Física de secundaria · Grades 10–12

22La luz como onda: difracción e interferencias

Inclina una lámina de jabón hacia una ventana: los colores se deslizan por ella, aunque nada del jabón ni del agua sea de color. Apunta con un láser a un solo cabello: la pared de detrás no muestra una sombra fina como un pelo, sino una raya brillante, cruzada por líneas oscuras y miles de veces más ancha que el cabello. Los rayos que marchan rectos (Capítulo 3) no explican ninguna de las dos escenas. Este capítulo asciende la luz a onda de pleno derecho — medio micrómetro de cresta a cresta — y después cobra la idea: un láser y una pared desnuda medirán un cabello, una longitud de onda y los surcos de un disco.

22.1 La luz es una onda

Definición 22.1 (Ondas luminosas)

La luz monocromática — un color puro, que ningún prisma puede descomponer más (Capítulo 2) — es una onda luminosa periódica: cruza el vacío a $c = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ y queda caracterizada por su frecuencia $f$ o por su longitud de onda en el vacío $\lambda = c/f$ , la distancia de cresta a cresta del Capítulo 20. El ojo responde desde unos $400\,\mathrm{nm}$ (violeta) hasta $800\,\mathrm{nm}$ (rojo); la luz blanca mezcla todo el intervalo.

Ejemplo 22.2 (Órdenes de magnitud)

Un láser de helio-neón emite luz roja de $\lambda = 633\,\mathrm{nm} = 6.33 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}$ , así que $f = c/\lambda \approx 4.7 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ : ninguna electrónica cuenta tan deprisa — todas las longitudes de onda de este capítulo se medirán con geometría. Para hacerse una idea, un cabello (de unos $70\,\text{µ}\mathrm{m}$ ) mide cien longitudes de onda. ¿Qué es lo que ondula? El aire no: un campo eléctrico y otro magnético, descritos honradamente en el volumen del segundo año; aquí abajo lo único que importa es la longitud de onda.

22.2 La difracción

Definición 22.3 (Difracción)

Cuando una onda encuentra una abertura o un obstáculo de tamaño $a$ comparable a su longitud de onda, se extiende por la región que los rayos dejarían a oscuras. Esa extensión es la difracción — despreciable mientras $\lambda/a$ sea diminuto y dominante a medida que $a$ se encoge hacia $\lambda$ .

Frentes de onda planos (uno por cresta, separados ) llegan a una rendija de anchura a comparable a : la onda se abre en abanico — difracción. — Frentes de onda planos (uno por cresta, separados $\lambda$ ) llegan a una rendija de anchura $a$ comparable a $\lambda$ : la onda se abre en abanico — difracción.

Proposición 22.4 (Semianchura angular de la extensión)

Una rendija de anchura $a$ , iluminada con una longitud de onda $\lambda < a$ , extiende la luz en torno a la dirección incidente dentro de la semianchura angular $\theta$ (en radianes); una pantalla situada a la distancia $D$ muestra una banda central brillante de anchura $L$ , el doble de $D \tan\theta \approx D\,\theta$ (para ángulos pequeños):

\theta \approx \frac{\lambda}{a}, \qquad L = \frac{2\lambda D}{a}.

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

Observación 22.5 (Leer la fórmula al revés)

Cuanto más estrecha es la rendija, más ancha es la extensión — lo contrario de lo que predicen los rayos. La deducción honrada (sumar las ondas elementales reemitidas a lo ancho de la rendija) vive en el volumen del segundo año; aquí la fórmula es una herramienta de medida.

Ejemplo 22.6 (Un láser a través de una rendija)

Láser rojo, $\lambda = 633\,\mathrm{nm}$ ; rendija $a = 0.10\,\mathrm{mm}$ ; pantalla a $D = 2.00\,\mathrm{m}$ . Entonces $\theta = 6.33 \times 10^{-7} / 1.0 \times 10^{-4} = 6.3 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad}$ — un tercio de grado, pero la banda central de la pared mide $L = 2 \times 6.33 \times 10^{-7} \times 2.00 / 1.0 \times 10^{-4} \approx 2.5\,\mathrm{cm}$ de ancho, flanqueada por líneas oscuras y bandas laterales más tenues. Reduce la rendija a la mitad y la banda se duplica.

