Physics · Libro 2 · Grades 10–12

Física de secundaria

Física de secundaria · Grades 10–12

33Energía nuclear: fisión, fusión, E=mc2

Una pastilla de combustible del tamaño de la goma de un lápiz cubre la electricidad de un hogar durante un año; el mismo servicio con carbón exige tres toneladas. Sobre nuestras cabezas, el Sol paga la luz del día desapareciendo — cuatro millones de toneladas de sí mismo por segundo. Este capítulo abre el libro de cuentas que hay detrás de ambas gangas: la propia masa es energía, y los núcleos (Capítulo 19) son donde se cobra.

33.1 La masa es energía

Teorema 33.1 (Equivalencia masa–energía)

Un cuerpo de masa mm, por el mero hecho de existir, alberga la energía

E=mc2,c=3.00×108 m/s.E = m c^2, \qquad c = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}.

Siempre que un sistema pierde una masa Δm\Delta m, libera la energía Δm c2\Delta m\, c^2 — sea cual sea el mecanismo.

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

Observación 33.2 (Einstein, 1905)

Esta es la relación de Einstein, admitida aquí; de dónde sale es asunto del capítulo de relatividad especial que cierra el curso (Capítulo 35). Fíjate en la tarifa: c2=9.00×1016 J/kgc^2 = 9.00 \times 10^{16}\,\mathrm{J}/\mathrm{kg} — un error de redondeo de masa es una fortuna de energía.

Definición 33.3 (Electronvoltio y unidad de masa atómica)

Dos unidades hechas a la medida del núcleo. El electronvoltio, la energía que gana un electrón al atravesar 1 V1\,\mathrm{V} (Capítulo 12): 1 eV=1.60×10−19 J1\,\mathrm{eV} = 1.60 \times 10^{-19}\,\mathrm{J}, 1 MeV=1.60×10−13 J1\,\mathrm{MeV} = 1.60 \times 10^{-13}\,\mathrm{J} — los enlaces químicos manejan unos pocos eV\mathrm{eV}, y las reacciones nucleares, megaelectronvoltios. Y la unidad de masa atómica unificada, la doceava parte de la masa de un átomo de carbono-12: 1 u=1.660 54×10−27 kg1\,\mathrm{u} = 1.660\,54 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}, de energía equivalente 931.5 MeV931.5\,\mathrm{MeV} — 1 u=931.5 MeV/c21\,\mathrm{u} = 931.5\,\mathrm{MeV}/c^2.

Ejemplo 33.4 (La fortuna dormida)

Un kilogramo de cualquier cosa, convertido por completo, son 9.00×1016 J9.00 \times 10^{16}\,\mathrm{J} — tres años de producción de una central grande (de 1 GW1\,\mathrm{GW}). Nadie se dio cuenta antes de 1905 porque la física ordinaria apenas toca la masa: quemar un kilogramo de carbón (3.0×107 J3.0 \times 10^{7}\,\mathrm{J}) lo aligera en un tercio de microgramo. Los núcleos, ya lo veremos, mueven una parte de cada mil: sigue siendo poco, pero es un millón de veces la química.

33.2 El defecto de masa

Definición 33.5 (Defecto de masa y energía de enlace)

Pesa un núcleo ZAX{}^{A}_{Z}\mathrm{X} (de masa mm) y pesa después por separado sus ZZ protones y sus A−ZA - Z neutrones: las partes son más pesadas que el todo. La diferencia

Δm=Z mp+(A−Z) mn−m>0,mp=1.007 28 u,  mn=1.008 66 u,\Delta m = Z\,m_p + (A - Z)\,m_n - m > 0, \qquad m_p = 1.007\,28\,\mathrm{u},\; m_n = 1.008\,66\,\mathrm{u},

es el defecto de masa; la energía de enlace Eb=Δm c2E_b = \Delta m\,c^2 es la energía necesaria para descomponer el núcleo en nucleones libres — e igualmente, la energía liberada cuando se ensambla. Un núcleo ligado se sitúa por debajo de sus partes.

Una escalera de energías: el núcleo ligado está E_b por debajo de sus nucleones separados — ensamblarlo libera E_b y desmontarlo cuesta otro tanto.
Una escalera de energías: el núcleo ligado está EbE_b por debajo de sus nucleones separados — ensamblarlo libera EbE_b y desmontarlo cuesta otro tanto.

Ejemplo 33.6 (Helio-4)

El núcleo 24He{}^{4}_{2}\mathrm{He} tiene m=4.001 51 um = 4.001\,51\,\mathrm{u}; sus partes: 2×1.00728+2×1.00866=4.031 88 u2 \times 1.00728 + 2 \times 1.00866 = 4.031\,88\,\mathrm{u}. Así, Δm=0.030 37 u\Delta m = 0.030\,37\,\mathrm{u} y Eb=0.03037×931.5≈28.3 MeVE_b = 0.03037 \times 931.5 \approx 28.3\,\mathrm{MeV}: el núcleo pesa un 0.75 %0.75\,\% menos que sus partes — la “parte de cada mil” del Ejemplo 33.4.

Método 33.7 (Balance energético de una reacción nuclear)

  1. Ajusta la ecuación: AA y ZZ totales se conservan (Capítulo 19).
  2. Suma las masas de antes y después, en u\mathrm{u} — conserva las cinco cifras decimales.
  3. Δm=mantes−mdespueˊs\Delta m = m_{\text{antes}} - m_{\text{después}}, y después E=Δm (en u)×931.5 MeVE = \Delta m\,(\text{en u}) \times 931.5\,\mathrm{MeV}, que se llevan los productos como energía cinética; si sale negativa, la reacción hay que pagarla.

