Physics · Libro 2 · Grades 10–12

Física de secundaria

Física de secundaria · Grades 10–12

1Órdenes de magnitud: medir el universo

La física empieza donde acaba la opinión: en una medida. Pero las cosas que la física mide abarcan un intervalo absurdo — un núcleo atómico mide unos 10−15 m10^{-15}\,\mathrm{m} y el universo observable unos 1027 m10^{27}\,\mathrm{m}: un factor 104210^{42}, mucho más de lo que cabe en una imagen mental. Este capítulo instala las herramientas que domestican ese intervalo — unidades, potencias de diez, cifras significativas — y dos costumbres que se usarán en todas las páginas siguientes: escribir la unidad y comprobar el orden de magnitud.

1.1 Las unidades: la gramática de la medida

Definición 1.1 (Magnitudes físicas y unidades del SI)

Una magnitud física es una propiedad del mundo que se puede medir: una longitud, una duración, una masa. Medirla consiste en contar cuántas veces cabe en ella una magnitud de referencia: la unidad. El Sistema Internacional de Unidades (SI) fija siete unidades básicas, de las cuales tres gobiernan todo este volumen: el metro (m\mathrm{m}) para la longitud, el kilogramo (kg\mathrm{kg}) para la masa y el segundo (s\mathrm{s}) para el tiempo. (Las otras cuatro — amperio, kelvin, mol, candela — entrarán en escena con la electricidad, el calor y la química.)

Observación 1.2 (Un número sin unidad no es un resultado)

“La distancia es 384384” no dice nada: 384 mm384\,\mathrm{mm}, 384 km384\,\mathrm{km} y 384 Mm384\,\mathrm{Mm} son tres mundos distintos (el último resulta ser la distancia a la Luna). En 1999 la NASA perdió el Mars Climate Orbiter, de 327327 millones de dólares, porque un programa calculaba las fuerzas de los propulsores en libras-fuerza y otro las leía como newtons. Norma de la casa, desde esta línea hasta el final del libro: todo número medido o calculado lleva su unidad, en cada renglón del cálculo.

Definición 1.3 (Prefijos del SI)

Un prefijo pegado a una unidad la multiplica por una potencia de diez fija:

femtof10−1510^{-15}centic10−210^{-2}
picop10−1210^{-12}kilok10310^{3}
nanon10−910^{-9}megaM10610^{6}
microμ\mu10−610^{-6}gigaG10910^{9}
milim10−310^{-3}teraT101210^{12}

Así, 1 nm=10−9 m1\,\mathrm{nm} = 10^{-9}\,\mathrm{m} y 1 km=103 m1\,\mathrm{km} = 10^{3}\,\mathrm{m}.

Ejemplo 1.4 (Leer los prefijos)

La luz verde tiene una longitud de onda de unos 500 nm=5.00×10−7 m500\,\mathrm{nm} = 5.00 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}; un cabello humano mide unos 70 µm=7.0×10−5 m70\,\text{µ}\mathrm{m} = 7.0 \times 10^{-5}\,\mathrm{m} de grosor; la Luna orbita a 384 Mm=3.84×108 m384\,\mathrm{Mm} = 3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}. Una gota de lluvia tiene una masa de unos 30 mg=3.0×10−5 kg30\,\mathrm{mg} = 3.0 \times 10^{-5}\,\mathrm{kg} — obsérvese que la unidad básica de masa del SI es la única de las siete que ya lleva prefijo.

1.2 Notación científica y cifras significativas

Definición 1.5 (Notación científica)

Un número está en notación científica cuando se escribe

a×10n,1≤a<10,n entero.a \times 10^{n}, \qquad 1 \leq a < 10, \quad n \text{ entero.}

El factor aa es la mantisa y el entero nn el exponente. Así, 149 600 000=1.496×108149\,600\,000 = 1.496 \times 10^{8} y 0.000 52=5.2×10−40.000\,52 = 5.2 \times 10^{-4}.

Proposición 1.6 (Calcular con potencias de diez)

Para todos los enteros mm y nn:

10m×10n=10m+n,110n=10−n,(10m)n=10mn.10^{m} \times 10^{n} = 10^{m+n}, \qquad \frac{1}{10^{n}} = 10^{-n}, \qquad \left(10^{m}\right)^{n} = 10^{mn}.

Demostración parcial. Para exponentes positivos basta contar los factores: 10m×10n10^{m} \times 10^{n} es un producto de m+nm + n dieces, y (10m)n(10^m)^n encadena nn grupos de mm dieces. Escribir 10−n10^{-n} en lugar de 1/10n1/10^{n} es precisamente el convenio que mantiene válida la primera regla para todo entero: obliga a que 10n×10−n=100=110^{n} \times 10^{-n} = 10^{0} = 1. El volumen de matemáticas correspondiente estudia a fondo las reglas de los exponentes. ∎

Ejemplo 1.7 (Multiplicar en notación científica)

¿Cuántas Tierras caben en el Sol, en masa? Con mSun=1.99×1030 kgm_{\text{Sun}} = 1.99 \times 10^{30}\,\mathrm{kg} y mEarth=5.97×1024 kgm_{\text{Earth}} = 5.97 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}:

1.99×10305.97×1024=1.995.97×1030−24=0.333×106=3.33×105.\frac{1.99 \times 10^{30}}{5.97 \times 10^{24}} = \frac{1.99}{5.97} \times 10^{30-24} = 0.333 \times 10^{6} = 3.33 \times 10^{5}.

Las mantisas y los exponentes se tratan por separado; el resultado final se vuelve a normalizar para que la mantisa caiga de nuevo en [1,10)[1, 10).

Definición 1.8 (Cifras significativas)

Las cifras significativas de un número medido son los dígitos que la medida garantiza realmente: todos los escritos salvo los ceros iniciales. Los ceros finales cuentan — 5.20×10−3 s5.20 \times 10^{-3}\,\mathrm{s} (tres cifras significativas) promete más que 5.2×10−3 s5.2 \times 10^{-3}\,\mathrm{s} (dos). La notación científica muestra el recuento de un vistazo: la mantisa lleva exactamente las cifras significativas.

Método 1.9 (Cuántos dígitos conservar)

Un resultado calculado no puede ser más preciso que sus ingredientes.

