Física de secundaria · Grades 10–12

23El efecto Doppler

Una ambulancia se acerca con la sirena a todo trapo y pasa de largo — y en ese instante la nota se desliza audiblemente hacia abajo, aunque el conductor no ha tocado nada. La sirena es honrada; la onda, no: el movimiento la aprieta por delante y la estira por detrás. Este capítulo mide el apretón y después cabalga la misma idea desde las sirenas hasta los radares de tráfico, la sangre de una arteria y un planeta delatado por un bamboleo en la luz de una estrella.

23.1 El efecto

Definición 23.1 (Efecto Doppler)

El efecto Doppler es el cambio de la frecuencia recibida de una onda cuando la fuente y el receptor se mueven uno respecto del otro: la frecuencia recibida $f'$ es mayor que la emitida $f$ mientras se acercan, menor mientras se alejan e igual a $f$ solo mientras su distancia deja momentáneamente de cambiar.

Observación 23.2 (Tono, no sonoridad)

Al pasar la ambulancia cambian dos cosas. La sonoridad crece y se apaga porque la onda se dispersa con la distancia (Capítulo 21); el tono se desplaza por la velocidad de acercamiento o de alejamiento, y cae bruscamente al pasar. La sonoridad dice “a qué distancia”; el tono dice “a qué velocidad”.

23.2 Una fuente en movimiento: frentes de onda apiñados

La imagen clave: en cuanto una cresta abandona la fuente, el medio se adueña de ella. Cada cresta se ensancha como una circunferencia a la velocidad $v$ de la onda (Capítulo 20), centrada en el punto donde fue emitida — el medio ni sabe ni le importa que la fuente se haya movido.

Proposición 23.3 (Fuente en movimiento)

Una fuente emite crestas con periodo $T$ (frecuencia $f = 1/T$ ) mientras se mueve en línea recta a la velocidad $v_s < v$ por un medio en el que la onda viaja a la velocidad $v$ . Un observador en reposo en el medio recibe

\lambda' = (v \mp v_s)\,T, \qquad f' = f\,\frac{v}{v \mp v_s},

con los signos superiores para una fuente que se acerca y los inferiores para una que se aleja.

Demostración. Entre dos crestas, la primera avanza $vT$ mientras la fuente avanza $v_s T$ . Por delante, la segunda cresta se emite, por tanto, $v_s T$ más cerca de la primera, $\lambda' = (v - v_s)T$ ; por detrás, ese mismo $v_s T$ se suma. Después las crestas pasan ante un observador en reposo a la velocidad $v$ del medio, una cada $\lambda'/v$ segundos, luego $f' = v/\lambda' = f v/(v \mp v_s)$ . ∎

Frentes de onda de una fuente que se mueve hacia la derecha: cada circunferencia está centrada en el punto donde fue emitida (los puntos grises), así que las crestas se apiñan por delante, ' = (v - v_s)T, y se estiran por detrás, ' = (v + v_s)T. — Frentes de onda de una fuente que se mueve hacia la derecha: cada circunferencia está centrada en el punto donde fue emitida (los puntos grises), así que las crestas se apiñan por delante, $\lambda' = (v - v_s)T$ , y se estiran por detrás, $\lambda' = (v + v_s)T$ .

Ejemplo 23.4 (La ambulancia, con números)

Una sirena de $f = 700\,\mathrm{Hz}$ se acerca a $v_s = 25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; tomamos $v = 340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ en el aire (Capítulo 21). Al acercarse: $f' = 700 \times 340/315 \approx 756\,\mathrm{Hz}$ ; al alejarse: $f' = 700 \times 340/365 \approx 652\,\mathrm{Hz}$ . El paso baja el tono en $104\,\mathrm{Hz}$ — una razón $\approx 1.16$ , unos dos semitonos y medio, inconfundible para cualquier oído.

Observación 23.5 (Lo que el movimiento no cambia)

La onda sigue viajando a $v$ : la velocidad la fija el medio y nada más (Capítulo 20). El movimiento de la fuente aprieta longitudes de onda, nunca velocidades. Y el apretón tiene un límite: cuando $v_s \to v$ , las crestas de delante se amontonan unas sobre otras y $f' \to \infty$ — el atasco de frentes de onda que un avión supersónico arrastra como una onda de choque.