33.3 La curva que gobierna el universo

Definición 33.8 (Energía de enlace por nucleón)

La cohesión se compara con equidad mediante la energía de enlace por nucleón, Eb/AE_b/A, el coste medio de extraer un nucleón: 28.3/4≈7.1 MeV28.3/4 \approx 7.1\,\mathrm{MeV} para el helio-4.

Proposición 33.9 (El pico del hierro y dos caminos de bajada)

Representada frente a AA, la energía de enlace por nucleón trepa con fuerza a lo largo de los núcleos ligeros, alcanza su máximo cerca del hierro, 2656Fe{}^{56}_{26}\mathrm{Fe}, en unos 8.8 MeV8.8\,\mathrm{MeV} por nucleón, y después desciende suavemente hasta unos 7.6 MeV7.6\,\mathrm{MeV} en el uranio: el hierro es el núcleo más fuertemente ligado de la naturaleza. Una reacción libera energía exactamente cuando sus productos quedan más arriba en la curva; por eso dos estrategias opuestas salen ambas rentables, y ambas caminan hacia el hierro — partir los núcleos más pesados y fusionar los más ligeros.

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

Observación 33.10 (Por qué hay un pico)

El tira y afloja del Capítulo 13: el pegamento fuerte solo liga a los vecinos que se tocan, mientras que la repulsión de Coulomb abarca el núcleo entero — los núcleos pequeños son casi todo superficie, los grandes casi toda repulsión, y el hierro es el compromiso. La contabilidad honrada vive en los volúmenes universitarios.

Energía de enlace por nucleón: subida empinada, pico del hierro, largo descenso — la fusión trepa desde la izquierda y la fisión desde la derecha, y ambas liberan energía.
Energía de enlace por nucleón: subida empinada, pico del hierro, largo descenso — la fusión trepa desde la izquierda y la fisión desde la derecha, y ambas liberan energía.

33.4 La fisión y la reacción en cadena

Definición 33.11 (Fisión)

La fisión es la partición de un núcleo pesado en dos fragmentos de tamaño medio. El uranio-235 es fisible: un neutrón lento, absorbido, deja el núcleo tan agitado que se parte en dos y escupe dos o tres neutrones nuevos — 01n+92235U→dos fragmentos+2–3  01n{}^{1}_{0}\mathrm{n} + {}^{235}_{92}\mathrm{U} \to \text{dos fragmentos} + 2\text{--}3\;{}^{1}_{0}\mathrm{n}, con la pareja variando de una fisión a otra.

Ejemplo 33.12 (Una fisión, pesada)

Una vía frecuente, siguiendo el Método 33.7:

01n+92235U⟶3894Sr+54140Xe+2 01n.{}^{1}_{0}\mathrm{n} + {}^{235}_{92}\mathrm{U} \longrightarrow {}^{94}_{38}\mathrm{Sr} + {}^{140}_{54}\mathrm{Xe} + 2\,{}^{1}_{0}\mathrm{n}.

Antes: 1.00866+234.99350=236.002 16 u1.00866 + 234.99350 = 236.002\,16\,\mathrm{u}. Después: 93.89450+139.89200+2×1.00866=235.803 82 u93.89450 + 139.89200 + 2 \times 1.00866 = 235.803\,82\,\mathrm{u}. De ahí, Δm=0.198 34 u\Delta m = 0.198\,34\,\mathrm{u} y E≈185 MeVE \approx 185\,\mathrm{MeV}; contando las desintegraciones posteriores de los fragmentos radiactivos (Capítulo 32), cada fisión vale unos 200 MeV200\,\mathrm{MeV} — unos pocos eV\mathrm{eV} compran un átomo de carbón.

Definición 33.13 (Reacción en cadena y masa crítica)

Cada fisión la enciende un neutrón y libera dos o tres: en un bloque suficientemente grande golpean otros núcleos y la reacción se alimenta sola — una reacción en cadena. En un bloque pequeño, la mayoría de los neutrones se escapa antes por la superficie; la cantidad mínima que sostiene la cadena es la masa crítica — por debajo de ella la cadena se apaga y por encima cada generación se multiplica: el principio de la bomba.

Una reacción en cadena: un neutrón parte un núcleo y los tres neutrones liberados parten otros tres — un reactor deja que siga exactamente uno.
Una reacción en cadena: un neutrón parte un núcleo y los tres neutrones liberados parten otros tres — un reactor deja que siga exactamente uno.

Definición 33.14 (El reactor, domado)

Un reactor de potencia mantiene la cadena en exactamente un neutrón por fisión. El combustible: pastillas de uranio modestamente enriquecidas en uranio-235. El moderador (agua corriente, por lo general) frena por choques los neutrones rápidos de fisión — los neutrones lentos son mucho mejores para provocar la fisión siguiente; las barras de control (boro, cadmio) devoran neutrones — introducidas, la cadena muere; extraídas, se aviva. La agitación de los fragmentos se convierte en calor, después en vapor y después en electricidad (Capítulo 9).

