Física de secundaria · Grades 10–12

32La desintegración radiactiva

En el sótano de un museo, un contador Geiger crepita sobre una astilla de madera del sarcófago de un faraón. Cada chasquido carece de ley: nada lo anunció, nada predice el siguiente. Y sin embargo, para el viernes el laboratorio imprimirá una fecha con un siglo de precisión. Este capítulo resuelve la paradoja — cómo unos sucesos perfectamente aleatorios uno a uno suman, por billones, los relojes más regulares que tenemos.

32.1 Sin ley uno a uno, relojería por moles

El curso pasado (Capítulo 19) conocimos los núcleos inestables, ajustamos sus ecuaciones $\alpha$ y $\beta$ y vimos desaparecer la mitad de cualquier muestra grande en cada periodo de semidesintegración $T_{1/2}$ . Lo que no sabíamos decir era cuándo entre escalón y escalón — ni por qué un proceso aleatorio respeta horario alguno. Las dos preguntas tienen una sola respuesta.

Definición 32.1 (Constante de desintegración)

Para cada nucleido inestable existe una constante $\lambda$ , su constante de desintegración (unidad $\mathrm{s}^{-1}$ ), tal que durante cualquier intervalo corto $\dd t$ cada núcleo tiene la probabilidad $p = \lambda\,\dd t$ de desintegrarse — la misma para todos los núcleos de la especie, sea cual sea su edad, e insensible a la temperatura, la presión o la química.

Observación 32.2 (Sin ley por separado, exactos en multitud)

Un núcleo que lleva esperando diez mil años tiene exactamente la misma probabilidad de desintegrarse este segundo que otro fabricado esta mañana: no se desgasta, no avisa — cuál será el siguiente es genuinamente impredecible. Con las multitudes ocurre otra cosa. Lanza $100$ monedas: espera $50$ caras, pero no te sorprendas ante $43$ — fluctuaciones del orden de $\sqrt n$ , aquí un $10\,\%$ . Lanza $10^{20}$ : la fluctuación relativa $1/\sqrt n$ vale $10^{-10}$ , y el resultado es seguro hasta la décima cifra. Un gramo de materia alberga unos $10^{22}$ núcleos: la falta de ley se promedia hasta convertirse en relojería, una ley exacta para $N(t)$ , el número de núcleos todavía intactos en el instante $t$ .

Dos muestras reales de 20 núcleos bajan a trompicones e impredeciblemente en torno a la curva esperada; un mol de núcleos se le pegaría hasta la décima cifra. — Dos muestras reales de $20$ núcleos bajan a trompicones e impredeciblemente en torno a la curva esperada; un mol de núcleos se le pegaría hasta la décima cifra.

32.2 La ley de desintegración

Proposición 32.3 (La ecuación de evolución)

En una muestra grande de $N$ núcleos, durante $\dd t$ el número varía en

\dd N = -\lambda N\,\dd t, \qquad\text{es decir,}\qquad \frac{\dd N}{\dd t} = -\lambda N :

la población decrece a un ritmo proporcional a sí misma.

Demostración. Cada uno de los $N$ núcleos se desintegra durante $\dd t$ con probabilidad $\lambda\,\dd t$ : desintegraciones esperadas, $N\lambda\,\dd t$ , y para $N$ grande el recuento real se pega al esperado (Observación 32.2); cada desintegración retira un núcleo. ∎

Teorema 32.4 (Ley de desintegración radiactiva)

Una muestra que alberga $N_0$ núcleos en $t = 0$ alberga, en el instante $t$ ,

N(t) = N_0 \, e^{-\lambda t}.

Demostración. Comprobación por sustitución: $\dd N/\dd t = N_0(-\lambda)\,e^{-\lambda t} = -\lambda N(t)$ , y $N(0) = N_0 e^0 = N_0$ : la ecuación y el arranque, ambos correctos. (Que ninguna otra función encaja se demuestra, con integrales, en el volumen universitario.) ∎

Definición 32.5 (Decrecimiento exponencial)

Una magnitud que sigue $N_0\,e^{-\lambda t}$ experimenta un decrecimiento exponencial: en tiempos iguales se pierden fracciones iguales. Es exactamente el condensador que se descarga del Capítulo 30, con $\lambda$ haciendo el papel de $1/(RC)$ : una sola ecuación diferencial, aprendida una vez, gobierna por igual circuitos y núcleos.

