Física de secundaria · Grades 10–12

4Gravitación universal y peso

Suelta una manzana: cae. La Luna, a sesenta radios terrestres de altura, parece no caer nunca. La gran intuición de Newton es que la Luna sí está cayendo — unos 1.4 milímetros cada segundo, exactamente lo que predice una atracción que se debilita con el cuadrado de la distancia. Una sola fórmula, con una sola constante universal, gobierna la manzana, la Luna, las mareas y los planetas. El primer volumen describió la gravitación con palabras; este capítulo la mide.

4.1 La ley de gravitación universal

Definición 4.1 (Fuerza gravitatoria)

Dos cuerpos cualesquiera se atraen, sea cual sea la materia de la que estén hechos y por lejos que se encuentren. Esa atracción es la fuerza gravitatoria, y el fenómeno es la gravitación. No necesita contacto, ni cuerda, ni medio alguno, y es mutua: cada cuerpo tira del otro.

Teorema 4.2 (Ley de gravitación universal)

Dos cuerpos de masas $m_1$ y $m_2$ (en $\mathrm{kg}$ ), cuyos centros distan $d$ (en $\mathrm{m}$ ), se atraen con dos fuerzas dirigidas a lo largo de la recta que une los centros, cada una apuntando hacia el otro cuerpo, de igual módulo

F = G\,\frac{m_1 m_2}{d^2} \qquad \text{(en $\mathrm{N}$)},

donde $G$ es la misma constante para toda pareja de cuerpos del universo.

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

Observación 4.3 (De dónde sale la ley)

Newton destiló esta ley del movimiento observado de los planetas (las leyes de Kepler); la deducción honrada se hace en el volumen del primer año. El Capítulo 27 pondrá ya la ley a trabajar sobre satélites y planetas.

Definición 4.4 (La constante de gravitación)

La constante

G = 6.67 \times 10^{-11}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{kg}^{2}

es la constante de gravitación. Su valor minúsculo es la razón de que la gravedad entre objetos cotidianos sea imperceptible: solo cuando al menos una de las masas es astronómica llega $G m_1 m_2 / d^2$ a valer algo.

Las dos fuerzas de una pareja gravitatoria: sobre la línea de los centros, hacia el otro cuerpo y con el mismo módulo F = G m_1 m_2 / d2 aunque las masas sean disparatadamente distintas. — Las dos fuerzas de una pareja gravitatoria: sobre la línea de los centros, hacia el otro cuerpo y con el *mismo* módulo $F = G m_1 m_2 / d^2$ aunque las masas sean disparatadamente distintas.

Observación 4.5 (Cómo leer la fórmula)

Cuatro rasgos merecen atención.

Mutua e igual. La Tierra tira de ti con tu peso — y tú tiras de la Tierra con exactamente la misma fuerza. (La Tierra se limita a responder menos: es unas $10^{23}$ veces más pesada.)
Inversa del cuadrado. Duplicar $d$ divide la fuerza entre $4$ ; alejarse diez veces más la divide entre $100$ .
Distancia entre centros. Para los cuerpos esféricos — estrellas, planetas, balas de cañón — $d$ se mide de centro a centro, no de superficie a superficie.
Las dos masas cuentan. Duplicar cualquiera de las masas duplica la fuerza; la fórmula es simétrica en $m_1$ y $m_2$ .

Ejemplo 4.6 (Dos amigos)

Dos amigos de $70\,\mathrm{kg}$ están de pie con sus centros a $1.0\,\mathrm{m}$ :

F = 6.67 \times 10^{-11} \times \frac{70 \times 70}{1.0^2} \approx 3.3 \times 10^{-7}\,\mathrm{N}.

El peso de cada uno es de unos $6.9 \times 10^{2}\,\mathrm{N}$ — dos mil millones de veces mayor. Su atracción mutua es real, pero imposible de notar.

Ejemplo 4.7 (La Tierra sujeta a la Luna)

Con $m_1 = 5.97 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$ (Tierra), $m_2 = 7.35 \times 10^{22}\,\mathrm{kg}$ (Luna) y $d = 3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ :

F = 6.67 \times 10^{-11} \times \frac{5.97 \times 10^{24} \times 7.35 \times 10^{22}}{(3.84 \times 10^{8})^2} \approx 2.0 \times 10^{20}\,\mathrm{N}.

Y la Luna tira de la Tierra con los mismos $2.0 \times 10^{20}\,\mathrm{N}$ — un tirón al que los océanos responden dos veces al día: las mareas.

Método 4.8 (Calcular una fuerza gravitatoria)

Pasar las masas a kilogramos y la distancia de centro a centro a metros.
Aplicar $F = G m_1 m_2 / d^2$ .
Comprobar la potencia de diez por separado de las cifras, como en el Capítulo 1: las fuerzas gravitatorias van de $10^{-7}$ newtons (dos personas a un metro) a $10^{22}$ newtons (el Sol sobre la Tierra), de modo que un exponente mal puesto es fácil de cazar.

4.2 El peso y la intensidad de la gravedad

Definición 4.9 (Peso)

El peso $\vect P$ de un objeto en la superficie de un astro (un planeta, una luna, …) es la fuerza gravitatoria que el astro ejerce sobre él. Apunta hacia el centro del astro — la dirección que llamamos vertical — y se mide en newtons.