Ejemplo 33.15 (Un grano de pimienta contra un camión)

Un gramo de uranio-235 alberga N=1.0×10−3/(235×1.660 54×10−27)≈2.56×1021N = 1.0 \times 10^{-3} / (235 \times 1.660\,54 \times 10^{-27}) \approx 2.56 \times 10^{21} núcleos; a 200 MeV=3.2×10−11 J200\,\mathrm{MeV} = 3.2 \times 10^{-11}\,\mathrm{J} cada uno, fisionarlos todos rinde unos 8.2×1010 J8.2 \times 10^{10}\,\mathrm{J} — la energía química de 8.2×1010/3.0×107≈2.7×103 kg8.2 \times 10^{10} / 3.0 \times 10^{7} \approx 2.7 \times 10^{3}\,\mathrm{kg} de carbón: un grano de pimienta contra tres toneladas.

33.5 La fusión: el fuego propio del Sol

Definición 33.16 (Fusión)

La fusión es la unión de dos núcleos ligeros en otro más pesado y más fuertemente ligado. La reacción más accesible casa el deuterio con el tritio, los isótopos pesados del hidrógeno (Capítulo 19):

12H+13H⟶24He+01n.{}^{2}_{1}\mathrm{H} + {}^{3}_{1}\mathrm{H} \longrightarrow {}^{4}_{2}\mathrm{He} + {}^{1}_{0}\mathrm{n}.

Ejemplo 33.17 (D–T, pesada)

Antes: 2.01355+3.01550=5.029 05 u2.01355 + 3.01550 = 5.029\,05\,\mathrm{u}; después: 4.00151+1.00866=5.010 17 u4.00151 + 1.00866 = 5.010\,17\,\mathrm{u}; luego Δm=0.018 88 u\Delta m = 0.018\,88\,\mathrm{u} y E≈17.6 MeVE \approx 17.6\,\mathrm{MeV}, cuatro quintas partes de ella sobre el neutrón — menos que una fisión, pero a partir de cinco nucleones en lugar de 236236: unos 3.4×1014 J3.4 \times 10^{14}\,\mathrm{J} por kilogramo de combustible, cuatro veces la fisión. El helio-4 (Ejemplo 33.6) vuelve a ser la ceniza.

Definición 33.18 (La barrera de Coulomb)

Dos núcleos son ambos positivos: para tocarse tienen que trepar antes la colina de su repulsión eléctrica (Capítulo 14) — la barrera de Coulomb. Solo cerca de 1×108 K1 \times 10^{8}\,\mathrm{K} llevan los choques la energía necesaria para cruzarla; el combustible es entonces un plasma de núcleos desnudos y electrones. La fisión no paga ese peaje: su detonante, el neutrón, es neutro y funciona en frío.

Ejemplo 33.19 (El Sol funciona con ella)

El núcleo del Sol, a 1.5×107 K1.5 \times 10^{7}\,\mathrm{K}, fusiona hidrógeno corriente paso a paso — la cadena protón–protón, de efecto neto 4 11H→24He+2 +10e+radiacioˊn4\,{}^{1}_{1}\mathrm{H} \to {}^{4}_{2}\mathrm{He} + 2\,{}^{0}_{+1}\mathrm{e} + \text{radiación}, unos 26 MeV26\,\mathrm{MeV} por cada helio: el 0.7 %0.7\,\% de la masa del hidrógeno se marcha como energía. La luz del Sol cuyo espectro leímos en el Capítulo 2 es esa masa, llegando con ocho minutos de retraso; toda estrella brilla recorriendo la curva hacia el hierro.

Observación 33.20 (ITER: embotellar una estrella)

Ningún sólido puede contener un plasma a 1.5×108 K1.5 \times 10^{8}\,\mathrm{K}; un tokamak lo enjaula en un campo magnético (Capítulo 15), un donut de líneas de campo a lo largo de las cuales las partículas cargadas van en espiral sin tocar la pared; ITER, construido para liberar diez veces la potencia con que se calienta, es el paso actual. Rompe el confinamiento y el plasma se enfría y se para en segundos: sin reacción en cadena y sin masa crítica — lo difícil no es apagar el fuego, sino mantenerlo encendido.

Ejemplo 33.21 (La escalera de energías, por kilogramo)

Energía por kilogramo de combustible: carbón, 3.0×107 J3.0 \times 10^{7}\,\mathrm{J}; uranio-235 por fisión, 8.2×1013 J8.2 \times 10^{13}\,\mathrm{J}; deuterio–tritio por fusión, 3.4×1014 J3.4 \times 10^{14}\,\mathrm{J}; conversión total (E=mc2E = mc^2), 9.0×1016 J9.0 \times 10^{16}\,\mathrm{J}. Seis órdenes de magnitud separan la química del núcleo — la razón de que un reactor se recargue por camiones y una central de carbón, por trenes enteros.

33.6 Ejercicios

Ejercicio 33.1 ★

Convierte: (a) 1 eV1\,\mathrm{eV} y 1 MeV1\,\mathrm{MeV} en julios; (b) los 200 MeV200\,\mathrm{MeV} de una fisión en julios; (c) comprueba, a partir de 1 u=1.660 54×10−27 kg1\,\mathrm{u} = 1.660\,54 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}, que su energía equivalente ronda los 931.5 MeV931.5\,\mathrm{MeV}.

Solución

Solución de Ejercicio 33.1.

