Física de secundaria · Grades 10–12

28Osciladores mecánicos y la medida del tiempo

Un reloj de pie hace tic: cada tic es un péndulo de latón cruzando la vertical, repetido quince millones de veces desde Año Nuevo. Una lámina de cuarzo en tu reloj de pulsera se flexiona $32\,768$ veces por segundo; un átomo de cesio zumba nueve mil millones de veces más deprisa. Todo lo que oscila puede medir el tiempo: este capítulo sigue esas oscilaciones, de Huygens a los satélites.

28.1 Oscilaciones libres

Definición 28.1 (Oscilador, periodo, frecuencia, amplitud)

Un oscilador mecánico es un sistema que, apartado de una posición de equilibrio estable y soltado, va y viene en torno a ella: son oscilaciones libres. El movimiento se repite al cabo del periodo $T_0$ ( $\mathrm{s}$ ); la frecuencia es $f_0 = 1/T_0$ ( $\mathrm{Hz}$ , Capítulo 20); la amplitud es el desplazamiento máximo.

Ejemplo 28.2 (Un zoo de osciladores)

Un columpio de parque: $T_0 \approx 3\,\mathrm{s}$ . La cuerda la de una guitarra: $f_0 = 110\,\mathrm{Hz}$ . Un cristal de cuarzo: $32\,768\,\mathrm{Hz}$ . La oscilación del cesio que define el segundo: unos $9.2 \times 10^{9}\,\mathrm{Hz}$ . Diez órdenes de magnitud y un solo oficio: contar.

28.2 El péndulo simple

Definición 28.3 (Péndulo simple)

Un péndulo simple: una masa pequeña $m$ suspendida de un hilo inextensible de longitud $L$ y masa despreciable, que oscila en un plano vertical. De las dos fuerzas que actúan sobre la masa (Capítulo 25), la tensión es perpendicular al movimiento, mientras que la componente del peso a lo largo de la trayectoria apunta de vuelta hacia el punto más bajo: el peso es la fuerza recuperadora, opuesta al desplazamiento.

Fuerzas sobre la masa: la tensión T es perpendicular al movimiento; la parte tangencial P_t del peso apunta siempre de vuelta hacia la vertical — la fuerza recuperadora. — Fuerzas sobre la masa: la tensión $\vect T$ es perpendicular al movimiento; la parte tangencial $\vect{P_t}$ del peso apunta siempre de vuelta hacia la vertical — la fuerza recuperadora.

Proposición 28.4 (Periodo del péndulo simple)

Para amplitudes pequeñas (por debajo de unos $15^\circ$ ), el periodo vale

T_0 = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}, \qquad g = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}.

No depende ni de la masa suspendida ni — mientras el ángulo siga siendo pequeño — de la amplitud: las oscilaciones pequeñas son isócronas y todas duran lo mismo.

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

Observación 28.5 (Análisis dimensional, y dónde vive el $2\pi$ )

La fórmula se puede adivinar. A partir de $m$ ( $\mathrm{kg}$ ), $L$ ( $\mathrm{m}$ ) y $g$ ( $\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ), la única combinación con unidades de tiempo es $\sqrt{L/g}$ — y la masa no puede entrar, porque ningún otro dato lleva un kilogramo que la cancele. Las dimensiones no pueden dar el número puro de delante: el $2\pi$ sale de resolver la ecuación del movimiento, cosa que se hace en el volumen del primer año de universidad. La condición de ángulo pequeño tampoco es opcional: a $30^\circ$ el periodo verdadero es un $2\,\%$ mayor y el isocronismo falla.

Ejemplo 28.6 (El péndulo que bate el segundo)

¿Qué longitud bate el segundo, $T_0 = 2.00\,\mathrm{s}$ , un tic en cada sentido? Despejando, $L = g\,T_0^2/4\pi^2 = 9.81 \times 2.00^2/4\pi^2 \approx 0.994\,\mathrm{m}$ . Casi un metro: los relojes de péndulo son altos porque los segundos son largos.