El experimento de la rendija única: un cono de semiángulo /a pinta una banda central de anchura L = 2 D/a. — El experimento de la rendija única: un cono de semiángulo $\theta \approx \lambda/a$ pinta una banda central de anchura $L = 2\lambda D/a$ .

Proposición 22.7 (Un obstáculo difracta como una rendija)

Un obstáculo opaco y fino de anchura $d$ — un hilo, un cabello — produce, fuera del haz incidente, el mismo patrón que una rendija de anchura $d$ (principio de Babinet, deducido en el volumen del segundo año).

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

Método 22.8 (Medir una anchura diminuta)

Tensar el cabello atravesando el haz del láser; colocar una pantalla a una distancia medida $D$ (de unos metros).
Medir la anchura $L$ de la banda central, de línea oscura a línea oscura.
Como $L = 2\lambda D/d$ : $d = 2\lambda D/L$ — cuanto más fino el cabello, mayor el patrón.

Observación 22.9 (La difracción limita todos los instrumentos)

La luz entra en una cámara, en un telescopio o en un ojo por una abertura de anchura $a$ , de modo que hasta una lente perfecta difumina un punto en una mancha de tamaño angular en torno a $\lambda/a$ : los detalles más próximos se funden. Un microscopio de luz visible no resuelve, por tanto, mucho menos de $\lambda \approx 0.5\,\text{µ}\mathrm{m}$ (bacterias sí, virus no); y los espejos de los telescopios se fabrican anchos por la misma razón.

22.3 Las interferencias

Definición 22.10 (Fuentes coherentes, diferencia de camino)

Dos fuentes de ondas son coherentes cuando tienen la misma frecuencia y vibran al unísono — en la práctica, cuando son dos copias de una misma onda, obtenidas dividiéndola. Para un punto $M$ al que llegan las dos, la diferencia de camino es $\delta = S_2M - S_1M$ .

Proposición 22.11 (Condiciones de interferencia)

Donde se solapan dos ondas coherentes de longitud de onda $\lambda$ , se suman — interfieren:

$\delta = k\lambda$ ( $k$ entero): al unísono, reforzándose — interferencia constructiva (brillante);
$\delta = (k + \tfrac12)\lambda$ : cresta sobre valle, cancelándose — interferencia destructiva (oscura).

Demostración. Desplazar una onda periódica un número entero de longitudes de onda no cambia nada: las crestas se apilan sobre las crestas. Media longitud de onda más pone cresta sobre valle: dos ondas iguales se cancelan. ∎

Ejemplo 22.12 (El experimento de las dos rendijas de Young)

Perfora dos rendijas finas $S_1$ y $S_2$ , separadas una fracción de milímetro, en una placa opaca, e ilumina las dos con un mismo láser: dos fuentes coherentes. En una pantalla situada un par de metros más allá, la zona de solapamiento aparece rayada: en el centro $\delta = 0$ , brillante; subiendo por la pantalla, $\delta$ crece pasando por $\lambda/2$ (oscuro), $\lambda$ (brillante) … oscuridad allí donde la luz sumada a la luz se cancela.

Las rendijas de Young: los caminos hasta M difieren en = S_2M - S_1M; las franjas brillantes (las marcas grises) están donde = k. — Las rendijas de Young: los caminos hasta $M$ difieren en $\delta = S_2M - S_1M$ ; las franjas brillantes (las marcas grises) están donde $\delta = k\lambda$ .

Definición 22.13 (Franjas e interfranja)

Las bandas alternadas brillantes y oscuras del patrón son sus franjas de interferencia; la distancia $i$ entre los centros de dos franjas brillantes consecutivas es la interfranja.

Proposición 22.14 (La interfranja)

Para unas rendijas separadas una distancia $a$ y una pantalla a la distancia $D \gg a$ , el punto de la pantalla situado a la distancia $x$ del centro $O$ tiene una diferencia de camino $\delta \approx a\,x/D$ (geometría admitida); por la Proposición 22.11, las franjas brillantes están en $x_k = k\,\lambda D/a$ , igualmente espaciadas con interfranja

i = \frac{\lambda D}{a}.

Con $\lambda = 633\,\mathrm{nm}$ , $a = 0.20\,\mathrm{mm}$ y $D = 2.0\,\mathrm{m}$ : $i = 6.3\,\mathrm{mm}$ — el montaje amplifica $\lambda$ en un factor $D/a = 10^4$ . La geometría que hay detrás se desarrolla en el volumen del segundo año.

