 20.6.

(a) $v = 2.4/0.30 = 8.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (b) Desde la primera foto le quedan $6.0\,\mathrm{m}$ a la cresta: $t = 6.0/8.0 = 0.75\,\mathrm{s}$ después de ella. (c) La cinta sube y después baja, en dirección puramente transversal, y se queda en $x = 5.0\,\mathrm{m}$ : la cuerda no viaja.

Ejercicio 20.7 ★★

Dos pulsos hacia arriba, de $3.0\,\mathrm{cm}$ y $2.0\,\mathrm{cm}$ de altura, viajan uno hacia el otro a $2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ cada uno, con las crestas separadas $4.0\,\mathrm{m}$ . (a) ¿Cuándo coinciden las crestas? (b) ¿Cuál es entonces la altura máxima de la cuerda? (c) Lo mismo si el pulso pequeño va hacia abajo. (d) ¿Y la cuerda justo después?

Solución

Solución de Ejercicio 20.7.

(a) Velocidad de acercamiento $4.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ y separación $4.0\,\mathrm{m}$ : $t = 1.0\,\mathrm{s}$ . (b) Superposición: $3.0 + 2.0 = 5.0\,\mathrm{cm}$ . (c) $3.0 - 2.0 = 1.0\,\mathrm{cm}$ . (d) Salen dos pulsos intactos que continúan sin cambios, como si no se hubieran encontrado nunca.

Ejercicio 20.8 ★★

(a) Dos cuerdas de tender tienen la misma tensión; se envía un pulso por cada una. ¿Cuál es más rápida, la fina o la gruesa? ¿Por qué? (b) Un guitarrista tensa una cuerda: ¿qué le ocurre a la velocidad de la onda? (c) ¿Sacudirla con el doble de fuerza (un pulso más alto) hace que el pulso viaje más deprisa?

Solución

Solución de Ejercicio 20.8.

(a) La fina: con la misma tensión, menos masa por metro significa una onda más rápida. (b) Aumenta (más tensión). (c) No: la velocidad depende únicamente del medio, no del tamaño del pulso.

Ejercicio 20.9 ★★

Un operario golpea un raíl a $1.8\,\mathrm{km}$ ; tú escuchas con una oreja pegada al acero. Calcula los tiempos de llegada por el raíl ( $5900\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ) y por el aire ( $340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ), y el intervalo entre los dos golpes.

Solución

Solución de Ejercicio 20.9.

Raíl: $1800/5900 \approx 0.31\,\mathrm{s}$ ; aire: $1800/340 \approx 5.3\,\mathrm{s}$ ; intervalo $\approx 5.0\,\mathrm{s}$ .

Ejercicio 20.10 ★★

Una cuerda lleva una onda periódica de longitud de onda $24\,\mathrm{cm}$ . ¿En fase, en oposición de fase o ninguna de las dos cosas, para separaciones entre puntos de (a) $48\,\mathrm{cm}$ ; (b) $12\,\mathrm{cm}$ ; (c) $36\,\mathrm{cm}$ ; (d) $30\,\mathrm{cm}$ ; (e) $6.0\,\mathrm{cm}$ ?

Solución

Solución de Ejercicio 20.10.

Con $\lambda = 24\,\mathrm{cm}$ : (a) $2\lambda$ , en fase; (b) $\lambda/2$ , oposición; (c) $\tfrac32\lambda$ , oposición; (d) $1.25\lambda$ , ninguna; (e) $\lambda/4$ , ninguna.

Ejercicio 20.11 ★★

Un terremoto envía ondas P a $6.0\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ y ondas S a $3.5\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ , las dos de periodo $2.0\,\mathrm{s}$ . Calcula las dos longitudes de onda, compáralas con un edificio y explica por qué un barrio entero sube y baja casi a la vez.

Solución

Solución de Ejercicio 20.11.

$\lambda_P = 6.0 \times 2.0 = 12\,\mathrm{km}$ ; $\lambda_S = 3.5 \times 2.0 = 7.0\,\mathrm{km}$ — cientos de veces el tamaño de un edificio. Los puntos mucho más próximos que $\lambda$ están casi en fase, así que el barrio entero se mueve a la vez.