28.3 El oscilador masa–resorte

Definición 28.7 (Fuerza recuperadora de un resorte)

Un móvil de masa $m$ desliza sobre un raíl horizontal sin rozamiento, unido a un resorte de constante elástica $k$ ( $\mathrm{N}/\mathrm{m}$ ). Sea $x$ su desplazamiento respecto del equilibrio. Estirado o comprimido, el resorte tira del móvil o lo empuja de vuelta con la fuerza $F = -kx$ : proporcional al desplazamiento y opuesta a él — otra vez una fuerza recuperadora, suministrada ahora por la elasticidad.

Proposición 28.8 (Ecuación del movimiento y su solución)

La segunda ley de Newton a lo largo del raíl (Capítulo 25) da $m \frac{d^2x}{dt^2} = -kx$ , es decir, $\frac{d^2x}{dt^2} = -\frac{k}{m}\,x$ . Sean cuales sean las constantes $A$ y $\varphi$ ,

x(t) = A \cos\!\left(\frac{2\pi t}{T_0} + \varphi\right), \qquad T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}},

satisface esta ecuación: una oscilación de periodo $T_0$ , independiente de la amplitud.

Demostración. Derivando, $\frac{dx}{dt} = -\frac{2\pi}{T_0}A \sin(\frac{2\pi t}{T_0} + \varphi)$ ; y otra vez, $\frac{d^2x}{dt^2} = -(\frac{2\pi}{T_0})^2 A\cos(\frac{2\pi t}{T_0} + \varphi) = -(\frac{2\pi}{T_0})^2\,x(t)$ , que es $-(k/m)\,x$ exactamente cuando $(2\pi/T_0)^2 = k/m$ . ∎

Observación 28.9 (Todos los movimientos que hay)

Que todo movimiento del móvil es una de estas funciones se admite aquí y se demuestra en el volumen del primer año de universidad. Y en $2\pi\sqrt{m/k}$ no aparece $g$ : cuanto más rígido, más rápido oscila; cuanto más pesado, más lento; y en la Luna, igual.

Definición 28.10 (Amplitud y fase)

En $x(t) = A\cos(2\pi t/T_0 + \varphi)$ , la constante positiva $A$ es la amplitud — los extremos son $x = \pm A$ — y $2\pi t/T_0 + \varphi$ es la fase, que crece $2\pi$ en cada periodo; la fase inicial $\varphi$ registra el arranque: soltado en reposo desde $x = A$ , $\varphi = 0$ . Por ejemplo, $m = 0.20\,\mathrm{kg}$ sobre $k = 20\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ da $T_0 = 2\pi\sqrt{0.20/20} = 0.63\,\mathrm{s}$ ; llevado hasta $5.0\,\mathrm{cm}$ y soltado, $x(t) = 5.0\cos(2\pi t/0.63)$ en centímetros.

28.4 Energía, amortiguamiento, resonancia

Proposición 28.11 (Energía del oscilador)

Un resorte estirado una longitud $x$ almacena la energía potencial elástica $E_p = \tfrac12 kx^2$ (justificada en el Capítulo 29). Durante una oscilación sin rozamiento, la energía mecánica

E_m = E_k + E_p = \tfrac12 m v^2 + \tfrac12 k x^2 = \tfrac12 k A^2

es constante: toda elástica en los extremos, toda cinética en el equilibrio. El péndulo interpreta el mismo dúo entre $E_k$ y la $E_p$ gravitatoria (Capítulo 18).

Demostración. Con $v = \frac{dx}{dt}$ , la derivada de $E_m$ es $mv\frac{dv}{dt} + kx\frac{dx}{dt} = v\,(m\frac{d^2x}{dt^2} + kx) = 0$ por la ecuación del movimiento; el valor $\tfrac12 kA^2$ se lee en un extremo. ∎

Un periodo, soltando desde x = A: la energía se trasvasa dos veces de elástica a cinética y vuelta, con la suma clavada en 1/2 kA2. — Un periodo, soltando desde $x = A$ : la energía se trasvasa dos veces de elástica a cinética y vuelta, con la suma clavada en $\tfrac12 kA^2$ .

