Física de secundaria · Grades 10–12

8Señales y ondas

Todos los mensajes que has recibido en tu vida llegaron como una señal: una voz apretada contra tu tímpano, esta página que te alcanzó como un parpadeo de radio. Detrás de la variedad hay una sola idea — una magnitud física que varía en el tiempo — y una sola caja de herramientas: periodo, frecuencia, amplitud y el arte de cronometrar un retraso. Con ella, un barco mide el fondo del mar y un médico cuenta latidos.

8.1 Las señales transportan información

Definición 8.1 (Señal)

Una señal es una magnitud física que varía en el tiempo para transportar información: la presión del aire sobre tu tímpano, la tensión en los bornes de un micrófono, el brillo de la luz en una fibra óptica. Para estudiar una señal se registra en función del tiempo y se lee la información en la curva.

En una llamada de teléfono, esa misma información cambia de portador varias veces: presión en el aire, después tensión en el micrófono, después radio en la antena — y al revés en el otro extremo. Un solo vocabulario sirve para todos; este capítulo lo construye.

8.2 Las señales periódicas

Definición 8.2 (Señal periódica, periodo)

Una señal es periódica cuando se repite idéntica a intervalos regulares. El periodo $T$ es la duración de un ciclo completo, en segundos.

Definición 8.3 (Frecuencia)

La frecuencia de una señal periódica es el número de ciclos por segundo:

f = \frac{1}{T} .

Su unidad, un ciclo por segundo, es el hercio ( $\mathrm{Hz}$ ), con los múltiplos habituales $\mathrm{kHz}$ , $\mathrm{MHz}$ y $\mathrm{GHz}$ .

Definición 8.4 (Amplitud)

La amplitud de una señal periódica es su desviación máxima respecto del valor de reposo. Para una tensión que oscila simétricamente en torno a cero, la amplitud es el valor de pico; de cresta a valle se mide el doble de la amplitud (el valor de pico a pico).

Ejemplo 8.5 (La red eléctrica y el la del diapasón)

La tensión de la red eléctrica oscila a $f = 50\,\mathrm{Hz}$ : su periodo vale $T = 1/f = 0.020\,\mathrm{s} = 20\,\mathrm{ms}$ . El la de afinación de una orquesta es una señal de presión a $440\,\mathrm{Hz}$ : un ciclo dura $T = 1/440 = 2.3\,\mathrm{ms}$ . A mayor frecuencia, ciclo más corto: $f$ y $T$ son inversos el uno del otro.

Una señal periódica: el patrón se repite cada T segundos, y la amplitud es la desviación máxima respecto del valor de reposo. — Una señal periódica: el patrón se repite cada $T$ segundos, y la amplitud es la desviación máxima respecto del valor de reposo.

8.3 Leer un oscilograma

Definición 8.6 (Osciloscopio)

Un osciloscopio representa una tensión frente al tiempo; la curva sobre su pantalla cuadriculada es un oscilograma. Dos ajustes convierten las divisiones de la pantalla en valores físicos: la base de tiempos (segundos por división horizontal) y la ganancia vertical (voltios por división vertical).

Método 8.7 (De la pantalla a los números)

Contar las divisiones horizontales que abarca un ciclo completo (de cresta a cresta es lo más seguro); multiplicar por la base de tiempos para obtener $T$ , y después $f = 1/T$ .
Contar las divisiones verticales desde la línea central hasta una cresta y multiplicar por la ganancia para obtener la amplitud (de cresta a valle se obtiene el valor de pico a pico: hay que dividirlo entre dos).

Ejemplo 8.8 (Una lectura completa)

En el oscilograma siguiente, la base de tiempos es de $5\,\mathrm{ms}$ por división y la ganancia, de $2\,\mathrm{V}$ por división. Un ciclo abarca $4.0$ divisiones: $T = 4.0 \times 5\,\mathrm{ms} = 20\,\mathrm{ms}$ y $f = 1/0.020\,\mathrm{s} = 50\,\mathrm{Hz}$ — otra vez la red eléctrica. Una cresta queda $3.0$ divisiones por encima del eje: la amplitud vale $3.0 \times 2\,\mathrm{V} = 6.0\,\mathrm{V}$ .

