Física de secundaria · Grades 10–12

24Cinemática en dos dimensiones

Observa un coche que toma una rotonda a $30\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ constantes: la aguja no se mueve y, sin embargo, todos los ocupantes notan un tirón lateral — el movimiento está cambiando, y no es la rapidez. Un número por instante ya no basta: el movimiento en el plano necesita flechas. Este capítulo equipa a un punto móvil con tres — posición, velocidad y aceleración — encadenadas por la derivada, y lee familias enteras de movimientos en su geometría.

24.1 El vector de posición

El movimiento solo existe respecto de un sistema de referencia declarado — un cuerpo rígido más un reloj (Capítulo 5). La novedad de este año es la precisión: se le añaden al sistema un origen $O$ y dos ejes graduados perpendiculares $Ox$ y $Oy$ , y se registra dónde está el punto en cada instante, como una pareja de funciones.

Definición 24.1 (Vector de posición)

En un sistema equipado con un origen $O$ y unos ejes $Ox$ y $Oy$ , el vector de posición de un punto móvil $M$ en el instante $t$ es $\vect{OM}(t)$ , de coordenadas $\bigl(x(t),\, y(t)\bigr)$ : dos funciones del tiempo, una por eje. La curva que traza $M$ mientras $t$ corre es su trayectoria.

24.2 El vector velocidad

Definición 24.2 (Vector velocidad)

Durante un intervalo corto, el punto se desplaza $\vect{OM}(t+\Delta t) - \vect{OM}(t)$ ; se divide entre $\Delta t$ y se deja encoger el intervalo: esta es la derivada de tu curso de matemáticas, aplicada a cada coordenada. El vector velocidad de $M$ es la derivada de su vector de posición, $\vect v(t) = \bigl(x'(t),\, y'(t)\bigr)$ , en $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Su norma $v = \sqrt{x'^2 + y'^2}$ es la rapidez — el único número que muestra el velocímetro.

Ejemplo 24.3 (Un dron en vuelo horizontal)

Un dron vuela con $x(t) = 4.0\,t$ e $y(t) = 3.0\,t$ (metros y segundos): trayectoria la recta $y = \tfrac34 x$ , velocidad $\vect v = (4.0, 3.0)$ en todo instante y rapidez $\sqrt{4.0^2 + 3.0^2} = 5.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , constante.

Proposición 24.4 (Tangente a la trayectoria)

En todo instante, $\vect v(t)$ es tangente a la trayectoria en la posición actual de $M$ y apunta en el sentido de la marcha.

Demostración. El desplazamiento es una cuerda de la trayectoria; a medida que $\Delta t$ se encoge, la dirección de la cuerda se convierte en la de la tangente. ∎

24.3 El vector aceleración

Definición 24.5 (Vector aceleración)

El vector aceleración de $M$ es la derivada de su vector velocidad, $\vect a(t) = \bigl(v_x'(t),\, v_y'(t)\bigr) = \bigl(x''(t),\, y''(t)\bigr)$ , en $\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ : con qué rapidez, y en qué dirección, está cambiando el vector velocidad.

Observación 24.6 (Acelerar sin ir más deprisa)

$\vect a \neq \vect 0$ siempre que cambie el vector velocidad — en longitud o en dirección: un coche que frena acelera (hacia atrás); un coche que gira a rapidez constante acelera (de lado). Esta es la magnitud que gobiernan las fuerzas (Capítulos 16 y 25).

Método 24.7 (Leer una cronofotografía)

Una cronofotografía registra las posiciones $M_0, M_1, M_2, \dots$ de un punto móvil a intervalos de tiempo iguales $\Delta t$ .

La separación entre puntos da la rapidez: separaciones iguales, rapidez constante; separaciones que se abren, aceleración; que se cierran, frenada.
La velocidad en $M_i$ es la cuerda simétrica, $\vect v_i \approx \vect{M_{i-1}M_{i+1}}/(2\,\Delta t)$ , dibujada en $M_i$ y tangente al camino punteado.
Para la aceleración en $M_i$ : se copian $\vect v_{i-1}$ y $\vect v_{i+1}$ en $M_i$ , se dibuja $\Delta\vect v = \vect v_{i+1} - \vect v_{i-1}$ de punta a punta; entonces $\vect a_i \approx \Delta\vect v/(2\,\Delta t)$ .