23.3 Un observador en movimiento y el atajo del movimiento lento

Proposición 23.6 (Observador en movimiento)

Un observador se mueve a la velocidad $v_o$ en línea recta hacia (o desde) una fuente en reposo en el medio. La frecuencia recibida es

f' = f\left(1 \pm \frac{v_o}{v}\right) \quad (+\ \text{al acercarse},\ -\ \text{al alejarse}).

Demostración. El patrón de la onda no se altera: las crestas, separadas $\lambda = vT$ , viajan a $v$ . Un observador que corra hacia ellas se encuentra crestas a la velocidad relativa $v + v_o$ , una cada $\lambda/(v + v_o)$ segundos: $f' = (v + v_o)/\lambda = f(1 + v_o/v)$ . Corriendo en sentido contrario, $v - v_o$ . ∎

Definición 23.7 (Velocidad radial)

La velocidad radial $v_r$ de una fuente respecto de un observador es la componente de su velocidad relativa según la recta que los une — el ritmo al que la distancia se encoge o crece. Solo esa componente desplaza la frecuencia; el movimiento perpendicular a la línea de visión no produce desplazamiento a este orden.

Proposición 23.8 (Movimiento lento: una fórmula para todos)

Cuando la velocidad radial es pequeña, $v_r \ll v$ , ya da igual quién se mueva:

\frac{\Delta f}{f} = \frac{f' - f}{f} \approx +\frac{v_r}{v} \ \text{(acercamiento)}, \qquad \frac{\Delta f}{f} \approx -\frac{v_r}{v} \ \text{(alejamiento)}.

Demostración. Las fórmulas del observador ya son exactamente $1 \pm v_o/v$ . Para la fuente, escribimos $x = v_s/v$ : la identidad $\frac{1}{1 - x} = 1 + x + \frac{x^2}{1 - x}$ muestra que $f'/f$ se aparta de $1 + x$ en un término de orden $x^2$ — para $x = 0.1$ , una corrección del $1\,\%$ sobre un desplazamiento del $10\,\%$ . A primer orden, las cuatro fórmulas se funden en $1 \pm v_r/v$ . ∎

Frecuencia que se oye al pasar una sirena de 440\, Hz a 15\, m/ s y a 8\, m del micrófono: mesetas en fv/(v v_s), y la f verdadera (punteada) cruzada esencialmente en el momento de máxima proximidad, donde el movimiento es puramente transversal. — Frecuencia que se oye al pasar una sirena de $440\,\mathrm{Hz}$ a $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ y a $8\,\mathrm{m}$ del micrófono: mesetas en $fv/(v \mp v_s)$ , y la $f$ verdadera (punteada) cruzada esencialmente en el momento de máxima proximidad, donde el movimiento es puramente transversal.

Método 23.9 (Leer un paso)

El registro de una fuente que pasa muestra dos mesetas: $f_1$ (acercamiento) y $f_2$ (alejamiento). Entonces

f = \frac{2 f_1 f_2}{f_1 + f_2}, \qquad v_s = v\,\frac{f_1 - f_2}{f_1 + f_2}.

En efecto, $f_1 + f_2 = \frac{2fv^2}{v^2 - v_s^2}$ y $f_1 - f_2 = \frac{2fv\,v_s}{v^2 - v_s^2}$ : se dividen para obtener $v_s$ y se calcula $2f_1 f_2/(f_1 + f_2)$ para $f$ . Dos lecturas de frecuencia dan a la vez el tono verdadero y la velocidad — sin cronómetro y sin regla.

23.4 Ecos que miden velocidades

Si se hace rebotar una onda en un blanco móvil, el efecto Doppler golpea dos veces.

Proposición 23.10 (La reflexión duplica el desplazamiento)

Se envía una onda de frecuencia $f$ contra un reflector que se acerca de frente a la velocidad $u \ll v$ . El eco vuelve con

f' = f\,\frac{v + u}{v - u}, \qquad \text{y por tanto} \qquad \Delta f \approx \frac{2u}{v}\,f .