Proposición 32.6 (Periodo de semidesintegración)

El periodo de semidesintegración (Definición 19.14) de un nucleido lo fija su constante de desintegración: $T_{1/2} = \ln 2/\lambda$ , y tras $n$ periodos $N = N_0/2^{\,n}$ , sea $n$ entero o no.

Demostración. $N(T_{1/2}) = N_0/2$ exige $e^{-\lambda T_{1/2}} = \tfrac12$ , es decir, $\lambda T_{1/2} = \ln 2$ ; y $N(n\,T_{1/2}) = N_0\,e^{-n\ln 2} = N_0/2^{\,n}$ para cualquier $n$ : la exponencial enhebra la escalera y rellena lo que hay entre escalón y escalón. ∎

N(t) = N_0\,e- t pasa por todos los escalones de la escalera — y ahora dice además qué ocurre entre ellos. — $N(t) = N_0\,e^{-\lambda t}$ pasa por todos los escalones de la escalera — y ahora dice además qué ocurre entre ellos.

Ejemplo 32.7 (Veinte potencias de diez)

Con $1$ año $= 3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$ :

nucleido	$T_{1/2}$	$\lambda$ ( $\mathrm{s}^{-1}$ )
polonio-214	$1.6 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}$	$4.2 \times 10^{3}$	eslabón de la cadena del uranio
tecnecio-99m	$6.0$ horas	$3.2 \times 10^{-5}$	diagnóstico por imagen
yodo-131	$8.0$ días	$1.0 \times 10^{-6}$	medicina del tiroides
cesio-137	$30$ años	$7.3 \times 10^{-10}$	lluvia radiactiva de reactor
carbono-14	$5730$ años	$3.8 \times 10^{-12}$	arqueología
potasio-40	$1.25 \times 10^{9}$ años	$1.8 \times 10^{-17}$	datación de rocas
uranio-238	$4.5 \times 10^{9}$ años	$4.9 \times 10^{-18}$	calor interno de la Tierra

Una sola ley, veinte potencias de diez de $\lambda$ .

32.3 La actividad: contar los chasquidos

Proposición 32.8 (Actividad)

La actividad de una muestra — sus desintegraciones por segundo, en becquerelios (Definición 19.18) — vale

\mathcal A = \lambda N, \qquad\text{luego}\qquad \mathcal A(t) = \mathcal A_0 \, e^{-\lambda t}:

proporcional a la población superviviente e igualmente exponencial.

Demostración. $N$ núcleos, cada uno con probabilidad $\lambda$ por segundo: $\lambda N$ desintegraciones por segundo; multiplicar el Teorema 32.4 por $\lambda$ da $\mathcal A(t) = \mathcal A_0 e^{-\lambda t}$ . ∎

Ejemplo 32.9 ( $N$ enorme, $\lambda$ minúscula)

Un plátano crepita a unos $15\,\mathrm{Bq}$ , un cuerpo humano a unos $8000\,\mathrm{Bq}$ y un metro cúbico de granito a unos $10^{6}\,\mathrm{Bq}$ (Capítulo 19). Detrás de esos modestos chasquidos hay poblaciones astronómicas: el potasio-40 del cuerpo aporta $\mathcal A \approx 4.4 \times 10^{3}\,\mathrm{Bq}$ con $\lambda = 1.8 \times 10^{-17}\,\mathrm{s}^{-1}$ : $N = \mathcal A/\lambda \approx 2.5 \times 10^{20}$ núcleos, de los cuales apenas unos pocos miles disparan cada segundo.

Método 32.10 (Medir un periodo de semidesintegración)

Cuenta desintegraciones con un contador Geiger a lo largo de intervalos iguales sucesivos: eso muestrea $\mathcal A$ en instantes sucesivos.
Representa $\ln \mathcal A$ frente a $t$ : como $\ln \mathcal A = \ln \mathcal A_0 - \lambda t$ , un decrecimiento exponencial aparece como una recta — unos datos torcidos significan otra ley, o una mezcla de nucleidos.
Lee $\lambda$ como menos la pendiente; $T_{1/2} = \ln 2/\lambda$ .