  1. En un producto o un cociente, se conservan tantas cifras significativas como tenga el factor menos preciso.
  2. Se redondea solo el resultado final, nunca los pasos intermedios.
  3. En caso de duda, tres cifras significativas: es la precisión de trabajo de este libro.

Ejemplo 1.10 (La circunferencia de la Tierra)

El diámetro de la Tierra es d=1.27×107 md = 1.27 \times 10^{7}\,\mathrm{m} (tres cifras significativas), de modo que su circunferencia vale πd=3.141 59×1.27×107 m=3.99×107 m\pi d = 3.141\,59 \times 1.27 \times 10^{7}\,\mathrm{m} = 3.99 \times 10^{7}\,\mathrm{m} — tres cifras, no las ocho que muestra la calculadora. Escribir 39 898 227 m39\,898\,227\,\mathrm{m} sería afirmar que conocemos el planeta con precisión de un metro.

Una regla en la que cada paso igual multiplica por diez. Las marcas pequeñas son 200, 300, …, 900: una década entera se apretuja en cada tramo. Sobre esta regla, 300 se inclina hacia 102 y 7000 hacia 104 — sus órdenes de magnitud.
Una regla en la que cada paso igual multiplica por diez. Las marcas pequeñas son 200,300,…,900200, 300, \dots, 900: una década entera se apretuja en cada tramo. Sobre esta regla, 300300 se inclina hacia 10210^{2} y 70007000 hacia 10410^{4} — sus órdenes de magnitud.

1.3 La escalera del universo

Definición 1.11 (Orden de magnitud)

El orden de magnitud de una cantidad es la potencia de diez más próxima a ella: se escribe la cantidad como a×10na \times 10^{n} con 1≤a<101 \leq a < 10 y se toma 10n10^{n} si a<5a < 5 y 10n+110^{n+1} si a≥5a \geq 5. (El convenio exacto en la frontera nunca importa: una afirmación de orden de magnitud solo pretende ser válida salvo un factor diez.)

Ejemplo 1.12 (Órdenes de magnitud)

Una vida humana dura unos 8080 años, es decir 80×3.16×107 s≈2.5×109 s80 \times 3.16 \times 10^{7}\,\mathrm{s} \approx 2.5 \times 10^{9}\,\mathrm{s}: orden de magnitud 109 s10^{9}\,\mathrm{s} — unos pocos miles de millones de segundos, conviene gastarlos bien. Una persona mide 1.7 m1.7\,\mathrm{m}: orden 100 m10^{0}\,\mathrm{m}. El Everest, 8848 m8848\,\mathrm{m}: orden 104 m10^{4}\,\mathrm{m}, porque 8.848≥58.848 \geq 5.

Apilar estas estimaciones por exponente produce la imagen maestra del capítulo: una escalera en la que cada peldaño es un mundo diez veces más ancho que el de abajo.

La escalera del universo, en metros: 42 potencias de diez separan el núcleo atómico del universo observable, y el ser humano está a diez peldaños del átomo pero a veintisiete de la cima.
La escalera del universo, en metros: 4242 potencias de diez separan el núcleo atómico del universo observable, y el ser humano está a diez peldaños del átomo pero a veintisiete de la cima.

Por encima del peldaño de la Tierra, los metros dejan de ser cómodos; la astronomía tiene sus propias unidades, definidas ambas a partir de la escalera misma.

Definición 1.13 (Unidad astronómica y año luz)

La unidad astronómica (1 au=1.496×1011 m1\,\mathrm{au} = 1.496 \times 10^{11}\,\mathrm{m}) es la distancia media entre la Tierra y el Sol. El año luz (ly\mathrm{ly}) es la distancia que recorre la luz en un año. La luz se propaga en el vacío a

c=3.00×108 m/s,c = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s},

la mayor velocidad que la naturaleza permite — de modo que el año luz es una distancia, no un tiempo.

Distancias desde la Tierra sobre la regla multiplicativa, con el tiempo de viaje de la luz en rojo bajo cada una: la Luna está a segundos luz, los planetas a horas luz y las estrellas a años luz.
Distancias desde la Tierra sobre la regla multiplicativa, con el tiempo de viaje de la luz en rojo bajo cada una: la Luna está a segundos luz, los planetas a horas luz y las estrellas a años luz.

Ejemplo 1.14 (El año luz en metros)

Un año contiene 365.25×24×3600=3.156×107 s365.25 \times 24 \times 3600 = 3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s} (agradablemente cercano a π×107 s\pi \times 10^{7}\,\mathrm{s}). Por tanto

1 ly=c×3.156×107 s=3.00×108 m/s×3.156×107 s=9.47×1015 m.1\,\mathrm{ly} = c \times 3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s} = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \times 3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s} = 9.47 \times 10^{15}\,\mathrm{m}.

Próxima Centauri, la estrella más cercana después del Sol, está a 4.2 ly≈4.0×1016 m4.2\,\mathrm{ly} \approx 4.0 \times 10^{16}\,\mathrm{m}: la luz, que cruza la distancia Tierra–Sol en ocho minutos, tarda más de cuatro años en llegar desde allí.

Método 1.15 (Comprobar un resultado por su orden de magnitud)

Antes de fiarse de cualquier resultado calculado:

  1. redondear cada dato a su orden de magnitud;
  2. rehacer el cálculo solo con potencias de diez, usando la Proposición 1.6 — cuesta unos segundos;
  3. comparar: el resultado preciso debe coincidir con la estimación salvo un factor diez, y su unidad debe ser la correcta. Si falla cualquiera de las dos comprobaciones, hay que cazar el error antes de seguir.

Observación 1.16 (Por qué molestarse)

Una calculadora afirmará tan tranquila que una manzana tiene una masa de 4×108 kg4 \times 10^{8}\,\mathrm{kg} — no puede saber más. Ninguna fórmula avisa de lo absurdo; la costumbre sí. Los físicos estiman primero y calculan después: la estimación caza las comas decimales mal puestas, las unidades intercambiadas y las fracciones invertidas, los tres errores que hay detrás de la mayoría de las respuestas falsas a cualquier nivel.

1.4 Medida e incertidumbre

Ningún instrumento da el valor verdadero. Una medida solo es honrada si indica además cuánto puede desviarse.

