Física de secundaria · Grades 10–12

26Caída libre y tiro parabólico

Todo chorro de una manguera de jardín dibuja la misma curva en el aire. Y también un balón de baloncesto que se arquea hacia la canasta, una saltadora de longitud, una bala de cañón: cualquier cuerpo abandonado a su peso. Este capítulo se gana esa curva — una parábola — a partir de la segunda ley de Newton en dos líneas de cálculo, lee en su ecuación la cima, el tiempo de vuelo y el alcance, y después deja entrar de nuevo el aire para ver qué estropea.

26.1 La caída libre

Definición 26.1 (Caída libre)

Un cuerpo está en caída libre cuando la única fuerza que actúa sobre él es su peso $\vect P = m\vect g$ : sin soporte, sin hilo y con la resistencia del aire despreciable. Una piedra que se suelta o una pelota que ya ha dejado la mano están, con buena aproximación, en caída libre — y “caída” incluye la subida.

Teorema 26.2 (Ley de caída libre de Galileo)

En caída libre, todos los cuerpos comparten la misma aceleración, sea cual sea su masa:

\vect a = \vect g, \qquad g = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2},

dirigida verticalmente hacia abajo: la intensidad del campo de $9.81\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ del Capítulo 4 con su otro traje, $\mathrm{N}/\mathrm{kg} = \mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ .

Demostración. La segunda ley de Newton (Capítulo 25) con el peso como única fuerza: $m\vect a = m\vect g$ , y la masa se cancela. El martillo y la pluma solo se diferencian por el aire. ∎

Proposición 26.3 (Caída vertical desde el reposo)

Soltado desde el reposo, y contando hacia abajo la profundidad de caída $h$ desde el punto de suelta, un cuerpo en caída libre obedece

a = g, \qquad v = g t, \qquad h = \tfrac12\, g t^2 .

Demostración. $v(t)$ es la primitiva de la constante $a = g$ que se anula en $t = 0$ (Capítulo 24); $h(t)$ , la de $v = gt$ que se anula en $t = 0$ . ∎

Ejemplo 26.4 (Órdenes de magnitud)

Tras $1$ , $2$ y $3$ segundos de caída libre: $v = 9.8$ , $19.6$ , $29.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ( $35$ , $71$ , $106\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ) y $h = 4.9$ , $19.6$ , $44.1\,\mathrm{m}$ . Desde una azotea de $30\,\mathrm{m}$ : $t = \sqrt{2h/g} \approx 2.5\,\mathrm{s}$ , y se llega a $24\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ $\approx 87\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . Los tiempos crecen como $\sqrt h$ — y pasados unos pocos segundos el aire se niega a seguir siendo despreciable (última sección).

Ejemplo 26.5 (Lanzamiento vertical)

Lanzado verticalmente hacia arriba con $v_0$ , con el eje $Oy$ hacia arriba desde la mano: las mismas dos primitivas dan $v = v_0 - gt$ e $y = v_0 t - \tfrac12 gt^2$ . La cima, donde $v = 0$ , llega en $t = v_0/g$ , a la altura $h = v_0^2/2g$ — la respuesta energética $v_0 = \sqrt{2gh}$ del Capítulo 18 recorrida al revés; lanzado hacia abajo, $v_0$ cambia de signo. Para $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : cima a $11.5\,\mathrm{m}$ en $1.53\,\mathrm{s}$ , de vuelta a $3.06\,\mathrm{s}$ y a $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

26.2 El proyectil: una ley, dos primitivas

Definición 26.6 (Proyectil)

Un proyectil es un cuerpo lanzado con una velocidad $\vect v_0$ y abandonado después a la caída libre. Ejes en el punto de lanzamiento: $Ox$ horizontal en el plano vertical de $\vect v_0$ , $Oy$ vertical hacia arriba; el ángulo de tiro $\alpha$ de $\vect v_0$ sobre la horizontal fija sus coordenadas $(v_0\cos\alpha,\; v_0\sin\alpha)$ .