Proposición 4.10 (El peso en la superficie de un astro)

En la superficie de un astro esférico de masa $M$ y radio $R$ , un objeto de masa $m$ tiene un peso

P = m\,g, \qquad\text{donde}\qquad g = \frac{G M}{R^2}

depende solo del astro, no del objeto.

Demostración. El centro del objeto y el centro del astro distan $R$ , de modo que la ley de gravitación universal (Teorema 4.2) da $P = G M m / R^2 = m \times \left(G M / R^2\right)$ . El paréntesis es el mismo para cualquier objeto de la superficie: lo llamamos $g$ . ∎

Definición 4.11 (Intensidad del campo gravitatorio)

La magnitud $g = G M / R^2$ , en newtons por kilogramo, es la intensidad del campo gravitatorio en la superficie del astro: el astro tira de cada kilogramo con $g$ newtons. En la Tierra, $g = 9.81\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ .

Ejemplo 4.12 (Calcular $g$ )

Para la Tierra ( $M = 5.97 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$ , $R = 6.37 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ ):

g = \frac{6.67 \times 10^{-11} \times 5.97 \times 10^{24}}{(6.37 \times 10^{6})^2} = \frac{3.98 \times 10^{14}}{4.06 \times 10^{13}} \approx 9.81\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}.

Para la Luna ( $M = 7.35 \times 10^{22}\,\mathrm{kg}$ , $R = 1.74 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ ) el mismo cálculo da $g_{\text{Moon}} \approx 1.62\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ — seis veces menos: la Luna es mucho más ligera, y ser más pequeña no lo compensa. Para Marte, $g_{\text{Mars}} \approx 3.73\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ .

Intensidad del campo gravitatorio en la superficie de cuatro mundos: el mismo paquete de azúcar de 1\, kg pesa 1.6\, N en la Luna y 25\, N en Júpiter. — Intensidad del campo gravitatorio en la superficie de cuatro mundos: el mismo paquete de azúcar de $1\,\mathrm{kg}$ pesa $1.6\,\mathrm{N}$ en la Luna y $25\,\mathrm{N}$ en Júpiter.

“Abajo” es una noción local: en cada punto del globo el vector peso apunta hacia el centro O. Dos caminantes antípodas están ambos de pie — con los pies el uno hacia el otro. — “Abajo” es una noción local: en cada punto del globo el vector peso apunta hacia el centro $O$ . Dos caminantes antípodas están ambos de pie — con los pies el uno hacia el otro.

Observación 4.13 (Por qué los astronautas dan saltitos)

Un astronauta de $120\,\mathrm{kg}$ (cuerpo más traje) pesa $120 \times 9.81 \approx 1180\,\mathrm{N}$ en la Tierra, pero solo $120 \times 1.62 \approx 194\,\mathrm{N}$ en la Luna. Unos músculos entrenados con $1180\,\mathrm{N}$ cargan de pronto con la sexta parte: de ahí el famoso andar lunar, lento y a brincos. La masa — y con ella el esfuerzo necesario para frenar o girar — no ha cambiado, y por eso los astronautas lunares se caían tan a menudo.

4.3 ¿Masa o peso? La balanza y el dinamómetro

El habla corriente dice que un saco de harina “pesa tres kilos”. La física parte esa frase en dos.

Observación 4.14 (La masa no es el peso)

La masa $m$ mide la cantidad de materia, en kilogramos. Es una propiedad del objeto solo: la misma en la Tierra, en la Luna o a la deriva en el espacio profundo.
El peso $P = mg$ es una fuerza, en newtons, ejercida por un astro sobre el objeto. Cambia de un astro a otro con $g$ — y se desvanece lejos de todos ellos.

Confundirlos es inofensivo en el mercado y fatal en un problema de física: el kilogramo no es una unidad de fuerza.

Método 4.15 (La balanza y el dinamómetro)

Una balanza de brazos compara el objeto con masas patrón: los pesos de los dos platillos se multiplican por el mismo $g$ , de modo que la comparación mide la masa — el mismo veredicto en cualquier astro.
Un dinamómetro mide la fuerza que estira su muelle: marca el peso, en newtons, y su lectura cambia de un astro a otro. Para recuperar la masa se divide entre la intensidad local del campo: $m = P/g$ .

Ejemplo 4.16 (Harina en la Luna)

Un saco de harina de $3.0\,\mathrm{kg}$ equilibra a $3.0\,\mathrm{kg}$ de masas patrón en la Tierra y en la Luna. Un dinamómetro, en cambio, marca $3.0 \times 9.81 \approx 29\,\mathrm{N}$ en la Tierra y $3.0 \times 1.62 \approx 4.9\,\mathrm{N}$ en la Luna. Un comerciante que vendiera “por newton” en la Luna entregaría seis veces más harina — el comercio, como la ciencia, funciona con masas.

