Física de secundaria · Grades 10–12

29Trabajo y energía mecánica

Echa una canica en una ensaladera: se lanza hacia abajo, se pasa del fondo, sube hasta su altura de partida, duda y da media vuelta — y cada inversión puede predecirse a partir de una curva (el perfil del cuenco) y una recta horizontal (la energía de la canica), sin resolver ninguna ecuación del movimiento. El curso pasado puso precio a las fuerzas sobre trayectos rectilíneos (Capítulo 17) y equilibró la energía cinética con la potencial (Capítulo 18); este año la contabilidad llega a todas partes: caminos curvos, resortes, paisajes de un vistazo.

29.1 El trabajo a lo largo de un camino cualquiera

Definición 29.1 (Trabajo a lo largo de un camino)

Sea una fuerza $\vect F$ que actúa sobre un cuerpo que se mueve por un camino cualquiera de $A$ a $B$ : corta el camino en desplazamientos $\vect{\dd\ell}$ tan cortos que cada uno sea recto y $\vect F$ apenas cambie a lo largo de él. Cada paso se gana el pequeño trabajo $\scal{F}{\dd\ell} = F\,\dd\ell\cos\theta$ (Capítulo 17), y el trabajo a lo largo del camino es su suma, $W_{AB}(\vect F) = \sum \scal{F}{\dd\ell}$ — que sobre un camino recto y con fuerza constante se reduce al $F \times AB \times \cos\theta$ del curso pasado.

Un camino curvo es una línea quebrada de muchos pasos cortos: cada se gana F\,; el trabajo es la suma. — Un camino curvo es una línea quebrada de muchos pasos cortos: cada $\vect{\dd\ell}$ se gana $F\,\dd\ell\cos\theta$ ; el trabajo es la suma.

Proposición 29.2 (Trabajo del peso, por cualquier camino)

A lo largo de cualquier camino de $A$ (altitud $z_A$ ) a $B$ (altitud $z_B$ ), el peso de una masa $m$ realiza el trabajo $W_{AB}(\vect P) = mg\,(z_A - z_B)$ : entra el desnivel, nunca el recorrido.

Demostración. Cada paso corto aporta $mg \times (\text{desnivel pequeño})$ (el cálculo del curso pasado sobre segmentos rectos); los desniveles se telescopan hasta $z_A - z_B$ . El caso curvo, admitido entonces, queda entregado. ∎

Definición 29.3 (Fuerzas conservativas y no conservativas)

Una fuerza es conservativa si su trabajo entre dos puntos es el mismo por cualquier camino (nulo en todo trayecto de ida y vuelta), y no conservativa en caso contrario. El peso y la fuerza de un resorte (sección siguiente) son conservativos. El rozamiento de deslizamiento no lo es: opuesto al movimiento, realiza $W = -fL$ sobre un camino de longitud $L$ — un peaje por metro que no se devuelve jamás.

Ejemplo 29.4 (Dos senderos hasta el refugio)

Un excursionista de $75\,\mathrm{kg}$ gana $300\,\mathrm{m}$ por un sendero empinado de $800\,\mathrm{m}$ o por $2.4\,\mathrm{km}$ de zigzags. El peso le cobra $-75 \times 9.81 \times 300 \approx -2.2 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$ por los dos; una fuerza de rozamiento de $30\,\mathrm{N}$ , $-2.4 \times 10^{4}\,\mathrm{J}$ por uno y $-7.2 \times 10^{4}\,\mathrm{J}$ por el otro. El peso devuelve lo suyo en la bajada; la factura del rozamiento se ha ido en calor, en ambos sentidos.

29.2 La energía potencial

Definición 29.5 (Energía potencial)

A cada fuerza conservativa se le asocia una energía potencial $E_p$ , un número que depende solo de la posición y que se define mediante $W_{AB} = E_p(A) - E_p(B)$ : el trabajo entregado es energía potencial gastada. Fijar $E_p = 0$ en un punto de referencia elegido la fija en todas partes; la elección desplaza todos los valores en una constante que se cancela en cualquier diferencia. Para el peso esto devuelve el $E_p = mgz$ del curso pasado, válido ahora por cualquier camino. El rozamiento no puede tener $E_p$ : una factura que depende del recorrido no es una diferencia de números asociados a los extremos — solo las fuerzas conservativas almacenan de forma recuperable, que es exactamente lo que el nombre conserva.