Definición 28.12 (Oscilaciones amortiguadas)

El rozamiento drena energía mecánica de todo oscilador real: sus oscilaciones libres son amortiguadas. Con amortiguamiento débil el sistema sigue oscilando, con una amplitud que se apaga pero con un tiempo de repetición casi inalterado, el seudoperiodo, próximo a $T_0$ ; con amortiguamiento fuerte (miel), vuelve reptando al equilibrio sin pasarse nunca; y la energía, proporcional al cuadrado de la amplitud, se degrada en calor.

Oscilaciones sin amortiguar y débilmente amortiguadas: casi el mismo periodo (2.0\, s aquí), con la amplitud amortiguada apagándose dentro de una envolvente exponencial que se encoge (a trazos). — Oscilaciones sin amortiguar y débilmente amortiguadas: casi el mismo periodo ( $2.0\,\mathrm{s}$ aquí), con la amplitud amortiguada apagándose dentro de una envolvente exponencial que se encoge (a trazos).

Definición 28.13 (Oscilaciones forzadas y resonancia)

Empuja un oscilador periódicamente — oscilaciones forzadas — y, tras un breve transitorio, oscilará a la frecuencia $f$ del excitador, no a la suya. Su amplitud alcanza un máximo cuando $f$ se acerca a la frecuencia propia $f_0$ del oscilador libre: es la resonancia, con cada empujón llegando al paso del movimiento y aportando energía en cada ciclo; cuanto más débil es el amortiguamiento, más alto y más agudo es el pico.

Curva de resonancia: amplitud forzada frente a frecuencia del excitador. Cerca de f = f_0 la respuesta se dispara, tanto más cuanto más débil es el amortiguamiento. — Curva de resonancia: amplitud forzada frente a frecuencia del excitador. Cerca de $f = f_0$ la respuesta se dispara, tanto más cuanto más débil es el amortiguamiento.

Ejemplo 28.14 (La resonancia, para bien y para mal)

Un padre que empuja un columpio empuja a la frecuencia propia de este — la resonancia puesta a trabajar. En $2000$ , el nuevo puente del Milenio de Londres se balanceó de forma alarmante cuando los pasos de la multitud se acoplaron a una frecuencia propia cercana a $1\,\mathrm{Hz}$ ; estuvo cerrado dos años para instalarle amortiguadores. Y todo reloj de cuarzo mantiene su cristal cantando excitándolo en resonancia, a $32\,768\,\mathrm{Hz}$ .

28.5 Medir el tiempo

Método 28.15 (Cronometrar un periodo)

No cronometres nunca una sola oscilación: pon en marcha el cronómetro cuando la masa cruce la vertical (donde va más rápido y resulta más fácil de apreciar), cuenta $N = 50$ oscilaciones y divide entre $N$ — un error de reacción de $0.2\,\mathrm{s}$ se convierte en $4\,\mathrm{ms}$ sobre $T_0$ . Repite y compara las series.

Ejemplo 28.16 (Tres siglos de tic)

Huygens construyó el primer reloj de péndulo en $1657$ : el isocronismo llevó a los relojes de un cuarto de hora de deriva diaria a unos segundos, y a los péndulos compensados, a fracciones de segundo al día. El reloj de pulsera de cuarzo ( $1969$ ) cambió la varilla por un cristal que se flexiona a $32\,768\,\mathrm{Hz}$ : décimas de segundo al mes. Desde $1967$ , el propio segundo se define por una oscilación atómica: la duración de $9\,192\,631\,770$ periodos de la radiación de microondas de una transición interna del cesio-133 (Capítulo 34). Los mejores relojes de cesio derivan un segundo en cien millones de años.

Observación 28.17 (Por qué perseguir el nanosegundo)

Un receptor GPS halla su posición cronometrando señales de radio procedentes de satélites; la luz recorre $30\,\mathrm{cm}$ por nanosegundo, así que un error de reloj de un microsegundo te sitúa $300\,\mathrm{m}$ más allá. Por eso los satélites llevan relojes atómicos — y a esa precisión el ritmo de un reloj depende de la rapidez a la que se mueve y de la altura a la que está, un efecto que encontraremos en el Capítulo 35.