Cronofotografía de una pelota lanzada: v_2 y v_4, construidas con cuerdas, se copian en M_3; su diferencia v entrega a — vertical y hacia abajo. — Cronofotografía de una pelota lanzada: $\vect v_2$ y $\vect v_4$ , construidas con cuerdas, se copian en $M_3$ ; su diferencia $\Delta\vect v$ entrega $\vect a$ — vertical y hacia abajo.

24.4 Los movimientos rectilíneos

A lo largo de una recta basta un eje: $x(t)$ , $v(t) = x'(t)$ , $a(t) = v'(t)$ , todos números con signo.

Definición 24.8 (Movimiento rectilíneo uniforme)

Un movimiento es rectilíneo uniforme cuando $\vect v$ es un vector constante: trayectoria recta, rapidez constante y $\vect a = \vect 0$ . Entonces $x(t) = v\,t + x_0$ .

Proposición 24.9 (Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado)

Si un punto se mueve a lo largo de $Ox$ con aceleración $a$ constante, partiendo en $t = 0$ de la posición $x_0$ con velocidad $v_0$ , entonces

v(t) = a\,t + v_0, \qquad x(t) = \tfrac12\,a\,t^2 + v_0\,t + x_0 .

Demostración. $v$ es una primitiva de la constante $a$ : $v(t) = a t + C$ , y $t = 0$ obliga a $C = v_0$ . A su vez, $x$ es una primitiva de $a t + v_0$ : $x(t) = \tfrac12 a t^2 + v_0 t + C'$ , con $C' = x_0$ . ∎

Movimiento uniformemente acelerado (a = 2.0\, m/ s2, v_0 = 1.0\, m/ s, x_0 = 0): cada gráfica es la derivada de la de arriba — una parábola, su pendiente y la pendiente de la pendiente. — Movimiento uniformemente acelerado ( $a = 2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , $v_0 = 1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $x_0 = 0$ ): cada gráfica es la derivada de la de arriba — una parábola, su pendiente y la pendiente de la pendiente.

Ejemplo 24.10 (Distancia de frenado)

Un coche que va a la rapidez $v_0$ frena con deceleración constante $a$ (aceleración $-a$ ). Se detiene cuando $v(t) = -a t + v_0 = 0$ , en $t_s = v_0/a$ , tras recorrer $d = -\tfrac12 a t_s^2 + v_0 t_s = v_0^2/(2a)$ . El cuadrado es el titular de la seguridad vial: duplicar la rapidez cuadruplica la distancia de frenado — con $a = 6.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , $16\,\mathrm{m}$ desde $50\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ y $64\,\mathrm{m}$ desde $100\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .

24.5 El movimiento circular uniforme y la base de Frenet

Definición 24.11 (Movimiento circular uniforme)

Un movimiento es circular uniforme cuando la trayectoria es una circunferencia de radio $R$ y la rapidez $v$ es constante. El periodo $T$ es la duración de una vuelta, y la frecuencia $f = 1/T$ (en $\mathrm{Hz}$ ), el número de vueltas por segundo: $v = 2\pi R/T = 2\pi R f$ .

Rapidez constante — y, sin embargo, la velocidad gira: hay aceleración. ¿Hacia dónde y de qué tamaño?

Teorema 24.12 (Aceleración centrípeta)

En un movimiento circular uniforme de radio $R$ y rapidez $v$ , la aceleración — llamada centrípeta — apunta desde el punto móvil hacia el centro de la circunferencia, con norma constante

a = \frac{v^2}{R}.