Teorema 26.7 (Ecuaciones del movimiento)

Un proyectil lanzado desde el origen con rapidez $v_0$ y ángulo $\alpha$ tiene $\vect a = (0,\,-g)$ en todo instante, de donde

\vect v(t) = \bigl(v_0\cos\alpha,\; v_0\sin\alpha - g t\bigr), \qquad \begin{cases} x(t) = v_0\cos\alpha\; t,\\[2pt] y(t) = v_0\sin\alpha\; t - \tfrac12\, g t^2 . \end{cases}

Demostración. La segunda ley de Newton da $\vect a = \vect g = (0,-g)$ . Primitivas eje por eje: $\vect v(t)$ a partir de $\vect a$ con valor inicial $(v_0\cos\alpha,\, v_0\sin\alpha)$ , y después la posición a partir de $\vect v$ , desde $(0,0)$ . ∎

Proposición 26.8 (Independencia de los dos movimientos)

El movimiento horizontal es uniforme — $v_x$ no cambia nunca — y el movimiento vertical es exactamente el lanzamiento vertical de la sección anterior: ninguna de las dos ecuaciones menciona la coordenada de la otra. En particular, una bola disparada horizontalmente y otra soltada en el mismo instante desde la misma altura se mantienen a la misma altura la una que la otra — llegan al suelo a la vez.

Demostración. En el Teorema 26.7, $x(t)$ solo involucra $v_0\cos\alpha$ , e $y(t)$ solo $v_0\sin\alpha$ y $g$ ; ambas bolas tienen $v_y(0) = 0$ , así que ambas obedecen $h = \tfrac12 gt^2$ . ∎

Una bola soltada y otra disparada horizontalmente en el mismo instante: en cada tiempo t_1, t_2, t_3, la misma altura — la rapidez no retrasa nada. — Una bola soltada y otra disparada horizontalmente en el mismo instante: en cada tiempo $t_1$ , $t_2$ , $t_3$ , la misma altura — la rapidez no retrasa nada.

Observación 26.9 (El mono que se suelta)

Un cuidador apunta un dardo directamente a un mono, que se suelta de su rama en el momento del disparo. Mala jugada: el dardo y el mono caen cada uno $\tfrac12 gt^2$ por debajo de la posición que tendrían sin gravedad — la línea de puntería, la rama —, así que se encuentran exactamente, sea cual sea la rapidez del dardo (Ejercicio 26.15).

26.3 La parábola, leída entera

Teorema 26.10 (Trayectoria)

Eliminando $t$ entre $x(t)$ e $y(t)$ : la trayectoria de un proyectil ( $0 \leq \alpha < 90{}^{\circ}$ ) es la parábola de ramas hacia abajo

y = x\tan\alpha \;-\; \frac{g}{2 v_0^2 \cos^2\alpha}\, x^2 .

Demostración. $t = x/(v_0\cos\alpha)$ , sustituido en el $y(t)$ del Teorema 26.7. ∎

La velocidad a lo largo del vuelo: v_x no cambia nunca; v_y mengua, se anula en la cima y se invierte — la flecha se inclina y la parábola la sigue. — La velocidad a lo largo del vuelo: $\vect v_x$ no cambia nunca; $\vect v_y$ mengua, se anula en la cima y se invierte — la flecha se inclina y la parábola la sigue.

Definición 26.11 (Alcance)

Para un proyectil sobre terreno horizontal, el alcance $R$ es la distancia horizontal recorrida cuando vuelve a su altura de lanzamiento; el tiempo de vuelo $t_f$ es la duración de ese trayecto.

Proposición 26.12 (Cima, tiempo de vuelo y alcance)

Sobre terreno horizontal, con $0 < \alpha < 90{}^{\circ}$ :

t_f = \frac{2 v_0 \sin\alpha}{g}, \qquad h_{\text{cima}} = \frac{(v_0\sin\alpha)^2}{2g} \ \ \text{alcanzada en } t_f/2, \qquad R = \frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g}.