Recuentos Geiger de un nucleido de vida corta: en ejes semilogarítmicos la exponencial se convierte en una recta; aquí la pendiente da 9.6 × 10-3\, s-1, luego T_1/2 72\, s. — Recuentos Geiger de un nucleido de vida corta: en ejes semilogarítmicos la exponencial se convierte en una recta; aquí la pendiente da $\lambda \approx 9.6 \times 10^{-3}\,\mathrm{s}^{-1}$ , luego $T_{1/2} \approx 72\,\mathrm{s}$ .

Observación 32.11 (Los becquerelios no son daño)

El becquerelio cuenta desintegraciones, no daños. El daño se sigue con la dosis en sieverts (Capítulo 19), que pondera la energía depositada por kilogramo de tejido con el poder destructivo de cada radiación: una gammagrafía de tecnecio de $5 \times 10^{8}\,\mathrm{Bq}$ es rutinaria, y muchos menos becquerelios de un emisor $\alpha$ inhalado no lo son; convertir $\mathrm{Bq}$ en $\mathrm{Sv}$ es materia universitaria.

32.4 Datar: leer el tiempo en un cociente

La ley de desintegración recorrida al revés es un reloj: mide la fracción superviviente y la exponencial nombra el tiempo transcurrido.

Método 32.12 (Datación por radiocarbono)

En vida: el tejido vivo intercambia carbono con la atmósfera y lleva su proporción de carbono-14 — un átomo de cada $10^{12}$ , lo que da $\mathcal A_0 = 13.6$ desintegraciones por minuto y por gramo de carbono.
La muerte pone en marcha el reloj: cesa la incorporación y la proporción decrece con $T_{1/2} = 5730$ años.
Mide la actividad $\mathcal A$ de la muestra por gramo de carbono; $\mathcal A = \mathcal A_0 e^{-\lambda t}$ se invierte en $t = \frac{1}{\lambda}\ln(\mathcal A_0/\mathcal A) = T_{1/2}\,\ln(\mathcal A_0/\mathcal A)/\ln 2$ .

Ejemplo 32.13 (Un hogar en una cueva)

El carbón vegetal de un hogar enterrado da $5.0$ desintegraciones por minuto y por gramo: $\mathcal A_0/\mathcal A = 13.6/5.0 = 2.72$ , luego $t = 5730 \times \ln(2.72)/\ln 2 \approx 8.3 \times 10^{3}$ años. El fuego se apagó hace ocho mil años — la propia madera es el archivo.

La curva de datación: se entra por el cociente medido y se baja hasta la edad. El punto es el hogar del : cociente 0.37, edad 8.3 × 103 años. — La curva de datación: se entra por el cociente medido y se baja hasta la edad. El punto es el hogar del Ejemplo 32.13: cociente $0.37$ , edad $8.3 \times 10^{3}$ años.

Ejemplo 32.14 (Relojes para rocas)

El carbono-14 enmudece más allá de unos $50\,000$ años; la geología guarda relojes más lentos. Potasio–argón: el potasio-40 ( $T_{1/2} = 1.25 \times 10^{9}$ años) se desintegra en argón, un gas que escapa de la lava fundida pero queda atrapado en cuanto la roca cristaliza — la solidificación pone el reloj a cero. Uranio–plomo: el uranio-238 encabeza una cadena de desintegraciones que termina en el plomo-206 estable (Capítulo 19), y el cociente plomo/uranio en un cristal lo data. Los dos relojes coinciden en los minerales más antiguos ( $\approx 4.4 \times 10^{9}$ años) y, a través de los meteoritos, en la edad del sistema solar.

Observación 32.15 (Cadenas, y el gas del sótano)

Entre el uranio y el plomo, la cadena pasa por el radio y después por el radón-222, un gas radiactivo ( $T_{1/2} = 3.8$ días). Nacido en el granito y en el suelo, se filtra en los sótanos y se acumula; sus hijos, emisores $\alpha$ , se desintegran en los pulmones — para la mayoría de la gente, la mayor dosis natural, y la más barata de reducir: abre la ventana del sótano.