4.4 Caer alrededor de la Tierra: el cañón de Newton

Lanza una piedra en horizontal: la gravedad curva su camino en un arco y cae unos metros más allá. Lánzala más deprisa: cae más lejos. El experimento mental de Newton lleva la idea al límite. La Tierra es redonda y su superficie baja unos $5\,\mathrm{m}$ por debajo de la horizontal cada $8\,\mathrm{km}$ recorridos; un cuerpo en caída libre baja $4.9\,\mathrm{m}$ en su primer segundo (el Capítulo 26 lo establecerá). Así que un proyectil que rasara la Tierra a $8\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ caería exactamente tan deprisa como el suelo se curva: cae para siempre sin llegar a aterrizar nunca.

Definición 4.17 (Satélite y órbita)

Un satélite de un astro es un cuerpo que cae alrededor del astro sin alcanzar nunca su superficie; el camino que repite es su órbita.

El cañón de Newton: disparada cada vez más deprisa desde la cima de una montaña, la bala cae cada vez más lejos — hasta que, hacia los 7.9\, km/ s, el suelo se curva tan deprisa como la bala cae y esta entra en órbita. — El cañón de Newton: disparada cada vez más deprisa desde la cima de una montaña, la bala cae cada vez más lejos — hasta que, hacia los $7.9\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ , el suelo se curva tan deprisa como la bala cae y esta entra en órbita.

Observación 4.18 (La Luna es una piedra que cae)

La Luna es el satélite natural de la Tierra: cae hacia nosotros unos $1.4\,\mathrm{mm}$ cada segundo, y su movimiento lateral la lleva de largo antes de que pueda acercarse más (el Ejercicio 4.15 te permite rehacer la comprobación que el propio Newton hizo de ese número). Los astronautas de una estación en órbita están en la misma caída libre que su nave — eso, y no una supuesta ausencia de gravedad, es la razón de que floten. La gravitación moldea todas las trayectorias, del arco de la piedra a la elipse del planeta; la historia cuantitativa de las órbitas se cuenta en el Capítulo 27.

Notación 4.19 (Ficha de datos)

Salvo que un ejercicio diga otra cosa, se usará $G = 6.67 \times 10^{-11}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{kg}^{2}$ y:

	masa ( $\mathrm{kg}$ )	radio ( $\mathrm{m}$ )	$g$ ( $\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ )
Tierra	$5.97 \times 10^{24}$	$6.37 \times 10^{6}$	9.81
Luna	$7.35 \times 10^{22}$	$1.74 \times 10^{6}$	1.62
Marte	$6.42 \times 10^{23}$	$3.39 \times 10^{6}$	3.73
Sol	$1.99 \times 10^{30}$	—	—

Distancia Tierra–Luna: $3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ ; distancia Tierra–Sol: $1.496 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$ (de centro a centro).

4.5 Ejercicios

Ejercicio 4.1 ★

Dos bailarines de $60\,\mathrm{kg}$ se sujetan con sus centros a $0.80\,\mathrm{m}$ .

Calcula su atracción gravitatoria mutua.
Compárala con el peso de un mosquito de $2.5\,\mathrm{mg}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 4.1.

1. $F = 6.67 \times 10^{-11} \times \dfrac{60 \times 60}{0.80^2} = \dfrac{2.40 \times 10^{-7}}{0.64} \approx 3.8 \times 10^{-7}\,\mathrm{N}$ .

2. El peso del mosquito vale $P = 2.5 \times 10^{-6} \times 9.81 \approx 2.5 \times 10^{-5}\,\mathrm{N}$ — unas $65$ veces mayor que la atracción mutua de los bailarines. La gravedad entre personas es más débil que el peso de un mosquito.

Ejercicio 4.2 ★

Una estudiante tiene una masa de $55\,\mathrm{kg}$ .

Calcula su peso en la Tierra.
Viaja a la Luna. ¿Cuáles son allí su masa y su peso?

Solución

Solución de Ejercicio 4.2.

1. $P = mg = 55 \times 9.81 \approx 5.4 \times 10^{2}\,\mathrm{N}$ .

2. Su masa no cambia: $55\,\mathrm{kg}$ (la misma cantidad de materia). Su peso pasa a ser $P = 55 \times 1.62 \approx 89\,\mathrm{N}$ — seis veces menos.

Ejercicio 4.3 ★

Con la ficha de datos, recalcula la intensidad del campo gravitatorio en la superficie de Marte.
Se envía allí un vehículo de $900\,\mathrm{kg}$ . Calcula su peso en Marte y su peso en la Tierra.

Solución

Solución de Ejercicio 4.3.

1. $g_{\text{Mars}} = \dfrac{G M}{R^2} = \dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times 6.42 \times 10^{23}}{(3.39 \times 10^{6})^2} = \dfrac{4.28 \times 10^{13}}{1.15 \times 10^{13}} \approx 3.73\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ .

2. En Marte: $P = 900 \times 3.73 \approx 3.4 \times 10^{3}\,\mathrm{N}$ . En la Tierra: $P = 900 \times 9.81 \approx 8.8 \times 10^{3}\,\mathrm{N}$ — el vehículo pesa unas $2.6$ veces menos en Marte, con la misma masa.

Ejercicio 4.4 ★

Con la ficha de datos, calcula la fuerza que la Tierra ejerce sobre la Luna. ¿Qué fuerza ejerce la Luna sobre la Tierra?

Solución

Solución de Ejercicio 4.4.