El alcance es máximo en $\alpha = 45{}^{\circ}$ , donde $R = v_0^2/g$ ; ángulos complementarios $\alpha$ y $90{}^{\circ} - \alpha$ dan el mismo alcance.

Demostración. $y = 0$ da $t\,(v_0\sin\alpha - \tfrac12 gt) = 0$ : el lanzamiento y $t_f$ . La cima, $v_y = 0$ , cae en $t = v_0\sin\alpha/g = t_f/2$ ; sustitúyase en $y(t)$ . Después, $R = x(t_f) = 2v_0^2\sin\alpha\cos\alpha/g = v_0^2\sin(2\alpha)/g$ . El seno alcanza su máximo en $2\alpha = 90{}^{\circ}$ , y $\sin\bigl(2(90{}^{\circ}-\alpha)\bigr) = \sin(180{}^{\circ} - 2\alpha) = \sin(2\alpha)$ . ∎

La misma rapidez de lanzamiento v_0 = 10\, m/ s, cinco ángulos: 45 lanza más lejos; las parejas (15,75) y (30,60) caen en el mismo punto — una rasante y rápida, la otra alta y lenta. — La misma rapidez de lanzamiento $v_0 = 10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , cinco ángulos: $45{}^{\circ}$ lanza más lejos; las parejas ( $15{}^{\circ}$ , $75{}^{\circ}$ ) y ( $30{}^{\circ}$ , $60{}^{\circ}$ ) caen en el mismo punto — una rasante y rápida, la otra alta y lenta.

Ejemplo 26.13 (Saque de puerta)

Un portero golpea a $v_0 = 25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ con $\alpha = 45{}^{\circ}$ : $R = 25^2/9.81 \approx 64\,\mathrm{m}$ ; los despejes reales caen más cerca de $55\,\mathrm{m}$ — la parte que se lleva el aire.

Método 26.14 (Contabilidad de un proyectil)

Ejes en el punto de lanzamiento, $Ox$ horizontal, $Oy$ hacia arriba; coordenadas de $\vect v_0$ .
Comprueba la caída libre (solo el peso): entonces $\vect a = (0,-g)$ ; dos primitivas, con sus condiciones iniciales cada vez.
Pregunta sobre un lugar: elimina $t$ (trayectoria). Sobre un instante: conserva $t$ .
Diccionario: cima $\Leftrightarrow v_y = 0$ ; altura de lanzamiento $\Leftrightarrow y = 0$ ; muro a distancia $d \Leftrightarrow x = d$ ; suelo $\ell$ más abajo $\Leftrightarrow y = -\ell$ .
Sensatez: el vuelo es simétrico respecto de la cima; $R \leq v_0^2/g$ ; el aire nunca hace otra cosa que acortar.

26.4 Lo que cambia el aire

Definición 26.15 (Velocidad límite)

La resistencia del aire se opone a la velocidad y crece con la rapidez. Por eso un cuerpo que cae acelera solo hasta que el rozamiento del aire equilibra el peso; a partir de ahí $\vect a = \vect 0$ : cae con una velocidad límite constante.

Ejemplo 26.16 (Órdenes de magnitud de la velocidad límite)

Un paracaidista en posición extendida: unos $55\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ( $200\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ). Una gota de lluvia: unos $9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — en el vacío, $2000\,\mathrm{m}$ de caída la entregarían a $\sqrt{2gh} \approx 2.0 \times 10^{2}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Una pluma: alrededor de $1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , alcanzados en unos centímetros — el secreto de su lentitud: pasa toda la caída a su velocidad límite; el martillo no se acerca jamás a la suya.

