Física de secundaria · Grades 10–12

19El núcleo y la radiactividad

Ahora mismo, unos ocho mil núcleos atómicos revientan dentro de tu cuerpo cada segundo. Nada los ataca: ciertos núcleos nacen inestables, y cada uno se transforma tarde o temprano lanzando un fragmento a una buena fracción de la velocidad de la luz. Este capítulo vuelve a la planta de los $10^{-15}$ metros del Capítulo 13 para ver qué núcleos son frágiles, cómo se rompen y cómo su impaciencia regular data cuevas y vigila techos.

19.1 Núcleos, nucleones e isótopos

Definición 19.1 (Notación nuclear)

Un núcleo contiene $Z$ protones (de carga $+e$ cada uno) y $N$ neutrones (sin carga), $A = Z + N$ nucleones en total; se escribe ${}^{A}_{Z}\mathrm{X}$ , donde $\mathrm X$ es el símbolo químico, $Z$ el número atómico y $A$ el número másico. Una especie determinada por $A$ y $Z$ es un nucleido; los nucleidos con el mismo $Z$ y distinto $A$ son isótopos de un mismo elemento: la misma química (la nube de electrones solo ve $Ze$ ), distinto núcleo y distinta estabilidad.

Ejemplo 19.2 (Hidrógeno y carbono)

El hidrógeno tiene tres isótopos: ${}^{1}_{1}\mathrm{H}$ (un protón solo), ${}^{2}_{1}\mathrm{H}$ (deuterio: un protón y un neutrón) y el inestable ${}^{3}_{1}\mathrm{H}$ (tritio: dos neutrones). El carbono natural: en su mayoría ${}^{12}_{6}\mathrm{C}$ ( $6$ protones, $6$ neutrones), un $1.1\,\%$ de ${}^{13}_{6}\mathrm{C}$ y un átomo de cada $10^{12}$ del inestable ${}^{14}_{6}\mathrm{C}$ ( $8$ neutrones), héroe del Ejemplo 19.17.

19.2 Núcleos estables e inestables

Proposición 19.3 (El valle de estabilidad)

Los nucleidos estables ocupan una banda estrecha del plano $(Z, N)$ : $N \approx Z$ para los núcleos ligeros y después un exceso creciente de neutrones, hasta $N \approx 1.5\,Z$ . Todo nucleido fuera de la banda — con demasiados neutrones, con demasiados protones o demasiado grande (más allá del plomo, $Z = 82$ , ningún nucleido es verdaderamente estable) — se transforma tarde o temprano.

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

Observación 19.4

Localizar la banda con exactitud es mecánica cuántica — los volúmenes universitarios. La pauta es el libro de cuentas del Capítulo 13: el pegamento fuerte solo liga a los vecinos y la repulsión de Coulomb abarca el núcleo entero, así que los núcleos pesados necesitan neutrones de más como pegamento; pero un exceso de neutrones también es inestable (de eso se encarga la interacción débil).

Los nucleidos estables se pegan a N = Z y después derivan hacia el exceso de neutrones; por encima de la banda un núcleo se desintegra -, por debajo + y, más allá del bismuto, . — Los nucleidos estables se pegan a $N = Z$ y después derivan hacia el exceso de neutrones; por encima de la banda un núcleo se desintegra $\beta^-$ , por debajo $\beta^+$ y, más allá del bismuto, $\alpha$ .

Definición 19.5 (Radiactividad)

La radiactividad es la transformación espontánea de un núcleo inestable en otro nucleido, con emisión de radiación. Es aleatoria: nada anuncia qué núcleo se desintegrará a continuación, y ninguna presión, temperatura ni química puede acelerarla ni retrasarla; solo las poblaciones grandes son predecibles (Definición 19.14).

Observación 19.6 (Becquerel y los Curie)

En 1896, Henri Becquerel descubrió que las sales de uranio velan una placa fotográfica a través de papel negro, dentro de un cajón cerrado y sin que se les aporte energía. Marie y Pierre Curie demostraron que el efecto es atómico, lo midieron y aislaron el polonio y el radio, un millón de veces más activos. La palabra radiactividad es de Marie Curie; y también lo son dos premios Nobel.