F = 6.67 \times 10^{-11} \times \frac{5.97 \times 10^{24} \times 7.35 \times 10^{22}}{(3.84 \times 10^{8})^2} = \frac{2.93 \times 10^{37}}{1.47 \times 10^{17}} \approx 2.0 \times 10^{20}\,\mathrm{N}.

La Luna ejerce sobre la Tierra una fuerza del mismo módulo, $2.0 \times 10^{20}\,\mathrm{N}$ , en sentido opuesto: la gravitación es mutua.

Ejercicio 4.5 ★

Dos cuerpos se atraen con una fuerza $F_0$ . ¿En qué se convierte la fuerza si:

se duplica la distancia entre los centros;
se reduce la distancia a la mitad;
se duplican las dos masas (misma distancia);
se triplica una masa y se triplica la distancia?

Solución

Solución de Ejercicio 4.5.

1. Distancia duplicada: $d^2$ queda multiplicado por $4$ , así que $F = F_0/4$ .

2. Distancia a la mitad: $F = 4F_0$ .

3. Las dos masas duplicadas: $m_1 m_2$ queda multiplicado por $4$ , así que $F = 4F_0$ .

4. Numerador $\times 3$ , denominador $\times 9$ : $F = F_0/3$ .

Ejercicio 4.6 ★★

Dos superpetroleros cargados de $5.0 \times 10^{8}\,\mathrm{kg}$ cada uno están amarrados con sus centros a $100\,\mathrm{m}$ .

Calcula su atracción gravitatoria mutua.
¿Qué masa tiene en la Tierra un peso igual a esa fuerza?
La fuerza es sorprendentemente grande — y sin embargo los petroleros no muestran ninguna tendencia a juntarse. Calcula la aceleración $a = F/m$ que le comunica a uno de ellos y coméntalo.

Solución

Solución de Ejercicio 4.6.

1. $F = 6.67 \times 10^{-11} \times \dfrac{(5.0 \times 10^{8})^2}{100^2} = 6.67 \times 10^{-11} \times \dfrac{2.5 \times 10^{17}}{1.0 \times 10^{4}} \approx 1.7 \times 10^{3}\,\mathrm{N}$ .

2. $m = F/g = 1667/9.81 \approx 1.7 \times 10^{2}\,\mathrm{kg}$ : los dos barcos se atraen con el peso de una motocicleta grande.

3. $a = F/m = 1.7 \times 10^{3}/5.0 \times 10^{8} \approx 3.3 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ . Aun sin nada que se opusiera, los petroleros tardarían unos cinco días en alcanzar la velocidad de un paseo; en la práctica, la resistencia del agua y las amarras ahogan la atracción por completo.

Ejercicio 4.7 ★★

Una tienda lunar vende una bolsa de arroz de $3.0\,\mathrm{kg}$ .

¿Qué indican para esa bolsa una balanza de brazos y un dinamómetro en la Tierra? ¿Y en la Luna?
Un cliente paga por “ $3.0\,\mathrm{kg}$ ”. ¿Qué instrumento garantiza un trato justo en cualquier mundo, y por qué?

Solución

Solución de Ejercicio 4.7.

1. La balanza de brazos indica $3.0\,\mathrm{kg}$ en los dos mundos: la bolsa y las masas patrón ven sus pesos divididos por el mismo factor, así que la comparación no cambia. El dinamómetro marca el peso: $3.0 \times 9.81 \approx 29\,\mathrm{N}$ en la Tierra y $3.0 \times 1.62 \approx 4.9\,\mathrm{N}$ en la Luna.

2. La balanza: mide la masa, que es lo que el cliente compra. Un dinamómetro graduado en “kilogramos” en la Tierra marcaría $4.9/9.81 \approx 0.50\,\mathrm{kg}$ para esa misma bolsa en la Luna — el tendero regalaría seis bolsas al precio de una.

Ejercicio 4.8 ★★

La Estación Espacial Internacional vuela a una altitud de $400\,\mathrm{km}$ .

Calcula la intensidad del campo gravitatorio terrestre a esa altitud. (Cuidado: ¿cuál es la distancia al centro de la Tierra?)
Exprésala como porcentaje del valor en la superficie.
Los astronautas de a bordo flotan. Concilia este hecho con tu respuesta.

Solución

Solución de Ejercicio 4.8.

1. Distancia al centro: $d = R + h = 6.37 \times 10^{6} + 4.0 \times 10^{5} = 6.77 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ . Entonces $g = \dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times 5.97 \times 10^{24}}{(6.77 \times 10^{6})^2} = \dfrac{3.98 \times 10^{14}}{4.58 \times 10^{13}} \approx 8.69\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ .

2. $8.69/9.81 \approx 89\,\%$ del valor en la superficie.

3. Ahí arriba la gravedad conserva casi toda su fuerza: los astronautas flotan porque la estación y todo lo que hay dentro caen juntos alrededor de la Tierra (caída libre), no porque la gravedad haya desaparecido.

Ejercicio 4.9 ★★

En la superficie de Venus, $g = 8.87\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ , y el radio del planeta es $6.05 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ . Deduce la masa de Venus y compárala con la de la Tierra.

Solución

Solución de Ejercicio 4.9.