Definición 1.17 (Incertidumbre absoluta y relativa)

La medida de una magnitud xx se escribe

x=xm±Δx,x = x_{\text{m}} \pm \Delta x ,

donde xmx_{\text{m}} es el valor medido y la incertidumbre absoluta Δx>0\Delta x > 0, en la misma unidad, acota el error plausible: se afirma que el valor verdadero está comprendido entre xm−Δxx_{\text{m}} - \Delta x y xm+Δxx_{\text{m}} + \Delta x. La incertidumbre relativa es el cociente Δx/xm\Delta x / x_{\text{m}}, que suele darse en porcentaje; es lo que mide la palabra “preciso”.

Método 1.18 (Leer un instrumento graduado)

Para una regla, una probeta o un dial:

  1. leer la graduación más próxima a la marca, con el ojo perpendicular a la escala (mirar de lado desplaza la lectura);
  2. tomar como incertidumbre absoluta al menos la mitad de la graduación más pequeña — más si el borde del objeto o la superficie del líquido están difusos;
  3. escribir el resultado como xm±Δxx_{\text{m}} \pm \Delta x con su unidad, sin conservar ningún dígito más allá del dígito incierto.
Lectura de una regla milimetrada: el extremo de la varilla cae junto a la graduación de 127\, mm, y la banda sombreada de media graduación a cada lado es la afirmación honrada.
Lectura de una regla milimetrada: el extremo de la varilla cae junto a la graduación de 127 mm127\,\mathrm{mm}, y la banda sombreada de media graduación a cada lado es la afirmación honrada.

Ejemplo 1.19 (Precisión relativa)

La lectura anterior tiene una incertidumbre relativa 0.5127≈0.4 %\frac{0.5}{127} \approx 0.4\,\%. La misma regla, midiendo un perno de 12 mm12\,\mathrm{mm}, da 0.512≈4 %\frac{0.5}{12} \approx 4\,\%: el mismo instrumento es diez veces menos preciso sobre el objeto pequeño. La precisión es una propiedad de la medida, no de la herramienta.

Observación 1.20 (Poco en absoluto, mucho en relativo — y al revés)

Las estaciones láser miden la distancia Tierra–Luna, 3.84×108 m3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}, con unos ±3 cm\pm3\,\mathrm{cm}: una incertidumbre relativa de 10−1010^{-10}, de las medidas más finas jamás realizadas — y con un error absoluto del que ninguna regla presumiría. Hay que preguntar siempre relativo a qué: la pareja (Δx, Δx/xm)(\Delta x,\ \Delta x / x_{\text{m}}) cuenta la historia completa, y cualquiera de los dos números por separado puede engañar.

1.5 Ejercicios

Ejercicio 1.1 ★

Convierte a metros, en notación científica:

  1. 750 nm750\,\mathrm{nm} (longitud de onda de la luz roja);
  2. 2.5 km2.5\,\mathrm{km};
  3. 3.2 µm3.2\,\text{µ}\mathrm{m} (una bacteria del suelo);
  4. 0.15 Tm0.15\,\mathrm{Tm} (la distancia Tierra–Sol, con un disfraz insólito).
Solución

Solución de Ejercicio 1.1.

1. 750 nm=750×10−9 m=7.50×10−7 m750\,\mathrm{nm} = 750 \times 10^{-9}\,\mathrm{m} = 7.50 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}. 2. 2.5 km=2.5×103 m2.5\,\mathrm{km} = 2.5 \times 10^{3}\,\mathrm{m}. 3. 3.2 µm=3.2×10−6 m3.2\,\text{µ}\mathrm{m} = 3.2 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}. 4. 0.15 Tm=0.15×1012 m=1.5×1011 m0.15\,\mathrm{Tm} = 0.15 \times 10^{12}\,\mathrm{m} = 1.5 \times 10^{11}\,\mathrm{m} — una unidad astronómica.

Ejercicio 1.2 ★

Escribe en notación científica e indica el número de cifras significativas:

  1. la distancia Tierra–Sol, 149 600 000 km149\,600\,000\,\mathrm{km}, en metros;
  2. el diámetro de un átomo de hidrógeno, 0.000 000 000 106 m0.000\,000\,000\,106\,\mathrm{m};
  3. la población mundial, unos 8 100 000 0008\,100\,000\,000;
  4. una duración de 0.005 20 s0.005\,20\,\mathrm{s}.
Solución

Solución de Ejercicio 1.2.

1. 149 600 000 km=1.496×1011 m149\,600\,000\,\mathrm{km} = 1.496 \times 10^{11}\,\mathrm{m}: 44 cifras significativas. 2. 1.06×10−10 m1.06 \times 10^{-10}\,\mathrm{m}: 33 cifras significativas (los ceros iniciales nunca cuentan). 3. 8.1×1098.1 \times 10^{9}: 22 cifras significativas. 4. 5.20×10−3 s5.20 \times 10^{-3}\,\mathrm{s}: 33 cifras significativas (el cero final es una promesa).

Ejercicio 1.3 ★

Calcula sin calculadora y da cada resultado en notación científica:

(3×108)×(2×10−5),8×1044×10−3,(5×106)2,(4×10−3)×(3×10−9)6×10−7.(3\times10^{8})\times(2\times10^{-5}), \qquad \frac{8\times10^{4}}{4\times10^{-3}}, \qquad (5\times10^{6})^{2}, \qquad \frac{(4\times10^{-3})\times(3\times10^{-9})}{6\times10^{-7}} .
Solución

Solución de Ejercicio 1.3.

Mantisas y exponentes por separado (Proposición 1.6):

3×2×108−5=6×103,84×104−(−3)=2×107,3 \times 2 \times 10^{8-5} = 6 \times 10^{3}, \qquad \tfrac{8}{4} \times 10^{4-(-3)} = 2 \times 10^{7},
52×1012=2.5×1013,4×36×10−3−9+7=2×10−5.5^{2} \times 10^{12} = 2.5 \times 10^{13}, \qquad \tfrac{4 \times 3}{6} \times 10^{-3-9+7} = 2 \times 10^{-5} .

Ejercicio 1.4 ★

Da el orden de magnitud, con su unidad, de: una estatura humana de 1.7 m1.7\,\mathrm{m}; el Everest, 8848 m8848\,\mathrm{m}; una bacteria E. coli, 2×10−6 m2 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}; la masa de la Tierra, 5.97×1024 kg5.97 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}.