19.3 Alfa, beta, gamma

Definición 19.7 (Las tres radiaciones históricas)

Tres radiaciones, bautizadas antes de que nadie supiera qué eran:

alfa ( $\alpha$ ): un núcleo de helio ${}^{4}_{2}\mathrm{He}$ expulsado entero — pesado, con carga doble, detenido por una hoja de papel o por unos centímetros de aire;
beta ( $\beta^-$ ): un electrón ${}^{\;0}_{-1}\mathrm{e}$ creado en el núcleo y expulsado — ligero, rápido, detenido por unos milímetros de aluminio;
gamma ( $\gamma$ ): radiación electromagnética, mucho más energética que la luz — nunca se detiene del todo, solo se atenúa: un centímetro de plomo absorbe la mitad.

La muere en el papel y la - en unos milímetros de aluminio; la solo se adelgaza, incluso con plomo. — La $\alpha$ muere en el papel y la $\beta^-$ en unos milímetros de aluminio; la $\gamma$ solo se adelgaza, incluso con plomo.

Proposición 19.8 (Conservación en las ecuaciones nucleares)

En toda transformación nuclear, el número másico total $A$ y la carga total — la suma de los índices inferiores, contando $-1$ para un electrón emitido — son los mismos antes y después.

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

Observación 19.9

La conservación de la carga ya gobernaba el Capítulo 13; la conservación de $A$ dice que los nucleones solo se convierten, nunca se crean ni se destruyen — contabilidad honrada para los volúmenes universitarios.

Método 19.10 (Ajustar una ecuación de desintegración)

Escribir todos los actores con sus dos índices: $\alpha = {}^{4}_{2}\mathrm{He}$ , $\beta^- = {}^{\;0}_{-1}\mathrm{e}$ , $\beta^+ = {}^{0}_{+1}\mathrm{e}$ ; una $\gamma$ lleva $A = Z = 0$ .
Igualar las sumas de las $A$ y después las de las $Z$ (Proposición 19.8); resolver y leer el elemento hijo a partir de su $Z$ en la tabla periódica.

Ejemplo 19.11 (Una desintegración alfa)

El radio-226, el radio de los Curie, es un emisor $\alpha$ : ${}^{226}_{88}\mathrm{Ra} \to {}^{A}_{Z}\mathrm{Y} + {}^{4}_{2}\mathrm{He}$ obliga a $A = 226 - 4 = 222$ y $Z = 88 - 2 = 86$ ; el elemento $86$ es el radón, así que ${}^{226}_{88}\mathrm{Ra} \to {}^{222}_{86}\mathrm{Rn} + {}^{4}_{2}\mathrm{He}$ — el gas radiactivo de los sótanos sin ventilar.

Ejemplo 19.12 (Una desintegración beta menos)

El carbono-14 está por encima de la banda ( $8$ neutrones frente a $6$ protones): ${}^{14}_{6}\mathrm{C} \to {}^{14}_{7}\mathrm{N} + {}^{\;0}_{-1}\mathrm{e}$ . Comprobación: $14 = 14 + 0$ y $6 = 7 - 1$ ; un neutrón se ha convertido en un protón más el electrón expulsado — la interacción débil en acción.

Observación 19.13 (Beta más y gamma)

Por debajo de la banda, la desintegración espejo $\beta^+$ convierte un protón en un neutrón más un positrón ${}^{0}_{+1}\mathrm{e}$ , la antipartícula del electrón: ${}^{18}_{9}\mathrm{F} \to {}^{18}_{8}\mathrm{O} + {}^{0}_{+1}\mathrm{e}$ , caballo de batalla de la tomografía por emisión de positrones. Y tras la mayoría de las desintegraciones el núcleo hijo, que nace tembloroso, se asienta emitiendo además una $\gamma$ .

Los primeros pasos de la cadena del uranio-238; once desintegraciones más ( y -) terminan en el estable 206_82 Pb. — Los primeros pasos de la cadena del uranio-238; once desintegraciones más ( $\alpha$ y $\beta^-$ ) terminan en el estable ${}^{206}_{82}\mathrm{Pb}$ .