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

Intensidad a lo largo de la pantalla en el experimento de Young: franjas separadas i = D/a, bajo una envolvente global esquemática. — Intensidad a lo largo de la pantalla en el experimento de Young: franjas separadas $i = \lambda D/a$ , bajo una envolvente global esquemática.

Método 22.15 (Medir una longitud de onda)

Enviar el láser desconocido a través de una doble rendija de separación $a$ conocida; colocar la pantalla a una distancia medida $D$ .
Medir lo que abarcan $10$ interfranjas y dividir entre $10$ : sale la interfranja $i$ , con el error de la regla reducido diez veces.
Entonces $\lambda = i\,a/D$ .

Observación 22.16 (Por qué dos lámparas no interfieren nunca)

Dos flexos que iluminan una misma pared no producen franjas: cada uno emite trenes de onda cortos y sin correlación, cuyo desfase relativo salta al azar mil millones de veces por segundo, así que las franjas se desplazan igual de rápido y el ojo las promedia en una luz uniforme. La interferencia exige coherencia — una sola onda dividida en dos, como hacen las rendijas de Young; el láser es el atajo moderno, una onda limpia y larga.

22.4 Colores pintados por interferencia

Definición 22.17 (Irisación)

Los colores que cambian con el ángulo de observación — las pompas de jabón, las manchas de aceite, las plumas de un pavo real, el reverso de un disco — son irisación: no hay pigmento, sino interferencia en luz blanca, que refuerza unas longitudes de onda y cancela otras.

Ejemplo 22.18 (Láminas de jabón y manchas de aceite)

La luz que llega a una lámina de jabón se refleja en parte en su cara anterior y en parte en la posterior: dos copias coherentes cuya diferencia de camino la fijan el grosor y el ángulo de observación. Cada grosor devuelve unas longitudes de onda reforzadas y otras canceladas: la lámina refleja un color que se desliza a medida que escurre y se adelgaza. Una mancha de aceite sobre asfalto mojado hace el mismo truco.

Observación 22.19 (Luz monocromática frente a luz blanca)

En luz blanca, cada longitud de onda dibuja sus propias franjas de Young con su propia $i = \lambda D/a$ : en el centro todos los colores están brillantes (una franja blanca); unas pocas franjas más allá los patrones se separan — bordes irisados y después difuminado. La luz monocromática da franjas nítidas sin fin: de ahí el láser en todas las medidas precisas de aquí.

22.5 Ejercicios

Ejercicio 22.1 ★

Calcula la frecuencia de la luz roja ( $\lambda = 700\,\mathrm{nm}$ ) y la de la violeta ( $400\,\mathrm{nm}$ ). ¿Cuál es mayor?

Solución

Solución de Ejercicio 22.1.

$f = c/\lambda$ : rojo, $3.00 \times 10^{8}/7.0 \times 10^{-7} \approx 4.3 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ ; violeta, $\approx 7.5 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ — el violeta es mayor (menor longitud de onda con la misma velocidad $c$ ).

Ejercicio 22.2 ★

Un láser verde ( $\lambda = 532\,\mathrm{nm}$ ) atraviesa una rendija de anchura $a = 0.20\,\mathrm{mm}$ : calcula $\theta$ y después la anchura de la banda central en una pantalla situada a $1.5\,\mathrm{m}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 22.2.

$\theta = 5.32 \times 10^{-7}/2.0 \times 10^{-4} = 2.7 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad}$ ; $L = 2\theta D = 2 \times 2.66 \times 10^{-3} \times 1.5 \approx 8.0\,\mathrm{mm}$ .

Ejercicio 22.3 ★

Una puerta tiene $0.80\,\mathrm{m}$ de ancho: calcula $\lambda/a$ para una voz de $425\,\mathrm{Hz}$ ( $v = 340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ) y para luz de $550\,\mathrm{nm}$ . ¿Por qué oyes, pero no ves, al doblar la esquina?

Solución

Solución de Ejercicio 22.3.

