Física de secundaria · Grades 10–12

15El magnetismo y el campo magnético

Durante mil años los marineros se guiaron por agujas imantadas sin que nadie supiera por qué señalan al norte. La respuesta llegó en 1820, cuando una corriente hizo temblar una brújula: el magnetismo lo fabrican las cargas en movimiento. Este capítulo cartografía el campo magnético — el de los imanes, el de la Tierra, el de las corrientes — y después cierra el círculo: el campo devuelve el empujón a las corrientes, y así es como gira todo motor eléctrico.

15.1 Los imanes y el campo magnético

Definición 15.1 (Imán y polos)

Un imán atrae al hierro y, colgado de un hilo, gira hasta encararse al norte. Su acción se concentra en dos polos magnéticos, el norte (el extremo que busca el norte geográfico) y el sur: los polos iguales se repelen y los distintos se atraen. Serrar un imán por la mitad da dos imanes completos — ningún experimento ha aislado nunca un polo.

Definición 15.2 (Campo magnético)

Un imán modifica el espacio que lo rodea (Capítulo 14): crea en todas partes un campo magnético $\vect B$ . Una brújula lee su dirección (la aguja se alinea con $\vect B$ , con el extremo norte por delante); una sonda Hall mide su módulo, en teslas ( $\mathrm{T}$ ).

Definición 15.3 (Líneas de campo magnético)

Las líneas de campo magnético son curvas tangentes a $\vect B$ , que se apiñan donde el campo es intenso. Fuera de un imán van del polo norte al sur; a diferencia de las líneas de campo eléctrico, no tienen extremos: cada una se cierra por dentro del cuerpo del imán.

Líneas de campo de un imán recto: salen del N, entran en el S y se cierran por el cuerpo. Una brújula colocada en cualquier punto se asienta a lo largo de la línea que pasa por él.

15.2 La Tierra es un imán

Definición 15.4 (El campo magnético terrestre)

Las corrientes del núcleo de hierro fundido de la Tierra convierten al planeta en un imán gigantesco: en la superficie $B \approx 50\,\text{µ}\mathrm{T}$ , y una aguja libre se alinea con la componente horizontal del campo — eso es la brújula. Los polos geomagnéticos no son los geográficos; el ángulo entre el norte de la brújula y el norte verdadero es la declinación, que se corrige en todos los rumbos.

Ejemplo 15.5 (Corregir un rumbo)

Donde la declinación es de $7{}^{\circ}$ oeste, un barco que navegue al “norte de brújula” durante $5.0\,\mathrm{km}$ deriva $5000 \times \sin7{}^{\circ} \approx 6.1 \times 10^{2}\,\mathrm{m}$ al oeste de su derrota: para ir al norte verdadero hay que gobernar $7{}^{\circ}$ al este de la aguja.

15.3 El campo magnético de una corriente

Observación 15.6 (Oersted, 1820)

Durante una clase en 1820, Hans Christian Oersted vio oscilar la aguja de una brújula al cerrar un circuito cercano: la electricidad y el magnetismo eran una misma materia — las corrientes crean campos magnéticos.

Proposición 15.7 (Campo de un hilo rectilíneo)

Un hilo rectilíneo largo recorrido por una intensidad $I$ crea un campo cuyas líneas son circunferencias centradas en el hilo, en planos perpendiculares a él. A una distancia $d$ del hilo,

B = \frac{\mu_0\, I}{2\pi d}, \qquad \mu_0 = 4\pi\times 10^{-7}\ \mathrm{T}\,\mathrm{m}/\mathrm{A} \approx 1.26 \times 10^{-6}\,\mathrm{T}\,\mathrm{m}/\mathrm{A}.

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

Líneas de campo circulares alrededor de un hilo rectilíneo, vistas de frente (: corriente saliendo del papel; : entrando). Se agarra el hilo con la mano derecha y el pulgar en el sentido de la corriente: los dedos se curvan como gira B. — Líneas de campo circulares alrededor de un hilo rectilíneo, vistas de frente ( $\odot$ : corriente saliendo del papel; $\otimes$ : entrando). Se agarra el hilo con la mano derecha y el pulgar en el sentido de la corriente: los dedos se curvan como gira $\vect B$ .