28.6 Ejercicios

Ejercicio 28.1 ★

(a) Calcula el periodo y la frecuencia de un péndulo simple de $1.00\,\mathrm{m}$ . (b) Se cuadruplica la longitud: ¿qué le pasa al periodo?

Solución

Solución de Ejercicio 28.1.

(a) $T_0 = 2\pi\sqrt{1.00/9.81} = 2.01\,\mathrm{s}$ ; $f_0 = 1/T_0 = 0.50\,\mathrm{Hz}$ . (b) $T_0 \propto \sqrt{L}$ : el periodo se duplica.

Ejercicio 28.2 ★

Un corazón en reposo late $72$ veces por minuto; el ala de una libélula, a $30\,\mathrm{Hz}$ . Da la frecuencia y el periodo del corazón, y el periodo del ala; ¿qué palabra del capítulo nombra la elevación máxima del pecho en cada latido?

Solución

Solución de Ejercicio 28.2.

Corazón: $f = 72/60 = 1.2\,\mathrm{Hz}$ , $T = 0.83\,\mathrm{s}$ . Ala: $T = 1/30 = 33\,\mathrm{ms}$ . La elevación del pecho es la amplitud.

Ejercicio 28.3 ★

Un móvil de $0.10\,\mathrm{kg}$ va sobre un resorte de $25\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ : calcula $T_0$ y $f_0$ . ¿Qué le hace al periodo duplicar la masa?

Solución

Solución de Ejercicio 28.3.

$T_0 = 2\pi\sqrt{0.10/25} = 0.40\,\mathrm{s}$ , $f_0 = 2.5\,\mathrm{Hz}$ . Al duplicar $m$ : $T_0 \times \sqrt{2} \approx 1.4$ .

Ejercicio 28.4 ★

Máximos sucesivos de un oscilador amortiguado: $2.0$ , $1.5$ , $1.13$ , $0.85\,\mathrm{cm}$ en $t = 0$ , $2.0$ , $4.0$ , $6.0\,\mathrm{s}$ . Lee el seudoperiodo; demuestra que la amplitud cae por un factor fijo en cada periodo; predice el máximo siguiente.

Solución

Solución de Ejercicio 28.4.

Seudoperiodo $2.0\,\mathrm{s}$ . Cocientes $1.5/2.0 = 1.13/1.5 = 0.85/1.13 = 0.75$ en cada periodo; máximo siguiente: $0.85 \times 0.75 \approx 0.64\,\mathrm{cm}$ .

Ejercicio 28.5 ★

Una astronauta se lleva a la Luna ( $g = 1.62\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ) un péndulo y un oscilador masa–resorte. ¿Por qué factor cambia cada periodo? Explícalo.

Solución

Solución de Ejercicio 28.5.

Péndulo: $T_0 \propto 1/\sqrt{g}$ , luego $\times\sqrt{9.81/1.62} = 2.46$ (más lento). Masa–resorte: sin cambio — en $2\pi\sqrt{m/k}$ no aparece $g$ .

Ejercicio 28.6 ★★

(a) Comprueba que $\sqrt{L/g}$ tiene dimensiones de tiempo. (b) ¿Por qué ninguna fórmula de $T_0$ construida con $m$ , $L$ y $g$ puede contener la masa? (c) ¿Podría este argumento producir alguna vez el $2\pi$ ?

Solución

Solución de Ejercicio 28.6.

(a) $[L/g] = \mathrm{m}/(\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}) = \mathrm{s}^{2}$ ; su raíz cuadrada es un tiempo. (b) El kilogramo solo aparece en $m$ : no hay nada más que pueda cancelarlo, así que $m$ no puede entrar. (c) Nunca: los números puros como $2\pi$ son invisibles para las dimensiones.

Ejercicio 28.7 ★★

Comprueba, derivando dos veces, que $x(t) = A\cos(2\pi t/T_0 + \varphi)$ satisface $\frac{d^2x}{dt^2} = -(k/m)\,x$ si y solo si $T_0 = 2\pi\sqrt{m/k}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 28.7.

