5Movimiento relativo

Solución de Ejercicio 5.1.

Respecto del vagón: en reposo. Respecto del suelo y del árbol: en movimiento a $100\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$. Respecto del tren que viene de frente: las velocidades de sentidos opuestos se suman, $100 + 100 = 200\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$. En el sistema del tren del viajero, el árbol se mueve hacia atrás a $100\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ siguiendo una recta.

Solución de Ejercicio 5.2.

$72 / 3.6 = 20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $108 / 3.6 = 30\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $25 \times 3.6 = 90\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$; $340 \times 3.6 = 1224\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$. En cada pareja, la cifra en $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ es la mayor, como exige la comprobación.

Solución de Ejercicio 5.3.

Ciclista: $v = \frac{36\,\mathrm{km}}{1.5\,\mathrm{h}} = 24\,\mathrm{km}/\mathrm{h} = 24/3.6 \approx 6.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Velocista: $v = \frac{100\,\mathrm{m}}{10.0\,\mathrm{s}} = 10.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 36\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$. El velocista es la mitad más rápido — pero solo durante diez segundos, mientras que el ciclista mantiene su ritmo hora y media. Las velocidades medias solo se comparan con justicia si las duraciones son comparables.

Solución de Ejercicio 5.4.

En el mismo sentido: $1.4 + 0.9 = 2.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. En contra de la cinta: $1.4 - 0.9 = 0.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Quieto sobre la cinta: los $0.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ de la propia cinta.

Solución de Ejercicio 5.5.

Bolígrafo que cae: el sistema terrestre sirve, pero el sistema del tren es mejor todavía — en él el bolígrafo cae simplemente en vertical. Estación espacial: sistema geocéntrico (orbita en torno a la Tierra en su conjunto e ignora su rotación). Año marciano: sistema heliocéntrico (Marte recorre una curva casi circular alrededor del Sol). Carrera de velocidad: sistema terrestre (la salida, la meta y el cronómetro están fijos al suelo).

Solución de Ejercicio 5.6.

1. $108/3.6 = 30\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Hacia la cabeza: $30 + 1.5 = 31.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; hacia la cola: $30 - 1.5 = 28.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

2. Respecto del tren, el viajero recorre $60\,\mathrm{m}$ a $1.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: $t = 60/1.5 = 40\,\mathrm{s}$. Respecto del suelo recorre $31.5 \times 40 = 1260\,\mathrm{m}$ — los $1200\,\mathrm{m}$ que le lleva el tren más los $60\,\mathrm{m}$ caminados, como predice la regla de composición.

Solución de Ejercicio 5.7.

1. Aguas abajo: $5.0 + 2.0 = 7.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, luego $t_1 = 420/7.0 = 60\,\mathrm{s}$. Aguas arriba: $5.0 - 2.0 = 3.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, luego $t_2 = 420/3.0 = 140\,\mathrm{s}$.

2. Velocidad media: $v = \frac{840}{60 + 140} = \frac{840}{200} = 4.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s} < 5.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. La ayuda y el estorbo de la corriente son iguales en velocidad, pero no en tiempo: la barca pasa $140\,\mathrm{s}$ frenada y solo $60\,\mathrm{s}$ ayudada, de modo que el tramo lento domina la media.

Solución de Ejercicio 5.8.

1. Sentidos opuestos: en el sistema de A, B se acerca a $25 + 20 = 45\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. El cruce termina cuando B ha recorrido la longitud combinada $180 + 90 = 270\,\mathrm{m}$: $t = 270/45 = 6.0\,\mathrm{s}$.

2. Mismo sentido: velocidad relativa $25 - 20 = 5.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, y $t = 270/5.0 = 54\,\mathrm{s}$ — nueve veces más, que es la razón de que adelantar a un camión se haga interminable.

Solución de Ejercicio 5.9.

Sistema del ciclista: una circunferencia (la de la llanta, centrada en el buje). Sistema terrestre: una cicloide — una cadena de arcos, uno por vuelta de rueda. Sistema de la propia válvula: la válvula está en reposo, un solo punto. El buje en el sistema terrestre: una recta horizontal a la altura de un radio de rueda.