Solución

Solución de Ejercicio 1.4.

Persona: 1.7<51.7 < 5, orden 100 m10^{0}\,\mathrm{m}. Everest: 8848 m=8.848×103 m8848\,\mathrm{m} = 8.848 \times 10^{3}\,\mathrm{m} y 8.848≥58.848 \geq 5: orden 104 m10^{4}\,\mathrm{m}. Bacteria: orden 10−6 m10^{-6}\,\mathrm{m}. Tierra: 5.97≥55.97 \geq 5, orden 1025 kg10^{25}\,\mathrm{kg}.

Ejercicio 1.5 ★

Una regla está graduada en milímetros. Mides un lápiz y obtienes 127 mm127\,\mathrm{mm}.

  1. Escribe el resultado con su incertidumbre absoluta.
  2. Calcula la incertidumbre relativa.
  3. La misma regla mide una goma de 12 mm12\,\mathrm{mm}. ¿Cuál de las dos medidas es más precisa, y en qué factor?
Solución

Solución de Ejercicio 1.5.

1. Media graduación: L=(127.0±0.5) mmL = (127.0 \pm 0.5)\,\mathrm{mm}. 2. ΔL/L=0.5/127≈0.4 %\Delta L / L = 0.5/127 \approx 0.4\,\%. 3. Goma: 0.5/12≈4 %0.5/12 \approx 4\,\%. La medida del lápiz es unas diez veces más precisa — la misma regla, la misma incertidumbre absoluta, un objeto diez veces más largo.

Ejercicio 1.6 ★★

Con c=3.00×108 m/sc = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} y 1 ly=9.47×1015 m1\,\mathrm{ly} = 9.47 \times 10^{15}\,\mathrm{m}:

  1. Expresa en metros las distancias a Próxima Centauri (4.24 ly4.24\,\mathrm{ly}) y a Sirio (8.6 ly8.6\,\mathrm{ly}).
  2. La sonda Voyager 1 está a unos 2.4×1013 m2.4 \times 10^{13}\,\mathrm{m} de la Tierra. ¿Cuánto tarda su señal de radio, que viaja a cc, en llegar hasta nosotros? Expresa la respuesta en horas.
Solución

Solución de Ejercicio 1.6.

1. Próxima: 4.24×9.47×1015 m=4.01×1016 m4.24 \times 9.47 \times 10^{15}\,\mathrm{m} = 4.01 \times 10^{16}\,\mathrm{m}. Sirio: 8.6×9.47×1015 m=8.1×1016 m8.6 \times 9.47 \times 10^{15}\,\mathrm{m} = 8.1 \times 10^{16}\,\mathrm{m} (dos cifras significativas, como el dato). 2. t=d/c=2.4×1013 m/3.00×108 m/s=8.0×104 st = d/c = 2.4 \times 10^{13}\,\mathrm{m} / 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 8.0 \times 10^{4}\,\mathrm{s}, es decir 8.0×104/3600≈22 h8.0 \times 10^{4}/3600 \approx 22\,\mathrm{h}: casi un día entero por cada mensaje de la sonda.

Ejercicio 1.7 ★★

¿Cuánto tarda la luz en llegar a la Tierra desde la Luna (3.84×108 m3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}), desde el Sol (1.496×1011 m1.496 \times 10^{11}\,\mathrm{m}) y desde Neptuno (4.50×1012 m4.50 \times 10^{12}\,\mathrm{m})? Da cada respuesta en una unidad razonable y completa la frase: “Cuando miras Neptuno, lo ves tal como era…”

Solución

Solución de Ejercicio 1.7.

t=d/ct = d/c en cada caso. Luna: 3.84×108 m/3.00×108 m/s=1.28 s3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 1.28\,\mathrm{s}. Sol: 1.496×1011 m/3.00×108 m/s=499 s≈8.3 min1.496 \times 10^{11}\,\mathrm{m}/3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 499\,\mathrm{s} \approx 8.3\,\mathrm{min}. Neptuno: 4.50×1012 m/3.00×108 m/s=1.50×104 s≈4.2 h4.50 \times 10^{12}\,\mathrm{m}/3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 1.50 \times 10^{4}\,\mathrm{s} \approx 4.2\,\mathrm{h}. Cuando miras Neptuno, lo ves tal como era hace unas cuatro horas — todo telescopio es una máquina del tiempo modesta.

Ejercicio 1.8 ★★

Una resma de 500500 hojas de papel, medida con una regla milimetrada, tiene 52.0 mm52.0\,\mathrm{mm} de grosor, con una incertidumbre de ±0.5 mm\pm0.5\,\mathrm{mm}.

  1. Deduce el grosor de una hoja, con su incertidumbre absoluta.
  2. ¿Cuál es la incertidumbre relativa de ese grosor?
  3. ¿Por qué medir la resma es enormemente mejor que medir una sola hoja con la misma regla? Cuantifícalo.
Solución

Solución de Ejercicio 1.8.

1. Una hoja: 52.0 mm/500=0.104 mm=1.04×10−4 m52.0\,\mathrm{mm}/500 = 0.104\,\mathrm{mm} = 1.04 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}. La incertidumbre se divide igual: 0.5 mm/500=0.001 mm0.5\,\mathrm{mm}/500 = 0.001\,\mathrm{mm}, así que t=(104±1) µmt = (104 \pm 1)\,\text{µ}\mathrm{m}. 2. 1/104≈1 %1/104 \approx 1\,\%. 3. Medir una sola hoja daría (0.1±0.5) mm(0.1 \pm 0.5)\,\mathrm{mm}: una incertidumbre relativa de unos 500 %500\,\% — la regla ni siquiera puede demostrar que la hoja existe. Apilar 500500 hojas multiplica por 500500 la longitud medida mientras la incertidumbre absoluta de la regla sigue fija: la incertidumbre relativa se reduce en ese mismo factor 500500.

Ejercicio 1.9 ★★

Toma 2×10−10 m2 \times 10^{-10}\,\mathrm{m} como diámetro de un átomo. ¿Cuántos átomos, uno al lado de otro, abarcan una bacteria de 2.0 µm2.0\,\text{µ}\mathrm{m}, un cabello de 70 µm70\,\text{µ}\mathrm{m} y una persona de 1.7 m1.7\,\mathrm{m}? Da también la última respuesta como orden de magnitud.