Demostración. Dos desplazamientos en serie. Como observador en movimiento, el reflector recibe $f(1 + u/v)$ ; al reemitir lo que recibe, pasa a ser una fuente en movimiento, de modo que el eco llega a $f' = f(1 + u/v)/(1 - u/v) \approx f(1 + 2u/v)$ para $u \ll v$ . ∎

Ejemplo 23.11 (El radar de tráfico)

Un radar de tráfico emite microondas a $f = 24.15\,\mathrm{GHz}$ ( $v = c = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ) y superpone el eco a la onda saliente; el batido (Capítulo 21) hace sonar directamente $\Delta f = 2uf/c \approx 161\,\mathrm{Hz}$ por cada $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ de velocidad del coche — una frecuencia de audio trivialmente medible tallada en una portadora de $24\,\mathrm{GHz}$ . El factor $2$ no es opcional: olvidarlo halaga a todos los conductores por la mitad.

Ejemplo 23.12 (Ecografía Doppler)

Una sonda médica envía ultrasonidos de $f = 5.0\,\mathrm{MHz}$ a una arteria ( $v \approx 1540\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ en el tejido); los glóbulos rojos los reflejan. Una sangre a $u = 0.50\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ devuelve $\Delta f = 2 \times 0.50 \times 5.0 \times 10^{6}/1540 \approx 3.2\,\mathrm{kHz}$ — un batido audible: el cardiólogo oye literalmente cómo se acelera la sangre en cada latido y después mide $u$ a partir de $\Delta f$ .

23.5 El Doppler en la luz de las estrellas

La luz es una onda (Capítulo 22), y su espectro está rayado por líneas nítidas en longitudes de onda que fija cada elemento químico (Capítulo 2) — una regla calibrada en el laboratorio e impresa en todas las estrellas.

Definición 23.13 (Corrimiento al rojo y al azul)

Cuando las líneas espectrales de una fuente aparecen en longitudes de onda mayores que en el laboratorio, se dice que el espectro está corrido al rojo; cuando aparecen en longitudes menores, está corrido al azul — desplazado hacia el extremo rojo o el azul del espectro visible.

Proposición 23.14 (Desplazamiento Doppler de la luz)

Para una fuente que se aleja con velocidad radial $v_r \ll c$ , todas las longitudes de onda se observan estiradas en

\frac{\Delta \lambda}{\lambda} = \frac{\lambda' - \lambda}{\lambda} \approx \frac{v_r}{c} \quad \text{(corrimiento al rojo)},

y comprimidas en esa misma cantidad, $\Delta\lambda/\lambda \approx -v_r/c$ , para una fuente que se acerca (corrimiento al azul).

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

Observación 23.15 (Dónde vive la fórmula honrada)

La luz no necesita medio, así que no se puede copiar la deducción del sonido — no existe un “en reposo en el medio”. La fórmula exacta sale de la relatividad especial, más adelante este mismo año (Capítulo 35); las correcciones son de orden $(v_r/c)^2$ , despreciables para aviones, estrellas y galaxias cercanas. Más abajo usamos la fórmula del movimiento lento con la conciencia tranquila.

La misma línea del hidrógeno en tres espectros: a 656.30\, nm en el laboratorio, corrida al azul para una estrella que se acerca y al rojo para una que se aleja. El desplazamiento, leído frente a la referencia de trazos, da la velocidad radial. — La misma línea del hidrógeno en tres espectros: a $656.30\,\mathrm{nm}$ en el laboratorio, corrida al azul para una estrella que se acerca y al rojo para una que se aleja. El desplazamiento, leído frente a la referencia de trazos, da la velocidad radial.

Ejemplo 23.16 (Medir la huida de una estrella)

En el espectro de la brillante estrella Vega, la línea del hidrógeno de longitud de onda de laboratorio $656.30\,\mathrm{nm}$ se mide en $656.27\,\mathrm{nm}$ : $\Delta\lambda = -0.03\,\mathrm{nm}$ , un corrimiento al azul, así que Vega se acerca a $v_r = c\,|\Delta\lambda|/\lambda \approx 1.4 \times 10^{4}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — $14\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ , leídos en un desplazamiento de una parte en veinte mil.

Ejemplo 23.17 (Estrellas que se bambolean: binarias y exoplanetas)

Cuando dos estrellas se orbitan mutuamente, sus líneas oscilan periódicamente entre el azul y el rojo — una binaria espectroscópica, con órbitas medidas sin haber resuelto nunca la pareja. Un planeta le hace lo mismo a su estrella, mucho más débilmente: los dos giran en torno a su centro de masas común, de modo que la velocidad radial de la estrella oscila unas pocas decenas de $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — un desplazamiento $\Delta\lambda/\lambda \sim 10^{-7}$ . Detectarlo fue la manera de encontrar el primer planeta alrededor de una estrella parecida al Sol; el problema de fin de semana rehace aquel descubrimiento, números incluidos.