(a) 1 eV=1.60×10−19 J1\,\mathrm{eV} = 1.60 \times 10^{-19}\,\mathrm{J}; 1 MeV=1.60×10−13 J1\,\mathrm{MeV} = 1.60 \times 10^{-13}\,\mathrm{J}. (b) 200×1.60×10−13=3.2×10−11 J200 \times 1.60 \times 10^{-13} = 3.2 \times 10^{-11}\,\mathrm{J}. (c) E=1.660 54×10−27×9.00×1016=1.49×10−10 J=1.49×10−10/1.60×10−13≈9.3×102 MeVE = 1.660\,54 \times 10^{-27} \times 9.00 \times 10^{16} = 1.49 \times 10^{-10}\,\mathrm{J} = 1.49 \times 10^{-10}/1.60 \times 10^{-13} \approx 9.3 \times 10^{2}\,\mathrm{MeV} — los 931.5 MeV931.5\,\mathrm{MeV} del curso, salvo por nuestro cc redondeado.

Ejercicio 33.2 ★

Un terrón de azúcar tiene una masa de 6.0 g6.0\,\mathrm{g}: calcula su valor íntegro E=mc2E = mc^2. Un hogar consume 10 kW h=3.6×107 J10\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h} = 3.6 \times 10^{7}\,\mathrm{J} al día — ¿durante cuántos años podría el terrón, convertido por completo, alimentarlo?

Solución

Solución de Ejercicio 33.2.

E=6.0×10−3×9.00×1016=5.4×1014 JE = 6.0 \times 10^{-3} \times 9.00 \times 10^{16} = 5.4 \times 10^{14}\,\mathrm{J}; 5.4×1014/3.6×107=1.5×1075.4 \times 10^{14}/3.6 \times 10^{7} = 1.5 \times 10^{7} días ≈4.1×104\approx 4.1 \times 10^{4} años — cuarenta milenios con un terrón de azúcar.

Ejercicio 33.3 ★

El núcleo de carbono-12 tiene una masa de 11.996 71 u11.996\,71\,\mathrm{u}: calcula su defecto de masa, su energía de enlace en MeV\mathrm{MeV} y su energía de enlace por nucleón (mp=1.007 28 um_p = 1.007\,28\,\mathrm{u}, mn=1.008 66 um_n = 1.008\,66\,\mathrm{u}).

Solución

Solución de Ejercicio 33.3.

Δm=6×1.00728+6×1.00866−11.99671=0.098 93 u\Delta m = 6 \times 1.00728 + 6 \times 1.00866 - 11.99671 = 0.098\,93\,\mathrm{u}; Eb=0.09893×931.5≈92.2 MeVE_b = 0.09893 \times 931.5 \approx 92.2\,\mathrm{MeV}; Eb/A≈7.68 MeVE_b/A \approx 7.68\,\mathrm{MeV} por nucleón.

Ejercicio 33.4 ★

Completa cada fisión dando AA, ZZ y el elemento (Z=36Z = 36: kriptón; Z=52Z = 52: telurio): (a) 01n+92235U→56144Ba+ZAX+3 01n{}^{1}_{0}\mathrm{n} + {}^{235}_{92}\mathrm{U} \to {}^{144}_{56}\mathrm{Ba} + {}^{A}_{Z}\mathrm{X} + 3\,{}^{1}_{0}\mathrm{n}; (b) 01n+92235U→4097Zr+ZAY+2 01n{}^{1}_{0}\mathrm{n} + {}^{235}_{92}\mathrm{U} \to {}^{97}_{40}\mathrm{Zr} + {}^{A}_{Z}\mathrm{Y} + 2\,{}^{1}_{0}\mathrm{n}.

Solución

Solución de Ejercicio 33.4.

(a) A=236−144−3=89A = 236 - 144 - 3 = 89, Z=92−56=36Z = 92 - 56 = 36: 3689Kr{}^{89}_{36}\mathrm{Kr}, kriptón. (b) A=236−97−2=137A = 236 - 97 - 2 = 137, Z=92−40=52Z = 92 - 40 = 52: 52137Te{}^{137}_{52}\mathrm{Te}, telurio.

Ejercicio 33.5 ★

Lee la curva de la Proposición 33.9: estima Eb/AE_b/A para el helio-4, el carbono-12, el hierro-56 y el uranio-235. ¿Cuál está más fuertemente ligado? ¿Cuál podría liberar energía por fisión, y cuál por fusión?

Solución

Solución de Ejercicio 33.5.

Alrededor de 7.17.1, 7.77.7, 8.88.8 y 7.6 MeV7.6\,\mathrm{MeV} por nucleón; el hierro-56 es el más ligado. El uranio puede liberar energía por fisión, y el helio-4 y el carbono-12 por fusión — ambos movimientos trepan hacia el hierro; el hierro mismo no tiene adónde ir.

Ejercicio 33.6 ★★

El deuterón 12H{}^{2}_{1}\mathrm{H} tiene una masa de 2.013 55 u2.013\,55\,\mathrm{u}: calcula su energía de enlace en MeV\mathrm{MeV}. Un enlace químico guarda unos pocos eV\mathrm{eV} — ¿por qué factor lo supera el “enlace” nuclear?

Solución

Solución de Ejercicio 33.6.

Δm=1.00728+1.00866−2.01355=0.002 39 u\Delta m = 1.00728 + 1.00866 - 2.01355 = 0.002\,39\,\mathrm{u}, luego Eb≈2.23 MeVE_b \approx 2.23\,\mathrm{MeV} — alrededor de un millón de veces los pocos eV\mathrm{eV} de un enlace químico.