Proposición 29.6 (Energía potencial elástica)

Un resorte de constante elástica $k$ ( $\mathrm{N}/\mathrm{m}$ ) estirado o comprimido una longitud $x$ tira de vuelta con la fuerza $F = kx$ (Capítulo 28); el trabajo que entrega al volver al reposo — su energía potencial elástica — vale $E_p = \tfrac12\, k x^2$ .

Demostración. La fuerza recuperadora actúa a lo largo del movimiento, así que $\sum F\,\dd\ell$ es el área bajo la gráfica $F$ – $x$ : un triángulo de base $x$ y altura $kx$ , de área $\tfrac12 x \times kx$ . La fuerza en cada elongación es la misma a la ida que a la vuelta: trabajo fijado por los extremos, fuerza del resorte conservativa y $E_p$ bien definida. ∎

La fuerza del resorte crece con la elongación; la energía almacenada es el área bajo la recta: un triángulo, 1/2 × x × kx. — La fuerza del resorte crece con la elongación; la energía almacenada es el área bajo la recta: un triángulo, $\tfrac12 \times x \times kx$ .

29.3 Los dos teoremas de la energía

Teorema 29.7 (Teorema de la energía cinética)

Para cualquier movimiento de un cuerpo de masa $m$ de $A$ a $B$ — curvo, con bucles, tridimensional —

\Delta E_k = E_k(B) - E_k(A) = \sum W_{AB}(\vect F),

donde la suma recorre todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo.

Demostración. Como $v^2 = \scal{v}{v}$ , la regla del producto de las matemáticas de este curso da la derivada de $v^2$ como $2\,\scal{a}{v}$ , luego $\dd E_k/\dd t = m\,\scal{a}{v} = \scal{F_{\text{tot}}}{v}$ por la segunda ley de Newton (Capítulo 25). En un $\dd t$ corto el cuerpo se desplaza $\vect{\dd\ell} = \vect v\,\dd t$ : $E_k$ gana el pequeño trabajo de la Definición 29.1; sumar los pasos suma los trabajos — el enunciado admitido del curso pasado, ganado por completo. ∎

Proposición 29.8 (Potencia instantánea)

En cada instante, una fuerza $\vect F$ sobre un cuerpo de velocidad $\vect v$ entrega la potencia $P = \scal{F}{v} = Fv\cos\theta$ , y $\dd E_k/\dd t$ es la suma de las potencias de todas las fuerzas: la fórmula del curso pasado a velocidad constante, exacta ahora en cada instante de cualquier movimiento.

Demostración. Se lee en la demostración anterior: cada fuerza aporta a $E_k$ $\scal{F}{\dd\ell} = \scal{F}{v}\,\dd t$ durante $\dd t$ . ∎

Teorema 29.9 (Teorema de la energía mecánica)

Sea $E_m = E_k + E_p$ , donde $E_p$ reúne las energías potenciales de todas las fuerzas conservativas en juego. Entonces, a lo largo de cualquier camino,

\Delta E_m = W_{AB}(\text{fuerzas no conservativas}),

y $E_m$ se conserva siempre que las fuerzas no conservativas no realicen trabajo.

