Física de secundaria · Grades 10–12

7La presión: del deporte al buceo

Un esquiador se desliza sobre la nieve en la que un caminante se hunde; un empujón de $5\,\mathrm{N}$ clava una aguja en un cuero que un puño no consigue abollar. Las mismas fuerzas, efectos disparatadamente distintos: la magnitud que falta es la presión, la fuerza dividida entre el área que la recibe. Este capítulo la define, la sigue piscina abajo, barómetro arriba y jeringa adentro — y acaba a cuarenta metros bajo el mar, donde se vuelve cuestión de vida.

7.1 La presión: fuerza repartida sobre un área

Definición 7.1 (Presión)

Cuando una fuerza de módulo $F$ (en $\mathrm{N}$ ) aprieta perpendicularmente sobre una superficie de área $S$ (en $\mathrm{m}^{2}$ ), la presión ejercida sobre esa superficie vale

P = \frac{F}{S}.

Su unidad, el $\mathrm{N}/\mathrm{m}^{2}$ , es el pascal ( $\mathrm{Pa}$ ) — una unidad diminuta, el peso de una manzana repartido sobre un metro cuadrado, de modo que en la práctica se usan el $\mathrm{kPa}$ y el $\mathrm{MPa}$ .

Ejemplo 7.2 (Tacón contra raqueta de nieve)

Una persona de $60\,\mathrm{kg}$ pesa $F = 60 \times 9.81 \approx 590\,\mathrm{N}$ . Sobre un tacón de aguja de $1.0\,\mathrm{cm}^{2}$ = $1.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}^{2}$ : $P = 590/1.0 \times 10^{-4} \approx 5.9 \times 10^{6}\,\mathrm{Pa} = 5.9\,\mathrm{MPa}$ . Sobre dos raquetas de nieve de $0.20\,\mathrm{m}^{2}$ cada una: $P = 590/0.40 \approx 1.5\,\mathrm{kPa}$ . El mismo peso aprieta $4000$ veces más fuerte bajo el tacón: los tacones marcan los suelos de madera y las raquetas flotan sobre la nieve polvo.

La misma fuerza sobre dos áreas: lo que decide si la superficie cede es la presión, no la fuerza.

Observación 7.3 (Concentrar o repartir)

Una aguja de coser empujada con $5\,\mathrm{N}$ sobre una punta de $0.01\,\mathrm{mm}^{2}$ = $1 \times 10^{-8}\,\mathrm{m}^{2}$ ejerce $5 \times 10^{8}\,\mathrm{Pa} = 500\,\mathrm{MPa}$ — suficiente para separar las fibras del cuero. Las herramientas que perforan concentran la fuerza; los diseños que soportan cargas (esquís, orugas, cimientos) la reparten. El deporte es gestión aplicada de la presión: los patines muerden el hielo y los esquís se deslizan sobre la nieve.

7.2 La presión en un líquido en reposo

¿Por qué aprieta más el agua a mayor profundidad? Aislemos una columna vertical imaginaria de agua de sección $S$ , desde la superficie hasta la profundidad $h$ : volumen $Sh$ , masa $\rho S h$ ( $\rho$ es la densidad del líquido, en $\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ) y peso $\rho S h g$ . El fondo de la columna soporta ese peso más el empuje $P_0 S$ de la atmósfera sobre su parte superior. Dividiendo la fuerza total entre $S$ : la presión a la profundidad $h$ debería ser $P_0 + \rho g h$ — y lo es, en todos los puntos del líquido.

Teorema 7.4 (La presión con la profundidad)

En un líquido de densidad $\rho$ en reposo y abierto al aire, la presión a la profundidad $h$ por debajo de la superficie vale

P = P_0 + \rho g h,

donde $P_0$ es la presión atmosférica en la superficie. La presión depende solo de la profundidad, no de la forma del recipiente, y en un punto dado el líquido aprieta con la misma fuerza en todas las direcciones.

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

Observación 7.5

El razonamiento de la columna solo hace verosímil la ley; la deducción honrada (para cualquier forma y en todas las direcciones) está en el volumen del primer año. El término propio del agua, $\rho g h$ , es la presión manométrica — lo que muestra el manómetro de un buceador.