Ejercicio 33.7 ★★

Pesa la fisión 01n+92235U→56144Ba+3689Kr+3 01n{}^{1}_{0}\mathrm{n} + {}^{235}_{92}\mathrm{U} \to {}^{144}_{56}\mathrm{Ba} + {}^{89}_{36}\mathrm{Kr} + 3\,{}^{1}_{0}\mathrm{n}: masas 234.993 50 u234.993\,50\,\mathrm{u} (U), 143.892 20 u143.892\,20\,\mathrm{u} (Ba), 88.897 90 u88.897\,90\,\mathrm{u} (Kr), 1.008 66 u1.008\,66\,\mathrm{u} (n). ¿Energía liberada, en MeV\mathrm{MeV} y en julios?

Solución

Solución de Ejercicio 33.7.

Antes: 236.002 16 u236.002\,16\,\mathrm{u}; después: 143.89220+88.89790+3×1.00866=235.816 08 u143.89220 + 88.89790 + 3 \times 1.00866 = 235.816\,08\,\mathrm{u}; Δm=0.186 08 u\Delta m = 0.186\,08\,\mathrm{u}, luego E≈173 MeV=173×1.60×10−13≈2.8×10−11 JE \approx 173\,\mathrm{MeV} = 173 \times 1.60 \times 10^{-13} \approx 2.8 \times 10^{-11}\,\mathrm{J}.

Ejercicio 33.8 ★★

Otra fusión: 12H+12H→23He+01n{}^{2}_{1}\mathrm{H} + {}^{2}_{1}\mathrm{H} \to {}^{3}_{2}\mathrm{He} + {}^{1}_{0}\mathrm{n}, con m(23He)=3.014 93 um({}^{3}_{2}\mathrm{He}) = 3.014\,93\,\mathrm{u}. Calcula la energía liberada. ¿Por qué es tan inferior a la D–T? (Piensa en dónde se sitúa cada producto en la curva.)

Solución

Solución de Ejercicio 33.8.

Δm=2×2.01355−3.01493−1.00866=0.003 51 u\Delta m = 2 \times 2.01355 - 3.01493 - 1.00866 = 0.003\,51\,\mathrm{u}: E≈3.27 MeVE \approx 3.27\,\mathrm{MeV}. La D–T fabrica helio-4, anómalamente ligado (7.1 MeV7.1\,\mathrm{MeV} por nucleón); el helio-3 queda mucho más abajo en la curva, así que el escalón libera mucho menos.

Ejercicio 33.9 ★★

Explica, en unas líneas cada una: (a) por qué la fisión no necesita calentamiento mientras que la fusión exige unos 1×108 K1 \times 10^{8}\,\mathrm{K}; (b) cómo se las arregla el Sol a “solo” 1.5×107 K1.5 \times 10^{7}\,\mathrm{K} (piensa en el tamaño de la multitud y en sus miembros más rápidos); (c) por qué una central de fusión no puede desbocarse como una reacción en cadena.

Solución

Solución de Ejercicio 33.9.

(a) El neutrón es neutro: sin barrera de Coulomb, la fisión dispara en frío. Los núcleos que se fusionan son ambos positivos y tienen que trepar la barrera, así que solo una agitación de ∼1×108 K\sim 1 \times 10^{8}\,\mathrm{K} da choques lo bastante violentos. (b) El núcleo solar alberga un número astronómico de protones; los escasísimos más rápidos de la multitud son los que fusionan, y al Sol le sobran miles de millones de años — una combustión lenta es exactamente lo que quiere una estrella. (c) No hay avalancha de neutrones: cada fusión se paga con su propio choque, y cualquier pérdida de confinamiento enfría el plasma y apaga el fuego.

Ejercicio 33.10 ★★

La reacción neta del Sol convierte cuatro protones (mp=1.007 28 um_p = 1.007\,28\,\mathrm{u}) en un núcleo de helio-4 (4.001 51 u4.001\,51\,\mathrm{u}): calcula la energía por cada helio fabricado, en MeV\mathrm{MeV}, y la fracción de la masa inicial convertida.

Solución

Solución de Ejercicio 33.10.

Δm=4×1.00728−4.00151=0.027 61 u\Delta m = 4 \times 1.00728 - 4.00151 = 0.027\,61\,\mathrm{u}, luego E≈25.7 MeVE \approx 25.7\,\mathrm{MeV}; fracción 0.02761/4.02912≈0.7 %0.02761/4.02912 \approx 0.7\,\% de la masa.

Ejercicio 33.11 ★★

En un reactor moderado por agua: (a) ¿qué hace el moderador y por qué lo necesita la cadena? (b) ¿Y las barras de control? (c) El agua de refrigeración es el moderador: ¿por qué perderla tiende a ahogar la cadena en lugar de acelerarla?

Solución

Solución de Ejercicio 33.11.

(a) Frena por choques los neutrones de fisión; los neutrones lentos tienen mucha más probabilidad de fisionar el uranio-235, así que la cadena los necesita. (b) Absorben neutrones y mantienen la cadena en un neutrón por fisión — introducidas, la matan. (c) Sin agua no hay moderación: los neutrones se quedan rápidos, fallan y la cadena se ahoga — el diseño falla hacia el “apagado”.

Ejercicio 33.12 ★★★

Una cadena descontrolada se duplica en cada generación. Partiendo de una fisión, ¿cuántas generaciones hacen falta, aproximadamente, para que se hayan partido los 2.56×10212.56 \times 10^{21} núcleos de un gramo de uranio-235 (210≈1032^{10} \approx 10^{3})? A razón de unos 10 ns10\,\mathrm{ns} por generación, ¿cuánto tiempo es eso — y por qué, entonces, se vigila la criticidad con tanto cuidado?