Demostración. Desglosemos el teorema de la energía cinética: $\Delta E_k = W_{\text{cons}} + W_{\text{nc}} = -\Delta E_p + W_{\text{nc}}$ ; pásese $\Delta E_p$ al otro lado. ∎

Ejemplo 29.10 (El péndulo, esta vez honradamente)

Una masa pendular colgada de un hilo de longitud $L = 2.5\,\mathrm{m}$ se suelta en reposo a $45{}^{\circ}$ de la vertical. La tensión, perpendicular al movimiento, no tiene potencia; el peso es conservativo: $E_m$ se conserva sobre el arco curvo, cosa que el curso pasado solo podía comprobarse. La masa parte $h = L(1 - \cos45{}^{\circ}) = 0.73\,\mathrm{m}$ más arriba, así que abajo $v = \sqrt{2gh} \approx 3.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

Método 29.11 (Auditoría energética de un movimiento cualquiera)

Elige el sistema y enumera las fuerzas que actúan sobre él.
Clasifícalas: perpendiculares al movimiento $\to$ no trabajan; conservativas $\to$ una $E_p$ dentro de $E_m$ ; el resto $\to$ $W_{\text{nc}}$ (rozamiento de deslizamiento: $-fL$ , con $L$ = longitud del camino).
Escribe $\Delta E_m = W_{\text{nc}}$ entre el punto de datos y el punto de la pregunta; resuelve. La energía responde a “a qué rapidez, a qué altura”; solo el tiempo y la aceleración necesitan las leyes de Newton.

29.4 Diagramas de energía

Definición 29.12 (Diagrama de energía, puntos de retorno)

Para un movimiento a lo largo de un eje $x$ con $E_m$ conservada, el diagrama de energía representa la curva $E_p(x)$ y la recta horizontal $E_m$ . Como $E_k = E_m - E_p \geq 0$ , el movimiento queda confinado allí donde la curva está por debajo de la recta; la separación entre ambas es $E_k$ , leída directamente. En un punto de retorno, donde la curva se encuentra con la recta, $v = 0$ y el movimiento se invierte.

Un diagrama de energía, leído sin resolver nada: con la energía E_m el cuerpo oscila entre x_1 y x_2, y va más rápido donde la separación es mayor; con E_m' repta por encima de la colina y escapa. — Un diagrama de energía, leído sin resolver nada: con la energía $E_m$ el cuerpo oscila entre $x_1$ y $x_2$ , y va más rápido donde la separación es mayor; con $E_m'$ repta por encima de la colina y escapa.

Proposición 29.13 (La fuerza a partir del paisaje; equilibrios)

La fuerza conservativa a lo largo de $x$ es menos la pendiente de $E_p$ : $F = -\,\dd E_p/\dd x$ — apunta cuesta abajo en el diagrama y se anula allí donde la tangente es horizontal: un equilibrio. Un mínimo de $E_p$ es estable — el cuerpo desplazado es empujado de vuelta, como una bola en un valle; un máximo es inestable — lo empuja lejos, como una bola en la cima de una colina.

Demostración. En un paso pequeño $\dd x$ la fuerza realiza el trabajo $F\,\dd x = E_p(x) - E_p(x + \dd x) = -\dd E_p$ ; divídase entre $\dd x$ . Cuesta abajo, a un lado y a otro de un valle, se apunta hacia dentro; alrededor de una cima, hacia fuera. ∎

Observación 29.14 (Oscilaciones y escape)

Las pequeñas oscilaciones del Capítulo 28 viven en el fondo de los valles de $E_p$ . Y lejos de la Tierra la gravedad se debilita: la curva $E_p(r)$ sube cada vez más despacio hacia un techo finito (el área bajo la gráfica de la fuerza menguante es finita). Un cohete cuya $E_m$ alcance ese techo no encuentra jamás un punto de retorno: escapa — alrededor de $11.2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ desde el suelo (Ejercicio 29.13); por debajo de eso queda ligado. El propio techo se calcula en el volumen del primer año de universidad.

Ejemplo 29.15 (El rizo)

Una canica soltada desde la altura $H$ se cuela en un rizo vertical de radio $R$ . La dinámica circular (Capítulo 25) exige $v_{\text{cima}}^2 \geq gR$ arriba — el dato que tomaba prestado el problema de la montaña rusa del curso pasado, ahora nuestro. La conservación desde el reposo en $H$ hasta la cima (altura $2R$ ) da $v_{\text{cima}}^2 = 2g(H - 2R)$ , luego $H \geq \tfrac52 R$ : medio radio por encima de la cima del rizo, sea cual sea la masa — y un poco más en el mundo real, donde se roza.