19.4 Periodo de semidesintegración y actividad

Definición 19.14 (Periodo de semidesintegración)

El periodo de semidesintegración $T_{1/2}$ de un nucleido es el tiempo tras el cual se ha desintegrado la mitad de cualquier muestra grande. Cada periodo adicional reduce a la mitad lo que queda: de $N_0$ núcleos quedan $N_0/2$ en $T_{1/2}$ , $N_0/4$ en $2\,T_{1/2}$ , $N_0/8$ en $3\,T_{1/2}$ y $N_0/2^{\,n}$ tras $n$ periodos.

Observación 19.15

Azar para un núcleo, relojería para $10^{23}$ : una muchedumbre inmensa lanzando monedas, impredecible una a una, con la mitad eliminada en cada ronda. Interpolar entre periodos enteros exige la función exponencial — el curso que viene, con el volumen de matemáticas.

Ejemplo 19.16 (Veinte potencias de diez)

polonio-214	$\alpha$	$1.6 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}$	eslabón de la cadena del radio
tecnecio-99m	$\gamma$	$6.0$ horas	imagen médica
americio-241	$\alpha$	$432$ años	detectores de humo
carbono-14	$\beta^-$	$5700$ años	arqueología
potasio-40	$\beta$	$1.25 \times 10^{9}$ años	en todos los plátanos
uranio-238	$\alpha$	$4.5 \times 10^{9}$ años	calor interno de la Tierra

Ejemplo 19.17 (Datación por carbono-14)

La materia viva intercambia carbono con la atmósfera, así que mantiene la proporción atmosférica de carbono-14; al morir cesa la entrada y la proporción se reduce a la mitad cada $5700$ años. Un carbón de una cueva pintada muestra la cuarta parte de la proporción de los vivos: un cuarto es la mitad de la mitad, luego el fuego ardió hace dos periodos, $2 \times 5700 = 11\,400$ años.

Definición 19.18 (Actividad)

La actividad $\mathcal A$ de una muestra es su número de desintegraciones por segundo, medida en becquerelios: $1\,\mathrm{Bq} = 1$ desintegración por segundo. Cuantos menos núcleos sobreviven, menos desintegraciones hay, así que la actividad también se reduce a la mitad en cada periodo.

La escalera de las mitades: tras n periodos la actividad vale A_0/2\,n — una octava parte tras tres, una milésima tras diez. — La escalera de las mitades: tras $n$ periodos la actividad vale $\mathcal A_0/2^{\,n}$ — una octava parte tras tres, una milésima tras diez.

Ejemplo 19.19 (Órdenes de magnitud)

Todo es un poco radiactivo. Un plátano: unos $15\,\mathrm{Bq}$ (potasio-40). Un cuerpo humano: unos $8000\,\mathrm{Bq}$ — la entradilla de este capítulo, unos quinientos plátanos. Un metro cúbico de granito: alrededor de $3 \times 10^{6}\,\mathrm{Bq}$ (uranio y su cadena, de donde sale el radón de los sótanos). Una inyección de tecnecio: unos $5 \times 10^{8}\,\mathrm{Bq}$ , que desaparecen en pocos días.

19.5 Servidores y peligros

Ejemplo 19.20 (Tres carreras de un núcleo inestable)

Medicina: el tecnecio-99m, emisor $\gamma$ puro con $T_{1/2} = 6$ horas, se fija a una molécula que absorbe el órgano buscado; una cámara filma desde fuera las $\gamma$ y, al día siguiente, el trazador casi ha desaparecido — mientras que la radioterapia invierte la lógica y concentra haces para destruir un tumor. Datación: carbono-14 para madera, hueso y tejido hasta unos $50\,000$ años; uranio-238 para las rocas — y para la Tierra, con sus $4.5 \times 10^{9}$ años. Detectores de humo: una mota de americio-241 ioniza el aire de una pequeña cámara y deja pasar una corriente diminuta; el humo ahoga la corriente y salta la alarma — y las $\alpha$ mueren en unos centímetros de aire.

Observación 19.21 (La dosis y el sievert)

La radiación arranca electrones de las moléculas y puede dañar el ADN. El daño biológico se sigue con la dosis, en sieverts ( $\mathrm{Sv}$ ), que pondera la energía depositada por kilogramo de tejido según lo dañina que sea cada radiación. Tres reglas: distancia, blindaje (para la $\alpha$ basta la piel — salvo que el emisor se inhale, que es el crimen del radón; para la $\beta$ , aluminio; para la $\gamma$ , plomo) y tiempo. La dosimetría propiamente dicha es materia universitaria.