Observación 23.18 (Los corrimientos al rojo de las galaxias)

Los espectros de las galaxias lejanas están todos corridos al rojo, y cuanto más lejanas, más corridos: las distancias del universo se están estirando. Para las galaxias cercanas, $v_r = c\,\Delta\lambda/\lambda$ da directamente la velocidad de alejamiento; para las más lejanas, los desplazamientos superan lo que la fórmula del movimiento lento puede tratar honradamente, y la contabilidad se retoma a partir del Capítulo 35 y en los volúmenes universitarios.

23.6 Ejercicios

Ejercicio 23.1 ★

La sirena de un camión de bomberos emite a $700\,\mathrm{Hz}$ y circula a $25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ( $v = 340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ). Calcula la frecuencia que oye un peatón (a) situado delante de él; (b) situado detrás. (c) ¿Qué oye el conductor?

Solución

Solución de Ejercicio 23.1.

(a) $f' = 700 \times 340/315 \approx 756\,\mathrm{Hz}$ . (b) $f' = 700 \times 340/365 \approx 652\,\mathrm{Hz}$ . (c) $700\,\mathrm{Hz}$ : el conductor y la sirena se mueven juntos y su distancia no cambia nunca.

Ejercicio 23.2 ★

Un amigo afirma: “el tono baja cuando la ambulancia se va porque el sonido se debilita con la distancia”. Desenreda los dos efectos que está confundiendo y di de qué depende cada uno.

Solución

Solución de Ejercicio 23.2.

La sonoridad se apaga porque la onda se dispersa — depende de la distancia. El tono baja al pasar del acercamiento al alejamiento — es el efecto Doppler, que depende de con qué rapidez cambia la distancia. Dos efectos independientes.

Ejercicio 23.3 ★

Un ciclista pedalea a $6.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ directamente hacia una sirena fija que emite a $700\,\mathrm{Hz}$ . ¿Qué frecuencia oye? ¿Y alejándose en línea recta? ¿Qué fórmula se aplica, y por qué no la de la fuente en movimiento?

Solución

Solución de Ejercicio 23.3.

Observador en movimiento: $f' = 700\,(1 + 6.0/340) \approx 712\,\mathrm{Hz}$ ; alejándose, $700\,(1 - 6.0/340) \approx 688\,\mathrm{Hz}$ . La sirena está en reposo en el aire, así que el patrón de la onda no se altera; solo el observador corre a través de él.

Ejercicio 23.4 ★

La bocina de un tren emite a $400\,\mathrm{Hz}$ mientras el tren circula a $30\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Calcula la longitud de onda por delante del tren, por detrás y en reposo. ¿Qué observador recibe cada una?

Solución

Solución de Ejercicio 23.4.

Por delante: $\lambda' = 310/400 = 0.775\,\mathrm{m}$ ; por detrás: $370/400 = 0.925\,\mathrm{m}$ ; en reposo: $340/400 = 0.85\,\mathrm{m}$ . La longitud de onda corta le llega a aquel a quien el tren se acerca, y la larga a aquel del que se aleja.

Ejercicio 23.5 ★

Un móvil que reproduce un tono de $440\,\mathrm{Hz}$ lo lleva un corredor a $5.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Con la fórmula del movimiento lento, estima el desplazamiento que oye alguien hacia quien se acerca el corredor. Compáralo con un semitono (alrededor del $6\,\%$ en frecuencia): ¿lo notaría un músico?

Solución

Solución de Ejercicio 23.5.

$\Delta f/f \approx 5.0/340 \approx 1.5\,\%$ : $\Delta f \approx 6.5\,\mathrm{Hz}$ , o sea unos $446\,\mathrm{Hz}$ — un cuarto de semitono. Un músico lo notaría, justo.

Ejercicio 23.6 ★★

Un murciélago vuela a $6.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ directamente hacia una pared emitiendo a $50.0\,\mathrm{kHz}$ . Demuestra que el eco que oye vuelve a $f' = f(v + v_b)/(v - v_b)$ y calcula después $f'$ y el desplazamiento. ¿Por qué es esta la fórmula del radar disfrazada?

Solución

Solución de Ejercicio 23.6.