Ejemplo 7.6 (Diez metros de agua)

En agua dulce ( $\rho = 1000\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ), a $h = 10\,\mathrm{m}$ : $\rho g h = 1000 \times 9.81 \times 10 \approx 98\,\mathrm{kPa}$ , de modo que $P = 101 + 98 \approx 199\,\mathrm{kPa}$ . Diez metros de agua añaden casi exactamente una atmósfera: la regla práctica del buceador, una atmósfera más por cada diez metros.

Agua dulce en reposo: la presión crece linealmente con la profundidad, una atmósfera más cada diez metros.

7.3 El océano de aire

Definición 7.7 (Presión atmosférica)

Vivimos en el fondo de un océano de aire cuyo peso crea la presión atmosférica, que a nivel del mar vale

P_0 \approx 101\,\mathrm{kPa} = 1.01 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}.

Sobre cada centímetro cuadrado son $F = 1.01 \times 10^{5} \times 1 \times 10^{-4} \approx 10\,\mathrm{N}$ : el peso de una masa de un kilogramo sobre cada $\mathrm{cm}^{2}$ de tu piel, de tu mesa, de todo.

Ejemplo 7.8 (La carga invisible)

Una hoja A4 ( $21.0\,\mathrm{cm}$ $\times$ $29.7\,\mathrm{cm}$ , luego $S \approx 0.0624\,\mathrm{m}^{2}$ ) recibe del aire que tiene encima $F = 1.01 \times 10^{5} \times 0.0624 \approx 6.3 \times 10^{3}\,\mathrm{N}$ — el peso de un coche pequeño. Y no se rasga nada: el aire de debajo empuja hacia arriba con la misma fuerza. Solo notamos la atmósfera cuando uno de los dos lados la pierde — una ventosa, una pajita, la cabina de un avión.

Observación 7.9 (El barómetro de Torricelli)

En 1643, Torricelli invirtió un tubo sellado lleno de mercurio sobre una cubeta de mercurio. La columna bajó hasta la altura a la que $\rho g h = P_0$ : $h = 1.01 \times 10^{5}/(13600 \times 9.81) \approx 0.76\,\mathrm{m}$ , dejando por encima el primer vacío jamás fabricado. La altura sigue al tiempo atmosférico y mengua con la altitud: un barómetro pesa el aire que tienes encima (con agua harían falta $10.3\,\mathrm{m}$ : Ejercicio 7.9).

7.4 Los gases: bombardeo y ley de Boyle

Un gas también aprieta sobre su recipiente: es un enjambre de moléculas en movimiento desordenado incesante, cada choque da a la pared un diminuto empujón hacia fuera, y miles de millones de miles de millones de impactos por segundo se difuminan en la fuerza constante que medimos como presión del gas. Si el gas se comprime hasta la mitad de volumen, las moléculas chocan el doble de a menudo, así que la presión debería duplicarse. Y se duplica.

Proposición 7.10 (Ley de Boyle)

Para una cantidad fija de gas mantenida a temperatura constante, la presión y el volumen son inversamente proporcionales:

P \, V = \text{constante}, \qquad\text{es decir}\qquad P_1 V_1 = P_2 V_2 .

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

Observación 7.11

A este nivel es un hecho experimental — el volumen del primer año la deduce a partir de la imagen de los choques. El experimento (una jeringa de aire sellada, un sensor de presión, $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ ):

$V$ ( $\mathrm{mL}$ )	60	50	40	30	20
$P$ ( $\mathrm{kPa}$ )	100	120	150	200	300
$P \times V$ ( $\mathrm{kPa}\,\mathrm{mL}$ )	6000	6000	6000	6000	6000

Los datos de la jeringa caen sobre la hipérbola P = 6000/V: si se reduce el volumen a la mitad, la presión se duplica. — Los datos de la jeringa caen sobre la hipérbola $P = 6000/V$ : si se reduce el volumen a la mitad, la presión se duplica.

Ejemplo 7.12 (Una jeringa comprimida)

Un aire ocupa $4.0\,\mathrm{L}$ a $100\,\mathrm{kPa}$ ; comprimido despacio (para que la temperatura no cambie) hasta $250\,\mathrm{kPa}$ , ocupa $V_2 = P_1 V_1 / P_2 = 400/250 = 1.6\,\mathrm{L}$ .