19.6 Ejercicios

Ejercicio 19.1 ★

Da el número de protones y de neutrones de ${}^{16}_{8}\mathrm{O}$ , ${}^{27}_{13}\mathrm{Al}$ , ${}^{60}_{27}\mathrm{Co}$ , ${}^{235}_{92}\mathrm{U}$ y ${}^{3}_{1}\mathrm{H}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 19.1.

${}^{16}_{8}\mathrm{O}$ : $8$ p, $8$ n; ${}^{27}_{13}\mathrm{Al}$ : $13$ p, $14$ n; ${}^{60}_{27}\mathrm{Co}$ : $27$ p, $33$ n; ${}^{235}_{92}\mathrm{U}$ : $92$ p, $143$ n; ${}^{3}_{1}\mathrm{H}$ : $1$ p, $2$ n. ( $N = A - Z$ en todos los casos.)

Ejercicio 19.2 ★

Entre ${}^{14}_{6}\mathrm{C}$ , ${}^{14}_{7}\mathrm{N}$ , ${}^{12}_{6}\mathrm{C}$ , ${}^{13}_{6}\mathrm{C}$ y ${}^{16}_{8}\mathrm{O}$ , ¿cuáles son isótopos entre sí? ¿Por qué ${}^{14}_{6}\mathrm{C}$ y ${}^{14}_{7}\mathrm{N}$ no son isótopos, pese a tener el mismo número másico?

Solución

Solución de Ejercicio 19.2.

Los tres carbonos ( $Z = 6$ ) son isótopos entre sí. ${}^{14}_{6}\mathrm{C}$ y ${}^{14}_{7}\mathrm{N}$ comparten $A = 14$ pero no $Z$ : son elementos distintos (con nubes de electrones distintas), así que no son isótopos.

Ejercicio 19.3 ★

El polonio-210, ${}^{210}_{84}\mathrm{Po}$ , es un emisor $\alpha$ . Escribe la ecuación de desintegración y nombra al hijo ( $Z = 81$ : talio; $82$ : plomo; $83$ : bismuto).

Solución

Solución de Ejercicio 19.3.

$A = 210 - 4 = 206$ , $Z = 84 - 2 = 82$ : ${}^{210}_{84}\mathrm{Po} \to {}^{206}_{82}\mathrm{Pb} + {}^{4}_{2}\mathrm{He}$ — el hijo es el plomo-206.

Ejercicio 19.4 ★

Escribe las ecuaciones de desintegración $\beta^-$ del cobalto-60 ( ${}^{60}_{27}\mathrm{Co}$ ) y del yodo-131 ( ${}^{131}_{53}\mathrm{I}$ ); hijos: $Z = 28$ , níquel; $Z = 54$ , xenón.

Solución

Solución de Ejercicio 19.4.

${}^{60}_{27}\mathrm{Co} \to {}^{60}_{28}\mathrm{Ni} + {}^{\;0}_{-1}\mathrm{e}$ y ${}^{131}_{53}\mathrm{I} \to {}^{131}_{54}\mathrm{Xe} + {}^{\;0}_{-1}\mathrm{e}$ : $A$ no cambia y $Z$ sube en una unidad.

Ejercicio 19.5 ★

Una fuente de yodo-131 ( $T_{1/2} = 8.0$ días) tiene hoy una actividad de $800\,\mathrm{MBq}$ . ¿Qué actividad tiene al cabo de $16$ días? ¿Y de $32$ días?

Solución

Solución de Ejercicio 19.5.

$16$ días $= 2\,T_{1/2}$ : $800/4 = 200\,\mathrm{MBq}$ . $32$ días $= 4\,T_{1/2}$ : $800/16 = 50\,\mathrm{MBq}$ .

Ejercicio 19.6 ★★

Cuatro radiaciones atraviesan un campo magnético intenso y después unas pantallas. Identifica cada una: (a) la detiene el papel y el campo apenas la desvía; (b) atraviesa el papel, la detienen $4\,\mathrm{mm}$ de aluminio y el campo la desvía mucho; (c) atraviesa los dos, el plomo solo la atenúa y no se desvía; (d) como (b), pero desviada hacia el otro lado.