Un oscilograma, con base de tiempos 5\, ms/div y ganancia 2\, V/div: un ciclo abarca 4.0 divisiones (T = 20\, ms, f = 50\, Hz) y la cresta queda 3.0 divisiones por encima (amplitud 6.0\, V). — Un oscilograma, con base de tiempos $5\,\mathrm{ms}$ /div y ganancia $2\,\mathrm{V}$ /div: un ciclo abarca $4.0$ divisiones ( $T = 20\,\mathrm{ms}$ , $f = 50\,\mathrm{Hz}$ ) y la cresta queda $3.0$ divisiones por encima (amplitud $6.0\,\mathrm{V}$ ).

8.4 Señales sonoras y electromagnéticas

Definición 8.9 (Sonido)

El sonido es una señal de presión: un objeto que vibra — una cuerda, una membrana, las cuerdas vocales — empuja rítmicamente sobre el aire, y las compresiones se propagan hacia fuera a unos $340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Un micrófono convierte la presión que llega en una tensión; el tímpano, en impulsos nerviosos. El sonido necesita un medio: una campana que suena bajo una campana de vacío enmudece a medida que se extrae el aire.

Definición 8.10 (Onda)

Una perturbación que se propaga — el patrón de compresiones de un sonido, la ondulación de un estanque, un pulso de radio — es una onda. El medio, cuando lo hay, se queda donde está: cada porción de agua cabecea en su sitio mientras la ondulación cruza el estanque. La geometría de las ondas — longitud de onda, interferencias, difracción — se retoma en un capítulo posterior; a este solo le hacen falta sus velocidades.

Definición 8.11 (Ultrasonidos e infrasonidos)

El oído humano escucha sonidos entre unos $20\,\mathrm{Hz}$ y $20\,\mathrm{kHz}$ (el techo baja con la edad). El sonido por encima de $20\,\mathrm{kHz}$ son los ultrasonidos — los murciélagos cazan a $50\,\mathrm{kHz}$ y los ecógrafos médicos exploran el cuerpo con unos pocos megahercios. El sonido por debajo de $20\,\mathrm{Hz}$ son los infrasonidos, que perciben los elefantes y los sismómetros.

Proposición 8.12 (Señales electromagnéticas)

La radio, el wifi y la luz son señales electromagnéticas: una sola familia, que se propaga por el vacío — sin necesidad de medio — y toda ella a una misma velocidad, la de la luz del Capítulo 3,

c = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \quad \text{(casi la misma en el aire).}

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

Observación 8.13

Aquí esto es un hecho experimental — la luz del Sol cruza $150$ millones de kilómetros de espacio vacío; se deduce honradamente en el volumen del segundo año a partir de las leyes de la electricidad y el magnetismo. Conviene retener el contraste: el sonido es una vibración del medio y muere sin él; una señal electromagnética lleva consigo su propio campo a través del vacío, un millón de veces más deprisa.

Frecuencias sonoras en escala logarítmica (cada paso × 10). El oído escucha de 20\, Hz a 20\, kHz; por debajo están los infrasonidos y por encima, los ultrasonidos. — Frecuencias sonoras en escala logarítmica (cada paso $\times 10$ ). El oído escucha de $20\,\mathrm{Hz}$ a $20\,\mathrm{kHz}$ ; por debajo están los infrasonidos y por encima, los ultrasonidos.

8.5 Los ecos: distancias a partir de retrasos

Una señal que se mueve a la velocidad $v$ recorre $d = v\,t$ en un tiempo $t$ : todo retraso es una distancia disfrazada. Mejor aún: se envía un pulso corto contra un obstáculo y se cronometra su eco — la ida y vuelta cubre $2d$ .

Método 8.14 (Medir distancias con ecos)

Enviar un pulso corto y medir el tiempo $t$ de ida y vuelta del eco.
Tomar la velocidad $v$ de la señal en el medio atravesado.
El pulso ha recorrido $2d = v\,t$ , luego $d = \dfrac{v\,t}{2}$ .

Los pulsos de sonido en el agua dan el sonar ( $v \approx 1500\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ); los pulsos de radio en el aire dan el radar ( $v = c$ ); y los pulsos de ultrasonidos en el cuerpo dan el ecógrafo ( $v \approx 1540\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ en tejido blando).