Voz: $\lambda = 340/425 = 0.80\,\mathrm{m}$ , luego $\lambda/a = 1.0$ — difracción máxima, el sonido inunda el pasillo. Luz: $\lambda/a \approx 5.5 \times 10^{-7}/0.80 \approx 7 \times 10^{-7}$ — una extensión despreciable: la luz sigue recta y la esquina la esconde.

Ejercicio 22.4 ★

Dos altavoces alimentados por un mismo generador emiten al unísono un sonido de longitud de onda $2.0\,\mathrm{cm}$ . Diferencia de camino en $M$ : $6.0\,\mathrm{cm}$ ; en $N$ : $5.0\,\mathrm{cm}$ . ¿Suena fuerte o hay silencio en cada uno? Justifícalo.

Solución

Solución de Ejercicio 22.4.

En $M$ : $\delta = 6.0\,\mathrm{cm} = 3\lambda$ , constructiva — suena fuerte. En $N$ : $\delta = 5.0\,\mathrm{cm} = (2 + \tfrac12)\lambda$ , destructiva — (casi) silencio.

Ejercicio 22.5 ★

Rendijas de Young: $\lambda = 633\,\mathrm{nm}$ , $a = 0.25\,\mathrm{mm}$ , $D = 1.8\,\mathrm{m}$ . Calcula la interfranja. ¿Cuántas franjas brillantes caben en los $2.0\,\mathrm{cm}$ centrales de la pantalla?

Solución

Solución de Ejercicio 22.5.

$i = \lambda D/a = 6.33 \times 10^{-7} \times 1.8/2.5 \times 10^{-4} \approx 4.6\,\mathrm{mm}$ . Dentro de $\pm1.0\,\mathrm{cm}$ : $|k| \leq 10/4.6 = 2.2$ , luego $k = -2, \dots, 2$ : cinco franjas brillantes.

Ejercicio 22.6 ★★

Un cabello en un haz de $\lambda = 650\,\mathrm{nm}$ , con la pantalla a $1.6\,\mathrm{m}$ , da una banda central de $2.8\,\mathrm{cm}$ de ancho. Calcula el diámetro del cabello.

Solución

Solución de Ejercicio 22.6.

$d = 2\lambda D/L = 2 \times 6.5 \times 10^{-7} \times 1.6/0.028 \approx 74\,\text{µ}\mathrm{m}$ .

Ejercicio 22.7 ★★

Un láser desconocido a través de unas rendijas de Young ( $a = 0.20\,\mathrm{mm}$ , $D = 1.50\,\mathrm{m}$ ): diez interfranjas abarcan $4.7\,\mathrm{cm}$ . Halla $\lambda$ y el color. ¿Por qué medir diez y no una?

Solución

Solución de Ejercicio 22.7.

$i = 4.7\,\mathrm{mm}$ , luego $\lambda = i\,a/D = 4.7 \times 10^{-3} \times 2.0 \times 10^{-4}/1.5 \approx 6.3 \times 10^{-7}\,\mathrm{m} = 630\,\mathrm{nm}$ : rojo. Medir diez interfranjas divide entre diez el error de lectura de la regla.

Ejercicio 22.8 ★★

Dos flexos idénticos iluminan la misma pared; los haces se solapan y, sin embargo, no aparecen franjas nunca. ¿Qué condición de coherencia (Definición 22.10) falla, y cómo la repara el montaje de Young?

Solución

Solución de Ejercicio 22.8.

Los flexos tienen frecuencias más o menos parecidas, pero no van al unísono: cada uno emite trenes de onda cortos con la fase saltando al azar, así que las fuentes son incoherentes y las franjas instantáneas se desplazan miles de millones de veces por segundo — el ojo ve la media, uniforme. Young ilumina las dos rendijas con una sola onda: las dos copias heredan a la vez todos los saltos de fase y se mantienen al unísono.

Ejercicio 22.9 ★★

En un patrón de dos rendijas ( $a = 0.30\,\mathrm{mm}$ , $D = 1.4\,\mathrm{m}$ ), los centros de la primera y de la séptima franjas brillantes distan $18.0\,\mathrm{mm}$ : halla la interfranja y después $\lambda$ .

Solución

Solución de Ejercicio 22.9.

De la primera a la séptima hay $6i = 18.0\,\mathrm{mm}$ , luego $i = 3.0\,\mathrm{mm}$ ; $\lambda = i\,a/D = 3.0 \times 10^{-3} \times 3.0 \times 10^{-4}/1.4 \approx 6.4 \times 10^{-7}\,\mathrm{m} \approx 640\,\mathrm{nm}$ .