Solución

Solución de Ejercicio 1.9.

Se divide cada longitud entre 2×10−10 m2 \times 10^{-10}\,\mathrm{m}. Bacteria: 2.0×10−6 m/2×10−10 m=1.0×1042.0 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}/2 \times 10^{-10}\,\mathrm{m} = 1.0 \times 10^{4} átomos. Cabello: 7.0×10−5 m/2×10−10 m=3.5×1057.0 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}/2 \times 10^{-10}\,\mathrm{m} = 3.5 \times 10^{5}. Persona: 1.7/2×10−10=8.5×1091.7/2 \times 10^{-10} = 8.5 \times 10^{9}, orden de magnitud 101010^{10}: diez mil millones de átomos de la cabeza a los pies.

Ejercicio 1.10 ★★

Una maqueta representa el Sol (diámetro 1.39×109 m1.39 \times 10^{9}\,\mathrm{m}) mediante un balón de fútbol de 22 cm22\,\mathrm{cm} de diámetro.

  1. Calcula el factor de escala de la maqueta.
  2. Halla el diámetro de la Tierra en la maqueta (1.27×107 m1.27 \times 10^{7}\,\mathrm{m}) y su distancia al balón (distancia real 1.496×1011 m1.496 \times 10^{11}\,\mathrm{m}).
  3. ¿A qué distancia de la Tierra de la maqueta está su Luna (distancia real 3.84×108 m3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m})? ¿Y a qué distancia queda Neptuno (distancia real 4.50×1012 m4.50 \times 10^{12}\,\mathrm{m})?
Solución

Solución de Ejercicio 1.10.

1. s=0.22 m/1.39×109 m=1.58×10−10s = 0.22\,\mathrm{m}/1.39 \times 10^{9}\,\mathrm{m} = 1.58 \times 10^{-10}. 2. Tierra: 1.27×107 m×1.58×10−10=2.0×10−3 m=2.0 mm1.27 \times 10^{7}\,\mathrm{m} \times 1.58 \times 10^{-10} = 2.0 \times 10^{-3}\,\mathrm{m} = 2.0\,\mathrm{mm} — un grano de pimienta — que orbita a 1.496×1011 m×1.58×10−10=23.7 m≈24 m1.496 \times 10^{11}\,\mathrm{m} \times 1.58 \times 10^{-10} = 23.7\,\mathrm{m} \approx 24\,\mathrm{m} del balón. 3. Luna: 3.84×108 m×1.58×10−10=6.1 cm3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m} \times 1.58 \times 10^{-10} = 6.1\,\mathrm{cm} del grano de pimienta. Neptuno: 4.50×1012 m×1.58×10−10≈710 m4.50 \times 10^{12}\,\mathrm{m} \times 1.58 \times 10^{-10} \approx 710\,\mathrm{m}: la maqueta no cabe en el patio del colegio.

Ejercicio 1.11 ★★

Las cifras significativas en acción.

  1. Una hoja A4 mide 21.0 cm21.0\,\mathrm{cm} por 29.7 cm29.7\,\mathrm{cm}. Da su área con el número correcto de cifras significativas.
  2. Un velocista recorre 100.0 m100.0\,\mathrm{m} en 12.3 s12.3\,\mathrm{s}. Da la velocidad media correctamente redondeada.
  3. Explica en una frase qué tendría de deshonesto anunciar el área como 623.70 cm2623.70\,\mathrm{cm}^{2}.
Solución

Solución de Ejercicio 1.11.

1. 21.0×29.7=623.7 cm221.0 \times 29.7 = 623.7\,\mathrm{cm}^{2}, redondeado a las tres cifras significativas de los datos: 624 cm2624\,\mathrm{cm}^{2}. 2. v=100.0 m/12.3 s=8.13 m/sv = 100.0\,\mathrm{m}/12.3\,\mathrm{s} = 8.13\,\mathrm{m}/\mathrm{s} (tres cifras, fijadas por el tiempo). 3. Cinco cifras significativas afirmarían conocer el área con precisión de 0.01 cm20.01\,\mathrm{cm}^{2}, una precisión que unos datos al milímetro nunca dieron — un decimal falsificado sigue siendo una falsificación.

Ejercicio 1.12 ★★★

Una gota de aceite de volumen 1.0 mm31.0\,\mathrm{mm}^{3} se deposita sobre agua en reposo y se extiende formando una película circular de 1.1 m1.1\,\mathrm{m} de diámetro — una película que capítulos posteriores mostrarán que tiene el grosor de una molécula.

  1. Calcula el área de la película y después su grosor.
  2. Deduce un orden de magnitud para el tamaño de una molécula y compáralo con el peldaño del átomo en la escalera.

(Este experimento de servilleta, ensayado por primera vez por Benjamin Franklin en un estanque de Londres, fue una de las primeras medidas honradas del mundo molecular.)

Solución

Solución de Ejercicio 1.12.

1. Radio r=0.55 mr = 0.55\,\mathrm{m}, área A=πr2=π×0.552≈0.95 m2A = \pi r^{2} = \pi \times 0.55^{2} \approx 0.95\,\mathrm{m}^{2}. Volumen V=1.0 mm3=1.0×10−9 m3V = 1.0\,\mathrm{mm}^{3} = 1.0 \times 10^{-9}\,\mathrm{m}^{3}, y una película es (área) ×\times (grosor), de modo que

e=VA=1.0×10−9 m30.95 m2=1.1×10−9 m.e = \frac{V}{A} = \frac{1.0 \times 10^{-9}\,\mathrm{m}^{3}}{0.95\,\mathrm{m}^{2}} = 1.1 \times 10^{-9}\,\mathrm{m} .

2. Una molécula es del orden de 10−9 m10^{-9}\,\mathrm{m} — un peldaño por encima de los 10−10 m10^{-10}\,\mathrm{m} del átomo, lo que concuerda con que una molécula sea un pequeño racimo de átomos. La cucharada de aceite de Franklin calmó media hectárea de estanque y, sin que él lo supiera, midió el nanómetro.