Observación 26.17 (Balística real)

El rozamiento del aire empuja contra la velocidad durante todo el vuelo: el alcance se acorta, la cima baja y se rompe la simetría — el descenso es más empinado que la subida, y los tiros largos se quedan visiblemente cortos respecto de la parábola. El tratamiento honesto y cuantitativo es una ecuación diferencial que se resuelve en el volumen del primer año de universidad; este curso, la parábola es el modelo adecuado para proyectiles densos y moderadamente rápidos — un balón de baloncesto a $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , no una pelota de golf a $70\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

El mismo lanzamiento, con aire y sin él: el rozamiento recorta el alcance y la cima, y hace aterrizar el proyectil más empinado de lo que despegó — la simetría de la parábola es la primera víctima.

26.5 Ejercicios

Ejercicio 26.1 ★

Una piedra soltada desde un puente llega al agua $2.0\,\mathrm{s}$ después: ¿altura del puente y rapidez de impacto en $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ y en $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ?

Solución

Solución de Ejercicio 26.1.

$h = \tfrac12 \times 9.81 \times 2.0^2 = 19.6\,\mathrm{m}$ ; $v = gt = 19.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 71\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .

Ejercicio 26.2 ★

En la Luna, un astronauta soltó a la vez un martillo y una pluma: llegaron al suelo juntos. ¿Por qué — y por qué la pluma pierde tan estrepitosamente en la Tierra?

Solución

Solución de Ejercicio 26.2.

En la Luna no hay aire: ambos en caída libre, y $m\vect a = m\vect g$ da $\vect a = \vect g$ para cualquier masa. En la Tierra, el rozamiento del aire sobre la pluma es comparable a su minúsculo peso: viaja a una velocidad límite de alrededor de $1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , mientras que el martillo apenas nota el aire.

Ejercicio 26.3 ★

Despreciando el aire, calcula el tiempo de caída y la rapidez de llegada desde $1.0\,\mathrm{m}$ , $10\,\mathrm{m}$ y $100\,\mathrm{m}$ . ¿Cómo crecen los tiempos con la altura?

Solución

Solución de Ejercicio 26.3.

$t = \sqrt{2h/g} = 0.45$ , $1.4$ , $4.5\,\mathrm{s}$ ; $v = gt = 4.4$ , $14$ , $44\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Los tiempos crecen como $\sqrt h$ : multiplicar la altura por $100$ solo multiplica el tiempo por $10$ .

Ejercicio 26.4 ★

Se lanza una pelota verticalmente hacia arriba a $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : ¿altura y tiempo de la cima, tiempo total hasta volver a la mano y rapidez de regreso?

Solución

Solución de Ejercicio 26.4.

$h = v_0^2/2g = 11.5\,\mathrm{m}$ en $t = v_0/g = 1.53\,\mathrm{s}$ ; de vuelta a $3.06\,\mathrm{s}$ , y otra vez a $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ (simetría).

Ejercicio 26.5 ★

Una canica rueda y se sale de una mesa de $0.80\,\mathrm{m}$ de altura a $2.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Halla el tiempo de caída y la distancia de aterrizaje respecto del borde. ¿Depende el tiempo de caída de la rapidez de la canica?

Solución

Solución de Ejercicio 26.5.

$t = \sqrt{2 \times 0.80/9.81} = 0.40\,\mathrm{s}$ ; $x = 2.5 \times 0.40 = 1.0\,\mathrm{m}$ . No: el tiempo de caída pertenece solo al movimiento vertical (independencia).

Ejercicio 26.6 ★★

A partir de la figura de los cinco ángulos del curso: ¿qué parejas de ángulos de tiro comparten alcance, y qué ángulo gana? Para un alcance por debajo del máximo, ¿cuál de los dos ángulos posibles vuela más tiempo? Justifícalo con $t_f$ .

Solución

Solución de Ejercicio 26.6.

$(15{}^{\circ},75{}^{\circ})$ y $(30{}^{\circ},60{}^{\circ})$ comparten alcance; gana $45{}^{\circ}$ . De una pareja de complementarios, el más empinado vuela más tiempo: $t_f = 2v_0\sin\alpha/g$ crece con $\alpha$ .