Ejemplo 15.8 (Un hilo es un imán flojo)

A $d = 1.0\,\mathrm{cm}$ de un hilo por el que circulan $I = 15\,\mathrm{A}$ : $B = 2 \times 10^{-7} \times 15 / 0.010 = 0.30\,\mathrm{mT}$ — seis campos terrestres, a partir de una corriente que haría saltar el automático de una casa. Los campos intensos exigen una geometría mejor.

Definición 15.9 (Bobina y solenoide)

Enrollar el hilo concentra su campo. Una bobina plana ( $N$ espiras en un disco) se comporta como un imán delgado, con una cara norte y la otra sur; un solenoide — un bobinado cilíndrico largo, de $n$ espiras por metro — se comporta como un imán recto.

Proposición 15.10 (Campo dentro de un solenoide)

Dentro de un solenoide largo, lejos de los extremos, el campo es uniforme: paralelo al eje y el mismo en todos los puntos interiores, de módulo $B = \mu_0\, n\, I$ , independiente de la anchura del hueco. Fuera, el campo es débil.

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

Observación 15.11

Las dos fórmulas se deducen honradamente en el volumen del primer año, a partir de la ley que relaciona la circulación de un campo con la corriente que rodea. Conviene fijarse en lo que cuenta: $n$ , las espiras por metro — hay que enrollar más apretado, no más largo.

Método 15.12 (La mano derecha, dos veces)

Hilo: pulgar $=$ corriente; dedos curvados $=$ giro de las líneas.
Bobina, solenoide: dedos curvados $=$ corriente por las espiras; pulgar $=$ $\vect B$ interior, apuntando a la cara norte.

Un solenoide cortado a lo largo (/: las espiras que cruzan la página): dentro, un B = _0 n I uniforme según el eje; fuera, un campo de retorno débil y disperso (a trazos). — Un solenoide cortado a lo largo ( $\odot$ / $\otimes$ : las espiras que cruzan la página): dentro, un $B = \mu_0 n I$ uniforme según el eje; fuera, un campo de retorno débil y disperso (a trazos).

Ejemplo 15.13 (Números de un solenoide)

Con $10$ espiras por centímetro ( $n = 1000\,\mathrm{m}^{-1}$ ) y $I = 5.0\,\mathrm{A}$ : $B = 1.26 \times 10^{-6} \times 1000 \times 5.0 \approx 6.3\,\mathrm{mT}$ — cien campos terrestres, regulables con un mando.

15.4 Los electroimanes

Definición 15.14 (Electroimán)

Un electroimán es un solenoide bobinado sobre un núcleo de hierro dulce: el hierro se imana en el campo de la bobina y lo multiplica, normalmente por $100$ o $1000$ . A diferencia de un imán permanente, se apaga con la corriente.

Observación 15.15 (Tres máquinas)

La grúa del desguace levanta un coche con un electroimán y — ahí está la gracia — lo suelta abriendo un interruptor. El pequeño electroimán de un relé cierra un contacto de un tirón: una corriente débil conmuta una fuerte (Capítulo 12). Un equipo de resonancia magnética mantiene $1.5\,\mathrm{T}$ uniformes alrededor del paciente con un solenoide superconductor.

Órdenes de magnitud, de la galaxia a una estrella muerta:

espacio interestelar	$\sim 10^{-10}\,\mathrm{T}$
campo en la superficie de la Tierra	$5 \times 10^{-5}\,\mathrm{T}$
imán de nevera	$\sim 5 \times 10^{-3}\,\mathrm{T}$
imán de neodimio, en su polo	$\sim 0.5\,\mathrm{T}$
solenoide de resonancia magnética	$1.5\,\mathrm{T}$
superficie de una estrella de neutrones	$\sim 10^{8}\,\mathrm{T}$

15.5 La fuerza de Laplace

Proposición 15.16 (Fuerza de Laplace)

Un hilo rectilíneo de longitud $L$ , recorrido por una intensidad $I$ en un campo uniforme $\vect B$ perpendicular al hilo, nota la fuerza de Laplace de módulo $F = I\,L\,B$ , perpendicular al hilo y a $\vect B$ a la vez: mano derecha extendida, pulgar en el sentido de la corriente y dedos estirados según $\vect B$ — la palma empuja en el sentido de $\vect F$ . Un hilo paralelo al campo no nota ninguna fuerza.