Solución

Solución de Ejercicio 19.6.

(a) $\alpha$ (pesada, y por eso apenas se desvía); (b) $\beta^-$ ; (c) $\gamma$ (neutra y penetrante); (d) $\beta^+$ (un positrón: tan ligero como (b), con carga opuesta).

Ejercicio 19.7 ★★

El radón-222 ( ${}^{222}_{86}\mathrm{Rn}$ ) abre una cadena rápida: una desintegración $\alpha$ , después otra $\alpha$ y después una $\beta^-$ . Escribe las tres ecuaciones ( $Z = 82$ : plomo; $83$ : bismuto; $84$ : polonio).

Solución

Solución de Ejercicio 19.7.

${}^{222}_{86}\mathrm{Rn} \to {}^{218}_{84}\mathrm{Po} + {}^{4}_{2}\mathrm{He}$ ; ${}^{218}_{84}\mathrm{Po} \to {}^{214}_{82}\mathrm{Pb} + {}^{4}_{2}\mathrm{He}$ ; ${}^{214}_{82}\mathrm{Pb} \to {}^{214}_{83}\mathrm{Bi} + {}^{\;0}_{-1}\mathrm{e}$ .

Ejercicio 19.8 ★★

El flúor-18, ${}^{18}_{9}\mathrm{F}$ , es el trazador de la tomografía por emisión de positrones; el flúor estable es ${}^{19}_{9}\mathrm{F}$ . ¿En qué lado de la banda de estabilidad está? Predice su modo de desintegración y escribe la ecuación ( $Z = 8$ : oxígeno).

Solución

Solución de Ejercicio 19.8.

El flúor-18 tiene $9$ neutrones donde el flúor-19 estable tiene $10$ : pobre en neutrones, por debajo de la banda, así que $\beta^+$ : ${}^{18}_{9}\mathrm{F} \to {}^{18}_{8}\mathrm{O} + {}^{0}_{+1}\mathrm{e}$ .

Ejercicio 19.9 ★★

Un paciente recibe $500\,\mathrm{MBq}$ de tecnecio-99m ( $T_{1/2} = 6.0$ horas) a las 08:00. ¿Qué actividad hay a las 08:00 de la mañana siguiente? ¿Al cabo de cuántas horas baja por primera vez de $1\,\mathrm{MBq}$ ?

Solución

Solución de Ejercicio 19.9.

$24$ horas $= 4\,T_{1/2}$ : $500/16 \approx 31\,\mathrm{MBq}$ . Como $2^9 = 512$ , nueve periodos llevan a $500/512 < 1\,\mathrm{MBq}$ : al cabo de $9 \times 6 = 54\,\mathrm{h}$ .

Ejercicio 19.10 ★★

Un hueso de una turbera muestra una proporción de carbono-14 igual a la octava parte de la de un hueso vivo ( $T_{1/2} = 5700$ años). ¿Cuántos años tiene el hueso? ¿Y por qué el carbono-14 no sirve para datar huesos de dinosaurio (de unos $10^{8}$ años)?

Solución

Solución de Ejercicio 19.10.

$\frac18 = \frac1{2^3}$ : tres periodos, $3 \times 5700 = 17\,100$ años. Un hueso de dinosaurio tiene unos $17\,500$ periodos de antigüedad: queda una fracción $1/2^{17500}$ — ni un solo átomo de carbono-14 (un gramo de carbono contiene apenas unos $5 \times 10^{22}$ átomos).

Ejercicio 19.11 ★★

Con el valle de estabilidad, predice el modo de desintegración ( $\alpha$ , $\beta^-$ o $\beta^+$ ) de ${}^{14}_{6}\mathrm{C}$ , ${}^{11}_{6}\mathrm{C}$ y ${}^{238}_{92}\mathrm{U}$ , justificando cada uno en una línea (carbono estable: ${}^{12}_{6}\mathrm{C}$ y ${}^{13}_{6}\mathrm{C}$ ).

Solución

Solución de Ejercicio 19.11.