32.5 Ejercicios

Ejercicio 32.1 ★

El yodo-131 tiene $\lambda = 1.0 \times 10^{-6}\,\mathrm{s}^{-1}$ . Calcula su periodo de semidesintegración en segundos y después en días.

Solución

Solución de Ejercicio 32.1.

$T_{1/2} = \ln 2/\lambda = 0.693/1.0 \times 10^{-6} = 6.9 \times 10^{5}\,\mathrm{s} \approx 8.0$ días — el reloj del yodo-131.

Ejercicio 32.2 ★

El radón-222 tiene $T_{1/2} = 3.8$ días. Calcula $\lambda$ en $\mathrm{s}^{-1}$ y después la actividad de una muestra de $1.0 \times 10^{10}$ núcleos.

Solución

Solución de Ejercicio 32.2.

$T_{1/2} = 3.8 \times 86\,400 = 3.28 \times 10^{5}\,\mathrm{s}$ ; $\lambda = 0.693/3.28 \times 10^{5} = 2.1 \times 10^{-6}\,\mathrm{s}^{-1}$ ; $\mathcal A = \lambda N = 2.1 \times 10^{-6} \times 1.0 \times 10^{10} \approx 2.1 \times 10^{4}\,\mathrm{Bq}$ .

Ejercicio 32.3 ★

Verifica por sustitución que $N(t) = N_0\,e^{-\lambda t}$ satisface $\dd N/\dd t = -\lambda N$ y $N(0) = N_0$ ; calcula después $N(T_{1/2})/N_0$ .

Solución

Solución de Ejercicio 32.3.

$\dd N/\dd t = N_0(-\lambda)e^{-\lambda t} = -\lambda N$ — la ecuación se cumple; $N(0) = N_0 e^0 = N_0$ ; $N(T_{1/2})/N_0 = e^{-\lambda \ln 2/\lambda} = e^{-\ln 2} = \tfrac12$ .

Ejercicio 32.4 ★

Una fuente de cesio-137 ( $T_{1/2} = 30$ años) tiene hoy una actividad de $4.0 \times 10^{5}\,\mathrm{Bq}$ . Calcula su actividad dentro de $90$ años y después dentro de $300$ años.

Solución

Solución de Ejercicio 32.4.

$90$ años $= 3\,T_{1/2}$ : $\mathcal A = 4.0 \times 10^{5}/2^3 = 5.0 \times 10^{4}\,\mathrm{Bq}$ . $300$ años $= 10\,T_{1/2}$ : $\mathcal A = 4.0 \times 10^{5}/1024 \approx 3.9 \times 10^{2}\,\mathrm{Bq}$ .

Ejercicio 32.5 ★

La representación semilogarítmica de $\ln \mathcal A$ frente a $t$ para una muestra de tecnecio es una recta que pasa por $(0, 20.00)$ y $(10\,\mathrm{horas}, 18.85)$ . Halla $\lambda$ (en $\mathrm{h}^{-1}$ y en $\mathrm{s}^{-1}$ ) y $T_{1/2}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 32.5.

Pendiente $= (18.85 - 20.00)/10 = -0.115$ , luego $\lambda = 0.115\,\mathrm{h}^{-1} = 0.115/3600 = 3.2 \times 10^{-5}\,\mathrm{s}^{-1}$ ; $T_{1/2} = 0.693/0.115 = 6.0$ horas — el tecnecio-99m.

Ejercicio 32.6 ★★

Un gramo de radio-226 ( $T_{1/2} = 1600$ años; masa molar $226\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ ; $N_A = 6.02 \times 10^{23}\,\mathrm{mol}^{-1}$ ): calcula el número de núcleos, después $\lambda$ y después la actividad — la primera unidad de actividad de la historia, el curio.

Solución

Solución de Ejercicio 32.6.

$N = (1.0/226) \times 6.02 \times 10^{23} = 2.7 \times 10^{21}$ ; $T_{1/2} = 1600 \times 3.156 \times 10^{7} = 5.05 \times 10^{10}\,\mathrm{s}$ , luego $\lambda = 1.37 \times 10^{-11}\,\mathrm{s}^{-1}$ ; $\mathcal A = \lambda N \approx 3.7 \times 10^{10}\,\mathrm{Bq}$ — un curio, la actividad del gramo de radio de Marie Curie.