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

Observación 15.17 (El raíl que salta)

El volumen del primer año deduce esto de la fuerza magnética sobre cada carga en movimiento. En el laboratorio: una varilla de cobre descansa sobre dos raíles horizontales entre los polos de un imán (con el campo entrando en la página, en la figura); se cierra el interruptor y la varilla sale disparada a lo largo de los raíles. Si se invierte la corriente, o se le da la vuelta al imán, sale disparada al otro lado.

El experimento de los raíles: la corriente baja por la varilla y el campo entra en la página () — la fuerza de Laplace F = ILB impulsa la varilla a lo largo de los raíles. — El experimento de los raíles: la corriente baja por la varilla y el campo entra en la página ( $\otimes$ ) — la fuerza de Laplace $F = ILB$ impulsa la varilla a lo largo de los raíles.

Ejemplo 15.18 (Números de Laplace)

Una varilla de longitud $L = 5.0\,\mathrm{cm}$ recorrida por $I = 8.0\,\mathrm{A}$ en $B = 0.50\,\mathrm{T}$ : $F = 8.0 \times 0.050 \times 0.50 = 0.20\,\mathrm{N}$ — el peso de $20\,\mathrm{g}$ , sobre un hilo que pesa unos pocos gramos.

Observación 15.19 (El motor de corriente continua)

Si se dobla el hilo formando una espira dentro del campo, los dos lados perpendiculares a $\vect B$ llevan corrientes opuestas, de modo que sus fuerzas de Laplace son opuestas — una pareja que hace girar la espira. Media vuelta más tarde, esa misma pareja la giraría hacia atrás, así que un interruptor giratorio (el conmutador) invierte la corriente cada media vuelta. Todo ventilador y todo taladro son esta espira, multiplicada.

15.6 Ejercicios

Ejercicio 15.1 ★

Un imán recto se sierra por la mitad, entre sus polos. ¿Qué polos lleva cada trozo? Si se vuelven a juntar, ¿se atraen o se repelen las caras recién cortadas? ¿Hay alguna forma de cortarlo que aísle el polo norte?

Solución

Solución de Ejercicio 15.1.

Cada trozo es un imán completo, con un polo norte y otro sur: en cada cara cortada aparece un polo nuevo. Las caras recién cortadas son un N y un S, así que se atraen — los trozos intentan recomponerse. Ninguna forma de cortarlo aísla un polo: cada corte crea una pareja.

Ejercicio 15.2 ★

Verdadero o falso, con una razón cada vez: (a) dos líneas de campo magnético se cortan donde el campo es intenso; (b) fuera de un imán, las líneas de campo van del polo norte al polo sur; (c) toda línea de campo magnético es un lazo cerrado; (d) una aguja se asienta perpendicular a la línea que pasa por ella.

Solución

Solución de Ejercicio 15.2.

(a) Falso: el campo tiene una sola dirección en cada punto. (b) Verdadero. (c) Verdadero: cada línea se cierra por el cuerpo del imán. (d) Falso: la aguja se asienta a lo largo de la línea, tangente a ella.

Ejercicio 15.3 ★

Calcula el campo a $2.0\,\mathrm{cm}$ de un hilo rectilíneo recorrido por $10\,\mathrm{A}$ . ¿Cuántas veces los $50\,\text{µ}\mathrm{T}$ de la Tierra es eso?

Solución

Solución de Ejercicio 15.3.

$B = 2 \times 10^{-7} \times 10 / 0.020 = 1.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{T}$ — el doble del campo terrestre.

Ejercicio 15.4 ★

Un solenoide de $800$ espiras bobinadas sobre $40\,\mathrm{cm}$ lleva $I = 1.5\,\mathrm{A}$ . Calcula $n$ y después $B$ en su interior; ¿en qué se convierte $B$ si se duplica la corriente?

Solución

Solución de Ejercicio 15.4.