El rizo: el punto de suelta queda medio radio por encima de la cima, de modo que la E_k sobrante mantiene la canica pegada a la pista (v_ cima2 = gR). — El rizo: el punto de suelta queda medio radio por encima de la cima, de modo que la $E_k$ sobrante mantiene la canica pegada a la pista ( $v_{\text{cima}}^2 = gR$ ).

29.5 Ejercicios

Ejercicio 29.1 ★

Un resorte de constante elástica $k = 200\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ se estira $5.0\,\mathrm{cm}$ . Calcula la energía almacenada; ¿en qué se convierte si la elongación se duplica? ¿Cuánto cuestan los segundos $5.0\,\mathrm{cm}$ ?

Solución

Solución de Ejercicio 29.1.

$E_p = \tfrac12 \times 200 \times 0.050^2 = 0.25\,\mathrm{J}$ . Con la elongación duplicada: $\times 4$ , es decir, $1.0\,\mathrm{J}$ . Los segundos $5.0\,\mathrm{cm}$ , por sí solos, cuestan $1.0 - 0.25 = 0.75\,\mathrm{J}$ — allí la fuerza es mayor.

Ejercicio 29.2 ★

Un dron de $0.90\,\mathrm{kg}$ vuela siguiendo un recorrido caprichoso desde una terraza a $z = 12\,\mathrm{m}$ hasta un balcón a $z = 30\,\mathrm{m}$ . ¿Trabajo de su peso? ¿Y por la subida en línea recta? ¿Y en el trayecto de ida y vuelta?

Solución

Solución de Ejercicio 29.2.

$W = mg(z_A - z_B) = 0.90 \times 9.81 \times (12 - 30) \approx -1.6 \times 10^{2}\,\mathrm{J}$ , sea cual sea el recorrido — lo mismo por la subida recta. Ida y vuelta: $0\,\mathrm{J}$ (fuerza conservativa).

Ejercicio 29.3 ★

¿Conservativa, no conservativa o sin trabajo? Justifícalo con los caminos: (a) el peso; (b) la fuerza de un resorte; (c) el rozamiento de deslizamiento; (d) la reacción normal sobre una caja que desliza; (e) el rozamiento del aire.

Solución

Solución de Ejercicio 29.3.

(a) y (b), conservativas: el trabajo queda fijado por los extremos (desnivel; elongación). (c) y (e), no conservativas: $-fL$ y el rozamiento del aire cobran por metro recorrido. (d) no trabaja: es siempre perpendicular al movimiento.

Ejercicio 29.4 ★

Un péndulo de $2.0\,\mathrm{m}$ de longitud se suelta en reposo a $60{}^{\circ}$ de la vertical. Halla su rapidez en el punto más bajo. ¿Por qué la tensión del hilo no entra nunca en el balance?

Solución

Solución de Ejercicio 29.4.

$h = L(1 - \cos60{}^{\circ}) = 1.0\,\mathrm{m}$ ; $v = \sqrt{2 \times 9.81 \times 1.0} \approx 4.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . La tensión es perpendicular al movimiento en todo instante: potencia nula, trabajo nulo.

Ejercicio 29.5 ★

Una ciclista rueda a $9.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ en llano entregando $250\,\mathrm{W}$ : ¿contra qué fuerza resistente total pelea? Subiendo a $5.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ con la misma potencia: ¿qué fuerza vence?

Solución

Solución de Ejercicio 29.5.

$F = P/v = 250/9.0 \approx 28\,\mathrm{N}$ . A $5.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $F = 250/5.0 = 50\,\mathrm{N}$ (sobre todo la componente de la gravedad a lo largo de la pendiente).

Ejercicio 29.6 ★★

El resorte de un lanzador de juguete ( $k = 450\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ ) se comprime $8.0\,\mathrm{cm}$ detrás de un dardo de $20\,\mathrm{g}$ . Halla la energía almacenada, la rapidez de lanzamiento y la altura alcanzada si se dispara verticalmente (sin aire).