Demostración. Se centran los ejes en el centro de la circunferencia y se pone $\omega = v/R$ , de modo que el arco $v t$ subtiende el ángulo $\omega t$ : la posición es $x(t) = R\cos(\omega t)$ , $y(t) = R\sin(\omega t)$ . Derivando, $\vect v = (-R\omega\sin(\omega t),\, R\omega\cos(\omega t))$ , de norma constante $R\omega = v$ ; derivando otra vez, $\vect a = -\omega^2\,\vect{OM}$ : opuesta al vector de posición — hacia el centro — y de norma $\omega^2 R = v^2/R$ . ∎

Movimiento circular uniforme: v tangente y de longitud fija; a apuntando al centro y de longitud fija v2/R — girando eternamente la velocidad sin estirarla jamás. — Movimiento circular uniforme: $\vect v$ tangente y de longitud fija; $\vect a$ apuntando al centro y de longitud fija $v^2/R$ — girando eternamente la velocidad sin estirarla jamás.

Definición 24.13 (Base de Frenet)

La base de Frenet en la posición actual de un punto que recorre un camino curvo es la pareja de vectores unitarios perpendiculares $(\vect{u_t}, \vect{u_n})$ : $\vect{u_t}$ tangente, en el sentido del movimiento; $\vect{u_n}$ normal, hacia el centro de la circunferencia de radio $R$ que mejor se ajusta allí a la curva.

Proposición 24.14 (La aceleración en la base de Frenet)

A lo largo de cualquier camino plano de radio local $R$ , recorrido con rapidez $v(t)$ ,

\vect a = a_t\,\vect{u_t} + a_n\,\vect{u_n}, \qquad a_t = \frac{\dd v}{\dd t}, \qquad a_n = \frac{v^2}{R}:

la aceleración tangencial $a_t$ cambia la rapidez; la aceleración normal $a_n$ gira la velocidad.

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

Observación 24.15 (Dónde vive la demostración)

Hemos demostrado los extremos: $a_t$ pura sobre una recta (Proposición 24.9) y $a_n$ pura sobre una circunferencia (Teorema 24.12); la descomposición general se deduce en el volumen del primer año.

Ejemplo 24.16 (Frenar al entrar en una curva)

Un coche entra en una curva de radio $R = 50\,\mathrm{m}$ a $v = 15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ mientras frena con $\dd v/\dd t = -3.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ : $a_t = -3.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , $a_n = 15^2/50 = 4.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , luego $a = \sqrt{3.0^2 + 4.5^2} \approx 5.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , apuntando hacia atrás y hacia el interior de la curva. Los neumáticos tienen que dar las dos cosas a la vez — de ahí que los pilotos de carreras frenen antes de girar.

24.6 Ejercicios

Ejercicio 24.1 ★

Para $x(t) = 3.0\,t$ e $y(t) = 4.0\,t$ (metros y segundos), da $\vect v$ , la rapidez, la trayectoria y la clase de movimiento.

Solución

Solución de Ejercicio 24.1.

$\vect v = (3.0, 4.0)$ , constante; rapidez $\sqrt{3.0^2 + 4.0^2} = 5.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Trayectoria: la recta $y = \tfrac43 x$ . Vector velocidad constante: movimiento rectilíneo uniforme.

Ejercicio 24.2 ★

En una cronofotografía tomada cada $0.10\,\mathrm{s}$ , los puntos están en línea recta y separados regularmente $0.35\,\mathrm{m}$ . Identifica el movimiento y calcula la rapidez. ¿Qué indicarían unas separaciones que se abren?

Solución

Solución de Ejercicio 24.2.

Línea recta con separaciones iguales: rectilíneo uniforme; $v = 0.35/0.10 = 3.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Unas separaciones que se abrieran significarían que la rapidez está aumentando.

Ejercicio 24.3 ★

Para $x(t) = 2.0\,t^2$ a lo largo de $Ox$ (metros y segundos), deriva $v(t)$ y $a(t)$ , nombra la clase de movimiento y calcula la rapidez en $t = 3.0\,\mathrm{s}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 24.3.

$v(t) = 4.0\,t$ , $a = 4.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ : aceleración constante, rectilíneo uniformemente acelerado. $v(3.0) = 12\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

Ejercicio 24.4 ★

Un caballito de tiovivo recorre una circunferencia de $4.5\,\mathrm{m}$ de radio, una vuelta cada $8.0\,\mathrm{s}$ : calcula la frecuencia, la rapidez y la aceleración (norma y dirección).