$\frac{dx}{dt} = -\frac{2\pi}{T_0}A\sin(2\pi t/T_0 + \varphi)$ , luego $\frac{d^2x}{dt^2} = -(2\pi/T_0)^2 x(t)$ . La igualdad con $-(k/m)x$ para todo $t$ se da exactamente cuando $(2\pi/T_0)^2 = k/m$ , es decir, $T_0 = 2\pi\sqrt{m/k}$ .

Ejercicio 28.8 ★★

Un resorte de constante elástica $40\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ lleva un móvil de $0.20\,\mathrm{kg}$ con amplitud $3.0\,\mathrm{cm}$ . Calcula la energía mecánica y la rapidez máxima. ¿Dónde es máxima la rapidez? ¿Y nula?

Solución

Solución de Ejercicio 28.8.

$E_m = \tfrac12 kA^2 = \tfrac12 \times 40 \times 0.030^2 = 1.8 \times 10^{-2}\,\mathrm{J}$ ; $v_{\max} = \sqrt{2E_m/m} = \sqrt{0.18} = 0.42\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — en $x = 0$ ; nula en los extremos $x = \pm A$ .

Ejercicio 28.9 ★★

(a) Calcula la longitud del péndulo que bate el segundo ( $T_0 = 2.00\,\mathrm{s}$ ). (b) Su longitud crece un $1.0\,\%$ : con $\sqrt{1+x} \approx 1 + x/2$ , halla la variación relativa de $T_0$ y el error diario.

Solución

Solución de Ejercicio 28.9.

(a) $L = gT_0^2/4\pi^2 = 0.994\,\mathrm{m}$ . (b) $\Delta T_0/T_0 = \tfrac12 \times 1.0\,\% = 0.5\,\%$ : $86400 \times 0.005 \approx 4.3 \times 10^{2}\,\mathrm{s}$ — siete minutos de atraso al día.

Ejercicio 28.10 ★★

Un oscilador débilmente amortiguado pierde un $5.0\,\%$ de su energía en cada periodo. (a) ¿La caída de amplitud por periodo? (b) ¿Cuántos periodos para perder la mitad de la energía? (c) ¿Queda el seudoperiodo lejos de $T_0$ ?

Solución

Solución de Ejercicio 28.10.

(a) $A \propto \sqrt{E}$ : $\sqrt{0.95} \approx 0.975$ , una caída del $2.5\,\%$ . (b) $0.95^n = 0.5$ : $n = \ln 2/\ln(1/0.95) \approx 14$ periodos. (c) No: con amortiguamiento débil se queda a una fracción de porcentaje de $T_0$ .

Ejercicio 28.11 ★★

Explica con la curva de resonancia: (a) por qué empujar un columpio solo funciona a su propio ritmo; (b) por qué los soldados rompen el paso en las pasarelas; (c) por qué una lavadora vibra a una velocidad concreta mientras acelera el centrifugado.

Solución

Solución de Ejercicio 28.11.

(a) En $f_0$ cada empujón llega al paso y aporta energía; fuera del pico, los empujones ayudan y estorban alternativamente. (b) Marchar al paso es una excitación periódica; cerca del $f_0$ del puente treparía por el pico de resonancia. (c) El tambor barre la frecuencia propia del bastidor mientras acelera: resonancia momentánea y, después, ya por encima del pico.

Ejercicio 28.12 ★★★

Un reloj de péndulo, exacto al nivel del mar, se traslada a un observatorio donde $g = 9.78\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ . (a) ¿Adelanta o atrasa? ¿Cuántos segundos al día? (b) ¿Cuánto hay que acortar su péndulo de $0.994\,\mathrm{m}$ ?

Solución

Solución de Ejercicio 28.12.

(a) $T_0 \propto 1/\sqrt{g}$ : atrasa, en $\Delta T_0/T_0 = \tfrac12 \times 0.03/9.81 = 1.5 \times 10^{-3}$ , es decir, $\approx 132\,\mathrm{s}$ al día. (b) $L \propto g$ con $T_0$ fijo: hay que acortarlo $0.994 \times 0.03/9.81 \approx 3.0\,\mathrm{mm}$ .