Solución

Solución de Ejercicio 29.6.

$E_p = \tfrac12 \times 450 \times 0.080^2 = 1.44\,\mathrm{J}$ ; $v = \sqrt{2 \times 1.44/0.020} = 12\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $h = E_p/mg = 1.44/(0.020 \times 9.81) \approx 7.3\,\mathrm{m}$ .

Ejercicio 29.7 ★★

Estirando una goma elástica, un estudiante mide $F = 0$ , $3.0$ , $7.0$ , $12.0$ , $18.0\,\mathrm{N}$ en $x = 0$ , $2.0$ , $4.0$ , $6.0$ , $8.0\,\mathrm{cm}$ . Estima la energía almacenada por áreas de trapecios; compárala con $\tfrac12 kx^2$ , tomando $k = F/x$ en el extremo. ¿Por qué difieren?

Solución

Solución de Ejercicio 29.7.

Trapecios (pasos de $2.0\,\mathrm{cm}$ ): $(0.03 + 0.10 + 0.19 + 0.30) = 0.62\,\mathrm{J}$ . Modelo de recta: $k = 18.0/0.080 = 225\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ , $\tfrac12 kx^2 = 0.72\,\mathrm{J}$ . La curva medida se hunde por debajo de la recta para $x$ pequeña, así que el área verdadera es menor.

Ejercicio 29.8 ★★

Un trineísta de $55\,\mathrm{kg}$ parte del reposo, baja $8.0\,\mathrm{m}$ a lo largo de una pista curva de $25\,\mathrm{m}$ y llega a $9.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . ¿Energía mecánica perdida? ¿Fuerza media de rozamiento? ¿Por qué es irrelevante la forma exacta de la pista?

Solución

Solución de Ejercicio 29.8.

$\Delta E_m = \tfrac12 \times 55 \times 9.0^2 - 55 \times 9.81 \times 8.0 = 2228 - 4316 \approx -2.1 \times 10^{3}\,\mathrm{J}$ ; $f = 2089/25 \approx 84\,\mathrm{N}$ . El peso es conservativo y la reacción normal no trabaja: solo entran el desnivel y la longitud del camino, no su forma.

Ejercicio 29.9 ★★

Una pista de canicas tiene un rizo de $20\,\mathrm{cm}$ de radio. Halla la altura mínima de suelta (desde el reposo, sin rozamiento). Soltada desde $60\,\mathrm{cm}$ : ¿rapidez en la cima del rizo y cociente $v_{\text{cima}}^2/(gR)$ ? ¿Por qué una pista real debe lanzarse desde aún más arriba?

Solución

Solución de Ejercicio 29.9.

$H_{\min} = \tfrac52 R = 0.50\,\mathrm{m}$ . Desde $60\,\mathrm{cm}$ : $v_{\text{cima}} = \sqrt{2 \times 9.81 \times (0.60 - 0.40)} \approx 2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , y $v_{\text{cima}}^2/(gR) = 2.0$ — el doble del mínimo. El rozamiento va rascando energía todo el camino, así que las pistas reales necesitan altura de más.

Ejercicio 29.10 ★★

Una cuenta de $100\,\mathrm{g}$ desliza sin rozamiento por un eje, con $E_p(x) = 8.0\,x^2$ (en julios, con $x$ en metros) y $E_m = 2.0\,\mathrm{J}$ . ¿Puntos de retorno? ¿Rapidez máxima? ¿Qué tipo de movimiento es este?

Solución

Solución de Ejercicio 29.10.

Puntos de retorno: $8.0\,x^2 = 2.0$ , $x = \pm0.50\,\mathrm{m}$ . Rapidez máxima en $x = 0$ : $v = \sqrt{2 \times 2.0/0.100} \approx 6.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Una oscilación de ida y vuelta en un pozo parabólico — la $E_p$ del oscilador masa–resorte tiene exactamente esta forma.