$n = 800/0.40 = 2000\,\mathrm{m}^{-1}$ ; $B = 1.26 \times 10^{-6} \times 2000 \times 1.5 \approx 3.8\,\mathrm{mT}$ . Como $B \propto I$ , duplicar la intensidad da $7.5\,\mathrm{mT}$ .

Ejercicio 15.5 ★

Un tramo de hilo de $10\,\mathrm{cm}$ lleva $5.0\,\mathrm{A}$ perpendicular a un campo de $0.20\,\mathrm{T}$ . Calcula la fuerza de Laplace; ¿al peso de qué masa equivale?

Solución

Solución de Ejercicio 15.5.

$F = ILB = 5.0 \times 0.10 \times 0.20 = 0.10\,\mathrm{N}$ — el peso de $m = F/g = 0.10/9.81 \approx 10\,\mathrm{g}$ .

Ejercicio 15.6 ★★

Donde está una excursionista, la declinación es de $8{}^{\circ}$ oeste. Camina $2.0\,\mathrm{km}$ “al norte según la brújula”: ¿cuánto deriva, y hacia qué lado del norte verdadero? ¿Qué rumbo la habría llevado al norte verdadero?

Solución

Solución de Ejercicio 15.6.

1. Su derrota apunta $8{}^{\circ}$ al oeste del norte verdadero: $2000 \times \sin8{}^{\circ} \approx 2.8 \times 10^{2}\,\mathrm{m}$ hacia el oeste.

2. Gobernar $8{}^{\circ}$ al este del norte de la aguja.

Ejercicio 15.7 ★★

¿A qué distancia de un hilo rectilíneo recorrido por $20\,\mathrm{A}$ iguala su campo a los $50\,\text{µ}\mathrm{T}$ de la Tierra? ¿Qué dice esto sobre fiarse de una brújula cerca de cables con corriente?

Solución

Solución de Ejercicio 15.7.

$d = \mu_0 I / (2\pi B) = 2 \times 10^{-7} \times 20 / 5.0 \times 10^{-5} = 8.0\,\mathrm{cm}$ . A menos de un decímetro de un cable así, la brújula lee el hilo y no el planeta — hay que mantenerla lejos de conductores con corriente.

Ejercicio 15.8 ★★

Diseña un solenoide que produzca $B = 10\,\mathrm{mT}$ con $I = 4.0\,\mathrm{A}$ : calcula la $n$ necesaria y después el número de espiras para una bobina de $25\,\mathrm{cm}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 15.8.

$n = B/(\mu_0 I) = 0.010 / (1.26 \times 10^{-6} \times 4.0) \approx 2.0 \times 10^{3}\,\mathrm{m}^{-1}$ ; en $25\,\mathrm{cm}$ , $N = 1989 \times 0.25 \approx 500$ espiras.

Ejercicio 15.9 ★★

En el experimento de los raíles, la varilla (masa $20\,\mathrm{g}$ , longitud $L = 12\,\mathrm{cm}$ entre los raíles) lleva $10\,\mathrm{A}$ en un campo perpendicular de $0.50\,\mathrm{T}$ . Calcula la fuerza de Laplace y después la aceleración inicial de la varilla; compárala con $g$ .

Solución

Solución de Ejercicio 15.9.

$F = 10 \times 0.12 \times 0.50 = 0.60\,\mathrm{N}$ ; $a = F/m = 0.60/0.020 = 30\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ — unas $3g$ : la varilla salta de verdad.

Ejercicio 15.10 ★★

Un hilo horizontal de masa $5.0\,\mathrm{g}$ y longitud $20\,\mathrm{cm}$ está en un campo horizontal $B = 0.10\,\mathrm{T}$ perpendicular a él. ¿Qué intensidad hace que la fuerza de Laplace equilibre el peso del hilo, de modo que levite? ¿Hacia dónde tiene que apuntar la fuerza?

Solución

Solución de Ejercicio 15.10.

Equilibrio: $ILB = mg$ , luego $I = 5.0 \times 10^{-3} \times 9.81 / (0.20 \times 0.10) \approx 2.5\,\mathrm{A}$ . La fuerza tiene que apuntar hacia arriba; con $\vect B$ horizontal y perpendicular al hilo, la mano derecha extendida (con la palma hacia arriba) fija el sentido necesario de la corriente.