Solución

Solución de Ejercicio 33.12.

Las fisiones se duplican en cada generación, así que tras nn generaciones se han partido unas 2n2^n; 2n=2.56×1021≈2×(103)7≈2712^{n} = 2.56 \times 10^{21} \approx 2 \times (10^{3})^{7} \approx 2^{71} da n≈71n \approx 71. Tiempo: 71×10 ns≈0.7 µs71 \times 10\,\mathrm{ns} \approx 0.7\,\text{µ}\mathrm{s} — un gramo de combustible, el equivalente de tres toneladas de carbón, en menos de un microsegundo: la criticidad es un precipicio, no una cuesta.

Ejercicio 33.13 ★★★

¿Podríamos extraer energía fisionando hierro? Pesa 2656Fe→2 1428Si{}^{56}_{26}\mathrm{Fe} \to 2\,{}^{28}_{14}\mathrm{Si}, con m(Fe)=55.920 66 um(\mathrm{Fe}) = 55.920\,66\,\mathrm{u} y m(Si)=27.969 24 um(\mathrm{Si}) = 27.969\,24\,\mathrm{u}. Calcula Δm\Delta m y concluye, en términos de la curva, por qué el hierro es la ceniza nuclear: combustible de nada.

Solución

Solución de Ejercicio 33.13.

Δm=55.92066−2×27.96924=−0.017 82 u\Delta m = 55.92066 - 2 \times 27.96924 = -0.017\,82\,\mathrm{u}: E≈−16.6 MeVE \approx -16.6\,\mathrm{MeV} — la partición absorbe energía. El hierro está en el pico: fisionarlo o fusionarlo van los dos cuesta abajo en energía de enlace, y ambos cuestan energía. Es la ceniza de todo fuego nuclear.

Ejercicio 33.14 ★★★

A partir de m(2656Fe)=55.920 66 um({}^{56}_{26}\mathrm{Fe}) = 55.920\,66\,\mathrm{u} y m(92235U)=234.993 50 um({}^{235}_{92}\mathrm{U}) = 234.993\,50\,\mathrm{u}, calcula Eb/AE_b/A para ambos (mp=1.007 28 um_p = 1.007\,28\,\mathrm{u}, mn=1.008 66 um_n = 1.008\,66\,\mathrm{u}). Los fragmentos de fisión se sitúan cerca de 8.5 MeV8.5\,\mathrm{MeV} por nucleón: estima a partir de los dos niveles la energía de una fisión y compárala con el Ejemplo 33.12.

Solución

Solución de Ejercicio 33.14.

Fe: Δm=26×1.00728+30×1.00866−55.92066=0.528 42 u\Delta m = 26 \times 1.00728 + 30 \times 1.00866 - 55.92066 = 0.528\,42\,\mathrm{u}, Eb≈492 MeVE_b \approx 492\,\mathrm{MeV}, Eb/A≈8.79 MeVE_b/A \approx 8.79\,\mathrm{MeV}. U: Δm=92×1.00728+143×1.00866−234.99350=1.914 64 u\Delta m = 92 \times 1.00728 + 143 \times 1.00866 - 234.99350 = 1.914\,64\,\mathrm{u}, Eb≈1784 MeVE_b \approx 1784\,\mathrm{MeV}, Eb/A≈7.59 MeVE_b/A \approx 7.59\,\mathrm{MeV}. Reempaquetar 235235 nucleones a 8.5 MeV8.5\,\mathrm{MeV} en lugar de 7.59 MeV7.59\,\mathrm{MeV} gana 235×0.9≈2×102 MeV235 \times 0.9 \approx 2 \times 10^{2}\,\mathrm{MeV} — los 185185–200200 del ejemplo resuelto.

Ejercicio 33.15 ★★★

ITER aspira a 500 MW500\,\mathrm{MW} de potencia de fusión. A 17.6 MeV17.6\,\mathrm{MeV} por reacción D–T (con 5.029 u5.029\,\mathrm{u} de combustible consumido), halla las reacciones por segundo y después el combustible quemado por día. Un horno de carbón de 500 MW500\,\mathrm{MW} quema unos 1.4×106 kg1.4 \times 10^{6}\,\mathrm{kg} al día: compara.

Solución

Solución de Ejercicio 33.15.

5.0×108/2.82×10−12≈1.8×10205.0 \times 10^{8}/2.82 \times 10^{-12} \approx 1.8 \times 10^{20} reacciones por segundo; caudal de masa 1.8×1020×5.029×1.660 54×10−27≈1.5×10−6 kg/s1.8 \times 10^{20} \times 5.029 \times 1.660\,54 \times 10^{-27} \approx 1.5 \times 10^{-6}\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}, es decir, unos 0.13 kg0.13\,\mathrm{kg} al día — frente a 1.4×1061.4 \times 10^{6} kilogramos de carbón: diez millones a uno.