${}^{14}_{6}\mathrm{C}$ : $8$ neutrones frente a los $6$ – $7$ del carbono estable, por encima de la banda, $\beta^-$ . ${}^{11}_{6}\mathrm{C}$ : $5$ neutrones, pobre en neutrones, $\beta^+$ . ${}^{238}_{92}\mathrm{U}$ : $Z = 92 > 83$ , demasiado pesado, $\alpha$ .

Ejercicio 19.12 ★★★

La cadena del uranio-238 termina, muchos pasos después, en el estable ${}^{206}_{82}\mathrm{Pb}$ ; cada paso es una $\alpha$ o una $\beta^-$ . Usando solo la conservación de $A$ , halla el número de pasos $\alpha$ ; y después, con la conservación de $Z$ , el número de pasos $\beta^-$ .

Solución

Solución de Ejercicio 19.12.

Solo la $\alpha$ cambia $A$ : $238 - 206 = 32 = 4x$ , luego $x = 8$ partículas alfa. Estas le quitan $16$ a $Z$ : de $92 - 16 + y = 82$ sale $y = 6$ desintegraciones beta menos.

Ejercicio 19.13 ★★★

La fuente de cobalto-60 de un hospital ( $T_{1/2} = 5.3$ años) tiene una actividad de $6.4\,\mathrm{TBq}$ ; la normativa permite deshacerse de ella por debajo de $0.1\,\mathrm{TBq}$ . ¿Al cabo de cuántos años se puede retirar?

Solución

Solución de Ejercicio 19.13.

$6.4/0.1 = 64 = 2^{6}$ : seis periodos, $6 \times 5.3 = 31.8 \approx 32$ años en almacenamiento blindado.

Ejercicio 19.14 ★★★

La actividad de tu cuerpo es de unos $8000\,\mathrm{Bq}$ . ¿Cuántos núcleos tuyos se desintegran al día? ¿Y a lo largo de una vida de $80$ años? Un plátano añade unos $15\,\mathrm{Bq}$ mientras lo digieres: comenta en una frase los titulares que temen a cada becquerelio.

Solución

Solución de Ejercicio 19.14.

Al día: $8000 \times 86400 \approx 6.9 \times 10^{8}$ desintegraciones. En $80$ años: $6.9 \times 10^{8} \times 365 \times 80 \approx 2 \times 10^{13}$ . La vida siempre ha funcionado con este fondo — un becquerelio es un átomo por segundo de entre los $\sim 10^{27}$ del cuerpo; la unidad es diminuta, y un recuento de becquerelios que suene aterrador puede equivaler a unos pocos plátanos.

Ejercicio 19.15 ★★★

Un detector de humo contiene $0.2\,\text{µ}\mathrm{g}$ de americio-241 ( $T_{1/2} = 432$ años), con una actividad de unos $25\,\mathrm{kBq}$ . ¿Cuántas desintegraciones son al día? Tras diez años de servicio, ¿el americio se ha desintegrado mucho menos de la mitad, aproximadamente la mitad o mucho más — y es el agotamiento de la fuente la razón de que se cambien los detectores? Y por último: ¿por qué esta fuente $\alpha$ es inofensiva en el techo y peligrosa si se tritura la cápsula y se inhala el polvo?

Solución

Solución de Ejercicio 19.15.

$25\,000 \times 86400 \approx 2.2 \times 10^{9}$ desintegraciones al día. Diez años son $10/432 \approx 2\,\%$ de un periodo: se ha desintegrado mucho menos de la mitad, así que lo que obliga a cambiarlo es la electrónica y el polvo, no la fuente. Por fuera, las $\alpha$ mueren en el aire de la cámara y en la carcasa; el polvo inhalado aparca el emisor en los pulmones, donde cada $\alpha$ vuelca su energía en tejido vivo — una dosis grande (en sieverts) a partir de una actividad modesta.