La pared recibe $f\,v/(v - v_b)$ (fuente en movimiento); el murciélago, observador en movimiento que se acerca al eco, oye $(1 + v_b/v)$ veces eso: $f' = f(v + v_b)/(v - v_b) = 50.0 \times 346/334 \approx 51.8\,\mathrm{kHz}$ , un desplazamiento de $+1.8\,\mathrm{kHz}$ . Es el doble desplazamiento del radar con los papeles de emisor y reflector intercambiados: lo único que cuenta es la velocidad de acercamiento.

Ejercicio 23.7 ★★

Un radar de $24.15\,\mathrm{GHz}$ mide un batido de $4.0\,\mathrm{kHz}$ de un coche que se acerca. Halla la velocidad del coche en $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ y en $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . ¿Qué batido daría un coche a exactamente $50\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ?

Solución

Solución de Ejercicio 23.7.

$u = c\,\Delta f/(2f) = 3.00 \times 10^{8} \times 4000/(2 \times 24.15 \times 10^{9}) \approx 24.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 89\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . A $50\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ( $13.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ): $\Delta f = 2 \times 13.9 \times 24.15 \times 10^{9}/3.00 \times 10^{8} \approx 2.2\,\mathrm{kHz}$ .

Ejercicio 23.8 ★★

Una sonda de ecografía Doppler de $5.0\,\mathrm{MHz}$ apuntada a lo largo de una arteria ( $v = 1540\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ en el tejido) oye un batido de $2.6\,\mathrm{kHz}$ . Halla la velocidad de la sangre. ¿Por qué hay que inclinar la sonda a lo largo del flujo y no perpendicularmente a él?

Solución

Solución de Ejercicio 23.8.

$u = v\,\Delta f/(2f) = 1540 \times 2600/1.0 \times 10^{7} \approx 0.40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Un flujo perpendicular tiene velocidad radial nula y, por tanto, no produce ningún desplazamiento.

Ejercicio 23.9 ★★

Toma $f = 1000\,\mathrm{Hz}$ , $v = 340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ y una velocidad de acercamiento de $34\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Calcula $f'$ exactamente cuando (a) se mueve la fuente y (b) se mueve el observador. Compara ambos con la predicción del movimiento lento $f(1 + v_r/v)$ y explica el tamaño de la discrepancia.

Solución

Solución de Ejercicio 23.9.

(a) Fuente: $f' = 1000 \times 340/306 \approx 1111\,\mathrm{Hz}$ . (b) Observador: $f' = 1000 \times 1.1 = 1100\,\mathrm{Hz}$ . El movimiento lento predice $1100\,\mathrm{Hz}$ : exacto para el observador y $11\,\mathrm{Hz}$ corto para la fuente — la corrección de orden $x^2$ , un $1\,\%$ de $f$ para $x = 0.1$ .

Ejercicio 23.10 ★★

El registro de una motocicleta que pasa ante un micrófono muestra mesetas en $465\,\mathrm{Hz}$ y $415\,\mathrm{Hz}$ . Con el Método 23.9, halla la frecuencia verdadera de la bocina y la velocidad de la moto en $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . ¿Por qué la frecuencia verdadera no es su media?

Solución

Solución de Ejercicio 23.10.

$f = 2 \times 465 \times 415/880 \approx 439\,\mathrm{Hz}$ ; $v_s = 340 \times 50/880 \approx 19.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 70\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . La $f$ verdadera es la media armónica: el acercamiento sube la frecuencia más de lo que el alejamiento la baja, así que $f$ queda por debajo de la media aritmética ( $440\,\mathrm{Hz}$ ).

Ejercicio 23.11 ★★

En el espectro de una estrella, la línea del hidrógeno de longitud de onda de laboratorio $656.3\,\mathrm{nm}$ se observa en $656.5\,\mathrm{nm}$ . ¿Corrimiento al rojo o al azul? Calcula la velocidad radial de la estrella y su sentido.

Solución

Solución de Ejercicio 23.11.

Longitud de onda mayor: corrimiento al rojo, la estrella se aleja. $v_r = c\,\Delta\lambda/\lambda = 3.00 \times 10^{8} \times 0.2/656.3 \approx 9.1 \times 10^{4}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 91\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ .

Ejercicio 23.12 ★★★

Una estrella se bambolea a $55\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ por culpa de un planeta invisible. Calcula la amplitud de la oscilación de longitud de onda de una línea de $500\,\mathrm{nm}$ , como longitud y como fracción de $\lambda$ . Orden de magnitud: ¿por qué la caza de planetas tuvo que esperar a espectrógrafos estables hasta una parte en $10^{7}$ ?