Ejemplo 8.15 (El sonar)

El sonar de un barco emite un pulso y el eco del fondo vuelve al cabo de $t = 0.80\,\mathrm{s}$ : la profundidad vale $d = \frac{1500 \times 0.80}{2} = 600\,\mathrm{m}$ . Olvidarse del factor $2$ duplica el océano.

Un pulso de sonar baja y vuelve: el retraso medido t cubre 2d, así que la profundidad vale d = v\,t/2 con v 1500\, m/ s en agua de mar. — Un pulso de sonar baja y vuelve: el retraso medido $t$ cubre $2d$ , así que la profundidad vale $d = v\,t/2$ con $v \approx 1500\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ en agua de mar.

Ejemplo 8.16 (El radar)

Un radar de aeropuerto recibe el eco de un avión $0.30\,\mathrm{ms}$ después del pulso: $d = \frac{3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \times 3.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}}{2} = 45\,\mathrm{km}$ . Como $c$ es tan grande, el radar vive con relojes de microsegundos: cronometrar la luz es trabajo de precisión.

Ejemplo 8.17 (El corazón como señal)

Cada latido envía un pequeño pulso de tensión a través del tórax; unos electrodos lo registran como el electrocardiograma (ECG), una señal casi periódica. Si las espigas altas distan $T = 0.75\,\mathrm{s}$ , el corazón late a $f = 1/0.75 = 1.33\,\mathrm{Hz}$ , es decir $1.33 \times 60 = 80$ latidos por minuto: leer $T$ en un trazado es como te toma el pulso un cardiólogo.

8.6 Ejercicios

Ejercicio 8.1 ★

Calcula la frecuencia de la señal periódica de periodo (a) $T = 20\,\mathrm{ms}$ ; (b) $T = 4.0\,\mathrm{ms}$ ; (c) $T = 50\,\text{µ}\mathrm{s}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 8.1.

$f = 1/T$ : (a) $1/0.020\,\mathrm{s} = 50\,\mathrm{Hz}$ ; (b) $1/4.0 \times 10^{-3}\,\mathrm{s} = 250\,\mathrm{Hz}$ ; (c) $1/5.0 \times 10^{-5}\,\mathrm{s} = 20\,\mathrm{kHz}$ .

Ejercicio 8.2 ★

Calcula el periodo de (a) la red eléctrica de $50\,\mathrm{Hz}$ ; (b) un la de $440\,\mathrm{Hz}$ ; (c) una señal de wifi de $2.4\,\mathrm{GHz}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 8.2.

$T = 1/f$ : (a) $20\,\mathrm{ms}$ ; (b) $1/440 = 2.3\,\mathrm{ms}$ ; (c) $1/2.4 \times 10^{9}\,\mathrm{Hz} = 0.42\,\mathrm{ns}$ .

Ejercicio 8.3 ★

Clasifica como infrasonido, sonido audible o ultrasonido: $12\,\mathrm{Hz}$ ; $440\,\mathrm{Hz}$ ; $18\,\mathrm{kHz}$ ; $40\,\mathrm{kHz}$ (un sensor de aparcamiento); $5\,\mathrm{MHz}$ (una sonda médica).

Solución

Solución de Ejercicio 8.3.

$12\,\mathrm{Hz}$ : infrasonido. $440\,\mathrm{Hz}$ y $18\,\mathrm{kHz}$ : audibles (el segundo, solo para oídos jóvenes). $40\,\mathrm{kHz}$ y $5\,\mathrm{MHz}$ : ultrasonidos.

Ejercicio 8.4 ★

En un osciloscopio ajustado a $2\,\mathrm{ms}$ por división y $0.5\,\mathrm{V}$ por división, un ciclo abarca $5.0$ divisiones y una cresta queda $4.0$ divisiones por encima del eje. Halla $T$ , $f$ y la amplitud.

Solución

Solución de Ejercicio 8.4.

$T = 5.0 \times 2\,\mathrm{ms} = 10\,\mathrm{ms}$ , luego $f = 100\,\mathrm{Hz}$ ; amplitud $4.0 \times 0.5\,\mathrm{V} = 2.0\,\mathrm{V}$ .