Ejercicio 32.7 ★★

Dos estudiantes sellan muestras de $20$ y de $2.0 \times 10^{20}$ núcleos de un mismo nucleido. ¿Qué espera cada uno al cabo de un periodo de semidesintegración? ¿De quién es fiable la predicción? (Estima la fluctuación relativa $1/\sqrt n$ en cada caso.)

Solución

Solución de Ejercicio 32.7.

Los dos esperan que quede la mitad: $10$ y $1.0 \times 10^{20}$ . Las fluctuaciones son $\sim 1/\sqrt{n}$ del recuento: con $10$ desintegraciones, alrededor de un $30\,\%$ — $7$ o $13$ no sorprenderían; con $1.0 \times 10^{20}$ , unos $10^{-10}$ . Solo la muestra grande obedece la ley con precisión medible.

Ejercicio 32.8 ★★

Un cuerpo alberga unos $140\,\mathrm{g}$ de potasio, de los cuales el $0.012\,\%$ es potasio-40 ( $T_{1/2} = 1.25 \times 10^{9}$ años, masa molar $40\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ ). Calcula el número de núcleos de potasio-40 y después su actividad; compárala con los $8000\,\mathrm{Bq}$ totales del cuerpo.

Solución

Solución de Ejercicio 32.8.

$m = 140 \times 1.2 \times 10^{-4} = 1.7 \times 10^{-2}\,\mathrm{g}$ ; $N = (0.0168/40) \times 6.02 \times 10^{23} = 2.5 \times 10^{20}$ . $\lambda = 0.693/(1.25 \times 10^{9} \times 3.156 \times 10^{7}) = 1.76 \times 10^{-17}\,\mathrm{s}^{-1}$ ; $\mathcal A = \lambda N \approx 4.4 \times 10^{3}\,\mathrm{Bq}$ — cerca de la mitad del total del cuerpo (casi todo el resto es carbono-14).

Ejercicio 32.9 ★★

Una paciente recibe $500\,\mathrm{MBq}$ de tecnecio-99m ( $T_{1/2} = 6.0$ horas). Calcula la actividad $15$ horas después y después el tiempo que tarda en bajar de $1\,\mathrm{MBq}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 32.9.

$\lambda = 0.693/6.0 = 0.116\,\mathrm{h}^{-1}$ . A las $15$ horas: $\mathcal A = 500\,e^{-0.116 \times 15} = 500 \times 0.177 \approx 88\,\mathrm{MBq}$ . Por debajo de $1\,\mathrm{MBq}$ : $t = \ln(500)/0.116 \approx 54\,\mathrm{horas}$ — unos $9$ periodos.

Ejercicio 32.10 ★★

El carbón vegetal de una fosa da $3.4$ desintegraciones por minuto y por gramo de carbono; un hueso de otra da el $30\,\%$ del ritmo de lo vivo ( $\mathcal A_0 = 13.6$ por minuto y por gramo, $T_{1/2} = 5730$ años). Data ambas muestras.

Solución

Solución de Ejercicio 32.10.

Carbón vegetal: $3.4/13.6 = \tfrac14$ , exactamente $2$ periodos: $t = 1.15 \times 10^{4}$ años. Hueso: $t = 5730 \times \ln(1/0.30)/\ln 2 = 5730 \times 1.74 \approx 1.0 \times 10^{4}$ años.

Ejercicio 32.11 ★★

Se sella un sótano con una tanda de radón-222 dentro ( $T_{1/2} = 3.8$ días). ¿Al cabo de cuánto tiempo ha caído al $1\,\%$ la actividad de esa tanda? Los sótanos reales siguen siendo radiactivos durante décadas: ¿de dónde sale el radón nuevo, y por qué la ventilación debe ser permanente y no puntual?

Solución

Solución de Ejercicio 32.11.

$\lambda = 0.693/3.8 = 0.182\,\mathrm{d}^{-1}$ ; $t = \ln(100)/\lambda = 4.61/0.182 \approx 25$ días (unos $6.6$ periodos). Pero la cadena del uranio del granito y del suelo de alrededor engendra radón sin parar: una ventilación puntual queda deshecha en unas semanas, así que la ventilación tiene que ser permanente.