Solución

Solución de Ejercicio 23.12.

$\Delta\lambda = \lambda K/c = 500 \times 55/3.00 \times 10^{8} \approx 9.2 \times 10^{-5}\,\mathrm{nm}$ ; $\Delta\lambda/\lambda = 55/3.00 \times 10^{8} \approx 1.8 \times 10^{-7}$ . La señal entera son dos partes en diez millones: un espectrógrafo que derive más de $10^{-7}$ la entierra.

Ejercicio 23.13 ★★★

Todas las líneas del espectro de una galaxia aparecen estiradas un $2.4\,\%$ . Calcula su velocidad de alejamiento. Los astrónomos comprueban que esas velocidades crecen en proporción a la distancia, en todas las direcciones del cielo: ¿qué imagen sugiere esto? ¿Sigue siendo fiable aquí la fórmula del movimiento lento?

Solución

Solución de Ejercicio 23.13.

$v_r = 0.024\,c \approx 7.2 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Velocidades proporcionales a la distancia y las mismas en todas las direcciones: todas las distancias se estiran de manera uniforme — un universo en expansión sin centro privilegiado. Con un $2.4\,\%$ , las correcciones son de orden $(v_r/c)^2 \approx 6 \times 10^{-4}$ : sigue siendo fiable.

Ejercicio 23.14 ★★★

El Sol gira: un borde de su disco se acerca a nosotros a unos $2.0\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ mientras el otro se aleja igual de rápido. ¿Qué le hace esto a la línea de $656.3\,\mathrm{nm}$ en la luz del disco entero: la desplaza o la ensancha? Calcula el efecto en $\mathrm{nm}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 23.14.

Los dos bordes se desplazan en sentidos opuestos, así que la línea promediada sobre el disco queda ensanchada, no desplazada: anchura total $2\lambda v/c = 2 \times 656.3 \times 2.0 \times 10^{3}/3.00 \times 10^{8} \approx 8.8 \times 10^{-3}\,\mathrm{nm}$ (unos $\pm4.4 \times 10^{-3}\,\mathrm{nm}$ ).

Ejercicio 23.15 ★★★

Un coche de policía a $40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , con la sirena a $700\,\mathrm{Hz}$ , persigue a un camión que circula a $30\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ en el mismo sentido. (a) Justifica $f' = f(v - v_o)/(v - v_s)$ para el conductor del camión. (b) Calcula $f'$ . (c) Demuestra que si el camión igualara la velocidad del coche el desplazamiento se anularía, y di por qué eso es lo que tenía que salir.

Solución

Solución de Ejercicio 23.15.

(a) Por delante del coche, las crestas están separadas $(v - v_s)T$ ; el camión huye a $v_o$ y se las encuentra a la velocidad relativa $v - v_o$ : $f' = (v - v_o)/\bigl((v - v_s)T\bigr) = f(v - v_o)/(v - v_s)$ . (b) $f' = 700 \times 310/300 \approx 723\,\mathrm{Hz}$ . (c) Con $v_o = v_s$ sale $f' = f$ : la separación es constante y, por definición, si la distancia no cambia no hay desplazamiento Doppler.

23.7 Problema: la caza de un exoplaneta

Problema 23.1

Problema de fin de semana — la caza de un exoplaneta: la bocina de un tren calibra el oído, un radar de tráfico ensaya el doble desplazamiento y, el domingo por la noche, el espectro de una estrella que se bambolea una parte en cinco millones ha pesado un planeta que nadie ha visto jamás

Un club de astronomía dedica un fin de semana a una sola idea — el desplazamiento Doppler —, ensayada en la Tierra y apuntada después a una estrella parecida al Sol. Datos: $v = 340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ para el sonido en el aire, $c = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $G = 6.67 \times 10^{-11}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{kg}^{2}$ ; la estrella tiene una masa $M = 2.0 \times 10^{30}\,\mathrm{kg}$ . Se admite, de la mecánica de las órbitas circulares (Capítulo 27): un planeta de masa $m$ en una órbita circular de radio $r$ tiene un periodo y una velocidad dados por $r^3 = \frac{G M P^2}{4\pi^2}$ y $V = \frac{2\pi r}{P}$ , y la estrella, que gira en torno al centro de masas común, se bambolea a la velocidad $K = \frac{m}{M}\,V$ .