Ejercicio 20.12 ★★★

Un registro de la altura del agua en una boya muestra crestas cada $0.50\,\mathrm{s}$ ; una fotografía aérea muestra crestas separadas $0.75\,\mathrm{m}$ . (a) Halla $T$ y $f$ . (b) Halla $\lambda$ . (c) Deduce la velocidad. (d) La boya monta una cresta en $t = 0$ : ¿cuándo la siguiente? (e) ¿Está un punto situado a $1.875\,\mathrm{m}$ en fase con la boya, en oposición de fase o ninguna de las dos cosas?

Solución

Solución de Ejercicio 20.12.

(a) $T = 0.50\,\mathrm{s}$ , $f = 2.0\,\mathrm{Hz}$ . (b) $\lambda = 0.75\,\mathrm{m}$ . (c) $v = \lambda/T = 0.75/0.50 = 1.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (d) En $t = T = 0.50\,\mathrm{s}$ . (e) $1.875/0.75 = 2.5$ longitudes de onda $= (2 + \tfrac12)\lambda$ : oposición de fase.

Ejercicio 20.13 ★★★

Una boya fondeada completa $10$ oscilaciones enteras en $80\,\mathrm{s}$ sobre un oleaje regular cuyas crestas distan $120\,\mathrm{m}$ . (a) Halla el periodo y la frecuencia. (b) Halla la velocidad del oleaje, en $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ y en $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . (c) ¿Cuánto tarda en llegar a la playa, situada a $900\,\mathrm{m}$ , una cresta que ahora está en la boya? (d) ¿Deriva la boya con ella hasta la orilla?

Solución

Solución de Ejercicio 20.13.

(a) $T = 80/10 = 8.0\,\mathrm{s}$ , $f = 0.125\,\mathrm{Hz}$ . (b) $v = \lambda/T = 120/8.0 = 15\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 54\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . (c) $t = 900/15 = 60\,\mathrm{s}$ . (d) No: las ondas no transportan materia — la boya fondeada solo cabecea.

Ejercicio 20.14 ★★★

Dos pulsos idénticos, uno hacia arriba y otro hacia abajo, viajan uno hacia el otro a $3.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ cada uno, con los centros separados $6.0\,\mathrm{m}$ . (a) ¿Cuándo coinciden sus centros y qué aspecto tiene entonces la cuerda? (b) ¿Está entonces la cuerda en reposo? ¿Adónde ha ido la energía? (c) ¿Qué ocurre después? (d) ¿Por qué “plana por un instante” no significa “ahí no hay nada”?

Solución

Solución de Ejercicio 20.14.

(a) Se acercan a $6.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ a lo largo de $6.0\,\mathrm{m}$ : $t = 1.0\,\mathrm{s}$ ; los desplazamientos opuestos se cancelan — la cuerda queda plana por un instante. (b) No: sus puntos se están moviendo (las velocidades transversales se suman, no se cancelan); toda la energía es cinética. (c) Los dos pulsos reaparecen y continúan sin cambios. (d) La cuerda plana lleva velocidad y, por tanto, energía: la onda está guardada por un instante en el movimiento, no en la forma.

Ejercicio 20.15 ★★★

La ondulación de una piedra se extiende por un estanque en calma. (a) Calcula la longitud de la cresta a $r = 0.50\,\mathrm{m}$ y a $r = 8.0\,\mathrm{m}$ ; ¿factor de crecimiento? (b) La energía de la cresta se conserva aproximadamente: ¿qué le ocurre a la energía por metro y a la amplitud? (c) ¿Por qué se atenúa mucho menos un oleaje de frente recto? (d) ¿Y la ola del estadio, nada en absoluto?

Solución

Solución de Ejercicio 20.15.

(a) $2\pi r$ : $3.1\,\mathrm{m}$ y $50\,\mathrm{m}$ — $\times 16$ . (b) La energía por metro cae en un factor $16$ , así que la amplitud baja (la energía crece con la amplitud). (c) Los frentes rectos no se alargan: solo queda la absorción. (d) El medio es activo: cada espectador se levanta con la energía de sus propios músculos y realimenta la onda.