Ejercicio 15.11 ★★

Da la dirección de la fuerza de Laplace (o di que se anula): (a) corriente hacia la derecha de la página, $\vect B$ entrando en la página; (b) corriente hacia la parte superior de la página, $\vect B$ saliendo de la página; (c) corriente paralela a $\vect B$ . Usa la mano derecha extendida.

Solución

Solución de Ejercicio 15.11.

Mano derecha extendida: (a) hacia la parte superior de la página; (b) hacia la derecha; (c) ninguna fuerza — el hilo es paralelo al campo.

Ejercicio 15.12 ★★★

Un hilo horizontal va en dirección norte–sur geográfica, $3.0\,\mathrm{cm}$ por encima de una brújula; allí la componente horizontal terrestre vale $20\,\text{µ}\mathrm{T}$ . El hilo lleva $I = 5.0\,\mathrm{A}$ : calcula su campo en la brújula, da su dirección y después la desviación de la aguja (los campos se suman como vectores).

Solución

Solución de Ejercicio 15.12.

1. $B = 2 \times 10^{-7} \times 5.0 / 0.030 \approx 33\,\text{µ}\mathrm{T}$ ; las líneas rodean el hilo, así que justo debajo de él el campo es horizontal y perpendicular al hilo: este–oeste.

2. La aguja sigue la suma vectorial: $\tan\theta = 33/20 = 1.67$ , luego $\theta \approx 59{}^{\circ}$ respecto del norte.

Ejercicio 15.13 ★★★

El electroimán de un desguace es una bobina de $400$ espiras sobre $20\,\mathrm{cm}$ , de resistencia $2.0\,\Omega$ , alimentada a $12\,\mathrm{V}$ ; su núcleo de hierro multiplica por $100$ el campo de la bobina sola. Calcula la intensidad, el campo de la bobina sola, el campo con el núcleo y la potencia que disipa la bobina (Capítulo 12). ¿Por qué cae la chatarra en el instante en que se abre el interruptor?

Solución

Solución de Ejercicio 15.13.

1. $I = U/R = 12/2.0 = 6.0\,\mathrm{A}$ ; $n = 400/0.20 = 2000\,\mathrm{m}^{-1}$ ; $B_0 = 1.26 \times 10^{-6} \times 2000 \times 6.0 \approx 15\,\mathrm{mT}$ ; con el núcleo, $100 B_0 \approx 1.5\,\mathrm{T}$ .

2. $P = UI = 12 \times 6.0 = 72\,\mathrm{W}$ .

3. Sin corriente no hay campo — y el hierro dulce no se queda imanado: la carga se suelta al instante, tal como se pretende.

Ejercicio 15.14 ★★★

La espira rectangular de un motor tiene $N = 50$ vueltas recorridas por $I = 2.0\,\mathrm{A}$ ; sus dos lados de $5.0\,\mathrm{cm}$ son perpendiculares a un campo $B = 0.30\,\mathrm{T}$ . Calcula la fuerza sobre cada uno de esos lados; ¿por qué son opuestas las dos fuerzas y qué le hacen a la espira? ¿Por qué los otros dos lados no notan a veces ninguna fuerza? ¿Por qué hay que invertir la corriente cada media vuelta?

Solución

Solución de Ejercicio 15.14.

1. $F = NILB = 50 \times 2.0 \times 0.050 \times 0.30 = 1.5\,\mathrm{N}$ en cada lado. La corriente recorre los dos lados en sentidos opuestos, así que las fuerzas son opuestas: un par que hace girar la espira.

2. Cuando es paralelo a $\vect B$ , un hilo no nota ninguna fuerza de Laplace.

3. Media vuelta después, el par se invertiría y deshacería el giro; el conmutador cambia el sentido de la corriente cada media vuelta para que la espira siga girando en el mismo sentido.

Ejercicio 15.15 ★★★

¿A qué distancia de un cable recorrido por $100\,\mathrm{A}$ habría que estar para que su campo llegase a $1\,\mathrm{T}$ ? Compárala con el radio milimétrico del cable y concluye por qué los campos del orden del tesla se construyen con solenoides y no con hilos sueltos. Y después: el campo de $10^{8}\,\mathrm{T}$ de la superficie de una estrella de neutrones, ¿cuántas potencias de diez está por encima del terrestre?