Ejercicio 29.11 ★★

Un coche de $1200\,\mathrm{kg}$ a $2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ es detenido por el resorte de un parachoques de constante elástica $k = 6.0 \times 10^{5}\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ . Halla la compresión máxima. A $4.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : ¿por qué no es cuatro veces mayor, si la energía se cuadruplica?

Solución

Solución de Ejercicio 29.11.

$\tfrac12 kx^2 = \tfrac12 mv^2$ : $x = v\sqrt{m/k} = 2.0\sqrt{1200/6.0 \times 10^{5}} \approx 8.9\,\mathrm{cm}$ . A $4.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $18\,\mathrm{cm}$ — el doble, no el cuádruple: la energía se cuadruplica, pero $E_p$ crece como $x^2$ , así que $x$ solo se duplica.

Ejercicio 29.12 ★★★

Un carrito de $0.50\,\mathrm{kg}$ rueda por una pista cuya $E_p(x)$ tiene una cima de $6.0\,\mathrm{J}$ ( $x = 0$ ) y un valle de $2.0\,\mathrm{J}$ ( $x = 1.5\,\mathrm{m}$ ). (a) Si llega por la izquierda con $E_m = 5.0\,\mathrm{J}$ : ¿pasa? ¿Qué hace en su lugar? (b) Con $E_m = 7.0\,\mathrm{J}$ : ¿rapideces en la cima y en el valle? (c) ¿Equilibrios?

Solución

Solución de Ejercicio 29.12.

(a) $E_m = 5.0\,\mathrm{J} < 6.0\,\mathrm{J}$ : no puede pasar; se para en la ladera donde $E_p = 5.0\,\mathrm{J}$ y vuelve rodando. (b) En la cima: $E_k = 1.0\,\mathrm{J}$ , $v = \sqrt{2 \times 1.0/0.50} = 2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; en el valle: $E_k = 5.0\,\mathrm{J}$ , $v \approx 4.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (c) $x = 0$ : inestable (máximo); $x = 1.5\,\mathrm{m}$ : estable (mínimo).

Ejercicio 29.13 ★★★

Admitiendo que subir una masa $m$ desde el suelo hasta una distancia arbitrariamente grande cuesta $mgR_E$ , con $R_E = 6.37 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ (el área finita bajo la gráfica de la gravedad menguante), calcula la velocidad de escape de la Tierra. ¿Por qué es la misma para una sonda que para un guijarro? ¿Y un lanzamiento justo por debajo de ella?

Solución

Solución de Ejercicio 29.13.

$\tfrac12 mv^2 = mgR_E$ : $v = \sqrt{2 \times 9.81 \times 6.37 \times 10^{6}} \approx 1.12 \times 10^{4}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 11.2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ . Todos los términos son proporcionales a $m$ : da igual sonda que guijarro. Justo por debajo, el lanzamiento sube aún muchísimo, encuentra un punto de retorno y vuelve a caer: queda ligado.

Ejercicio 29.14 ★★★

Un móvil de $250\,\mathrm{g}$ oscila sobre un resorte ( $k = 40\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ ) con amplitud $6.0\,\mathrm{cm}$ (Capítulo 28). ¿Energía total? ¿Rapidez máxima? ¿Posiciones donde $E_k = E_p$ ?

Solución

Solución de Ejercicio 29.14.

$E_m = \tfrac12 kA^2 = \tfrac12 \times 40 \times 0.060^2 = 7.2 \times 10^{-2}\,\mathrm{J}$ ; $v_{\max} = \sqrt{2E_m/m} = \sqrt{2 \times 0.072/0.250} \approx 0.76\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $E_k = E_p$ donde $\tfrac12 kx^2 = E_m/2$ : $x = \pm A/\sqrt 2 \approx \pm4.2\,\mathrm{cm}$ .

Ejercicio 29.15 ★★★

Un saltador de pértiga esprinta a $9.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Estima la altura que gana su centro de masas si la pértiga convierte toda su energía cinética, y el listón superado (con el centro de masas partiendo de $1.0\,\mathrm{m}$ ). El récord anda por $6.3\,\mathrm{m}$ : ¿qué capta la estimación y qué deja fuera?