Solución

Solución de Ejercicio 24.4.

$f = 1/8.0 = 0.125\,\mathrm{Hz}$ ; $v = 2\pi \times 4.5/8.0 \approx 3.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $a = v^2/R = 3.53^2/4.5 \approx 2.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , apuntando al eje del tiovivo.

Ejercicio 24.5 ★

Una gráfica de $v(t)$ sube en línea recta de $2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ en $t = 0$ a $10.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ en $t = 4.0\,\mathrm{s}$ . Lee la aceleración y después la distancia recorrida (el área bajo la gráfica).

Solución

Solución de Ejercicio 24.5.

Pendiente: $a = (10.0 - 2.0)/4.0 = 2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ . Área (un trapecio): $d = \tfrac12 (2.0 + 10.0) \times 4.0 = 24\,\mathrm{m}$ .

Ejercicio 24.6 ★★

Un tren de alta velocidad toma una curva de $6.0\,\mathrm{km}$ de radio a $320\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . Calcula $a_n$ y compárala con $g$ ; ¿por qué tienen que evitar las líneas de alta velocidad las curvas cerradas, aunque estén perfectamente peraltadas?

Solución

Solución de Ejercicio 24.6.

$v = 88.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $a_n = 88.9^2/6000 \approx 1.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} \approx 0.13\,g$ . Como $a_n = v^2/R$ , una $v$ alta exige una $R$ enorme para mantener aceptable la aceleración lateral (y la fuerza sobre la vía y los viajeros) — el peralte cambia quién la proporciona, no su tamaño.

Ejercicio 24.7 ★★

Una vagoneta sobre un raíl recto tiene $x(t) = -1.2\,t^2 + 8.0\,t + 3.0$ (metros y segundos). Halla $v(t)$ y $a$ , el instante y la posición en que da media vuelta, y describe el movimiento antes y después.

Solución

Solución de Ejercicio 24.7.

$v(t) = -2.4\,t + 8.0$ ; $a = -2.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , constante. Da media vuelta cuando $v = 0$ : $t = 8.0/2.4 \approx 3.3\,\mathrm{s}$ , en $x \approx 16.3\,\mathrm{m}$ . Antes: hacia adelante, frenando; después: hacia atrás, acelerando — uniformemente acelerado en todo momento.

Ejercicio 24.8 ★★

Una cronofotografía a lo largo de una recta, cada $\Delta t = 0.20\,\mathrm{s}$ , da $x = 0$ , $0.10$ , $0.28$ , $0.54$ y $0.88\,\mathrm{m}$ . Estima la velocidad en los tres puntos interiores (Método 24.7) y después la aceleración; concluye.

Solución

Solución de Ejercicio 24.8.

$v_1 = 0.28/0.40 = 0.70\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $v_2 = (0.54 - 0.10)/0.40 = 1.10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $v_3 = (0.88 - 0.28)/0.40 = 1.50\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . La velocidad gana $0.40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ cada $0.20\,\mathrm{s}$ : $a = 2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , constante — rectilíneo uniformemente acelerado.

Ejercicio 24.9 ★★

La Luna orbita la Tierra sobre una curva casi circular de radio $3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ en $27.3\,\mathrm{d}$ . Calcula su rapidez y su aceleración centrípeta; compara esta última con $g$ , sabiendo que la Luna está a unos $60$ radios terrestres (Capítulo 4).

Solución

Solución de Ejercicio 24.9.

$T = 2.36 \times 10^{6}\,\mathrm{s}$ : $v = 2\pi \times 3.84 \times 10^{8}/2.36 \times 10^{6} \approx 1.0 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $a_n = v^2/R \approx 2.7 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ . Cociente: $g/a_n \approx 3600 = 60^2$ — la gravedad, diluida como la inversa del cuadrado de la distancia (Capítulo 4), da cuenta exactamente del giro de la Luna.