Solución

Solución de Ejercicio 15.15.

1. $d = 2 \times 10^{-7} \times 100 / 1 = 2.0 \times 10^{-5}\,\mathrm{m} = 20\,\text{µ}\mathrm{m}$ — muy dentro del cobre, que tiene milímetros de grosor. Ningún punto accesible cerca de un solo hilo llega a $1\,\mathrm{T}$ : los campos intensos apilan miles de espiras (un solenoide), más hierro o superconductores.

2. $10^{8} / 5 \times 10^{-5} = 2 \times 10^{12}$ : unas doce potencias de diez.

15.7 Problema: la brújula, la grúa y la resonancia magnética

Problema 15.1

Problema de fin de semana — tres imanes en el trabajo: una brújula que cruza un océano, un electroimán que levanta un coche y el solenoide de una resonancia magnética — un solo campo, a lo largo de diez potencias de diez, haciendo tres trabajos

El mismo vector $\vect B$ gobierna un velero con $50\,\text{µ}\mathrm{T}$ , levanta chatarra con $1\,\mathrm{T}$ e imagina una rodilla con $1.5\,\mathrm{T}$ — tres máquinas para las tres fórmulas de este capítulo.

Parte I — La brújula. En la posición del barco, el campo terrestre tiene una componente horizontal de $20\,\text{µ}\mathrm{T}$ y una vertical de $44\,\text{µ}\mathrm{T}$ ; la declinación es de $6{}^{\circ}$ oeste.

¿Por qué apunta al norte (magnético) la aguja de una brújula?
Calcula el módulo del campo total y su ángulo con la horizontal.
Gobernando al “norte de brújula” durante $30\,\mathrm{km}$ , ¿a qué distancia al oeste de la derrota al norte verdadero acaba el barco?
Una carga de acero desvía la aguja otros $4{}^{\circ}$ al oeste: misma pregunta.
Cerca del polo geomagnético una brújula es inservible: ¿qué componente tiene la culpa, y por qué?

Parte II — La grúa. El electroimán del desguace es un solenoide de $600$ espiras bobinadas sobre $30\,\mathrm{cm}$ , de resistencia $1.5\,\Omega$ , alimentado a $12\,\mathrm{V}$ ; su núcleo de hierro multiplica por $50$ el campo de la bobina sola.

Calcula $n$ , la densidad de espiras.
Calcula la intensidad en la bobina (Capítulo 12).
Calcula el campo de la bobina sola, $\mu_0 n I$ .
Calcula el campo con el núcleo; compáralo con los $0.5\,\mathrm{T}$ del neodimio.
Calcula la potencia disipada en la bobina y después la energía de un turno de carga de $10\,\mathrm{min}$ .
Existen imanes permanentes así de intensos. ¿Por qué un electroimán entonces?

Parte III — El motor del cabrestante. El cabrestante de la grúa es un motor de corriente continua: una espira rectangular de $N = 100$ vueltas, con lados de $4.0\,\mathrm{cm}$ perpendiculares a $B = 0.25\,\mathrm{T}$ , recorrida por $I = 3.0\,\mathrm{A}$ .

Calcula la fuerza de Laplace sobre cada haz de lados perpendicular a $\vect B$ .
Las dos fuerzas son iguales y opuestas y, sin embargo, su efecto no se cancela. ¿Qué producen, y por qué tienen que ser opuestas?
¿Qué fuerza actúa sobre los otros dos lados cuando son paralelos a $\vect B$ ?
Media vuelta después, esas mismas fuerzas deshacerían el giro. ¿Qué hace el conmutador, y cuándo?
Da tres cambios de diseño distintos que dupliquen, cada uno por separado, la pareja de fuerzas.

Parte IV — La resonancia magnética. El solenoide del equipo mantiene $1.5\,\mathrm{T}$ uniformes con una intensidad $I = 500\,\mathrm{A}$ .