Ejercicio 1.13 ★★★

Estima el número de latidos del corazón a lo largo de una vida humana. Indica tus hipótesis (frecuencia cardíaca en reposo, esperanza de vida), reduce la aritmética a potencias de diez y un dígito de mantisa, y da la respuesta final únicamente como orden de magnitud. ¿Por qué no tendría ningún sentido darla con cuatro cifras significativas?

Solución

Solución de Ejercicio 1.13.

Hipótesis: unos 7070 latidos por minuto en reposo y una vida de 8080 años. Por día: 70×60×24≈1×10570 \times 60 \times 24 \approx 1 \times 10^{5} latidos. Por año: 1×105×365≈4×1071 \times 10^{5} \times 365 \approx 4 \times 10^{7}. Por vida: 4×107×80≈3×1094 \times 10^{7} \times 80 \approx 3 \times 10^{9} — orden de magnitud 10910^{9}, unos pocos miles de millones de latidos. Cuatro cifras significativas fingirían conocer la frecuencia cardíaca minuto a minuto durante ochenta años: los datos de partida son estimaciones a un orden de magnitud, y ningún resultado puede superar a sus datos (Método 1.9).

Ejercicio 1.14 ★★★

Una hoja de papel tiene 0.10 mm0.10\,\mathrm{mm} de grosor y cada pliegue duplica el grosor del montón. Usando 210≈1032^{10} \approx 10^{3}:

  1. ¿Después de cuántos pliegues superaría el montón la altura del Everest (8848 m8848\,\mathrm{m})?
  2. ¿Después de cuántos pliegues llegaría a la Luna (3.84×108 m3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m})?
  3. En la práctica una hoja no se puede plegar más de unas siete veces. ¿Invalida eso la aritmética o solo el experimento?
Solución

Solución de Ejercicio 1.14.

Tras nn pliegues el grosor es 2n×1.0×10−4 m2^{n} \times 1.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}. 1. Hace falta 2n≥8848/1.0×10−4=8.8×1072^{n} \geq 8848/1.0 \times 10^{-4} = 8.8 \times 10^{7}. Como 226≈6.7×1072^{26} \approx 6.7 \times 10^{7} se queda corto y 227≈1.3×1082^{27} \approx 1.3 \times 10^{8} basta: 2727 pliegues (montón ≈13 km\approx 13\,\mathrm{km}). 2. Hace falta 2n≥3.84×10122^{n} \geq 3.84 \times 10^{12}: 241≈2.2×10122^{41} \approx 2.2 \times 10^{12} no llega y 242≈4.4×10122^{42} \approx 4.4 \times 10^{12} sí — 4242 pliegues, montón de 4.4×108 m4.4 \times 10^{8}\,\mathrm{m}, holgadamente más allá de la Luna. 3. Solo el experimento: cada pliegue reduce el área a la mitad y, tras siete, el montón es más grueso que ancho. La aritmética de la duplicación queda intacta — el crecimiento exponencial simplemente adelanta a lo que el papel (y la intuición) pueden seguir.

Ejercicio 1.15 ★★★

La telemetría láser da la distancia Tierra–Luna como 3.84×108 m±3 cm3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m} \pm 3\,\mathrm{cm}; una buena regla mide una mesa y da 1.000 m±1 mm1.000\,\mathrm{m} \pm 1\,\mathrm{mm}.

  1. Calcula ambas incertidumbres relativas. ¿Qué medida es más precisa, y en qué factor?
  2. ¿Con qué incertidumbre absoluta habría que medir la mesa para igualar la precisión relativa de la medida lunar? Compara esa longitud con el tamaño de un átomo y concluye con el debido respeto.
Solución

Solución de Ejercicio 1.15.

1. Luna: 0.03 m/3.84×108 m=7.8×10−110.03\,\mathrm{m}/3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m} = 7.8 \times 10^{-11}. Mesa: 0.001 m/1.000 m=1.0×10−30.001\,\mathrm{m}/1.000\,\mathrm{m} = 1.0 \times 10^{-3}. La medida lunar es más precisa en un factor 1.0×10−3/7.8×10−11≈1.3×1071.0 \times 10^{-3}/7.8 \times 10^{-11} \approx 1.3 \times 10^{7} — más de diez millones. 2. Igualar 7.8×10−117.8 \times 10^{-11} en una mesa de un metro exige Δx=7.8×10−11 m\Delta x = 7.8 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}, menos que un átomo (≈10−10 m\approx 10^{-10}\,\mathrm{m}): el borde de la mesa ni siquiera está definido con esa nitidez. En términos relativos, la distancia Tierra–Luna por láser es una de las medidas más finas que posee nuestra especie.

1.6 Problema: del átomo a Andrómeda

Problema 1.1

Problema de fin de semana — un solo grano de arena mide el átomo, el Sistema Solar, la galaxia y el universo observable, y te sitúa a ti en la escalera que los separa

Un grano de arena es el objeto más humilde de la física, y este fin de semana hará horas extra: primero contamos sus átomos, luego encogemos el Sol hasta su tamaño y recorremos el cosmos a pasos, después dejamos que la luz haga de topógrafo y, por último, contamos los átomos que hay en ti. Datos, usados a lo largo de todo el problema: diámetro del grano 0.5 mm0.5\,\mathrm{mm}; diámetro de un átomo 2.5×10−10 m2.5 \times 10^{-10}\,\mathrm{m}; densidad de la arena 2500 kg/m32500\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}; diámetros: Sol 1.39×109 m1.39 \times 10^{9}\,\mathrm{m}, Tierra 1.27×107 m1.27 \times 10^{7}\,\mathrm{m}, Vía Láctea 9.5×1020 m9.5 \times 10^{20}\,\mathrm{m}, universo observable 8.8×1026 m8.8 \times 10^{26}\,\mathrm{m}; distancias desde nosotros: Luna 3.84×108 m3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}, Sol 1.496×1011 m1.496 \times 10^{11}\,\mathrm{m}, Neptuno 4.5×1012 m4.5 \times 10^{12}\,\mathrm{m}, Próxima Centauri 4.0×1016 m4.0 \times 10^{16}\,\mathrm{m}, galaxia de Andrómeda 2.4×1022 m2.4 \times 10^{22}\,\mathrm{m}; c=3.00×108 m/sc = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}; una molécula de agua tiene una masa de 3.0×10−26 kg3.0 \times 10^{-26}\,\mathrm{kg} y contiene tres átomos.