De $g = GM/R^2$ ,

M = \frac{g R^2}{G} = \frac{8.87 \times (6.05 \times 10^{6})^2}{6.67 \times 10^{-11}} = \frac{3.25 \times 10^{14}}{6.67 \times 10^{-11}} \approx 4.87 \times 10^{24}\,\mathrm{kg},

unas $0.8$ veces la masa de la Tierra — Venus es casi la gemela de la Tierra en tamaño y masa.

Ejercicio 4.10 ★★

Calcula la fuerza que ejerce el Sol sobre $1.0\,\mathrm{kg}$ de agua de mar y después la fuerza que ejerce la Luna sobre ese mismo kilogramo.
El Sol tira con más fuerza — ¿en qué factor?
Y sin embargo la Luna domina las mareas. La marea no la produce el tirón en sí, sino la diferencia entre los tirones sobre la cara próxima y la cara lejana de la Tierra. Explica, sin calcular, por qué la Luna cercana puede ganarle al Sol lejano con ese criterio.

Solución

Solución de Ejercicio 4.10.

1. Sol: $F = \dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times 1.99 \times 10^{30}}{(1.496 \times 10^{11})^2} \approx 5.9 \times 10^{-3}\,\mathrm{N}$ . Luna: $F = \dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times 7.35 \times 10^{22}}{(3.84 \times 10^{8})^2} \approx 3.3 \times 10^{-5}\,\mathrm{N}$ .

2. El Sol tira unas $5.9 \times 10^{-3}/3.3 \times 10^{-5} \approx 180$ veces más fuerte.

3. El diámetro de la Tierra es una fracción mucho mayor de la distancia Tierra–Luna ( $\approx 3\,\%$ ) que de la distancia Tierra–Sol ( $\approx 0.01\,\%$ ), de modo que el tirón de la Luna cambia mucho más de la cara próxima a la cara lejana del globo. Las mareas se alimentan de esa diferencia — y ahí gana la Luna.

Ejercicio 4.11 ★★

Un planeta tiene el doble de la masa de la Tierra y el doble de su radio. Expresa la intensidad de su campo en la superficie en función de la $g$ terrestre y después en $\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ .
¿Qué radio necesitaría un planeta de la masa de la Tierra para que la intensidad de su campo en la superficie fuera $2g$ ?

Solución

Solución de Ejercicio 4.11.

1. $g' = \dfrac{G (2M)}{(2R)^2} = \dfrac{2}{4}\,\dfrac{GM}{R^2} = \dfrac{g}{2} \approx 4.9\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ : el radio duplicado le gana a la masa duplicada.

2. Hace falta $\dfrac{GM}{R'^2} = 2\,\dfrac{GM}{R^2}$ , de donde $R'^2 = R^2/2$ y $R' = R/\sqrt{2} \approx 4.5 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ — unos $4500\,\mathrm{km}$ .

Ejercicio 4.12 ★★★

En algún punto de la recta Tierra–Luna, los dos tirones sobre una sonda espacial se anulan. Sea $x$ la distancia del centro de la Tierra a ese punto y $D$ la distancia Tierra–Luna.

Demuestra que en ese punto $\left(\dfrac{x}{D - x}\right)^{2} = \dfrac{M_{\text{Earth}}}{M_{\text{Moon}}}$ .
Deduce $x$ . ¿Qué fracción del viaje a la Luna es?

Solución

Solución de Ejercicio 4.12.

1. Tirones por kilogramo iguales: $\dfrac{G M_{\text{Earth}}}{x^2} = \dfrac{G M_{\text{Moon}}}{(D-x)^2}$ . Multiplicando en cruz y dividiendo entre $G$ : $\left(\dfrac{x}{D-x}\right)^2 = \dfrac{M_{\text{Earth}}}{M_{\text{Moon}}}$ .

2. $\dfrac{x}{D-x} = \sqrt{\dfrac{5.97 \times 10^{24}}{7.35 \times 10^{22}}} = \sqrt{81.2} \approx 9.0$ , luego $x = 9.0\,(D - x)$ , es decir $x = \dfrac{9.0}{10.0}\,D \approx 0.90 \times 3.84 \times 10^{8} \approx 3.5 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ . El punto de equilibrio está al $90\,\%$ del camino hacia la Luna: el tirón de la Tierra domina casi todo el viaje.

Ejercicio 4.13 ★★★

El cañón de Newton, con números. Un proyectil rasa la Tierra en horizontal con velocidad $v$ .

Tras $x = 8.0\,\mathrm{km}$ de recorrido horizontal, la Tierra esférica se ha “caído” una altura $h$ que cumple $(R + h)^2 = R^2 + x^2$ . Usando $(R + h)^2 \approx R^2 + 2Rh$ para $h$ pequeña, demuestra que $h \approx x^2 / (2R)$ y calcula $h$ .
Un cuerpo en caída libre baja $4.9\,\mathrm{m}$ en su primer segundo. Compara con $h$ y deduce la velocidad a la que el proyectil no aterriza nunca.
Calcula la duración de una órbita completa a esa velocidad, rasando la superficie.

Solución

Solución de Ejercicio 4.13.