Ejercicio 8.5 ★

Ves el relámpago y oyes el trueno $6.0\,\mathrm{s}$ después. ¿A qué distancia cayó ( $v_{\text{sound}} = 340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ )? ¿Por qué se puede despreciar el tiempo de viaje de la luz?

Solución

Solución de Ejercicio 8.5.

$d = 340 \times 6.0 = 2040\,\mathrm{m} \approx 2.0\,\mathrm{km}$ . La luz recorre esa distancia en $2040/(3.00\times10^{8}) \approx 7\,\text{µ}\mathrm{s}$ , un millón de veces menos que $6.0\,\mathrm{s}$ : el destello marca el instante del impacto.

Ejercicio 8.6 ★★

Un eco de sonar vuelve del fondo marino al cabo de $0.60\,\mathrm{s}$ ( $v = 1500\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ en agua de mar). ¿Por qué hay que dividir entre dos el producto $v\,t$ ? Calcula la profundidad. ¿Cuánto tardaría el eco sobre una fosa de $1200\,\mathrm{m}$ ?

Solución

Solución de Ejercicio 8.6.

El sonido baja y vuelve, recorriendo $2d$ : $d = \frac{1500 \times 0.60}{2} = 450\,\mathrm{m}$ . Sobre la fosa: $t = 2d/v = 2 \times 1200/1500 = 1.6\,\mathrm{s}$ .

Ejercicio 8.7 ★★

Un radar de aeropuerto recibe el eco de un avión al cabo de $0.24\,\mathrm{ms}$ y, exactamente $1.0\,\mathrm{s}$ después, un segundo eco al cabo de $0.238\,\mathrm{ms}$ . Calcula las dos distancias y después la velocidad del avión. ¿Se está acercando?

Solución

Solución de Ejercicio 8.7.

$d_1 = \frac{3.00\times10^{8} \times 2.4\times10^{-4}}{2} = 36.0\,\mathrm{km}$ y $d_2 = 35.7\,\mathrm{km}$ : el avión recorrió $300\,\mathrm{m}$ en $1.0\,\mathrm{s}$ , luego $v = 300\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 1100\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ , y se acerca.

Ejercicio 8.8 ★★

Un ECG se imprime a $25\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$ ; las espigas altas distan $20\,\mathrm{mm}$ . Halla el periodo y la frecuencia cardíaca en latidos por minuto. Hay taquicardia por encima de $100$ latidos por minuto: ¿por debajo de qué separación entre espigas aparece en este papel?

Solución

Solución de Ejercicio 8.8.

$T = 20\,\mathrm{mm}/25\,\mathrm{mm}/\mathrm{s} = 0.80\,\mathrm{s}$ , luego $f = 1.25\,\mathrm{Hz}$ : $75$ latidos por minuto. Para $100$ latidos por minuto, $T = 0.60\,\mathrm{s}$ , es decir $25 \times 0.60 = 15\,\mathrm{mm}$ : la taquicardia aparece por debajo de $15\,\mathrm{mm}$ .

Ejercicio 8.9 ★★

Tienes que mostrar una señal de $200\,\mathrm{Hz}$ y amplitud $3.0\,\mathrm{V}$ en una pantalla de $10$ divisiones horizontales y $8$ verticales ( $4$ por encima de la línea central). Elige una base de tiempos que muestre unos dos ciclos completos y una ganancia que aproveche casi toda la pantalla sin recortar la señal.

Solución

Solución de Ejercicio 8.9.

$T = 1/200 = 5.0\,\mathrm{ms}$ ; dos ciclos duran $10\,\mathrm{ms}$ , repartidos en $10$ divisiones: base de tiempos de $1\,\mathrm{ms}$ por división. La cresta tiene que caber en $4$ divisiones: ganancia de al menos $3.0/4 = 0.75\,\mathrm{V}$ por división — se toma $1\,\mathrm{V}$ por división (cresta a $3.0$ divisiones).

Ejercicio 8.10 ★★

Una sonda médica envía un pulso de ultrasonidos al abdomen ( $v = 1540\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ en tejido blando) y oye ecos al cabo de $40\,\text{µ}\mathrm{s}$ (pared anterior de un órgano) y $60\,\text{µ}\mathrm{s}$ (pared posterior). Halla la profundidad de cada pared y el grosor del órgano.