Solución

Solución de Ejercicio 29.15.

$h = v^2/2g = 9.5^2/19.62 \approx 4.6\,\mathrm{m}$ ; listón $\approx 4.6 + 1.0 = 5.6\,\mathrm{m}$ . El récord es mayor: los saltadores añaden trabajo con brazos y piernas sobre la pértiga flexionada. Pero la estimación energética fija la escala — ningún salto de velocista llegará a $10\,\mathrm{m}$ .

29.6 Problema: El trampolín de saltos de esquí

Problema 29.1

Problema de fin de semana — el trampolín de esquí: una rampa auditada con un radar de velocidad, un vuelo en caída libre, la suave geometría de una recepción empinada y la torre que un proyectista tiene que comprar cuando el rozamiento pasa factura

Un saltador de esquí olímpico ( $m = 70\,\mathrm{kg}$ , esquís incluidos) parte del reposo desde una puerta situada $H = 45\,\mathrm{m}$ por encima de la mesa de despegue, desliza $L = 90\,\mathrm{m}$ de rampa curva y deja la mesa horizontalmente; allí un radar de velocidad marca $v_0 = 26\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . El punto de recepción queda $h = 40\,\mathrm{m}$ más abajo, sobre una pendiente de $35{}^{\circ}$ . Las partes II y III desprecian la resistencia del aire.

Parte I — La rampa.

Predice la rapidez de despegue sin rozamiento; ¿por qué es irrelevante la curva de la rampa?
Con la referencia en la mesa, calcula $E_m$ en la puerta y en el despegue.
Calcula $\Delta E_m$ ; ¿qué teorema nombra a los culpables, y quiénes son?
Deduce la fuerza resistente media (nieve más aire) a lo largo de la rampa.
¿Qué fracción de $E_m$ se pierde? ¿Por qué encerar los esquís y agacharse?

Parte II — El vuelo.

En el vuelo solo actúa el peso: ¿de qué movimiento del Capítulo 26 se trata? ¿Componentes de la velocidad en la recepción?
La rapidez de recepción, dos veces: a partir de las componentes y a partir de la conservación de $E_m$ . ¿En $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ?
Calcula el tiempo de vuelo y la distancia horizontal recorrida.
Los saltadores reales cabalgan el aire como un ala y vuelan mucho más lejos: ¿puede el aire aumentar la rapidez de recepción? Argumenta con el teorema de la energía mecánica.

Parte III — La recepción.

Calcula el ángulo de la velocidad de recepción por debajo de la horizontal.
Descomponla en las componentes paralela y perpendicular a la pendiente.
Las piernas solo absorben la parte perpendicular: calcula esa energía cinética; compárala con la total.
Un suelo horizontal lo absorbería todo: ¿a qué caída vertical equivale cada recepción ( $h_{\text{eq}} = v_\perp^2/2g$ , resp. $v^2/2g$ )?
En una frase: ¿por qué las pistas de recepción son empinadas y curvas?

Parte IV — La torre del proyectista. Un trampolín más pequeño necesita despegar solo a $v_0' = 24\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; su rampa recta desciende a $35{}^{\circ}$ , así que una altura de puerta $H'$ significa una longitud de pista $H'/\sin35{}^{\circ}$ ; el mismo rozamiento de $80\,\mathrm{N}$ .

Calcula la altura de puerta que construiría un proyectista sin rozamiento.
Escribe el teorema de la energía mecánica, de la puerta a la mesa, para $H'$ .
Despeja $H'$ .
¿En qué porcentaje elevó el rozamiento la torre?
La masa ya no se cancela: recalcula $H'$ para un saltador de $60\,\mathrm{kg}$ . ¿Quién necesita la torre más alta, y por qué?
El remate: la torre anunciada y la parte de ella que se lleva el rozamiento.

Solución

Solución de Problema 29.1.

1. $v = \sqrt{2gH} = \sqrt{2 \times 9.81 \times 45} \approx 29.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : peso conservativo, reacción normal sin trabajo — el perfil desaparece.