19.7 Problema: la momia, el reactor y el detector de humo

Problema 19.1

Problema de fin de semana — tres carreras de un núcleo inestable: una momia datada a base de mitades, el árbol genealógico del uranio ajustado, un detector de humo auditado y por qué las estrellas tenían que ser mortales

Tres núcleos inestables, tres oficios: el carbono-14 pone fecha a toda planta y todo animal muerto, el uranio-238 calienta un planeta desde dentro y el americio-241 vigila techos. Datos: $T_{1/2} = 5700$ años (C-14), $4.5 \times 10^{9}$ años (U-238) y $432$ años (Am-241); el carbono vivo muestra $13.6$ desintegraciones por minuto y gramo; números atómicos: N $7$ , O $8$ , Pb $82$ , Bi $83$ , Po $84$ , Rn $86$ , Ra $88$ , Th $90$ , Pa $91$ , U $92$ , Np $93$ , Am $95$ .

Parte I — La momia.

Da la composición (protones y neutrones) de ${}^{12}_{6}\mathrm{C}$ y ${}^{14}_{6}\mathrm{C}$ . ¿Por qué tienen una química idéntica dentro de un cuerpo?
¿Por qué es constante la proporción de carbono-14 en un cuerpo vivo, y por qué empieza a bajar al morir?
Escribe la ecuación de desintegración del carbono-14. ¿Escaparía su radiación a través de las vendas de lino de la momia?
Un gramo de carbono del lino muestra $6.8$ desintegraciones por minuto. ¿Qué fracción del ritmo de los vivos es? Data la momia.
Una segunda “momia”, joya de una colección privada, muestra $13.2$ desintegraciones por minuto y gramo. ¿Veredicto?
Estima el ritmo de una muestra de diez periodos de antigüedad y explica por qué la datación por carbono se apaga más allá de unos $57\,000$ años.

Parte II — El reactor bajo el prado.

Da la composición de ${}^{238}_{92}\mathrm{U}$ . ¿Por qué necesitan los núcleos pesados semejante excedente de neutrones?
Escribe su ecuación de desintegración $\alpha$ .
El hijo se desintegra después $\beta^-$ , y el nieto otra vez $\beta^-$ . Escribe las dos ecuaciones. ¿Qué elemento reaparece?
La cadena termina en ${}^{206}_{82}\mathrm{Pb}$ . Cuenta sus pasos $\alpha$ y después sus pasos $\beta^-$ .
La Tierra se formó hace $4.5 \times 10^{9}$ años. ¿Qué fracción de su uranio-238 primordial queda hoy? ¿Y dentro de $5$ mil millones de años más?
En una frase: ¿qué alimenta en la superficie ese calor de desintegración enterrado? (Piensa en los volcanes y en la deriva de los continentes.)

Parte III — El detector de humo.

Escribe la ecuación de desintegración $\alpha$ del ${}^{241}_{95}\mathrm{Am}$ .
Su actividad es de $33\,\mathrm{kBq}$ : ¿cuántas desintegraciones por segundo? ¿Y al día?
Explica el detector: ¿qué les hacen las partículas $\alpha$ al aire de la cámara, y qué cambia el humo?
¿Por qué es un emisor $\alpha$ la elección correcta aquí — y un emisor $\gamma$ de la misma actividad la peor de todas?
Tras un periodo de semidesintegración (¡ $432$ años!) la actividad sería de $16.5\,\mathrm{kBq}$ ; el manual pide sustituir el detector al cabo de diez años. ¿Es la fuente el eslabón débil?

Parte IV — Por qué las estrellas tenían que ser mortales.

Las estrellas moribundas forjaron y esparcieron todos los elementos más pesados que el helio. ¿Qué fracción del uranio-238 forjado hace $9 \times 10^{9}$ años sobrevive hoy? ¿Por qué la abundancia que le queda a la Tierra hace del planeta algo mucho más joven que las estrellas más viejas?
El calor interno radiactivo de la Tierra impulsa el vulcanismo y la tectónica de placas, y mantiene el núcleo agitado fabricando el escudo magnético del Capítulo 15. ¿Cómo sería un planeta hecho solo de átomos estables?
Una línea, como poesía y como contabilidad: ¿dónde se forjaron tus átomos y qué sigue calentando el suelo que pisas?

Solución

Solución de Problema 19.1.

1. ${}^{12}_{6}\mathrm{C}$ : $6$ p, $6$ n; ${}^{14}_{6}\mathrm{C}$ : $6$ p, $8$ n. La química solo ve la nube de electrones, fijada por $Z = 6$ : comportamiento idéntico.