Ejercicio 32.12 ★★★

Demuestra, a partir de $N = N_0 e^{-\lambda t}$ , que $t = T_{1/2}\ln(N_0/N)/\ln 2$ . Un hueso conserva el $5.0\,\%$ de su carbono-14 de cuando estaba vivo: dátalo.

Solución

Solución de Ejercicio 32.12.

De $N/N_0 = e^{-\lambda t}$ sale $\lambda t = \ln(N_0/N)$ , y con $\lambda = \ln 2/T_{1/2}$ queda $t = T_{1/2}\ln(N_0/N)/\ln 2$ . Aquí, $t = 5730 \times \ln(20)/\ln 2 = 5730 \times 4.32 \approx 2.5 \times 10^{4}$ años.

Ejercicio 32.13 ★★★

En un cristal que no atrapó nada de argón al solidificarse, cada núcleo de potasio-40 desintegrado deja un átomo de argón en su sitio. Demuestra que $N_{\mathrm{Ar}}/N_{\mathrm K} = e^{\lambda t} - 1$ ; una roca presenta un cociente de $3.0$ : halla su edad ( $T_{1/2} = 1.25 \times 10^{9}$ años).

Solución

Solución de Ejercicio 32.13.

$N_{\mathrm K} = N_0 e^{-\lambda t}$ y $N_{\mathrm{Ar}} = N_0 - N_{\mathrm K}$ , luego $N_{\mathrm{Ar}}/N_{\mathrm K} = e^{\lambda t} - 1$ . Con el cociente $3.0$ : $e^{\lambda t} = 4$ , luego $\lambda t = 2\ln 2$ y $t = 2\,T_{1/2} = 2.5 \times 10^{9}$ años.

Ejercicio 32.14 ★★★

Un contador Geiger da, en $t = 0$ , $60$ , $120$ , $180$ y $240$ segundos, ritmos de $400$ , $225$ , $127$ , $71$ y $40$ cuentas por segundo. Calcula $\ln \mathcal A$ en cada instante, comprueba que están alineados y deduce $\lambda$ y $T_{1/2}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 32.14.

$\ln \mathcal A = 5.99$ , $5.42$ , $4.84$ , $4.26$ , $3.69$ : caídas de $0.57$ – $0.58$ cada $60\,\mathrm{s}$ — alineados. Por la pendiente, $\lambda = 2.30/240 = 9.6 \times 10^{-3}\,\mathrm{s}^{-1}$ ; $T_{1/2} = 0.693/9.6 \times 10^{-3} \approx 72\,\mathrm{s}$ .

Ejercicio 32.15 ★★★

Para un solo núcleo, la probabilidad de sobrevivir $n$ periodos de semidesintegración es $1/2^{\,n}$ . Calcula la probabilidad de que (a) un núcleo dado sobreviva $10$ periodos; (b) los $8$ núcleos vigilados sobrevivan todos a un periodo. (c) De $1000$ núcleos, ¿cuántos se esperan tras $3$ periodos — y puede la ley decir cuáles? Concluye sobre qué es lo que predice la ley.

Solución

Solución de Ejercicio 32.15.

(a) $2^{-10} \approx 1 \times 10^{-3}$ . (b) $(1/2)^8 = 1/256 \approx 0.4\,\%$ . (c) Se esperan $1000/8 = 125$ — pero la ley calla sobre cuáles: predice poblaciones con exactitud e individuos, en absoluto.

32.6 Problema: La edad de las cosas

Problema 32.1

Problema de fin de semana — la edad de las cosas: un laboratorio de museo calibra el reloj del carbono, data una estatua y un papiro, aprende por qué ningún reloj marca más allá de su esfera y empuja una roca volcánica mil millones de años atrás

Una semana en el laboratorio de datación de un museo. Datos: el tejido vivo presenta $\mathcal A_0 = 13.6$ desintegraciones de carbono-14 por minuto y por gramo de carbono; $T_{1/2} = 5730$ años (carbono-14) y $1.25 \times 10^{9}$ años (potasio-40); $1$ año $= 3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$ ; $N_A = 6.02 \times 10^{23}\,\mathrm{mol}^{-1}$ ; masa molar del carbono $12\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ ; los contadores resuelven alrededor de $0.2$ desintegraciones por minuto y por gramo.