Ejercicio 24.10 ★★

El tambor de una lavadora de $25\,\mathrm{cm}$ de radio gira a $1200$ revoluciones por minuto. Calcula $f$ , $T$ , la rapidez del borde y la aceleración del borde en múltiplos de $g$ . ¿Por qué se queda la ropa pegada mientras el agua se va?

Solución

Solución de Ejercicio 24.10.

$f = 1200/60 = 20\,\mathrm{Hz}$ , $T = 0.050\,\mathrm{s}$ ; $v = 2\pi R f = 2\pi \times 0.25 \times 20 \approx 31\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $a_n = v^2/R \approx 3.9 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} \approx 400\,g$ . La pared del tambor le proporciona a la ropa su $a_n$ ; a través de los agujeros nada empuja el agua hacia dentro, así que sale despedida por la tangente.

Ejercicio 24.11 ★★

Un coche a $90\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ frena con $a = 7.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ constante: calcula el tiempo de parada y la distancia de frenado, y esboza $v(t)$ .

Solución

Solución de Ejercicio 24.11.

$v_0 = 25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $t_s = 25/7.5 \approx 3.3\,\mathrm{s}$ ; $d = v_0^2/(2a) = 625/15 \approx 42\,\mathrm{m}$ . Gráfica: un segmento recto que baja de $25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ hasta $0$ en $t_s$ .

Ejercicio 24.12 ★★★

Para $x(t) = R\cos(\omega t)$ e $y(t) = R\sin(\omega t)$ : calcula $\vect v$ ; comprueba que la rapidez es la constante $R\omega$ y que $\vect v \perp \vect{OM}$ ; calcula $\vect a$ , demuestra que vale $-\omega^2\,\vect{OM}$ y recupera $a = v^2/R$ .

Solución

Solución de Ejercicio 24.12.

$\vect v = (-R\omega\sin\omega t,\, R\omega\cos\omega t)$ , de norma constante $R\omega$ ; su producto escalar con $\vect{OM}$ se anula, luego es perpendicular al radio y, por tanto, tangente. Derivando otra vez, $\vect a = -\omega^2\vect{OM}$ : hacia $O$ y de norma $\omega^2 R = (v/R)^2 R = v^2/R$ .

Ejercicio 24.13 ★★★

Una motocicleta entra en una curva de $80\,\mathrm{m}$ de radio a $20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , frenando a $2.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ . Calcula $a_t$ , $a_n$ , la norma de $\vect a$ y su ángulo con la dirección del movimiento. Los neumáticos agarran hasta $7.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ en total: ¿está el piloto dentro del límite?

Solución

Solución de Ejercicio 24.13.

$a_t = 2.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ (hacia atrás), $a_n = 20^2/80 = 5.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; $a = \sqrt{2.5^2 + 5.0^2} \approx 5.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; ángulo con la dirección del movimiento: $\theta = 180^\circ - \arctan(5.0/2.5) \approx 117^\circ$ (es decir, $63^\circ$ respecto de la dirección puramente hacia atrás). $5.6 < 7.0$ : dentro del agarre, con poco margen.

Ejercicio 24.14 ★★★

Un metro acelera desde el reposo a $1.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ hasta $20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , circula así $40\,\mathrm{s}$ y después frena a $1.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ hasta pararse. Calcula la duración y la longitud de cada fase, la distancia total y la velocidad media. Esboza $v(t)$ y comprueba la distancia como un área.

Solución

Solución de Ejercicio 24.14.

Arranque: $t_1 = 20/1.2 \approx 17\,\mathrm{s}$ , $d_1 = 20^2/(2 \times 1.2) \approx 167\,\mathrm{m}$ . Marcha: $40\,\mathrm{s}$ , $800\,\mathrm{m}$ . Frenada: $t_3 = 20/1.5 \approx 13\,\mathrm{s}$ , $d_3 = 400/3.0 \approx 133\,\mathrm{m}$ . Total: $1.1 \times 10^{3}\,\mathrm{m}$ en $70\,\mathrm{s}$ ; media $1100/70 \approx 16\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ( $57\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ). $v(t)$ es un trapecio cuya área, $\tfrac12(70 + 40) \times 20 = 1100\,\mathrm{m}$ , comprueba el total.