Solución

Solución de Ejercicio 8.10.

$d = v\,t/2$ : pared anterior, $\frac{1540 \times 4.0\times10^{-5}}{2} = 3.1\,\mathrm{cm}$ ; pared posterior, $\frac{1540 \times 6.0\times10^{-5}}{2} = 4.6\,\mathrm{cm}$ ; grosor, unos $1.5\,\mathrm{cm}$ .

Ejercicio 8.11 ★★

Un concierto se retransmite en directo. ¿Quién oye antes un golpe de tambor: un oyente a $30\,\mathrm{m}$ del escenario o un oyente de radio a $3000\,\mathrm{km}$ ? ¿Por cuánto?

Solución

Solución de Ejercicio 8.11.

Sonido: $30/340 = 0.088\,\mathrm{s}$ . Radio: $3.0\times10^{6}/(3.00\times10^{8}) = 0.010\,\mathrm{s}$ . El oyente de radio, que está lejísimos, oye antes el tambor, por unos $78\,\mathrm{ms}$ .

Ejercicio 8.12 ★★★

Un murciélago emite pulsos de ultrasonidos de $3.0\,\mathrm{ms}$ de duración y no puede oír un eco mientras sigue emitiendo. ¿Por debajo de qué distancia resulta indetectable una polilla? ¿Cuál es el retraso del eco para una polilla situada a $1.7\,\mathrm{m}$ ? ¿Por qué tiene que acortar sus pulsos en la aproximación final?

Solución

Solución de Ejercicio 8.12.

Mientras emite durante $3.0\,\mathrm{ms}$ , el murciélago está sordo a los ecos, es decir, a todo lo que esté a menos de $d = \frac{340 \times 3.0\times10^{-3}}{2} = 0.51\,\mathrm{m}$ . Polilla a $1.7\,\mathrm{m}$ : $t = 2 \times 1.7/340 = 10\,\mathrm{ms}$ . Al acercarse, el eco vuelve cada vez antes; el pulso tiene que terminar antes de que llegue, así que hay que acortarlo.

Ejercicio 8.13 ★★★

Das una palmada frente a un acantilado y oyes el eco $1.5\,\mathrm{s}$ después. ¿A qué distancia está el acantilado? Caminas $100\,\mathrm{m}$ derecho hacia él: ¿cuál es el nuevo retraso? El oído deja de separar la palmada del eco por debajo de unos $0.1\,\mathrm{s}$ : ¿a partir de qué distancia desaparece el eco dentro de la palmada?

Solución

Solución de Ejercicio 8.13.

$d = \frac{340 \times 1.5}{2} = 255\,\mathrm{m}$ . A $155\,\mathrm{m}$ : $t = 2 \times 155/340 = 0.91\,\mathrm{s}$ . El eco y la palmada se funden cuando $t < 0.1\,\mathrm{s}$ , es decir a menos de $d < \frac{340 \times 0.1}{2} = 17\,\mathrm{m}$ .

Ejercicio 8.14 ★★★

Con $5\,\mathrm{ms}$ por división, un ciclo de una señal abarca $3.0$ divisiones de una pantalla de $10$ divisiones.

Halla $T$ y $f$ .
Se cambia la base de tiempos a $2\,\mathrm{ms}$ por división: ¿cuántas divisiones abarca ahora un ciclo?
¿Cuántos ciclos completos caben en la pantalla con cada ajuste?

Solución

Solución de Ejercicio 8.14.

1. $T = 3.0 \times 5\,\mathrm{ms} = 15\,\mathrm{ms}$ , $f = 1/0.015 \approx 67\,\mathrm{Hz}$ . 2. $15\,\mathrm{ms}/2\,\mathrm{ms} = 7.5$ divisiones. 3. La pantalla muestra $50\,\mathrm{ms}$ y después $20\,\mathrm{ms}$ : $3$ ciclos completos ( $50/15 = 3.3$ ) y luego $1$ ( $20/15 = 1.3$ ).

Ejercicio 8.15 ★★★

Un “ping” mide el tiempo de ida y vuelta de un paquete de internet hasta un servidor situado a $1200\,\mathrm{km}$ . ¿Cuál es el menor tiempo de ida y vuelta concebible (con señales a $c$ )? En una fibra óptica la luz viaja a unos $2.0 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : recalcúlalo. El ping medido es de $40\,\mathrm{ms}$ : da dos razones por las que supera a tus respuestas.