Solución de Ejercicio 5.10.

1. $v = \frac{40\,000\,\mathrm{km}}{24\,\mathrm{h}} \approx 1.7 \times 10^{3}\,\mathrm{km}/\mathrm{h} = 1667/3.6 \approx 463\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — más rápido que el sonido.

2. No la notamos porque todo lo que nos rodea — suelo, aire, edificios — comparte exactamente el mismo movimiento, de modo que nada se mueve respecto de nosotros (y el principio de inercia, Capítulo 6, explicará por qué un movimiento uniforme compartido es indetectable desde dentro). “El Sol sale” es el parte del sistema terrestre y “la Tierra gira” el del sistema geocéntrico para una sola y misma observación.

Solución de Ejercicio 5.11.

Sea $L$ la longitud de la escalera. Velocidad de la escalera: $L/60$; velocidad al andar: $L/90$. Andando por la escalera en marcha, las velocidades se suman:

así que la subida dura $36\,\mathrm{s}$. (No es la media de $60$ y $90$: lo que se suma son las velocidades, no los tiempos.)

Solución de Ejercicio 5.12.

1. Sobre una distancia $d$ en cada sentido: $t = \frac{d}{60} + \frac{d}{90} = d\,\frac{3 + 2}{180} = \frac{d}{36}$, luego $v = \frac{2d}{d/36} = 72\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$.

2. El ingenuo $75$ promedia las dos velocidades como si el conductor pasara tiempos iguales a cada una; en realidad son las distancias las que son iguales, así que el tramo lento dura más ($\frac{d}{60} > \frac{d}{90}$) y arrastra la media hacia $60\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$. La velocidad media es la distancia total entre el tiempo total — y nada más.

Solución de Ejercicio 5.13.

1. En el sistema del primer ciclista, el segundo se acerca en línea recta a $15 + 20 = 35\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ desde $35\,\mathrm{km}$: se encuentran al cabo de exactamente $1.0\,\mathrm{h}$.

2. El primero ha recorrido $15 \times 1 = 15\,\mathrm{km}$ y el segundo $20 \times 1 = 20\,\mathrm{km}$ — en total $35\,\mathrm{km}$, como tenía que ser.

3. Mismo sentido: velocidad de acercamiento $20 - 15 = 5\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$, así que la persecución dura $35/5 = 7\,\mathrm{h}$.

Solución de Ejercicio 5.14.

1. La corriente empuja a la nadadora a lo largo del río, no a través de él: los dos movimientos se componen de forma independiente, y el avance hacia la otra orilla se hace a $1.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ sea cual sea la deriva. Tiempo de travesía: $t = 60/1.2 = 50\,\mathrm{s}$.

2. Deriva: $0.9 \times 50 = 45\,\mathrm{m}$ aguas abajo.

3. La velocidad en el sistema terrestre es la hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos $1.2$ y $0.9$: $v = \sqrt{1.2^2 + 0.9^2} = \sqrt{2.25} = 1.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ (un triángulo $3$–$4$–$5$ multiplicado por $0.3$). Longitud del camino: $1.5 \times 50 = 75\,\mathrm{m}$ — o directamente $\sqrt{60^2 + 45^2} = 75\,\mathrm{m}$.

Solución de Ejercicio 5.15.

1. $v = \frac{2\pi \times 1.50 \times 10^{11}}{3.16 \times 10^{7}} = \frac{9.42 \times 10^{11}}{3.16 \times 10^{7}} \approx 2.98 \times 10^{4}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 30\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$.

2. $30 / 0.46 \approx 65$: la Tierra nos lleva alrededor del Sol unas sesenta y cinco veces más deprisa que nos hace girar en torno a su eje.

3. En el sistema geocéntrico, el camino aparente de Marte combina su propio movimiento orbital con el de la Tierra, y cuando la Tierra, más rápida, adelanta a Marte, la combinación retrocede durante unas semanas. En el sistema heliocéntrico los dos planetas se limitan a girar alrededor del Sol a ritmo constante — el “bucle hacia atrás” no es un movimiento de Marte, sino un artefacto del sistema.