Parte I — Lunes: calibrar el reloj.

¿Por qué es constante la proporción de carbono-14 en el tejido vivo, y qué cambia con la muerte?
Calcula $\lambda$ para el carbono-14 en $\mathrm{s}^{-1}$ .
Verifica por sustitución que $N_0 e^{-\lambda t}$ resuelve $\dd N/\dd t = -\lambda N$ .
A partir de $\mathcal A_0$ , calcula el número de átomos de carbono-14 por gramo de carbono en el tejido vivo.
¿Cuántos átomos de carbono alberga un gramo? Deduce la proporción de carbono-14 — compárala con “uno de cada $10^{12}$ ”.
Demuestra que una actividad medida $\mathcal A$ data una muestra en $t = T_{1/2}\,\ln(\mathcal A_0/\mathcal A)/\ln 2$ .

Parte II — Martes: la estatua y el papiro.

Una estatua de madera da $9.1$ desintegraciones por minuto y por gramo. Data la madera.
¿Qué acontecimiento exactamente fecha eso — la talla u otra cosa? ¿Qué precaución se sigue de ello?
Un papiro egipcio da $10.4$ desintegraciones por minuto y por gramo. Dátalo. ¿Es verosímil un escriba de hace veintidós siglos?
La actividad se mide con un margen de $\pm 0.2$ desintegraciones por minuto. Estima la incertidumbre de la edad del papiro usando $\Delta t \approx \Delta\mathcal A/(\lambda \mathcal A)$ .
El pergamino “antiguo” de un anticuario da $13.4$ desintegraciones por minuto y por gramo. ¿Veredicto?

Parte III — Jueves: los límites del reloj.

¿Tras cuántos periodos de semidesintegración cae la actividad de una muestra por debajo de las $0.2$ desintegraciones por minuto y por gramo de los contadores? ¿A qué edad corresponde eso?
Los mejores laboratorios llegan a unos diez periodos. ¿Cuál es el horizonte práctico de la datación por radiocarbono, en años?
Un hueso de dinosaurio tiene unos $6.6 \times 10^{7}$ años: ¿cuántos periodos del carbono-14 son? Usando la pregunta 4, ¿tras cuántos periodos no queda ni un átomo del carbono-14 de ese gramo? Concluye sobre eso de “datar dinosaurios con carbono”.
¿Qué tipo de nucleido podría datar en cambio la roca del dinosaurio?

Parte IV — Viernes: la roca volcánica.

El argón es un gas y el potasio, un fiel residente de los sólidos: explica por qué la solidificación de la lava pone a cero el reloj potasio–argón.
Suponiendo que cada núcleo de potasio-40 desintegrado deja un átomo de argón atrapado, demuestra que $N_{\mathrm{Ar}}/N_{\mathrm K} = e^{\lambda t} - 1$ .
La roca que hay debajo del fósil del museo presenta $N_{\mathrm{Ar}}/N_{\mathrm K} = 0.60$ . Data la roca.
¿Podría el carbono-14 haber datado esta roca, o el potasio–argón la estatua? Da la ventana útil de cada reloj en periodos de semidesintegración.
Informe del viernes, en una frase: las tres edades halladas esta semana y la única ley que las leyó todas.

Solución

Solución de Problema 32.1.

1. El intercambio con la atmósfera (comer, respirar) mantiene la proporción rellenada en el valor atmosférico; la muerte detiene la incorporación y toma el relevo la desintegración.

2. $T_{1/2} = 5730 \times 3.156 \times 10^{7} = 1.81 \times 10^{11}\,\mathrm{s}$ , luego $\lambda = 0.693/1.81 \times 10^{11} = 3.8 \times 10^{-12}\,\mathrm{s}^{-1}$ .

3. $\dd N/\dd t = -\lambda N_0 e^{-\lambda t} = -\lambda N$ , y $N(0) = N_0$ .

4. $\mathcal A_0 = 13.6/60 = 0.227\,\mathrm{Bq}$ por gramo; $N = \mathcal A_0/\lambda = 0.227/3.8 \times 10^{-12} \approx 5.9 \times 10^{10}$ átomos por gramo.