Ejercicio 28.13 ★★★

Un móvil de $0.20\,\mathrm{kg}$ obedece $x(t) = A\cos(2\pi t/T_0)$ , con $A = 4.0\,\mathrm{cm}$ y $T_0 = 0.63\,\mathrm{s}$ . Calcula la rapidez máxima, la aceleración máxima, la constante elástica $k$ y la energía mecánica.

Solución

Solución de Ejercicio 28.13.

$v_{\max} = 2\pi A/T_0 = 2\pi \times 0.040/0.63 = 0.40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $a_{\max} = (2\pi/T_0)^2 A = 4.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; $k = m(2\pi/T_0)^2 = 20\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ ; $E_m = \tfrac12 kA^2 = 1.6 \times 10^{-2}\,\mathrm{J}$ .

Ejercicio 28.14 ★★★

Para medir $g$ : un péndulo con $L = 99.5 \pm 0.2\,\mathrm{cm}$ hace $20$ oscilaciones en $40.1 \pm 0.2\,\mathrm{s}$ . Calcula $g$ y su incertidumbre relativa (suma las de $L$ y $T_0^2$ ); ¿concuerda el resultado con $9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ?

Solución

Solución de Ejercicio 28.14.

$T_0 = 40.1/20 = 2.005\,\mathrm{s}$ ; $g = 4\pi^2 L/T_0^2 = 4\pi^2 \times 0.995/4.020 = 9.77\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ . Incertidumbre $\approx 0.2\,\% + 2 \times 0.5\,\% = 1.2\,\%$ , es decir, $\pm0.12\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ : el intervalo contiene $9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ — compatible.

Ejercicio 28.15 ★★★

Compara relojes por su deriva relativa (error dividido entre el tiempo transcurrido): un reloj de péndulo que atrasa $10\,\mathrm{s}$ al día, un reloj de cuarzo $0.5\,\mathrm{s}$ al mes y un reloj de cesio $1\,\mathrm{s}$ en cien millones de años: calcula los tres cocientes. Un reloj de GPS equivocado en $1\,\text{µ}\mathrm{s}$ : ¿error de posición? ¿Qué familia necesita el GPS?

Solución

Solución de Ejercicio 28.15.

Péndulo, $10/86400 \approx 1.2 \times 10^{-4}$ ; cuarzo, $0.5/2.6 \times 10^{6} \approx 1.9 \times 10^{-7}$ ; cesio, $1/3.2 \times 10^{15} \approx 3 \times 10^{-16}$ . Un error de $1\,\text{µ}\mathrm{s}$ son $1000 \times 30\,\mathrm{cm} = 300\,\mathrm{m}$ de posición: el GPS necesita la familia atómica.

28.7 Problema: El banco del relojero

Problema 28.1

Problema de fin de semana — el banco del relojero: un reloj de pared devuelto a la hora — cincuenta oscilaciones cronometradas, una varilla de latón que se dilata en verano, el empujón susurrado del escape, un aspirante de cuarzo — y el veredicto dictado en segundos al mes

A tu banco de trabajo llega un reloj de pared de péndulo que “va mal”. Trata su varilla de latón y su pesada lenteja como un péndulo simple de longitud eficaz $L$ , con una masa $m = 1.2\,\mathrm{kg}$ ; el engranaje cuenta cada oscilación completa como exactamente $2.000\,\mathrm{s}$ .

Parte I — Tomarle el pulso al reloj.

¿Por qué cronometrar $50$ oscilaciones y no una? Estima el error que queda sobre $T_0$ si tu tiempo de reacción es de $0.2\,\mathrm{s}$ .
El cronómetro marca $99.4\,\mathrm{s}$ para $50$ oscilaciones: ¿el periodo?
Deduce la longitud eficaz actual del péndulo.
¿Qué longitud daría exactamente $2.000\,\mathrm{s}$ ? ¿Debe la tuerca de reglaje subir o bajar la lenteja, y cuánto?
Sin ajustar, ¿adelanta o atrasa el reloj, y cuántos segundos al día?
Sensibilidad a $g$ : ¿el periodo en la Luna ( $g = 1.62\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ )? ¿El error diario en un observatorio donde $g = 9.80\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ?