2. Comer y respirar renuevan constantemente el carbono de un cuerpo vivo con la proporción atmosférica; al morir cesa la entrada y la desintegración actúa sin oposición.

3. ${}^{14}_{6}\mathrm{C} \to {}^{14}_{7}\mathrm{N} + {}^{\;0}_{-1}\mathrm{e}$ ( $\beta^-$ ). Esas $\beta$ son blandas: unos metros de lino enrollado las detienen, así que poco escapa de la momia — por eso se mide una pequeña muestra de carbono tomada del propio objeto.

4. $6.8/13.6 = \frac12$ : un periodo. La momia tiene unos $5700$ años.

5. $13.2/13.6 \approx 0.97$ : el lino es esencialmente moderno — como mucho de unos pocos siglos. Una falsificación.

6. $13.6/2^{10} = 13.6/1024 \approx 0.013$ desintegraciones por minuto — un recuento cada $75$ minutos y gramo, ahogado en el fondo natural. Diez periodos, unos $57\,000$ años, es el horizonte práctico.

7. $92$ protones y $146$ neutrones. La repulsión de Coulomb actúa entre todas las parejas de protones del núcleo, mientras que el pegamento fuerte solo liga a los vecinos: los núcleos pesados solo sobreviven con un excedente de neutrones, que son pegamento sin repulsión.

8. ${}^{238}_{92}\mathrm{U} \to {}^{234}_{90}\mathrm{Th} + {}^{4}_{2}\mathrm{He}$ .

9. ${}^{234}_{90}\mathrm{Th} \to {}^{234}_{91}\mathrm{Pa} + {}^{\;0}_{-1}\mathrm{e}$ y después ${}^{234}_{91}\mathrm{Pa} \to {}^{234}_{92}\mathrm{U} + {}^{\;0}_{-1}\mathrm{e}$ : reaparece el uranio, como uranio-234.

10. Por $A$ : $238 - 206 = 32$ , luego $8$ pasos $\alpha$ ; por $Z$ : $92 - 16 + y = 82$ , luego $6$ pasos $\beta^-$ .

11. $4.5 \times 10^{9}$ años son un periodo: queda $\frac12$ . Cinco mil millones de años más $\approx$ otro periodo: alrededor de $\frac14$ .

12. Impulsa los volcanes, la tectónica de placas (la deriva de los continentes, los terremotos) y el calor geotérmico: la geología superficial de un planeta calentado desde dentro.

13. ${}^{241}_{95}\mathrm{Am} \to {}^{237}_{93}\mathrm{Np} + {}^{4}_{2}\mathrm{He}$ .

14. $3.3 \times 10^{4}$ desintegraciones por segundo; $33\,000 \times 86400 \approx 2.9 \times 10^{9}$ al día.

15. Cada $\alpha$ ioniza el aire que atraviesa; los iones transportan una corriente diminuta entre los electrodos de la cámara. Las partículas de humo capturan los iones, la corriente cae y salta la alarma.

16. Las $\alpha$ gastan toda su energía dentro de la cámara y ninguna escapa de la carcasa: ionización máxima y fuga nula. Una fuente $\gamma$ de la misma actividad apenas ionizaría el aire de la cámara y, en cambio, irradiaría la habitación entera.

17. Diez años son $10/432 \approx 2\,\%$ de un periodo: la actividad no ha cambiado prácticamente nada. Los eslabones débiles son el polvo, los insectos y la electrónica — el núcleo sobrevive al aparato.

18. $9 \times 10^{9}$ años $= 2$ periodos: sobrevive $\frac14$ . El uranio de la Tierra sigue siendo abundante, así que se forjó como mucho hace unos pocos periodos — el planeta se condensó a partir de ceniza estelar fresca, miles de millones de años después de las primeras estrellas.

19. Geológicamente muerto: un interior frío, sin vulcanismo ni tectónica de placas que reciclen aire y roca, y sin un núcleo agitado — y, por tanto, sin escudo magnético frente al viento solar.

20. Todos tus átomos más pesados que el helio se forjaron en una estrella moribunda, y los restos inestables de aquella fragua todavía calientan el suelo que pisas: polvo de estrellas, mantenido vivo por su propio periodo de semidesintegración.