Parte I — Viernes: el paso a nivel. Un tren pasa a velocidad constante con la bocina puesta; un móvil registra $f_1 = 471\,\mathrm{Hz}$ mientras se acerca y $f_2 = 411\,\mathrm{Hz}$ después de pasar.

Explica, con la imagen de los frentes de onda apiñados, por qué $f_1 > f_2$ aunque la bocina no cambie nunca.
Escribe las dos ecuaciones que ligan $f_1$ y $f_2$ con la frecuencia verdadera $f$ y con la velocidad $u$ del tren.
Demuestra que $u = v\,\dfrac{f_1 - f_2}{f_1 + f_2}$ y calcúlala en $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ y en $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .
Demuestra que $f = \dfrac{2 f_1 f_2}{f_1 + f_2}$ y calcúlala. ¿Por qué $f$ queda ligeramente por debajo de la media de $f_1$ y $f_2$ ?
Calcula las longitudes de onda por delante y por detrás del tren y la longitud de onda en reposo.

Parte II — Sábado: el radar. Una patrulla de tráfico hace una demostración de su radar: $f = 24.125\,\mathrm{GHz}$ , y el aparato lee el batido entre la onda saliente y el eco.

Explica por qué el eco de un coche en movimiento está desplazado dos veces — nombra el papel que hace el coche en cada desplazamiento.
Demuestra que, para un coche a velocidad $u \ll c$ , el batido vale $\Delta f \approx \dfrac{2u}{c}\,f$ .
Un coche devuelve $\Delta f = 3.55\,\mathrm{kHz}$ : calcula $u$ .
Conviértelo a $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ y compáralo con el límite de $80\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ que hay señalizado allí.
¿Cuántos hercios de batido corresponden a $1\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ? Coméntalo: ¿qué hace fácil de medir un desplazamiento relativo tan diminuto de una onda de $24\,\mathrm{GHz}$ ?

Parte III — Domingo: la estrella que se bambolea. El club descarga la velocidad radial medida de una estrella parecida al Sol, noche tras noche, representada abajo.

La velocidad radial de la estrella a lo largo de doce noches: una sinusoide limpia — la firma de un cuerpo en órbita circular vista de canto.

¿Qué es lo que se mide realmente, noche tras noche, en el espectro de la estrella? Enuncia la relación que se usa para convertirlo en $v_r$ .
Lee en la curva la amplitud $K$ y el periodo $P$ del bamboleo.
Calcula la oscilación $\Delta\lambda$ correspondiente de una línea de $550\,\mathrm{nm}$ , y $\Delta\lambda/\lambda$ . Compáralo con la Parte I: ¿cuánto más difícil es esta medida que la del tren?
¿Por qué hace que la estrella se bambolee un planeta invisible? ¿Qué indica la forma sinusoidal sobre la órbita?
¿Por qué mide este método solo la parte radial del movimiento de la estrella, y qué se vería si la órbita se nos presentara de frente?

Parte IV — Domingo por la noche: pesar lo invisible. Tomamos la órbita circular y vista de canto, de modo que $K$ es la velocidad orbital completa de la estrella.

A partir de $P$ y de la relación admitida $r^3 = G M P^2/(4\pi^2)$ , calcula el radio orbital $r$ del planeta. Compáralo con la distancia Tierra–Sol, $1.5 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$ .
Calcula la velocidad orbital $V$ del planeta.
A partir de $K = (m/M)\,V$ , calcula la masa $m$ del planeta.
Compara $m$ con Júpiter ( $1.9 \times 10^{27}\,\mathrm{kg}$ ) y con la Tierra ( $6.0 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$ ), y $r$ con la distancia Sol–Mercurio ( $5.8 \times 10^{10}\,\mathrm{m}$ ). ¿Qué clase de mundo es este?
Si la órbita estuviera inclinada en lugar de verse de canto, ¿sería la masa verdadera mayor o menor que tu valor? Concluye en una frase: ¿qué acaba de entregar un desplazamiento periódico de una parte en cinco millones?

Solución

Solución de Problema 23.1.

1. Cada cresta se ensancha desde el punto donde fue emitida: las crestas se apiñan por delante de la bocina en movimiento y se estiran por detrás, así que el móvil que se acerca se las encuentra más deprisa ( $f_1$ ) que el que se aleja ( $f_2$ ).