7.5 El buceo: la presión puesta a trabajar

Método 7.13 (Presión absoluta a una profundidad)

Para un buceador a la profundidad $h$ en el mar ( $\rho \approx 1025\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ , de modo que $\rho g h \approx 101\,\mathrm{kPa}$ por cada $10\,\mathrm{m}$ ), se calcula $P = P_0 + \rho g h$ — y en la ley de Boyle hay que usar siempre esta presión absoluta, nunca el término manométrico solo. Un buceador está bajo $2$ atmósferas a $10\,\mathrm{m}$ , $3$ a $20\,\mathrm{m}$ y $5$ a $40\,\mathrm{m}$ .

La presión absoluta en el mar: una atmósfera en la superficie, más otra por cada diez metros.

Observación 7.14 (Nunca contengas la respiración)

Un regulador entrega aire a la presión ambiente: los pulmones se llenan con normalidad a cualquier profundidad. Pero si se llenan $6.0\,\mathrm{L}$ a $20\,\mathrm{m}$ ( $302\,\mathrm{kPa}$ ), se retiene esa respiración y se sube, Boyle exige $6.0 \times 302/101 \approx 18\,\mathrm{L}$ — tres veces lo que cabe en un tórax, y los pulmones se desgarran mucho antes de eso, incluso con unos pocos metros de ascenso. De ahí la primera regla del buceo con botella: nunca contener la respiración mientras se asciende — basta con seguir respirando y el aire que se expande sale solo. Una apneísta está a salvo: su aire lo tomó en la superficie, así que al subir solo vuelve a expandirse hasta su volumen original.

Observación 7.15 (La descompresión)

Respirar aire a alta presión disuelve además nitrógeno de más en la sangre, como el gas de una botella de refresco cerrada; si se sube demasiado deprisa, burbujea dentro del cuerpo — es la enfermedad por descompresión. De ahí el ascenso lento (unos $10\,\mathrm{m}$ por minuto) y las paradas a poca profundidad, que dejan salir el gas en silencio por los pulmones. La teoría espera al volumen del primer año; la norma de conducta es de todo buceador.

7.6 Ejercicios

Ejercicio 7.1 ★

Una caja que pesa $600\,\mathrm{N}$ se apoya sobre una cara de $0.50\,\mathrm{m} \times 0.30\,\mathrm{m}$ y después sobre una cara de $0.30\,\mathrm{m} \times 0.20\,\mathrm{m}$ . Calcula las dos presiones sobre el suelo. ¿Qué orientación conviene más sobre arena blanda?

Solución

Solución de Ejercicio 7.1.

Cara grande: $S = 0.15\,\mathrm{m}^{2}$ , $P = 600/0.15 = 4.0\,\mathrm{kPa}$ . Cara pequeña: $S = 0.060\,\mathrm{m}^{2}$ , $P = 10\,\mathrm{kPa}$ . Sobre arena, la cara grande: menos presión, menos hundimiento.

Ejercicio 7.2 ★

Expresa $0.25\,\mathrm{MPa}$ en $\mathrm{kPa}$ y en $\mathrm{Pa}$ . ¿Qué aprieta más: $3.0\,\mathrm{N}$ sobre $2.0\,\mathrm{cm}^{2}$ o $60\,\mathrm{N}$ sobre $500\,\mathrm{cm}^{2}$ ?

Solución

Solución de Ejercicio 7.2.

$0.25\,\mathrm{MPa} = 250\,\mathrm{kPa} = 2.5 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}$ . $3.0/2.0 \times 10^{-4} = 15\,\mathrm{kPa}$ le gana a $60/0.050 = 1.2\,\mathrm{kPa}$ : la fuerza pequeña aprieta más.

Ejercicio 7.3 ★

Calcula la presión manométrica $\rho g h$ y la presión absoluta en el fondo de una piscina de $3.0\,\mathrm{m}$ de profundidad ( $\rho = 1000\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ , $P_0 = 101\,\mathrm{kPa}$ ).

Solución

Solución de Ejercicio 7.3.