33.7 Problema: Alimentar una ciudad

Problema 33.1

Problema de fin de semana — alimentar una ciudad: un gigavatio constante para medio millón de personas, comprado de cuatro maneras — pastillas de uranio, trenes de carbón, una piscina de agua de mar, la propia sustancia del Sol — con el mismo kilogramo de masa desvanecida escondido bajo las cuatro

Una ciudad de 500 000500\,000 habitantes consume una potencia eléctrica constante P=1.0 GWP = 1.0\,\mathrm{GW}; sus centrales, sea cual sea el combustible, convierten el calor en electricidad con un rendimiento del 33 %33\,\% (Capítulo 9). Datos: una fisión de uranio-235, 200 MeV200\,\mathrm{MeV} en total; carbón, 3.0×107 J/kg3.0 \times 10^{7}\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}; una fusión D–T, 17.6 MeV17.6\,\mathrm{MeV} a partir de 5.029 u5.029\,\mathrm{u} de combustible; 1 u=1.660 54×10−27 kg1\,\mathrm{u} = 1.660\,54 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}; 1 eV=1.60×10−19 J1\,\mathrm{eV} = 1.60 \times 10^{-19}\,\mathrm{J}; un año =3.16×107 s= 3.16 \times 10^{7}\,\mathrm{s}; el Sol: 3.9×1026 W3.9 \times 10^{26}\,\mathrm{W}, 2.0×1030 kg2.0 \times 10^{30}\,\mathrm{kg}; un metro cúbico de agua de mar alberga unos 33 g33\,\mathrm{g} de deuterio.

Parte I — La central de fisión.

  1. ¿Qué potencia térmica debe entregar el reactor?
  2. Expresa la energía de una fisión en julios.
  3. ¿Cuántas fisiones por segundo hacen funcionar la ciudad?
  4. ¿La masa de un núcleo de uranio-235 (A=235A = 235) y, después, el uranio-235 consumido por segundo?
  5. Deduce el uranio-235 consumido en un año, en kilogramos.
  6. El combustible está enriquecido al 4.0 %4.0\,\% en uranio-235: ¿qué masa exige un año, y cabe en un solo camión?

Parte II — La cuenta del carbón.

  1. Calcula la energía térmica que consume la ciudad en un año.
  2. ¿Qué masa de carbón la entrega?
  3. Calcula el cociente (masa de carbón)/(masa de uranio-235) para un año y contrástalo con la escalera del Ejemplo 33.21.
  4. Un tren de mercancías arrastra 3.0×106 kg3.0 \times 10^{6}\,\mathrm{kg}: ¿cuántos trenes al año y al día? En una frase: imagina las dos cadenas de suministro.

Parte III — El sueño de la fusión.

  1. Expresa la energía de una fusión D–T en julios.
  2. Calcula la energía liberada por kilogramo de combustible D–T; compárala con la escalera.
  3. ¿Qué masa de combustible D–T cubre el año de la ciudad? ¿Qué parte de esa masa es deuterio (2.0142.014 de las 5.029 u5.029\,\mathrm{u})?
  4. ¿Qué volumen de agua de mar contiene ese deuterio? Compáralo con una piscina olímpica, de unos 2.5×103 m32.5 \times 10^{3}\,\mathrm{m}^{3}. (El tritio se fabrica a partir del litio.)
  5. ¿Por qué esta central no lleva consigo ninguna masa crítica ni ninguna reacción en cadena que temer? Entonces, ¿qué es lo difícil?

Parte IV — La estrella que paga en masa.

  1. A partir de E=mc2E = mc^2, ¿qué masa convierte el Sol cada segundo?
  2. ¿Qué masa por segundo, y por año, debe convertir cualquier fuente de 3.0 GW3.0\,\mathrm{GW} térmicos? Comprueba que los tres combustibles entregan esa misma masa.
  3. ¿Qué masa total ha radiado el Sol en sus 4.5×1094.5 \times 10^{9} años, y qué fracción del Sol es eso?
  4. La fusión puede aprovechar alrededor del 0.07 %0.07\,\% de la masa del Sol (la parte quemable de su núcleo): estima su vida total como estrella y lo que le queda.
  5. Cierra la auditoría en tres frases: un año de la ciudad en toneladas de carbón, en kilogramos de uranio-235 y en kilogramos de combustible D–T — y el kilogramo de masa que, en todos los escenarios, se convirtió en la luz de la ciudad.
Solución

Solución de Problema 33.1.

1. Pth=1.0×109/0.33≈3.0 GWP_{\text{th}} = 1.0 \times 10^{9}/0.33 \approx 3.0\,\mathrm{GW}.

2. 200×1.60×10−13=3.2×10−11 J200 \times 1.60 \times 10^{-13} = 3.2 \times 10^{-11}\,\mathrm{J}.

3. 3.0×109/3.2×10−11≈9.4×10193.0 \times 10^{9}/3.2 \times 10^{-11} \approx 9.4 \times 10^{19} fisiones por segundo.

4. mU=235×1.660 54×10−27=3.90×10−25 kgm_{\mathrm U} = 235 \times 1.660\,54 \times 10^{-27} = 3.90 \times 10^{-25}\,\mathrm{kg}; 9.4×1019×3.90×10−25≈3.7×10−5 kg/s9.4 \times 10^{19} \times 3.90 \times 10^{-25} \approx 3.7 \times 10^{-5}\,\mathrm{kg}/\mathrm{s} — unos cuarenta microgramos por segundo.

5. 3.7×10−5×3.16×107≈1.2×103 kg3.7 \times 10^{-5} \times 3.16 \times 10^{7} \approx 1.2 \times 10^{3}\,\mathrm{kg}: alrededor de 1.21.2 toneladas de uranio-235 al año.

6. 1.2×103/0.040≈2.9×104 kg1.2 \times 10^{3}/0.040 \approx 2.9 \times 10^{4}\,\mathrm{kg} — unas 2929 toneladas de combustible: un camión pesado, una vez al año.