2. $f_1 = f\,\dfrac{v}{v - u}$ , $f_2 = f\,\dfrac{v}{v + u}$ .

3. $f_1 - f_2 = \frac{2fv\,u}{v^2 - u^2}$ y $f_1 + f_2 = \frac{2fv^2}{v^2 - u^2}$ ; dividiendo, $u = v\,\frac{f_1 - f_2}{f_1 + f_2} = 340 \times 60/882 \approx 23\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 83\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .

4. $\dfrac{2f_1 f_2}{f_1 + f_2} = f$ (el factor común se cancela): $f = 2 \times 471 \times 411/882 \approx 439\,\mathrm{Hz}$ — la media armónica, por debajo de la media $441\,\mathrm{Hz}$ porque el acercamiento sube $f$ más de lo que el alejamiento la recorta.

5. Por delante: $(v - u)/f = 316.9/439 \approx 0.72\,\mathrm{m}$ ; por detrás: $363.1/439 \approx 0.83\,\mathrm{m}$ ; en reposo: $340/439 \approx 0.77\,\mathrm{m}$ .

6. Una vez como observador en movimiento que recibe la onda, y otra como fuente en movimiento que reemite lo que ha recibido.

7. $f' = f\,(1 + u/c)/(1 - u/c) \approx f(1 + 2u/c)$ , luego $\Delta f = f' - f \approx \dfrac{2u}{c}\,f$ .

8. $u = c\,\Delta f/(2f) = 3.00 \times 10^{8} \times 3550/(2 \times 24.125 \times 10^{9}) \approx 22\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

9. $22.1 \times 3.6 \approx 79\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ : justo por debajo del límite de $80\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .

10. $\Delta f = 2f/(3.6\,c) \approx 45\,\mathrm{Hz}$ por cada $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . Batir el eco contra la onda emitida deja solo la diferencia: una frecuencia de audio, trivial de contar, aunque sea una fracción $10^{-7}$ de la portadora.

11. Las longitudes de onda de líneas espectrales conocidas, noche tras noche; y después $v_r = c\,\Delta\lambda/\lambda$ .

12. $K = 55\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $P = 4.2$ días.

13. $\Delta\lambda = 550 \times 55/3.00 \times 10^{8} \approx 1.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{nm}$ , $\Delta\lambda/\lambda \approx 1.8 \times 10^{-7}$ — una parte en cinco millones, unas $4 \times 10^{5}$ veces menor que el desplazamiento del $7\,\%$ del tren.

14. La estrella y el planeta se atraen por igual, así que los dos orbitan en torno a su centro de masas común: la estrella no puede quedarse quieta. Una $v_r$ sinusoidal es un movimiento circular uniforme visto de canto — una órbita circular.

15. Solo la componente en la línea de visión cambia la distancia estrella-Tierra y, por tanto, la longitud de onda. Vista de frente, $v_r = 0$ en todo momento: no hay señal alguna.

16. $P = 3.63 \times 10^{5}\,\mathrm{s}$ : $r^3 = 6.67 \times 10^{-11} \times 2.0 \times 10^{30} \times (3.63 \times 10^{5})^2/(4\pi^2) \approx 4.4 \times 10^{29}$ , luego $r \approx 7.6 \times 10^{9}\,\mathrm{m}$ — alrededor de $1/20$ de la distancia Tierra–Sol.

17. $V = 2\pi r/P = 2\pi \times 7.6 \times 10^{9}/3.63 \times 10^{5} \approx 1.3 \times 10^{5}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

18. $m = M K/V = 2.0 \times 10^{30} \times 55/1.3 \times 10^{5} \approx 8.3 \times 10^{26}\,\mathrm{kg}$ .

19. Unas $0.4$ masas de Júpiter ( $\approx 140$ Tierras), en órbita $8$ veces más cerca que Mercurio: un gigante gaseoso asándose contra su estrella — un “júpiter caliente”.

20. Una inclinación esconde parte del movimiento: la $K$ medida es solo la porción radial, así que la masa verdadera es mayor — los $8.3 \times 10^{26}\,\mathrm{kg}$ son un mínimo. Un desplazamiento periódico de una parte en cinco millones acaba de entregar la órbita, la velocidad y la masa mínima de un planeta que nadie ha visto jamás.