1. Desarrollando: $R^2 + 2Rh + h^2 = R^2 + x^2$ ; como $h$ es diminuta frente a $R$ , se desprecia $h^2$ : $2Rh \approx x^2$ , luego $h \approx \dfrac{x^2}{2R} = \dfrac{(8.0 \times 10^{3})^2}{2 \times 6.37 \times 10^{6}} = \dfrac{6.4 \times 10^{7}}{1.27 \times 10^{7}} \approx 5.0\,\mathrm{m}$ .

2. En un segundo el proyectil cae $4.9\,\mathrm{m}$ — casi exactamente los $5.0\,\mathrm{m}$ que el suelo se aparta en $8.0\,\mathrm{km}$ . Así que a $v \approx 8.0\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ la caída no alcanza nunca el suelo: el proyectil entra en órbita.

3. $T = \dfrac{2\pi R}{v} = \dfrac{2\pi \times 6.37 \times 10^{6}}{8.0 \times 10^{3}} \approx 5.0 \times 10^{3}\,\mathrm{s} \approx 83\,\mathrm{min}$ — cerca de los $90\,\mathrm{min}$ aproximados de los satélites reales de órbita baja, que vuelan un poco más alto.

Ejercicio 4.14 ★★★

Una estrella de neutrones aprieta $M = 2.8 \times 10^{30}\,\mathrm{kg}$ (1.4 veces la masa del Sol) en un radio de $12\,\mathrm{km}$ .

Calcula la intensidad del campo gravitatorio en su superficie.
¿Cuánto pesaría allí una persona de $70\,\mathrm{kg}$ ? Compáralo con su peso en la Tierra.
¿Cuál es allí el peso de un grano de arena de $1.0\,\mathrm{mg}$ ? ¿Qué masa tiene ese peso en la Tierra?

Solución

Solución de Ejercicio 4.14.

1. $g = \dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times 2.8 \times 10^{30}} {(1.2 \times 10^{4})^2} = \dfrac{1.87 \times 10^{20}}{1.44 \times 10^{8}} \approx 1.3 \times 10^{12}\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}.$

2. $P = 70 \times 1.3 \times 10^{12} \approx 9.1 \times 10^{13}\,\mathrm{N}$ , frente a $6.9 \times 10^{2}\,\mathrm{N}$ en la Tierra: unas $1.3 \times 10^{11}$ veces más. Ninguna estructura hecha de átomos sobrevive de pie allí.

3. $P = 1.0 \times 10^{-6} \times 1.3 \times 10^{12} \approx 1.3 \times 10^{6}\,\mathrm{N}$ . En la Tierra ese es el peso de $m = 1.3 \times 10^{6}/9.81 \approx 1.3 \times 10^{5}\,\mathrm{kg}$ — un grano de arena que pesa lo que una locomotora de cien toneladas.

Ejercicio 4.15 ★★★

La prueba lunar de Newton (1666). El radio de la órbita de la Luna es de unos $60$ radios terrestres.

¿En qué factor es más débil el tirón terrestre por kilogramo en la Luna que en la superficie de la Tierra, si la gravedad sigue la inversa del cuadrado?
Cerca de la superficie, un cuerpo que cae baja $4.9\,\mathrm{m}$ en su primer segundo. ¿Cuánto debería caer la Luna hacia la Tierra cada segundo?
Compruébalo con la órbita: la Luna recorre su circunferencia de radio $d = 3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ en $T = 27.3$ días. Calcula su velocidad $v$ , la distancia $x$ que recorre en un segundo y después la caída $h \approx x^2/(2d)$ (como en el Ejercicio 4.13).
Compara las respuestas de las preguntas 2 y 3, y di qué concluyó Newton.

Solución

Solución de Ejercicio 4.15.

1. La distancia es $60$ veces mayor, así que el tirón por kilogramo es $60^2 = 3600$ veces más débil.

2. La caída en un segundo se reduce en el mismo factor: $4.9/3600 \approx 1.4 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}$ — unos $1.4\,\mathrm{mm}$ .

3. $T = 27.3 \times 86\,400\,\mathrm{s} = 2.36 \times 10^{6}\,\mathrm{s}$ , de modo que $v = \dfrac{2\pi \times 3.84 \times 10^{8}}{2.36 \times 10^{6}} \approx 1.02 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , y $x = 1.02 \times 10^{3}\,\mathrm{m}$ en un segundo. La caída vale $h \approx \dfrac{x^2}{2d} = \dfrac{(1.02 \times 10^{3})^2}{2 \times 3.84 \times 10^{8}} \approx 1.4 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}$ .

4. Los dos números coinciden: la Luna cae hacia la Tierra cada segundo exactamente lo que predice la gravedad de la inversa del cuadrado, calibrada con una manzana que cae. Newton concluyó que la fuerza que sujeta a la Luna es la que deja caer la manzana: la gravedad es universal.

4.6 Problema: pesar la Tierra

Problema 4.1

Problema de fin de semana — de dos esferas de plomo en un cobertizo a la masa de la Tierra y después a la del Sol: lo que vale una constante pequeña medida una sola vez

En 1798 Henry Cavendish colgó de un hilo fino una varilla ligera con dos esferas pequeñas de plomo, acercó dos esferas grandes de plomo y midió el retorcimiento casi inexistente del hilo. Los periódicos dijeron que había pesado la Tierra — y tenían razón: una vez que se conoce $G$ , la propia $g$ terrestre y el radio entregan su masa, y la órbita anual de la Tierra entrega la del Sol. Este problema recorre la cadena entera. Usa la ficha de datos en todo momento.