Ejercicio 22.10 ★★

Las pistas de un disco compacto forman una red de paso $d = 1.6\,\text{µ}\mathrm{m}$ . Admitiendo $d \sin\theta = k\lambda$ ( $k$ entero), halla las direcciones de los haces para $\lambda = 633\,\mathrm{nm}$ . ¿Cuál es el orden $k$ más alto?

Solución

Solución de Ejercicio 22.10.

$\sin\theta = k\lambda/d = 0.396\,k$ : con $k = 1$ , $\theta = 23^\circ$ ; con $k = 2$ , $\sin\theta = 0.79$ , $\theta = 52^\circ$ ; con $k = 3$ haría falta $\sin\theta = 1.19 > 1$ : imposible. El orden más alto es $k = 2$ .

Ejercicio 22.11 ★★

Un telescopio de abertura $a = 10\,\mathrm{cm}$ a $\lambda = 550\,\mathrm{nm}$ : calcula su difuminado por difracción $\theta \approx \lambda/a$ . ¿Puede separar dos faros situados a $1.5\,\mathrm{m}$ el uno del otro, a $100\,\mathrm{km}$ ?

Solución

Solución de Ejercicio 22.11.

$\theta = 5.5 \times 10^{-7}/0.10 = 5.5 \times 10^{-6}\,\mathrm{rad}$ . Los faros subtienden $1.5/1.0 \times 10^{5} = 1.5 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}$ , unas tres veces el difuminado: separados, por poco.

Ejercicio 22.12 ★★★

Una lámina vertical de jabón escurre, se hace más gruesa abajo y muestra bandas de color horizontales que se arrastran hacia abajo. Explícalo: por qué hay colores, por qué bandas y por qué se mueven. (Sin cálculos.)

Solución

Solución de Ejercicio 22.12.

Las reflexiones de la cara anterior y de la posterior interfieren; en luz blanca, cada grosor refuerza unas longitudes de onda y cancela otras, de donde sale un color. El grosor de la lámina solo depende de la altura, así que los puntos del mismo color forman bandas horizontales. Al escurrir, la lámina se adelgaza, de modo que el grosor que pintaba un color dado queda cada vez más abajo: las bandas se arrastran hacia abajo.

Ejercicio 22.13 ★★★

Rendijas de Young en luz blanca, $a = 0.20\,\mathrm{mm}$ , $D = 1.5\,\mathrm{m}$ : calcula la interfranja para el violeta ( $400\,\mathrm{nm}$ ) y para el rojo ( $750\,\mathrm{nm}$ ) y deduce qué muestra la pantalla en el centro, a unos milímetros y muy lejos del centro.

Solución

Solución de Ejercicio 22.13.

$i = \lambda D/a$ : violeta, $4.0 \times 10^{-7} \times 1.5/2.0 \times 10^{-4} = 3.0\,\mathrm{mm}$ ; rojo, $5.6\,\mathrm{mm}$ . En el centro: todos los colores brillantes — una franja blanca. A unos milímetros, los patrones de los colores se han separado: franjas irisadas. Más lejos, los máximos de todos los colores se solapan en todas partes: un difuminado blanco y uniforme.

Ejercicio 22.14 ★★★

Un satélite de vigilancia lleva un espejo de $2.4\,\mathrm{m}$ a $250\,\mathrm{km}$ . Con $\theta \approx \lambda/a$ a $550\,\mathrm{nm}$ , halla el menor detalle del suelo que resuelve; y juzga la afirmación de que “lee el periódico por encima de tu hombro”.

Solución

Solución de Ejercicio 22.14.

$\theta = 5.5 \times 10^{-7}/2.4 = 2.3 \times 10^{-7}\,\mathrm{rad}$ ; a $250\,\mathrm{km}$ eso son $2.3 \times 10^{-7} \times 2.5 \times 10^{5} \approx 6\,\mathrm{cm}$ . Puede contar coches y localizar a una persona, pero la letra impresa (de milímetros) queda veinte veces por debajo del límite de difracción: la afirmación es un mito.