Ejercicio 24.15 ★★★

Un satélite geoestacionario gira con un radio de $4.22 \times 10^{7}\,\mathrm{m}$ respecto del centro de la Tierra y un periodo de $86\,164\,\mathrm{s}$ . Calcula su rapidez y su aceleración centrípeta. ¿Qué se la proporciona, y por qué queda el satélite colgado sobre un punto fijo del ecuador (Capítulo 27)?

Solución

Solución de Ejercicio 24.15.

$v = 2\pi \times 4.22 \times 10^{7}/86\,164 \approx 3.1 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $a_n = v^2/R \approx 0.22\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ . Se la proporciona la gravedad terrestre a esa distancia; el periodo es igual al periodo de rotación de la Tierra, así que el satélite y el suelo giran a la vez y queda colgado sobre un punto del ecuador (Capítulo 27).

24.7 Problema: el informe del accidente

Problema 24.1

Problema de fin de semana — el informe del accidente: la película de una cámara de salpicadero leída fotograma a fotograma, una ley de frenado reconstruida a partir de las marcas de derrape, una rotonda que declara sobre el agarre y un veredicto en kilómetros por hora

Un coche golpea a una furgoneta que salía de una calle lateral; no hay heridos, pero las aseguradoras no se ponen de acuerdo. El investigador dispone de imágenes de una cámara cenital (un fotograma cada $0.50\,\mathrm{s}$ ), de las marcas de derrape medidas y de la cámara de salpicadero del coche. El límite de velocidad es $50\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .

Parte I — Leer la película. Los fotogramas anteriores a cualquier reacción dan, a lo largo de la recta:

$t$ ( $\mathrm{s}$ )	0.00	0.50	1.00	1.50	2.00
$x$ ( $\mathrm{m}$ )	0.0	9.0	18.0	27.0	36.0

¿Por qué tiene que empezar el informe nombrando un sistema y unos ejes? ¿Cuáles se usan aquí?
Calcula la velocidad media en cada uno de los cuatro intervalos.
¿Qué clase de movimiento es? Justifícalo con la tabla.
Da la rapidez $v_0$ del coche en $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ y en $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .
¿Cuál es la aceleración durante estos dos segundos?

Parte II — Las marcas de derrape. Los ensayos de neumáticos sobre este asfalto seco dan una deceleración de frenado constante $a = 6.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; las marcas de derrape miden $d_b = 27\,\mathrm{m}$ . Toma $t = 0$ y $x = 0$ al empezar la frenada, con rapidez desconocida $v_B$ .

Con primitivas, escribe $v(t)$ y $x(t)$ durante la frenada.
Expresa el tiempo de parada $t_s$ ; demuestra que $d_b = v_B^2/(2a)$ .
Deduce $v_B$ a partir de las marcas de derrape. ¿Es coherente con la Parte I?
El tiempo de reacción es de $1.0\,\mathrm{s}$ : calcula la distancia de reacción y la distancia total de parada.
Explica, con la pregunta 7, por qué duplicar la rapidez cuadruplica la distancia de frenado; calcula $d_b$ a exactamente $50\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .

Parte III — La rotonda declara. Antes, la cámara de salpicadero muestra al coche recorriendo el carril de una rotonda de radio $R = 12.5\,\mathrm{m}$ a rapidez constante, un cuarto de vuelta en $2.5\,\mathrm{s}$ . La calzada puede dar como mucho $a_n = \mu g$ , con $\mu = 0.70$ .

Allí la rapidez es constante — ¿lo es la velocidad? ¿Está acelerando el coche? Explícalo.
Calcula la rapidez del coche en la rotonda.
Calcula su aceleración centrípeta (norma y dirección).
Calcula la rapidez máxima sin derrape. ¿Estaba el coche por debajo?
Da el periodo y la frecuencia de una vuelta completa a esa rapidez.

Parte IV — El veredicto. La furgoneta apareció $D = 41\,\mathrm{m}$ por delante del coche en el instante en que el conductor empezó a reaccionar.