Parte I — La fuerza más endeble.

El hierro de la torre Eiffel tiene una masa de unos $7.3 \times 10^{6}\,\mathrm{kg}$ . Un turista de $55\,\mathrm{kg}$ está a $100\,\mathrm{m}$ de su centro de masas. Calcula el tirón de la torre sobre el turista.
Compáralo con el peso de un grano de arena de $1.0\,\mathrm{mg}$ .
Ejercicio de proporcionalidad: ¿qué le ocurre a una fuerza gravitatoria si (a) la distancia se multiplica por $10$ ; (b) las dos masas se multiplican por $1000$ ; (c) las dos masas y la distancia se multiplican por $1000$ ?
Calcula el tirón de la Tierra sobre un objeto de $1.00\,\mathrm{kg}$ situado en su superficie, a partir de $M$ , $R$ y $G$ . ¿Qué nombre y qué símbolo cotidianos lleva ese número?
La gravedad es con mucho la interacción más endeble que has conocido — y sin embargo gobierna el universo. Explica en una o dos frases por qué el tirón de la Tierra sobre ti domina al de tu vecino.

Parte II — La balanza de Cavendish. En la balanza de torsión, una esfera grande de masa $m_1 = 158\,\mathrm{kg}$ atrae a una pequeña de masa $m_2 = 0.73\,\mathrm{kg}$ ; sus centros distan $d = 0.23\,\mathrm{m}$ .

Con el valor moderno de $G$ , calcula la fuerza entre las dos esferas.
Calcula el peso de la esfera pequeña y el cociente de las dos fuerzas. ¿Por qué necesitaba Cavendish un hilo de torsión y no una báscula corriente?
El retorcimiento que Cavendish midió corresponde (en unidades modernas) a $F = 1.47 \times 10^{-7}\,\mathrm{N}$ . Deduce su valor de $G$ y compáralo con el de hoy.
Con $G = 6.67 \times 10^{-11}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{kg}^{2}$ , $g = 9.81\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ y $R = 6.37 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ , deduce la masa de la Tierra. (Este es el paso que celebraron los periódicos.)
Deduce la densidad media de la Tierra $\rho = M / V$ , con $V = \frac43 \pi R^3$ . Las rocas de la superficie tienen densidades de unos $2.7 \times 10^{3}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ : ¿qué revela la comparación sobre el interior profundo?

Parte III — Otros mundos.

Con la ficha de datos, recalcula la intensidad del campo en la superficie de la Luna.
En la Tierra, un buen impulso eleva tu centro de masas $0.50\,\mathrm{m}$ . Para el mismo impulso, la altura alcanzada es inversamente proporcional a $g$ (como justificará el capítulo de energía, Capítulo 9). ¿Hasta qué altura te lleva el mismo salto en la Luna?
Mercurio: $M = 3.30 \times 10^{23}\,\mathrm{kg}$ , $R = 2.44 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ . Calcula la intensidad de su campo en la superficie y compárala con la de Marte. Mercurio es mucho más pequeño que Marte: ¿cómo pueden ser los dos valores tan parecidos?
¿A qué altitud sobre la superficie de la Tierra ha caído la intensidad del campo a la mitad de su valor en la superficie?
¿A qué distancia del centro de la Tierra baja el tirón terrestre por kilogramo hasta el valor de la superficie lunar, $1.62\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ ? Exprésala en radios terrestres.

Parte IV — Pesar el Sol. La Tierra recorre una órbita casi circular de radio $d = 1.496 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$ en un año, $T = 3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$ . Admite (se demuestra en el Capítulo 27) que un cuerpo que recorre una trayectoria circular de radio $d$ con velocidad $v$ necesita un tirón de $v^2/d$ newtons por kilogramo hacia el centro.

Calcula la velocidad orbital $v$ de la Tierra.
Deduce el tirón por kilogramo que el Sol ejerce sobre la Tierra.
Ese tirón vale también $G M_{\text{Sun}} / d^2$ . Deduce la masa del Sol.
¿Cuántas Tierras son? Compara $M_{\text{Sun}}$ con $M_{\text{Earth}}$ .
Final. Las esferas de Cavendish, la Tierra, el Sol: una sola constante $G$ ha servido para las tres. Di en una frase qué nos ha comprado en este problema la palabra universal de “gravitación universal”.

Solución

Solución de Problema 4.1.

1. $F = 6.67 \times 10^{-11} \times \dfrac{7.3 \times 10^{6} \times 55}{100^2} \approx 2.7 \times 10^{-6}\,\mathrm{N}$ .

2. El grano de arena pesa $1.0 \times 10^{-6} \times 9.81 \approx 9.8 \times 10^{-6}\,\mathrm{N}$ : la torre Eiffel entera tira del turista unas $3.7$ veces menos que el peso de un grano de arena.

3. (a) Distancia $\times 10$ : fuerza dividida entre $100$ . (b) Las dos masas $\times 1000$ : fuerza multiplicada por $10^6$ . (c) Masas $\times 1000$ y distancia $\times 1000$ : $10^6 / 10^6$ — la fuerza no cambia.