$\rho g h = 1000 \times 9.81 \times 3.0 \approx 29\,\mathrm{kPa}$ ; absoluta, $P = 101 + 29 = 130\,\mathrm{kPa}$ .

Ejercicio 7.4 ★

Un aire ocupa $4.0\,\mathrm{L}$ a $100\,\mathrm{kPa}$ , a temperatura constante. ¿Qué volumen ocupa a $250\,\mathrm{kPa}$ ? ¿Y a $50\,\mathrm{kPa}$ ?

Solución

Solución de Ejercicio 7.4.

$V_2 = 100 \times 4.0 / 250 = 1.6\,\mathrm{L}$ ; a $50\,\mathrm{kPa}$ , $V_2 = 400/50 = 8.0\,\mathrm{L}$ .

Ejercicio 7.5 ★

Una patinadora de $65\,\mathrm{kg}$ se desliza sobre una sola cuchilla de área de contacto $12\,\mathrm{cm}^{2}$ y después se queda de pie sobre unas suelas que suman $360\,\mathrm{cm}^{2}$ . Calcula las dos presiones y su cociente.

Solución

Solución de Ejercicio 7.5.

$F = 65 \times 9.81 \approx 638\,\mathrm{N}$ . Cuchilla: $638/1.2 \times 10^{-3} \approx 5.3 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa} = 530\,\mathrm{kPa}$ . Suelas: $638/0.036 \approx 18\,\mathrm{kPa}$ . Cociente $\approx 30$ : la cuchilla muerde el hielo y las suelas no.

Ejercicio 7.6 ★★

Un pulgar aprieta una chincheta con $20\,\mathrm{N}$ . La cabeza tiene un área de $1.2\,\mathrm{cm}^{2}$ y la punta, $0.010\,\mathrm{mm}^{2}$ . Calcula las presiones sobre el pulgar y sobre la pared; ¿por qué solo se perfora la pared?

Solución

Solución de Ejercicio 7.6.

Pulgar: $20/1.2 \times 10^{-4} \approx 1.7 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa} = 170\,\mathrm{kPa}$ . Pared: $20/1.0 \times 10^{-8} = 2.0 \times 10^{9}\,\mathrm{Pa}$ . Los mismos $20\,\mathrm{N}$ actúan en la punta sobre un área $12\,000$ veces menor, así que solo allí supera la presión lo que el material puede aguantar.

Ejercicio 7.7 ★★

Una escotilla de submarino de $0.50\,\mathrm{m}^{2}$ está a $30\,\mathrm{m}$ de profundidad en agua de mar ( $\rho = 1025\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ); por dentro, el aire está a presión atmosférica. Calcula la fuerza neta que la mantiene cerrada y la masa cuyo peso es igual a esa fuerza.

Solución

Solución de Ejercicio 7.7.

$\Delta P = \rho g h = 1025 \times 9.81 \times 30 \approx 3.0 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}$ , de modo que $F = 3.0 \times 10^{5} \times 0.50 \approx 1.5 \times 10^{5}\,\mathrm{N}$ — el peso de $F/g \approx 1.5 \times 10^{4}\,\mathrm{kg}$ , quince toneladas. Ninguna tripulación abre eso hacia fuera contra el mar.

Ejercicio 7.8 ★★

Un sensor situado a $5.00\,\mathrm{m}$ de profundidad en un líquido desconocido marca una presión manométrica de $66.2\,\mathrm{kPa}$ . Halla la densidad. ¿Es agua dulce?

Solución

Solución de Ejercicio 7.8.

$\rho = \dfrac{P}{g h} = \dfrac{66.2 \times 10^{3}}{9.81 \times 5.00} \approx 1350\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ . No es agua dulce ( $1000\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ): un líquido bastante más denso, por ejemplo una salmuera concentrada.

Ejercicio 7.9 ★★

¿Qué altura tendría el barómetro de Torricelli con agua ( $\rho = 1000\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ) en lugar de mercurio ( $\rho = 13\,600\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ )? Recupera las dos alturas a partir de $\rho g h = P_0$ ; ¿por qué ganó el mercurio?

Solución

Solución de Ejercicio 7.9.