Solución

Solución de Ejercicio 8.15.

1. $t = 2 \times 1.2\times10^{6}/(3.00\times10^{8}) = 8.0\,\mathrm{ms}$ . 2. $2 \times 1.2\times10^{6}/(2.0\times10^{8}) = 12\,\mathrm{ms}$ . 3. La fibra no va en línea recta entre las dos máquinas, y cada enrutador y cada servidor del camino añaden retraso de procesamiento.

8.7 Problema: el sonar, la tormenta y el cardiograma

Problema 8.1

Problema de fin de semana — leer las señales del mundo: una sola ley, $d = v\,t$ , mide una tormenta, cartografía un fondo marino, cuenta un latido y deja entrever cómo funciona el GPS

Un barco de pesca trabaja en una noche de tormenta: relámpagos en el horizonte, el sonar barriendo el fondo, el corazón del patrón sobre la tira de papel del médico y un receptor GPS escuchando a los satélites. Cuatro instrumentos, una ley. Toma $v_{\text{sound}} = 340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ en el aire, $1500\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ en el agua de mar y $c = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

Parte I — La tormenta.

Un destello; el trueno llega $9.0\,\mathrm{s}$ después. ¿A qué distancia está?
Calcula el tiempo de viaje de la luz en esa distancia y justifica que se trate el destello como instantáneo.
Los marineros cuentan los segundos entre el destello y el trueno y los dividen entre tres para obtener kilómetros. Justifica la regla.
Cinco minutos después, un destello da $6.0\,\mathrm{s}$ . ¿A qué distancia está ahora? Halla la velocidad media de acercamiento de la tormenta en $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ y en $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .
El trueno retumba en lugar de restallar: el canal del rayo mide kilómetros, así que sus partes están a distancias distintas. Si el canal se extiende de $2.0\,\mathrm{km}$ a $5.0\,\mathrm{km}$ del barco, ¿cuánto dura el retumbo?

Parte II — El sonar.

El sonar emite un pulso; el fondo responde en $0.90\,\mathrm{s}$ . ¿Profundidad?
Sobre la plataforma continental el eco se acorta a $0.20\,\mathrm{s}$ . ¿Profundidad?
Un pulso devuelve dos ecos, a $0.16\,\mathrm{s}$ y $0.20\,\mathrm{s}$ . Interprétalos; ¿a qué altura sobre el fondo nada el banco de peces?
El sonar emite un pulso cada $0.50\,\mathrm{s}$ . ¿Cuál es la mayor profundidad que puede medir sin confusión, y qué falla más allá?
En el aire, ese mismo retraso de $0.60\,\mathrm{s}$ significaría qué distancia? Moraleja: ¿qué hay que saber antes de convertir un retraso en una distancia?

Parte III — El cardiograma.

Las espigas del ECG del patrón distan $0.86\,\mathrm{s}$ . ¿Frecuencia? ¿Latidos por minuto?
La tira avanza a $25\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$ . ¿Qué separación entre espigas midió el médico?
Después de izar las redes, la separación es de $15\,\mathrm{mm}$ . ¿Nueva frecuencia cardíaca?
El joven marinero de cubierta, remero entrenado, descansa a $50$ latidos por minuto. ¿Periodo? ¿Separación en la tira?
¿Es un ECG estrictamente periódico? Entonces, ¿qué lee el médico en el trazado?

Parte IV — De vuelta a casa con la luz.

El barco llama por radio al puerto, a $50\,\mathrm{km}$ . ¿Cuánto tarda el mensaje? ¿Cuánto tardaría el sonido?
Un satélite GPS orbita a unos $20\,200\,\mathrm{km}$ de altura. ¿Cuánto tarda su señal en llegar al barco?
El GPS convierte tiempo en posición. ¿Qué error de distancia provoca un error de reloj de $1.0\,\text{µ}\mathrm{s}$ ? ¿Qué precisión temporal exige una posición con $3.0\,\mathrm{m}$ de error?
¿Por qué no podría existir un GPS basado en el sonido, ni siquiera en principio?
Final: enumera las tres velocidades usadas esta noche y la única ley que hay detrás de los cuatro instrumentos, y enuncia después en una frase la costumbre para medir distancias con retrasos.