¿Cuántas veces el campo de la Tierra son $1.5\,\mathrm{T}$ ?
Calcula la densidad de espiras $n$ necesaria sin ningún núcleo de hierro.
Si el bobinado tuviera una resistencia de $0.20\,\Omega$ , ¿qué potencia disiparía? ¿Qué propiedad del bobinado real evita esto, al precio de un frío extremo?
El remate: sitúa los campos del barco, de la grúa y de la resonancia magnética en la escalera de potencias de diez que va del espacio interestelar ( $10^{-10}\,\mathrm{T}$ ) a una estrella de neutrones ( $10^{8}\,\mathrm{T}$ ); ¿qué ha cambiado de una máquina a otra — la física o los amperios?

Solución

Solución de Problema 15.1.

1. La aguja es ella misma un imán pequeño; el campo terrestre la alinea, con el extremo norte a lo largo de la componente horizontal de $\vect B$ , es decir, hacia el norte magnético.

2. $B = \sqrt{20^2 + 44^2} = \sqrt{2336} \approx 48\,\text{µ}\mathrm{T}$ , inclinado $\tan^{-1}(44/20) \approx 66{}^{\circ}$ por debajo de la horizontal.

3. La derrota va $6{}^{\circ}$ al oeste del norte verdadero: $30 \times \sin6{}^{\circ} \approx 3.1\,\mathrm{km}$ al oeste.

4. Los errores se suman: $10{}^{\circ}$ , luego $30 \times \sin10{}^{\circ} \approx 5.2\,\mathrm{km}$ — cinco kilómetros por diez grados.

5. La componente horizontal: cerca del polo el campo es casi vertical, la parte horizontal se encoge hacia cero y a la aguja no le queda nada con lo que alinearse.

6. $n = 600/0.30 = 2000\,\mathrm{m}^{-1}$ .

7. $I = U/R = 12/1.5 = 8.0\,\mathrm{A}$ .

8. $B_0 = \mu_0 n I = 1.26 \times 10^{-6} \times 2000 \times 8.0 \approx 20\,\mathrm{mT}$ .

9. $50 \times 20\,\mathrm{mT} = 1.0\,\mathrm{T}$ — el doble del campo en el polo de un imán de neodimio, y sobre una cara mucho mayor.

10. $P = UI = 12 \times 8.0 = 96\,\mathrm{W}$ ; en $10\,\mathrm{min}$ : $E = 96 \times 600 \approx 58\,\mathrm{kJ}$ .

11. Porque suelta: se abre el interruptor, el campo muere y el coche cae exactamente donde se quiere. Un imán permanente agarra para siempre.

12. $F = NILB = 100 \times 3.0 \times 0.040 \times 0.25 = 3.0\,\mathrm{N}$ .

13. Un par: aplicadas a ambos lados del eje, las dos fuerzas opuestas hacen girar la espira en el mismo sentido. Dos fuerzas iguales y paralelas solo empujarían la espira de lado, sin hacerla girar.

14. Ninguna: un hilo paralelo al campo no nota fuerza de Laplace.

15. Invierte la corriente de la espira en cada media vuelta, justo cuando el par cambiaría de signo — de modo que el momento impulsa siempre el mismo giro.

16. Duplicar $N$ , o duplicar $I$ , o duplicar $B$ : la pareja de fuerzas $F = NILB$ es proporcional a cada uno.

17. $1.5 / 5.0 \times 10^{-5} = 3.0 \times 10^{4}$ : treinta mil veces la Tierra.

18. $n = B/(\mu_0 I) = 1.5 / (1.26 \times 10^{-6} \times 500) \approx 2.4 \times 10^{3}\,\mathrm{m}^{-1}$ — y cada una de esas espiras lleva $500\,\mathrm{A}$ .

19. $P = RI^2 = 0.20 \times 500^2 = 50\,\mathrm{kW}$ — la calefacción de un barrio. El bobinado real es superconductor: resistencia nula, disipación nula, siempre que se mantenga a unos pocos grados del cero absoluto.

20. Brújula $5 \times 10^{-5}$ , grúa $1$ , resonancia $1.5$ : el barco está cinco peldaños por debajo de las dos máquinas, que comparten una misma década — entre el $10^{-10}$ interestelar y el $10^{8}$ de la estrella de neutrones. No ha cambiado nada más que los amperios (y las espiras, el hierro y el superconductor que los multiplican): un solo campo, tres trabajos.