Ejercicio 26.7 ★★

Desde un balcón a $20\,\mathrm{m}$ se lanza una pelota verticalmente hacia abajo a $5.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Halla el tiempo hasta el suelo y la rapidez de impacto; comprueba esta última con un balance de energía (Capítulo 18).

Solución

Solución de Ejercicio 26.7.

$4.905\,t^2 + 5.0\,t - 20 = 0$ da $t = (-5 + \sqrt{25 + 392.4})/9.81 = 1.57\,\mathrm{s}$ ; $v = 5.0 + 9.81 \times 1.57 = 20.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Por energía: $v = \sqrt{5.0^2 + 2 \times 9.81 \times 20} = 20.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — lo mismo.

Ejercicio 26.8 ★★

Un proyectil sale del suelo horizontal a $40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ con $\alpha = 30{}^{\circ}$ : ¿tiempo de vuelo, altura de la cima y alcance?

Solución

Solución de Ejercicio 26.8.

$t_f = 2 \times 40 \times \sin30{}^{\circ}/9.81 = 4.1\,\mathrm{s}$ ; $h = (40\sin30{}^{\circ})^2/(2 \times 9.81) = 20.4\,\mathrm{m}$ ; $R = 40^2 \sin60{}^{\circ}/9.81 = 1.4 \times 10^{2}\,\mathrm{m}$ .

Ejercicio 26.9 ★★

Modeliza a una saltadora de longitud como un proyectil: batida a $10.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ con $\alpha = 20{}^{\circ}$ . Calcula el alcance; las campeonas saltan casi $9\,\mathrm{m}$ — nombra dos ingredientes que el modelo puntual deja fuera.

Solución

Solución de Ejercicio 26.9.

$R = 10.5^2\sin40{}^{\circ}/9.81 \approx 7.2\,\mathrm{m}$ . Lo que queda fuera: el centro de masas despega alto (cuerpo extendido) y aterriza bajo y muy por delante (piernas lanzadas hacia adelante), y la saltadora no es un punto — los $1.7\,\mathrm{m}$ que faltan viven en esa geometría, no en la parábola.

Ejercicio 26.10 ★★

A $1.2\,\mathrm{m}$ sobre un suelo llano se suelta una bala y se dispara otra idéntica horizontalmente a $300\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . ¿Cuál llega antes al suelo? Calcula el tiempo de caída y la distancia de aterrizaje de la bala disparada. ¿Qué principio se pone a prueba?

Solución

Solución de Ejercicio 26.10.

A la vez: ambas tienen $v_y(0) = 0$ , luego el mismo $t = \sqrt{2 \times 1.2/9.81} = 0.49\,\mathrm{s}$ ; la disparada cae a $300 \times 0.49 \approx 1.5 \times 10^{2}\,\mathrm{m}$ . Pone a prueba la independencia de los movimientos horizontal y vertical.

Ejercicio 26.11 ★★

Demuestra algebraicamente que $\alpha$ y $90{}^{\circ} - \alpha$ comparten alcance y halla después los dos ángulos que hacen caer a $50\,\mathrm{m}$ un proyectil lanzado a $25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 26.11.

$\sin\bigl(2(90{}^{\circ}-\alpha)\bigr) = \sin(180{}^{\circ}-2\alpha) = \sin(2\alpha)$ : el mismo $R$ . Aquí $\sin(2\alpha) = gR/v_0^2 = 9.81 \times 50/625 = 0.785$ : $\alpha = 25.9{}^{\circ}$ o $64.1{}^{\circ}$ .

Ejercicio 26.12 ★★★

El agua sale de una manguera de jardín a $8.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : ¿mayor alcance horizontal?, ¿mayor altura vertical?, ¿los dos ángulos de la boquilla que riegan un arriate situado a $5.0\,\mathrm{m}$ ?

Solución

Solución de Ejercicio 26.12.