7. 3.0×109×3.16×107≈9.5×1016 J3.0 \times 10^{9} \times 3.16 \times 10^{7} \approx 9.5 \times 10^{16}\,\mathrm{J}.

8. 9.5×1016/3.0×107≈3.2×109 kg9.5 \times 10^{16}/3.0 \times 10^{7} \approx 3.2 \times 10^{9}\,\mathrm{kg}: 3.23.2 millones de toneladas de carbón.

9. 3.2×109/1.2×103≈2.7×1063.2 \times 10^{9}/1.2 \times 10^{3} \approx 2.7 \times 10^{6} — el 8.2×1013/3.0×1078.2 \times 10^{13}/3.0 \times 10^{7} de la escalera, como tiene que ser.

10. 3.2×109/3.0×106≈10603.2 \times 10^{9}/3.0 \times 10^{6} \approx 1060 trenes al año, unos tres al día: un tren de carbón al amanecer, otro al mediodía y otro al anochecer, para siempre, frente a un camión cada primavera.

11. 17.6×1.60×10−13=2.82×10−12 J17.6 \times 1.60 \times 10^{-13} = 2.82 \times 10^{-12}\,\mathrm{J}.

12. Un par pesa 5.029×1.660 54×10−27=8.35×10−27 kg5.029 \times 1.660\,54 \times 10^{-27} = 8.35 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}: 2.82×10−12/8.35×10−27≈3.4×1014 J/kg2.82 \times 10^{-12}/8.35 \times 10^{-27} \approx 3.4 \times 10^{14}\,\mathrm{J}/\mathrm{kg} — el peldaño de la fusión en la escalera.

13. 9.5×1016/3.4×1014≈2.8×102 kg9.5 \times 10^{16}/3.4 \times 10^{14} \approx 2.8 \times 10^{2}\,\mathrm{kg} de D–T; la parte de deuterio, 280×2.014/5.029≈1.1×102 kg280 \times 2.014/5.029 \approx 1.1 \times 10^{2}\,\mathrm{kg}.

14. 1.1×102/3.3×10−2≈3.4×103 m31.1 \times 10^{2}/3.3 \times 10^{-2} \approx 3.4 \times 10^{3}\,\mathrm{m}^{3} de agua de mar — alrededor de piscina y media para el año entero de la ciudad.

15. Nada se multiplica: ningún neutrón enciende la fusión siguiente, y perder el confinamiento enfría el plasma y lo detiene en segundos. Lo difícil es lo contrario — mantener juntos 1.5×108 K1.5 \times 10^{8}\,\mathrm{K} el tiempo suficiente para que arda.

16. 3.9×1026/9.00×1016≈4.3×109 kg/s3.9 \times 10^{26}/9.00 \times 10^{16} \approx 4.3 \times 10^{9}\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}: cuatro millones de toneladas por segundo.

17. 3.0×109/9.00×1016≈3.3×10−8 kg/s3.0 \times 10^{9}/9.00 \times 10^{16} \approx 3.3 \times 10^{-8}\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}, es decir, 3.3×10−8×3.16×107≈1.0 kg3.3 \times 10^{-8} \times 3.16 \times 10^{7} \approx 1.0\,\mathrm{kg} al año — y en efecto: 1.2×103 kg×0.00085≈11.2 \times 10^{3}\,\mathrm{kg} \times 0.00085 \approx 1, 3.2×109×3.3×10−10≈13.2 \times 10^{9} \times 3.3 \times 10^{-10} \approx 1, 280×0.00375≈1280 \times 0.00375 \approx 1. Todos los combustibles entregan el mismo kilogramo; solo se diferencian en cuánta carga hace falta para transportarlo.

18. 4.3×109×3.16×107×4.5×109≈6.1×1026 kg4.3 \times 10^{9} \times 3.16 \times 10^{7} \times 4.5 \times 10^{9} \approx 6.1 \times 10^{26}\,\mathrm{kg} — solo 6.1×1026/2.0×1030≈3×10−46.1 \times 10^{26}/2.0 \times 10^{30} \approx 3 \times 10^{-4}, tres partes de cada diez mil.

19. Masa convertible, 0.0007×2.0×1030=1.4×1027 kg0.0007 \times 2.0 \times 10^{30} = 1.4 \times 10^{27}\,\mathrm{kg}, que vale 1.4×1027×9.00×1016≈1.3×1044 J1.4 \times 10^{27} \times 9.00 \times 10^{16} \approx 1.3 \times 10^{44}\,\mathrm{J}; a 3.9×1026 W3.9 \times 10^{26}\,\mathrm{W} eso dura 1.3×1044/3.9×1026≈3.2×1017 s≈1.0×10101.3 \times 10^{44}/3.9 \times 10^{26} \approx 3.2 \times 10^{17}\,\mathrm{s} \approx 1.0 \times 10^{10} años — diez mil millones, de los cuales quedan unos cinco mil millones.

20. Un año de la ciudad: 3.23.2 millones de toneladas de carbón, o 1.2×1031.2 \times 10^{3} kilogramos de uranio-235, o 2.8×1022.8 \times 10^{2} kilogramos de D–T sacados de piscina y media de agua de mar. Bajo todos los libros de cuentas, el mismo asiento: un kilogramo de masa, desaparecido. A E=mc2E = mc^2 le da igual qué combustible lo transporte — solo importa cuán grande tiene que ser el camión.

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