Parte I — Anatomía del grano.

  1. Escribe el diámetro del grano y el del átomo en metros, en notación científica, y nombra el prefijo del SI al que más se acerca cada uno.
  2. ¿Cuántos átomos caben uno al lado de otro a lo ancho de un grano?
  3. Modeliza el grano como un cubo de 0.5 mm0.5\,\mathrm{mm} de arista relleno de átomos. Estima el número de átomos del grano, como orden de magnitud.
  4. Calcula el volumen de ese cubo y después la masa del grano. Expresa la masa en miligramos.
  5. Comprueba el modelo: divide la masa del grano entre su número de átomos y compara con el orden de magnitud conocido de las masas atómicas (unos pocos 10−26 kg10^{-26}\,\mathrm{kg}). ¿Veredicto?

Parte II — El Sol como grano de arena. Construimos una maqueta del cosmos en la que el Sol es el grano: cada tamaño de la maqueta es el tamaño real multiplicado por un factor ss.

  1. Calcula el factor de escala ss.
  2. En la maqueta, halla el diámetro de la Tierra y su distancia al Sol-grano. ¿Qué objeto del mundo de la Parte I tiene aproximadamente el tamaño de esa Tierra?
  3. ¿A qué distancia del grano orbita el Neptuno de la maqueta? ¿Qué mueble albergaría el sistema planetario entero?
  4. ¿A qué distancia queda la Próxima Centauri de la maqueta?
  5. Dos granos de arena a 14 km14\,\mathrm{km} uno de otro, y casi nada entre medias: di en una o dos frases qué revela la maqueta sobre lo vacía que está la galaxia.

Parte III — La luz hace de topógrafo.

  1. ¿Cuánto tarda la luz en cruzar el grano de arena real?
  2. ¿Cuánto tarda la luz en llegar hasta nosotros desde la Luna y desde el Sol?
  3. Recalcula el año luz en metros a partir de cc y de la duración del año, y comprueba que la distancia a Próxima que figura en los datos corresponde a unos 4.2 ly4.2\,\mathrm{ly}.
  4. Convierte la distancia a Andrómeda en años luz. ¿Cuándo, más o menos, salió de Andrómeda la luz que ahora entra en tu ojo, y qué caminaba por la Tierra en aquel momento?
  5. ¿Qué distancia recorre la luz en un nanosegundo? Un procesador a 3 GHz3\,\mathrm{GHz} inicia una operación cada tercio de nanosegundo: explica en una frase por qué un ordenador rápido tiene que ser un ordenador pequeño.

Parte IV — Tú, entre el átomo y Andrómeda.

  1. Una persona es, a grandes rasgos, 70 kg70\,\mathrm{kg} de agua. Con los datos, estima la masa media de un átomo en el agua y después el número de átomos de una persona.
  2. Compara ese recuento con los átomos del grano (pregunta 3) y con las aproximadamente 2×10232\times10^{23} estrellas del universo observable. Da los dos factores.
  3. En la escalera, ¿estás más cerca del átomo o del universo observable? Compara los cocientes (tuˊ)/(aˊtomo)\text{(tú)}/\text{(átomo)} y (universo)/(tuˊ)\text{(universo)}/\text{(tú)}, tomando 1.7 m1.7\,\mathrm{m} para ti.
  4. Halla el tamaño xx que se sitúa exactamente a media escalera entre el núcleo (10−15 m10^{-15}\,\mathrm{m}) y el universo observable: xx debe cumplir x/10−15=1026.9/xx / 10^{-15} = 10^{26.9} / x (tomando 8.8×1026 m≈1026.9 m8.8 \times 10^{26}\,\mathrm{m} \approx 10^{26.9}\,\mathrm{m}). ¿Qué objeto del Sistema Solar tiene justamente ese tamaño?
  5. El remate. Encoge el universo observable con el factor ss de la Parte II, de modo que el Sol sea un grano de arena. Da el diámetro del universo de la maqueta en metros y después en unidades astronómicas, y concluye en una frase: aun con cada estrella convertida en grano de arena, el universo desborda toda escala humana — solo las potencias de diez lo abarcan.
Solución

Solución de Problema 1.1.

1. Grano: 0.5 mm=5×10−4 m0.5\,\mathrm{mm} = 5 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}, en la escala mili; átomo: 2.5×10−10 m=0.25 nm2.5 \times 10^{-10}\,\mathrm{m} = 0.25\,\mathrm{nm}, en la escala nano.

2. 5×10−4 m/2.5×10−10 m=2.0×1065 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}/2.5 \times 10^{-10}\,\mathrm{m} = 2.0 \times 10^{6}: dos millones de átomos de lado a lado.

3. Un cubo de 2×1062 \times 10^{6} átomos de arista contiene (2×106)3=8×1018(2\times10^{6})^{3} = 8 \times 10^{18} átomos: orden de magnitud 101910^{19}.

4. V=(5×10−4 m)3=1.25×10−10 m3V = (5 \times 10^{-4}\,\mathrm{m})^{3} = 1.25 \times 10^{-10}\,\mathrm{m}^{3}, de modo que m=ρV=2500 kg/m3×1.25×10−10 m3=3.1×10−7 kg=0.31 mgm = \rho V = 2500\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3} \times 1.25 \times 10^{-10}\,\mathrm{m}^{3} = 3.1 \times 10^{-7}\,\mathrm{kg} = 0.31\,\mathrm{mg}.

5. Masa por átomo: 3.1×10−7 kg/(8×1018)=3.9×10−26 kg3.1 \times 10^{-7}\,\mathrm{kg}/(8\times10^{18}) = 3.9 \times 10^{-26}\,\mathrm{kg} — de lleno en el intervalo de “unos pocos 10−26 kg10^{-26}\,\mathrm{kg}”. El ingenuo cubo de átomos reproduce las masas atómicas reales: el modelo supera la comprobación (Método 1.15) con nota.

6. s=5×10−4 m/1.39×109 m=3.6×10−13s = 5 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}/1.39 \times 10^{9}\,\mathrm{m} = 3.6 \times 10^{-13}.