$h = P_0/(\rho g)$ : con agua, $1.01 \times 10^{5}/9810 \approx 10.3\,\mathrm{m}$ ; con mercurio, $1.01 \times 10^{5}/(13600 \times 9.81) \approx 0.76\,\mathrm{m}$ . Un tubo de $76\,\mathrm{cm}$ cabe en una mesa; un barómetro de agua de $10\,\mathrm{m}$ necesita el hueco de una escalera — ganó la densidad del mercurio.

Ejercicio 7.10 ★★

Con los datos de la jeringa de la Proposición 7.10 ( $PV = 6000\,\mathrm{kPa}\,\mathrm{mL}$ ), predice el volumen a $240\,\mathrm{kPa}$ y la presión a $75\,\mathrm{mL}$ . ¿Qué curva es $P$ frente a $V$ ? ¿Y $P$ frente a $1/V$ ?

Solución

Solución de Ejercicio 7.10.

$V = 6000/240 = 25\,\mathrm{mL}$ ; $P = 6000/75 = 80\,\mathrm{kPa}$ . $P$ frente a $V$ es una hipérbola; $P$ frente a $1/V$ es una recta que pasa por el origen, de pendiente $6000\,\mathrm{kPa}\,\mathrm{mL}$ .

Ejercicio 7.11 ★★

Un buceador a $20\,\mathrm{m}$ suelta una burbuja de $0.50\,\mathrm{cm}^{3}$ . ¿Qué volumen tiene justo por debajo de la superficie? (Temperatura constante; el agua de mar añade $101\,\mathrm{kPa}$ por cada $10\,\mathrm{m}$ .)

Solución

Solución de Ejercicio 7.11.

A $20\,\mathrm{m}$ : $P = 101 + 2 \times 101 = 303\,\mathrm{kPa}$ , tres atmósferas. En la superficie, $V = 0.50 \times 303/101 = 1.5\,\mathrm{cm}^{3}$ : la burbuja se triplica.

Ejercicio 7.12 ★★★

Una ventosa de $12\,\mathrm{cm}^{2}$ se aprieta contra un techo.

Con vacío perfecto dentro: ¿qué fuerza ejerce la atmósfera sobre la ventosa, y qué masa colgada puede sostener?
Una ventosa real conserva dentro aire a $20\,\mathrm{kPa}$ . ¿Qué masa sostiene ahora?

Solución

Solución de Ejercicio 7.12.

1. $F = 1.01 \times 10^{5} \times 1.2 \times 10^{-3} \approx 121\,\mathrm{N}$ , que sostienen $m = 121/9.81 \approx 12\,\mathrm{kg}$ .

2. $\Delta P = 101 - 20 = 81\,\mathrm{kPa}$ : $F = 8.1 \times 10^{4} \times 1.2 \times 10^{-3} \approx 97\,\mathrm{N}$ , unos $9.9\,\mathrm{kg}$ .

Ejercicio 7.13 ★★★

Una botella de buceo contiene $12\,\mathrm{L}$ de aire a $200\,\mathrm{bar}$ ( $1\,\mathrm{bar}$ = $100\,\mathrm{kPa}$ $\approx 1$ atmósfera); hay que dejar $50\,\mathrm{bar}$ de reserva. Un buceador respira $15\,\mathrm{L}$ por minuto a la presión ambiente. ¿Cuántos litros de aire a presión de superficie son utilizables? ¿Cuánto dura la botella a $30\,\mathrm{m}$ (presión absoluta $\approx 4\,\mathrm{bar}$ )? ¿Y a $10\,\mathrm{m}$ ?

Solución

Solución de Ejercicio 7.13.

Boyle: $12 \times (200 - 50) = 1800\,\mathrm{L}$ de aire a presión de superficie son utilizables. A $30\,\mathrm{m}$ cada respiración se toma a $4\,\mathrm{bar}$ , así que $15\,\mathrm{L}/\mathrm{min}$ a la presión ambiente cuestan $15 \times 4 = 60\,\mathrm{L}/\mathrm{min}$ de aire de superficie: $1800/60 = 30\,\mathrm{min}$ . A $10\,\mathrm{m}$ ( $2\,\mathrm{bar}$ ): $30\,\mathrm{L}/\mathrm{min}$ , luego $60\,\mathrm{min}$ . La profundidad se paga en aire.