2. Puerta: $E_m = mgH = 70 \times 9.81 \times 45 \approx 3.09 \times 10^{4}\,\mathrm{J}$ . Despegue: $E_m = \tfrac12 \times 70 \times 26^2 \approx 2.37 \times 10^{4}\,\mathrm{J}$ .

3. $\Delta E_m \approx -7.2 \times 10^{3}\,\mathrm{J}$ ; el teorema de la energía mecánica se lo carga a las fuerzas no conservativas: el rozamiento de la nieve y el del aire.

4. $f = 7.2 \times 10^{3}/90 \approx 80\,\mathrm{N}$ .

5. $7.2 \times 10^{3}/3.09 \times 10^{4} \approx 23\,\%$ . La cera reduce $f$ y agacharse reduce el rozamiento del aire: ambas cosas encogen $fL$ , el único término negociable.

6. Caída libre con velocidad inicial horizontal — un tiro parabólico. $v_x = 26\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $v_y = \sqrt{2 \times 9.81 \times 40} \approx 28.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

7. $v = \sqrt{26^2 + 28.0^2} = \sqrt{1461} \approx 38.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; por energía, $v = \sqrt{v_0^2 + 2gh} = \sqrt{676 + 785}$ — idéntico. Unos $138\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .

8. $t = v_y/g = 28.0/9.81 \approx 2.9\,\mathrm{s}$ ; $d = v_0 t \approx 74\,\mathrm{m}$ .

9. No. La sustentación es perpendicular a la velocidad (no trabaja) y el rozamiento se le opone (trabajo negativo): $\Delta E_m \leq 0$ , así que la rapidez real de recepción solo puede ser menor — el aire alarga el vuelo, no lo alimenta.

10. $\alpha = \arctan(28.0/26) \approx 47{}^{\circ}$ por debajo de la horizontal.

11. Ángulo con la pendiente: $47 - 35 = 12{}^{\circ}$ . $v_\parallel = 38.2\cos12{}^{\circ} \approx 37.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $v_\perp = 38.2\sin12{}^{\circ} \approx 7.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

12. Absorbida: $\tfrac12 \times 70 \times 7.9^2 \approx 2.2 \times 10^{3}\,\mathrm{J}$ , frente a $\tfrac12 \times 70 \times 38.2^2 \approx 5.1 \times 10^{4}\,\mathrm{J}$ en total: alrededor del $4\,\%$ .

13. $h_{\text{eq}} = 7.9^2/19.62 \approx 3.2\,\mathrm{m}$ — un salto atrevido desde un muro. En llano: $38.2^2/19.62 \approx 74\,\mathrm{m}$ — no se sobrevive.

14. Una pendiente paralela a la trayectoria de vuelo mantiene $v_\perp$ pequeña, así que las piernas absorben unos metros y no la montaña entera de energía cinética.

15. $H'_0 = v_0'^2/2g = 576/19.62 \approx 29.4\,\mathrm{m}$ .

16. $mgH' - f\,\dfrac{H'}{\sin35{}^{\circ}} = \tfrac12 m v_0'^2$ .

17. $H' = \dfrac{\tfrac12 \times 70 \times 576} {686.7 - 80/0.574} = \dfrac{20\,160}{547} \approx 37\,\mathrm{m}$ .

18. $36.8/29.4 \approx 1.25$ : un recargo del $25\,\%$ .

19. Para $60\,\mathrm{kg}$ : $H' = 17\,280/(588.6 - 139.5) \approx 38.5\,\mathrm{m}$ . Es la saltadora más ligera la que necesita la torre más alta: la factura de rozamiento $fL$ es la misma, pero su presupuesto energético $mgH'$ es menor.

20. Anuncia una torre de $37\,\mathrm{m}$ para $24\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ de despegue — y confiesa que una cuarta parte de ella, unos $7\,\mathrm{m}$ de hormigón, es el recargo que el rozamiento le cobra al sueño sin rozamiento.