¿En cuánto, en $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ y en porcentaje, superaba el límite la rapidez anterior a la frenada?
Calcula la rapidez del coche en el momento del impacto.
Rehaz el cálculo de la parada a exactamente $50\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ (con la misma reacción y la misma frenada): ¿se detiene el coche, y con qué margen?
Da la fórmula general de la distancia de parada $d(v)$ ; ¿por qué entra la rapidez dos veces — una linealmente y otra al cuadrado?
El veredicto, en una frase con sus números: ¿a qué rapidez iba el conductor, y habría ocurrido el accidente yendo al límite?

Solución

Solución de Problema 24.1.

1. El movimiento es relativo (Capítulo 5): toda posición y toda velocidad tienen que nombrar su sistema. Aquí: el sistema terrestre (la calzada), con $x$ a lo largo de la calle desde la posición del primer fotograma.

2. En cada intervalo: $9.0/0.50 = 18.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — cuatro valores iguales.

3. Calle recta y desplazamientos iguales en tiempos iguales: movimiento rectilíneo uniforme.

4. $v_0 = 18.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 64.8\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .

5. $\vect a = \vect 0$ .

6. $v(t) = -a\,t + v_B$ ; $x(t) = -\tfrac12 a t^2 + v_B\,t$ .

7. De $v(t_s) = 0$ sale $t_s = v_B/a$ ; entonces $d_b = -\tfrac12 a (v_B/a)^2 + v_B^2/a = v_B^2/(2a)$ .

8. $v_B = \sqrt{2 a d_b} = \sqrt{2 \times 6.0 \times 27} = \sqrt{324} = 18.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — exactamente la rapidez filmada: el conductor no aminoró antes de frenar.

9. Reacción: $18.0 \times 1.0 = 18\,\mathrm{m}$ ; en total, $18 + 27 = 45\,\mathrm{m}$ .

10. $d_b = v_B^2/(2a) \propto v_B^2$ : duplicar $v_B$ multiplica $d_b$ por $4$ . A $50\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ( $13.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ): $d_b = 13.9^2/12.0 \approx 16\,\mathrm{m}$ .

11. La rapidez es constante, pero la dirección de la velocidad gira: $\vect v$ no es constante, así que el coche está acelerando.

12. Cuarto de vuelta: $2\pi R/4 = 19.6\,\mathrm{m}$ ; $v = 19.6/2.5 \approx 7.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ( $28\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ).

13. $a_n = 7.85^2/12.5 \approx 4.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , hacia el centro de la rotonda.

14. $a_{\max} = \mu g = 0.70 \times 9.81 \approx 6.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; $v_{\max} = \sqrt{\mu g R} = \sqrt{6.87 \times 12.5} \approx 9.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ( $33\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ). $7.9 < 9.3$ : dentro del agarre — coherente con un carril limpio, sin marcas de derrape.

15. $T = 2\pi R/v = 78.5/7.85 \approx 10.0\,\mathrm{s}; f = 0.10\,\mathrm{Hz}$ .

16. $64.8 - 50 \approx 15\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ de más — alrededor de un $30\,\%$ por encima del límite.

17. La frenada actúa a lo largo de $41 - 18 = 23\,\mathrm{m}$ : $v^2 = v_B^2 - 2ad = 324 - 2 \times 6.0 \times 23 = 48$ , luego $v \approx 6.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 25\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ en el impacto.

18. A $13.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $13.9 \times 1.0 + 13.9^2/12.0 = 13.9 + 16.1 = 30.0\,\mathrm{m} < 41\,\mathrm{m}$ — el coche se para $11\,\mathrm{m}$ antes de la furgoneta.

19. $d(v) = v\,t_r + v^2/(2a)$ : una vez linealmente (la reacción recorre $v t_r$ antes de que actúen los frenos) y otra al cuadrado (la parte cinética $v^2/(2a)$ ) — y por eso los excesos moderados salen desproporcionadamente caros.

20. La cámara de salpicadero y las marcas de derrape coinciden: $65\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ en una zona de $50\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ; al límite legal, el coche se habría detenido $11\,\mathrm{m}$ antes de la furgoneta — el accidente son los $15\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ de más.