Ejercicio 7.14 ★★★

Los pulmones de una apneísta contienen $6.0\,\mathrm{L}$ en la superficie y no pueden encogerse por debajo del volumen residual, $1.5\,\mathrm{L}$ . ¿A qué profundidad marina ( $\rho = 1025\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ) se alcanza ese límite? (En su día se declaró el límite de la apnea; hoy los récords pasan de $100\,\mathrm{m}$ , porque la sangre se desplaza al tórax y ocupa el volumen que falta.)

Solución

Solución de Ejercicio 7.14.

$P = P_0 \dfrac{V_0}{V} = 101 \times \dfrac{6.0}{1.5} = 404\,\mathrm{kPa}$ . Con $\rho g \approx 10.1\,\mathrm{kPa}/\mathrm{m}$ , $h = (404 - 101)/10.1 \approx 30\,\mathrm{m}$ .

Ejercicio 7.15 ★★★

En un elevador hidráulico, un líquido transmite la presión sin alteración desde un pistón pequeño ( $s = 2.0\,\mathrm{cm}^{2}$ ) a uno grande ( $S = 400\,\mathrm{cm}^{2}$ ) que sostiene un coche de $1200\,\mathrm{kg}$ .

¿Qué fuerza sobre el pistón pequeño mantiene el coche en alto? ¿Qué presión soporta el líquido?
Para subir el coche $2.0\,\mathrm{cm}$ , ¿cuánto tiene que recorrer el pistón pequeño? Compara el trabajo realizado sobre cada pistón.

Solución

Solución de Ejercicio 7.15.

1. Peso $F = 1200 \times 9.81 \approx 1.18 \times 10^{4}\,\mathrm{N}$ ; presión $P = F/S = 1.18 \times 10^{4}/0.040 \approx 2.9 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}$ ; pistón pequeño: $f = P s = 2.9 \times 10^{5} \times 2.0 \times 10^{-4} \approx 59\,\mathrm{N}$ — la fuerza queda dividida entre $S/s = 200$ .

2. El volumen de líquido se conserva: $400 \times 2.0 = 800\,\mathrm{cm}^{3}$ tienen que salir del cilindro pequeño, que recorre $800/2.0 = 400\,\mathrm{cm} = 4.0\,\mathrm{m}$ . Trabajo: $59 \times 4.0 \approx 235\,\mathrm{J}$ por un lado y $1.18 \times 10^{4} \times 0.020 \approx 235\,\mathrm{J}$ por el otro — el elevador cambia distancia por fuerza, nunca trabajo.

7.7 Problema: una respiración hacia abajo, una hacia arriba

Problema 7.1

Problema de fin de semana — una respiración hacia abajo y otra hacia arriba: la física de una apnea y de un ascenso con botella, del apretón de la máscara a la regla de que los últimos diez metros son los más peligrosos

Lena bucea en apnea: una respiración en la superficie, hasta $30\,\mathrm{m}$ y vuelta. Marco bucea a su lado con botella. El mismo mar ( $\rho = 1025\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ , $g = 9.81\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ , $P_0 = 101\,\mathrm{kPa}$ ), los mismos pulmones de $6.0\,\mathrm{L}$ , peligros opuestos — todo ello gobernado por $P = P_0 + \rho g h$ y por $PV$ constante (la temperatura no cambia en ningún momento).

Parte I — El peso del agua.

Calcula $\rho g$ para el agua de mar en $\mathrm{kPa}$ por metro y comprueba la regla práctica: una atmósfera por cada $10\,\mathrm{m}$ .
Calcula la presión absoluta a $10\,\mathrm{m}$ , $20\,\mathrm{m}$ , $30\,\mathrm{m}$ y $40\,\mathrm{m}$ .
Expresa cada una como múltiplo de la presión en la superficie.
La máscara de Lena cubre $150\,\mathrm{cm}^{2}$ . A $30\,\mathrm{m}$ , si el aire de su interior siguiera a la presión de la superficie, ¿qué fuerza neta ejercería el agua? (Los buceadores exhalan por la nariz dentro de la máscara para evitar este apretón de máscara.)
Un tímpano tiene un área de unos $0.60\,\mathrm{cm}^{2}$ . Calcula la fuerza neta sobre él a $3.0\,\mathrm{m}$ si el oído medio se queda a la presión de la superficie; ¿por qué duelen los oídos en una simple piscina, y qué tiene que conseguir la “compensación”?