Ejercicio 22.15 ★★★

Un montaje de Young muestra $i = 4.0\,\mathrm{mm}$ en el aire y después se sumerge en agua ( $n = 1.33$ ). Recordando el Capítulo 3: ¿cambia la frecuencia? ¿Y la longitud de onda? Calcula la nueva interfranja.

Solución

Solución de Ejercicio 22.15.

La frecuencia la fija la fuente: no cambia. La velocidad baja a $c/n$ , así que $\lambda' = \lambda/n$ y $i' = i/n = 4.0/1.33 \approx 3.0\,\mathrm{mm}$ : las franjas se aprietan.

22.6 Problema: medir con luz

Problema 22.1

Problema de fin de semana — medir con luz: un láser, una regla y una pared desnuda se convierten en un taller de micrómetros que calibra una rendija, un cabello humano, una longitud de onda desconocida y los surcos de dos discos plateados

Tu equipo: un láser rojo ( $\lambda = 633\,\mathrm{nm}$ , según la etiqueta), un láser verde de longitud de onda desconocida, una rendija calibrada $a = 100\,\text{µ}\mathrm{m}$ , una doble rendija de separación $a' = 0.250\,\mathrm{mm}$ , una cinta métrica, dos cabellos, un CD y un DVD.

Parte I — Calibrar con la rendija conocida. Láser rojo, rendija y pared a $D = 3.00\,\mathrm{m}$ .

Calcula la semianchura angular $\theta$ del haz difractado.
Demuestra que la banda central tiene una anchura $L = 2\lambda D/a$ ; calcúlala.
Mides $L = 3.7\,\mathrm{cm}$ : calcula la desviación relativa. ¿Se valida el método?
Una segunda rendija es la mitad de ancha, $50\,\text{µ}\mathrm{m}$ : predice su $L$ . Enuncia la regla que liga la anchura de la rendija con la del patrón.
Justifica el paso $\tan\theta \approx \theta$ de la pregunta 2: compara $\theta$ y $\tan\theta$ para este ángulo.

Parte II — El cabello. El mismo láser y la misma pared; un cabello tensado sustituye a la rendija.

¿Qué resultado admitido te permite conservar la fórmula de la rendija para un cabello, y qué dice?
La banda central mide $L = 5.4\,\mathrm{cm}$ : calcula el diámetro $d$ del cabello.
Tu regla mide $L$ con $\pm0.2\,\mathrm{cm}$ : da el intervalo resultante para $d$ , como $d \pm \Delta d$ .
El cabello de tu amiga da $L = 7.6\,\mathrm{cm}$ : ¿su diámetro? ¿Qué cabello es más fino, y por qué más fino significa más ancho?
¿Podría un flexo sustituir al láser? Da dos razones.

Parte III — La longitud de onda del láser verde. Láser verde, doble rendija y pared a $D = 2.00\,\mathrm{m}$ .

¿Por qué tienen que iluminar las dos rendijas el mismo láser?
¿Por qué la franja central es brillante sea cual sea la longitud de onda?
Diez interfranjas abarcan $4.26\,\mathrm{cm}$ . Da $i$ y la razón de medir diez de golpe.
Deduce la longitud de onda del láser verde.
La etiqueta del fabricante dice $(532 \pm 10)\,\mathrm{nm}$ : ¿es coherente? ¿Qué color esperas?

Parte IV — Leer discos plateados. El láser rojo incide perpendicularmente sobre un CD; sus pistas actúan como una red de reflexión que cumple (se admite) $d \sin\theta = k\lambda$ . Sobre la pared, situada a $D = 1.00\,\mathrm{m}$ , cada haz de primer orden deja una mancha a una distancia $x$ de la central.

Para el CD, $x = 43\,\mathrm{cm}$ : calcula $\theta$ . ¿Por qué está ahora prohibido el atajo de ángulos pequeños de la Parte I?
Deduce el paso $d$ entre pistas del CD.
El DVD manda su mancha de primer orden a $x = 1.65\,\mathrm{m}$ : calcula su $\theta$ y su paso entre pistas.
Compara los dos pasos. ¿Por qué almacena un DVD más que un CD?
Cierra el cuaderno: enumera las longitudes medidas este fin de semana y di en una frase qué convirtió a la luz en una regla para todas ellas.

Solución

Solución de Problema 22.1.