20.6 Problema: leer un sismograma

Problema 20.1

Problema de fin de semana — leer un sismograma: dos ondas salen disparadas de una falla rota, tres circunferencias fijan el epicentro y una tercera onda lenta le da su aviso a una costa

Turno de noche en un observatorio sismológico. A las 09:14:32 la aguja de la estación A da un salto: temblores rápidos y agudos y, después, oscilaciones más lentas y anchas. Un terremoto ha roto roca en alguna parte; dos ondas salen disparadas por la corteza: las ondas P, compresiones a $v_P = 6.0\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ , y las ondas S, una sacudida lateral a $v_S = 3.5\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ .

Parte I — Dos ondas, un reloj.

Con las descripciones anteriores, clasifica las ondas P y S como transversales o longitudinales.
¿Qué onda llega primero a todas las estaciones? Calcula los tiempos de viaje de las dos a lo largo de $d = 120\,\mathrm{km}$ .
Demuestra que el intervalo entre las llegadas P y S vale $\Delta t = d\,(1/v_S - 1/v_P)$ y calcúlalo para $d = 120\,\mathrm{km}$ .
Deduce la regla de medida del sismólogo $d = \dfrac{v_P\,v_S}{v_P - v_S}\,\Delta t$ y demuestra que el coeficiente vale unos $8.4\,\mathrm{km}$ por segundo de intervalo.
¿Por qué crece el intervalo con la distancia — y por qué es eso un regalo para una estación que nunca vio empezar el terremoto?

Parte II — Circunferencias sobre el mapa.

La estación A mide $\Delta t_A = 25\,\mathrm{s}$ . ¿A qué distancia está el epicentro de A?
Explica por qué esta única lectura sitúa el epicentro sobre una circunferencia y no en un punto.
Las estaciones B y C miden $\Delta t_B = 15\,\mathrm{s}$ y $\Delta t_C = 32\,\mathrm{s}$ : ¿sus distancias al epicentro?
Explica cómo las tres circunferencias juntas fijan el epicentro.
La onda P llegó a A a las 09:14:32. Calcula su tiempo de viaje desde el epicentro y la hora de origen del terremoto.

Parte III — La onda que cruza el océano. Las tres circunferencias se cortan mar adentro: la falla se rompió bajo el fondo marino y puso en movimiento la columna de agua. Las ondas largas en aguas profundas viajan a una velocidad que fija la profundidad — unos $200\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ en mar abierto y unos $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ junto a una playa (admitido aquí; la fórmula se deduce en el volumen del primer año). Un puerto está a $D = 600\,\mathrm{km}$ del epicentro.

Convierte $200\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ a $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ y nombra un vehículo con una velocidad de crucero comparable.
¿Cuánto tarda el tsunami en llegar al puerto?
El sismómetro del propio puerto nota antes la onda P. ¿Al cabo de cuánto? Si la alarma suena en ese instante, ¿de cuánto tiempo de aviso dispone la costa antes del tsunami?
En mar abierto, el periodo del tsunami es de unos $15\,\mathrm{min}$ . Calcula allí su longitud de onda y explica por qué un barco no lo nota.
Al acercarse a la playa, la velocidad cae a $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ mientras el periodo se mantiene fijo. Calcula la nueva longitud de onda. ¿Qué tiene que pasarle a la onda al apretujarse?

Parte IV — La energía y el informe. Un terremoto fuerte libera del orden de $1 \times 10^{15}\,\mathrm{J}$ , que se llevan las ondas.

Calcula la longitud de un frente de onda circular a $10\,\mathrm{km}$ del epicentro y después a $210\,\mathrm{km}$ ; ¿en qué factor ha crecido?
Deduce por qué la sacudida se debilita con la distancia incluso en una corteza sin pérdidas — y nombra la segunda causa que añade una corteza real.
Un líquido no puede resistir la cizalla. Las estaciones del otro lado del planeta registran la onda P pero no la S: ¿qué revela eso sobre el núcleo de la Tierra?
El tren de alta velocidad del capítulo de energía del año anterior (Capítulo 18) lleva unos $1.5 \times 10^{9}\,\mathrm{J}$ de energía cinética: ¿a cuántos trenes así equivalen $1 \times 10^{15}\,\mathrm{J}$ ?
El informe, en dos frases: dónde y cuándo fue el terremoto y de cuánto aviso dispuso el puerto. Da los tres números.