Parte II — Una respiración hacia abajo. Lena deja la superficie con $6.0\,\mathrm{L}$ de aire en los pulmones.

Con la ley de Boyle y presiones absolutas, calcula su volumen pulmonar a $10\,\mathrm{m}$ , $20\,\mathrm{m}$ y $30\,\mathrm{m}$ .
¿A qué profundidad se reduce a la mitad su volumen pulmonar?
¿Es el volumen pulmonar proporcional a la profundidad? Describe la curva de $V$ frente a la presión absoluta $P$ .
Su volumen residual es $1.5\,\mathrm{L}$ : los pulmones no pueden encogerse más. Demuestra que ese límite se alcanza cerca de los $30\,\mathrm{m}$ .
Y sin embargo los récords de apnea superan los $100\,\mathrm{m}$ : ¿qué llena el volumen que falta? (¿Qué otra cosa puede fluir hacia el tórax?)

Parte III — Una respiración hacia arriba. A $30\,\mathrm{m}$ , el regulador de Marco le llena los pulmones de $6.0\,\mathrm{L}$ .

¿A qué presión entrega el regulador ese aire? ¿Cuántas veces más denso es que el aire de la superficie?
Marco entra en pánico, contiene la respiración y sube hasta $10\,\mathrm{m}$ : ¿qué volumen exige allí su aire atrapado?
¿Y qué volumen en la superficie — cuántas veces su capacidad?
Enuncia la primera regla del buceador con botella y explica por qué respirar con normalidad elimina el peligro.
Lena también contiene la respiración desde $30\,\mathrm{m}$ hasta la superficie y sus pulmones están perfectamente a salvo. Explica la asimetría.

Parte IV — Las burbujas y los últimos diez metros.

Marco suelta una burbuja de $1.0\,\mathrm{cm}^{3}$ a $40\,\mathrm{m}$ . Calcula su volumen a $30\,\mathrm{m}$ , $20\,\mathrm{m}$ , $10\,\mathrm{m}$ y justo por debajo de la superficie.
Para cada tramo de $10\,\mathrm{m}$ de la subida, calcula el factor en que crece la burbuja. ¿Dónde es más rápido el crecimiento?
Los buceadores ascienden como mucho a $10\,\mathrm{m}$ por minuto: ¿cuánto se tarda desde $40\,\mathrm{m}$ , y en qué minuto se expande más el gas atrapado o disuelto?
En profundidad, la sangre de Marco disuelve nitrógeno de más, como el gas de una botella de refresco cerrada. ¿Qué provoca un ascenso demasiado rápido, y cómo lo evitan el ascenso lento y una parada de seguridad a $5\,\mathrm{m}$ ?
El remate: en una frase cada uno, da el veredicto de la apneísta, el veredicto del buceador con botella y la razón cuantificada de que los últimos diez metros de cualquier ascenso merezcan el máximo respeto.

Solución

Solución de Problema 7.1.

1. $\rho g = 1025 \times 9.81 \approx 10.1\,\mathrm{kPa}$ por metro, de modo que $10\,\mathrm{m}$ de agua de mar añaden $\approx 101\,\mathrm{kPa}$ : una atmósfera por cada diez metros, casi exactamente.

2. $P = 101 + 10.1\,h$ : $202\,\mathrm{kPa}$ a $10\,\mathrm{m}$ , $302\,\mathrm{kPa}$ a $20\,\mathrm{m}$ , $403\,\mathrm{kPa}$ a $30\,\mathrm{m}$ y $503\,\mathrm{kPa}$ a $40\,\mathrm{m}$ .

3. $2.0$ , $3.0$ , $4.0$ y $5.0$ veces $P_0$ .

4. $\Delta P = 403 - 101 = 302\,\mathrm{kPa}$ sobre $0.015\,\mathrm{m}^{2}$ : $F = 3.02 \times 10^{5} \times 0.015 \approx 4.5 \times 10^{3}\,\mathrm{N}$ — el peso de casi media tonelada sobre la cara.