Parte II — El bajón del verano. El latón se dilata: un calentamiento $\Delta\theta$ estira la varilla hasta $L' = L\,(1 + \lambda\, \Delta\theta)$ , con $\lambda = 1.9 \times 10^{-5}$ por kelvin. El reloj se ajusta a $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ .

Calcula $\Delta L$ para una habitación de verano a $25\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ .
Usando $\sqrt{1+x} \approx 1 + x/2$ , demuestra que $\Delta T_0 / T_0 = \tfrac12 \lambda\, \Delta\theta$ .
Calcula $\Delta T_0/T_0$ y el error diario de verano: ¿adelanta o atrasa?
Las mismas preguntas para un pasillo de invierno a $10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ .
Los relojes antiguos de precisión usaban péndulos “de parrilla” que alternaban varillas de latón con otras de acero (que se dilata alrededor de la mitad) en sentidos opuestos. Explica cómo puede eso mantener la marcha.

Parte III — El empujón susurrado. Con el escape desembragado, la oscilación, iniciada con amplitud $\theta_m = 2.00^\circ$ , reduce su amplitud a la mitad en $280\,\mathrm{s}$ ; en servicio, un empujoncito del escape en cada periodo mantiene $\theta_m$ constante.

¿Cuántos periodos dura ese descenso a la mitad?
En el extremo, la lenteja ha subido $h = L(1 - \cos\theta_m) \approx L\,\theta_m^2/2$ (en radianes): deduce $E_m = \tfrac12 m g L\,\theta_m^2$ y calcúlala (Capítulo 18).
La energía es proporcional al cuadrado de la amplitud: ¿qué fracción de $E_m$ se pierde por periodo?
Deduce la energía de cada empujón y la potencia media necesaria.
La pesa motriz $M = 2.5\,\mathrm{kg}$ desciende $h = 1.0\,\mathrm{m}$ por semana: ¿basta esa energía, y con qué rendimiento?

Parte IV — El aspirante de cuarzo. Un movimiento de cuarzo oscila a $f = 32\,768\,\mathrm{Hz}$ y deriva unos $0.3\,\mathrm{s}$ al mes; el péndulo restaurado sigue derivando $0.5\,\mathrm{s}$ al día.

Calcula el periodo del cuarzo. Demuestra que $32\,768 = 2^{15}$ : ¿por qué una potencia de dos es justo lo que quiere el circuito de un reloj?
Calcula las derivas relativas del cuarzo y del péndulo restaurado, y cada una en segundos al mes. ¿Quién gana, y por qué factor?
El patrón de cesio — $9\,192\,631\,770$ periodos hacen un segundo — deriva $1\,\mathrm{s}$ en cien millones de años: ¿su deriva relativa? ¿Cuántos órdenes de magnitud por debajo del cuarzo, y por qué lo exige el GPS?
El veredicto, en una frase con cifras: ¿qué se gana el reloj restaurado en la pared, y de quién es ahora el segundo?

Solución

Solución de Problema 28.1.

1. El error de reacción de $\approx 0.2\,\mathrm{s}$ queda dividido entre $50$ : unos $4\,\mathrm{ms}$ sobre $T_0$ .

2. $T = 99.4/50 = 1.988\,\mathrm{s}$ .

3. $L = gT^2/4\pi^2 = 9.81 \times 1.988^2/4\pi^2 \approx 0.982\,\mathrm{m}$ .

4. $L = 0.994\,\mathrm{m}$ (el péndulo que bate el segundo): bajar la lenteja, alargando $\approx 1.2\,\mathrm{cm}$ .

5. Demasiado corto y, por tanto, demasiado rápido: adelanta $(2.000 - 1.988)/1.988 \times 86400 \approx 5.2 \times 10^{2}\,\mathrm{s} \approx 8.7$ minutos al día.