Solución

Solución de Problema 20.1.

1. Las P comprimen en el sentido de la marcha: longitudinales; las S sacuden de lado: transversales.

2. La P, más rápida, llega antes a todas partes. $t_P = 120/6.0 = 20\,\mathrm{s}$ ; $t_S = 120/3.5 \approx 34\,\mathrm{s}$ .

3. $\Delta t = d/v_S - d/v_P = d\,(1/v_S - 1/v_P)$ ; para $120\,\mathrm{km}$ : $34.3 - 20 \approx 14\,\mathrm{s}$ .

4. Despejando $d$ : $d = \dfrac{v_P v_S}{v_P - v_S}\,\Delta t = \dfrac{6.0 \times 3.5}{2.5}\,\Delta t = 8.4\,\mathrm{km}$ por segundo de intervalo.

5. $\Delta t \propto d$ : el registro de una sola estación da su distancia al epicentro sin conocer la hora de origen.

6. $d_A = 8.4 \times 25 = 2.1 \times 10^{2}\,\mathrm{km}$ .

7. El intervalo da una distancia, no una dirección: el epicentro está en algún punto de la circunferencia de radio $d_A$ centrada en A.

8. $d_B = 8.4 \times 15 = 1.3 \times 10^{2}\,\mathrm{km}$ ; $d_C = 8.4 \times 32 \approx 2.7 \times 10^{2}\,\mathrm{km}$ .

9. Dos circunferencias se cortan en dos puntos; la tercera selecciona uno: la intersección común es el epicentro.

10. $t_P = 210/6.0 = 35\,\mathrm{s}$ : el terremoto empezó a las $09{:}14{:}32 - 35\,\mathrm{s} = 09{:}13{:}57$ .

11. $200\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 720\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ — un avión de línea en crucero.

12. $t = 6.0 \times 10^{5}/200 = 3.0 \times 10^{3}\,\mathrm{s} = 50\,\mathrm{min}$ .

13. $t_P = 600/6.0 = 100\,\mathrm{s}$ . Aviso: $3000 - 100 = 2.9 \times 10^{3}\,\mathrm{s} \approx 48\,\mathrm{min}$ .

14. $\lambda = vT = 200 \times 900 = 1.8 \times 10^{5}\,\mathrm{m} = 180\,\mathrm{km}$ : un metro escaso de subida repartido en $180\,\mathrm{km}$ — el barco asciende una pendiente imperceptible a lo largo de varios minutos.

15. $\lambda = 10 \times 900 = 9.0\,\mathrm{km}$ : la onda se apretuja veinte veces, su energía se amontona en una longitud más corta y, por tanto, su altura tiene que crecer — el tsunami se encabrita al llegar a la orilla.

16. $2\pi r$ : $63\,\mathrm{km}$ y después $\approx 1.3 \times 10^{3}\,\mathrm{km}$ — $\times 21$ .

17. La misma energía se reparte sobre un frente $21$ veces más largo, así que la amplitud baja incluso en una corteza sin pérdidas; una corteza real añade la absorción.

18. Las ondas S, cizalla transversal, no pueden atravesar un líquido: la sombra de las ondas S demuestra que el núcleo (externo) es líquido.

19. $1 \times 10^{15}/1.5 \times 10^{9} \approx 6.7 \times 10^{5}$ : unos setecientos mil trenes a toda velocidad.

20. El terremoto ocurrió a las $09{:}13{:}57$ , mar adentro en el cruce de las tres circunferencias, a $210\,\mathrm{km}$ de la estación A. La alarma de la onda P del puerto sonó $100\,\mathrm{s}$ después del origen, unos $48\,\mathrm{min}$ antes de que llegase el tsunami.