7. Tierra de la maqueta: diámetro 1.27×107 m×3.6×10−13=4.6×10−6 m1.27 \times 10^{7}\,\mathrm{m} \times 3.6 \times 10^{-13} = 4.6 \times 10^{-6}\,\mathrm{m} — el tamaño de una bacteria — a una distancia 1.496×1011 m×3.6×10−13=5.4 cm1.496 \times 10^{11}\,\mathrm{m} \times 3.6 \times 10^{-13} = 5.4\,\mathrm{cm} del grano: la Tierra es un microbio a cinco centímetros de un grano de arena.

8. 4.5×1012 m×3.6×10−13=1.6 m4.5 \times 10^{12}\,\mathrm{m} \times 3.6 \times 10^{-13} = 1.6\,\mathrm{m}: el sistema planetario entero orbita dentro de una mesa de comedor.

9. 4.0×1016 m×3.6×10−13=1.4×104 m=14 km4.0 \times 10^{16}\,\mathrm{m} \times 3.6 \times 10^{-13} = 1.4 \times 10^{4}\,\mathrm{m} = 14\,\mathrm{km}.

10. La estrella más cercana a nuestro Sistema Solar de sobremesa es otro grano de arena a catorce kilómetros, y entre medias prácticamente nada: la galaxia es abrumadoramente espacio vacío, y por eso las colisiones entre estrellas son casi inauditas.

11. t=5×10−4 m/3.00×108 m/s=1.7×10−12 st = 5 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}/3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 1.7 \times 10^{-12}\,\mathrm{s} — menos de dos picosegundos.

12. Luna: 3.84×108 m/3.00×108 m/s=1.28 s3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 1.28\,\mathrm{s}. Sol: 1.496×1011 m/3.00×108 m/s=499 s≈8.3 min1.496 \times 10^{11}\,\mathrm{m}/3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 499\,\mathrm{s} \approx 8.3\,\mathrm{min}: la luz del Sol tiene siempre ocho minutos de antigüedad.

13. Un año son 365.25×86400=3.156×107 s365.25 \times 86400 = 3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s}, así que 1 ly=3.00×108 m/s×3.156×107 s=9.47×1015 m1\,\mathrm{ly} = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \times 3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s} = 9.47 \times 10^{15}\,\mathrm{m}; entonces 4.0×1016 m/9.47×1015 m=4.24.0 \times 10^{16}\,\mathrm{m}/9.47 \times 10^{15}\,\mathrm{m} = 4.2: la distancia de los datos es, en efecto, de unos 4.2 ly4.2\,\mathrm{ly}.

14. 2.4×1022 m/9.47×1015 m=2.5×1062.4 \times 10^{22}\,\mathrm{m}/9.47 \times 10^{15}\,\mathrm{m} = 2.5 \times 10^{6}: dos millones y medio de años luz. Esa luz salió de Andrómeda hace unos 2.52.5 millones de años, cuando los primeros miembros del género Homo aprendían a tallar piedras — y ningún Homo sapiens existía aún en ninguna parte.

15. 3.00×108 m/s×1×10−9 s=0.30 m3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \times 1 \times 10^{-9}\,\mathrm{s} = 0.30\,\mathrm{m}. En un tercio de nanosegundo una señal recorre a lo sumo unos 10 cm10\,\mathrm{cm}, de modo que dos partes de la máquina que deban hablarse dentro de un mismo ciclo de reloj tienen que estar a menos de diez centímetros una de otra: la velocidad pone techo al tamaño.

16. Átomo medio en el agua: 3.0×10−26 kg/3=1.0×10−26 kg3.0 \times 10^{-26}\,\mathrm{kg}/3 = 1.0 \times 10^{-26}\,\mathrm{kg}. Número de átomos: 70 kg/1.0×10−26 kg=7×102770\,\mathrm{kg}/1.0 \times 10^{-26}\,\mathrm{kg} = 7 \times 10^{27}.

17. Frente al grano: 7×1027/8×1018≈1097 \times 10^{27}/8 \times 10^{18} \approx 10^{9} — contienes los átomos de mil millones de granos. Frente a las estrellas: 7×1027/2×1023=3.5×1047 \times 10^{27}/2 \times 10^{23} = 3.5 \times 10^{4} — tus átomos superan a todas las estrellas del universo observable en treinta y cinco mil a uno.

18. (tuˊ)/(aˊtomo)=1.7 m/2.5×10−10 m≈7×109≈1010\text{(tú)}/\text{(átomo)} = 1.7\,\mathrm{m}/2.5 \times 10^{-10}\,\mathrm{m} \approx 7 \times 10^{9} \approx 10^{10}, mientras que (universo)/(tuˊ)=8.8×1026 m/1.7 m≈5×1026\text{(universo)}/\text{(tú)} = 8.8 \times 10^{26}\,\mathrm{m}/1.7\,\mathrm{m} \approx 5 \times 10^{26}. En la escalera estás unos diez peldaños por encima del átomo y casi veintisiete por debajo del universo: en términos multiplicativos, el ser humano vive muy cerca de sus átomos.

19. La condición da x2=10−15×1026.9=1011.9x^{2} = 10^{-15} \times 10^{26.9} = 10^{11.9}, de donde x=105.95≈9×105 m≈900 kmx = 10^{5.95} \approx 9 \times 10^{5}\,\mathrm{m} \approx 900\,\mathrm{km} — casi exactamente el diámetro de Ceres, el mayor asteroide (≈940 km\approx 940\,\mathrm{km}). A media escalera entre un núcleo y el cosmos se sienta un modesto planeta enano.

20. 8.8×1026 m×3.6×10−13=3.2×1014 m8.8 \times 10^{26}\,\mathrm{m} \times 3.6 \times 10^{-13} = 3.2 \times 10^{14}\,\mathrm{m}, es decir 3.2×1014 m/1.496×1011 m≈2.1×1033.2 \times 10^{14}\,\mathrm{m}/1.496 \times 10^{11}\,\mathrm{m} \approx 2.1 \times 10^{3} unidades astronómicas. El remate: encoge el cosmos hasta que el Sol sea un grano de arena y el universo observable seguirá abarcando dos mil veces la distancia real Tierra–Sol — ninguna maqueta reduce el universo a tamaño humano; solo las potencias de diez pueden con él.