Solución

Solución de Problema 8.1.

1. $d = 340 \times 9.0 = 3060\,\mathrm{m} \approx 3.1\,\mathrm{km}$ .

2. $3060/(3.00\times10^{8}) \approx 10\,\text{µ}\mathrm{s}$ , un millón de veces menos que $9.0\,\mathrm{s}$ : el destello marca el instante del impacto.

3. En $3\,\mathrm{s}$ el sonido recorre $340 \times 3 = 1020\,\mathrm{m} \approx 1\,\mathrm{km}$ : los segundos divididos entre tres dan kilómetros.

4. $d = 340 \times 6.0 = 2040\,\mathrm{m}$ . La tormenta se ha acercado $1020\,\mathrm{m}$ en $300\,\mathrm{s}$ : $v = 3.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 12\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ , rumbo al barco.

5. El extremo cercano se oye al cabo de $2000/340 = 5.9\,\mathrm{s}$ y el lejano al cabo de $5000/340 = 14.7\,\mathrm{s}$ : el retumbo dura unos $8.8\,\mathrm{s}$ .

6. $d = 1500 \times 0.90/2 = 675\,\mathrm{m}$ .

7. $d = 1500 \times 0.20/2 = 150\,\mathrm{m}$ .

8. Dos obstáculos: un banco de peces a $1500 \times 0.16/2 = 120\,\mathrm{m}$ y el fondo a $150\,\mathrm{m}$ . El banco nada $30\,\mathrm{m}$ por encima del fondo.

9. El eco tiene que volver antes del pulso siguiente: $d_{\max} = 1500 \times 0.50/2 = 375\,\mathrm{m}$ . Desde aguas más profundas, el eco llega después del siguiente pulso y se le atribuye a él: la pantalla muestra un fondo falso, mucho menos profundo de lo real.

10. En el aire, $340 \times 0.60/2 = 102\,\mathrm{m}$ en lugar de $450\,\mathrm{m}$ . Un retraso se convierte en distancia solo cuando se sabe cuál es el portador y su velocidad en el medio atravesado.

11. $f = 1/0.86 = 1.16\,\mathrm{Hz}$ , es decir $1.16 \times 60 \approx 70$ latidos por minuto.

12. $25 \times 0.86 = 21.5\,\mathrm{mm}$ .

13. $T = 15/25 = 0.60\,\mathrm{s}$ : $100$ latidos por minuto.

14. $T = 60/50 = 1.2\,\mathrm{s}$ ; separación $25 \times 1.2 = 30\,\mathrm{mm}$ .

15. No: el periodo se desplaza de un latido a otro con el esfuerzo, la respiración y el estrés. El médico lee el periodo (la frecuencia), su regularidad y la forma de cada ciclo — el diagnóstico está en la señal.

16. Radio: $5.0\times10^{4}/(3.00\times10^{8}) = 0.17\,\mathrm{ms}$ — instantáneo para los sentidos humanos. Sonido: $50\,000/340 \approx 147\,\mathrm{s}$ , dos minutos y medio.

17. $t = 2.02\times10^{7}/(3.00\times10^{8}) = 67\,\mathrm{ms}$ .

18. $c \times 1.0\,\text{µ}\mathrm{s} = 300\,\mathrm{m}$ . Para una posición con $3.0\,\mathrm{m}$ de error: $3.0/(3.00\times10^{8}) = 10\,\mathrm{ns}$ — y por eso los satélites GPS llevan relojes atómicos.

19. Los satélites están en el vacío y el sonido necesita un medio: no saldría ninguna señal del satélite. (Y aun concediendo aire en todo el trayecto, $20\,200\,\mathrm{km}$ a $340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ son más de $16\,\mathrm{h}$ — una posición con horas de retraso.)

20. $340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ (sonido en el aire), $1500\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ (sonido en agua de mar) y $c = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ (radio y luz); la ley es $d = v\,t$ , dividida entre dos para un eco. La costumbre: saber cuál es el portador, saber su velocidad en el medio y cronometrar el retraso — un retraso es una distancia disfrazada.