6. Luna: $\times\sqrt{9.81/1.62} = 2.46$ — inservible. Observatorio: $\Delta T_0/T_0 = \tfrac12 \times 0.01/9.81 = 5.1 \times 10^{-4}$ : atrasa $\approx 44\,\mathrm{s}$ al día.

7. $\Delta L = L\lambda\,\Delta\theta = 0.994 \times 1.9 \times 10^{-5} \times 5.0 \approx 9.4 \times 10^{-5}\,\mathrm{m} \approx 0.1\,\mathrm{mm}$ .

8. $T' = 2\pi\sqrt{L(1 + \lambda\Delta\theta)/g} = T_0\sqrt{1 + \lambda\Delta\theta} \approx T_0\,(1 + \tfrac12 \lambda\Delta\theta)$ .

9. $\Delta T_0/T_0 = \tfrac12 \times 1.9 \times 10^{-5} \times 5.0 = 4.8 \times 10^{-5}$ : $86400 \times 4.8 \times 10^{-5} \approx 4.1\,\mathrm{s}$ al día, de atraso (varilla más larga, periodo más largo).

10. $\Delta\theta = -10\,\mathrm{K}$ : $\Delta T_0/T_0 = -9.5 \times 10^{-5}$ , adelanta $\approx 8.2\,\mathrm{s}$ al día.

11. El acero y el latón se dilatan de forma distinta; colgados en sentidos alternos, las varillas de latón bajan la lenteja mientras las de acero la suben. Dimensionadas para que ambos desplazamientos se cancelen, la longitud eficaz — y la marcha — sobreviven a las estaciones.

12. $280/2.000 = 140$ periodos.

13. $\theta_m = 2.00^\circ = 0.0349\,\mathrm{rad}$ : $E_m = \tfrac12 \times 1.2 \times 9.81 \times 0.994 \times 0.0349^2 \approx 7.1 \times 10^{-3}\,\mathrm{J}$ .

14. En cada periodo la amplitud se reduce por $2^{-1/140} \approx 0.9951$ , y la energía por $0.9951^2 \approx 0.990$ : alrededor del $1.0\,\%$ de $E_m$ por periodo.

15. Empujón $\approx 0.010 \times 7.1 \times 10^{-3} = 7.1 \times 10^{-5}\,\mathrm{J}$ ; potencia $7.1 \times 10^{-5}/2.0 \approx 3.5 \times 10^{-5}\,\mathrm{W}$ — decenas de microvatios.

16. Una semana son $604800/2.0 = 3.02 \times 10^{5}$ periodos, que exigen $3.02 \times 10^{5} \times 7.1 \times 10^{-5} \approx 21\,\mathrm{J}$ ; la pesa suministra $Mgh = 2.5 \times 9.81 \times 1.0 = 24.5\,\mathrm{J}$ : basta, con un rendimiento de $21/24.5 \approx 88\,\%$ .

17. $T = 1/32\,768 = 30.5\,\text{µ}\mathrm{s}$ . $32\,768 = 2^{15}$ : quince etapas de división por dos convierten la señal del cristal en un tic de $1\,\mathrm{Hz}$ exacto.

18. Cuarzo: $0.3/2.6 \times 10^{6} \approx 1.2 \times 10^{-7}$ . Péndulo: $0.5/86400 \approx 5.8 \times 10^{-6}$ , es decir, $\approx 15\,\mathrm{s}$ al mes. El cuarzo gana por un factor $\approx 50$ .

19. $1/3.2 \times 10^{15} \approx 3 \times 10^{-16}$ : nueve órdenes de magnitud por debajo del cuarzo. El GPS cronometra señales al nanosegundo — $30\,\mathrm{cm}$ de recorrido de la luz cada uno —, así que solo sirven los relojes atómicos.

20. Restaurado, el reloj de pared se mantiene en $\pm15\,\mathrm{s}$ al mes frente a los $\pm0.3\,\mathrm{s}$ del cuarzo: consérvalo por la campanada y fíate del cuarzo para el tren — y el segundo, en sí mismo, pertenece ya al átomo de cesio.