$R_{\max} = v_0^2/g = 6.5\,\mathrm{m}$ (a $45{}^{\circ}$ ); $h_{\max} = v_0^2/2g = 3.3\,\mathrm{m}$ (en vertical). $\sin(2\alpha) = 9.81 \times 5.0/64 = 0.766$ : $\alpha = 25.0{}^{\circ}$ o $65.0{}^{\circ}$ .

Ejercicio 26.13 ★★★

Se golpea un balón desde el suelo a $18\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ con $\alpha = 35{}^{\circ}$ , hacia un seto de $4.0\,\mathrm{m}$ situado a $15\,\mathrm{m}$ . Usando la ecuación de la trayectoria, decide si lo supera y por cuánto.

Solución

Solución de Ejercicio 26.13.

$y(15) = 15\tan35{}^{\circ} - \dfrac{9.81 \times 15^2} {2 \times 18^2 \cos^235{}^{\circ}} = 10.5 - 5.1 = 5.4\,\mathrm{m}$ : supera el seto de $4.0\,\mathrm{m}$ por unos $1.4\,\mathrm{m}$ .

Ejercicio 26.14 ★★★

Un paracaidista de $80\,\mathrm{kg}$ cae en posición extendida a la velocidad límite de $55\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (a) ¿La fuerza de rozamiento del aire? (b) Esboza la forma de $v(t)$ desde el salto. (c) Una gota de lluvia cae desde $2.0\,\mathrm{km}$ : ¿rapidez de llegada en el vacío frente a sus $9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ reales?

Solución

Solución de Ejercicio 26.14.

(a) El rozamiento del aire equilibra el peso: $80 \times 9.81 \approx 7.8 \times 10^{2}\,\mathrm{N}$ . (b) $v(t)$ sube con pendiente cada vez menor y se aplana en $55\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (c) En el vacío, $\sqrt{2 \times 9.81 \times 2000} \approx 2.0 \times 10^{2}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , veinte veces los $9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ reales — las gotas pasan casi toda la caída a su velocidad límite.

Ejercicio 26.15 ★★★

El mono que se suelta, demostrado: un dardo sale del origen apuntando exactamente a un mono situado a distancia $D$ y altura $H$ ( $\tan\alpha = H/D$ ), que se suelta en $t = 0$ . Demuestra que cuando el dardo llega a $x = D$ su altura es igual a la del mono — sea cual sea $v_0$ .

Solución

Solución de Ejercicio 26.15.

En $t^* = D/(v_0\cos\alpha)$ el dardo está a la altura $v_0\sin\alpha\, t^* - \tfrac12 g t^{*2} = D\tan\alpha - \tfrac12 g t^{*2} = H - \tfrac12 g t^{*2}$ , exactamente la del mono que se ha soltado, $y = H - \tfrac12 g t^{*2}$ . Los dos cuelgan $\tfrac12 gt^2$ por debajo de su posición sin gravedad — se encuentran sea cual sea $v_0$ .

26.6 Problema: La canasta sobre la bocina

Problema 26.1

Problema de fin de semana — la canasta sobre la bocina: un tiro libre diseccionado flecha a flecha, unos dedos superados por centímetros, un lanzamiento de campo entero puesto frente a lo que un brazo puede dar, un globo por encima del tablero — y un veredicto sobre el tiro más teatral del deporte

El aro de una canasta de baloncesto es un anillo horizontal a $3.05\,\mathrm{m}$ del suelo; Nora suelta todos sus tiros a $2.00\,\mathrm{m}$ , así que con los ejes en el punto de suelta ( $Ox$ horizontal hacia la canasta, $Oy$ hacia arriba) el centro del aro queda $1.05\,\mathrm{m}$ por encima del origen. Se desprecia el aire salvo donde se indique.

Parte I — El tiro libre. Nora tira desde $d = 4.20\,\mathrm{m}$ (en horizontal) con un ángulo de tiro $\alpha = 50{}^{\circ}$ .