5. $(1/12) \times 6.02 \times 10^{23} = 5.0 \times 10^{22}$ átomos de carbono; proporción $5.9 \times 10^{10}/5.0 \times 10^{22} \approx 1.2 \times 10^{-12}$ — uno de cada $10^{12}$ , como estaba prometido.

6. De $\mathcal A = \mathcal A_0 e^{-\lambda t}$ sale $\lambda t = \ln(\mathcal A_0/\mathcal A)$ , y $\lambda = \ln 2/T_{1/2}$ lo convierte en $t = T_{1/2}\ln(\mathcal A_0/\mathcal A)/\ln 2$ .

7. $t = 5730 \times \ln(13.6/9.1)/\ln 2 = 5730 \times 0.580 \approx 3.3 \times 10^{3}$ años.

8. La muerte de la madera — la tala del árbol, no la talla de la estatua; una estatua labrada en madera vieja (o una falsificación tallada en madera antigua) es anterior o posterior a la fecha de su material.

9. $t = 5730 \times \ln(13.6/10.4)/\ln 2 = 5730 \times 0.387 \approx 2.2 \times 10^{3}$ años — del todo compatible con un escriba de hace veintidós siglos.

10. $\Delta t \approx \Delta\mathcal A/(\lambda\mathcal A)$ con $\lambda = \ln 2/5730 = 1.21 \times 10^{-4}$ por año: $\Delta t = (0.2/10.4)/1.21 \times 10^{-4} \approx 1.6 \times 10^{2}$ años — una fecha buena con un siglo o dos de margen.

11. $t = 5730 \times \ln(13.6/13.4)/\ln 2 \approx 120$ años — indistinguible de lo moderno dentro de la incertidumbre de $\pm 160$ años: el pergamino es reciente y la “antigüedad”, una falsificación.

12. $13.6/2^n < 0.2$ exige $2^n > 68$ : $n = 7$ periodos (pues $2^7 = 128$ ), unos $4.0 \times 10^{4}$ años.

13. Diez periodos: unos $5.7 \times 10^{4}$ años — el horizonte práctico, unos sesenta mil años.

14. $6.6 \times 10^{7}/5730 \approx 11\,500$ periodos. Los $5.9 \times 10^{10}$ átomos de un gramo se agotan cuando $2^n > 5.9 \times 10^{10}$ , es decir, con $n \approx 36$ periodos ( $\approx 2 \times 10^{5}$ años): mucho antes de la época de los dinosaurios no queda ni un átomo de carbono-14 — no hay nada que contar.

15. Un reloj mucho más lento: potasio-40 o uranio-238, con periodos de miles de millones de años.

16. La lava fundida deja escapar el argón en burbujas, así que el cristal recién solidificado alberga potasio pero cero argón: el cociente arranca en $0$ al solidificarse — el reloj queda puesto a cero.

17. Como en el ejercicio: $N_{\mathrm K} = N_0 e^{-\lambda t}$ y $N_{\mathrm{Ar}} = N_0 - N_{\mathrm K}$ , luego $N_{\mathrm{Ar}}/N_{\mathrm K} = e^{\lambda t} - 1$ .

18. $e^{\lambda t} = 1.60$ : $t = 1.25 \times 10^{9} \times \ln(1.60)/\ln 2 = 1.25 \times 10^{9} \times 0.678 \approx 8.5 \times 10^{8}$ años.

19. No, por partida doble: a los $8.5 \times 10^{8}$ años el carbono-14 lleva corridos $10^5$ periodos — silencio; y a los $3.3 \times 10^{3}$ años el potasio-40 lleva $2.6 \times 10^{-6}$ de periodo — el cociente de argón $\approx \lambda t \sim 2 \times 10^{-6}$ es de una pequeñez inmedible. Cada reloj solo marca desde alrededor de una décima de periodo hasta unos diez.

20. Estatua, $\approx 3.3 \times 10^{3}$ años; papiro, $\approx 2.2 \times 10^{3}$ años; roca, $\approx 8.5 \times 10^{8}$ años — tres relojes y una sola ley: $N = N_0\,e^{-\lambda t}$ , leída al revés.