5. $\Delta P = 10.1 \times 3.0 \approx 30\,\mathrm{kPa}$ ; $F = 3.0 \times 10^{4} \times 6.0 \times 10^{-5} \approx 1.8\,\mathrm{N}$ — un dedo apretando el tímpano, ya a profundidad de piscina. Compensar consiste en meter aire en el oído medio hasta que la presión interior iguale a la del agua.

6. $V = 6.0 \, P_0/P$ : $6.0 \times 101/202 = 3.0\,\mathrm{L}$ ; $606/302 = 2.0\,\mathrm{L}$ ; $606/403 = 1.5\,\mathrm{L}$ .

7. Se reduce a la mitad cuando $P = 2P_0$ , es decir a $10\,\mathrm{m}$ — en el primerísimo tramo de la inmersión.

8. No: $V = 606/P$ es una hipérbola en la presión absoluta (y lo que ve la ley de Boyle es $P$ , no $h$ ); cada $10\,\mathrm{m}$ adicionales quitan menos volumen que los anteriores.

9. $V = 1.5\,\mathrm{L}$ exige $P = 101 \times 6.0/1.5 = 404\,\mathrm{kPa}$ , es decir $h = 303/10.1 \approx 30\,\mathrm{m}$ (Ejercicio 7.14).

10. La sangre: el plasma se desplaza a los vasos del tórax, es incompresible y ocupa el volumen que el aire ya no llena.

11. A la presión ambiente, $403\,\mathrm{kPa}$ . Por Boyle, ese mismo aire a $101\,\mathrm{kPa}$ llenaría $4$ veces el volumen: es $4.0$ veces más denso que el aire de la superficie.

12. $V = 6.0 \times 403/202 \approx 12\,\mathrm{L}$ — el doble, después de solo $20\,\mathrm{m}$ de subida.

13. $V = 6.0 \times 403/101 \approx 24\,\mathrm{L}$ : cuatro veces su capacidad pulmonar.

14. Nunca contener la respiración mientras se asciende. Con la vía aérea abierta, el aire que se expande sale por el regulador y el volumen pulmonar no pasa nunca de $6.0\,\mathrm{L}$ .

15. Los $1.5\,\mathrm{L}$ de Lena a $30\,\mathrm{m}$ son sus $6.0\,\mathrm{L}$ de la superficie comprimidos: al subir vuelven a expandirse hasta exactamente $6.0\,\mathrm{L}$ , nunca más. Los $6.0\,\mathrm{L}$ de Marco los tomó a $403\,\mathrm{kPa}$ : llevan dentro $24\,\mathrm{L}$ de aire de superficie.

16. $V = 1.0 \times 503/P$ : $1.25\,\mathrm{cm}^{3}$ a $30\,\mathrm{m}$ , $1.67\,\mathrm{cm}^{3}$ a $20\,\mathrm{m}$ , $2.49\,\mathrm{cm}^{3}$ a $10\,\mathrm{m}$ y $4.98\,\mathrm{cm}^{3}$ en la superficie.

17. Factores por tramo: $503/403 = 1.25$ , después $1.33$ , $1.49$ y $202/101 = 2.0$ en los últimos diez metros — el crecimiento se acelera al acercarse la superficie.

18. $40/10 = 4.0\,\mathrm{min}$ . El último minuto: de $10\,\mathrm{m}$ a la superficie la presión absoluta se reduce a la mitad, la mayor caída relativa de todo el ascenso.

19. Un ascenso rápido deja que el nitrógeno disuelto burbujee dentro de la sangre y de las articulaciones (enfermedad por descompresión); subir despacio y detenerse cerca de los $5\,\mathrm{m}$ mantiene el gas disuelto el tiempo suficiente para que salga en silencio por los pulmones.

20. La apneísta: su aire solo vuelve a su volumen original — Boyle la protege. El buceador con botella: el aire tomado en profundidad se multiplica al subir — respirar, nunca contener. Y los últimos diez metros duplican todo volumen atrapado ( $\times 2.0$ , frente a $\times 1.25$ allá abajo, a $40\,\mathrm{m}$ ): cuanto más cerca está la superficie, más despacio hay que acercarse a ella.