1. $\theta = \lambda/a = 6.33 \times 10^{-7}/1.00 \times 10^{-4} = 6.3 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad}$ .

2. La semianchura vale $D\tan\theta \approx D\theta = \lambda D/a$ , luego $L = 2\lambda D/a = 2 \times 6.33 \times 10^{-7} \times 3.00/1.00 \times 10^{-4} = 3.8\,\mathrm{cm}$ .

3. $(3.8 - 3.7)/3.8 \approx 3\,\%$ : dentro de la precisión de una regla — validado.

4. $L \propto 1/a$ : reducir $a$ a la mitad duplica $L$ , así que $L = 7.6\,\mathrm{cm}$ . Obstáculo o rendija más estrechos, patrón más ancho.

5. $\tan(6.33 \times 10^{-3}) = 6.330\,08 \times 10^{-3}$ : coinciden con una diferencia relativa de unos $1 \times 10^{-5}$ — la aproximación es mucho mejor que cualquier medida de aquí.

6. Por la Proposición 22.7: un obstáculo de anchura $d$ difracta como una rendija de anchura $d$ , así que $L = 2\lambda D/d$ sigue valiendo.

7. $d = 2\lambda D/L = 2 \times 6.33 \times 10^{-7} \times 3.00/0.054 \approx 70\,\text{µ}\mathrm{m}$ .

8. $L = 5.2\,\mathrm{cm} \to d = 73\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; $L = 5.6\,\mathrm{cm} \to d = 68\,\text{µ}\mathrm{m}$ : por tanto, $d = (70 \pm 3)\,\text{µ}\mathrm{m}$ .

9. $d = 3.80 \times 10^{-6}/0.076 = 50\,\text{µ}\mathrm{m}$ : el de tu amiga es más fino — y como $L \propto 1/d$ , el cabello más fino lanza el patrón más ancho.

10. No: un flexo es blanco (cada longitud de onda pinta un patrón distinto y se difuminan) y es incoherente y ancho (no hay un haz limpio que difractar). El láser es monocromático y direccional.

11. Solo son coherentes las copias de una misma onda; dos fuentes independientes se desfasan y las franjas se borran (Observación 22.16).

12. En el centro $\delta = 0 = 0 \times \lambda$ para toda $\lambda$ : constructiva sea cual sea la longitud de onda.

13. $i = 4.26/10 = 4.3\,\mathrm{mm}$ ; un tramo de diez se lee con el mismo error de regla que una sola interfranja, así que el error sobre $i$ queda dividido entre diez.

14. $\lambda = i\,a'/D = 4.26 \times 10^{-3} \times 2.50 \times 10^{-4}/2.00 = 5.33 \times 10^{-7} \approx 533\,\mathrm{nm}$ .

15. $533\,\mathrm{nm}$ cae dentro de $(532 \pm 10)\,\mathrm{nm}$ : es coherente; esa longitud de onda es verde.

16. $\tan\theta = 0.43/1.00$ , luego $\theta = 23^\circ$ . Aquí $\tan\theta = 0.43$ mientras que $\sin\theta = 0.40$ : a $23^\circ$ , identificar $\sin$ , $\tan$ y $\theta$ falla casi en un $10\,\%$ — hay que usar las funciones exactas.

17. $d = \lambda/\sin\theta = 6.33 \times 10^{-7}/0.396 \approx 1.6\,\text{µ}\mathrm{m}$ .

18. $\tan\theta = 1.65$ , $\theta = 59^\circ$ , $\sin\theta = 0.855$ : $d = 6.33 \times 10^{-7}/0.855 \approx 0.74\,\text{µ}\mathrm{m}$ .

19. $1.6/0.74 \approx 2.2$ : las pistas del DVD son el doble de densas, y sus hoyos, en consecuencia, más pequeños (se leen con un láser de longitud de onda más corta) — varias veces los mismos datos en el mismo disco de $12\,\mathrm{cm}$ .

20. Cabello, $(70 \pm 3)\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; cabello de tu amiga, $50\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; láser verde, $533\,\mathrm{nm}$ ; pistas del CD, $1.6\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; pistas del DVD, $0.74\,\text{µ}\mathrm{m}$ — una longitud de onda conocida convierte la geometría de cualquier patrón en una longitud, así que una luz de medio micrómetro es una regla graduada en medio micrómetro.