4. $F = \dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times 5.97 \times 10^{24} \times 1.00}{(6.37 \times 10^{6})^2} \approx 9.81\,\mathrm{N}$ : el peso de un kilogramo — que es exactamente la intensidad del campo, $g = 9.81\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ .

5. La gravedad es endeble por kilogramo, pero solo atrae, de modo que los tirones de los $5.97 \times 10^{24}$ kilogramos de la Tierra se suman en la misma dirección — y una masa astronómica le gana a una masa vecina por veintidós potencias de diez.

6. $F = 6.67 \times 10^{-11} \times \dfrac{158 \times 0.73}{0.23^2} = 6.67 \times 10^{-11} \times \dfrac{115.3}{0.0529} \approx 1.5 \times 10^{-7}\,\mathrm{N}$ .

7. La esfera pequeña pesa $0.73 \times 9.81 \approx 7.2\,\mathrm{N}$ — unas $5 \times 10^{7}$ veces la atracción que hay que detectar. Ninguna balanza de platillos resuelve una parte en cincuenta millones; un hilo fino de torsión, que se retuerce de forma visible con pares del orden del nanonewton, sí.

8. $G = \dfrac{F d^2}{m_1 m_2} = \dfrac{1.47 \times 10^{-7} \times 0.0529}{115.3} \approx 6.74 \times 10^{-11}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{kg}^{2}$ — a un $1\,\%$ escaso del $6.67 \times 10^{-11}$ moderno, desde un cobertizo de madera en 1798.

9. De $g = G M / R^2$ :

M = \frac{g R^2}{G} = \frac{9.81 \times (6.37 \times 10^{6})^2}{6.67 \times 10^{-11}} \approx 5.97 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}.

Seis cuatrillones de kilogramos: la Tierra, pesada.

10. $V = \frac43 \pi R^3 = \frac43 \pi (6.37 \times 10^{6})^3 \approx 1.08 \times 10^{21}\,\mathrm{m}^{3}$ , así que $\rho = 5.97 \times 10^{24}/1.08 \times 10^{21} \approx 5.5 \times 10^{3}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ — el doble de la densidad de la roca superficial. El interior debe esconder algo mucho más denso que el granito: la Tierra tiene un núcleo pesado, de hierro.

11. $g_{\text{Moon}} = \dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times 7.35 \times 10^{22}}{(1.74 \times 10^{6})^2} = \dfrac{4.90 \times 10^{12}} {3.03 \times 10^{12}} \approx 1.62\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ .

12. Altura $\propto 1/g$ : $h = 0.50 \times \dfrac{9.81}{1.62} \approx 3.0\,\mathrm{m}$ — un salto sin carrerilla por encima de una canasta de baloncesto, a cámara lenta.

13. $g_{\text{Mercury}} = \dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times 3.30 \times 10^{23}}{(2.44 \times 10^{6})^2} = \dfrac{2.20 \times 10^{13}} {5.95 \times 10^{12}} \approx 3.70\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ — casi exactamente los $3.73\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ de Marte. Mercurio tiene menos masa, pero su radio menor (un $R^2$ menor abajo) lo compensa: es un mundo mucho más denso.

14. La mitad de la intensidad del campo exige $(R + h)^2 = 2 R^2$ , luego $R + h = R\sqrt{2}$ y $h = (\sqrt{2} - 1) R \approx 0.414 \times 6.37 \times 10^{6} \approx 2.6 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ — unos $2600\,\mathrm{km}$ de altitud.

15. $\dfrac{G M_{\text{Earth}}}{d^2} = 1.62$ da $d = \sqrt{\dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times 5.97 \times 10^{24}}{1.62}} = \sqrt{2.46 \times 10^{14}} \approx 1.57 \times 10^{7}\,\mathrm{m} \approx 2.5$ radios terrestres. Desde solo un radio y medio por encima del suelo, la Tierra ya no tira más fuerte que la superficie de la Luna.

16. $v = \dfrac{2\pi d}{T} = \dfrac{2\pi \times 1.496 \times 10^{11}}{3.156 \times 10^{7}} \approx 2.98 \times 10^{4}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — treinta kilómetros cada segundo.

17. $\dfrac{v^2}{d} = \dfrac{(2.98 \times 10^{4})^2}{1.496 \times 10^{11}} \approx 5.9 \times 10^{-3}\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ : el Sol tira de cada kilogramo de la Tierra con unos seis milinewtons.

18. $\dfrac{G M_{\text{Sun}}}{d^2} = \dfrac{v^2}{d}$ da

M_{\text{Sun}} = \frac{v^2 d}{G} = \frac{8.87 \times 10^{8} \times 1.496 \times 10^{11}}{6.67 \times 10^{-11}} \approx 1.99 \times 10^{30}\,\mathrm{kg}.

19. $\dfrac{1.99 \times 10^{30}}{5.97 \times 10^{24}} \approx 3.3 \times 10^{5}$ : el Sol es un tercio de millón de Tierras.

20. Como la misma $G$ gobierna toda pareja de masas, medirla una sola vez entre dos esferas de plomo en un cobertizo nos permitió poner en la balanza primero el planeta que pisamos y después la estrella que orbitamos — eso es lo que vale la palabra universal.