¿Qué fuerzas actúan una vez soltado el balón? Da $\vect a$ , citando la ley empleada.
Deduce las coordenadas de $\vect v(t)$ .
Deduce $x(t)$ e $y(t)$ .
Elimina $t$ para obtener la trayectoria $y(x)$ .
El balón debe pasar por el centro del aro, $y(d) = 1.05\,\mathrm{m}$ : despeja $v_0$ , en $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ y en $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .

Parte II — Por encima de los dedos, dentro del aro.

¿Cuánto tarda el balón en llegar al aro?
Halla el instante y la altura de la cima; comprueba que en el aro el balón ya está descendiendo.
Una defensora situada $0.90\,\mathrm{m}$ por delante de Nora estira los dedos hasta $2.60\,\mathrm{m}$ . ¿Por cuánto los supera el balón?
Calcula $v_x$ y $v_y$ en el aro, la rapidez allí y el ángulo de la velocidad por debajo de la horizontal.
¿Por qué el balón debe llegar descendiendo — y por qué de forma empinada?

Parte III — El lanzamiento de campo entero. A punto de sonar la bocina, Nora está a $26.0\,\mathrm{m}$ del aro contrario.

La subida de $1.05\,\mathrm{m}$ es pequeña frente a $26.0\,\mathrm{m}$ : justifica un modelo de terreno horizontal y deduce el tiempo de vuelo de $y(t_f) = 0$ .
Deduce $R = v_0^2\sin(2\alpha)/g$ y el ángulo de alcance máximo.
Calcula la $v_0$ necesaria para cubrir $26.0\,\mathrm{m}$ con $\alpha = 45{}^{\circ}$ .
Una jugadora potente puede lanzar un balón de baloncesto a unos $17.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . ¿Cuál es su alcance máximo — es humanamente posible el tiro?
A $17.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , halla los dos ángulos que hacen caer el balón a $26.0\,\mathrm{m}$ y sus tiempos de vuelo: con $2.0\,\mathrm{s}$ en el reloj, ¿cuál llega antes que la bocina?

Parte IV — El globo por encima del tablero. Desde detrás de la línea de fondo, Nora lanza un globo: suelta a $6.0\,\mathrm{m}$ del centro del aro, $\alpha = 75{}^{\circ}$ ; el plano del tablero corta su tiro $0.45\,\mathrm{m}$ antes del centro del aro, con el borde superior a $3.95\,\mathrm{m}$ del suelo.

Halla la $v_0$ que hace caer el balón por el centro del aro.
Calcula la altura del balón en el plano del tablero ( $x = 5.55\,\mathrm{m}$ ): ¿supera el borde superior?, ¿por cuánto?
Halla la altura de la cima y el tiempo de vuelo — ¿por qué le encanta al público?
Cualitativamente, ¿qué cambia la resistencia del aire en estos tres tiros, y a cuál amenaza más?
El veredicto sobre la canasta desde el propio campo, en dos frases: compara la rapidez que exige el lanzamiento de campo entero con la que proporciona un brazo, da el margen y dictamina — ¿posible o mito?

Solución

Solución de Problema 26.1.

1. Solo el peso (el aire se desprecia); por la segunda ley de Newton, $m\vect a = m\vect g$ , luego $\vect a = (0,\,-g)$ .

2. $v_x = v_0\cos\alpha$ , $v_y = v_0\sin\alpha - gt$ .

3. $x = v_0\cos\alpha\, t$ , $y = v_0\sin\alpha\, t - \tfrac12 gt^2$ .

4. $t = x/(v_0\cos\alpha)$ : $y = x\tan\alpha - g x^2/(2v_0^2\cos^2\alpha)$ .

5. $v_0^2 = \dfrac{g d^2}{2\cos^2\alpha\,(d\tan\alpha - 1.05)} = \dfrac{173.0}{0.826 \times 3.96} = 52.9$ : $v_0 = 7.28\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 26\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .

6. $t = d/(v_0\cos\alpha) = 4.20/4.68 = 0.90\,\mathrm{s}$ .

7. Cima en $t = v_0\sin\alpha/g = 0.57\,\mathrm{s}$ , a la altura $2.00 + (v_0\sin\alpha)^2/2g = 2.00 + 1.58 = 3.58\,\mathrm{m}$ ; $0.57 < 0.90$ : en el aro va descendiendo.

8. $y(0.90) = 0.90\tan50{}^{\circ} - 0.182 = 0.89\,\mathrm{m}$ por encima del punto de suelta, es decir, $2.89\,\mathrm{m}$ sobre el suelo: $0.29\,\mathrm{m}$ por encima de los dedos.

9. $v_x = 4.68\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $v_y = 5.57 - 9.81 \times 0.90 = -3.24\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $v = 5.69\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , a $\arctan(3.24/4.68) = 34.7{}^{\circ}$ por debajo de la horizontal.

10. El aro es un anillo horizontal: el balón tiene que atravesar su plano desde arriba. Cuanto más empinada es la entrada, más grande se ve la abertura del anillo a lo largo de la velocidad — más margen de error.

11. $1.05/26.0 = 4\,\%$ : despreciable. $y(t_f) = 0$ da $t_f\,(v_0\sin\alpha - \tfrac12 g t_f) = 0$ , luego $t_f = 2v_0\sin\alpha/g$ .

12. $R = v_0\cos\alpha\, t_f = v_0^2\sin(2\alpha)/g$ ; máximo en $\alpha = 45{}^{\circ}$ .

13. $v_0 = \sqrt{gR} = \sqrt{9.81 \times 26.0} = 16.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 57\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .

14. $R_{\max} = 17.5^2/9.81 = 31.2\,\mathrm{m} > 26.0\,\mathrm{m}$ : posible, con $5\,\mathrm{m}$ de alcance de sobra.

15. $\sin(2\alpha) = 255.1/306.3 = 0.833$ : $\alpha = 28.2{}^{\circ}$ o $61.8{}^{\circ}$ ; tiempos de vuelo $2v_0\sin\alpha/g = 1.69\,\mathrm{s}$ y $3.14\,\mathrm{s}$ . Solo el tiro tenso se adelanta a la bocina de $2.0\,\mathrm{s}$ .

16. $v_0^2 = \dfrac{9.81 \times 36}{2\cos^275{}^{\circ}\, (6.0\tan75{}^{\circ} - 1.05)} = \dfrac{353.2}{2.86} = 123.5$ : $v_0 = 11.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

17. $y(5.55) = 5.55\tan75{}^{\circ} - 18.26 = 2.45\,\mathrm{m}$ por encima del punto de suelta, es decir, $4.45\,\mathrm{m}$ sobre el suelo: $0.50\,\mathrm{m}$ por encima del borde superior del tablero.

18. Cima: $2.00 + (11.1\sin75{}^{\circ})^2/2g \approx 7.9\,\mathrm{m}$ ; vuelo: $6.0/(11.1\cos75{}^{\circ}) = 2.1\,\mathrm{s}$ — dos segundos enteros con el balón colgado a $8\,\mathrm{m}$ .

19. El rozamiento del aire acorta todos los tiros y empina el descenso; el efecto crece con la rapidez, así que el lanzamiento de campo entero a $17.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ es el que más sufre — su alcance real se queda unos metros por debajo de $31\,\mathrm{m}$ y se come parte del margen.

20. El veredicto sobre la canasta desde el propio campo: el tiro de $26.0\,\mathrm{m}$ exige $16.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ y un brazo proporciona unos $17.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , un margen de alcance de $5\,\mathrm{m}$ ( $\approx 20\,\%$ ) que la resistencia del aire recorta pero no borra. Posible — y por eso, unas cuantas veces por temporada, entra.